立体几何之空间角(经典)
立体几何综合复习——空间角(完整版)
立体几何专题复习-----空间角的求法
（一）异面直线所成的角：
定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上
理解说明：
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。 （2）异面直线所成的角的范围：]2
,
0(π
（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：
法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；
法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求
(5).向量法： CD
AB CD AB →
→=
.cos θ
（二）直线和平面所成的角
1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
2、记作：θ；
3、范围：[0，2
π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π
，即直线与平面垂直；
1.二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线
,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l
αβ--的平面角
（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角
说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）
空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面举例说明。
一、异面直线所成的角：
例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。E 、F 分别是
线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，
把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）
解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的
正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是
11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：
11222222
11
21cos 14
132(4)22EC FD EC FD β⋅=
=
=
⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）
空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：
0° < 90°、0°< < 90°、
0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。下面举例说明。
一、异面直线所成的角：
例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。E 、F 分别是
线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，
uuu uuu
把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与
FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）
uuu uju umr
解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的
•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4
解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
立体几何空间角 专题
P
C
D
B
A
立体几何空间角 专题
空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090
θ<≤
（一）平移法
【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，
且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC
与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD
==PE
==∴由余弦定理得
222c o s 26
PC CE PE PCE PC CE +-∠==-
⋅
∴PC 与BD 所成角的余弦值为
6
3
（二）补形法
【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D
为AC 中点。求异面直线1AB 与1BC A 1C 1
【答案】125
直线与平面所成角的范围：0
90
θ≤≤
方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）
【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，
点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
立体几何-空间角题型
立体几何-空间角求法题型
空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，
也是历年来高考命题
者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其 取值范围分别是：
0° <90°、0°< <90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化 到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是: 一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面针 对几何法举例说明。 、异面直线所成的角:
【例】如右下图，在长方体ABCD AB i C i D i 中，已知AB 4 , AD 3 , AA 2。
E 、
F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。求直线EC 1与FD 1所成的
角的余弦值
解：延长BA 至点日，使AE=1，连结EF DE 1、
D 1
E 1、DF,
有 D 1C 1//E 1E , DQ=E 1E ,则四边形 D 1E 1EG 是平 行四边形。贝U E 1D 1//EC 1
于是/ E 1D 1F 为直线EG 与FD 1所成的角
2 J 2 2 2
DD 1 、AE 1 AD DD 1
12 32 22 J4
在 Rt A D 1DF 中, FD 1 、、FD 2 DD 12
.CF 2 CD 2 DD 12
.22 42 22
-24
在厶日FDi 中，由余弦定理得:
在 Rt A BEiF 中,
v''E 1 F 2 BF 2
D 1
E 1 \ DE ； 在 Rt A D 1DE1 中,
立体几何-空间角知识点
立体几何-空间角知识点
1.两条异面直线所成的角
(1)异面直线所成的角的范围：(0,］。
2
(2)异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b垂直，记作a b。
(3)求异面直线所成的角的方法：
(1 )通过平移，在一条直线上(或空间)找一点，过该点作另一(或两条)直线的平行线;
(2 )找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。
平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。
2•直线和平面所成的角(简称“线面角”)
(1) 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条
斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或
在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围：
(2) 最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内
经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
(3) 公式：已知平面的斜线a与内一直线b相交成B角, 且a与相交成1角，a
在上的射影c与b相交成2角，则有cos 1 cos 2 cos
由(3)中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。
3•二面角
(1)二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，
其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫
做二面角的面。若棱为I，两个面分别为，的二面角记为
第1页(共2页)
（2）二面角的平面角：
数学高考立体几何求空间角 (共12张PPT)
课堂小结
利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：确定点的坐标； 第三步：求向量(直线的方向向量Leabharlann Baidu平面的法向量) 坐标； 第四步：计算向量的夹角(或函数值)； 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角； 第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规 范．
作业:
跟踪巡航 2、3
类型二 求直线与平面的夹角
[例2] (2016·高考全国丙卷)如图，四棱锥P－ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
[方法引航]利用向量法求直线与平面的夹角的方法： （1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向 向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）； （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向 量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和 平面的夹角.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
[方法引航] 用向量法求异面直线的夹角的一般步骤： 1选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； 2确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； 3利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； 4两异面直线的夹角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值.
立体几何篇(空间角之二面角)
立体几何篇（空间角专题之二面角）
二面角的定义：
在两个平面的交线上任取一点，过该点，在各自的平面内作交线的垂线，两根射线所成的平角即为两个平面的二面角，二面角的范围为ο
≤θ或]
0≤
180
,0[π
二面角的求法：
1、定义法：
2、三垂线法：（最重要的方法）
3、面积比法：
4、垂面法：
5、向量法：（建系）
例题
1、定义法：（当等腰三角形出现的情况下，用定义法）
1、求正四面体相邻的两个平面的所成二面角余弦值的大小
2、如图，在三棱锥A BCD
-中，侧面ABD ACD
，是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且31
AD BD CD
===
，，另一侧面ABC是正三角形．
（1）求证：AD BC
⊥；
（2）求二面角B AC D
--的余弦值；
2、三垂线法（也叫站柱法）
三垂线定理：
（1）垂直于斜线由垂直于射线；（2）垂直于射线则垂直于斜线。A
B
C
D
例3、如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的正切值；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C所成角的正切值．
例4、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形, AB ∥CD ,∠DAB = 60,
FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB =CD =CF .
(Ⅰ).求证: BD ⊥平面AED .
(Ⅱ)求二面角F -BD -C 的余弦值.
E F B
A C D
3、面积比法
原射
S S =θcos
例5、1111D C B A ABCD -是长方体，侧棱1AA 长为1，底面为正方体且边长为2，E 是棱BC 的中点，求面DE C 1与底面CDE 所成二面角的正切值。
立体几何专题空间角
立体几何专题：空间角
一、异面直线所成的角
基础知识
1.定义：
2.范围：
3.方法： 平移法、问量法、
（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角
形，并解三角形求角。 （2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公
式b a =
><=,cos cos θ
求出来
方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 ⋅
代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量
),,(111z y x = ),,(222z y x =2
2
22222
1
2
12
12
12121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=
∴θ
二、直线和平面所成的角
基础知识
1.定义：
2.平面所成角范围是 。
3. 求法： 几何法 向量法
（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此
角。 （2）向量法：设直线a 与平面α所成角为θ，直线a 的方向向量与面α的法向量分别是,, 则
>
，m =><=cos sin θ三、平面与平面所成的角 基础知识
1.定义：
二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角
平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二
面角的平面角，二面角的取值范围是 .
注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB 为二面角βα--l 的平面角”。 2.求法：几何法 向量法 公式法
（1）几何法：作出二面角的平面角，再解三角形求解。 （2）向量法：
立体几何专题一空间角
立体几何专题：空间角
第一节：异面直线所成的角（2课时）
一、基础知识
1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的
锐角（或直角）叫做 。 2.范围： ⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈2,
0πθ
3.方法： 平移法、问量法、三线角公式
（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一
个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b
a b a b a ⋅=
><=,cos cos θ
求出来
方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ⋅，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量
),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2
2
22222
1
2
12
12
12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++=
∴θ
二、例题讲练
例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为
例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B
和AC 所成的角的余弦值。
方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） 方法二：过AC 的中点作BD1平行线
方法三：（向量法）
例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90
高考数学题型归纳,立体几何中的空间角
第七节立体几何中的空间角
考点一异面直线所成的角
［典例］(1)(2018・全国卷H)在正方体ABCD-A向G5中，E为棱CG的中点，则异而直线AE与CD 所成角的正切值为()
A粤B孚
* D.日
(2)(2019•成都检测)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个而都为直角三角形的四而体称为鳖腌.如图，在鳖牖ABC。中，A5J_平面BCD,且A8=8C=CQ,则异面直线AC与3。所成角的余弦值为()
A.y
B. -5
C正 D -也［解析］(1)如图，连接BE,因为A8〃
CO,所以AE与CO所成的角为NEW,在Rt/UBE 中，设AB=2,则BE=6则tan NEAB=^=
卷,所以异面直线AE与CO所成角的正切值为坐.
(2)如图，分别取AB, AD, BC, BD 的中点 E, F, G, O,连接ER EG, OG, FO, FG,则EF〃
BD, EG//AC,所以NFEG为异面直线AC与8。所成的角.易知/O〃AB, 因为A8_L平面BCD,所以
尸0,平面BCD,所以EOLOG, ■｛殳AB = %,,则EG=EF=, a, FG=y［a2+a2=y/2a9所以“EG=60。，
所以异面直线AC与8。所成角的余弦值为:，乙
故选A.
［答案］(1)C (2)A
［题组训练］
1.在正三棱柱ABC-Ai&G中，AB=pBBi，则A&与6G所成角的大小为()
A. 30°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
解析：选D 将正三棱柱ABC-AiSG补为四棱柱ABCO-A山CQi,连接G。，BD,则GO〃&A, Z BCQ为所求角或其补角.设BB尸陋,则BC=CQ=2, ZBCD= 120°, BD=2小,又因为8G = G。二限所以N3GO=900.
《立体几何》微专题2 空间的角
《立体几何》微专题 2 空间的角
一、内容解析 《立体几何》空间的角主要包括：两条相交直线所成的角、两条异面直线所成的角、直线与平面 所成的角、二面角所成的平面角． 1. 所成角的定义 （1）两条相交直线所成的角 定义 平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两
立体几何专题——空间角
立体几何专题：空间角
第一节：异面直线所成的角
一、基础知识
1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的
锐角（或直角）叫做。 2.范围： ⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈2,
0πθ
3.方法： 平移法、问量法、三线角公式
（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一
个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b
a b a b a ⋅=
><=,cos cos θ
求出来
方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ⋅，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量
),,(111z y x a =),,(222z y x b =2
2
22222
1
2
12
12
12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++=
∴θ
（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于
斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21= 二、例题讲练
例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，
求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） 方法二：过AC 的中点作BD1平行线
专题11 立体几何 11.4空间角与空间距离 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)
专题十一《立体几何》讲义
11.4空间角与空间距离知识梳理.空间角1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线
（1）异面直线所成的角的范围：．
（2）求法：平移→⎧⎪⇒
−−−→⎨⎪⎩
转化直接平移
中点平移“三维”“二维”补形平移2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |
.0°≤φ≤90°
3．求二面角的大小
(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，
CD 〉．
(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小
12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．
题型一.点到面的距离
1．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB ＝3，BC＝4，PA＝2，则P到平面BQD的距离为．
2．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，若则点A到平面A1BC的距离为（）A．34B．32C．334D．3
3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．
（Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．
立体几何专题——空间角
立体几何专题：空间角
第一节：异面直线所成的角
一、基础知识
1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的
锐角（或直角）叫做 。 2.范围： ⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈2,
0πθ
3.方法： 平移法、问量法、三线角公式
（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一
个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b
a b a b a ⋅=
><=,cos cos θ
求出来
方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ⋅，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量
),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2
2
22222
1
2
12
12
12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++=
∴θ
（3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于
斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 21= 二、例题讲练
例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，
求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） 方法二：过AC 的中点作BD1平行线
立体几何空间角
1定义法（点在棱上）
A
l
o
B
2 三垂线定理法
（点在面内）
A
o
l
3 垂面法（点在空间内）
o
B
A
l
方法提炼3（续）
（4） 射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解
A
如图所示, 射影DBC、斜面△ABC与两面所
成的二面角之间有： cos SDBC
斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角.
从一条直线引出的两 个半平面所组成的图 形叫做二面角.
表示 异面直线a,b所成角 线a与平面 所成角 l （面－棱－面）
范围
（0 , ]
2
[0 , ]
2
[ 0 ， ]
要点 找适当点、作平行线 找射影、二足相连 用什么度量
1.作出所求的空间角 <定位>
D ⊥BP于M，显然AM ⊥面PBC，从而有AM
⊥PC，同法可得AN ⊥PC，再由AM与AN相
交与A得PC ⊥面AMN。设面AMN交PC于Q，
则 M为QN二面角B-PC-D的平面角；再利
C
用三面角公式可解。
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例2. 在四棱锥P-ABCD中,已知ABCD为矩形，PA ⊥平面ABCD，设
PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小.
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中小学1对1课外辅导专家
武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象 冯芷茜 授课教师 徐江鸣 授课时间 2013-9-19 授课题目 立体几何中的空间角 课 型 复习课
使用教具
讲义、纸、笔
教学目标 熟悉高考中立体几何题型的一般解法
教学重点和难点
重点：运用空间直角坐标系的方法解决立体几何问题 难点：二面角,线面角的空间想象能力 参考教材 人教版高中教材 高考考纲 历年高考真题
教学流程及授课详案
【知识讲解】
空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：o
o
900≤<α；
注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以
通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o
0；
②线面垂直：线面所成的角为o
90；
③斜线与平面所成的角：范围o
o
900<<α；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
注意：还可以用射影法：S
S '
cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封
闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。
时 间 分
配
及 备 注
【题海拾贝】
例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
EF平面P AD；
（1）求证：//
（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，
EF平面PCD？
直线
例2已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，
F为CD的中点.
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值；
（Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小.
例3如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （Ⅰ）证明：AC//平面PMD ；
（Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。
例4已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=
，
2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。
（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --的大小。
例5（2007年4月济南市）如图所示：边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的
平面互相垂直且DE=2，ED//AF 且∠DAF =90°。 （1）求BD 和面BEF 所成的角的余弦；
（2）线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF
的比值；若不存在，说明理由。
例6（四川省成都市2007届高中毕业班第三次诊断性检测）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC
是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=
的菱形，M 为PB 的中点.
(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ； (Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.
【课堂练习】
1.（2007武汉3月）如图所示，四棱锥P —ABCD 中，
AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。
(1)求证：BM ∥平面PAD ；
(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。
2. 如图所示，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。 （1）试确定PB
P A 1的值，使得PC ⊥AB ；
（2）若3
21=PB
P A ，求二面角P —AB —C 的大小；
（3）在（2）条件下，求C 1到平面PAC 的距离。
3. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （I ）求证：A 1C //平面AB 1D ；
（II）求二面角B—AB1—D的大小；
（III）求点c到平面AB1D的距离.
【课后总结】
家长签名：