东北师大附中2010-2011学年高一验收考试数学
—下学期期中考试东北师大附中高一数学试卷
命题人：赵艳玫 暴偶奇 审题人：王艳平说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分120分；考试时间120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置. 4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回,答案写在试卷上视为无效答案.第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本题共有12小题，每小题4分, 共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在ABC ∆中，若1sin 2A =，则A ∠度数为 （ ） （A ）30︒ （B ）60︒ （C ） 30︒或150︒ （D ）60︒或120︒ 2．sin 300︒= （ ）（A ）21- （B ）21 （C ）23- （D ）233．已知角θ终边经过点(2,)P y，且sin θ=y 值为 （ ）（A ） 1± （B ）—1 （C ） 1 （ D ）—24．若32(,sin ),(cos ,)43a b αα==，且//a b ，则锐角α的值是 （ ）（A ）12π （B ）6π （C ） 4π （D ） 512π5．若(,)2παπ∈，且3tan 4α=-，则sin α= （ ）（A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ） 45-6．函数22cos 2sin 2y x x =-的最小正周期是（ ）（A ）2π （B ）4π （C ）4π（D ） 2π7．化简tan 25tan3525tan35︒+︒︒为（ ）（A ）3 （B（C ）2－3 （D ）2＋3 8．若1,2a b ==，且a 与b 夹角为120︒，则2a b +等于 （ ）（A（B （C ）（D ） 9．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c 且满足::5:7:8a b c =，则B ∠= （ ） （A ）15︒ （B ） 30︒ （C ） 45︒ （D ） 60︒10．如图，函数)sin(ϕω+=x A y（A ）2sin()23x y π=+（B ）)32sin(2π-=x y （C ）22sin(2)3y x π=+ （D ）22sin(2)3y x π=- 11．如图，程序框图中循环体执行的次数是 （ ）(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 12．在△ABC 中，三个内角为分别为A 、B 、C ，若关于x 的 方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是 （ ） （A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等腰或直角三角形第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题（本题共4小题, 每小题4分, 共16分） 13．终边在直线y x =上的角α的集合是14．若tan 2α=，则3sin 2cos 2cos sin αααα-=+15．函数22cos sin 2y x x =+的值域为16． 关于下列命题：①函数x y tan =在定义域内是增函数； ②函数cos(2)2y x π=-是偶函数；③函数4sin(2)3y x π=-在[0,]3π上是减函数；④将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到函数sin(2)4y x π=+的图象．其中正确命题的序号为：2007——2008学年 下学期期中考试 东北师大附中 高一年级数学试卷三、解答题（本题共6小题, 共56分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（8分）求证：1sin 2sin cos )4αααπα-=--18．（8分）如图，四边形ABCD 是梯形， //AB CD ，2AB CD =， E 是BC 的中点， 已知,AB a AD b ==，请用向量a ，b 表示向量,,,BD AC BC AE .19．（10分）已知向量(2,0),(1,3)a b =-=，求a b ⋅及向量a 与b 的夹角θ.20．（10分）已知,αβ都是锐角，4sin 5α=，5cos()13αβ+=-，求cos β的值.21．（10分）已知tan ,tan αβ是方程22370x x +-=的两个实根， （1）求tan()αβ+的值；（2）求cos()sin()αβαβ-+的值.22．（10分）已知向量(cos ,3cos ),(sin ,cos )a x xb x x ωωωω==（其中01ω<≤），记3()2f x a b =⋅-，且满足()()f x f x π+=. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当5[,]1212x ππ∈-，求函数()y f x =的值域； （3）如果关于x 的方程23[()]()10f x mf x ⋅+-=在5[,]1212ππ-上有三个不相等的实数根，求实数m 的取值范围.命题人：赵艳玫 暴偶奇 审题人：王艳平参 考 答 案Bb2007——2008学年下学期期中考试 东北师大附中 高一年级数学试卷一、选择题（本题共有12小题，每小题4分, 共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）二、填空题（本题共4小题, 每小题4分, 共16分） 13. ,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭14. 115. [1 16. ③17.证明：左边2…………………………5分=2(sin cos )sin cos sin cos αααααα-=--………………………8分 18. 解：由已知，得1122DC AB a == BD b a =-………………………………………………2分12AC AD DC b a =+=+………………………………4分12BC AC AB BA AD DC a b =-=++=-+…………6分1131()2242AE AC AB AB BC a b =+=+=+…………8分19.解：2102a b ⋅=-⨯+=-…………………………………………3分 ||2a = ||2b =…………………………………………………5分 cos ||||a ba b θ⋅=………………………………………………………7分12=-…………………………………………………………8分 因为0θπ≤≤………………………………………………………9分所以23πθ=…………………………………………………………10分 (2)cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-+=++……………………………7分1tan tan tan tan αβαβ+=+…………………………………………9分DBab71()52332+-==-…………………………………………10分 22．解：(1) 2()sin cos f x x x x ωωω=1sin 2222x x ωω=+ sin(2)3x πω=+………………………………………………2分由()()f x f x π+=，得 π是函数()f x 的一个周期，……………3分所以，()f x 的最小正周期22T ππω=≤，解得1ω≥ 又由已知01ω<≤，得1ω=因此，()sin(2)3f x x π=+……………………………………………4分(2) 由5612x ππ-≤≤，得72636x πππ≤+≤…………………………5分 如图， 可得 1sin(2)123x π-≤+≤ 因此函数()y f x =的值域为1[,1]2-.…………………………6分 （3）设()sin(2)3t f x x π==+，要使关于x 的方程23[()]()10f x mf x ⋅+-=在5[,]1212ππ-上有三个不相等的实数根，当且仅当关于t 的方程2310t mt +-=在1[,1)2和11[,)22-上分别有一个实数根，或有一个实数根为1，另一实数根在区间1[,1)2上.…………………7分 令2()31g t t mt =+-① 当关于t 的方程2310t mt +-=在1[,1)2和11[,)22-上分别有一个实数根时，1()021()02(1)0g g g ⎧-≥⎪⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩解得 122m -<≤-………………………………8分 ② 当方程2310t mt +-=的一个根是12时，12m =，另一个根为211[,)322-∉-，不满足条件；③ 当方程2310t mt +-=的一个根是1时，2m =-，另一个根为11[,1)32-∉，不满足条件；因此，满足条件的实数m 的取值范围是122m -<≤-………………10分。
东北师范大学附属中学2024年高一上学期9月阶段性考试数学试题(解析版)
2024-2025学年东北师大附中 高一年级数学科试卷上学期阶段性考试考试时长：90分钟 试卷总分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1. 下列元素的全体可以组成集合的是（ ） A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上四大洋 D. 优秀的高中生【答案】C 【解析】【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.详解】由题意，选项ABD ，都不满足集合元素的确定性，选项C 的元素是确定的，可以组成集合. 故选：C.2. 若全集R U =，集合{}0,1,2,3,4,5,6A =，{|3}B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}【答案】A 【解析】【分析】根据图中阴影部分表示()U A B 求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示()U A B ，{}|3U Bx x =≥ ，则(){}3,4,5,6U B A = .故选：A3. 命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定为（ ）的【A. []1,3x ∃∈−，2320x x −+≥B. []1,3x ∃∈−，2320x x −+>C. []1,3x ∀∈−，2320x x −+≥D. []1,3x ∃∉−，2320x x −+≥【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.【详解】命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定是[]1,3x ∃∈−，2320x x −+≥. 故选：A4. 已知集合{}240A x x=−>，{}2430B x xx =−+<，则A B = （ ）A. {}21x x −<< B. {}12x x <<C. {}23x x −<<D. {}23x x <<【答案】D 【解析】【分析】解出集合,A B ，再利用交集含义即可.【详解】{}{2402A x xx x =−>=或}2x <−，{}{}2430|13B x xx x x =−+<=<<，则{}23A Bx x ∩=<<.故选：D.5. 若,,a b c ∈R ，0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b> B. a c b c >C. 2ab b >D. ()()2211a c b c −>−【答案】C 【解析】【分析】对BD 举反例即可，对AC 根据不等式性质即可判断. 【详解】对A ，因为0a b >>，则11a b<，故A 错误； 对B ，当0c =时，则a c b c =，故B 错误；对C ，因为0a b >>，则2ab b >，故C 正确； 对D ，当1c =时，则()()2211a c b c −=−，故D 错误. 故选：C.6. “2a <−”是“24a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出不等式24a >，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】24a >，解得2a >或2a <−，则“2a <−”可以推出“24a >”，但“24a >”无法推出“2a <−”， 则“2a <−”是“24a >”的充分不必要条件. 故选：A .7. 关于x 的一元二次方程(1)(4)x x a −−=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的说法是（ ） A. 当0a =时，11x =，24x = B. 当0a >时，1214x x << C. 当0a >时，1214x x <<< D. 当904a −<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x −−=的二实根为121,4x x ==，A 正确； 对于B ，方程(1)(4)x x a −−=，即2540x x a −+−=，254(4)0a ∆=−−>，解得94a >−， 当0a >时，1244x x a =−<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =−−，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确； 对于D ，当904a −<<时，12254(4,)4x x a =−∈，D 正确.故选：B8. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220Bx xax x x b =+++=，且 R A B ∩=∅ ，则集合B 的子集个数为（ ）．A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ∩=∅R 可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数. 【详解】由题设可知，[]{}{}Z |31,2A x x =∈<<=，又因为()A B ∩=∅R ，所以A B ⊆， 而()(){}22|20B x xax x x b =+++=，因为20x ax 的解为=0x 或x a =−，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=−， 所以1,2分属方程20x ax 与220x x b ++=的根，若1是20x ax 的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b × × ，解得=1=8a b −− ， 代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =−，故{}0,1,2,4B=−；若2是20x ax 的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b × × ，解得=2=3a b −− ，代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =−，故{}0,1,2,3B=−；所以不管1,2如何归属方程20x ax 与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16. 故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，则（ ） A. 0a < B. 不等式0ax c +>的解集是{|6}x x > C. 0a b c ++< D. 不等式20cx bx a −−<的解集为11(,)32【答案】BC 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集用a 表示,b c ，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，得1,6−是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，A 错误；对于B ，16,16b ca a−+=−−×=，则5,6b a c a =−=−， 不等式0ax c +>，即60ax a −>，解得6x >，B 正确； 对于C ，56100a b c a a a a ++=−−=−<，C 正确；对于D ，不等式20cx bx a −−<，即2650ax ax a −+−<，整理得()()31210x x −−>，解得13x <或12x >，D 错误. 故选：BC10. 已知x y 、都是正数，且满足2x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. xy 的最大值为1B.+的最小值为2C. 11x y+的最小值为2D. 2211x y x y +++的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.【详解】对于A ，由0,0x y >>，2x y +=，得2()12x y xy +≤=，当且仅当1xy ==时取等号，A 正确；对于B2+≤，当且仅当1xy ==时取等号，B 错误； 对于C，1111111()()(2)(22222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=， 当且仅当1xy ==时取等号，C 正确； 对于D ，222211111111111111x y x y x y x y x y x y −+−++=+=−++−+++++++ 11111111[(1)(1)]()(2)11411411y x x y x y x y x y ++=+=++++=++++++++1(214≥+=，当且仅当1111y x x y ++=++，即1x y ==时取等号，D 正确. 故选：ACD11. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥ ∗=−< ，已知集合222{0},{R |()(1)0}A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=|，则下面正确结论正确的是（ ）A. a ∃∈R ，()3C B =B. a ∀∈R ，()2C B ≥C. “0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件D 若{}R1S a A B =∈∗=∣，则()4C S = 【答案】AC 【解析】【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可. 【详解】对于A ，当2a =时，{}0,2,1B =−−，此时()3C B =，A 正确；对于B ，当0a =时，{}0B =，此时()1C B =，B 错误；.对于C ，当0a =时，{}0B =，则()1C B =，而{}0,1A =−，()2C A =，因此1A B ∗=；当1A B ∗=时，而()2C A =，则()1C B =或3，若()1C B =，满足2Δ40a a ==−< ，解得0a =； 若()3C B =，则方程20x ax 的两个根120,x x a ==−都不是方程210x ax ++=的根，且20Δ40a a ≠ =−=，解得2a =±，因此“0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件，C 正确； 对于D ，由1A B ∗=，而()2C A =，得()1C B =或3，由C 知：0a =或2a =±，因此{}0,2,2S =−， 3C S ，D 错误.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知集合{}A x x a =<，{}13B x x =<<，若A B B = ，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a ≥ 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由A B B = ，得B A ⊆，而{}A x x a =<，{}13B x x =<<，则3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥. 故答案：3a ≥13.若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______． 【答案】18 【解析】【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当()2722AB AC AB AC +=+⋅最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】如图所示：为在Rt ABC △中，90,A BC ==而直角三角形周长l AB BC CA AB CA =++=++，由勾股定理可知(222272AB CA BC +===，若要使l 最大，只需+AB AC 即()2222722AB AC AB AC AB AC AB AC +=++⋅=+⋅最大即可， 又22272AB AC AB AC ⋅≤+=，等号成立当且仅当6AB AC ==， 所以()2722144AB AC AB AC +=+⋅≤，12AB AC +≤，12l ≤+， 等号成立当且仅当6AB AC ==， 此时，其面积为11661822S AB AC =⋅=××=. 故答案为：18.14. 若不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立，则实数x 取值范围是______． 【答案】(]),2∞∞−−∪+【解析】【分析】根据主元法得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案.【详解】由不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立， 得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，令()()212g a x a x x =+−−+，得22(0)20(1)120g x x g x x x =−−+≤ =+−−+< ， 解得(]),2x ∈−∞−+∞，∴实数x的取值范围是(.故答案为：(]),2∞∞−−∪+.四、解答题（本题共3小题，共47分）15. 设集合U =R ，{}05Ax x =≤≤，{}13B x m x m =−≤≤． （1）3m =，求()U A B ∪ ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．的【答案】（1）{|5x x ≤或}9x > （2）12m <−或513m ≤≤. 【解析】【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得B A ，讨论集合B 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【小问1详解】当3m =时，可得{}|29B x x =≤≤，故可得{|2U B x x =< 或}9x >，而{}|05A x x =≤≤， 所以(){|5U A B x x ∪=≤ 或}9x >. 【小问2详解】由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件可得B A ； 当B =∅时，13m m −>，解得12m <−，符合题意； 当B ≠∅时，需满足131035m m m m −≤−≥ ≤，且10m −≥和35m ≤中的等号不能同时取得，解得513m ≤≤； 综上可得，m 的取值范围为12m <−或513m ≤≤. 16. （1）已知03x <<，求y =的最大值； （2）已知0x >，0y >，且5x y xy ++=，求x y +的最小值； （3）解关于x 的不等式()2330ax a x −++<（其中0a ≥）． 【答案】（1）92；（2）2+；（3）答案见解析 【解析】【分析】（1）化简得y，再利用基本不等式即可；（2）利用基本不等式构造出252x y x y + ++≤，解出即可；（3）因式分解为(3)(1)0ax x −−<，再对a 进行分类讨论即可.【详解】（1）()229922x x y +−=≤=，当且仅当229x x =−，即229x x =−，即x =时等号成立.则y =的最大值为92. （2）因为 0,0x y >>, 且 5x y xy ++=, 则252x y x y xy + ++≤，解得2x y +≥ 或 2x y +≤−（舍去），当且仅当1x y ==时等号成立，则x y +的最小值为2+.（3）不等式()2330ax a x −++<化为(3)(1)0ax x −−<，（其中0a ≥）， 当0a =时，解得1x >；当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a−−<，若0<<3a ，即31a>，解得31x a <<；若3a =，x 无实数解； 若3a >，即31a <，解得31x a<<， 所以当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >； 当0<<3a 时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<； 当3a =时，原不等式的解集为∅； 当3a >时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<. 17. 已知方程()220,x mx n m n −+−=∈R（1）若1m =，0n =，求方程220x mx n −+−=的解；（2）若对任意实数m ，方程22x mx n x −+−=恒有两个不相等的实数解，求实数n 的取值范围；（3）若方程()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，且()2121248x x x x +−=，求221221128x x x x x x +−+的最小值． 【答案】（1）2x =或1−；（2）2n <（3）【解析】【分析】（1）由题意得到220x x −−=，求出方程的根；（2）由根的判别式大于0得到()21124n m <++，求出()211224m ++≥，从而得到2n <； （3）由韦达定理得到1212,2x x m x x n +==−，代入()2121248x x x x +−=中得到24m n =，结合立方和公式化简得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，令8t m m =−，由单调性得到81333t −=≥，结合基本不等式求出22122112832x x t x x x x t +−=+≥+，得到答案. 【小问1详解】1m =，0n =时，220x x −−=，解得2x =或1−；【小问2详解】()222120x mx n x x m x n −+−=⇒−++−=，故()()2Δ1420m n =+−−>，所以()21124n m <++， 其中()211224m ++≥，当且仅当1m =−时，等号成立， 故2n <；【小问3详解】()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，()2Δ420m n =−−>，由韦达定理得1212,2x x m x x n +==−，故()2212124488x x x x m n +−=−+=，所以24m n =，此时80∆=>， 所以()()2222331211221212211212121212888x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +−+++−=−=−+++ ()()()221212121212336882x x x x x x m m n x x x x n m ++−−+ −=−+−，因为24m n =， 所以2222122221126284488883282244m m m m x x m m m x x x x m m m m m +−+ +−=−=−=−++−−−， 令8t m m =−，其在3m ≥上单调递增，故81333t −=≥，故22122112832x x t x x x x t +−=+≥+ 当且仅当32t t=，即=t 时，等号成立， 故221221128x x x x x x +−+的最小值为【点睛】关键点点睛：变形得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值.。
东北师大附中2010―2011学年度上学期高三数学第三次摸底考试试题及答案理科3
适用精选文件资料分享东北师大附中2010―2011 学年度上学期高三数学第三次摸底考试一试题及答案（理科） 3东北师大附中 2010―2011 学年度上学期高三数学第三次摸底考试一试题（理科）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分 150 分，考试时间 120 分钟．注意事项： 1 ．答第Ⅰ卷前，考生务势必自己姓名、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2 ．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3 ．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定地点． 4 ．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．参照公式：圆锥表面积公式：（是圆锥底面半径，是母线）圆锥体积公式：（是圆锥底面半径，是高）球体积公式：（R是球的半径）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的）． 1 ．已知会集，，则（）A．B．C．D．2．命题“存在 R， 0”的否定是（） A ．不存在 R， >0 B．存在R，0 C ．对任意的 R， 0 D ．对任意的 R， >0 3 ．已知：，则的大小关系为（） A． B ． C． D． 4 ．有一个几何体的三视图及其尺寸以下（单位），则该几何体的表面积及体积为：（） A ．， B．，C．， D．以上都不正确 5 ．已知函数的最小正周期为，为了获得函数的图象，只要将的图象（） A ．向左平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6 ．关于两条不一样的直线、与两个不一样的平面、，以下命题正确的选项是：（）A ．且，则；B ．且，则；C．且，则；D．且，则．7．若实数满足恒成立，则函数的单调减区间为（）A ．B． C．D．8 ．正四周体中，、分别是棱、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B ．C．D．9 ．已知向量的值是（）A ．B．C．D．1 10．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则必定有（）A． B ． C ． D． 11 ．定义两种运算：，，则是（）函数．（）A．奇函数 B ．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 12 ．已知定义在上的函数满足，且，，如有穷数列（）的前项和等于，则 n 等于（） A ．4 B．5 C．6 D． 7第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题纸相应地点上．） 13 ．函数与、及轴围成的图形的面积是． 14 ．函数的定义域为，则函数的定义域为_____________．15 ．（此中为正数），若，则的最小值是．16．已知三棱锥，两两垂直且长度均为 6，长为 2 的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含界限），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为．三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 ．本（题满分 10 分）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和为，求数列的通项公式．18．（本题满分 12 分）以以下图，在正方体中，．（Ⅰ）若，求证 :∥面；（Ⅱ）求二面角的正切值．19．（本题满分 12 分）的三个内角挨次成等差数列．（Ⅰ）若，试判断的形状；（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求代数式的取值范围．20．（本题满分 12 分）已知（1）若在上是增函数，务实数 a 的取值范围；（2）若是的极值点，求在上的最小值和最大值．21．（本题满分 12 分）函数对任意都有（1）求的值；（2）数列满足：，求；（3）令，试比较与的大小．22．（本题满分 12 分）设函数，，是的一个极大值点．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）当是给定的实常数，设是的 3 个极值点，问能否存在实数，可找到，使得的某种摆列（此中 = ）挨次成等差数列 ?若存在，求全部的及相应的；若不存在，说明理由．参照答案一、选择题 DDCAA CDBDB AB二、填空题 13 ．7 14． 15 ． 16 ．或三、解答题 17 ．解：（Ⅰ），当时，，∴时，，∴时，∴数列是首项为，公比为的等比数列，，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴∴ ∴ ∴18．解法1(Ⅰ)法1：连，∵. ∴, ∴ ∥，又∥ ∴∥面法 2：利用平面 // 平面，直接得证 . (Ⅱ)过点作 , 连接 . 由平面得 , 又，, 平面 , 就是二面角的平面角 . 设正方体的棱长为4，则 . , 中，由等面积法， . ∴中，解法 2：向量法（略） 19 ．解：（Ⅰ）∵ ，∴ . ∵挨次成等差数列，∴ , . 由余弦定理，，∴ .∴为正三角形.（Ⅱ）=====∵,∴，∴， .∴代数式的取值范围是 . 20 ．【分析】（1）由题知，，令，得记，当时，是增函数，，，又时， =3 在上恒大于等于 0，也吻合题意，（2）由题意，得，即，令得，又舍，故，当在上为减函数；当在上为增函数，时有极小值 . 于是，当时，，而， 21 ．【分析】（1）令，则有（2）令，得即由于，因此两式相加得：，（3），时，；时， =4 =4 22．分析：本题主要观察函数极值的看法、导数运算法规、导数应用及等差数列等基础知识，同时观察推理论证能力、分类谈论等综合解题能力和创新意识．。
吉林省长春市东北师大附中高一数学上学期11月月考试卷(含解析)
吉林省长春市东北师大附中2014-2015学年高一上学期11月月考数学试卷一、选择题：本大题12分，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）若集合，，则A∩B=（）A．B．C．∅D．12．（4分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3D．f（x）=e x3．（4分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．（4分）已知0＜a＜1，则函数y=|log a x|﹣a|x|零点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个5．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数f（x）=2x+1与g（x）=21﹣x的图象关于（）A．直线x=1对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y=x对称6．（4分）已知（0.71.3）m＜（1.30.7）m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）7．（4分）用二分法求函数f（x）=lnx+2x﹣6在区间（2，3）零点近似值，至少经过（）次二分后精确度达到0.1．A．2 B．3 C．4 D．58．（4分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．﹣1≤m＜0 C．m≥1D．0＜m≤19．（4分）设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．∪（1，+∞）B．∪（2，+∞）10．（4分）不等式||＜x的解集是（）A．{x|0x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|1﹣＜x＜1}∪{x|x＞1+}C．{x|﹣1x＜0} D．{x|x＞1+}11．（4分）已知函数f（x）=lg（2x﹣b）（b为常数），若x∈上为减函数，比较a=fb=f（），c=f（log2）的大小（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c二、填空题：（本大题共四个小题，每小题4分）13．（4分）若函数f（x）的单调递增区间是，则函数f（x+5）的单调递增区间是．14．（4分）函数y=log0.5（x2﹣2x）的单调递增区间是．15．（4分）函数f（x）=ax+2a﹣1在（﹣1，1）内存在一个零点，则a的取值集合是．16．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题，其中正确命题序号为．①若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R，有f（x+1）=f（x﹣1），则y=f（x）直线x=1对称；③若函数f（x﹣1）关于直线x=1对称，则函数f（x）为偶函数；④函数f（x+1）与函数f（1﹣x）直线x=1对称．三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（8分）（Ⅰ）计算：（lg2）2+lg2•lg50+lg25；（Ⅱ）记函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N，求M∪N．18．（8分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当 x∈（0，+∞）时，f（x）=2x+x，求f（x）的解析式．19．（10分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．20．（10分）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆，求实数a的范围．21．（10分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈恒成立，求实数m的取值范围．22．（10分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a•2x﹣a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．吉林省长春市东北师大附中2014-2015学年高一上学期11月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题12分，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（4分）若集合，，则A∩B=（）A．B．C．∅D．1考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：集合A表示的是函数的值域，求出幂函数的值域即集合A，集合B表示的函数的定义域，令被开方数大于等于0求出解集即集合B；利用交集的定义求出A∩B．解答：解：∵={y|﹣1≤y≤1}集合={x|x≤1}∴A∩B=故选B．点评：本题考查集合的表示法，考查利用交集的定义求两个集合的交集．本题的易错点是认不清表示定义域与表示值域的区别．2．（4分）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=lnx B．C．f（x）=x3D．f（x）=e x考点：函数的定义域及其求法．分析：已知函数的定义域为x＞0，再对选项A、B、C、D进行一一验证；解答：解：∵函数，∴x＞0，A、∵f（x）=lnx，∴x＞0，故A正确；B、∵，∴x≠0，故B错误；C、f（x）=x3，其定义域为R，故C错误；D、f（x）=e x，其定义域为R，故D错误；故选A．点评：此题主要考查函数的定义域及其简单求法，此题是一道基础题．3．（4分）给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．4．（4分）已知0＜a＜1，则函数y=|log a x|﹣a|x|零点的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．1个或2个或3个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，呢命题即求函数y=a|x|与 y=|log a x|的交点的个数，数形结合得出结论．解答：解：∵0＜a＜1，函数y=|log a x|﹣a|x|的零点的个数就等于方程=a|x|=|log a x|的解的个数，即函数y=a|x|与 y=|log a x|的交点的个数．如图所示：故函数y=a|x|与 y=|log a x|的交点的个数为2，故选：B点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化及数形结合的数学思想，属于中档题．5．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数f（x）=2x+1与g（x）=21﹣x的图象关于（）A．直线x=1对称B．x轴对称C．y轴对称D．直线y=x对称考点：指数函数的图像变换．专题：计算题．分析：利用函数y=f（﹣x）与函数y=f（x）的图象关于y轴对称即可得到答案．解答：解：∵f（x）=2x+1，∴f（﹣x）=21﹣x=g（x），而y=f（﹣x）与函数y=f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）=2x+1与g（x）=21﹣x的图象关于y轴对称．故选C．点评：本题考查指数函数的图象变换，关键在于利用好“函数y=f（﹣x）与函数y=f（x）的图象关于y轴对称”这一结论，属于中档题．6．（4分）已知（0.71.3）m＜（1.30.7）m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由题设形式（0.71.3）m＜（1.30.7）m，可考虑幂函数y=x m的性质，接下来就是比较0.71.3与1.30.7的大小即可，因为两者不同底不同指数，故考虑引入中间量1=0.70=1.30．解答：解：∵0.71.3＜0.70=1=1.30＜1.30.7，∴0.71.3＜1.30.7，∴m＞0．故选A．点评：当底数、指数均不同时，可以利用构造中间量的方法，中间量的选取通常可以取0或1．7．（4分）用二分法求函数f（x）=lnx+2x﹣6在区间（2，3）零点近似值，至少经过（）次二分后精确度达到0.1．A．2 B．3 C．4 D．5考点：二分法求方程的近似解．专题：规律型．分析：原来区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为．解答：解：开区间（2，3）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，故有≤0.1，∴n≥4，∴至少需要操作4次．故选：C．点评：本题考查用二分法求函数的近似零点的过程，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，属于基本知识的考查．8．（4分）若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1 B．﹣1≤m＜0 C．m≥1D．0＜m≤1考点：指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：的图象由的图象向上（m＞0）或向下（m＞0）平移|m|个单位得到，故可先画出的图象，画此图象时，可先去绝对值，转化为分段函数．解答：解：∵，画图象可知﹣1≤m＜0故选B点评：本题考查指数函数图象的变换：平移和对称变换，注意含有绝对值的函数的图象的画法．9．（4分）设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），f（x）=，则f（x）的值域是（）A．∪（1，+∞）B．∪（2，+∞）考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：当x＜g（x）时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25，其值域为：．由此能得到函数值域．解答：解：当x＜g（x），即x＜x2﹣2，（x﹣2）（x+1）＞0时，x＞2 或x＜﹣1，f（x）=g（x）+x+4=x2﹣2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，∴其最小值为f（﹣1）=2，其最大值为+∞，因此这个区间的值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，﹣1≤x≤2，f（x）=g（x）﹣x=x2﹣2﹣x=（x﹣0.5）2﹣2.25其最小值为f（0.5）=﹣2.25，其最大值为f（2）=0因此这区间的值域为：．综合得：函数值域为：U（2，+∞），故选D．点评：本题考查f（x）的值域的求法．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．10．（4分）不等式||＜x的解集是（）A．{x|0x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|1﹣＜x＜1}∪{x|x＞1+}C．{x|﹣1x＜0} D．{x|x＞1+}考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题设，可按绝对号里面的分式值为负与非负两种情况分类去绝对值号，转化后解不等式解答：解：令≥0，解得x≤﹣1或x＞1，此时不等式可以变为＜x，整理得，解得1﹣＜x＜1或x＞1+，＜0，解得﹣1＜x＜1，此时不等式可变为，当﹣1＜x＜1时，此不等式无解；综上，不等式||＜x的解集是{x|1﹣＜x＜1}∪{x|x＞1+}故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法，按绝对号里面的分式值为负与非负两种情况分类去绝对值号转化为一般不等式求解是常用的思路．11．（4分）已知函数f（x）=lg（2x﹣b）（b为常数），若x∈上为减函数，比较a=fb=f（），c=f（log2）的大小（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数为偶函数，则f（x+1）=f（1﹣x）=f（x﹣1），令x=x+1，f（x+1+1）=f（x+1﹣1）得f（x+2）=f（x），则函数f（x）为周期为2的周期函数，在上为减函数，推出在上为增函数，化简再比较大小．解答：解：∵函数为偶函数，在上为减函数，∴在上为增函数又f（x+1）=f（1﹣x）=f（x﹣1），令x=x+1f（x+1+1）=f（x+1﹣1）∴f（x+2）=f（x），则函数f（x）为周期为2的周期函数，a=f=f（），b=f（）=f（﹣2）=f（﹣）=f（），c=f（log2）=f（﹣3）=f（3）=f（1），∵＜＜1，且∵在上为增函数∴f（）＜f（）＜f（1），∴b＜a＜c故选：D．点评：本题考查了函数的周期性，考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，是中档题．二、填空题：（本大题共四个小题，每小题4分）13．（4分）若函数f（x）的单调递增区间是，则函数f（x+5）的单调递增区间是．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：首先，根据函数y=f（x+5）是函数f（x）向左平移5个单位，然后，结合所给函数的进行求解即可．解答：解：函数y=f（x+5）是函数f（x）向左平移5个单位，∵函数f（x）在区间上是增函数，∴y=f（x+5）增区间为向左平移5个单位，即增区间为，故答案为：．点评：本题重点考查了函数图象变换等知识，属于中档题．14．（4分）函数y=log0.5（x2﹣2x）的单调递增区间是（﹣∞，0）．考点：对数函数的单调区间．专题：计算题．分析：由已知中函数y=log0.5（x2﹣2x）的解析式，先确定函数的定义域，进而根据二次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．解答：解：函数y=log0.5（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）令t=x2﹣2x，则y=log0.5t∵y=log0.5t为减函数t=x2﹣2x的单调递减区间是（﹣∞，0），单调递增区间是（2，+∞）故函数y=log0.5（x2﹣2x）的单调递增区间是（﹣∞，0）故答案为：（﹣∞，0）点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键，解答时易忽略函数的定义域而错解为：（﹣∞，1）或（﹣∞，1]．15．（4分）函数f（x）=ax+2a﹣1在（﹣1，1）内存在一个零点，则a的取值集合是（）．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：讨论当a=0时，当a≠0时，得出f（﹣1）•f（1）＜0，即可求解a的范围．解答：解：∵函数f（x）=ax+2a﹣1，∴当a=0时，f（x）=﹣1，f（x）在（﹣1，1）内不存在零点，当a≠0时，函数f（x）=ax+2a﹣1在（﹣1，1）内存在一个零点，∴f（﹣1）•f（1）＜0，即（a﹣1）•（3a﹣1）＜0，得出，故答案为：（）点评：本题简单考查了函数性质，零点判断定定理的运用，注意分类讨论，属于中档题．16．（4分）对于定义在R上的函数f（x），有下述四个命题，其中正确命题序号为①③．①若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R，有f（x+1）=f（x﹣1），则y=f（x）直线x=1对称；③若函数f（x﹣1）关于直线x=1对称，则函数f（x）为偶函数；④函数f（x+1）与函数f（1﹣x）直线x=1对称．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①利用奇函数的性质（奇函数的图象关于点O（0，0）对称）与图象平移变换可判断①；②f（x+1）=f（x﹣1）≠f（1﹣x），可判断②；③y=f（x﹣1）的图象是将y=f（x）的图象向右平移一个单位得到的，依题意可判断③；④举反例，f（x）=x时，f（1+x）=x+1，f（1﹣x）=1﹣x，这两条直线显然不关于x=1对称，可判断④．解答：解：①，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）的图象关于点O（0，0）对称；又y=f（x﹣1）的图象是将y=f（x）的图象向右平移一个单位得到的，∴f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称，故①正确；②，∵f（x+1）=f（x﹣1）≠f（1﹣x），∴y=f（x）不关于直线x=1对称，故②错误；③，∵函数y=f（x﹣1）关于直线x=1对称，∴函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，∴函数f（x）为偶函数，故③正确；④，函数f（x+1）的图象与函数f（1﹣x）的图象不关于直线x=1对称，如f（x）=x时，f（1+x）=x+1，f（1﹣x）=1﹣x，这两条直线显然不关于x=1对称，故④错误．故答案为：①③．点评：本题考查函数的对称性与奇偶性，考查分析与推理、运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（8分）（Ⅰ）计算：（lg2）2+lg2•lg50+lg25；（Ⅱ）记函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N，求M∪N．考点：并集及其运算；函数的零点．专题：函数的性质及应用；集合．分析：（Ⅰ）根据对数的基本运算即可计算：（lg2）2+lg2•lg50+lg25；（Ⅱ）根据函数成立的条件求出函数的定义域，结合集合的基本运算即可求M∪N．解答：解：（Ⅰ）（lg2）2+lg2•lg50+lg25=（lg2）2+lg2•（1+lg5）+2lg5=lg2（lg2+lg5）+lg2+2lg5=2lg2+2lg5=2（lg2+lg5）=2．（Ⅱ）由2x﹣3＞0，解得x＞，则函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M=（，+∞），由1﹣≥0，即，解得x＞1或x≤﹣1，即函数g（x）=的定义域为集合N=（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），则M∪N=（﹣∞，﹣1]∪（，+∞）．点评：本题主要考查集合的基本运算以及对数的计算，根据函数成立的条件，结合集合的基本运算是解决本题的关键．18．（8分）已知函数f（x）是R上的奇函数，当 x∈（0，+∞）时，f（x）=2x+x，求f（x）的解析式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据奇函数的性质，可得f（0）=0，再由函数为奇函数结合x＜0的表达式，可求出当x＞0时f（x）的表达式，最后综合可得f（x）在R上的表达式．解答：解：由题意，当x=0时，f（x）=0∵x＞0时，f（x）=2x+x，∴当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=2﹣x﹣x，又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+x，综上所述，．点评：本题给出奇函数在（0，+∞）上的解析式，要我们求它在R上的解析式，着重考查了函数解析式的求法和函数奇偶性等知识，属于基础题．19．（10分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数单调性的应用．专题：计算题；综合题；转化思想；待定系数法．分析：（1）根据函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．解答：解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，得结合a＞0且a≠1，解得：∴f（x）=3•2x．（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．∵函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数，∴当x=1时，y=（）x+（）x有最小值．∴只需m≤即可．点评：此题是个中档题．考查待定系数法求函数的解析式，和利用指数函数的单调性求函数的最值，体现了转化的思想，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．（10分）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M⊆，求实数a的范围．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：M⊆有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：M⊆有两种情况：其一是M=∅，此时△＜0；其二是M≠∅，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围．设f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=∅⊆．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}⊄，故舍去．当a=2时，M={2}⊆．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f （x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=，由M⊆可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f （x）=0的对称轴x=a∈，即，…（8分）∴，解得2＜a≤．…（10分）综上可得，M⊆时，a的取值范围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈恒成立，求实数m的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：综合题．分析：（I）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；（II）由 t∈时，2t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．解答：解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，当x＞0时，，有条件可得，，即22x﹣2×2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．（Ⅱ）当t∈时，，即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．∵t∈，∴﹣（1+22t）∈，故m的取值范围是方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x﹣a），∴log4（）=log4（a•2x﹣a），方程等价于，设2x=t，t＞0，则（a﹣1）t2﹣﹣1=0有一解若a﹣1＞0，设h（t）=（a﹣1）t2﹣﹣1，∵h（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解∴a＞1满足题意若a﹣1=0，即a=1时，不满足题意若a﹣1＜0，即a＜1时，由，得a=﹣3或a=，当a=﹣3时，t=满足题意当a=时，t=﹣2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=﹣3}．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．。
吉林东北师大附中2011-2012学年高一下学期“阶段验收考试”物理试卷
2011—2012学年高一年级下学期“阶段验收考试”（物理）科试卷考试时间：80分钟试卷满分：100分注意事项：1．本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分。
选择题填涂在答题卡上,非选择题答案填写在答题纸的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请仔细审题、认真做答。
第I卷一、选择题（本题共12个小题：每小题4分，共48分，在给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确。
全部选对的得4分，选不全的得2分，不选的或者选错的不得分）1．发现万有引力定律和首次比较精确地测出引力恒量的科学家分别是（）A．开普勒、卡文迪许B．牛顿、伽利略C．牛顿、卡文迪许D．开普勒、伽利略2．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。
以下判断正确的是（）A.甲的周期大于乙的周期B.乙的速度大于第一宇宙速度C.甲的加速度大于乙的加速度D.甲在运行时能经过北极的正上方3．如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是（）A．a、b、c三点的线速度大小相等B．a、b、c三点的角速度相等C．a、b的角速度比c的大D．c的线速度比a、b的大4．神舟六号飞船太空飞行近似为圆周运动，已知其运动的周期T，万有引力常量G，地球表面的重力加速度g，地球的半径R。
不考虑地球自转的影响，则下列论述正确的是（）A．可以计算神舟六号飞船离地球表面的高度B．可以计算神舟六号飞船在绕地球的太空飞行的加速度C．飞船返回舱打开减速伞下降的过程中，飞船中的宇航员处于失重状态D．神舟六号飞船绕地球的太空飞行速度比月球绕地球运行的速度要小acb5．如图所示，小物块A 与水平圆盘保持相对静止，随着圆盘一起做匀速圆周运动，下面说法正确的是（ ）A ．物块A 受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力B ．物块A 受重力、支持力、向心力和指向圆心的静摩擦力C ．物块A 相对圆盘的运动趋势方向是沿着半径且指向圆心的方向D ．物块A 相对圆盘的运动趋势方向是沿着半径且背离圆心的方向6．两个互成角度的匀加速直线运动，初速度的大小分别为v 1和v 2，加速度的大小分别为a 1和a 2,则它们的合运动的轨迹（ ）A ．如果v 1=v 2，那么轨迹一定是直线B ．如果v 1≠0，v 2≠0，那么轨迹一定是直线C ．如果2121v v a a ，那么轨迹一定是直线 D ．如果a 1=a 2，那么轨迹一定是直线 7．已知甲、乙两颗行星的质量相等，它们半径之比为p ，则下列说法正确的是（ ） A ．甲乙两颗行星的第一宇宙速度之比为p :1B ．甲乙两颗行星表面处的重力加速度之比为2:1pC ．甲乙两颗行星的各自的卫星的最大角速度之比为1:3pD ．甲乙两颗行星的各自的卫星的最小周期之比为1:3p8．两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O 为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m 1、m 2，如图所示，以下说法正确的是（ ） A ．它们的角速度相同 B ．线速度与质量成正比 C ．它们的向心力大小相等D ．轨道半径与质量成反比9．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P ，细线的上端连接在金属块Q 上，Q 放在带小孔的桌面上，小球在某一水平面上做匀速圆周运动，现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q 都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（ ）A ．Q 受到的合外力变大B ．Q 受到细线的拉力变大C ．Q 受到桌面的支持力变大D ．Q 受到桌面的静摩擦力变大10．月球是地球唯一的天然卫星，它以3683km/h 的速度绕地球运行，绕地球一周的公转周期为27.3个地球日，月球在绕地球公转的同时进行自转，在地球上只能看见月球的正面，而永远看不见月球的背面，月球的背面给人类蒙上了一层十分神秘的色彩，通过对月球运动的分析，说明人们在地球上看不到月球背面的原因是（ ） A ．月球的自转周期与地球的自转周期相同 B ．月球的自转周期与地球的公转周期相同 C ．月球的公转周期与地球的自转周期相同 D ．月球的公转周期与月球的自转周期相同11．一质量为M 的人手握长为l 的轻绳一端，绳的另一端栓一质量为m 的小球，今使小球Q P o A2在竖直平面内做圆周运动，若小球刚好能经过圆周的最高点，下面的受力分析正确的是（ ）A ．小球在圆周的最高点时人对地面的压力等于(M +m )gB ．小球在圆周的最高点时人对地面的压力等于MgC ．在小球运动过程中人对地面的最大压力等于(M +m )gD ．在小球运动过程中人对地面的最大压力大于(M +m )g12．早在19世纪,匈牙利物理学家厄缶就明确指出:“沿水平地面向东运动的物体,其重量(即列车的视重或列车对水平轨道的压力)一定要减轻”。
东北师大附中高一期末数学（附答案）
东北师⼤附中⾼⼀期末数学（附答案）2009-2010学年东北师⼤附中⾼⼀年级数学试题上学期期末考试命题⼈：刘彦永张微戴有刚审题⼈：邢昌振⾼长⽟⼀、选择题（共12⼩题，每⼩题4分，共48分）（1）设集合{1234}U =，，，，{13}A =，，{34}B =，，则C U ()AB =(A) {134}，， (B) {14}， (C) }2{ (D) }3{ （2）函数()f x =的定义域为 (A) (1)-+∞， (B) (1)-∞， (C) (11)-， (D) (11]-，（3）cos 2010=(A) 12-(B) (C) 12(D)（4）在ABC ?中，若1sin 2A =，则A =(A) 30 (B) 60 (C) 30或150 (D) 60或120（5）下列函数中是幂函数的为(A) 21x y = (B) 22x y = (C) x x y +=2(D) 1=y（6）已知函数2(3)log f x =，则(1)f 的值为 (A)21(B) 1 (C) 5log 2 (D) 2 （7）将函数x y 2sin =的图象先向左平⾏移动6π个单位长度，再向上平⾏移动1个单位长度，得到的函数解析式是 (A) 1)62sin(+-=πx y (B) 1)32sin(+-=πx y(C) 1)62sin(++=πx y(D) 1)32sin(++=πx y（8）2sin 31cos31a =和sin 28cos35cos 28sin35b =+之间的⼤⼩关系是(A) a b > (B) a b < (C) a b = (D) 不能确定（9）设1a >，且2log (1)a m a =+，log (1)a n a =+，log 2a p a =，则m n p ，，的⼤⼩关系是(A) n m p >> (B) m p n >> (C) m n p >> (D) p m n >>（10）已知ABC ?的三个顶点A B C 、、及平⾯内⼀点P 满⾜：0PA PB PC ++=，若实数λ满⾜：AB AC AP λ+=，则λ的值（B ）32（C ）2 （D ）3 (11) 函数()tan f x x x =-在区间[22]ππ-，上的零点个数是(A) 3个 (B) 5个 (C) 7个 (D) 9个(12) ⾼为H ，满缸⽔量为V 的鱼缸的轴截⾯如图1，其底部碰了⼀个⼩洞，满缸⽔从洞中流出，若鱼缸⽔深为h 时，⽔的体积为'V ，则函数'()V f h =的⼤致图象是（A ） (B) (C) (D)⼆．填空题（共4⼩题，每⼩题4分，共16分）（13）若向量a b 与的夹⾓是60，1a b ==，则2a b ?= . （14）若10≠>a a 且，则函数1)1(log +-=x y a 的图象恒过定点 .（15）设()f x 是()-∞+∞，上的奇函数，()(3)0f x f x ++=，当01x ≤≤时，()21x f x =-，则=)5.5(f . （16）在下列结论中：①函数)sin(x k y -=π()k Z ∈为奇函数；②函数44sin cos y x x =-的最⼩正周期是2π；③函数cos(2)3y x π=+的图象的⼀条对称轴为23x π=-；④函数1sin(+)23y x π=在[22]ππ-，上单调减区间是5[2][2]33ππππ--，，. 其中正确结论的序号为（把所有正确结论的序号都．填上）.图1三、解答题（共6⼩题，共56分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）（17）（本题满分8分）已知集合{}|34A x x =-≤≤，{}22|132B x m x m =-≤≤-，且A B A =，求实数m 的取值范围.（18）（本题满分8分）在直⾓坐标系中，已知(20)A ，，(02)B ，，(cos sin )C θθ，. (Ⅰ)若θ为钝⾓，且3sin =5θ，求CA CB ?. (Ⅱ)若CA CB ⊥，求sin 2θ的值.（19）（本题满分10分）的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记COP α∠=，求当⾓α取何值时，矩形ABCD 的⾯积最⼤？并求出这个最⼤⾯积.RαQPODCB A图2（20）（本题满分10分）已知函数1()log 1axf x x+=-，（其中0a >且1a ≠）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（Ⅲ）若1[0]2x ∈，时，函数()f x 的值域是[01]，，求实数a 的值.（21）（本题满分10分）已知0αβπ<<<，且tan tan αβ、是⽅程2560x x -+=的两根，试求：（Ⅰ）αβ+的值；（Ⅱ）cos(2)4πα+的值.(22)（本题满分10分）已知向量(cos 1sin )m x a x =-，，(cos 2)n x =，，其中a R x R ∈∈，，设()f x m n =?，且函数()f x 的最⼤值为()g a . （Ⅰ）求函数()g a 的解析式；（Ⅱ）设02θπ≤<，求函数(2cos 1)g θ+的最⼤值和最⼩值以及对应的θ值；（Ⅲ）若对于任意的实数x R ∈，5()2g x kx ≥+恒成⽴，求实数k 的取值范围.上学期期末考试⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分.三、解答题：本⼤题共6⼩题，共56分．解答题应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分8分）解：由条件A B A=可知，B A.当Bφ=时，22132m m->-，解得212m<；……………3分当Bφ≠时，222213213324m mmm-≥--≤解得2122m≤≤；…………6分综上可知，22m≤，即m≤≤…………………8分18．（本题满分8分）解：(Ⅰ)∵θ为钝⾓，且3sin=5θ，∴4cos=5θ=-2cos sinCAθθ=--（，），cos2sinCBθθ=--（，）.22cos2cos sin2sin2cos2sin sin cos 347CA CBθθθθθθθθθθ=----=--++=-++=--+=（）（）分(Ⅱ)由(Ⅰ)得2(cos sin)1 CA CBθθ=-++，∵CA CB⊥∴0CA CB=∴1cos sin2θθ+=，两边平⽅得112sin cos4θθ+=，∴3sin24θ=-.…………8分19．（本题满分10分）RαQPO解：在Rt OBC中，cosOB Rα=，sinBC Rα=.在Rt OAD中，sinOA AD BC Rα===.cos sinAB OB OA R Rαα=-=-. …………………2分设矩形ABCD的⾯积为S，则222222(cos sin)sin411cos2(cos sin sin)(sin2)221111(sin2cos2)sin(2)8222242S AB BCR R RR RR R Rααααααααπ-=-=-=+-=+-分分由04πα<<，得32444πππα<+<，所以当242ππα+=，即8πα=时，……9分2maxS=. …………………10分20．（本题满分10分）解：（Ⅰ）由条件知11xx+，解得11x-<<，函数的定义域为(11) -，；………3分（Ⅱ）1111()log log log()111a a ax x xf x f xx x x--++-===-=-+--因此()f x是奇函数. ………………7分(Ⅲ)112122()log log log log111111a a a ax x xf xx x x x x+-+-===+=--记2()11g xx=---，则2()11g xx=---在1[0]2，上单调递增，因此当1a>时，()f x在1[0]2，上单调递增，由1()12f=得3a=；当01a<<时，()f x在1[0]2，上单调递减，由(0)1f=得出⽭盾，aφ∈；综上可知3a=. ………………10分21．（本题满分10分）解: (Ⅰ)∵⽅程256(2)(3)0x x x x -+=--= ∴⽅程的两根分别是12=2=3x x ，. ⼜∵tan tan αβ、是⽅程2 560x x -+=的两根，∴02παβ<<<且tan tan αβ<、tan 2tan 3αβ==，，因此tan tan 23tan()11tan tan 16αβαβαβ+++===--?-，⼜∵0αβπ<+< ∴34αβπ+=.………………5分(Ⅱ) 由tan 2α=得sin 2cos αα=，∴222sin 4cos 4(1sin )ααα==- ∴24sin 5α=∵02πα<< ∴sin α=cos α=，∴22223cos 2cos sin ()(555ααα=-=-=-，4sin 22sin cos 2555ααα==??=，34cos(2)cos 2cos sin 2sin 444525210πππααα+=-=-?-?=-.………10分22．（本题满分10分）解：（Ⅰ）由题意知()f x m n =?=22cos 2sin 2sin 2sin 3x a x x a x -+=--+，令sin t x =，则11t -≤≤，从⽽222()23()3[11]h t t at t a a t =--+=-+++∈-，，，对称轴为t a =-.①当1a -≤-，即1a ≥时，2()23h t t at =--+在[11]t ∈-，上单调递减，max ()(1)22h t h a =-=+；②当11a -<-<，即11a -<<时，()h t 在[1]a --，上单调递增，在[1]a -，上单调递减∴2max ()()3h t h a a =-=+；③当1a -≥-，即1a ≤时， 2()23h t t at =--+在[11]t ∈-，上单调递增，max ()(1)22h t h a ==-+；综上，222 1()31122 1.a a g a a a a a -+≤-??=+-<，；，；， ………………4分（Ⅱ）由02θπ≤<知，12cos 13θ-≤+≤.⼜因为()g a 在[10]-，上单调递减，在[03]，上单调递增，∵(1)(3)g g -<∴max (2cos 1)(3)8g g θ+==，此时0θ=；min (2cos 1)(0)3g g θ+==，此时23θπ=. ………………7分（Ⅲ）当1x ≥时，5222x kx +≥+得122k x ≤-，即32k ≤；当1x ≤-时，5222x kx -+≥+得122k x ≥--，即3 2k ≥-；当11x -<<时，2532x kx +≥+，得2102x kx -+≥，令2221111()()2224p x x kx x k k =-+=-+-，则对称轴为12 x k =，下⾯分情况讨论：①当112k ≤-时，即2k ≤-时，21()2p x x kx =-+在(11)-，上单调递增，从⽽只须()(1)0p x p >-≥即可，解得32k >-，从⽽k φ∈；②当1112k -<<时，即22k -<<，只须2min 111()()0224p x p k k ==-≥，解得k ≤≤k ≤≤③当112k ≥时，即2k ≥时，21()2p x x kx =-+在(11)-，上单调递减，从⽽只须()(1)0p x p >≥即可，解得32k <，从⽽k φ∈；综上，实数k的取值范围是k ≤≤ ………………10分。
师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题和参考答案
师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题本卷满分150分 考试时间120分钟题号 一 二 三总 分 复 核 1 2 3 4 5 得分 阅卷教师一、选择题（每小题6分，共30分。
每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是………………【 】2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内， 非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 43、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。
甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。
若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【 】A 、甲比乙更优惠B 、乙比甲更优惠C 、甲与乙相同D 、与原标价有关 4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为【 】A 、2πB 、πC 、32D 、45、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n + 等于……………………………………………………………………………【 】 A 、36 B 、37 C 、38 D 、39二、填空题（每小题6分，共48分）1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。
2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 。
东北师大附中2010―2011学年上学期高三年级第三次摸底考试化学科试卷及答案4
适用精选文件资料分享东北师大附中2010―2011 学年上学期高三年级第三次摸底考试（化学）科试卷及答案4东北师大附中 2010―2011 学年上学期高三年级第三次摸底考试（化学）科试卷考试时间：100分钟试卷满分：100分注意事项：本试卷分第 I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，此中第II 卷第 30、31 为选考题，其余题为必考题。
考生作答时，将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。
可能用到的相对原子质量： H-1 C-12 N-14 O-16 Al-27 Fe-56 Ca-40 S-32 Na-23 Mg-24 K-39 Cu-64第 I 卷(选择题共50分)一、单项选择题（每题 2 分，共 50 分）1 ．以下说法正确的选项是A ．H、D、T 属于同位素， H2、D2、T2 属于同素异形体B ．氯水、氨水、王水是混杂物，水银、水玻璃是纯净物 C．HCl、NH3、BaSO4是电解质，CO2、Cl2 、CH3CH2OH是非电解质 D．水能、风能、生物质能是可再生能源，煤、石油、天然气是不行再生能源 2 ．某实验报告记录了如下数据，此中数据合理的是 A ．用广泛试纸测得氯水的 pH 为 2.1 B．用50mL量筒量取 23.00 mL 浓盐酸 C ．用温度计丈量出酒精的沸点为78.5 ℃ D．用托盘天平称量氧化铜粉末为 11.70g 3 ．只用试管和胶头滴管就可以鉴其余以下各组溶液是①AlCl3 溶液和 NaOH溶液②Ca(HCO3)2溶液和 NaOH溶液③NaAlO2溶液和盐酸④Al2(SO4)3 溶液和氨水⑤AgNO3溶液和氨水A．①③⑤B．①②③C．②③④D．③④⑤ 4 ．高升温度，以下数据不必定增大的是 A ．化学反应速率 v B．水的离子积常数 Kw C．化学均衡常数 K D．弱酸的电离均衡常数 Ka 5．设 NA表示阿伏加德罗常数，以下说法正确的选项是A ．在含有NA个CH3COO－的醋酸溶液中， H+ 数量略大于 NA B．N60结构如右图， 28ｇN60单质中含有的N－N键个数为NA C．2.9g 熟石膏(2 CaSO4?H2O)含有的结晶水分子数为 0.02NA D．在标准情况下， 2.24L 的 CCl4 中含有 C―Cl 键的数量约为 0.4NA 6 ．向三份 0.1 mol/L CH3COONa溶液中分别加入少许NH4NO3、Na2SO3、FeCl3 固体 ( 忽视溶液体积变化 ) ，则 CH3COO－浓度的变化挨次为 A ．减小、增大、减小 B ．增大、减小、减小 C．减小、增大、增大 D．增大、减小、增大 7 ．以下反应的离子方程式正确的选项是：A ．AgNO3溶液中滴入少许的 NaHS溶液 2Ag＋＋ S2-＝Ag2S↓ B．KI溶液与 H2SO4酸化的 H2O2溶液混杂： 2 I － + H2O2 + 2 H+ =2 H2O+I2 C ．用铜做阳极电解氯化铜溶液： Cu2＋＋ 2Cl －＝ Cu＋Cl2↑D．硫酸铝溶液与纯碱溶液混杂：2Al3 ＋＋ 3CO32－＝ 2Al(OH) 3↓＋3CO2↑ 8．除去以下物质中所含少许杂质的方法正确的选项是物质杂质试剂提纯方法 A BaSO4 BaCO3水溶解、过滤、清洗 B CO2 SO2饱和 Na2CO3溶液洗气 C 乙酸乙酯乙酸稀 NaOH溶液混杂振荡、静置分液 D 蛋白质葡萄糖浓(NH4)2SO4溶液盐析、过滤、清洗 9 ．用标准盐酸滴定未知浓度的 NaOH溶液时，若测定结果偏高，则产生偏差的原由可能是 A ．滴准时，装 NaOH溶液的锥形瓶未用 NaOH溶液润洗 B ．酸式滴定管用蒸馏水洗后，用标准盐酸润洗 C．滴定前，酸式滴定管尖嘴处有气泡，而在滴定后气泡消逝 D ．配置 NaOH溶液时，NaOH固体中混有少许 KOH固体 10 ．在 80 g 密度为 d g/cm3 的硫酸铁溶液中，含有 2.8 g Fe3+离子，则此溶液中 SO42-的物质的量浓度为( 单位为 mol?L-1) A ． B ． C． D． 11 ．以下各组离子在指定溶液中能大批共存的是①无色溶液中： K+、Na+、MnO4－、 SO42－②pH=11的溶液中： CO32－、 Na+、AlO2－、NO3－③加入 Al 能放出H2的溶液中： Cl －、 HCO3－、 SO42－、 NH4+ ④由水电离出的c(OH －)=10 －13mol?L－1 的溶液中： Na+、Ba2+、Cl －、 Br－⑤有许多Fe3+的溶液中： Na+、NH4+、SCN－、 HCO3－⑥酸性溶液中： Fe2+、Al3+ 、NO3－、 I －、 Cl － A ．①② B ．③⑥C．②④D．⑤⑥ 12 ．常温时，以下溶液的 pH或微粒的物质的量浓度关系不正确的选项是 A ．某物质的溶液中由水电离出的 c(H+)=1 ×10－ amol／L，若a>7 时，则该溶液的 pH必定为 14-a B．某溶液中存在的离子有 Cl －、OH －、NH 、H+，则离子浓度不必定是 c(Cl －)>c(NH )>c(H+)>c(OH－)C ．pH=3的二元弱酸H2R溶液与pH=11的NaOH溶液混杂后，混杂液的pH等于7，则反应后的混杂液：2c(R2－)+c(HR 一)=c(Na+) D．将 0.2 mol／L 的某一元酸 HA溶液和 0.1mol ／L NaOH溶液等体积混杂后溶液 pH大于 7，则反应后的混杂液：2c(OH一)+c(A一)=2c(H+)+c(HA) 13．以以下图：，每个编号代表以下物质中的一种物质，凡是用直线相连的两种物质均能发生化学反应。
吉林省东北师大附中10-11学年高一下学期期中考试试题物理
2010－2011学年东北师大附中高一年级物理科试卷下学期期中考试命题人：佟玉满张凤莲审题人：陈维栋注意事项：1．本试卷总分100分，考试时间100分钟；2．答题前，考生须将自己的班级、姓名、学号填写在答题纸指定的位置上；3．选择题的每小题选出答案后，填在答题卡指定的位置上；4．非选择题必须按照题号顺序在答题纸上各题目的答题区域内作答，在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
一、选择题：（本题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
）1．发现万有引力定律和首次比较精确地测出引力常量的科学家分别是（）A．开普勒、卡文迪许B．牛顿、伽利略C．牛顿、卡文迪许D．开普勒、伽利略2．下列说法正确的是（）A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动B．物体在恒力作用下有可能作曲线运动C．物体在变力作用下不可能作直线运动D．作曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向不在同一直线上3．下列说法正确的是（）A．为了把衣服甩得更干，可以提高洗衣机脱水筒的转速B．为了把衣服甩得更干，可以增大洗衣机脱水筒的转动周期C．为防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”的现象，可以增大汽车转弯时的速度D．为防止汽车在水平路面上转弯时出现“打滑”的现象，可以增大汽车与路面间的粗糙程度4．用水平恒力F作用在一个物体上，使该物体由静止沿粗糙水平面在力的方向上移动距离s，恒力F做的功为W1，功率为P1；再用同样的水平力F作用在该物体上，使该物体由静止在光滑的水平面上在力的方向上移动距离s，恒力F做的功为W2，功率为P2。
下面选项正确的是（）A．W1 =W2，P1< P2 B．W1 > W2，P1> P2C．W1 = W2，P1> P2D．W1 < W2，P1 =P25．如图所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．小球在圆周最高点时所受向心力可能等于重力B．小球在圆周的最高点时绳子的拉力可能为零C．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是0D．若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率是gl6．美国的“大鸟”侦察卫星可以发现地面上边长仅为0.36 m的物体，它距离地面高度只有16km，理论和实践都表明：卫星离地面越近，分辨率就越高，那么分辨率越高的卫星（）A．线速度一定越小B．角速度一定越小C ．周期一定越大D ．向心加速度一定越大7． 下列关于力对某个物体做功的说法正确的是（ ）A ．有加速度的物体一定有力对它做功B ．静摩擦力一定对物体不做功C ．滑动摩擦力一定对物体做负功D ．静摩擦力和滑动摩擦力都可能做正功8． 用一根细绳，一端系住一个质量为m 的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h 处，绳长l 大于h ，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动。
东北师大附中2011年理科数学模拟答案
数学（理科）参考答案及评分标准二、填空题（13）2 （14）9[,0)2- （15）384 （16）③④ 三、解答题（17）解：（Ⅰ）x x x x x x f cos 1cos 21sin 232sin 2)6sin()(2-++=++=π1)6sin(1cos 21sin 23+-=+-=πx x x ………………………………3分 ]65,6[6],,0[ππππ-∈-∴∈x x ]2,21[)(∈∴xf ………………………………6分 （Ⅱ）由()1f B =，得sin()06B π-=，故6B π=………………………………7分解法一：由余弦定理2222cos ,b a c ac B =+-得2320a a -+=，解得1a =或2a = ………………………………12分解法二：由正弦定理sin sin b c B C =，得sin C =，∴3C π=或23π。
当,32C A ππ==，从而2a == ………………………………9分当23C π=时，6A π=又6B π=，从而1a b == ………………………………11分故a 的值为1或2 ………………………………12分（18）解： (Ⅰ)专业知识成绩平均分：828892959698100937x ++++++==分； ………………………………2分综合素质成绩平均分：77788384869196857y ++++++==分………………………………4分（Ⅱ）专业知识成绩在95分以上的有4个，综合素质成绩在85分以上的有3个，所以两项成绩均达到标准的最多有3个，所以ξ=0，1，2，3， ………………………6分 将综合素质由小到大排列，再将专业成绩7个成绩进行排列，ξ=0时，后3个位置只能排专业成绩低于95分的，351)0(3733===A A P ξ ………………………7分 ξ=1时，后3个位置只有1个排95分以上的，其余排专业成绩低于90分，3512)1(37332314===A A C C P ξ ………………………8分 ξ=2时，后3个位置只有2个排95分以上，其余排专业成绩低于95分的，3518)2(37331324===A A C C P ξ………………………9分 ξ=3时，后3个位置只能排专业成绩在95分以上的，354)3(3734===A A P ξ ………………………10分 712354335182351213510)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 2≈ ……………………12分 （19）（Ⅰ）证法一:连结AC ，与BD 交于点F ，连结EF ，在矩形ABCD 中，F 为AC 中点，又E 为C A 1中点，EF //A A 1∴,又在四棱柱1111ABCD A BC D -中，C C 1∥A A 1, ∴C C 1∥EF ,又⊂EF 平面BDE ，⊄C C 1平面BDE ，//C C 1∴平面BDE ………4分证法二：连结1BD ， 四棱柱1111ABCD A BC D -中，11D A 与BC 平行且相等， ∴四边形11BCD A 是平行四边形，则C A 1与1BD 互相平分，∴1BD 经过C A 1的中点E ， ∴平面BDE 即为平面1BDD又在四棱柱1111ABCD A BC D -中，C C //D D 11，且⊂D D 1平面1BDD ，⊄C C 1平面1BDD ，∴直线//C C 1平面1BDD ，即直线//C C 1平面BDE ……………………4分（Ⅱ）解法一：连结11BD B A ，， 四棱柱1111ABCD A BC D -中，11D A 与BC 平行且相等，∴四边形11BCD A 是平行四边形，则C A 1与1BD 互相平分，∴C A 1的中点E 也是1BD 的中点，取BC 的中点H ，连结EH ，则C D //EH 1，且1211==C D EH ，又⊥C D 1平面A B C D ，∴ABCD EH 平面⊥，过点H 作HG 垂直BD 于点G ，连结EG .根据三垂线定理有BD EG ⊥，故E G H ∠是二面角C BD E --的平面角 ……………………8分在BCD Rt ∆中，51211sin 22=+==∠BC CD DBC ， ∴在HGB Rt ∆中，51=∠⋅=DBC sin HB HG ，∴在EHG Rt ∆中，5511===∠HG EH EGH tan .……………………12分解法二： 四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是矩形，⊥C D 1平面ABCD ， ∴1CD CD CB 、、两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，∵1=AB ，21==C D BC ，()()()20001-00021，，，，，，，，D D B ∴， 又由已知可得()E A ，，，2021为C A 1的中点，()()1-01101，，，，，=∴EB E ，()012，，--=BD ， ………8分设平面BDE 的法向量为()z y x ，，=， 则有⎩⎨⎧=⋅+--=⋅-⋅+002010z y x z y x ，可取()121m =，-，，又由⊥C D 1平面ABCD平面BCD 的法向量可取()100，，=，210cos 1m n m n m n⋅⋅∴===， ∴二面角C BD E --的正切值为.56666-12=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ……………………12分（20）解：（Ⅰ）由题意可知曲线1C 为以B A 、为焦点的椭圆，且1=c ，90,BAC ∠=︒52BC ∴==，42=+=∴CB CA a ，2=∴a ，3=∴b ． 曲线1C 的方程为13422=+y x ． ……………………3分 由题意可知曲线2C 为以B 为焦点，1-=x 为准线的抛物线，且2p =．曲线2C 的方程为x y 42=．……………………5分A BCD C 1B 1A 1D 1EHGF 1（Ⅱ）假设存在直线l 满足题意．由⎩⎨⎧=-++=0124322y x mkx y ， 得01248)34(222=-+++m kmx x k ． 由0)124)(34(4642222>-+-=∆m k m k ，3422+<k m ① ……………………7分设),,(),,(2211y x N y x M MN 中点),(00y x D ． 则,34422210+-=+=k kmx x x 343200+=+=k m m kx y ． ……………………8分 又 点),(00y x D 在x y 42=上，3416)343(222+-=+∴k kmk m ．2160,(43),9km m k -≠∴=+且0≠k ． ② ②代入①得3481)34(2562222+<+k k k ．即0)332)(2732(22<-+k k ．……………………10分2360,((0,)32k k ∴<<∴∈．此时，直线与抛物线在椭圆内有唯一交点，符合题意． ……………………12分 （21）解：（Ⅰ）1()3(0)f x x a x x'=+-+> ……………………1分 若函数()f x 在(0,)+∞上递增，则()0f x '≥对0x >恒成立，即1()3a x x≥-++对0x >恒成立，而当0x >时，1()323 1.x x-++≤-+= 1.a ∴≥ ………………………3分若函数()f x 在(0,)+∞上递减，则()0f x '≤对0x >恒成立，即1()3a x x≤-++对0x >恒成立，这是不可能的．综上，1a ≥． 所求a 的最小值为1． ………………………6分（Ⅱ）∵2211122212121211(3)ln (3)ln ()()22x a x x x a x x f x f x k x x x x +-+-----==-- 12012ln(3)x x x a x x =+-+-0001()3f x x a x '=+-+………………………8分 ∴11122120112012121222lnln 2(1)121()[ln ]1x x xx x x x k f x x x x x x x x x x x x x -'-=-=-=---+-+ 令122(1),()ln (01)1x t t t t t x t ϕ-==-<<+， 则22(1)()0(1)t t t t ϕ-'=>+， ∴()t ϕ在(0,1)上增函数， ∴()(1)0t ϕϕ<= …………11分∵12x x <， ∴1210x x <- ，0()0k f x '-> ，即0()k f x '> ……………12分（22）(Ⅰ) CA 切圆O 于A 点又,DBC CAF ∠=∠∴CD 为ACB ∠的平分线AFC ∆∴∽∆BDC AC CFBC CD∴= ∴CF BC CD AC ⋅=⋅ ………………………5分 (Ⅱ)AFD FCA FAC DCB ABC ADF ∠=∠+∠=∠+∠=∠AD AF =∴ 又AFC ∆∽∆BDCCDFCBD AF =∴又EFC ∆∽∆ADC2====∴ADBDAF BD CF DC EF AD . ………………………10分 （23）解：（Ⅰ）1C：122=+y x 为圆；2C ：20x y --= 为一条直线； ………………………5分（Ⅱ） ⎩⎨⎧='='yy x x 2 ∴曲线()()14:223='+'y x C 设点()2cos ,sin ([0,2))Q θθθπ∈ 则Q到直线20x y --=的距离为5d ==≥当sin()14πθ-=-，即74πθ=时，等号成立．此时2Q - 点P 、Q…………………………10分 （24）解：（Ⅰ）∵3,2()21,213, 1.x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩，∴()[3,3]f x ∈- …………………………5分 （Ⅱ）若0x >，则2333()33ax x g x ax x x-+==+-≥ 当且仅当23ax =时，min ()3g x =由（Ⅰ）知max ()3f x = ……………………………8分 若对(0,),(,)s t ∀∈+∞∀∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，即min max ()()g x f x ≥，∴33≥解得3a ≥，即a 的取值范围为[3,)+∞． …………………………10分。
东北师大附中—度上学期高一数学期末考试试题
东北师大附中2007—2008学年度上学期高一年级期末考试数学试题第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本题共有12小题，每小题4分, 共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列几何体中是旋转体的是 （ ）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体. A ． ①和⑤ B ． ① C ． ③和④ D ． ①和④ 2．如图，平面α、β、γ可将空间分成 （ ） A ． 五部分 B ． 六部分 C ． 七部分 D ． 八部分 3．直线x – y +7= 0的倾斜角等于（ ）A ． 30B ． 60C ． 45D ． 1204．如果直线 a x + 2y +2=0 与直线3x – y –2=0平行, 那么a 等于 （ ）A ． 3-B ． 6-C ． 23-D ． 32 5．下列结论中, 正确的是 （ ）⑴ 垂直于同一条直线的两条直线平行. ⑵ 垂直于同一条直线的两个平面平行. ⑶ 垂直于同一个平面的两条直线平行. ⑷ 垂直于同一个平面的两个平面平行. A ． ⑴ ⑵ ⑶ B ． ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ C ． ⑵ ⑶ D ． ⑵ ⑶ ⑷ 6．正方体的内切球的体积为π36, 则此正方体的表面积是 （ ）A ． 216B ．72C ． 108D ． 648 7．若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 （ ） A ． 2a <-或23a >B ． 223a -<< C ． 20a -<<D ． 223a -<<8．圆22:420C x y x y +-+=关于直线1y x =+对称的圆的方程是 （ ）A ． 22(1)(2)5x y ++-= B ． 22(4)(1)5x y ++-= C ． 22(2)(3)5x y ++-=D ． 22(2)(3)5x y -++=9．如图，三棱锥D ABC -中，AC BD =，且AC BD ⊥，,E F 分别是棱AB DC ,的中点，则EF 和AC 所成的角等于 （ ）A ． 30B ．45C ．60 D ． 9010．经过原点的直线l 与圆()44:22=-+y x C 有公共点, 则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B．⎡⎢⎣⎦C ． （-∞，+∞］ D ． （-∞，3-3，+∞］ 11．如图，三棱柱'''C B A ABC -的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M 是侧棱'BB 的中点，则二面角M AC B --的大小为（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ．75第11题图 第12题图12．在正方体''''D C B A ABCD -中，直线'BC 与平面BD A '所成的角的余弦值等于（ ）A ．4 BC ．3 D ．第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题（本题共4小题, 每小题4分, 共16分） 13．请写出所给三视图表示的简单组合体由哪些几何体组成..14．经过圆22(3)(5)36x y ++-=的圆心，并且与直线220x y +-=垂直的直线方程为______ .15．已知实数,x y 满足250x y --=，则22x y +的最小值为________.16．已知点(,)M x y 与两个定点(0,0)O ，(5,0)A 的距离的比为12，则点M 的轨迹方程为_______ .三、解答题（本题共6小题, 共56分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（8分）过点3(2,)2P 的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，O 为坐标原点，AOB ∆的面积等于6，求直线l 的方程.18．（8分）如图，PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点A 作AE PC ⊥，垂足为E . 求证：AE ⊥平面.PBC19．（10分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别为PA 、BC 的中点. 求证：//EF 平面PCD .20．（10分）一圆与y轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线y x =截得的弦长为求此圆的方程.21．（10分）已知圆221:24130C x y x y +---=与圆2222:2610C x y ax y a +--++= (其中0a >) 相外切，且直线:(1)770l m x y m ++--=与圆2C 相切，求m 的值.22．（10分）如图，四棱柱''''D C B A ABCD -中，侧棱与底面垂直，//AB CD ，AD DC ⊥，且,1==AD AB BC ='AA = （1）求证:'BC DB ⊥；（2）求二面角'A BD C --的大小.参考答案第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题（本题共有12小题，每小题4分, 共48分）1． D 2．B 3．C 4．B 5．C 6．A 7．D 8．C 9．B 10．C 11．A 12．B 二、填空题（本题共4小题, 每小题4分, 共16分） 13．由圆柱和圆锥组成 14．2110x y -+=15． 5 16．223310250x y x ++-=三、解答题（本题共6小题, 共56分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．解：设直线l 的方程为1x ya b+=，则(,0)A a ，(0,)B b ，由已知得0a >，且0b >. 因为 AOB ∆的面积等于6，所以 162ab =，所以12ab =.…………3分因为点3(2,)2P 在直线l 上，所以2312a b +=，所以 2232b a b -=，423ba b =-，代入12ab =，得241223b b =-，所以2690b b -+=，解得3b =. ……6分 所以4a =，直线l 的方程为143x y+=，即34120.x y +-=…………8分 18．证明：因为 PA ⊥平面,ABC 所以 .PA BC ⊥又因为 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点， 所以 ,AC BC ⊥ 所以 BC ⊥平面.PAC …………5分 而AE ⊂平面,PAC 所以 .AE BC ⊥又因为 AE PC ⊥，所以 AE ⊥平面.PBC …………8分 19．证明：取PD 的中点G ，连接EG 、CG .…………1分 因为 AE PE =，PG DG =，所以 //EG AD ，且1.2EG AD =………3分 又因为 四边形ABCD 是平行四边形，且F 是BC 的中点所以//CF AD ，且1.2CF AD = ………5分所以 CFEG ，所以 四边形EFCG 是平行四边形， 所以 //EF CG .又因为 EF ⊄平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，所以 //EF 平面PCD .…………………………………………10分注意：此题也可以取PB 的中点M ，连接ME 、MF ，可以利用平面与平面平行的判定定理证明 平面//MEF 平面PCD ，从而得出//EF 平面PCD . 20．解：设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，由已知得22222,30,().2r a a b a b r ⎧⎪=⎪-=⎨⎪-⎪+=⎩…………………………………………5分解得3,1,3.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或3,1,3.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩…………………………………………9分故所求圆的方程为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9.x y +++=…………10分 21．解：由已知，1(1,2)C ，圆1C的半径1r =2(,3)C a ，圆2C 的半径2r= 因为 圆1C 与圆2C 相外切，所以=…………4分整理，得2(1)49a -=.又因为 0a >，所以 8a=.……………6分 因为直线l 与圆2C=即=……………………8分两边平方后，整理得2780m m +=，所以0m =或87-.…………………………10分 22．解：（1）作BM CD ⊥，垂足为M ，连接AM . 因为 //AB CD ，AD DC ⊥，BM CD ⊥，且,1==AD AB所以 四边形ABMD 是正方形， 所以 1,BM DM== 所以BD = 又因为 BC = 所以 1CM ==，所以 2CD =，所以 222CD BD BC =+，所以 DB BC ⊥.……3分又因为 CC '⊥平面ABCD ，所以 'BC DB ⊥.…………………4分 （2）设AM 与BD 交于点E ，连接A E '. 由（1）知，ME BD ⊥，且DE BE =.因为 A A '⊥平面ABCD ，所以 A A AD '⊥，.A A AB '⊥ 又因为 ,1==AD AB 所以 A D A B ''=.又因为 DE BE =，所以 .A E BD '⊥综上可知A EM '∠是二面角'A BD C --的平面角. ……………7分在A AE '∆中，因为 'AA =，122AE BD ==，所以 tan AA A EA AE''∠== 60A EA '∠=，所以 120A EM '∠=， 所以 二面角'A BD C --的大小为120.…………………………10分注意：本题的第（1）问也可以通过计算得出BD =2BC '=，2C D '=，所以 222C D BC BD ''=+，因此，.DB BC '⊥。
东北师大附中10-11学年高二阶段质量验收(数学理)
东北师大附中2010—2011学年度上学期高二年级阶段质量验收数 学 试 题（理）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本卷共12小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个正确选项． 1．五进制的数()51234在十进制中是（ ）A ．184B ．190C ．191D ．1942．用更相减损术求459和357的最大公约数时，需要做减法的次数是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．73．现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为 （ ） A ．3，13，23，33，43，53 B ．2，14，26，38，40，52 C ．5，8，31，36，48，54 D ．5，10，15，20，25，304．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则24z x y =+的最小值为 （ ）A ．5B ．6-C ．10D ．10-5．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M ：“两次出现正面”，事件N ：“只有一次出现反面”，则事件M 与N 互为对立事件．②若事件A 与B 互为对立事件，则事件A 与B 为互斥事件．③若事件A 与B 为互斥事件，则事件A 与B 互为对立事件．④若事件A 与B 互为对立事件，则事件A +B 为必然事件．其中，真命题是 （ ） A ．①②④ B ．②④ C ．③④ D ．①② 6．已知某运动员每次投篮的命中率约为%40．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表明命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果． 经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 （ ） A ．0．35 B ．0．25 C ．0．20 D ．0．15 7．已知c b a ,,是实数，有下列四个命题： （1）”的充分条件；”是““22b a b a >>（2）”的必要条件；”是““22b a b a >> （3）”的充分条件；”是““22bc ac b a >> （4）”的充要条件．”是““b a b a >> 其中真命题的个数为 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．阅读右边的程序框图，若输入的n 是10，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ）A ．30，25B ．28，24C ．55，45D ．54，449．用秦九韶算法求多项式()6542356812x x x x x f +++-=在4-=x 的值时，4v 的值为（ ）其中⎩⎨⎧=+==--),3,2,1(10n k a x v v a v k n k knA ．144-B ．576C ．588D ．53610．用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，某一个体α“第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是 （ ）A ．61，61，61 B ．61，61，21C ．61，61，31D ．61，51，21 11．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．在区间[]1,1-上随机取一个数x ，2cos xπ的值介于0到21之间的概率为 （ ）A ．31B ．π2C ．61D ．32第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．防疫站对学生进行身体健康调查．红星中学共有学生1600名，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是 ． 14．为了了解某地区高三学生身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17．5岁~18岁的男生体重（kg ） ，得到频率分布直方图，如图．根据下图可得这100名学生中体重在体重(kg )第17题图D 1C 1B 1DCBA 1A（56．5,64．5）的学生人数是 ．15．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为 ．16．设m 为实数，若()(){}25,003052,22≤+⊆⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≥+-y x y x y mx x y x y x ，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共56分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分8分）在长方体1111D C B A ABCD -中，底面是边长为2的正方形，41=AA ．（Ⅰ）指出二面角D AC D --1的平面角，并求出它的正切值； （Ⅱ）求AC 与1BD 所成的角． 18．（本小题满分8分）第14题图在ABC ∆中，BC =，3AC =，sin 2sin C A =．（Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求)42sin(π-A 的值．19．（本小题满分10分） 如下图，从参加数学竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下．观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）79．5—89．5这一组的频数、频率分别是多少？ （Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是多少？（Ⅲ）估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）．20．（本小题满分10分） 袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球． （Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到白球时得1分，摸到黑球时得2分，求3次摸球所得总分大于4分的概率．21．（本小题满分10分）设数列}{n a 的前n 项和12-=n n a S ，数列}{n b 满足31=b ，k k k a b b +=+1 （其中*,N k n ∈），求数列}{n b 的前n 项和．22．（本小题满分10分）已知圆C 与直线022=-+y x 相切于点)2,2(A ，且圆心在直线x y 2-=上．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线)22(:+=x k y l 与圆C 相交于、A B 两点，O 是坐标原点．求AOB ∆的面积最大值，并求取得最大值时直线l 的方程．参考答案二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．720； 14．40； 15．8π； 16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 ． 三、解答题：本大题共6小题，共56分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）连接BD ，交AC 于O ，∠D 1 OD 为二面角 D 1-AC -D 的平面角，在OD D Rt 1∆中，41=DD ，2=OD ，2224tan 1==∠OD D ．（Ⅱ）长方体1111D C B A ABCD -中， DD 1⊥面ABCD ， ∴DD 1⊥AC ． 又正方形ABCD 中，DB ⊥AC ，D DB DD =⋂1，∴AC ⊥面BDD 1．18．解：（Ⅰ）因为sin 2sin C A =，根据正弦定理知，2c a =，即2AB BC =（Ⅱ）利用余弦定理的推论得cos 5A =，易得sin 5A =，因此4sin 22sin cos 5A A A ==，23cos 22cos 15A A =-=，所以sin(2)2cos 242210A A A π-=-=． 19．解：（Ⅰ）频率为0．025 × 10 = 0．25，频数为60 × 0．25 = 15．（Ⅱ）平均成绩为 5.7005.05.9425.05.843.05.7415.05.6415.05.541.05.44=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． （Ⅲ）0．015 × 10 + 0．03 × 10 + 0．025 × 10 + 0．005 × 10 = 0．75． 20．解：（Ⅰ）一共有8种不同的结果，列举如下： （白、白、白）、（白、白、黑）、（白、黑、白）、（白、黑、黑）、（黑、白、白） （黑、白、黑）、（黑、黑、白）、（黑、黑、黑）；（Ⅱ）记“3次摸球所得总分大于4分”为事件A ，事件A 包含的基本事件为： （白、黑、黑）、（黑、白、黑）、（黑、黑、白）、（黑、黑、黑）， 事件A 包含的基本事件数为4， 由（Ⅰ）可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为21)(=A P ． 21．解：由12-=n n a S 得)(1211*∈-=++N n a S n n ，所以n n n n n a a S S a 22111-=-=+++，即n n a a 21=+，而12111-==a a S ，得11=a ，有{}n a 是以2,11==q a 的等比数列，得)(21*-∈=N n a n n ．再由31=b ，k k k a b b +=+1，得()*-+∈=-N k b b k k k 112， 所以当2≥k 时， 221232212221222------+++++=++=+=k k k k k k k b b b b 222121311+=--+=--k k ，又223111+==-b ，即)(221*-∈+=N n b n n ，所以)(12221*∈-+=++=N n n b b b S nn n ．22．解：（Ⅰ）422=+y x ． （Ⅱ）022:=+-k y kx l ，1222+=∴k kd ，2222114)122(42k k k kAB +-=+-=∴， 2221)1(2421kk k d AB S +-=⋅=∴．由01120≠<<-⇒<<k k d 且．设)21(12<<=+t t k ，则23)2)(1()1(222-+-=--=-t t t t k k ，81)431(224231242324222+--=-+-=-+-⋅=∴t t t t t t S ，∴当431=t ，即34=t ，33±=k 时，222124max =⋅=S ， ∴S 的最大值为2，取得最大值时33±=k ．所求直线)22(33:+±=x y l ． 另解：2221)1(2421kk k d AB S +-=⋅=∴ 212)1(222241)1(22124222222=+-+⨯⨯≤+-⋅=kk k k k k ．当且仅当2212k k -=即33±=k 时，2max =S ．。
2010-2023历年辽宁省师大附中高一下学期期中考试数学
2010-2023历年辽宁省师大附中高一下学期期中考试数学第1卷一.参考题库(共20题)1.本题满分12分）已知：等差数列{}中，=14，前10项和.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将{}中的第2项，第4项，…，第项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前项和.2. 两个等差数列则=___________3.解关于x的不等式4.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A 直角三角形B等边三角形C不能确定 D 等腰三角形5.（本小题满分12）某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A或B型电视和产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？6.设m∈N+，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是（）8204 B、8192 C、9218 D、80217.已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集为()A. B. C. D.8.在△ABC中，下列各式正确的是( )A.=B.asinC=csinBC.asin(A+B)="csinA "D.c2=a2+b2－2abcos(A+B)9.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=A B C D10.（本小题满分12分）等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求11.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=．（1）求证：{}是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn=2（1－n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2<1．12. 等差数列项的和等于A B C D13.已知不等式x2+px+q<0的解集为{x| 1<x<2}，则不等式>0的解集为A (1, 2)B (－∞, －1)∪(1, 2)∪(6, +∞)C (－1, 1)∪(2, 6)D (－∞, －1)∪(6, +∞)14.已知，为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是（）A B. C.D.15.设x，y满足则z＝x＋y( )A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值16.在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，则17.如图，某药店有一架不准确的天平（其两臂长不相等）和一个10克的砝码.一个患者想要买20克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡后交给患者;然后又将砝码放在右盘中,放置药品于左盘上,待平衡后再交给患者.设患者一次实际购买的药量为m(克),则m____________20克.(请选择填“＞”“=”或“＜”)18.（本小题满分12）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA(Ⅰ)确定角C的大小：（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。
吉林省东北师大附中10-11学年高一数学第一次月考
2010—2011学年上学期高一年级（数学）科试卷注意事项：1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分。
选择题填涂在答题卡上非选择题答案填写在答题纸的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请仔细审题、认真做答。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.考察下列每组对象,能组成一个集合的是（ ）① 附中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③ 不小于3的正整数 ④3的近似值A. ①②B. ③④C. ②③D. ①③ 2.与函数1y x =+相同的函数是（ ）A ．211x y x -=- B ．1y t =+ C ．y =D ．2y =3.化简3a a 的结果是（ ）A ．aBC ．2a D 4.函数x x f 2log )(=的图象是（ ）A. B. C. D.5.李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走的比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家。
下列图象中与这一过程吻合得最好的是（ ）6. 已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,2,0,log 3x x x x f x 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为（ ） A.41B.4C.2D.21 7. ()7log 263log 33-·3log 9log 28的值是（ ） A.32B.1C.23D.34 8.已知函数2221()x x f x x ++=的值域为C ，则（ ）A ．0C ∈B ．1C -∈ C ．2C ∈D ．1C ∈9.设()f x 是定义在R 上的一个函数，则函数()()()F x f x f x =--在R 上一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数10.如果偶函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ） A ．增函数且最小值是5- B ．增函数且最大值是5 C ．减函数且最大值是5 D ．减函数且最小值是5-11.设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|3003x x x -<<<<或 12.下列函数中值域为(0，+∞)的是（ ） A . y ＝5x-21B .y ＝x-⎪⎭⎫⎝⎛131C .y ＝121-⎪⎭⎫⎝⎛xD .y ＝x 21-第Ⅱ卷（非选择题 共60分）时间时间时间时间A ．C ．D ．B ．二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13.符合条件{}},,{c b a P a ⊆⊂≠的集合P 的个数是 个.14.已知奇函数)(x f 是定义在[]1,1-上的增函数，则不等式0)1()1(2<-+-x f x f 的解集为 .15.质量为1某物质经过10年衰减为原来的一半, 那么经过 t 年, 此物质的质量是 . 16. 设βα,是方程02222=-+-m mx x ()R m ∈的两个实根,则22βα+的最小值为 .三、解答题（本题共4小题, 共40分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知：集合{|A x y ==，集合(){}3,0,122∈+-==x x x y y B ，求B A .18.证明函数()xx x f 4+=在()+∞,2上是增函数.19.已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()12-=xx f ，求⑴()x f ；⑵解不等式()1<x f .20．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈．（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．（数学）科试卷答案一、选择题C B B A D A D C A C D B二、填空题3，(]2,1，101()2t ，2.三、解答题17.[]1,3-=A ，[)0,4B =，[)3,4A B =-.18．略19.解：⑴()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-=.0,211,0,0,0,12x x x x f xx⑵不等式的解集为{}1<x x.若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤． ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+，若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤；若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+．综上，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤<-+-≤-=.21,43,2121,1,21,432a a a a a a a f。
东北师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期月考(三)数学试题(解析版)
2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高一（上）月考数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合(){},|0,R,R Mx y xy x y =<∈∈表示平面直角坐标系中（ ）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、三象限内的点集D. 第二、四象限内的点集【答案】D 【解析】【分析】根据集合M 的条件，确定x ，y 的正负，从而确定正确答案. 【详解】由0xy <，可得0x <，0y >或者0x >，0y <， 所以M 是第二、四象限内的点集． 故选：D2. 代数式22568x xy y +−=（ ） A. ()()254+−x y x y B. ()()254x y x y −+ C. ()()524x y x y +− D. ()()524x y x y −+【答案】A 【解析】【分析】利用“十字相乘法”因式分解可得答案． 【详解】()()22568254x xy y x y x y +−=+−故选：A.3. 下列表示同一个集合的是（ ） A. (){}1,2M =，(){}2,1N =B. {}1,2M =，{}2,1N =C. {|Mx y ==，{|Ny y ==【答案】B 【解析】【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可．【详解】对A ：()1,2与()2,1不同，M ，N 不是同一个集合，故A 错误； 对B ：根据集合元素的无序性知{}{}1,22,1=，故B 正确；对C ：{}|1M x x =≥，{}|0N y y =≥，M ，N 不是同一个集合，故C 错误； 对D ：(){,|M x y y x ==且}0x ≠，(){},|N x y y x ==， 故M ，N 不是同一个集合，故D 错误． 故选：B.4. 设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4,6B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}2B. {}4,6C. {}1,3,5D. {}4,6,7,8【答案】B 【解析】【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U A B ，根据集合的运算求解即可． 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U A B ， ∵{}4,6,7,8U A = ，∴(){}{}{}4,6,7,82,4,64,6U A B==． 故选：B ．5. 学校举办运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有16人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有15人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有4人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加球类一项比赛的人数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 2的【分析】根据题意，设同时参加球类与田径类的人数为x 人，然后画出韦恩图，根据图建立方程求出x 的值，进而可以求解．【详解】根据题意，设同时参加球类与田径类的人数为x 人，如图所示， 所以94351230x x x +++−++−=，解得3x =， 则只参加球类比赛的人数有1239−=人．故选：B.6. 设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =−∈∈中元素的个数是 A. 1 B. 3C. 5D. 9【答案】C 【解析】【详解】∵A={0，1，2}，B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，y 的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是5个． 故选C ．7. 若x ∈A ，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,32M=−的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 31【分析】根据题中所给的定义，结合子集的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可知：当1B −∈，要想具有伙伴关系，则必满足11B ∈−，所以集合{}1B =−符合题意；当12C ∈，要想具有伙伴关系，则必满足112C ∈，即2C ，所以集合1,22C =符合题意； 显然集合11,,22D =−也符合题意，故一共三个集合具有伙伴关系.故选：B【点睛】本题考查了新定义理解的问题，考查了数学阅读能力，考查了子集的应用，属于基础题.8. 已知集合{}220|A x mxx m =−+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为（ ）A. {}1,1−B. {}1,0,1−C. {}0,1D. ∅【答案】B 【解析】【分析】因为集合A 仅有两个子集,可知集合A 仅有一个元素.对m 分类讨论,即可求得m 的值. 【详解】由集合A 仅有两个子集 可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集 当0m ≠时,方程220mx x m −+=有两个相等实数根,则()22240m ∆=−−=,解得1m =或1m =−,代入可解得集合{}1A =或{}1A =−.满足集合A 仅有两个子集综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1− 故选:B【点睛】本题考查了集合的元素的特征,子集个数的计算,属于基础题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设集合{},,A x x m m n N ∗=+∈，若1x A ∈，2x A ∈，12x x A ⊕∈，则运算⊕可能是（ ）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法的【分析】先由题意设出111x m =+，222x m =+，然后分别计算12x x +，12x x −，21x x ，12x x ，即可得解.【详解】由题意可设111x m =，222x m =，其中1m ，2m ，1n ，2n N ∗∈， 则()1212x x m m +=+)12n n +，12x x A +∈，所以加法满足条件，A 正确；())121212x x m m n n −−+−，当12n n =时，12x x A −∉，所以减法不满足条件，B 错误；)12121212213x x m m n n m n m n =++，12x x A ∈，所以乘法满足条件，C正确；12x x =()11220m n m n λλ==>时，12xA x ∉，所以除法不满足条件，D 错误. 故选：AC .10. 下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A. ()()A C B CB. ()()A B A CC. ()()A B B CD. ()A B C 【答案】AD 【解析】【分析】根据Venn 图观察阴影部分的元素属于C ，属于A B ∩，再分析选项得到答案. 【详解】由已知的Venn 图可得：阴影部分的元素属于C ，属于A B ∩， 故阴影部分表示的集合为()()()A B C A C B C ∩∪=∪∩∪，11. 给定数集A ，对于任意,a b A ∈，有a b A +∈且a b A −∈，则称集合A 为闭集合．则以下结论中，不正确的是（ ）A. 集合{}4,2,0,2,4A =−−为闭集合B. 集合{}|3,A n n k k ==∈Z 为闭集合C. 若集合12,A A 为闭集合，则12A A ∪为闭集合D. 若集合12,A A 为闭集合，且1A ⊆R ，2A ⊆R ，则存在c ∈R ，使得()12c A A ∉∪ 【答案】ACD 【解析】【分析】根据定义，A 选项，可以验证当2a =，4b =时，6a b A +=∉，故A 错误；B 选项，整数加减结果还是整数，由闭集合定义可得B 正确；CD 选项，举两个集合特例验证即可得． 【详解】A 选项，{}4,2,0,2,4A =−−， 当2a =，4b =时，a A b A ∈∈,，但6a b A +=∉，不满足闭集合的定义，故A 错误；B 选项，{}|3,A n n k k ==∈Z ，任意a A b A ∈∈,，可设3a m =，3b n =，,m n ∈Z ，则()3a bm n +=+，()3a b m n −=−， 由m n +∈Z ，m n −∈Z ， 所以a b A +∈，且a b A −∈，故集合A 为闭集合．故B 正确；C 选项，设{}1|2,A n n k k ==∈Z ，任意11,a A b A ∈∈，可设2a m =，2b n =，,m n ∈Z ，则()2a bm n +=+，()2a b m n −=−， 由m n +∈Z ，m n −∈Z ， 所以1a b A +∈，且1a b A −∈，则集合1A 为闭集合．由B 选项分析可知{}2|3,A n n k k ==∈Z 也为闭集合．{}12,6,4,3,2,0,2,3,4,6A A ∪=−−−− ，当2a =，3b =时，()(),a A A b A A ∈∪∈∪，D 选项，设12A A ==R ，若,a b ∈R ，则a b +∈R ，a b −∈R ， 则12,A A 都为闭集合，又12A A ==⊆R R ，且12A A ∪=R ， 不存在c ∈R ，使得c ∉R ，即不存在c ∈R ，使得()12c A A ∉∪，故D 错误； 故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 定义集合运算：{*|AB x x A =∈且}x B ∉，若集合{}1,3,4,6A =，{}2,4,5,6B =，则集合*A B 的子集个数为______． 【答案】4 【解析】【分析】根据定义先求出集合*A B ，再用子集定义求子集个数． 【详解】集合{}1,3,4,6A =，{}2,4,5,6B =， 由*A B 的定义可得，{}*1,3A B =， 所以子集有∅，{}1，{}3，{}1,3，共4个． 故答案：4．13 设全集{},9U x x x ∗=∈≤N ，(){}1,3U A B ∪=，(){}2,4U A B = ，则B =________. 【答案】{}5,6,7,8,9 【解析】【分析】根据集合间的运算逐步分析即可得所求结果． 【详解】{}{},91,2,3,4,5,6,7,8,9U x x x ∗=∈≤=N ，(){}1,3UA B ∪=， {}2,4,5,6,7,8,9A B ∴= ，又(){}2,4U A B = ，2A ∴∈，4A ∈，2∉B ，4B ∉，{}5,6,7,8,9B ∴=. 故答案为：{}5,6,7,8,9.14. 设集合{}1,2A=−，{}|10,B x ax a =−=∈R ，若B A ⊆，则a 的值为______．【答案】0或1或12− 为.【详解】由{}|10,Bx ax a =−=∈R ，方程10ax −=至多1个解，故{}1,2B ≠−.B A ⊆ ，B ∴=∅或{}2−或{}1，①若B =∅，则0a =； ②若{}1B =，则1a =； ③若{}2B =−，则210a −−=，解得12a =−； 综上可得，0a =或1或12−. 故答案为：0或1或12−. 四、解答题：本题共4小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知{|23}A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<−或5}x >，若A B φ= ，求a 的取值范围． 【答案】1232[,](,)−∪+∞ 【解析】【分析】根据题意，可分A φ=和A φ≠两种情况，结合集合交集的概念及运算，列出不等式（组），即可求解.【详解】由题意，集合{|23}A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<−或5}x >，且A B φ= ， 当A φ=时，可得23a a >+，解得3a >，此时满足A B φ= ；当A φ≠时，则满足232135a a a a ≤+≥− +≤，解得122a −≤≤，综上可得，实数a 的取值范围是1232[,](,)−∪+∞. 16. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈N |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x ∈N |x 2－5x ＋q ＝0}．若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，试求： （1）p ＋q 的值；（2）满足S ⊆(A ∪B )的集合S 的个数．【分析】（1）利用已知(){2}U A B = ，得到2B ∈，进而求出q ，再由(){4}U A B = ，得到4A ∈，进而求出p ，从而求出p q +的值；（2）利用（1）可得集合,A B ，进而写出A B ，从而求得集合S 的个数. 【详解】（1）依题意，知2∈B ，所以22－5×2＋q ＝0，所以q ＝6. 又由4∈A ，所以42＋4p ＋12＝0，所以p ＝－7， 所以p ＋q ＝－7＋6＝－1.（2）由（1）知A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3，4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，所以A ∪B ＝{2，3，4}．因为S ⊆(A ∪B )，所以S 的个数为23＝8.17. 设实数集R 为全集，{}|0215A x x =≤−≤，{}2|0B x x a =+< （1）当4a =−时，求A B ∩及A B ；（2）若()B A B ∩=R ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1|22∩=≤<A B x x ，{}|23A B x x =−<≤（2）1,4−+∞【解析】【分析】（1）当4a =−时，根据集合的基本运算即可求A B ∩及A B ；（2）根据条件()B A B ∩=R ，得到B A ⊆R ，然后建立条件方程即可求实数a 的取值范围． 【小问1详解】由条件知1|32A x x=≤≤， 当4a =−时，{}{}2|40|22Bx xx x =−<=−<<，1|22A B x x∴∩=≤<，{}|23A B x x ∪=−<≤；【小问2详解】由()B A B ∩=R ，即B A ⊆R ， 当B =∅时，即0a ≥时成立， 当B ≠∅，即0a <时，则{|Bx x =<<12≤， 解得104a >≥−， 综上a 的取值范围是：1,4∞−+. 18. 已知集合(){}2,2,A x y y xx m x ==++∈R ，(){},1,B x y y x x ==+∈R ，(){},31,02C x y y x x ==+≤≤.（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围； （2）若A C ∩≠∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）5|4m m>（2）51,4−【解析】【分析】（1）若A B =∅ ，则221x x m x ++=+，没有实数解，结合二次方程根的存在条件即可求解；（2）若A C ∩≠∅，则2231x x m x ++=+在02x ≤≤上有解，分离参数后结合二次函数性质即可求解．【小问1详解】 因为集合(){}2,2,A x y y xx m x ==++∈R ，(){},1,B x y y x x ==+∈R ，若A B =∅ ，则221x x m x ++=+，没有实数解， 即210x x m ++−=没有实数解，5第11页/共11页 故m 范围为�mm |mm >54�； 【小问2详解】 (){}2,2,A x y y x x m x ==++∈R ，(){},31,02C x y y x x ==+≤≤， 若A C ∩≠∅，则2231x x m x ++=+在02x ≤≤上有解， 即21m x x =−++在[0,2]上有解， 结合二次函数的性质可知，当02x ≤≤时，2511,4x x−++∈−， 故m 的范围为51,4 −. 的。
东北师范大学附属中学数学高一下期末经典测试题(含解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12728]△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b=ABC ．2D ．32．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >3．(0分)[ID ：12704]在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．324．(0分)[ID ：12701]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A c B b =，sin 4B =，4ABC S =△，则b =（ ）A ．B ．C D 5．(0分)[ID ：12691]已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ）A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 C ．{}21x x -<<D ．{}21x x x <->或6．(0分)[ID ：12684]设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +7．(0分)[ID ：12675]要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 8．(0分)[ID ：12630]已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( )A ．23B ．24C ．25D ．269．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生11．(0分)[ID ：12647]与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=12．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒13．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．14．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1015．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68B ．67C ．61D ．60二、填空题16．(0分)[ID ：12825]在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________．17．(0分)[ID ：12813]函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 18．(0分)[ID ：12798]若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________19．(0分)[ID ：12795]已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .20．(0分)[ID ：12758]关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．21．(0分)[ID ：12741]已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．22．(0分)[ID ：12740]从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______23．(0分)[ID ：12739]设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝_______．24．(0分)[ID ：12785]等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________． 25．(0分)[ID ：12742]如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．三、解答题26．(0分)[ID ：12895]已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈（I ）求2f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.27．(0分)[ID ：12884]已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．28．(0分)[ID ：12873]如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值.29．(0分)[ID ：12864]如图，在等腰直角OPQ ∆中，090POQ ∠=，22OP =M 在线段PQ 上.(Ⅰ) 若5OM =PM 的长；（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.30．(0分)[ID ：12851]等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．D 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．C 9．D10．C11．C12．B13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答18．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：20．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答23．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan（kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式24．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投25．【解析】在正四棱锥中顶点S在底面上的投影为中心O即底面ABCD在底面正方形ABCD中边长为2所以OA=在直角三角形SOA中所以故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和212AC ，代入可求得结果.【详解】E 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+ ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅ 222OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：212AC AO AC ⋅=22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=本题正确选项：D【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.4．D解析：D【解析】【分析】利用正弦定理化简sin5sin2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin B=，求得cos B，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由于sin5sin2A cB b=，有正弦定理可得：52a cb b=，即52a c=由于在ABC中，sin B=，ABCS=△1sin2ABCS ac B==联立521sin2sina cac BB⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a=，2c=由于B为锐角，且sin B=，所以3cos4B==所以在ABC中，由余弦定理可得：2222cos14b ac ac B=+-=，故b=（负数舍去）故答案选D【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．5．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得,a b；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】220ax bx++>的解集为{}12x x-<<1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <1212122ba a⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：112x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.6．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．7．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.8．C解析：C 【解析】【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b ba ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．D解析：D 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】函数()lg f x x x =的定义域为{}0x x ≠，定义域关于原点对称，()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.10．C解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】 在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．13．C解析：C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m的值. 【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.14．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】 ①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．15．B解析：B 【解析】 【分析】 首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为解析：6π【解析】由23sinC sinB = 得23c b =， 所以2223323a b bc b -==⋅，即227a b =， 则222222212732243b c a b b b cosA bc b+-+-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为6π. 17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用．【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.18．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属解析：426+ 【解析】 【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】 因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故222cos 1sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=2212242sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎫⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：426+ 【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒【解析】 【分析】 【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602θθ︒⇒==20．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真，则()24420a a ∆=--≥，解得：2a ≤-或1a ≥，若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =， 故答案为2a ≤-或1a = 【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答解析：13【解析】 【分析】 【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163=； 故答案为13． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．23．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式【解析】 【分析】先把已知条件转化为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-．利用正切函数的周期性求出3k πθπ=+，即可求得结论．【详解】因为10721717btana tan tanb tan a πππθπ+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭-，（tanθb a =） ∴10721k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3π+）=∴ba=． 【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．24．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-【解析】 【分析】建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B，(C ， 则：()2,0AB =，(BC =-，2AB BC ⋅=- 且2AB =，10BC = 据此可知AB 在BC 方向上的投影为212AB BC AB⋅-==-.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为 解析：423【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以2，在直角三角形SOA 中()2222222SO SA OA =-=-=所以1122233V sh ==⨯⨯=23 故答案为423三、解答题 26．（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ，＝﹣226sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．27．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩.解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()221112224222x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 28．（1）1tan 3cos 2t θθ=+-；（2）6π 【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值．【详解】（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02πθ<<， 所以2tan PC θ=，2cos AC θ=，122tan BC θ=-， 所以t 关于θ的函数为2122tan 1tan 3242cos 4cos 2AC BC t θθθθ-=+=+=+-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθθθ-=+-=+， 令2sin 0cos y θθ-=>，则22sin 2cos 14y y θθ=++解得32y ，当且仅当1sin ,cos 2θθ= 即6πθ=时，所花时间t 最小．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．29．(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=︒时， OMN ∆的面积的最小值为8-【解析】【分析】【详解】解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP 中,由正弦定理, 得sin OM OPM ∠=sin OM OPM∠, 所以OM=()sin 45sin 45+OP α。
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东北师大附中
2010—2011学年上学期高一年级“十一假期作业验收考试”
数 学 试 题
注意事项： 1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分。
选择题
填涂在答题卡上非选择题答案填写在答题纸的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标
号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．请仔细审题、认真做答。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．考察下列每组对象,能组成一个集合的是 （ ） ① 附中高一年级聪明的学生 ② 直角坐标系中横、纵坐标相等的点 ③ 不小于3的正整数 ④
3的近似值
A ．①②
B ．③④
C ． ②③
D ． ①③ 2．与函数1y x =+相同的函数是
（ ）
A ．2
11
x y x -=- B ．1y t =+
C ．y =
D ．2
y = 3．化简3a a 的结果是
（ ）
A ．a B
C ．2
a D 4．函数x x f 2
log )(=的图象是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走的比较慢；然后他们索性停下来
将问题彻底解决；最后他快速地回到了家。
下列图象中与这一过程吻合得最好的是 （ ）
6．已知函数()⎩⎨⎧≤>=.0,
2,0,log 3x x x x f x 则⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f 的值为
（ ）
A ．
4
1 B ．4 C ．2
D ．2
1
7．(
)
7log
263log 3
3-·
3
log
9log 2
8的值是
（ ）
A ．
3
2
B ．1
C ．2
3 D ．3
4
8．已知函数2
2
21
()x x f x x
++=的值域为C ，则 （ ）
A ．0C ∈
B ．1
C -∈ C ．2C ∈
D ．1C ∈
9．设()f x 是定义在R 上的一个函数，则函数()()()F x f x f x =--在R 上一定是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
10．如果偶函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上
是
（ ）
A ．增函数且最小值是5-
B ．增函数且最大值是5
C ．减函数且最大值是5
D ．减函数且最小值是5-
11．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是
（ ）
A ．{}|303x x x -<<>或
B ．{}|303x x x <-<<或
时间
时间
时间
时间
A ．
C ．
D ．
B ．
C ．{}|33x x x <->或
D ．{}|3003x x x -<<<<或 12．下列函数中值域为（0，+∞）的是
（ ）
A ． y ＝5x -21
B ．y ＝x
-⎪
⎭
⎫
⎝⎛131
C ．y ＝121-⎪⎭
⎫ ⎝⎛x
D ．y ＝x
21-
第Ⅱ卷（非选择题 共60分）
二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）
13．符合条件{}},,{c b a P a ⊆⊂≠
的集合P 的个数是 个．
14．已知奇函数)(x f 是定义在[]1,1-上的增函数，则不等式0)1()1(2<-+-x f x f 的解集为 ．
15．质量为1某物质经过10年衰减为原来的一半, 那么经过 t 年, 此物质的质量
是 ． 16．设βα,是方程0222
2
=-+-m
mx x ()R m ∈的两个实根,则2
2
β
α
+的最小值
为 ．
三、解答题（本题共4小题, 共40分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知：集合{|A x y ==
，集合(){}
3,0,122
∈+-==x x x y y B ，求
B A ．
18．证明函数()x
x x f 4+=在()+∞,2上是增函数．
19．已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()12-=x
x f ，求⑴()x f ；⑵解
不等式()1<x f ．
20．设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值．
参考答案
一、选择题C B B A D A D C A C D B 二、填空题3，(]
2,1，10
1
()
2
t ，2．
三、解答题
17．[]1,3-=A ，[)0,4B =，[)3,4A B =- ． 18．略
19．解：⑴()⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-=.0,211,0,0,0,
12x x x x f x
x
⑵不等式的解集为{}1<x x ．
20．解：（1）当0a =时，2
()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；
当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，
∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．
（2）①当x a ≤时，函数2
2
13()1()24
f x x x a x a =-++=-
++
，
若12
a ≤
，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，
∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；
若1
2a >
，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13
()24f a =
+，且1
()()2
f f a ≤．
②当x a ≥时，函数2
213()1()24
f x x x a x a =+-+=+-+，
若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1
()()
2f f a -≤；
若1
2
a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，
∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2
()1f a a =+．
综上，()⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧>
+≤<-+-≤-=.
21,43,212
1,
1,2
1,43
2
a a a a a a a f。