集合、函数

不等式
一、恒成立问题――分离参数转化为最值问题。要能识别并处理两次恒成立问题。处理方法：（1）分离变量，然后一边构造函数求函数的值域或最值；（2）作差构造函数利用实根分布（作差后构造一个函数若是二次函数可利用实根分布，若不是可以利用求函数的最值或极值与单调性解决。（3）变更主元（给出谁的范围就以谁作为主元）。
【例10】已知函数 在(-3,0)上是减函数，又 是偶函数，若a= ,b= ,c= 则a,b,c从小到大的顺序是c<a<b
【例11】在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a，那么这个球的表面积为
（补图）
7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝ ，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．
【解析】设△OAB的边长为 ，则不妨设 ，代入 ，得 ；同理，设△OCD的边长为 ，可得 ． ， ．
第一题：立几，容易题，预期得分率0.75．
立体几何考什么？怎样出题？
1、平行（线线，线面，面面），重点仍是线面平面——两种方法（线线法，面面法）
2、垂直：条件与结论中都有垂直。重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化。
kAB= - ,∴- <k≤0。
1．函数f（x）＝|x2－a|在区间［－1，1］上的最大值M（a）的最小值是
【解析】f（x）是偶函数，所以M（a）是在［0，1］内的最大值，当a≤0时，f（x）＝x2－a，则M（a）＝1－a；当a>0时，由图像可知，若 ，则M（a）＝a，若 ，则M（a）＝f（1）＝1－a，从而M（a）＝ ，M（a）min＝ ．
2．单调性、奇偶性的定义都可以理解为恒成立问题。注意单调区间不连续，不能写成在并集上单调。
已知函数 ，若 ，则 的值为．
3、倒到序相加法在函数中的运用：
已知 则
＝
4．幂函数 图象规律： 化为根式求定义域 第一象限五种情况 通过奇偶性作其他象限图象。注意零指数幂的底数范围与对称性， 抛物线型， 开口向上， 开口向右， 双曲线型。已知幂函数 的图像与 轴、 轴都无公共点，且关于 轴对称，则
一判断各命题易得正确命题的是②⑤。
8、特殊位置或坐标法
2．如图，非零向量 与 轴正半轴的夹角分别为
和 ，且 ，则 与 轴正半轴
的夹角的取值范围是
【解析】 与 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量 与 轴正半轴的夹角之间，故 与 轴正半轴的夹角的取值范围是 ．
9．△ABC内接于以O为圆心的圆，且 ．则 ＝．
若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上
若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上
二．能成立问题即不等式有解问题，可以利用其命题的否定将其划归为恒成立问题即将存在性问题转化为全称性问题。
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上 ；
若在区间 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 上的 .
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若n⊥α，n⊥β，则α∥β；
③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；
④若n α，m α且n∥β,m∥β，则α∥β；
⑤若m,n为异面直线，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,
则α∥β；则其中正确的命题是。
（把你认为正确的命题序号都填上）。
【解】依题意可构造正方体AC1，在正方体中逐
5、利用导数研究函数的最值（极值、值域）、单调性；利用导数处理不等式恒成立问题（利用单调性、极值、最值求参数取值范围）；利用导数证明不等式；利用导数研究方程的根的个数（要判断极值点与x轴的位置关系以及单调性）；因此要特别注意导数与不等式很成立问题、不等式有解问题、根的分布问题结合，经常要构造函数研究其单调性，注意定义域。
如：若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是；
四、均值不等式：对于函数 ，当 符合对勾函数形式，但要注意“一正、二定、三相等”，特别是定义域，有时在定义域内只能是单调的；当 时，函数是单调的，注意常见的形式 为常数，注意换元法的使用。
五、线性规划：注意等号（边界线的虚实），注意目标函数的最优解与x轴或y轴上的截距的关系，注意整数解与无穷解的问题。
第一部分填空题
思想方法
填空题解题的基本原则是“小题不能大做”。解题的基本策略是：巧做。解题的基本方法一般有：直接求解法，图像法和特殊化法（特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法）等。
1－8题，容易题；9－12题，中等题，13－14难题，估计难度介于08与09之间．
3．已知函数 的定义域是 ，值域是 ，则满足条件的整数对 共有_________________个
【解析】 在R上是偶函数，故 的图象关于y轴对称，作出 的图象，截取值域是 的一段，发现a，b的取值只可能在－2，－1，0，1，2中取得，但必须取0，－2﹑2必须至少取一个，故有5个．
10．若关于x的方程 有不同的四解，则a的取值范围为．
3、题目的形成：以平面向量为载体（向量平行，垂直，数量积）
4、注意三角函数的图像与性质。 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称轴为 ，对称中心为 ， 对于 和 来说，对称中心对应于零点，对称轴与最值点对应。
【解析】答案：5 ．连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得A1C1C＝90．又BC1C＝45，A1C1C＝135由余弦定理，可求得A1C＝5 ．
13．O为坐标原点，正△OAB中A、B在抛物线 上，正△OCD中C、D在抛物线 上，则△OAB与△OCD的面积之比为．
第二题：三角与向量，容易题，预期得分率0.70左右．
三角考什么？怎样出题？
1、解三角形问题：正弦定理，余弦定理。
2、两角和与差的三角函数。求三角函数的值域，步骤要详细。
三角函数求最值的常用方法：（1）注意利用降幂公式以及辅助角公式 将函数式化成单一名称三角函数 形式，再利用三角函数的单调性、有界性以及数形结合求；（2）利用二倍角公式，将函数式化成单一名称三角函数的一元二次函数形式，（3）换元法，注意新元的范围，如遇到 相关的问题；
3、求面积与体积。求体积可结合变换法更易。
4、题目的形成：长（正）方体一角，三棱柱一角。中点问题常与中位线、中线相关。
5、注意探索性问题、折叠与展开图问题；
6．如图，在三棱锥D－ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF＝3FC．
（1）求三棱锥D－ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；
【解析】通过画图，可求 ，即 与 的夹角，再通过圆心角与圆周角的关系，求得 ．
4．三角形ABC中AP为BC边上的中线， ， ，则 ＝
【解析】 ，即 ，
， ．
12．如图，在 中， ， ，l为BC的垂直平分线，E为l上异于D的一点，则 等于____．
【解析】 ，又 ，
．
5．如图1，设P、Q为△ABC内的两点，且 ， ＝ ＋ ，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为
★注意熟练掌握指数函数、对数函数、分式函数、三角函数、复合函数的导数
6、求函数的值域的方法：二次函数型常用配方法（注意讨论开口方向、对称轴是否属于定义域）；一次分式型：分离系数法（然后再函数的单调性法及不等式的性质）、数形结合（转化为动点与定点连线的斜率去解决）；二次分式型：分离系数法（注意换元法）（再用函数的单调性如 及不等式的性质，特别注意是否适合对勾函数 ）；无理式型常用代数换元、三角换元法（注意新元的范围的确定）；三角函数的有界性及其辅助角公式（注意定义域，结合图像解决）；
【例1】已知数列{an}、{bn}都是等差数列，a1=0、b1= -4，用Sk、 分别表示数列{an}、{bn}的前k项和（k是正整数），若Sk+ =0，则ak+bk的值为；4
【例2】若 － =1，则sin2θ的值等于。
【解】由 - =1得sinθ-cosθ=sinθcosθ ①
令sin2θ=t，则①式两边平方整理得t2+4t-4=0，解之得t=2 -2。
一、填空题：
1、将圆 绕直线 旋转一函数 ，则“ 在[0，4]上至少有5个零点”的概率是．
3、在平面直角坐标系中，不等式组 （ 为常数）表示的平面区域的面积是4，则 的最小值为．
例题解析
一、直接求解法——直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称之为直接求解法。它是解填空题的常用的基本方法。使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
【解析】x＝0是方程的一个根，其余根即方程 （x＞0）的根．由f（x）＝ （x＞0）与y＝1的交点个数，可知a＞0．且f（ ）＞1，得a＞2．
1．若 ≥ 对一切x＞0恒成立，则a的取值范围是．
三、特殊化法——当结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等）代替之，即可得到结论。
【解】设P(x,y)，则当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=± ，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是- <x< 。
7．特殊模型法
【例9】已知m,n是直线，α、β、γ是平面，给出下列是命题：
三角函数的有界性
二、图像法——借助图形的直观形，通过数形结合的方法，迅速作出判断的方法称为图像法。文氏图、三角函数线、函数的图像及方程的曲线等，都是常用的图形。
【例3】若关于x的方程 =k(x-2)有两个不等实根，则实数k的取值范围是
【解】令y1= ,y2=k(x-2),由图可知