共面向量定理-苏教版高二数学选修2-1讲义

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苏教版高二数学选修2-1讲义(含答案)：第1部分第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理

.3.1.3 空间向量基本定理[对应学生用书P53]空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m ，再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m ”、“东600 m ”、“5楼”这三个量确定，设e 1是向南的单位向量，e 2是向东的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来．提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r.基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e 1，e 2，e 3不共面时，空间任何一向量才可以用e 1，e 2，e 3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54]基底的概念[例1] 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．[思路点拨] 判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．[一点通] 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a ，b ，c }下，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB u u u r ，b ＝1AA u u u u r ，c ＝AD u u u r ，则x ＝1AB u u u u r ，y ＝1AD u u u u r ，z ＝AC u u u r ，a ＋b ＋c ＝1AC u u u u r.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA u u u r ＝e 1＋2e 2－e 3，OB u u u r＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC u u u r ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD u u u r＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA u u u r＝x OB u u u r ＋y OC u u u r成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3) ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA u u u r ＝x OB u u u r ＋y OC u u u r ， ∴OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r不共面．故{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r}能作为空间的一个基底，设OD u u u r ＝p OA u u u r ＋q OB u u u r ＋z OC u u u r，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3) ＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底， ∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30.∴OD u u u r ＝17OA u u u r －5OB u u u r －30OC u u u r.用基底表示向量[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，OC u u u r＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH u u u r .[思路点拨] GH u u u r ＝OH u u u r －OG u u u r →用OD u u u r 表示OH u u u r →用OB u u u r、OC u u u r 表示OD u u u r ，用OA u u u r 、AG u u u r 表示OG u u u r →用AD u u u r 表示AG u u u r →用OD u u u r 、OA u u u r 表示AD u u u r→用OB u u u r 、OC u u u r 表示OD u u u r[精解详析] GH u u u r ＝OH u u u r －OG u u u r ，∵OH u u u r ＝23OD u u u r，∴OH u u u r ＝23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13(b ＋c )，OG u u u r ＝OA u u u r ＋AG u u u r ＝OA u u u r ＋23AD u u u r＝OA u u u r ＋23(OD u u u r －OA u u u r )＝13OA u u u r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13a ＋13(b ＋c )， ∴GH u u u r ＝13(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ，即GH u u u r ＝－13a .[一点通]用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD 'u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r ； (2)AE u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r .解：(1)∵BD 'u u u r ＝BD u u u r ＋DD 'u u u u r＝BA u u u r ＋BC u u u r ＋DD 'u u u u r＝－AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA 'u u u r ，又BD 'u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE u u u r ＝AA 'u u u r ＋A E 'u u u u r ＝AA 'u u u r ＋12A C ''u u u ur＝AA 'u u u r ＋12(A B ''u u u u r ＋A D ''u u u u r )＝AA 'u u u r ＋12A B ''u u u u r ＋12A D ''u u u u r＝12AD u u ur ＋12AB u u u r ＋AA 'u u u r 又AE u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z AA 'u u u r∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.4．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA u u u r ＝a ，OC u u u r ＝b ，OP u u u r＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF u u u r ，BE u u u r ，AE u u u r ，EF u u u r.解：连接BO ，则BF u u u r ＝12BP u u u r ＝12(BO u u u r ＋OP u u u r )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .BE u u u r ＝BC u u u r ＋CE u u u r ＝－a ＋12CP u u u r ＝－a ＋12(CO u u u r ＋OP u u u r )＝－a －12b ＋12c .AE u u u r ＝AP u u u r ＋PE u u u r ＝AO u u u r ＋OP u u u r ＋12(PO u u u r ＋OC u u u r )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c . EF u u u r ＝12CB u u ur ＝12OA u u u r ＝12a.空间向量基本定理的应用[例3] 证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨] 利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O 是AC 1的中点，则AO u u u r ＝121AC u u u u r＝12(AB u u ur ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ) ＝12(AB u u ur ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )，设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点，则AP u u u r ＝AB u u u r ＋BP u u u r ＝AB u u u r ＋121BD u u u u r＝AB u u u r ＋12(BA u u u r ＋AD u u u r ＋1DD u u u ur )＝AB u u u r ＋12(－AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋AA u u u r1)，同理可证：AM u u u u r ＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r )，AN u u u r ＝12(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r )．由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．[一点通]用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤： (1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底； (3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r ＝21AC u u u u r.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r， 1AB u u u u r ＝AB u u u r ＋1AA u u u u r ，1AD u u u u r ＝AD u u u r ＋1AA u u u u r ，∴AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r＝(AB u u u r ＋AD u u u r )＋(AB u u u r ＋1AA u u u u r )＋(1AD u u u u r ＋1AA u u u u r )＝2(AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u uu r )，又1AA u u u u r ＝1CC u u u u r ，AD u u u r ＝BC u u ur ，∴AB u u u r ＋AD u u u r ＋1AA u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋1CC u u u u r ＝1AC u u u u r， ∴AC u u u r ＋1AB u u u u r ＋1AD u u u u r ＝21AC u u u u r .6．如图，M 、N 分别是四面体O -ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r 表示OP u u u r 和OQ u u u r .解：OP u u u r ＝OM u u u u r ＋MP u u u r ＝12OA u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u uu r ＋23(ON u u u r －OM u u u u r )＝12OA u u u r ＋23(ON u u u r －12OA u u u r ) ＝16OA u uu r ＋23×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝16OA u u u r ＋13OB u u u r ＋13OC u u u r . OQ u u u r ＝OM u u u u r ＋MQ u u u u r ＝12OA u u u r ＋13MN u u u u r＝12OA u uu r ＋13(ON u u u r －OM u u u u r )＝12OA u u u r ＋13(ON u u u r －12OA u u u r ) ＝13OA u uu r ＋13×12(OB u u u r ＋OC u u u r )＝13OA u u u r ＋16OB u u u r ＋16OC u u u r .1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：42.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE u u u r ＝12OD u u ur ＋x OB u u u r ＋y OA u u u r ，则x ＝________，y ＝________.解析：∵AE u u u r ＝OE u u ur －OA u u u r ＝12OC u u ur －OA u u u r ＝12(OD u u ur ＋DC u u u r )－OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12AB u u u r －OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12(OB u u u r －OA u u u r )－OA u u u r ＝12OD u u ur ＋12OB u u u r －32OA u u u r ， ∴x ＝12，y ＝－32.答案：12 －323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G是MN 的中点，取{OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r }为基底，则OG u u u r＝________.解析：如图，OG u u u r ＝12(OM u u u u r ＋ON u u u r)＝12OM u u uu r ＋12×12(OB u u u r ＋OC u u u r ) ＝14OA u uu r ＋14OB u u u r ＋14OC u u u r ＝14(OA u uu r ＋OB u u u r ＋OC u u u r )．答案：14(OA u uu r ＋OB u u u r ＋OC u u u r )4．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC 'u u u u r ＝x AB u u u r＋2y BC u u u r －3z CC 'u u u r ，则x ＋y＋z ＝________.解析：∵AC 'u u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＋CC 'u u u r ＝x AB u u u r＋2y BC u u u r －3z CC 'u u u r ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1，即x ＝1，y ＝12，z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面， ∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3. 又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，解得⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC和A 1D 的一个三等分点，且AM MC ＝12，A 1NND＝2，设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u u r ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u u r .解：如图所示，连接AN ，则MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r由ABCD 是平行四边形，可知AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r＝a ＋b ， MA u u u r ＝－13AC u u u r ＝－13(a ＋b )． ND u u u r ＝131A D u u u u r ＝13(b －c )，AN u u u r ＝AD u u u r ＋DN u u u r ＝AD u u u r －ND u u u r ＝b －13(b －c )＝13(c ＋2b )，所以MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r＝－13(a ＋b )＋13(c ＋2b )＝13(－a ＋b ＋c )． 8．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA u u u r ＝a ，OC u u u r ＝b ，OO 'u u u r＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB 'u u u r 、O B 'u u u u r 、AC 'u u u u r ； (2)GH u u u r(G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB u u u r ′＝OB u u u r ＋BB 'u u u r ＝OA u u ur ＋OC u u u r ＋OO 'u u u r ＝a ＋b ＋c ， O B 'u u u u r ＝O O 'u u u u r ＋OB u u u r ＝O O 'u u u u r ＋OA u u u r ＋OC u u u r ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC 'u u u u r ＝AC u u u r ＋CC u u u r ′＝AB u u u r ＋AO u u u r ＋AA 'u u u r＝OC u u u r ＋AA 'u u u r －OA u u ur ＝b ＋c －a . (2)GH u u u r ＝GO u u u r ＋OH u u u r ＝－OG u u u r ＋OH u u u r＝－12(OB u u ur ′＋OC u u u r )＋12(OB 'u u u r ＋OO 'u u u r )＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．。

数学选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.2

3.1.2 共面向量定理学习目标 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．知识点一共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．知识点二共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，即向量p 可以由两个不共线的向量a ，b 线性表示．知识点三空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O ，存在实数x ，y ，z 使得OA →＝xOB →＋yOC →＋zOD →，且x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则A ，B ，C ，D 四点共面．1．实数与向量之间可进行加法、减法运算．(×) 2．空间中任意三个向量一定是共面向量．(×) 3．若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.(×)类型一向量共面的判定例1 给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB ，BC ，CD ，DA 分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x ，y )使得OP →＝xOA →＋yOB →，则O ，P ，A ，B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面．其中正确命题的序号是________．答案 ③解析 ①错，空间中任意两个向量都是共面的；②错，因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确，因为OP →，OA →，OB →共面， ∴O ，P ，A ，B 四点共面； ④错，没有强调零向量；⑤错，例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．反思与感悟共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．跟踪训练1 下列说法正确的是________．(填序号) ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是AB →，AA 1—→，AD →，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB →＋AA 1—→＋AD →；③若OP →＝12(P A →＋PB →)成立，则P 点一定是线段AB 的中点；④在空间中，若向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共面；⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面．答案 ④类型二向量共面的证明例2 如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，点H 为PC 上的点，且PH HC ＝12，点G 在AH 上，且AGAH＝m ，若G ，B ，P ，D 四点共面，求m 的值．考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用解连结BG .因为AB →＝PB →－P A →，AB →＝DC →，所以DC →＝PB →－P A →，因为PC →＝PD →＋DC →，所以PC →＝PD →＋PB →－P A →＝－P A →＋PB →＋PD →. 因为PH HC ＝12，所以PH →＝13PC →，所以PH →＝13(－P A →＋PB →＋PD →)＝－13P A →＋13PB →＋13PD →.又因为AH →＝PH →－P A →，所以AH →＝－43P A →＋13PB →＋13PD →，因为AGAH＝m ，所以AG →＝mAH →＝－4m 3P A →＋m 3PB →＋m 3PD →，因为BG →＝－AB →＋AG →＝P A →－PB →＋AG →，所以BG →＝⎝⎛⎭⎫1－4m 3P A →＋⎝⎛⎭⎫m 3－1PB →＋m 3PD →. 又因为G ，B ，P ，D 四点共面，所以1－4m 3＝0，m ＝34.即m 的值是34.反思与感悟利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B —→，B 1C —→，EF →是共面向量．证明 EF →＝EB →＋BA 1—→＋A 1F —→＝12B 1B —→－A 1B —→＋12A 1D 1—→ ＝12(B 1B —→＋BC →)－A 1B —→＝12B 1C —→－A 1B —→. 又B 1C —→，A 1B —→不共线，由向量共面的充要条件知，A 1B —→，B 1C —→，EF →是共面向量．类型三共面向量定理的应用例3 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD .证明记AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1—→＝c ，则AB 1—→＝a ＋c ，DB →＝AB →－AD →＝a －12b ，DC 1—→＝DC →＋CC 1—→＝12b ＋c ，所以DB →＋DC 1—→＝a ＋c ＝AB 1—→，又DB →与DC 1—→不共线，所以AB 1—→，DB →，DC 1—→共面．又由于AB 1⊄平面C 1BD ，所以AB 1∥平面C 1BD .反思与感悟在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪训练3 如图所示，已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1—→＝c ，在面对角线AC 1上和棱BC 上分别取点M ，N ，使AM →＝kAC 1—→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB 1A 1.证明 AM →＝k ·AC 1—→＝k (AA 1—→＋AC →)＝k b ＋k c ，又∵AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ，∴MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b －k b －k c ＝(1－k )a －k c .又a 与c 不共线． ∴MN →与向量a ，c 是共面向量．又MN ⊄平面ABB 1A 1， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为________．答案 1解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0时，则有无数多个λ使之成立． 2．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．答案 13解析由题意知，x ＋13＋13＝1，所以x ＝13.3．下列命题中，正确命题的个数为________． ①若a ∥b ，则a 与b 方向相同或相反； ②若AB →＝CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；③若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )．答案 0解析当a ，b 中有零向量时，①不正确；AB →＝CD →时，A ，B ，C ，D 四点共面不一定共线，故②不正确；由p ，a ，b 共面的充要条件知，当p ，a ，b 共面时才满足p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，故③不正确．4．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________. 答案215解析 ∵P 与A ，B ，C 共面．∴AP →＝αAB →＋βAC →，∴AP →＝α(OB →－OA →)＋β(OC →－OA →)，即OP →＝OA →＋αOB →－αOA →＋βOC →－βOA →＝(1－α－β)OA →＋αOB →＋βOC →， ∴1－α－β＋α＋β＝1.因此15＋23＋λ＝1，解得λ＝215.共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a ，b 总是共面向量，空间中三个向量a ，b ，c 则不一定共面． (2)空间中四点共面的条件空间点P 位于平面MAB 内，则存在有序实数对x ，y 使得MP →＝xMA →＋yMB →，①此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA →，MB →实质就是平面MAB 内平面向量的一组基底．另外有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →，②或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)，③①②③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、填空题1．设a ，b 是两个不共线的向量，λ，μ∈R ，若λa ＋μb ＝0，则λ＝________，μ＝________. 答案 0 0解析 ∵a ，b 是两个不共线的向量， ∴a ≠0，b ≠0，∴λ＝μ＝0.2．下列结论中，正确的是________．(填序号) ①若a ，b ，c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a ，b ，c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ③若a ，b ，c 共面，b ，c 不共线，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c . 答案 ②③解析要注意共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第②个命题正确；但定理的应用又有一个前提：b ，c 是不共线向量，否则即使三个向量a ，b ，c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确；③正确．3．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是________．答案共面向量解析如果a ，b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a ，b,3a －2b 共面；若a ，b 共线，则a ，b,3a －2b 共线，当然也共面．4.如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF＝23DD 1，若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 13解析 EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1—→－AB →－13BB 1—→＝AD →－AB →＋13AA 1—→.∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.5．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB →＝i －2j ＋2k ，BC →＝2i ＋j －3k ，CD →＝λi ＋3j －5k ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为________．答案 1解析若A ，B ，C ，D 四点共面，则向量AB →，BC →，CD →共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得aAB →＋bBC →＋cCD →＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0， ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.6.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案－23a ＋12b ＋12c解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC →＝13a ＋(b －a )＋12(OC →－OB →)＝13a ＋(b －a )＋12(c －b ) ＝－23a ＋12b ＋12c .7．平面α内有五点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y ＝________.答案 76解析由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.8．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(3，－4,2)，c ＝(7，λ，5)，若a ，b ，c 共面，则实数λ的值为________．答案－12313解析易得c ＝t a ＋μb ＝(－2t ＋3μ，t －4μ，3t ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧7＝－2t ＋3μ，5＝3t ＋2μ，λ＝t －4μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝113，μ＝3113，λ＝－12313，故λ的值为－12313.9．已知P ，A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O 都有OP →＝2OA →＋43OB →＋λOC →，则λ＝________.答案－73解析因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1，所以2＋43＋λ＝1，得λ＝－73.10．已知i ，j ，k 是不共面向量，a ＝2i －j ＋3k ，b ＝－i ＋4j －2k ，c ＝7i ＋5j ＋λk ，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________. 答案657解析 ∵a ，b ，c 三向量共面， ∴存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ，即7i ＋5j ＋λk ＝m (2i －j ＋3k )＋n (－i ＋4j －2k )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，∴λ＝657.11．在以下命题中，不正确的命题的个数为________．①已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．答案 3解析 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0，①正确；若a ，b 同向共线，则|a |－|b |<|a ＋b |，故②不正确；由向量平行知③不正确；由空间向量共面知④不正确．故共有3个命题不正确．二、解答题12.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：向量MN →，CD →，DE →共面．证明因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．13．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 共面．证明方法一令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0，则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，μ＝1，v ＝1是其中一组解，则－5AB →＋AC →＋AD →＝0，所以A ，B ，C ，D 共面．方法二观察可得AC →＋AD →＝(2e 1＋8e 2)＋(3e 1－3e 2)＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，所以AB →＝15AC →＋15AD →.由共面向量知，AB →，AC →，AD →共面．又它们有公共点A ，所以A ，B ，C ，D 四点共面．三、探究与拓展14．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝12GB ，过E ，F ，G 三点的平面与对角线AC 1交于点P ，则AP ∶PC 1＝________.答案 316解析设AP →＝m AC 1—→，因为AC 1—→＝AB →＋BB 1—→＋B 1C 1—→＝AB →＋AA 1—→＋AD →＝3AG →＋43AE →＋2AF →，所以AP →＝3mAG →＋43mAE →＋2mAF →，又因为E 、F 、G 、P 四点共面，所以3m ＋43m ＋2m ＝1，所以m ＝319，所以AP ∶PC 1＝3∶16. 15.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C —→，OD →，OC 1—→是共面向量．证明设C 1B 1—→＝a ，C 1D 1—→＝b ，C 1C —→＝c ，∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴B 1C —→＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，∴C 1O —→＝12(a ＋b )， ∴OC 1—→＝－12(a ＋b )， OD 1—→＝C 1D 1—→－C 1O —→＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )． ∵D 1D 綊C 1C ，∴D 1D —→＝c ，∴OD →＝OD 1—→＋D 1D —→＝12(b －a )＋c . 若存在实数x ，y ，使B 1C —→＝xOD →＋yOC 1—→ (x ，y ∈R )成立，则c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c ＋y ⎣⎡⎦⎤－12(a ＋b )＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c . ∵a ，b ，c 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12(x ＋y )＝1，12(x －y )＝0，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴B 1C →＝OD →＋OC 1—→，又OD →与OC 1—→不共线， ∴B 1C →，OD →，OC 1—→是共面向量．。

2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1课件：第1部分第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理

即可．
uuur
uuur uuur
(2)要证 BD∥平面 EFGH，只需证向量BD与向量FH 、EG
共面即可．
[精解详析] (1)如图所示，连接BG，EG，则：
uuur EG
＝
uuur EB
＋
uuur BG
＝
uEuBur ＋12(
uuur BC
uuur ＋ BD )
uuur uuur uuur uuur uuur ＝ EB＋ BF ＋ EH ＝ EF ＋ EH .
中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝
1 3
BB1，DF
＝23DD1.证明：
uuuur AC1 与
uuur AE
、
uuur AF
共面．
uuur uuur [思路点拨] 由共面向量定理，只要用 AE 、 AF 线性表示
uuuur 出 AC1 即可．
uuuur uuur uuur uuur [精解详析] ∵ AC1 ＝ AB＋ AD＋ AA1
∴FG綊BE.
∴四边形BEFG为平行四边形． ∴EF∥BG. BG⊆平面A1BD，EF 平面A1BD ∴EF∥平面A1BD. 同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，
uuur uuur uuur ∴ A1B， B1C ， EF 都与平面A1BD平行．
uuur uuur uuur ∴ A1B， B1C ， EF 是共面向量．
由共面向量定理知E，F，G，H四点共面．
uuur
uuur
uuur
(2)设 AB＝a， AC ＝b， AD＝c，
uuur uuur uuur 则 BD＝ AD－ AB＝c－a.
uuur EG
＝
uuur EA＋

苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.2 直线的方向向量与平面的法向量 Word版含解析

_3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[对应学生用书P63]直线的方向向量a1，a2，a3…a n是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…a n的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合．问题2：如何表示a1，a2…a n与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…a n与该向量共线．直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.平面的法向量直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线． 2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．3．给定一点A 和一个向量a ，那么过点A ，以向量a 为法向量的平面是惟一的．[对应学生用书P63]利用直线方向向量和平面的法向量判定线面位置关系[例1] 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系： (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝(2,2，－1)． [思路点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [精解详析] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥v ，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [一点通]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析：∵b ＝－2a ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2或e 1与e 2重合．答案：平行或重合2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)．解：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)， ∴v ＝－3u ， ∴v ∥u ，即α∥β.(3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)， ∴a ·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )，∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a ·u ＝－3＋4－1＝0， ∴a ⊥u ，即l ⊂α或l ∥α.平面的法向量的求解及应用[例2] 已知点A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，求平面ABC 的一个单位法向量． [思路点拨] 可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量． [精解详析] 由于A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，所以AB u u u r＝(－3,4,0)，AC u u u r ＝(－3,0,5)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·AB u u u r＝0，且n ·AC u u u r ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋5z ＝0.取z ＝1，得x ＝53，y ＝54，于是n ＝⎝⎛⎭⎫53，54，1.又|n |＝76912，所以平面α的单位法向量是n 0＝±⎝⎛⎭⎫20769，15769，12769. [一点通]求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量AC u u u r 、AB u u u r.(2)设平面法向量的坐标为n ＝(x ，y ，z )．(3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC u u u r ＝0，n ·AB u u u r＝0.并解答． (4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标．(常数不能为0)3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解：∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB u u u r＝(1，－2，－4)，AC u u u r ＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )．依题意应有n ·AB u u u r＝0且n ·AC u u u r ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0，且x ＝2y . 令x ＝2，则y ＝1∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．4.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC u u u r ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS u u u r＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 由题意易知向量AD u u u r ＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC u u u r ＝12x ＋y ＝0，n ·DS u u u r ＝－12x ＋z ＝0.即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有：AB u u u r 、BA u u ur 、CD u u u r 、DC u u u r 四个．(2)∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA ，又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC ，所以平面VAC 的法向量有BD u u u r 、DB u u u r两个．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．[对应课时跟踪训练(二十三)]1．若直线l ⊥平面α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫12，1，2，则m 为________．解析：∵l 的方向向量与平面α的法向量平行．∴m 12＝21＝42.∴m ＝1.答案：12．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM u u u u r·n ＝0的点M 的轨迹是________．解析：AM u u u u r ·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点A 且与向量n 垂直的平面3．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0.∴m ＝－12.答案：－124．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.解析：平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB u u u r＝(－3,4,0)，AC u u u r ＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1，故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22. 又∵a >0，∴a ＝125.答案：1255．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3y ，解得x ＝12，y ＝9.答案：12 96．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)， (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC u u u r是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任一点，试写出x 、y 、z 满足的关系式．解：(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，∴BC u u u r＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量．(2)由题意AM u u u u r＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC u u u r ⊥平面α，AM ⊂α，∴BC u u u r ⊥AM u u u u r .∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0. ∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面A 1BC 1的一个法向量；(3)若M 为CD 的中点，求平面AMD 1的一个法向量．解：以A 为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u ur ，1AA u u u u r 所在直线为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a .(1)∵平面ABCD 即为坐标平面xOy ，∴n 1＝(0,0,1)为其一个法向量． (2)∵B 1D ⊥平面A 1BC 1，又∵1B D u u u u r＝(0，a,0)－(a,0，a )＝(－a ，a ，－a )， ∴n 2＝1a1B D uu u u r ＝(－1,1，－1)为平面A 1BC 1的一个法向量．(3)设n ＝(x 0，y 0，z 0)为平面AMD 1的一个法向量，∵AM u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，1AD u u u u r＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM u u u u r ＝(x 0，y 0，z 0)·⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0＝a 2x 0＋ay 0＝0，n ·1AD u u u u r ＝(x 0，y 0，z 0)·(0，a ，a )＝ay 0＋az 0＝0.令x 0＝2，则y 0＝－1，z 0＝1，∴n ＝(2，－1,1)为平面AMD 1的一个法向量．8.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝2.(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A －xyz 中，各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，由此得1B C u u u u r ＝(0,4，－2)，1CD u u u r＝(－3,0,2)；设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥1B C u u u u r ，a ⊥1CD u u u r ，从而a ·1B C u u u u r ＝0，a ·1CD u u u r ＝0，所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，3x －2z ＝0，得到⎩⎨⎧y ＝z2，x ＝2z 3.不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1C 1D 的一个法向量．(2)由题意可得1B M u u u u r＝(x －3，y ，z －2)，因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量，所以a ⊥1B M u u u u r ，从而a ·1B M u u u u r＝0，即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24，所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.。

高中数学第七周共面向量定理教学案苏教版选修2-1

求证：MN//平面CDE
2、例2设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）
试问：P、A、B、C四点是否共面？
解题总结：
推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。
3、设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点，而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点。求证：M,N,P,Q四点共面。
2、共面向量的判定
平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有
共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件
是存在有序实数组，使得
这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。
三、数学运用
1，例1如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且 .
高二数学教学案
周次
7
课题
共面向量定理
1课时
授课形式
新授
主编
审核
教学目标
1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；
2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
重点难点
1.共面向量的含义，理解共面向量定理
2.利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
课堂结构
一、自主探究
1.在空间，我们把能内的向量叫做共面向量。
2.如果两个向量与不共线，那么向量与向量共面的充要条件是。
3对于空间的任意三个向量，，下列说法正确的是.
（1）它们一定是共面向量（2）它们一定是共线向量（3）它们一定是不共面向量

数学选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.2

高中数学苏教版选修2-1课件： 3.1.2 共面向量定理课件1

p
P
A
注 :a与 b 不共线
类比:
平面向量的基本定理：如果 e1 ，e 2 是同一
平面内的两个不共线的向量，那么对于这
一平面内的任一向量 a，有且只有一对实
数 1， 2 ，使a 1e1 2e2 。
共面向量定理：如果两个向量 a，b不共线，则向量 p与向量 a，b共面的充要条件是
共面向量定理
问题情境
D
C
想
一
想？
A
E B
如图，平行四边形ABCD中E为BC中点，
A E 可以由 AB, AD 线性表示吗？
建构数学
D1
b
A1
a B1
D
p
A
B
C1 长方体AC1中，
a AB
C
b AD
p AC
AB, AD, AC在同一平面内，此时
我们称 a , b , p 是共面向量.
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举一反三，事半功倍。
2019/7/9
最新中小学教学课件
19
谢谢欣赏！
2019/7/9
最新中小学教学课件
20
存在实数对 x，y，使 pxayb

共面向量定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)

O
D
FG EH
A
B
G
H
∴ E, F, G, H 四点共面.
E
还可以变为 OE OF
C
F
m
m
OH OG
k
k
空间中，同起点出发的四个向量 OE、
OF、
OG、
OH , 满足OE xOF yOG zOH
x y z 1 E、F、G、H四点共面
探究新知
联想：平面向量中有没有类似的结论？
点共面：
→
→
→
(1)MP＝xMA＋yMB；
→
→
→
→
(2)对空间任一点 O，OP＝OM＋xMA＋yMB；
→
→
→
→
(3)对空间任一点 O，OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)；
→
→
→
→
→
→
(4)PM∥AB(或PA∥MB，或PB∥AM).
课堂练习
1.下列命题中正确的个数是( A )
①若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线；
（1）两向量a, b共线的充要条件是b a(a非零）
共线
(2) A, B, C 三点共线的充要条件是: OA OB OC ( 1).
或 AB AC
（3）三向量a, b, c共面的充要条件是c xa yb(a, b不共线）
共面
(4) A、B、C、D 四点共面的充要条件是: OA xOB yOC zOD ( x y z 1).
A
k
k
即 OG OF OH OE
m
m
？ HG k EF

【步步高】高中数学第三章 3.1.2共面向量定理配套课件苏教版选修2-1

1 证明因为 M 在 BD 上，且 BM＝3BD， → 1 → 1 → 1→ 所以MB＝3DB＝3DA＋3AB. → 1→ 1→ 同理AN＝ AD＋ DE. 3 3
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → → → 所以MN＝MB＋BA＋AN 1 → 1 → → 1 → 1 → ＝3DA＋3AB＋BA＋3AD＋3DE 2→ 1→ 2→ 1→ ＝ BA＋ DE＝ CD＋ DE. 3 3 3 3 → → → → 又CD与DE不共线，根据向量共面的充要条件可知MN， CD， → DE共面．
∴P、A、B、C 四点共面．
研一研·问题探究、课堂更高效
小结问题：向量共面在几何中有什么应用？
答案利用向量共面可以证明四点共面，可以从以下两个方面考虑：①空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是 → → → 存在有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB；②对于空间任意一点 O，P，M，A，B 四点共面(其中 M，A，B 不共线)的 → → → → 充分必要条件是OP＝xOM＋yOA＋zOB(其中 x＋y＋z＝1)．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 如图所示，在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中， M、 N 分别是 C1C、 B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD. → → → 证明 ∵MN＝C1N－C1M 1 → 1→ 1 → 1→ → → → ＝2C1B1－2C1C＝2(D1A1－D1D)＝面面平行？
面面平行可以转化为线面平行或线线平行，然后
转化为向量问题进行证明．
研一研·问题探究、课堂更高效
例2 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF
所在的平面互相垂直，点 M，N 分别在对角 1 1 线 BD，AE 上，且 BM＝ BD，AN＝ AE. 3 3 → → → 求证：向量MN，CD，DE共面．

高二数学教案 3.1.1 共面向量定理_苏教版_选修2-1

§3.1.2 共面向量定理编写：陶美霞审核：赵太田一、知识要点1.共面向量定义：2.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在有序实数组(,)x y ，使得p xa yb =+。

二、典型例题例 1.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面相交于AD ，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，且11,33BM BD AN AE ==，求证：MN CDE ∥平面。

例2.设空间任意一点O 和不共线三点,,A B C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++ (其中1x y z ++=)。

试问：,,,P A B C 四点是否共面？思考：由()x y z OP xOA yOB zOC ++=++ ，你能得到什么结论？例3.已知四棱锥__P ABCD 的底面是平行四边形，M 是PC 的中点，求证：PA BMD ∥面。

三、巩固练习1.在四面体PABC 中，点,M N 分别为,PA PB 的中点，问：MN 与BC ，AC 是否共面？2.已知空间向量,,,a b c p ，若存在实数组1,11(,)x y z 和222(,,)x y z 满足111p x a y b z c =++，222p x a y b z c =++，且12x x ≠，试证明向量,,a b c 共面。

3.已知P 是ABCD 所在平面外一点，连,,,PA PB PC PD ，点E F G H 、、、分别是PAB ∆，,,PBC PCD PDA ∆∆∆的重心，求证：⑴E F G H 、、、共面；⑵EFGH ABCD 面∥面。

四、小结高二数学选修2-1教学案27FMNEAB DC五、课后作业1. ,a b 不共线时，a b +与a b -的关系是； A.共面B.不共面C.共线D.无法确定2.已知正方体__1111ABCD A B C D 的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有 (写出序号)①OA OD +与11OB OC +是一对相反向量；②OB OC -与11OA OD -是一对相反向量； ③OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量； ④1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量。

高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章3.23.2.1直线的方向向量与平面的法向量Word版含

1a ia2a3 a n1 a2 a3 a n2 a i a 2 a nlla i a 2l e ( e 0) e ______________，、口審弭l 1ll 1 l212 lll 1 121nnn2［归纳*升华・领悟］3 2.1rm摘象问题情境化，新知无师自通P63]2. 平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量.3. 给定一点A和一个向量a，那么过点A,以向量a为法向量的平面是惟一的.［对应学生用书P63］［例1］根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系：⑴平面a, B的法向量分别是u = (—1,1,—2), v=(3, 2,—1；(2)直线I的方向向量 a = (—6,8,4)，平面a的法向量u= (2,2, —1).［思路点拨］利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系.［精解详析］⑴I u= (—1,1,—2), v = 3, 2,—1 ,••• u v= (—1,1,—2) -3, 2, —1=—3+ 2+ 1 = 0,••• u丄V,故a丄B(2) •- u = (2,2 , —1), a = (—6,8,4),•u a= (2,2, —1) (•—6,8,4) = —12+ 16 —4= 0,•u 丄a,故I? a 或I //a［一点通］1 .两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直).2. 直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行.3. 两个平面的法向量共线时，两平面平行.1•若两条直线11、12的方向向量分别为a= (1,2 , —2), b= (—2,—4,4)，^V “与l2的位置关系为_________ .解析：■/ b=—2a,「. a / b,即I// I2 或 e 与e2重合.答案：平行或重合2. 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1) 直线11, 12的方向向量分别是a= (1, —3,—1), b= (8,2,2);(2) 平面a, B 的法向量分别是u = (1,3,0), v = (—3,—9, 0);⑶ I a (1 4 3) u (2,0,3)⑷ I a (3,2,1) u ( 1,2 1)(1) a (1 3 1) b (8,2,2)a b 8 6 2 0a b l1 l2.⑵u (1,3,0) v ( 3 9,0)v 3uv u .⑶a (1 4 3) u (2,0,3)a u 0 a k u(k R)a u I⑷a (3,2,1) u ( 1,2 1)a u 3 4 10a u I? I .[2] A(3,0,0) B(0,4,0) C(0,0,5)[ ]ABC] AB (A(3,0,0) B(0,4,0) C(0,0,5) 3,4,0) AC ( 3,0,5)ABC n AB 0n (x y z) n •AC 03x 4y 03x 5z 0.5 5 1. |n|譬f20 15 12 、n0^769 ^769 V769丿T T (1)AC AB⑵n (x y z)『-AB = 0.(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标.(常数不能为0)3. 已知平面a 经过三点 A(1,2,3), B(2,0 , - 1), C(3, - 2,0)，试求平面 a 的一个法向量.解：•/ A(1,2,3), B(2,0,- 1), C(3,- 2,0),设平面a 的一个法向量是 n = (x , y , z).则 A(0,0,0), D(2 , 0,0), C(1,1,0), S(0,0,1),DC = - , 1 , 0 , DS =1由题意易知向量 AD =(扌,0,0)是平面SAB 的一个法向量. 设n = (x , y , z)为平面SDC的法向量, 1 n -DC = *+ y = 0 , 则 1n -DS =—只+ z =0.(3)联立方程组n -AC = 0,并解答.AB = (1，一 2,— 4),AC = (2，一 4，一 3).依题意应有AB = 0 且 n • AC = 0.x — 2y — 4z = 0, 即F 解得z = 0，且x = 2y.2x — 4y — 3z = 0. 令 x = 2,贝U y = 1•••平面a 的一个法向量是 n = (2,1,0).4•如图所示，在四棱锥 S — ABCD 中，底面是直角梯形，/ ABC = 90 ° 1SA 丄底面ABCD ，且SA = AB = BC = 1 , AD = ，求平面 SCD 与平面SBA 的一个法向量.解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系i z 2X.(1)⑵1 i 1 (m,2,4)(2 12) mlm 1 2 4 1 2.m 1.21T2AnAM n 0MA M n 0An311a (2 1,2) l 2b (1,1 m) h I 2课下训练经典化.贵衽触类旁邇［（）］SDC(2ABCD1,1)5.VABCDVAABCD(1) AB⑵BDVACVAC(1)AB BA TCD⑵ABCDBD AC.VAABCD BD? ABCDBD VAAC VA ABD VACVACBD DBx 2 y 1 z 1［方法・规律•小结］AB1解析：T 丨1 丄 I ?,： 2 — 1 + 2m = O.「. m =—1答案：—14. 在空间中，已知平面a 过点A(3,0,0)和B(0,4,0)及z 轴上一点面a 与平面xOy 的夹角为45°贝U a= ___________ .解析：平面xOy 的法向量为n = (0,0,1), AB = (— 3,4,0), —3x + 4y = 0,U = (X ，y ，Z)，则 I 3x + az = 0,则 3x = 4y = az ,取 z = 1,则 u = 3, £, 1 ,12 答案：乎55. 已知a = (1,4,3), b = (3, x , y)分别是直线l 「I 2的方向向量，若14 3解析：由 l 1 II 12,得3 = 4 =3,解得 x = 12, y = 9.3 x y 答案：1296•已知 A(2,2,2), B(2,0,0) , C(0,2,— 2),(1)写出直线BC 的一个方向向量；-I⑵设平面a 经过点A ，且BC 是a 的法向量，M(x , y , z)是平面 y 、z 满足的关系式.解：(1) •/ B(2,0,0), C(0,2 , — 2),BC = (— 2,2,— 2),即(—2,2 , — 2)为直线BC 的一个方向向量.⑵由题意 AM = (x — 2 , y — 2 , z — 2),BC 丄 AM•••(— 2,2 , — 2) •x — 2 , y — 2 , z — 2)= 0. •••— 2(x — 2)+ 2(y — 2) — 2(z — 2) = 0. 化简得 x — y + z — 2 = 0.又•/ a>0, 故 cos 〈 n ,u >12C(0,0 , a)(a>0),如果平=(—3,0 , a),设平面 a的法向量为 I 1 i I 2 ,贝 y x = ______a 内任一点，试写出 X 、•/ BC 丄平面 a, AM? a,x0 x 4 y 2 z 03 • 0 y 2 z 0ABCD A 1B 1C 1D 1(1) ABCD (2) A i BC 1(3) M CDAAMD 1AB A D A A!y za(1) ABCDxOym (0,0,1)(2) B 1DA 1BC 1TB 1D (0 a,0) (a,0 a) ( a aa)1n 2 a B 1D( 1,1 1) A 1BC 1(3) n (x oA M ay o az o ) AMD 1ADJX 0 y z 0a 0a於0ay 。

3.1.共面向量定理-苏教版选修2-1教案

3.1.共面向量定理 - 苏教版选修2-1教案一、教学目标1.掌握共面向量的概念和判断方法。

2.理解共面向量定理的内容和推导过程。

3.能够运用共面向量定理解决实际问题。

二、教学内容1.共面向量的概念和判断方法。

2.共面向量定理的内容和推导过程。

3.运用共面向量定理解决实际问题。

三、教学重难点1.理解和应用共面向量的概念。

2.掌握共面向量定理的推导过程。

3.运用共面向量定理解决实际问题。

四、教学过程1. 导入新知识介绍本节课的主要内容：共面向量的概念和判断方法，以及共面向量定理的内容和推导过程。

2. 讲解共面向量的概念和判断方法通过示意图介绍共面向量的概念和判断方法。

引导学生通过观察向量的形状和位置，判断它们是否共面。

3. 讲解共面向量定理依据苏教版选修2-1教材，讲解共面向量定理的公式、推导过程和应用。

注意强调公式中各个符号的含义。

4. 运用共面向量定理解决实际问题结合实际问题，利用共面向量定理解决几何问题。

引导学生分析问题，确定解题思路，应用所学知识进行计算。

5. 总结课堂内容回顾本节课的主要内容，重点讲解共面向量的概念和判断方法、共面向量定理及其应用。

鼓励学生在课后进行相关练习，巩固所学知识。

五、教学反思在教学过程中，应当注重引导学生自主思考，启发学生思维，在实际问题中运用所学知识进行分析和推导。

对于不同层次、不同能力的学生，教师应采取不同的教学策略和方法，达到更好的教学效果。

同时，在教学过程中，也应对学生的思想和行为进行引导和规范，帮助学生树立正确的学习态度和价值观。

2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章共面向量定理

2020—2021数学苏教版选修2-1课件：第3章共
面向量定理
2020/9/15
第3章空间向量与立体几何
学习导航
学习目标
1.通过从向量的定义入手，体会共面向量定理的推导过程．(难点) 2．掌握共面向量定理的应用．(重点)
学法指导
利用共面向量定理可以将几何问题转化为向量问题，在学习中要注意体会向量的作用，贯彻数形结合思想.
或对空间任意一点O，有
1．给出下列命题： ①空间任意两个向量a，b一定是共面的；②a，b为空间两个向量，则|a|＝|b|⇔a＝b；③若a∥b，则a与b所在直线平行；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c. 其中假命题的序号是____②__③__④____________．
共面
证明三个向量共面
[方法归纳] 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a、b不共线”的要求．
1.共面向量一般地，能平移到同一平面内的向量，叫做__共__面__向__量_____．
2.共面向量定理
共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量
a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得 __p_＝__x_a_＋__y_b__．
重要结论： 1.空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数组(x，y)，使
证明四点共面
[方法归纳] 要证四点共面，可先作出从同一点出发的三个向量，由向量共Βιβλιοθήκη 推知点共面，应注意待定系数法的应用．
证明线面平行
[方法归纳] 利用向量知识来判断直线和平面平行是一种很重要的判定线面平行的方法．这种方法与用线面平行的判定定理来证线面平行相比，更为简洁、实用，它省去添加辅助线这一令多数学生头疼的问题．

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1课件：第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理

[精解详析] (1)如图所示，连接BG，EG，则： EG ＝ EB＋ BG ＝ EB＋12( BC ＋BD)
＝ EB＋ BF ＋ EH ＝ EF ＋ EH . 由共面向量定理知E，F，G，H四点共面． (2)设 AB＝a， AC ＝b， AD＝c，则 BD＝ AD－ AB＝c－a. EG ＝ EA＋ AG ＝－a2＋12(c＋b)＝－12a＋12b＋12c， HF ＝ HA＋ AF ＝－12c＋12(a＋b)＝12a＋12b－12c.
中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝
1 3
BB1，DF
＝23DD1.证明： AC1 与 AE 、 AF 共面．
[思路点拨] 由共面向量定理，只要用 AE 、 AF 线性表示
出 AC1 即可．
[精解详析] ∵ AC1 ＝ AB＋ AD＋ AA1 ＝ AB＋ AD＋13 AA1 ＋23 AA1 ＝( AB＋13 AA1 )＋( AD＋23 AA1 ) ＝ AB＋ BE ＋ AD＋ DF ＝ AE ＋ AF ， ∴ AC1 与 AE 、 AF 共面．
[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．
1．下列说法正确的是________(填序号)． ①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；
②设平行六面体的三条棱是 AB 、 AA1 、 AD ，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是 AB＋ AA1 ＋ AD； ③若OP ＝12( PA＋ PB)成立，则P点一定是线段AB的中点； ④在空间中，若向量 AB 与CD 是共线向量，则A、B、C、D四
④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；
⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．其中正确命题的序号是________． [思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．

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