演示文稿---排列组合题型
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排列组合ppt课件
在工程领域，排列组合用于优化设计 、规划、调度等问题，如计算机科学 、信息论、控制论等。
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
(最新整理)《排列组合专题》PPT课件
2021/7/26
25
例9．有男女各五个人，其中有３对是夫妻，沿 圆桌就座，若每对夫妻都坐在相邻的位置，问有 多少种坐法？
设３对夫妻分别为Ａ和a,Ｂ和b,Ｃ和c，先让Ａ，Ｂ， Ｃ三人和另外４个人沿圆桌就座的方法为６！种．
又对上述每种坐法，a坐在Ａ的邻座的方式有左右两 种，b,c也如此．
所以共有６！＊２＊２＊２＝５７６０种．
将0到299的整数都看成三位数，其中数字3不 出现的，百位数字可以是0，1或2三种情况。十位 数字与个位数字均有九种，因此除去0共有
3×9×9－1=242(个)．
2021/7/26
12
例10、
在小于10000的自然数中，含有数字1的数有 多少个？
不妨将0至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到 四位的自然数在前面补0,使之成为四位数。
所以符合题意的个数为：
1× P18× P28＝448
2021/7/26
19
例4、用0、1、2、3、4、5六个数字，可以 组成多少个没有重复数字的三位偶数？
1.个位为0,十位为1、2、3、4、5中的一个，百位为剩下的 四个数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P15×P14
2.个位为2,百位为1、3、4、5中的一个，十位为剩下的四个 数字中的一个，所以这样的偶数共有1×P14×P14
2021/7/26
10
例8、求正整数1400的正因数的个
数．
因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个 数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的 连乘积1400=23527.所以这个数的任何一个正因数都是由2， 5，7中的若干个相乘而得到(有的可重复)。
于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤 完成的：
排列组合经典例题总结ppt课件
邻, 共有多少种不同的排法.
解：要可求先将某甲几乙个两元元素素必捆须绑排成整在体一并起看的成问题,
一个复合元素，同时丙丁也看成一个
可以复用合捆元绑素法，来再解与决其问它元题素.即进将行排需列要，相
邻的同元时素对合相并邻为元一素个内元部进素行,再自与排。其它元 素一起作排列甲,同乙时要丙注丁意合并元素内
取出的4点不共面情形复杂，故采用间接 法。取出的4点共面有三类：
（1）过四面体的一个面有4C64 种；
（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱
的中点的平面有6种；
（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平
行的平面有3种；
故取4个不共面的点有
C4 10
-
(4C64 + 6 + 3) = 141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成
将n个在一相９排同个。的空相元档邻素中名分选额６成之个间m份位形（置成n插９，个个m隔空为板隙正，。 整数）可,把每名份额至分少成一７份个，元对素应,可地分以给用７m-个
11块个隔空班共板隙级有， 中，__插 ，每__入 所一_C_有n种_96个_分插__元板_法种素方数分排法为法成对。一应Cn一m排--11种的分n-法
解： ( CA52C22 32 ).A33 90
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不 同的盒子中，共有多少种不同的方法？
解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解：小球数 隔板数 7 3 10 共有不同方法数C130
分配问题
隔板法
练习（2： 2）7个相同的小球，任意放入4个 不同的盒子中，每个盒子至少有1个 小球的不同放法有多少种？
解：要可求先将某甲几乙个两元元素素必捆须绑排成整在体一并起看的成问题,
一个复合元素，同时丙丁也看成一个
可以复用合捆元绑素法，来再解与决其问它元题素.即进将行排需列要，相
邻的同元时素对合相并邻为元一素个内元部进素行,再自与排。其它元 素一起作排列甲,同乙时要丙注丁意合并元素内
取出的4点不共面情形复杂，故采用间接 法。取出的4点共面有三类：
（1）过四面体的一个面有4C64 种；
（2）过四面体的一条棱上的三个点和对棱
的中点的平面有6种；
（3）过四面体的四条棱的中点且与另两条棱平
行的平面有3种；
故取4个不共面的点有
C4 10
-
(4C64 + 6 + 3) = 141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成
将n个在一相９排同个。的空相元档邻素中名分选额６成之个间m份位形（置成n插９，个个m隔空为板隙正，。 整数）可,把每名份额至分少成一７份个，元对素应,可地分以给用７m-个
11块个隔空班共板隙级有， 中，__插 ，每__入 所一_C_有n种_96个_分插__元板_法种素方数分排法为法成对。一应Cn一m排--11种的分n-法
解： ( CA52C22 32 ).A33 90
分配问题
练习2：
隔板法
（1）7个相同的小球，任意放入4个不 同的盒子中，共有多少种不同的方法？
解：相当于将7个小球用3块隔板分成4份
解：小球数 隔板数 7 3 10 共有不同方法数C130
分配问题
隔板法
练习（2： 2）7个相同的小球，任意放入4个 不同的盒子中，每个盒子至少有1个 小球的不同放法有多少种？
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
排列组合的21种经典题型及解法
排列组合的21种经典题型及解法1.单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。
2.多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。
解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。
3.判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。
4.填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。
5.问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。
6.排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。
解法：根据题目的问题和给定的佶息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。
7.计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。
解法:根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。
8.简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。
解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。
9.完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。
10.阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。
解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。
11.词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。
解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。
12.语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。
排列组合公式演示文稿
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
第十七页，共121页。
几个记号
下阶乘函数
[x]n x(x 1)(x n 1)
上阶乘函数 [x]n x(x 1)(x n 1)
[ ]n ( 1)( n 1)
Cn
n
[ ]n
n!
(
1)(
n!
n 1)
第十八页，共121页。
计算
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。
• 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类，k 个物体属于第二类，… ，k个物体属于第(k-1)! 类。
第三十二页，共121页。
推论
• 多项式(x1+x2+…+xr)n的展开式中有 的系x1数n1 x为2n2 xr。nr
(2x1 3x2 5x3 )6
• k=0时
第四十九页，共121页。
例题
• 书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使
得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？
第五十页，共121页。
7、圆排列
• n个元素的r-无重圆排列数
• 圆排列与线排列的区别 • 计算
第五十一页，共121页。
例题
例1 把20个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子的方式
• 求解方法1 • 求解方法2
第三十页，共121页。
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方 式？
13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个，则有 多少种不同的方式？
7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++
排列组合PPT 演示文稿
件的排法共有A44A53=1440种不同排法.
(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种 不同的排法？
(3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人， 有多少种不同的排法？ 解析：甲、乙2人先排好，有A22种排法,
再从余下5人中选3个排在甲、乙2人中间, 有A53种排法, 这时把已排好的5人视为一
这时是5个元素的全排列，应有A5 种排
法，由乘法原理，有A33A55种=720种不 同排法.
(2) 任何两个女同学彼此不相邻, 有多少种不同的排法？ 解析：先将男生排好, 共有A44种排法,
再在这4个男生的中间及两头的5个空档
中插入3个女生有A53种方案, 故符合条 件的排法共有A44A53=1440种不同排法.
法，由乘法原理，有A33A55种=720种不 同排法.
(1) 3个女同学必须排在一起，有多 少种不同的排法？ 解析：3个女同学是特殊元素，我们 先把她们排好，共有A33种排法；由于3
元素相邻问题，一般用“捆绑法”,先把相 个女同学必须排在一起，我们可视排好
邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与 的女同学为一整体，再与甲同学排队， 其它元素全排列，然后再松绑，将这若干 个元素内部全排列。 5
(2) 任何两个女同学彼此不相邻, 有多少种不同的排法？ 解析：先将男生排好, 共有A44种排法,
• 元素不相邻，一般用“插空法”，先将不 再在这 4个男生的中间及两头的5个空档 相邻元素以外的“普通”元素全排列，然 后在普通元素之间或两端插入不相邻的元 中插入 3个女生有A53种方案, 故符合条 素。
1 2 3 n
定 义
两个原理是学好排列组合的金钥匙，
相同 点 不同 点
必须搞清两者的区别与联系，如何 灵活利用这两个原理对问题进行分
排列组合的综合运用(PPT)4-2
例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里， 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆中，问有多少不同的种法？
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目 的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个 舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
例7 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
解 不加任何限制条件,整个排法有 种A99,“语文安排在数 学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相 等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种12 .A99 结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否 定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出 全体,就可以得到所求.
小结：当某几个元素要的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插空法。
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，
其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两
方钮中间，有多少种装法？
捆绑法
的符号。 按照IUPAC的指引，D 或 H 和 T 或 H 都可以使用，但推荐使用 H 和 H(同位素相对原子质量不同），生活中通常使用氕。 氢在自然界中存在的同 位素有： 氢的同位素氕的电子排布 氢的同位素氕的电子排布 氕（piē）（氢，H） 氘（dāo）（氢，重氢，D） 氚（chuān）（氢，超重氢，T） 以人工方法 合成的同位素有： 氢4、氢、氢、氢7 氕（氢-） 氕； 快乐作文培训加盟 快乐作文培训加盟 ；的原子核只有一个质子，丰度达 . % ，是 构造第二简单的的原子。 氘（氢-） 氘为氢的一种稳定形态同位素，也被称为重氢，元素符号一般为H或D。它的原子核由一颗质子和一颗中子组成。在大自 然的含量约为一般氢的7分之一。氢（H）的同位素,其相对原子质量为普通轻氢的二倍,少量的存在于天然水中,用于核反应,并在化学和生物学的研究工作中作 示踪原子（deuterium）——亦称“重氢”,元素符号D。 氚（氢-） 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，元素符号为T或H。它的原子核由一颗质子和两颗中 子所组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期为.4年。自然界中存在极微，从核反应制得。主要用于热核反应。 氢-4 氢-4是氢的同位素之一，它包含 了质子和三个中子。在实验室里，是用氘的原子核来轰炸氚的原子核，来合成一个氢4的原子核。在这过程中，氚的原子核会从氘的原子核上吸收一个中子。 氢4的质量为4.7 U，半衰期为 . ×-秒。 氢-4. 氢-4.结构上类似氦，它包含了个质子和个中子，但因其中一个电子是渺子，但由于渺子的轨道特殊，轨道非常 接近原子核，而最内侧的电子轨道与渺子的轨道相较之下在很外侧，因此，该渺子可视为原子核的一部份，所以整个原子可视为：原子核由个渺子、个质子 和个中子组成、外侧只有一个电子，因此可以视为一种氢的同位素，也是一种奇异原子。一个渺子重约.U，故名氢- 4.（4.H）。氢-4.原子可以与其他元素反 应，和行为更像一个氢原子不是像惰性的氦原子。 氢- 氢-是氢的同位素之一，它的原子核包含了四个中子和一个质子，在实验室里用一个氚的原子核来轰炸 氚，这让氚吸收两个氚原子核的质子而形成了氢。氢的半衰期非常短，只有. ×-秒。 氢- 氢-是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和五个中子，半衰 期为×-秒。 氢-7 氢-7是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和六个中子， 图表 符号 质子数 中子数 原子质量单位(u) 半衰期 原子核自旋 丰度 丰度 的变化率 H .7,,,7() 稳
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目 的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个 舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
例7 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
解 不加任何限制条件,整个排法有 种A99,“语文安排在数 学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相 等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种12 .A99 结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否 定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出 全体,就可以得到所求.
小结：当某几个元素要的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插空法。
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，
其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两
方钮中间，有多少种装法？
捆绑法
的符号。 按照IUPAC的指引，D 或 H 和 T 或 H 都可以使用，但推荐使用 H 和 H(同位素相对原子质量不同），生活中通常使用氕。 氢在自然界中存在的同 位素有： 氢的同位素氕的电子排布 氢的同位素氕的电子排布 氕（piē）（氢，H） 氘（dāo）（氢，重氢，D） 氚（chuān）（氢，超重氢，T） 以人工方法 合成的同位素有： 氢4、氢、氢、氢7 氕（氢-） 氕； 快乐作文培训加盟 快乐作文培训加盟 ；的原子核只有一个质子，丰度达 . % ，是 构造第二简单的的原子。 氘（氢-） 氘为氢的一种稳定形态同位素，也被称为重氢，元素符号一般为H或D。它的原子核由一颗质子和一颗中子组成。在大自 然的含量约为一般氢的7分之一。氢（H）的同位素,其相对原子质量为普通轻氢的二倍,少量的存在于天然水中,用于核反应,并在化学和生物学的研究工作中作 示踪原子（deuterium）——亦称“重氢”,元素符号D。 氚（氢-） 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，元素符号为T或H。它的原子核由一颗质子和两颗中 子所组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期为.4年。自然界中存在极微，从核反应制得。主要用于热核反应。 氢-4 氢-4是氢的同位素之一，它包含 了质子和三个中子。在实验室里，是用氘的原子核来轰炸氚的原子核，来合成一个氢4的原子核。在这过程中，氚的原子核会从氘的原子核上吸收一个中子。 氢4的质量为4.7 U，半衰期为 . ×-秒。 氢-4. 氢-4.结构上类似氦，它包含了个质子和个中子，但因其中一个电子是渺子，但由于渺子的轨道特殊，轨道非常 接近原子核，而最内侧的电子轨道与渺子的轨道相较之下在很外侧，因此，该渺子可视为原子核的一部份，所以整个原子可视为：原子核由个渺子、个质子 和个中子组成、外侧只有一个电子，因此可以视为一种氢的同位素，也是一种奇异原子。一个渺子重约.U，故名氢- 4.（4.H）。氢-4.原子可以与其他元素反 应，和行为更像一个氢原子不是像惰性的氦原子。 氢- 氢-是氢的同位素之一，它的原子核包含了四个中子和一个质子，在实验室里用一个氚的原子核来轰炸 氚，这让氚吸收两个氚原子核的质子而形成了氢。氢的半衰期非常短，只有. ×-秒。 氢- 氢-是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和五个中子，半衰 期为×-秒。 氢-7 氢-7是不稳定的氢同位素之一，它包含了一个质子和六个中子， 图表 符号 质子数 中子数 原子质量单位(u) 半衰期 原子核自旋 丰度 丰度 的变化率 H .7,,,7() 稳
排列组合应用题解法PPT优质课件
第二步排其余的位置：有P44种排法共有P53P44种不同的排 解二：第一步由葵花去占位：有P42种排法第二步由其余元素占位：
有P55种排法
共有P42P55种不同的排法
小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要
求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再
按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
B°1 B C °C2 °C1
两点， 因此每一个圆内的三角形 决定圆周 B2
上6个点，反之，如在圆周上任取6个点，也
可用上述方法找出三对点，每对点之间连线
段，这三线段相交成一个圆内三角形
所以，上述问题转化为在圆周上取6个点就能组成一圆内
三角形，从圆周上n个点中选6个点的组合数
C
6 n
就是圆
内三角形的个数。
P
3 5
，所以排法的种数
为 P55 P53。
小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限 制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插入法。
2020/12/8
4
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，其中 3个方按 钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两方钮 中间，有多少种装法？
小结：对于某些问题如果直接去考虑，就会比较复杂，若 能转化为与其等价的问题，就变得简单，容易解决，这种 方法叫转化法。
2020/12/8
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例7：①在从2，3，5，7，11，13这六个数字中任选两个，分 别作分子，分母的分数中，真分数有几个？
真分真数分数 3 2 ,5 2 ,7 2 ,1 2 ,1 2 1 ,5 3 3 ,7 3 ,1 3 ,1 3 1 ,7 5 3 ,1 5 ,1 5 1 ,1 7 3 ,1 7 1 ,1 1 3
排列组合综合应用题PPT优秀课件
再考虑每一类中要如何安排棒数？ 第一类无甲乙情况：可把4人全排列，有A44 种； 第二类甲乙只有一人情况：甲或乙 先考虑有A21 种余下的三人全排列有A33种；第三类甲乙都有的 情况：先考虑甲乙有A22种，余下的有A22种。
所以，第一类有C54.A44种,第二类有2C53.A21.A32 种,第三类有C52.A22.A22种。由加法原理；总的安排方法有
解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
注意问题：
排列组合、不重不漏
解题方法：
互斥分类----------分类法 先后有序----------位置法 反面明了----------排除法 相邻排列----------捆绑法 分离排列----------插空法
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一.排列组合综合问题
分配问题
例1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的分 法种数。
分析：从7人中选出4人分别安排在第一、二、三、四棒这 个事，与组合和排列都有关，这里对甲、乙又有特殊的要求， 这就有几种不同的情况，所以要分类考虑，先考虑4人的选 取有几类？再考虑谁跑哪棒。
直接法：先组： 分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种； 第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲 又有乙。有C52种。
解： ① （解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两端有 A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。由乘法 共有A22. A33=12(种)排法。
点评：问题①是排列问题中某几个元素必须“在”某些位置 的问题，处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置 优先考虑 。(优限法)
解： ② （解题思路1）先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种，由乘法原理:
排列组合解题技巧课件
值法。
解题步骤：首 先确定特殊值， 然后根据特殊 值的特性进行
计算。
注意事项：特 殊值的选择要 合理，不能随
意选取。
构造法
定义：根据题目的要求，通过构造模型或图形来解决问题的方法。
应用场景：适用于解决排列组合问题中的计数问题。
解题步骤：首先分析题目，确定需要构造的模型或图形，然后根据模型或图形的特点，选择合适 的构造方法，最后计算出结果。
多做练习，提高解题能力
反思总结：在练习过程中不 断反思和总结，发现自己的 不足并加以改进
大量练习：通过不断的练习， 熟悉排列组合的解题思路和 技巧
刻意练习：有针对性地进行 练习，针对自己的薄弱环节
进行强化训练
持续学习：不断学习新的解 题技巧和方法，提高自己的
解题能力
THANK YOU
汇报人：XX
解题思路：先考虑相邻元素之间的顺序，再对其他元素进行排列组合。
常见题型：如将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都 不空，则不同的放法种数为多少。 注意事项：在解决相邻问题时，需要注意元素之间的顺序要求，避免出 现重复或遗漏的情况。
相同元素问题
相同元素在排列组合中的 处理方式
相同元素的排列组合计算 公式
排列组合解题技巧总结
熟悉基本概念和公式
理解排列组合的 定义和公式
掌握排列组合的 常用公式和定理
了解排列组合的 常见题型和解题 思路
掌握排列组合的 解题技巧和注意 事项
掌握解题思路和方法
分析问题，确定使用哪种解 题方法
理解排列组合的概念和公式
掌握常见的解题技巧，如插 空法、捆绑法等
练习经典例题，加深理解和 应用
排列组合解题技巧
汇报人：XX
解题步骤：首 先确定特殊值， 然后根据特殊 值的特性进行
计算。
注意事项：特 殊值的选择要 合理，不能随
意选取。
构造法
定义：根据题目的要求，通过构造模型或图形来解决问题的方法。
应用场景：适用于解决排列组合问题中的计数问题。
解题步骤：首先分析题目，确定需要构造的模型或图形，然后根据模型或图形的特点，选择合适 的构造方法，最后计算出结果。
多做练习，提高解题能力
反思总结：在练习过程中不 断反思和总结，发现自己的 不足并加以改进
大量练习：通过不断的练习， 熟悉排列组合的解题思路和 技巧
刻意练习：有针对性地进行 练习，针对自己的薄弱环节
进行强化训练
持续学习：不断学习新的解 题技巧和方法，提高自己的
解题能力
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解题思路：先考虑相邻元素之间的顺序，再对其他元素进行排列组合。
常见题型：如将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都 不空，则不同的放法种数为多少。 注意事项：在解决相邻问题时，需要注意元素之间的顺序要求，避免出 现重复或遗漏的情况。
相同元素问题
相同元素在排列组合中的 处理方式
相同元素的排列组合计算 公式
排列组合解题技巧总结
熟悉基本概念和公式
理解排列组合的 定义和公式
掌握排列组合的 常用公式和定理
了解排列组合的 常见题型和解题 思路
掌握排列组合的 解题技巧和注意 事项
掌握解题思路和方法
分析问题，确定使用哪种解 题方法
理解排列组合的概念和公式
掌握常见的解题技巧，如插 空法、捆绑法等
练习经典例题，加深理解和 应用
排列组合解题技巧
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D · C · B· · A· O · · · ·
M
例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法? 例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人， 每人2本；(2)分为三份，每份2本；（3）分 为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人 2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人， 每人至少1本
例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路 灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯 关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在 两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的 出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？
(1)无任何限制条件； (3)只有2件正品； (5)至多有2件次品； (2)全是正品； (4)至少有1件次品；
(6)次品最多.
例3 在∠MON的边OM上有5个异于O点的点, ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为 顶点,可以得到多少个三角形? E N
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一 班
二 班
三 班
四 班
五 班
六 班
七 班
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C
m 1 n 1
例3．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少 一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分 成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法 6 对应一种分法,共有___________种分法。 C
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例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法? 例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人， 每人2本；(2)分为三份，每份2本；（3）分 为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人 2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人， 每人至少1本
例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路 灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯 关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在 两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的 出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？
(1)无任何限制条件； (3)只有2件正品； (5)至多有2件次品； (2)全是正品； (4)至少有1件次品；
(6)次品最多.
例3 在∠MON的边OM上有5个异于O点的点, ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为 顶点,可以得到多少个三角形? E N
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一 班
二 班
三 班
四 班
五 班
六 班
七 班
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C
m 1 n 1
例3．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少 一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分 成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法 6 对应一种分法,共有___________种分法。 C