S&Sch4-1连续周期信号频域分析

fT (t )
n =
Cn e jn0t

不同的时域信号，只是傅立叶级数的系数不同，因此 通过研究傅立叶级数的系数来研究信号的特性。
傅立叶级数的系数是频率的函数，它反映了组成信号各 正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。 2、频谱的表示： 通常直接画出信号各次谐波对应的An、 Cn线状分布 2013-8-5 信号与系统 图形，这种图形称为信号的频谱图。
(5) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
• 半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐 波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
2013-8-5 信号与系统
说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现 出某种对称特性
f (t )
A


3T 2T T 0
可见纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只 2013-8-5 含有直流项与余弦项。 信号与系统
(3) 原点对称信号 fT(t)=fT(t)
f(t) A
T0 / 2
0 T0 / 2 -A
t
2 an fT (t ) cos n 0tdt 0 T T 2 4 2 bn fT (t ) sin n 0tdt fT (t ) sin n 0tdt T T 0
0
1
sin n0 cos n0 1 1 2013-8-5 信号与系统 (cos n 1) 2 2 2 n0 (n0 ) (n0 ) (n )
2 0 T
2 /(n ) 2 , n为奇数 Cn (cos n 1) 2 (n ) n0 1 / 2, 1
可见原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只 2013-8-5 信号与系统 含有正弦项。
T 2 T 2 T 2 T 2
(4) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的 偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
2013-8-5 信号与系统
f (t ) C0
n n 1

1
Cn ejn0t源自 Cn e jn0tn 1

C0 Cn e jn0t Cn e jn0t C0 2 Re( Cn e jn0t )
n 1


Cn an jbn 2
由于Fourier级数的系数Fn一般为复数，记 由于C0是实的，所以b0=0，故 2013-8-5 信号与系统
信号与系统
jn0t0
Cn
2013-8-5
3.卷积性质
若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且
f1 (t ) C1n ,
f 2 (t ) C2n
则有
4. 微分特性
f1 (t ) * f 2 (t ) T0C1n C2n
若
f (t ) Cn
则有
5. 对称特性
2013-8-5
一、周期信号的傅立叶级数展开
1. 周期信号展开为傅立叶级数条件
周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即： (1) 绝对可积，即满足

T /2
T / 2
f (t ) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。 注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
2013-8-5 信号与系统
2.
指数形式傅立叶级数
f (t ) Cn e jn0t
fT (t )e jn 0t dt

连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
n =
其中
1 Cn T

T 2 T 2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。 Cn 为复数，可以表示成模与幅角的形式，即 2013-8-5 信号与系统
Cn Cn e j n
3. 三角形式傅立叶级数
若f(t)为实函数，则指数Fourier级数展开式中的系数满足
Cn C n
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为


Sa(
n0 jn0 t )e 2
由
f (t ) C0 2 Re( Cn e jn0t )
n 1
可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为
f (t ) (A / T0 ) (2A / T0 )Sa (n0 / 2) cosn0t
n 1
若=T/2，则有

0
a 称为信号的直流分量， 2
信号与系统
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
2013-8-5
例4-1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级 数展开式。
f (t )
A
-T
0

T
t
解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。
第四章 连续时间信号的频域分析
第一节 周期信号的频域分析
一、 周期信号的傅里叶级数展开
二、 周期信号的频谱及其特点 三、 傅里叶级数基本性质 四、 离散频谱与功率分配
2013-8-5 信号与系统
周期信号频域分析的意义
周期信号分析 是把信号表示为不同频率正弦分量的线性组合
（1）从信号分析的角度，几乎一切实际信号都可以
表示为不同频率正弦分量（或指数分量）的线性组合， 这样，不同的信号都归结为正弦分量，为不同的信号 之间进行比较提供了途径。 （2）从系统分析角度，线性时不变系统在单频正弦 信号激励下的稳态响应仍是同频率的正弦信号。在多 个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，只需利用 线性系统的迭加特性即可求得，而且每个正弦分量通 过系统后，是衰减还是增强一目了然。 2013-8-5 信号与系统
周期信号的频谱
f(t)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 0.3 0.2 0.1 0.6 0.5 0.4
An
t
0
0
0
5 0
7 0
9 0
n 0
由图中各分量合成的波形 1 f(t) 0.5 0.4 0.3 0.2 0
3．频谱的特性
(1)离散频谱特性 所有周期信号的频谱都是由ω 0为间隔的谱线组成。 信号周期T越大，ω 0就越小，则谱线越密。反之，T越小， ω 0越大，谱线则越疏。 (2)幅度衰减特性 当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大时，幅度频谱|Cn| 不断衰减，并最终趋于零。 若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频 谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分 就越多，幅度频谱衰减越慢。 f(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减
a0 C0 2
整理后得三角形式傅立叶级数，为
a0 f (t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n 1
2 T 其中：a0 2T f (t )dt T 2
2 T an 2T f (t ) cos n0tdt (n = 1,2 ) T 2 2 bn T
f ' (t ) jn 0Cn
(1)若f(t)为实信号
信号与系统
则 | Cn || Cn |
n n
5. 对称特性
(2) 纵轴对称信号 fT(t)=fT(t)
f(t) A t
T0 / 2
0
T0 / 2
2 T 4 T an 2T fT (t ) cos n0tdt 2 fT (t ) cos n0tdt T 2 T 0 T 2 2 bn T fT (t ) sin n 0tdt 0 T 2
2013-8-5 信号与系统
三、傅里叶级数的基本性质
1. 线性特性
若
f1 (t ) C1n ,
f 2 (t ) C2n
则有
2. 时移特性
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 C1n a2 C2n
若
则有
f (t ) Cn
f (t t0 ) e
2013-8-5 信号与系统 f(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
(3)信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有 效频带宽度,即
B
2

信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其ω B越小；反之， 越小，其ω B越大。 物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不 会对信号产生明显影响。 说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。
1 Cn T

T 2 T 2
f (t )e
jn0t
1 1 0 jn0t dt ( te dt te jn0t dt) 0 2 1
0 1
1 (te jn0t 2 jn 0
e
1
0
jn0t
dt te
jn0t
1 0
e jn0t dt)
1 4 f (t ) cos n0t 2 2 m =1 [(2 m 1) ]
2013-8-5
1 4 4 4 信号与系统 2 cos0t 2 cos30t cos50t 2 2 9 25
二、 周期信号的频谱及其特点