第1部分-专题3-第1讲

( 比) 数 列
”．体 现 了 方 程 思 想 的 应
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用 ． 3． 在 使 用 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 时 ， 若 公 比 q不 能 确 定
是 否 为 1， 应 分q＝1和q≠1两 种 情 况 讨 论 ．
菜
单
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变式训练1 (2013· 潍坊模拟)已知等差数列{an}的前5项
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主 干 考 点 回 扣
1．本 例2 ( ) 中 ， 通 项 公 式 含 偶 数 两 种 情 况 讨 论 ． 2． 涉 及 等 差 的 通 项 公 式 、 求 和 公 式
( －1 )
n－1
， 故 需 分
n为 奇 数 与
本 讲 命 题 视 角
(比)数 列 的 运 算 ， 一 般 是 利 用 等 差 “知 三 求 二
本 讲 命 题 视 角
【解析】 在等比数列{an}中，a3a7＝a 2 5 ；a2a6＝a3a5， 所以
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2 2 2 2 a2 3＋2a2a6＋a3a7＝a3＋2a3a5＋a5＝(a3＋a5) ＝(2 2) ＝8.
【答案】
8
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4．(等差数列的通项公式)若数列{an}满足
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等 比 数 列 a2 al(m，k，l∈N*且m，k， k ＝ a m· l成 等 差 数 列 ) a m· an＝ap· aq(m，n，p，q∈N*且 m＋n＝p＋q) 当n为 偶 数 时 ： S偶 ＝q(公 比 ) S奇 依 次 每 k项 的 和 ： Sk，S2k－Sk， S3k－S2k，„构 成 等 比 数 列 (k不 为 偶 数 且 公 比 q≠－1)
设出等比数列的公比，利用已知条件建立关
本 讲 命 题 视 角
于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn. 设等比数列{an}的 首 项 为 a1，公比为q，则：
由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.① 由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.②
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由①②解得q＝2，a1＝2. a11－qn 21－2n n＋1 故Sn＝ ＝ ＝2 －2. 1－q 1－2
2 ( ) 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差 数列，且a2＋a3＋a4＝－18.
主 干 考 点 回 扣 本 讲 命 题 视 角
①求数列{an}的通项公式． ②是否存在正整数n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符 合条件的所有n的集合，若不存在，说明理由． 【思路点拨】 (1)先求am，am＋1，再根据am，am＋1，Sm
本 讲 命 题 视 角
1．(等比数列的前n项和)( 2 0 1 3 ·
北京高考)若 等 比 数 列
{an}
满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝_ _ _ _ _ _
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；前n项和Sn
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＝________.
菜
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【解析】
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1．本例2 ( ) 用a
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2 9
＝a11a7求解，过程简单，当然也可以把
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a9、a11用a7、公比q表 示 出 来 ， 求 解 ． 2．等差、等比数列的性质
类型 等 差 数 列 项的 2ak＝am＋al(m，k，l∈N*且m， 性质 k，l成 等 差 数 列 ) am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈ N*，且m＋n＝p＋q) 和的 当n为 奇 数 时 ： 性质 n＋ 1 Sn＝na 2 依 次 每 k项 的 和 ： Sk，S2k－Sk， S3k－S2k，„构 成 等 差 数 列
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A．297 2 ( ) 2 ( 0 1 3 ·
B．144
C．99
三门峡模拟)在 等 比 数 列 ) C．2
{an}中，若a3a5a7a9a11
a2 9 ＝243，则a 的值为( 11 A．9
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B．1
D．3
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【思路点拨】 1 ( ) 先求a4和a6， 然 后 再 根 据 ＋a6求S9.
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第 一 讲
等 差 数 列 、 等 比 数 列
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【 解 析 】 20a1＋a20 ∵S20＝ ＝100， 2
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∴a1＋a20＝10. ∵an>0， a7＋a14 2 a1＋a20 2 ∴a7· a14≤( 2 ) ＝( 2 ) ＝25， 当且仅当a7＝a14时取“＝”．
【答案】 25
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1 1 5 ∴a ＝3＋(n－1)×2＝2n－3， n 3 ∴an＝ . 6n－5
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3 【答案】 6n－5
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5．(等差数列前n项和)已知正数组成的等差数列{an}，
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其前20项和为100，则a7· a14的最大值是__________．
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列方程组求m. (2)①先求a1，q，再求通项公式；②根据等比数列的前n 项和公式列出关于n的不等式，通过解不等式进而作出判 断．
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Байду номын сангаас
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【自 主 解 答 】
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1 ( ) ∵{an}是 等 差 数 列 ，
Sm－1＝ － 2，Sm＝
【答案】 C
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2 ( ) ①设 等 比 数 列
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{an}的 公 比 为
q， 则 a1≠0，q≠0 .
由 题 意 得
S2－S4＝S3－S2， －1 8， a2＋a3＋a4＝
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2 3 2 －a1q －a1q ＝a1q ， 即 2 a q 1 ＋ q ＋ q ＝ －1 8， 1
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1 ( )
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2 ( 0 1 3 ·
课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项 )
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和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( A．3 B．4 C．5 D．6
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＋a 5 1 02
＝_ _ _ _ _ _ _ _ . ＝5.
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＝10，所以a 8 01 ＝3×5＝15.
＝3a 8 01
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【答案】
15
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3．(等比数列的性质)在各项均为正数的等比数列{an} 中，a3＝ 2－1，a5＝ 2＋1，则a2 _ _ _ _ _ _ _ . 3＋2a2a6＋a3a7＝_
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1 an＋1
＝
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2an＋1 ，且a1＝3，则an＝_ _ _ _ _ _ _ _ . an 2an＋1 1 1 1 【解析】 由 ＝ ，得 － ＝2， a an＋1 an＋1 an n
1 1 ∴数列{a }是首项为3，公差为2的等差数列． n
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a1＋a9＝a4
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2 ( ) 先求a7，再利用a2 a7求解． 9＝a11·
【自主解答】 1 ( ) 由a1＋a4＋a7＝39，得3a4＝39，a4＝ 13. 由a3＋a6＋a9＝27，得3a6＝27，a6＝9.
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9a1＋a9 9a4＋a6 9×13＋9 所以S9＝ ＝ ＝ ＝99. 2 2 2 2 ( ) 由a3a5a7a9a11＝a5 7＝243得a7＝3， a2 a11· a7 9 所以a ＝ a ＝a7＝3. 11 11 【答案】 1 ( C ) 2 ( D )
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2 ( ) 由an＝7n≤72m，得n≤72m－1. 即bm＝72m－1. bk＋1 72k 1 因 为 b ＝ 2k－1＝4 9， 7 k
＋
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所 以 {bm}是 公 比 为
即(－2 ) n≤－2 0 1 2 . 当n为 偶 数 时 ， ( －2 ) n>0，上式不成立；
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当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012， 即n≥11. 综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合 为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．