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南通市2018年中考数学试题及答案解析

江苏省南通市2018年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）的值是（）A．4 B．2 C．±2 D．﹣22．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a2•a3=a5 B．（a2）3=a8C．a3+a2=a5 D．a8÷a4=a23．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x＞34．（3分）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）下列说法中，正确的是（）A．一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8D．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小6．（3分）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°8．（3分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）A．πcm2B．3πcm2C．πcm2D．5πcm29．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．10．（3分）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．﹣1 C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）“辽宁舰“最大排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为．12．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2=．13．（3分）已知正n边形的每一个内角为135°，则n=．14．（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为．16．（3分）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作图：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD，∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．17．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A′B'C，则在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是．18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（3，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y=﹣x+b与双曲线y=交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线AB交于点R （x3，y3），若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：|﹣2|+20130﹣（﹣）﹣1+3tan30°；（2）解方程：=﹣3．20．（8分）解不等式组，并写出x的所有整数解．21．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为度；（2）请补全条形统计；（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．22．（8分）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．23．（8分）如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）24．（8分）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．25．（8分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为km/h，快车的速度为km/h；（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．26．（12分）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BC=2cm，点P以1cm/s 的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．27．（12分）已知，正方形ABCD，A（0，﹣4），B（l，﹣4），C（1，﹣5），D（0，﹣5），抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数），顶点为M．（1）抛物线经过定点坐标是，顶点M的坐标（用m的代数式表示）是；（2）若抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数）与正方形ABCD的边有交点，求m 的取值范围；（3）若∠ABM=45°时，求m的值．28．（14分）如图，⊙O的直径AB=26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC=∠DPC=60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP 的长．2018年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）的值是（）A．4 B．2 C．±2 D．﹣2【分析】根据算术平方根解答即可．【解答】解：=2，故选：B．【点评】此题考查算术平方根问题，关键是根据4的算术平方根是2解答．2．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a2•a3=a5 B．（a2）3=a8C．a3+a2=a5 D．a8÷a4=a2【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则及同底数幂的除法逐一计算可得．【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项正确；B、（a2）3=a6，此选项错误；C、a3、a2不能合并，此选项错误；D、a8÷a4=a4，此选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则及同底数幂的除法．3．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x＞3【分析】根据二次根式有意义的条件；列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故选：A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．4．（3分）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据题目中的函数解析式可以求得这两个函数的交点坐标，从而可以解答本题．【解答】解：，解得，，∴函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点是（，），故函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第二象限，故选：B．【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，求出两个函数的交点坐标，利用函数的思想解答．5．（3分）下列说法中，正确的是（）A．一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8D．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小【分析】根据概率的意义可判断出A的正误；根据抽样调查与全面调查意义可判断出B的正误；根据众数和中位数的定义可判断出C的正误；根据方差的意义可判断出D的正误．【解答】解：A、一个游戏中奖的概率是，做10次这样的游戏也不一定会中奖，故此选项错误；B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8，故此选项正确；D、若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动大；故选：C．【点评】此题主要考查了概率、抽样调查与全面调查、众数和中位数、方差，关键是注意再找中位数时要把数据从小到大排列再找出位置处于中间的数．6．（3分）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据题意得：3x+（6﹣x）=12，解得：x=3．答：该队获胜3场．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．（3分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠BAM=35°，即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD=110°，∴∠CAB=70°，∵以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，∴AP平分∠CAB，∴∠CAM=∠BAM=35°，∵AB∥CD，∴∠CMA=∠MAB=35°．故选：B．【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠BAM 是解题关键．8．（3分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）A．πcm2B．3πcm2C．πcm2D．5πcm2【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．又已知底面半径可求出母线长以及侧面积、底面积后即可求得其表面积．【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2，因此侧面面积为1×π×2=2π，底面积为π×（1）2=π．表面积为2π+π=3π；故选：B．【点评】此题考查由三视图判定几何体，本题中要先确定出几何体的面积，然后根据其侧面积的计算公式进行计算．本题要注意圆锥的侧面积的计算方法是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．9．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD=1.5cm，CD=cm，点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5﹣x|cm，∴y=PC2=（）2+（1.5﹣x）2=x2﹣3x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选．10．（3分）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．﹣1 C．D．【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2，∵BF=FC，BC=AD=2，∴BF=AH=1，FC=HD=1，∴AF===，∵OH∥AE，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣=，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==2，∴AN=2AF=，∴MN=AN﹣AM=﹣=．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）“辽宁舰“最大排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为 6.75×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：67500=6.75×104，故答案为：6.75×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，=a（a2﹣2ab+b2），=a（a﹣b）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．13．（3分）已知正n边形的每一个内角为135°，则n=8．【分析】根据多边形的内角就可求得外角，根据多边形的外角和是360°，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：多边形的外角是：180﹣135=45°，∴n==8．【点评】任何任何多边形的外角和是360°，不随边数的变化而变化．根据这个性质把多边形的角的计算转化为外角的计算，可以使计算简化．14．（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是100（1+x）2=160．【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器160台，可列出方程．【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2=160．故答案为：100（1+x）2=160．【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为2．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．16．（3分）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作图：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD，∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是直径所对的圆周角的直角，等边三角形的时故内角为60°，直角三角形两锐角互余等．【分析】连接OD、CD．只要证明△ODC是等边三角形即可解决问题；【解答】解：连接OD、CD．由作图可知：OD=OC=CD，∴△ODC是等边三角形，∴∠DCO=60°，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC=90°，∴∠DAB=90°﹣60°=30°．∴作图的依据是：直径所对的圆周角的直角，等边三角形的时故内角为60°，直角三角形两锐角互余等，故答案为直径所对的圆周角的直角，等边三角形的时故内角为60°，直角三角形两锐角互余等．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆的有关性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A′B'C，则在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是2+．【分析】连接OA，AC′，如图，易得OC=2，再利用勾股定理计算出OA=，接着利用旋转的性质得OC′=OC=2，根据三角形三边的关系得到AC′≤OA+OC′（当且仅当点A、O、C′共线时，取等号），从而得到AC′的最大值．【解答】解：连接OA，AC′，如图，∵点O是BC中点，∴OC=BC=2，在Rt△AOC中，OA==，∵△ABC绕点O旋转得△A′B'C′，∴OC′=OC=2，∵AC′≤OA+OC′（当且仅当点A、O、C′共线时，取等号），∴AC′的最大值为2+，即在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是2+．故答案为2+．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（3，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y=﹣x+b与双曲线y=交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线AB交于点R （x3，y3），若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是2＜b＜．【分析】根据y2大于y3，说明x=3时，﹣x+b＜，再根据y1大于y2，说明直线l和抛物线有两个交点，即可得出结论．【解答】解：如图，当x=3时，y2=，y3=﹣3+b，∵y3＜y2，∴﹣3+b＜，∴b＜，∵y1＞y2，∴直线l：y=﹣x+b①与双曲线y=②有两个交点，联立①②化简得，x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4＞0，∴b＜﹣2（舍）或b＞2，∴2＜b＜，故答案为：2＜b＜．【点评】此题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一次函数和双曲线的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：|﹣2|+20130﹣（﹣）﹣1+3tan30°；（2）解方程：=﹣3．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=2﹣+1+3+=6；（2）去分母得：1=x﹣1﹣3x+6，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）解不等式组，并写出x的所有整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣，解不等式②，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣≤x＜3，∴不等式组的整数解为：﹣1、0、1、2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为90度；（2）请补全条形统计；（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．【分析】（1）由基本了解的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）由（1）可求得了解很少的人数，继而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%=60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×=90°，故答案为：60、90．（2）“了解很少”的人数为60﹣（15+30+5）=10人，补全图形如下：（3）估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1200×=900人．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．关键是根据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．22．（8分）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．【分析】（1）利用数字2，3，4，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率；（2）列表得出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：（1）因为共有4张牌，其中点数是偶数的有3张，所以这张牌的点数是偶数的概率是；（2）列表如下：23482（2，3）（2，4）（2，8）3（3，2）（3，4）（3，8）4（4，2）（4，3）（4，8）8（8，2）（8，3）（8，4）从上面的表格可以看出，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好两张牌的点数都是偶数有6种，所以这两张牌的点数都是偶数的概率为=．【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）【分析】作BH⊥AC于H，根据正弦的定义求出BH，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：作BH⊥AC于H，由题意得，∠CBH=45°，∠BAH=60°，在Rt△BAH中，BH=AB×sin∠BAH=6，在Rt△BCH中，∠CBH=45°，∴BC==6（千米），答：B，C两地的距离为6千米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握锐角三角函数的定义、正确标出方向角是解题的关键．24．（8分）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．【分析】（1）欲证明AB=CF，只要证明△AEB≌△FEC即可；（2）想办法证明AC=BD，BF=AC即可解决问题；【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠CFE∵AE=EF，∠AEB=∠CEF，∴△AEB≌△FEC，∴AB=CF．（2）连接AC．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，∵AB=CF，AB∥CF，∴四边形ACFB是平行四边形，∴BF=AC，∴BD=BF．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（8分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h；（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．【分析】（1）由图象可知，两车同时出发．等量关系有两个：3.6×（慢车的速度+快车的速度）=720，（9﹣3.6）×慢车的速度=3.6×快车的速度，设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，依此列出方程组，求解即可；（2）点C表示快车到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点C的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点C的纵坐标，从而得解；（3）分相遇前相距500km和相遇后相遇500km两种情况求解即可．【解答】解：（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据题意，得，解得，故答案为80，120；（2）图中点C的实际意义是：快车到达乙地；∵快车走完全程所需时间为720÷120=6（h），∴点C的横坐标为6，纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）=480，即点C（6，480）；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km．即相遇前：（80+120）x=720﹣500，解得x=1.1，相遇后：∵点C（6，480），∴慢车行驶20km两车之间的距离为500km，∵慢车行驶20km需要的时间是=0.25（h），∴x=6+0.25=6.25（h），故x=1.1 h或6.25 h，两车之间的距离为500km．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方．26．（12分）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BC=2cm，点P以1cm/s 的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，利用勾股定理构建方程求出x，当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t=2；（2）分两种情形求解即可解决问题；（3）分两种情形：①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH；②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．求出QM即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，∵CH⊥AB，∴∠CHB=∠CHB=90°，∴AC2﹣AH2=BC2﹣BH2，∴（4）2﹣（6﹣x）2=（2）2﹣x2，解得x=2，∴当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t=2．（2）如图2中，当点Q与H重合时，BP=2BQ=4，此时t=4．如图3中，当CP=CB=2时，CQ⊥PB，此时t=6+（4﹣2）=6+4﹣2．（3）①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH=×t×4=t．②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．易知BG=AG=3，CG=．MQ=BG=．∴S=×PC×QM=••（6+4﹣t）=+6﹣t．综上所述，s=．【点评】本题考查三角形综合题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．27．（12分）已知，正方形ABCD，A（0，﹣4），B（l，﹣4），C（1，﹣5），D（0，﹣5），抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数），顶点为M．（1）抛物线经过定点坐标是（2，0），顶点M的坐标（用m的代数式表。

高考最新-2018届南通中学高三数学调研试卷精品

2018届江苏省南通中学高三调研试卷数学试卷命题人赵栋本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )=P (A )＋P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()C (1)k kn k nn P k P P -=- 正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥体侧=12cl 其中c 表示底面周长, l 表示斜高或母线长球的体积公式V 球= 343R π 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．已知f (x)=3x ，则f －1(9)的值为 A ．－3 B ．3C ．－2D ．22．不等式02|1|>+-x x 的解集是 A ．{x ︱x ＞－2}B ．{x ︱x ＜－2}C ．{x ︱－2＜x ＜1或x ＞1}D ．{x ｜x ＜－2或x ＞1}3．若点P (3，4)、Q (a ，b )关于直线01=--y x 对称，则A ．a = 1，b =2-B ．a = 2，b = 1-C ．a = 4，b = 3D ．a = 5，b = 2４．22-+=x x y 在点M 处切线斜率为3，则点M 的坐标为 A ．(0，－2)B ．(1，0)C ．(0，0)D ．(1，1)５．已知直线m 、n ，平面γβα、、，则βα⊥的一个充分不必要条件为 A ．γβγα⊥⊥，B ．ββα⊂⊥=n m n m ，，C ．βα⊥m m ，//D ．βα////m m ，６．抛物线x y 42=按向量e 平移后的焦点坐标为 (3，2)，则平移后的抛物线顶点坐标为 A ．(4，2)B ．(2，2)C ．(－2，－2)D ．(2，3) ７．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如右表所示．电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数近似为 A ．25，25，25，25 B ．24，36，32，8 C ．20，40，30，10D ．48，72，64，16８．若函数f (x)同时具有以下两个性质：①f (x)是偶函数，②对任意实数x ，都有f (x +4π)= f (x -4π)，则f (x)的解析式可以是（）A ．f (x)=cosxB ．f (x)=cos(2x 2π+) C ．f (x)=sin(4x 2π+) D ．f (x) =cos6x９．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AA 1的中点，E 是BB 1上的点，则PE ＋EC 的最小值是 A ．2B ．215 C ．217D ．3１０．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，+∞)时，f (x )1-=x ，则不等式1)1(>-x f 的解集是 A ．{x |31<<-x }B ．{x |1-<x 或3>x }C ．{x |2>x }D ．{x |3>x }１１．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =,值域为{1,4}的“同族函数”共有 A ．9个 B ．8个 C ．5个 D ．4个１２．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

江苏省南通市2018年中考数学试卷(解析版)

江苏省南通市2018年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）的值是（）A．4 B．2 C．±2 D．﹣22．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a2•a3=a5 B．（a2）3=a8C．a3+a2=a5 D．a8÷a4=a23．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x＞34．（3分）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（3分）下列说法中，正确的是（）A．一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8D．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小6．（3分）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°8．（3分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）A．πcm2B．3πcm2C．πcm2D．5πcm29．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．10．（3分）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．﹣1 C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）“辽宁舰“最大排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为．12．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2=．13．（3分）已知正n边形的每一个内角为135°，则n=．14．（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为．16．（3分）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作图：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD，∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．17．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A′B'C，则在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是．18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（3，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y=﹣x+b与双曲线y=交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线AB交于点R （x3，y3），若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：|﹣2|+20130﹣（﹣）﹣1+3tan30°；（2）解方程：=﹣3．20．（8分）解不等式组，并写出x的所有整数解．21．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为度；（2）请补全条形统计；（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．22．（8分）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．23．（8分）如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）24．（8分）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．25．（8分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为km/h，快车的速度为km/h；（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．26．（12分）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BC=2cm，点P以1cm/s 的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．27．（12分）已知，正方形ABCD，A（0，﹣4），B（l，﹣4），C（1，﹣5），D（0，﹣5），抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数），顶点为M．（1）抛物线经过定点坐标是，顶点M的坐标（用m的代数式表示）是；（2）若抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数）与正方形ABCD的边有交点，求m 的取值范围；（3）若∠ABM=45°时，求m的值．28．（14分）如图，⊙O的直径AB=26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．（1）若∠BPC=∠DPC=60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP 的长．2018年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）的值是（）A．4 B．2 C．±2 D．﹣2【分析】根据算术平方根解答即可．【解答】解：=2，故选：B．【点评】此题考查算术平方根问题，关键是根据4的算术平方根是2解答．2．（3分）下列计算中，正确的是（）A．a2•a3=a5 B．（a2）3=a8C．a3+a2=a5 D．a8÷a4=a2【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则及同底数幂的除法逐一计算可得．【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项正确；B、（a2）3=a6，此选项错误；C、a3、a2不能合并，此选项错误；D、a8÷a4=a4，此选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则及同底数幂的除法．3．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x＞3【分析】根据二次根式有意义的条件；列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故选：A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．4．（3分）函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据题目中的函数解析式可以求得这两个函数的交点坐标，从而可以解答本题．【解答】解：，解得，，∴函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点是（，），故函数y=﹣x的图象与函数y=x+1的图象的交点在第二象限，故选：B．【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，解答本题的关键是明确题意，求出两个函数的交点坐标，利用函数的思想解答．5．（3分）下列说法中，正确的是（）A．一个游戏中奖的概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖B．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8D．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小【分析】根据概率的意义可判断出A的正误；根据抽样调查与全面调查意义可判断出B的正误；根据众数和中位数的定义可判断出C的正误；根据方差的意义可判断出D的正误．【解答】解：A、一个游戏中奖的概率是，做10次这样的游戏也不一定会中奖，故此选项错误；B、为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用抽样调查的方式，故此选项错误；C、一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8，故此选项正确；D、若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动大；故选：C．【点评】此题主要考查了概率、抽样调查与全面调查、众数和中位数、方差，关键是注意再找中位数时要把数据从小到大排列再找出位置处于中间的数．6．（3分）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场，根据题意得：3x+（6﹣x）=12，解得：x=3．答：该队获胜3场．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．（3分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠BAM=35°，即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD=110°，∴∠CAB=70°，∵以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，∴AP平分∠CAB，∴∠CAM=∠BAM=35°，∵AB∥CD，∴∠CMA=∠MAB=35°．故选：B．【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠BAM 是解题关键．8．（3分）一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2cm的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）A．πcm2B．3πcm2C．πcm2D．5πcm2【分析】根据三视图的知识可知该几何体为一个圆锥．又已知底面半径可求出母线长以及侧面积、底面积后即可求得其表面积．【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为2，因此侧面面积为1×π×2=2π，底面积为π×（1）2=π．表面积为2π+π=3π；故选：B．【点评】此题考查由三视图判定几何体，本题中要先确定出几何体的面积，然后根据其侧面积的计算公式进行计算．本题要注意圆锥的侧面积的计算方法是圆锥的底面半径乘以圆周率再乘以母线长．9．（3分）如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD=1.5cm，CD=cm，点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5﹣x|cm，∴y=PC2=（）2+（1.5﹣x）2=x2﹣3x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选．10．（3分）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．﹣1 C．D．【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2，∵BF=FC，BC=AD=2，∴BF=AH=1，FC=HD=1，∴AF===，∵OH∥AE，∴==，∴OH=AE=，∴OF=FH﹣OH=2﹣=，∵AE∥FO，∴△AME∽FMO，∴==，∴AM=AF=，∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，∴==2，∴AN=2AF=，∴MN=AN﹣AM=﹣=．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）“辽宁舰“最大排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为 6.75×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：67500=6.75×104，故答案为：6.75×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2=a（a﹣b）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，=a（a2﹣2ab+b2），=a（a﹣b）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．13．（3分）已知正n边形的每一个内角为135°，则n=8．【分析】根据多边形的内角就可求得外角，根据多边形的外角和是360°，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：多边形的外角是：180﹣135=45°，∴n==8．【点评】任何任何多边形的外角和是360°，不随边数的变化而变化．根据这个性质把多边形的角的计算转化为外角的计算，可以使计算简化．14．（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是100（1+x）2=160．【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器160台，可列出方程．【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2=160．故答案为：100（1+x）2=160．【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．15．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为2．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．16．（3分）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作图：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD，∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是直径所对的圆周角的直角，等边三角形的时故内角为60°，直角三角形两锐角互余等．【分析】连接OD、CD．只要证明△ODC是等边三角形即可解决问题；【解答】解：连接OD、CD．由作图可知：OD=OC=CD，∴△ODC是等边三角形，∴∠DCO=60°，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC=90°，∴∠DAB=90°﹣60°=30°．∴作图的依据是：直径所对的圆周角的直角，等边三角形的时故内角为60°，直角三角形两锐角互余等，故答案为直径所对的圆周角的直角，等边三角形的时故内角为60°，直角三角形两锐角互余等．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆的有关性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是BC中点，将△ABC绕点O旋转得△A′B'C，则在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是2+．【分析】连接OA，AC′，如图，易得OC=2，再利用勾股定理计算出OA=，接着利用旋转的性质得OC′=OC=2，根据三角形三边的关系得到AC′≤OA+OC′（当且仅当点A、O、C′共线时，取等号），从而得到AC′的最大值．【解答】解：连接OA，AC′，如图，∵点O是BC中点，∴OC=BC=2，在Rt△AOC中，OA==，∵△ABC绕点O旋转得△A′B'C′，∴OC′=OC=2，∵AC′≤OA+OC′（当且仅当点A、O、C′共线时，取等号），∴AC′的最大值为2+，即在旋转过程中点A、C′两点间的最大距离是2+．故答案为2+．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．18．（3分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（3，0）作垂直于x轴的直线AB，直线y=﹣x+b与双曲线y=交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线AB交于点R （x3，y3），若y1＞y2＞y3时，则b的取值范围是2＜b＜．【分析】根据y2大于y3，说明x=3时，﹣x+b＜，再根据y1大于y2，说明直线l和抛物线有两个交点，即可得出结论．【解答】解：如图，当x=3时，y2=，y3=﹣3+b，∵y3＜y2，∴﹣3+b＜，∴b＜，∵y1＞y2，∴直线l：y=﹣x+b①与双曲线y=②有两个交点，联立①②化简得，x2﹣bx+1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4＞0，∴b＜﹣2（舍）或b＞2，∴2＜b＜，故答案为：2＜b＜．【点评】此题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一次函数和双曲线的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）计算：|﹣2|+20130﹣（﹣）﹣1+3tan30°；（2）解方程：=﹣3．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=2﹣+1+3+=6；（2）去分母得：1=x﹣1﹣3x+6，解得：x=2，经检验x=2是增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）解不等式组，并写出x的所有整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x≥﹣，解不等式②，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣≤x＜3，∴不等式组的整数解为：﹣1、0、1、2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为90度；（2）请补全条形统计；（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．【分析】（1）由基本了解的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）由（1）可求得了解很少的人数，继而补全条形统计图；（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案．【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%=60人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×=90°，故答案为：60、90．（2）“了解很少”的人数为60﹣（15+30+5）=10人，补全图形如下：（3）估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为1200×=900人．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．关键是根据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．22．（8分）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；（2）随机抽取一张牌不放回，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．【分析】（1）利用数字2，3，4，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率；（2）列表得出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：（1）因为共有4张牌，其中点数是偶数的有3张，所以这张牌的点数是偶数的概率是；（2）列表如下：23482（2，3）（2，4）（2，8）3（3，2）（3，4）（3，8）4（4，2）（4，3）（4，8）8（8，2）（8，3）（8，4）从上面的表格可以看出，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好两张牌的点数都是偶数有6种，所以这两张牌的点数都是偶数的概率为=．【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（8分）如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）【分析】作BH⊥AC于H，根据正弦的定义求出BH，根据余弦的定义计算即可．【解答】解：作BH⊥AC于H，由题意得，∠CBH=45°，∠BAH=60°，在Rt△BAH中，BH=AB×sin∠BAH=6，在Rt△BCH中，∠CBH=45°，∴BC==6（千米），答：B，C两地的距离为6千米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握锐角三角函数的定义、正确标出方向角是解题的关键．24．（8分）如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．（1）求证：CF=AB；（2）连接BD、BF，当∠BCD=90°时，求证：BD=BF．【分析】（1）欲证明AB=CF，只要证明△AEB≌△FEC即可；（2）想办法证明AC=BD，BF=AC即可解决问题；【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠CFE∵AE=EF，∠AEB=∠CEF，∴△AEB≌△FEC，∴AB=CF．（2）连接AC．∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，∵AB=CF，AB∥CF，∴四边形ACFB是平行四边形，∴BF=AC，∴BD=BF．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（8分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：（1）慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h；（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．【分析】（1）由图象可知，两车同时出发．等量关系有两个：3.6×（慢车的速度+快车的速度）=720，（9﹣3.6）×慢车的速度=3.6×快车的速度，设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，依此列出方程组，求解即可；（2）点C表示快车到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点C的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点C的纵坐标，从而得解；（3）分相遇前相距500km和相遇后相遇500km两种情况求解即可．【解答】解：（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据题意，得，解得，故答案为80，120；（2）图中点C的实际意义是：快车到达乙地；∵快车走完全程所需时间为720÷120=6（h），∴点C的横坐标为6，纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）=480，即点C（6，480）；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km．即相遇前：（80+120）x=720﹣500，解得x=1.1，相遇后：∵点C（6，480），∴慢车行驶20km两车之间的距离为500km，∵慢车行驶20km需要的时间是=0.25（h），∴x=6+0.25=6.25（h），故x=1.1 h或6.25 h，两车之间的距离为500km．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方．26．（12分）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，BC=2cm，点P以1cm/s 的速度从点B出发沿边BA→A C运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，利用勾股定理构建方程求出x，当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t=2；（2）分两种情形求解即可解决问题；（3）分两种情形：①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH；②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．求出QM即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．设BH=x，∵CH⊥AB，∴∠CHB=∠CHB=90°，∴AC2﹣AH2=BC2﹣BH2，∴（4）2﹣（6﹣x）2=（2）2﹣x2，解得x=2，∴当点P与H重合时，CP⊥AB，此时t=2．（2）如图2中，当点Q与H重合时，BP=2BQ=4，此时t=4．如图3中，当CP=CB=2时，CQ⊥PB，此时t=6+（4﹣2）=6+4﹣2．（3）①如图4中，当0＜t≤6时，S=×PQ×CH=×t×4=t．②如图5中，当6＜t＜6+4时，作BG⊥AC于G，QM⊥AC于M．易知BG=AG=3，CG=．MQ=BG=．∴S=×PC×QM=••（6+4﹣t）=+6﹣t．综上所述，s=．【点评】本题考查三角形综合题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．27．（12分）已知，正方形ABCD，A（0，﹣4），B（l，﹣4），C（1，﹣5），D（0，﹣5），抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m为常数），顶点为M．（1）抛物线经过定点坐标是（2，0），顶点M的坐标（用m的代数式表。

江苏省南通中学2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试题及参考答案教师专用

江苏省南通中学2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共12小题,共36.0分)1.已知,则实数的值为( )A. B. C. D.【试题参考答案】C【试题分析】根据集合元素和集合的关系确定的值,注意元素的互异性的应用.【试题解答】解:,,,,由得,由,得,由得或.综上,或.当时,集合为不成立.当时,集合为不成立.当时,集合为,满足条件.故.故选:C.本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用,注意要利用元素的互异性进行检验.2.设,,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【试题参考答案】A【试题分析】由得到关于m的不等式,能求出实数的取值范围.【试题解答】解:,,,,实数的取值范围是.故选:A.本题考查实数的取值范围的求法,考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3.函数的定义域为( )A. 且B.C. 且D.【试题参考答案】A由题意,要使有意义,需满足,即.因此的定义域为.故选A.4.函数的值域是( )A. B. C. D.【试题参考答案】D【试题分析】直接利用二次函数的性质和不等式的性质求解.【试题解答】解:由题意:函数,,,即函数的值域为.故选:D.本题考查了二次函数的值域问题.考查了不等式的性质,属于基础题.5.已知函数,若,则的值是( )A. B. 或 C. 或 D. 或或【试题参考答案】A【试题分析】利用分段函数的性质求解.【试题解答】∵函数y,函数值为5,∴当x≤0时,x2＋1＝5,解得x＝﹣2,或x＝2(舍),当x＞0时,﹣2x＝5,解得x,(舍).故选:C.本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质的合理运用.6.函数的部分图象可能是( )A. B.C. D.【试题参考答案】B∵,∴,∴函数的定义域为,又,∴函数偶函数,且图象关于轴对称,可排除、.又∵当时,,可排除.综上,故选.有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧:(1)由函数的定义域,判断图象左右的位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;②由函数的单调性,判断图象的变化趋势;③由函数的奇偶性,判断图象的对称性;④由函数的周期性,判断图象的循环往复.(2)由实际情景探究函数图象.关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题.7.在函数(1);(2);(3);(4)中,偶函数的个数是( )A. B. C. D.【试题参考答案】C【试题分析】根据题意,依次分析所给的个函数的奇偶性,综合即可得答案.【试题解答】解:根据题意,依次分析所给的个函数:对于,其定义域为,且且,是非奇非偶函数; 对于,有,解可得,其定义域不关于原点对称,则是非奇非偶函数;对于,为二次函数,其对称轴为,则是非奇非偶函数;对于,有,其定义域为或},且,则函数为偶函数,个函数中,偶函数的数目为;故选:C.本题考查函数奇偶性的判断,注意分析函数的定义域,属于基础题.8.已知函数,则函数的减区间是( )A. B. C. D.【试题参考答案】C分析】对数的真数大于0,先求得定义域;再根据复合函数单调性判断“同增异减”的原则即可判断出单调递减区间。

江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）1 / 15江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知x 2∈{1，0，x }，则实数x 的值为（）A. 0B. 1C.D.2. 设A ={x |2＜x ＜3}，B ={x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是（）A. B. C. D.3. 函数f （x ）=+（x -1）0的定义域为（）A. 且B.C. 且D.4. 函数y =的值域是（）A. B.C. D. 0，5. 已知函数f （x ）=，若f （x ）=5，则x 的值是（） A.B. 2或C. 2或D. 2或或6. 函数y =ln x 2的部分图象可能是（）A.B.C.D.7. 在函数（1）f （x ）=x 2-2x ；（2）f （x ）=（x +1）；（3）f （x ）=（x -1）2；（4）f （x ）=lg 中，偶函数的个数是（） A. 3 B. 2 C. 1D. 08. 已知函数，则函数f （x ）的减区间是（） A. B. C. D.9. 已知f （x +1）的定义域为[-2，3），f （x -2）的定义域是（）A. B. C. D. 10. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0，则不等式＜0的解集为（）A. B.C. D.11.已知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2-2x）＜f（3x-4）的解集为（）A. B. C. D.12.已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1，函数g（x）=x2-2x+m，如果对于任意x1∈[-2，2]，存在x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.幂函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为______．14.集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则a+b=______．15.求值：=______．16.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=，，＞，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知全集为U=R，，B={y|y=|x|+4}，求：（1）A∩B，A B；（2）A∩∁U B，∁U A ∁U B．18.已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-1，（1）求函数f（x）的表达式（2）求不等式f（x）＞-的解集19.已知奇函数f（x）=a+．（1）求a的值；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）解不等式f（2x-1）+f（2-3x）＞0．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）3 / 1520. 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足＞，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y =f （x ）的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？21. 已知函数f （x ）=x |x -2a |，a ∈R ．（1）若a =0，且f （x ）=-1，求x 的值；（2）当a ＞0时，若f （x ）在[2，+∞）上是增函数，求a 的取值范围；（3）若a =1，求函数f （x ）在区间[0，m ]（m ＞0）上的最大值g （m ）．22. 已知函数f （x ）=log 4（a •2x）（a ≠0，a ∈R ），g （x ）=log 4（4x+1）．（1）设h （x ）=g （x ）-kx （k ∈R ），若h （x ）是偶函数，求实数k 的值；（2）设F （x ）=（log 2x ）-g （log 4x ），求函数F （x ）在区间[2，3]上的值域；（3）若不等式f （x ）＜g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=-1时，集合为{1，0，-1}，满足条件．故x=-1．故选：C．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2.【答案】A【解析】解：∵A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，∴m≥3，∴实数m的取值范围是[3，+∞）．故选：A．由A={x|2＜x＜3}，B={x|x＜m}，A⊆B，能求出实数m的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：要使f（x）有意义，则：；∴x＞1，且x≠2；∴f（x）的定义域为{x|x＞1且x≠2}．江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）5 / 15故选：A ．可看出，要使得函数f （x ）有意义，则需满足，解出x 的范围即可．考查函数定义域的概念及求法． 4.【答案】D【解析】解：由题意：函数y=，∵x 2+1≥1，∴，即函数y=的值域为（0，1]．故选：D ．直接利用二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的值域问题．属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：由题意，当x≤0时，f （x ）=x 2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=-2；当x ＞0时，f （x ）=-2x=5，得x=-，舍去．故选：A ．分x≤0和x ＞0两段解方程即可．x≤0时，x 2+1=5；x ＞0时，-2x=5．本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大． 6.【答案】B【解析】解：∵x 2≠0，∴x≠0，∴函数y=lnx 2的定义域为（-∞，0）（0，+∞），又f （-x ）=f （x ），∴函数y=lnx 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除C ，D ；又当x ＞1时，y=lnx 2＞0，可排除A ．故选：B ．由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性排除C，D，最后利用函数在（1，+∞）上的单调性即可得到答案．本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性，考查排除法在解选择题中的作用，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析所给的4个函数：对于f（x）=x2-2x，其定义域为R，且f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x+1），有≥0，解可得-1＜x≤1，其定义域不关于原点对称，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=（x-1）2，为二次函数，其对称轴为x=1，则f（x）是非奇非偶函数；对于f（x）=lg，有x2-2＞0，其定义域为{x|x＜-或x＞}，且f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，4个函数中，偶函数的数目为1；故选：C．根据题意，依次分析所给的4个函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设t=x2-4x-5，由t＞0可得x＞5或x＜-1，则y=t在（0，+∞）递减，由t=x2-4x-5在（5，+∞）递增，可得函数f（x）的减区间为（5，+∞）．故选：C．设t=x2-4x-5，求得t＞0的x的范围，y=t在（0，+∞）递减，求得t的增区间，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）7 / 15运用复合函数的单调性，即可得到所求减区间．本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查二次函数和对数函数的单调性，属于基础题． 9.【答案】D【解析】解：∵f （x+1）的定义域为[-2，3）； ∴-2≤x ＜3； ∴-1≤x+1＜4；∴f （x ）的定义域为[-1，4）； ∴-1≤x -2＜4； ∴1≤x ＜6；∴f （x-2）的定义域为[1，6）．故选：D ．可根据f （x+1）的定义域求出f （x ）的定义域，进而得出f （x-2）的定义域．考查函数定义域的概念及求法，已知f[g （x ）]定义域求f （x ）定义域，以及已知f （x ）求f[g （x ）]的定义域的方法． 10.【答案】D【解析】解：∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）=0， ∴f （1）=-f （-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数 ∴=＜0，即或根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数解得：x ∈（-1，0）（0，1）故选：D ．根据函数为奇函数求出f （1）=0，再将不等式x f （x ）＜0分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集．本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．11.【答案】A【解析】解：∵f（x）==，在f（x）在（-∞，0）上单调递增，∵f（x2-2x）＜f （3x-4），∴或，解可得，或，即{x|1＜x＜2}，故选：A．由f（x）==，从而有f（x）在（-∞，0）上单调递增，结合单调性可求．本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，当x∈（0，2]时，f（x）=2x-1∈（0，3]，则当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-3，3]，若对于∀x1∈[-2，2]，∃x2∈[-2，2]，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤-3，∵g（x）=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，x∈[-2，2]，∴g（x）max=g（-2）=8+m，g（x）min=g（1）=m-1，则满足8+m≥3且m-1≤-3，解得m≥-5且m≤-2，故-5≤m≤-2，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）故选：C．求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．13.【答案】2【解析】解：由函数f（x）=（m2-2m+1）x2m-1是幂函数，则m2-2m+1=1，解得m=0或m=2；当m=0时，f（x）=x-1，在（0，+∞）上为减函数，不合题意；当m=2时，f（x）=x3，在（0，+∞）上为增函数，满足题意．故答案为：2．由函数f（x）是幂函数，列方程求出m的值，再验证是否满足题意．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则2a=2，b=2，求得a=1，b=2，则a+b=3，故答案为：3．由题意可得则2a=2，b=2，求得a、b=2的值，可得a+b的值．本题主要考查两个集合的交集的定义和运算，属于基础题．15.【答案】【解析】解：==+2+2=．故答案为：．9 / 15先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成3α的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以10为底的对数的形式即可求得其值为2，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M-log a N；log a M n=nlog a M等．16.【答案】（，）【解析】解：当0≤x≤2时，y=-x2递减，当x＞2时，y=-（）x-递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上递减，在（-2，0）和（2，+∞）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=±2时，取得极小值-1．当0≤x≤2时，y=-x2∈[-1，0]．当x＞2时，y=-（）x-∈[-1，-）要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（-1，-）．则有，即为，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）11 / 15 解得＜a ＜．即有实数a 的取值范围是（，）．故答案为：（，）．求出f （x ）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x 的方程[f （x ）]2+af （x ）+=0，a ∈R ，有且仅有8个不同实数根，转化为t 2+at+=0的两根均在（-1，-），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可．本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：（1）＜ …（2分） B =[4，+∞）…（4分）∴A ∩B =[4，5]…（6分）A B =（2，+∞）…（8分）（2）∵∁U B =（-∞，4），∴A ∩∁U B =（2，4）…（11分）又∁U A =（-∞，2] （5，+∞）∴∁U A ∁U B =（-∞，4）（5，+∞）…（14分）【解析】（1）根据集合A ，B 的意义，求出集合A ，B ，再跟据交、并集的运算求得结果即可．（2）先跟据补集的运算求得A 、B 的补集，再跟据交并集的运算求得结果．本题考查了对数函数的定义域、绝对值函数的值域、交并补集的运算，是基础题．18.【答案】解：（1）根据题意，函数f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则f （0）=0，当x ＜0时，-x ＞0，则f （-x ）=2×（-x ）-1=-2x -1，又由函数f （x ）为奇函数，则f （x ）=-f （-x ）=2x +1，则f （x ）= ，＞，，＜，（2）根据题意，f （x ）= ，＞，，＜，当x ＞0时，f （x ）=2x -1，此时f （x ）＞- 即2x -1＞- ，解可得x ＞，此时不等式的解集为{x|x＞}，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；此时不等式的解集为{0}，当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，解可得x＞-，此时不等式的解集为{x|-＜x＜0}，综合可得：不等式f（x）＞-的解集{x|-＜x≤0或x＞}．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质分析可得f（0）=0，结合函数的奇偶性以及解析式可得当x＜0时f（x）的解析式，综合即可得答案；（2）根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，当x＞0时，f（x）=2x-1，此时f（x）＞-即2x-1＞-，当x=0时，f（0）=0，f（x）＞-成立；当x＜0时，f（x）=2x+1，此时f（x）＞-即2x+1＞-，分别求出3种情况下不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式．19.【答案】解：（1）∵奇函数f（x）=a+的定义域为R，∴f（0）=0，即f（0）=a+=a+=0，则a=-，则f（x）=-．（2）f（x）=-在（-∞，+∞）是为减函数…（6分）证明：任取x1，x2，设x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=，…（8分），∵x1＜x2，∴ ＞，∴ -，＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），即函数f（x）是减函数…（10分）（3）∵f（2x-1）+f（2-3x）＞0，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）∵f（x）是奇函数，∴f（2x-1）＞-f（2-3x）=f（3x-2），即2x-1＜3x-2，得x＞1，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）13 / 15即不等式的解集为（1，+∞）…（15分）【解析】（1）根据函数是奇函数，利用f （0）=0，进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．（3）利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键．20.【答案】解：（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．…（2分）∵＞， ∴f （x ）=R （x ）-G （x ）= ＞．…（7分）（2）当x ＞5时，∵函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x ≤5时，函数f （x ）=-0.4（x -4）2+3.6，当x =4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【解析】（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．由，f （x ）=R （x ）-G（x ），能写出利润函数y=f （x ）的解析式．（2）当x ＞5时，由函数f （x ）递减，知f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f （x ）=-0.4（x-4）2+3.6，当x=4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.【答案】解：（1）由a =0知f（x ）=x |x |，又f （x ）=-1即x|x|=-1，∴x=-1．（2）f（x）==，∵f（x）在[2，+∞）上是增函数∴2a≤2，即a≤1，∴0＜a≤1．（3）f（x）=，f（x）图象如图当0＜m≤1时，g（m）=f（m）=m（2-m）；当m＞+1时，g（m）=f（m）=m（m-2）；综上g（m）=，＜，＜，＞．【解析】（1）a=0⇒f（x）=x|x|，再由f（x）=-1即可求得x的值；（2）由f（x）=在[2，+∞）上是增函数，利用二次函数的单调性可求得a的取值范围；（3）作出f（x）=的图象，对m分0＜m≤1与1＜m≤+1及m＞+1三种情况讨论即可求得答案．本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数最值的应用，考查分类讨论思想与数形结合思想、方程思想的综合运用，属于难题．22.【答案】解：（1）因为h（x）=log4（4x+1）-kx是偶函数，所以log4（4-x+1）+kx=log4（4x+1）-kx，则2kx=log4=log44x=x恒成立，所以k=；（2）F（x）=f（log2x）-g（log4x）=log4（ax-a）-log4（x+1）=log4=log4[a（1-]，因为x∈[2，3]，所以x-＞0，所以a＞0，则1-∈[，]，a＞0，江苏省南通中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）15 / 15 则a （1- ）∈[ a ， a ]，所以F （x ）∈[log 4 a ，log 4 a ]；即函数F （x ）的值域为[log 4 a ，log 4 a ]；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a •2x ）＜log 4（4x +1），设t =2x ，则t 2-at +1+ a ＞0，设m （t ）=t 2-at +1+ a ，若a ＞0则t ＞，由不等式t 2-at +1+ a ＞0对t ＞恒成立， ①当 ≤ ，即0＜a ≤ 时，此时m （）=＞0恒成立； ②当＞，即a ＞时，由△=a 2-4- a ＜0解得＜a ＜6；所以0＜a ＜6；若a ＜0则0＜t ＜，则由不等式t 2-at +1+ a ＞0对0＜t ＜恒成立，因为a ＜0，所以＜0，只需m （0）=1+ a ≥0，解得- ≤a ＜0；故实数a 的取值范围是[- ，0）（0，6）．【解析】（1）运用偶函数的定义，化简整理可得k 的值；（2）求得F （x ）的解析式，运用对数函数的单调性即可得到所求值域；（3）由f （x ）＜g （x ），得log 4（a•2x ）＜log 4（4x +1），设t=2x ，则t 2-at+1+a ＞0，设m （t ）=t 2-at+1+a ，讨论a ＞0，a ＜0，结合对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的定义，考查函数的值域求法，注意运用对数函数的单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

江苏省南通中学2018届高三(上)开学数学试卷(含解析)

2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．）1．已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是．3．设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z的模是．4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．5．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为．6．已知，则=．7．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=．8．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率．9．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a 的取值范围是．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M ﹣AB1C的体积是．11．已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是．12．已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为．13．已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是．14．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．16．已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．17．如图所示，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为．设S的眼睛到地面的距离为米．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．18．已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．20．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．=f（a n）24．已知函数f（x）=2x﹣3x2，设数列{a n}满足：a1=，a n+1（1）求证：对任意的n∈N*，都有0＜a n＜；（2）求证： ++…+≥4n+1﹣4．2017-2018学年江苏省南通中学高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．）1．已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}2．命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1．【考点】2J：命题的否定．【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．故答案为：∀x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1．3．设复数z满足（z﹣1）i=﹣1+i，其中i是虚数单位，则复数z的模是．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A3：复数相等的充要条件．【分析】先求出z的代数形式，再求模计算．【解答】解：由（z﹣1）i=﹣1+i，得z=+1=i+1+1=2+i所以|z|=故答案为：4．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．【考点】EF：程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：45．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．则z的值为400．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意可得，解得z的值即可．【解答】解：由题意可得，解得z=400，故答案为：400．6．已知，则=．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GG：同角三角函数间的基本关系．【分析】根据α的范围，以及cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而确定出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果．【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα=，则tan（﹣α）===．故答案为：7．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=﹣3．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数的性质得f（0）=0，代入解析式求出b的值，利用函数的奇偶性将f（﹣1）转化为f（﹣1）=﹣f（1），然后直接代入解析式即可．【解答】解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1，则当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（2+2﹣1）=﹣3，故答案为：﹣3．8．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率1﹣．【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．只须求出满足：OQ≥1几何体的体积，再将求得的体积值与整个正方体的体积求比值即得．【解答】解：取到的点到正方体中心的距离小于等于1构成的几何体的体积为：×13=，∴点到正方体中心的距离大于1的几何体的体积为：v=V正方体﹣=8﹣取到的点到正方体中心的距离大于1的概率：P==1﹣．故答案为：1﹣．9．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（0，] ．【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据已知条件可知函数f（x）在R上单调递减，所以对于a x，0＜a＜1；对于（a﹣3）x+4a，a＜3，又a x＞1，所以（a﹣3）x+4a的最大值满足小于等于1，而（a﹣3）x+4a对于x≥0时的最大值为4a，所以4a≤1，所以得到，和前面的0＜a＜1的a的取值求交集即得a 的取值范围．【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有＜0成立；∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2异号，即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）；∴函数f（x）在R上是减函数；∴x＜0时，f（x）=a x，0＜a＜1；x≥0时，f（x）=（a﹣3）x+4a，a﹣3＜0，a＜3，又a x＞1，（a﹣3）x+4a）max=4a≤1，∴；又0＜a＜1，∴0＜a≤；∴a的取值范围是．故答案为：．10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由，利用等积法能求出三棱锥M﹣AB1C的体积．【解答】解：∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，==2，∴S△AMCMB1⊥平面AMC，且B1M==，∴====．故答案为：．11．已知点F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的对称性及锐角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A的坐标；求出AF，EF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．【解答】解：∵△ABE是锐角三角形∴∠AEB为锐角∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF＜45°∴AF＜EF∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0）所以A（）所以AF=，EF=a+c∴即c2﹣ac﹣2a2＜0解得双曲线的离心率的范围是（1，2）故答案为（1，2）12．已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为3．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由题意得f'（x）=ax2+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b2﹣4ac≤0，将此代入，将式子进行放缩，以为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．【解答】解：由题意f'（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b2﹣4ac≤0．∴≥令，≥≥3．（当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”）故答案为：313．已知函数g（x）=，若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是（，1] ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数y=g（g（x））的图象，即可确定实数k的取值范围．【解答】解：当x＜0时，g（x）=﹣x+1＞0，此时g（g（x））=（﹣x+1）2﹣1=x2﹣2x当0≤x＜1时，g（x）=x2﹣1＜0，此时g（g（x））=﹣（x2﹣1）+1=﹣x2+2当x≥1时，g（x）=x2﹣1≥0，此时g（g（x））=（x2﹣1）2﹣1=x4﹣2x2，函数y=g（g（x））=．函数y=g（g（x））的图象如下：结合图象可得若函数y=g（g（x））﹣2m有3个不同的零点，则实数m的取值范围是（，1]故答案为：（]14．已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．二、解答题：（本大题共6小题，15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1=AB．（1）求证：AB∥平面D1DCC1；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AB∥CD，且CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1，由线面平行的判定定理即可证明AB∥平面D1DCC1；（2）证明AB1⊥平面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，利用四边形ABB1A1为菱形即可；【解答】证明：（1）∵AB∥CD，CD⊂平面D1DCC1，AB⊄平面D1DCC1；∴AB∥平面D1DCC1；…（2）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形，∵AA1=AB，∴四边形ABB1A1为菱形，∴AB1⊥A1B，∵AB1⊥BC，A1B∩BC=B，∴AB1⊥平面A1BC，…16．已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．（1）求cos2α的值；（2）若sin（α﹣β）=，且，求角β．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）由已知得=2cosα﹣sinα=0，从而sin2α+cos2α=5cos2α=1，进而cos2α=，由此能求出cos2α．（2）由cos2α=，，得cosα=，sinα==，由sin（α﹣β）=，且，得sinβ=2cos ，由此能求出β的值．【解答】解：（1）∵向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），其中，且．∴=2cosα﹣sinα=0，∴sin 2α+cos 2α=5cos 2α=1，∴cos 2α=，∴cos2α=2cos 2α﹣1=﹣．（2）∵cos 2α=，，∴cosα=，sinα==，∵sin （α﹣β）=，且，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴2cosβ﹣sinβ=，∴sinβ=2cos，∴sin 2β+cos 2β=5cos 2β﹣2﹣=0，解得cosβ=或cosβ=﹣（舍）， ∵，∴β=．17．如图所示，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为．设S 的眼睛到地面的距离为米．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．【考点】HU ：解三角形的实际应用．【分析】（1）作SC垂直OB于C，通过求解三角形求解立柱高即可．（2）连结SM，SN．设SN=a，SM=b．推出cos∠SOM=﹣cos∠SON，利用余弦定理求解即可．【解答】解：（1）如图，作SC垂直OB于C，则∠CSB=，∠ASB=．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA=3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．由SC=3，∠CSO=，在Rt△SCO中，可求得OC=．因为BC=SA=，故OB=2，即立柱高为2米．（2）如图，连结SM，SN．设SN=a，SM=b．由（1）知SO=2，在△SOM和△SON中，cos∠SOM=﹣cos∠SON，即=﹣，可得a2+b2=26．在△MSN中，cos∠MSN==≥=＞，当且仅当a=b时，等号成立．又∠MSN∈（0，π），则0＜∠MSN＜．故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面．18．已知：已知函数f（x）=﹣+2ax，（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣6，求实数a；（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为﹣6，即可求实数a；（Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f （x ）的极值；（Ⅲ）当0＜a ＜2时，利用导函数的单调性，通过f （x ）在[1，4]上的最小值为﹣，即可求出a ，然后求f （x ）在该区间上的最大值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为f′（x ）=﹣x 2+x +2a ，曲线y=f （x ）在点P （2，f （2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a ﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣依题意：2a ﹣2=﹣6，a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）当a=1时，，f′（x ）=﹣x 2+x +2=﹣（x +1）（x ﹣2）﹣﹣﹣﹣所以，f （x ）的极大值为，f （x ）的极小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）令f′（x ）=0，得，，f （x ）在（﹣∞，x 1），（x 2，+∞）上单调递减，在（x 1，x 2）上单调递增，当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x2＜4，所以f（x ）在[1，4]上的最大值为f （x 2），f （4）＜f （1），所以f （x ）在[1，4]上的最小值为，解得：a=1，x 2=2．故f （x ）在[1，4]上的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上．（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点M 在圆x 2+y 2=b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（I）利用椭圆的定义及其性质即可得出；（II）方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用两点之间的距离公式与，可得，再利用切线的性质可得|PM|=，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；方法2：设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|PQ，利用PQ与圆x2+y2=8相切的性质可得，得到，利用两点之间的距离公式可得，同理可得，即可证明．【解答】（I）解：根据已知，椭圆的左右焦点为分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），c=1，∵在椭圆上，∴，∴a=3，b2=a2﹣c2=8，椭圆的方程是；（II）证明：方法1：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．方法2：设PQ的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0），由，得（8+9k2）x2+18kmx+9m2﹣72=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴===，∵PQ与圆x2+y2=8相切，∴，即，∴，∵，∵0＜x1＜3，∴，同理，∴，因此△PF2Q的周长是定值6．斜率不存在时也成立．故△PF2Q的周长是定值6．20．设数列{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，若a1a5=64，S5﹣S3=48．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：“m=k+1且l=k+3”是“5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{b n}满足：对任意的正整数n，都有a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6，且集合中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；8K：数列与不等式的综合．【分析】（1）由题意和等比数列的性质先求出a3，由等比数列的通项公式、前n项和的定义求出公比q，代入等比数列的通项公式化简即可；（2）由充要条件的定义分别证明充分性、必要性，顺序分类讨论后分别利用等差数列的性质和a n进行证明；（3）由（1）化简a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n b1=3•2n+1﹣4n﹣6后，两边同乘以2再作差求出b n，注意验证n=1是否成立代入，利用作差判断数列{}的单调性，再求出符合条件的λ的范围．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比是q，∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴，解得a3=8，又∵S5﹣S3=48，∴，解得q=2，∴；…4分（2）（ⅰ）必要性：设5a k，a m，a l这三项经适当排序后能构成等差数列，①若2•5a k=a m+a l，则10•2k=2m+2l，∴10=2m﹣k+2l﹣k，∴5=2m﹣k﹣1+2l﹣k﹣1，∴，∴．…6分②若2a m=5a k+a l，则2•2m=5•2k+2l，∴2m+1﹣k﹣2l﹣k=5，左边为偶数，等式不成立，③若2a l=5a k+a m，同理也不成立，综合①②③，得m=k+1，l=k+3，所以必要性成立．…8分（ⅱ）充分性：设m=k+1，l=k+3，则5a k，a m，a l这三项为5a k，a k+1，a k+3，即5a k，2a k，8a k，调整顺序后易知2a k，5a k，8a k成等差数列，所以充分性也成立．综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立．…10分（3）因为，即，①∴当n≥2时，，②则②式两边同乘以2，得，③∴①﹣③，得2b n=4n﹣2，即b n=2n﹣1（n≥2），又当n=1时，，即b1=1，适合b n=2n﹣1（n≥2），∴b n=2n﹣1．…14分∴，∴，∴n=2时，，即；∴n≥3时，，此时单调递减，又，，，，∴．…16分II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．已知矩阵A=，若A=，求矩阵A的特征值．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】由矩阵的乘法首先求得实数a，b的值，然后求解矩阵的特征值即可．【解答】解：因为，所以，解得a=2，d=1，所以矩阵A的特征多项式为：，令f（λ）=0解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】先把方程化为普通方程，再联立，利用弦长公式，即可求线段AB的长．【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y=﹣，y2=8x，联立可得x2﹣5x+=0，∴|AB|==4．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件 A 的对立事件为：“没有 1 首原创新曲被演唱”．可得P（A）=1﹣P（）．（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3．依题意，X=ax+2a（4﹣x）=8a﹣ax，故X 的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．利用超几何分布列计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件 A 的对立事件为：“没有 1 首原创新曲被演唱”．所以P（A）=1﹣P（）=1﹣=．答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为．（2）设随机变量 x 表示被演唱的原创新曲的首数，则 x 的所有可能值为 0，1，2，3．依题意，X=ax +2a （4﹣x ）=8a ﹣ax ，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则 P （X=8a ）=P （x=0）==．P （X=7a ）=P （x=1）==．P （X=6a ）=P （x=2）==．P （X=5a ）=P （x=3）==．．从而X 的概率分布为：所以 X 的数学期望E （X ）=8a ×+7a ×+6a ×+5a ×=a ．24．已知函数f （x ）=2x ﹣3x 2，设数列{a n }满足：a 1=，a n +1=f （a n ）（1）求证：对任意的n ∈N *，都有0＜a n ＜；（2）求证：++…+≥4n +1﹣4．【考点】8E ：数列的求和；8K ：数列与不等式的综合．【分析】（1）由已知可得：a n +1=2a n ﹣3=﹣3+≤．可得a n ＜．作差==3a n （3a n ﹣2），由a n ＜（n ∈N *），可得：a n +1与a n 同号，因此a n ＞0，（2）由0＜a n ＜，a n +1=2a n ﹣3，可得a n +1﹣a n ==a n （1﹣3a n ）＞0，因此数列{a n }单调递增．n ＞1时，，可得＞4，=＞＞…＞，即可证明．【解答】证明：（1）∵a n +1=f （a n ），函数f （x ）=2x ﹣3x 2，∴a n +1=2a n ﹣3=﹣3+≤．若a n +1=，则a n =，可得a 1=，与已知a 1=矛盾，因此等号不成立．∴a n ＜．===3a n （3a n ﹣2），由a n ＜（n ∈N *），可得a n +1，3a n ﹣2＜0，因此a n +1与a n 同号，a 1=＞0， ∴a n ＞0，综上可得：对任意的n ∈N *，都有0＜a n ＜．（2）∵0＜a n ＜，a n +1=2a n ﹣3，∴a n +1﹣a n ==a n （1﹣3a n ）＞0，∴a n +1＞a n ，∴数列{a n }单调递增．∴n ＞1时，，∴＞4， ∴==＞＞＞…＞=4n +1，∴++…+≥3（4+42+…+4n ）=3×=4n +1﹣4．∴++…+≥4n +1﹣4．。

2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷答案解析与点睛(13页)

2018届江苏省南通市启东中学高三上期初数学试卷数学试题一、填空题1.已知集合223|}0{,A x x xx Z =<-∈﹣，集合{}|0B x x =>，则集合A B =I _____. 【答案】{}1,2 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】求解不等式2230x x --<可得：13x -<<，结合题意可得：{}0,1,2A =，利用交集的定义可得：{}1,2A B =I . 故答案为：{}1,2.【点睛】本题主要考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.从1,2,3,4,5共五个数字中,任取两个数字,取出数字之和为偶数的概率是_______ 【答案】25【解析】【详解】任取两个数字的可能为：25C 种，这个数为偶数的种数为：2232C C + ，结合古典概型公式可得，所求概率为：22322525C C p C +== . 3.函数()ln f x x x =-的单调递增区间为_______. 【答案】【解析】函数有意义，则：0x > ，且：()1'1f x x=- ，由()'0f x > 结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为()0,1，故答案为()0,1.4.若函数R ，则m 的取值范围是；【答案】［0，4］【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一一一一恒成立，所以0{0m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.5.若()22lg x xf x a -=+是奇函数，则实数a =_____________．【答案】110【解析】试题分析：依题意可得()0022lg 1lg 0f a a -=+=+=,1lg 1,10a a ∴=-∴=．考点：奇函数．6.已知cos()63πθ-=，则25cos()sin ()66ππθθ+--=__________．【答案】23-- 【解析】由题意可知25ππcos θsin θ66⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=πcos θ6⎛⎫-- ⎪⎝⎭+2π cos θ6⎛⎫- ⎪⎝⎭-1=23，填23-． 7.若直线y kx =与函数2xy e =的图像内相切，则实数k 的值为__________．【答案】2e 【解析】设切点为(x 0,y 0)，则002xy e =一一y ′=(2e x )′=2e x ，∴切线斜率02x k e =一又点(x 0,y 0)在直线上，代入方程得y 0=kx 0一即00022x x ex e =⨯一解得x 0=1一一k =2e .点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.8.已知()1122sin 22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=_____. 【答案】4 【解析】【分析】首先将函数整理化简得sin ()222x x x f x -=++，设()sin 22x xxg x -=+，判断函数()g x 为奇函数，从而可得()g x 的最大值与最小值，且互为相反，进而可求出()f x 的最大值与最小值之和.【详解】()11222sin 22sin sin ()2222222x x x x x x x x x xx x x f x -+----++++===++++，设()sin 22x xxg x -=+，则()()sin 22xxxg x g x --=-=-+，即()g x 为奇函数，可设()g x 最大值为t ，则最小值为t -，可得2M t =+，2m t =-+，即有4M m +=. 故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性应用，考查了分析能力与计算能力，属于基础题.9.设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的_________条件．（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）【答案】充要【解析】试题分析:设函数,因为,所以函数是上的单调递减的函数,故当时,,即,也即ln ln a b a b ->-,所以“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的充分条件；反之,若ln ln a b a b ->-,即,则,而以函数是上的单调递减函数,故,即“a b <”是“ln ln a b a b ->-”的必要条件.故应填答案充要.考点：充分必要条件的判定．【易错点晴】充分必要条件是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的意在考查充分必要条件的判定和对数函数等有关知识的灵活运用.求解时先依据充分必要条件判定方法和定义构造函数,运用导数的知识得到函数是上的单调递减函数,然后分别推断条件其充分性和必要性,从而将问题进行等价转化,从而使得问题巧妙获解. 10.设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则()1f '＝__________．【答案】2 【解析】试题分析：令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2．考点：导数的运算．11.已知O 是ABC ∆外接圆的圆心，若4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则cosC =__________．【答案】4【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以456OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos 4C =. 12.二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+，又()f x 是[]03，上的增函数，且()()0f a f ≥，那么实数a 的取值范围是____________一【答案】[]06，【解析】二次函数()f x 满足()()33f x f x -=+得函数的对称轴为3，又()f x 是[]03，上的增函数，所以函数是开口向下得二次函数，因为()()0f a f ≥，又(0)(6)f f =，所以[0,6]a ∈一故答案为[]0,6.13.已知函数()xf x e =，将函数()f x 的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数()g x 的图象，函数6(1)2,5()42,5xe x x h x e x --+≤⎧=⎨+>⎩，若对任意的[3,]x λ∈一3λ>），都有()()h x g x ≥，则实数λ的最大值为__________．【答案】9ln 22+ 【解析】由()xf x e =的图象向右平移3个单位后得到3x e -再向上平移2个单位，可得()32x eg x -+=当[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数， ()()32max g x g e λλ-∴==+函数()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩当[]3,5x ∈时，()()12h x e x =-+是增函数，此时53λ≥> ()()322min h x h e ==+则3222e e λ-+≤+ 解得24ln λ≤+53λ≥>Q∴实数λ的最大值为24ln +当()5x ∈-∞，时，()642xh x e -=+是减函数，此时5λ<()2?42h x e ∴<<+则322e λ-+≤ 解得λ∈∅综上可得：实数λ的最大值为24ln +点睛：本题中根据()f x 平移后求解()g x ，从而得到了[]3,x λ∈（3λ>）时，()g x 为增函数，()g λ为最大值，()()612,542,5xe x x h x ex -⎧-+≤=⎨+>⎩，对于任意的[]3,5x ∈和5λ<进行讨论()h x 的最小值，根据()()min max h x g x ≥，即可求得实数λ的最大值．14.已知函数()()sin coscos 262x x f x A x πθ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭（其中A 为常数，(),0θπ∈-），若实数123,,x x x 满足：①123x x x <<；②312x x π-<；③()()()123f x f x f x ==，则θ的值为 . 【答案】23π- 【解析】试题分析：因为()()()13sin coscos sin sin 26223x x f x A x A x x ππθθ⎛⎫⎛⎫=+--=+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+≠ ⎪⎝⎭时，()y f x =的周期为2π，由123x x x <<及()()()123f x f x f x ==得312x x π-≥与312x x π-<矛盾，所以()1sin sin 023A x x πθ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，因为(),0θπ∈-，故23πθ=-考点：三角函数的图像和性质【名师点睛】本题考查三角函数的图像和性质，属中档题.解题的关键在于正确化简已知函数解析式，正确理解已知条件在解题中的作用，对学生思维有较高要求二、计算题15.已知命题[]2:2,4,220p x x x a ∀∈--≤恒成立，命题()2:1q f x x ax =-+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(][),14,-∞⋃+∞．【解析】试题分析：根据函数恒成立问题，求出p 为真时的a 的范围，根据二次函数的性质求出q 为真时的a 的范围，从而判断出p 、q 一真一假时的a 的范围即可,最后求两范围的并集即可．试题解析：若p 为真命题，则4a ≥，若q 为真命题，则1a ≤由题意知p 、q 一真一假，当p 真q 假时，4a ≥；当p 假q 真时，1a ≤，所以a 的取值范围为(][),14,-∞⋃+∞．考点：复合命题的真假．16.设事件A 表示“关于x 的一元二次方程220x ax b ++=有实根”，其中a ，b 为实常数.（Ⅰ）若a 为区间[0，5]上的整数值随机数，b 为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）若a 为区间[0，5]上的均匀随机数，b 为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）23;（Ⅱ）35. 【解析】试题分析：(1)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得满足题意的概率值为23一 (2)利用题意画出概率空间，结合几何概型公式可得满足题意的概率值为35.试题解析：（Ⅰ）当a ∈{0，1，2，3，4，5}，b ∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程. 若事件A 发生，则a 2－4b 2≥0，即|a |≥2|b |. 又a ≥0， b ≥0，所以a ≥2b .从而数对（a ，b ）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值.所以P （A ）=122183=. （Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为A={(a ，b)|0≤a ≤5，0≤b ≤2，a ≥2b }. 在平面直角坐标系中画出区域A 、D ，如图，其中区域D 为矩形，其面积S （D ）=5×2=10，区域A 为直角梯形，其面积S （A ）=15262+⨯=. 所以P （A ）=()()63105S A S D ==. 17.已知(cos ,sin )a αα=v，(cos ,sin )b ββ=v ，0βαπ<<<.（1）若a b -=vv a b ⊥v v ；（2）设(0,1)c =v ，若a b c +=v v v ，求,αβ的值.【答案】（1）证明略；（2）56πα=，6πβ=．【解析】试题分析：（1）把a b -=r r 2222a a b b -⋅+=r r r r ，由于22221a b a b ====r r r r ，所以0a b ⋅=r r .从而证得a b ⊥rr；（2）由a b c +=rrr可得cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+=，由0βαπ<<<得0αβπ<-<，整理得1sin sin 2αβ==，结合范围即可求得,αβ的值. 试题解析：（1）证明：由题意得22a b -=r r ，即()22222a b a a b b -=-⋅+=rr r r r r ，又因22221a b a b ====r r r r所以222a b -⋅=r r ，即0a b ⋅=rr .故a b ⊥rr. （2）因()()cos cos ,sin sin 0,1a b αβαβ+=++=rr ，所以cos cos 0{sin sin 1αβαβ+=+= 由此得cos cos()απβ=-，由0βπ<<得0αβπ<-<，又0απ<<故απβ=-代入1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5,66ππαβ==. 考点：平面向量垂直关系的证明及已知三角函数值求角.18.已知函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数． (1)求()f x 的表达式；(2)判断()()()F x f x f x =--的奇偶性，并加以证明 (3)解不等式：log (1)log (2)a a x x ->+．【答案】（1）()2x f x =（2）见证明；（3）1{|2}2x x -<<- 【解析】【分析】(1)根据指数函数定义得到，2331a a -+=检验得到答案. (2) ()22x x F x -=-，判断(),()F x F x -关系得到答案. (3)利用函数的单调性得到答案.【详解】解：（1）∵函数()2()33xf x a a a =-+是指数函数，0a >且1a ≠， ∴2331a a -+=，可得2a =或1a =（舍去），∴()2x f x =；（2）由（1）得()22xxF x -=-， ∴()22xx F x --=-，∴()()F x F x -=-，∴()F x 是奇函数；（3）不等式：22log (1)log (2)x x ->+，以2为底单调递增，即120x x ->+>， ∴122x -<<-，解集为1{|2}2x x -<<-．【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.19.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则曲线符合函数9)y x x =+剟模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及的长度单位均为百米．（1）求()f x 解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5()(19)f x x x x =+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【解析】【分析】（1）求出P 的坐标，直线OB 的方程，点P 到直线0x y -=的距离，即可求()f x 解析式；（2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为9)y x x =+剟，所以点P坐标为(,x x ，直线OB 的方程为0x y -=，则点P 到直线0x y -=2|(||4x x x -=，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为22432()5405()(19)f x x x x x x =+=+g 剟．（2）因为22432()5405()(19)f x x x x x x=+=+g 剟，所以333645(64)()5(1)x f x x x-'=-=，令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为232(4)5(4)304f =+=．答：（1）两条道路PM ，PN 总造价()f x 为232()5()(19)f x x x x=+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键．的20.已知0,1a a >≠，函数()()21,ln x f x a g x x x a =-=-+. （1）若1a >，证明：函数()()()h x f x g x =-在区间()0,∞+上是单调增函数；（2）求函数()()()h x f x g x =-在区间[]1,1-上的最大值；（3）若函数()F x 的图像过原点，且()F x 的导数()()F x g x '=，当103a e >时，函数()F x 过点(1,)A m 的切线至少有2条，求实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）当1a >时,最大值为()11ln h a a-=+；当01a <<时,最大值为()11ln h a a-=+（3）43 【解析】【分析】（1）由题()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,利用导函数求单调区间即可；（2）利用导数可以推导得到()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值,作差可得()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭,设()12ln ,0G a a a a a =-->,再次利用导数推导()G a 的单调性,进而得到[]1,1-上的最大值；（3）由题可得()3211ln 32F x x x a =-+,设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入可得32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,则将原命题等价为关于0x 的方程至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,进而利用导函数判断()x ϕ的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：()()()21ln x h x f x g x a x x a =-=-+-,则()()1ln 2x h x a a x '=-+, 1,a >∴Q 当0x >时,10,ln 0x a a ->>,∴()0h x '>,即此时函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数.（2）由（1）知,当1a >时,函数()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,当0x <时,10x a -<,则()1ln 0x a a -<,()0h x '∴<,则()h x 在区间(),0-∞上是单调减函数；同理,当01a <<时,()h x 在区间()0,∞+上是单调增函数,在区间(),0-∞上是单调减函数；即当0a >,且1a ≠时,()h x 在区间[)1,0-上是减函数,在区间(]0,1上是增函数,则当11x -≤≤时,()h x 的最大值为()1h -和()1h 中的最大值，()()()1111ln ln 2ln h h a a a a a a a ⎛⎫--=--+=-- ⎪⎝⎭Q , ∴令()12ln ,0G a a a a a=-->, 则()22121110G a a a a ⎛⎫'=+-=-≥ ⎪⎝⎭, ∴()12ln G a a a a=--在()0,∞+上为增函数, ()1112ln10G =--=Q ,∴当1a >时,()0G a >,即()()11h h >-,此时最大值为()1ln h a a =-；当01a <<时,()0G a <,即()()11h h ->,此时最大值为()11ln h a a-=+. （3）Q ()()2g ln F x x x x a '==-+, ∴()3211ln 32F x x x a c =-++, Q ()F x 的图像过原点,()00F ∴=,即0c =,则()3211ln 32F x x x a =-+, 设切点为3200011,ln 32B x x x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则B 处的切线方程为：()()3220000011ln ln 32y x x a x x a x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭,将(1,)A m 代入得()()3220000011ln x ln 132m x x a x a x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭, 即32000211ln ln 32m x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（※）, 则原命题等价为关于0x 的方程（※）至少有2个不同的解,设()32211ln ln 32x x a x x a ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 则()()()()222ln ln 12ln x x a x a x x a ϕ'=-++=--,令()0x ϕ'=,12ln 1,2a x x ∴==, 103ln 5,123a a e >∴>>Q , 当(),1x ∈-∞和ln ,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭时,()0x ϕ'>,此时函数()x ϕ为增函数；当ln 1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0x ϕ'<,此时函数()x ϕ减函数, ∴()x ϕ的极大值为()211111ln ln ln 3223a a a ϕ=--+=-, ()x ϕ的极小值为322321111111ln ln ln 1ln ln ln ln 212422244a a a a a a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设ln t a =,则103t >,则原命题等价为321111ln ln ln 24423a a m a ≤≤-+-,即32111124423t m t t ≤≤-+-对103t >恒成立, ∴由1123m t ≤-得43m ≤ 设()3211244s t t t =-+,则()2111118224s t t t t t ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭, 令()0s t '=,则10t =,24t =,当10,43t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '>；当()4t ,∈+∞时,()0s t '<, ,即()s t 在10,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()4,+∞上单调递减, ()s t ∴的最大值为()443s =,∴43m ≥, 故43m =, 综上所述,当103a e >时,函数()F x 过点()1,A m 的切线至少有2条,此时实数m 的值为43【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想.。

江苏省南通中学2018届高三上学期期中考试数学文试题含答案

ABCO（第12题）2018届高三上学期数学期中测试（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=AB B ，则A B =ð ▲ ．2．命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲． 3.函数y =的定义域为 ▲ ．4．已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为 ▲ ． 5.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若3620a a +=，则36S S 的值是 ▲ ． 6.已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,,230,x y x x y ³³-+?ìïïïíïïïïî则 22(2)(1)x y -+-的最小值为▲ ．7.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么＝ ▲ ．(用AB 和AD 表示)8．已知命题p ：|x －a |<4，命题q ：(x －1)(2－x )>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．9．已知直线01=+-y x 与曲线ln y x a =-相切，则a 的值为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数且函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6与y 轴最近的对称轴方程是 ▲ ．12．如图，点O 为△ABC 的重心，且OA OB ⊥，4AB =，则AC BC ⋅的值为 ▲．13．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为 ▲ ． 14．已知函数2+1, 1,()(), 1,a x x f x x a x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤ 函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()(f x a b a b=+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：EF ⊥平面PDC .17.(本小题满分14分)已知集合{}2870A x x x =-+<，{}22220B x x x a a =---< (1)当4a =时，求AB ；(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，某城市有一块半径为40 m 的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建．在AB 的延长线上取点D ，OD ＝80 m ，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为S m 2．设∠AOC ＝x rad ．（1）写出S 关于x 的函数关系式S (x )，并指出x 的取值范围；（2）试问∠AOC 多大时，改建后的绿化区域面积S 取得最大值．19. (本小题满分16分)（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()2ln f x x ≥错误！未找到引用源。

高三数学-【数学】江苏省南通市2018届高三上学期期中考精品

C ABMNP（第13题）江苏省南通市2018届高三上学期期中考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在答题卡相应位置上．1．已知集合M ＝{1，2，3，4，5}，N ＝{2，4，6，8，10}，则M ∩N ＝．2．复数i·(1+2 i) (i 是虚数单位)的虚部为．3．已知a ，b ∈(0，+∞)，a +b =1，则ab 的最大值为．4．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第象限． 5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若向量m a +n b 与向量a －2b 共线，则mn＝． 6．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是．7．若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为．8．已知两圆(x －1)2+(y －1)2＝r 2和(x +2)2+(y +2)2＝R 2相交于P ,Q 两点，若点P 坐标为 (1,2)，则点Q 的坐标为．9．若不等式2x 2－3x +a ＜0的解集为( m ,1)，则实数m ＝．10．已知集合11,(,),11,x y A x y x y x y ⎧⎫-+⎧⎪⎪=∈⎨⎨⎬--⎩⎪⎪⎩⎭R ≤≤≤≤，{}221(),2B x y x y x y =+∈R ，≤，，在集合A 中任取一个元素p ，则p ∈B 的概率为．11．已知三棱锥S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝2，则三棱锥S －ABC 体积的最大值为．12．函数π2sin()3y x ω=+的图象与直线2y =的交点中，最近两点之间的距离是π4，则正数ω＝． 13．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ⋅的取值范围为． 14．若函数3||()2x f x kx x =-+有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡指定区域内作答，15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知4cos 5A =，3sin()5B A -=，求sin B 的值．BADCFE（第16题）16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，BE ＝BC ，F 为CE 上的一点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ．17．（本小题满分15分）已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1+3＜a 3，a 2+5＞a 4，数列{b n }满足11n n n b a a +=⋅，其前n 项和为S n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若S 2为S 1，S m (m ∈N *)的等比中项，求正整数m 的值．18．（本小题满分15分）如图，已知圆O ：x 2+y 2=2交x 轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其右焦点为F ．若点P (－1,1)为圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的右准线l 于点Q ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与圆O 相切．19．（本小题满分16分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a 元（1≤a ≤3）的管理费，预计当每件商品的售价为x 元（8≤x ≤9）时，一年的销售量为(10－x )2万件．（1）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式L (x )；（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L 最大，并求出L 的最大值M (a )．lABQFP Oxy（第18题）20．（本小题满分16分）已知函数12()416mx f x x =+，||21()()2x m f x -=，其中m ∈R ．（1）若0<m ≤2，试判断函数f (x )=f 1 (x )+f 2 (x )()[2,)x ∈+∞的单调性，并证明你的结论；（2）设函数12(),2,()(), 2.f x x g x f x x ⎧=⎨<⎩≥ 若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g (x 1) = g (x 2) 成立，试确定实数m 的取值范围．高三期中考试数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{2，4} 2．1 3．14 4．二 5．12- 6．1 7．2 8．（2，1） 9．12 10．4π11．1 12．2 13．33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 14．{k |2732k <-或k >0}二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）解：在△ABC 中，cos A =45，∴sin A =35．又sin(B －A )=35，∴ 0＜B －A ＜π．∴cos(B －A )=45，或cos(B －A )=45-． ………………………6分若cos(B －A )=45，则sin B =sin[A +(B －A )]=sin A cos(B －A )+cos A sin(B －A )252453545453=⋅+⋅=． ………………………12分若cos(B －A )=45-，则sin B =sin[A +(B －A )]=sin A cos(B －A )+cos A sin(B －A )05354)54(53=⋅+-⋅=（舍去）．综上所述，得sin B =2425． ………………………14分（注：不讨论扣2分） 16．（本小题满分14分）（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ．∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． ………………………3分又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ．∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ． ……………………… 7分（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分在△ACE 中，FG ∥AE ， ∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分17．（本小题满分15分）解：（1）由题意，得111132,53,a a d a d a d +<+⎧⎨++>+⎩解得32< d <52． ………………………3分G BADCFE又d ∈Z ，∴d = 2．∴a n =1+(n －1)⋅2=2n －1． ………………………6分（2）∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-+111()22121n n =--+，∴111111[(1)()()]23352121n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)22121nn n =-=++．11分 ∵113S =，225S =，21m m S m =+，S 2为S 1，S m (m ∈*N )的等比中项， ∴221m S S S =，即2215321m m ⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭， ………………………14分解得m =12． ………………………15分18．（本小题满分15分）解：（1）由题意，得a =2，e =22，∴c =1，∴b 2=1．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ……………………… 6分（2）∵P (－1，1)，F (1，0)，∴12PF k =-，∴2OQ k =．所以直线OQ 的方程为y =2x ． ……………………… 10分又椭圆的右准线方程为x =2，所以Q (2，4)，所以4112(1)PQ k -==--．又1OP k =-，所以1PQ OP k k ⋅=-，即OP ⊥PQ ．故直线PQ 与圆O 相切． ……………………… 15分19．（本小题满分16分）解：（1）该连锁分店一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为L (x )= (x －4－a )(10－x )2，x ∈[8,9]．………………………4分（2）2()(10)2(4)(10)L x x x a x '=----- =(10－x )(18+2a －3x )， …………6分令()0L x '=，得x =6+23a 或x =10（舍去）． ∵1≤a ≤3，∴203≤6+23a ≤8． ………………………10分所以L (x )在x ∈[8,9]上单调递减，故L max =L (8)=(8－4－a )(10－8)2=16－4a ．即M (a ) =16－4a ． ………………………15分答：当每件商品的售价为8元时，该连锁分店一年的利润L 最大，最大值为16－4a 万元． ………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）f (x )为单调减函数． ………………………1分证明：由0<m ≤2，x ≥2，可得12()()()f x f x f x =+=21()4162x m mx x -++=212()4162m x mx x +⋅+．由 2224(4)11()2()ln (416)22m x m x f x x -'=+⋅=+222(4)12()ln 2(28)2mx m x x --⋅+，………………4分且0<m ≤2，x ≥2，所以()0f x '<．从而函数f (x )为单调减函数． ……………5分（亦可先分别用定义法或导数法论证函数12()()f x f x 和在[2,)+∞上单调递减，再得函数f (x )为单调减函数．）（2）①若m ≤0，由x 1≥2，111121()()0416mx g x f x x ==+≤，x 2＜2，2||2221()()()02x m g x f x -==>，所以g (x 1) = g (x 2)不成立． ………………………7分②若m ＞０，由x ＞2时，2122(4)()()0(28)m x g x f x x -''==<+，所以g (x )在[2,)+∞单调递减．从而11()(0,(2)]g x f ∈，即1()(0,]16m g x ∈． ……………………9分（a ）若m ≥2，由于x ＜２时，||2111()()()()()2222x m m x m x g x f x --====⋅，所以g (x )在(－∞,2)上单调递增，从而22()(0,(2))g x f ∈，即221()(0,())2m g x -∈．要使g (x 1) = g (x 2)成立，只需21()162m m -<，即21()0162m m --<成立即可．由于函数21()()162m m h m -=-在[2,)+∞的单调递增，且h (4)=0，所以2≤m ＜4． ………………………12分（b ）若0＜m ＜2，由于x ＜2时，||21(),,12()()()12(), 2.2m xx m x m x m g x f x m x ---⎧<⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩≤所以g (x )在(,]m -∞上单调递增，在[,2)m 上单调递减．从而22()(0,()]g x f m ∈，即2()(0,1]g x ∈．要使g (x 1) = g (x 2)成立，只需21,161()162mmm -⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤成立，即21()162m m -≤成立即可．由0＜m ＜2，得2111,()16824m m -<>．故当0＜m ＜2时，21()162m m -≤恒成立． ……………………15分综上所述，m 为区间（0，4）上任意实数． ………………………16分精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。

高三数学-2018高三数学模拟试卷南通中学精品

∵ A 点在 SR 上，∴ 4b=(x1+x2)a－ x1x2 ① 对 y
∴抛物线上 S． R 处的切线方程为
12
1
x 求导得： y′＝ x
4
2
y 1 x12
1 x1( x
x1 ) 即 4 y
2
2 x1x x1
②
4
2
y
1
x
2 2
4
1 x2 ( x
x2 ) 即 4 y
2 x2 x
2
x2
③
2
联立②、③得
9． C
10． A
11． B 12． C
2a b
13．
|2a b |
14． a>0，b<0 ， c<0，d=0
12
15．
5
16． 2027
[ 解析 ] ：注意到： 12 1,32 9, ,43 2 1849,452 2025
故前 2018 项共删去 22 个数，又因为 2018 与 2026 间还有一个需要删去的项是 2018+22+1=2027 三、解答题
12．某工厂投入 98 万元购买一套设备，第一年的维修费用 12 万元，以后每年增加 4 万元，每年可
收入 50 万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前
5 年的平均年利润最多；
③前 10 年总利润最多；④第 11 年是亏损的；⑤ 10 年后每年虽有盈利但与前 10 年比年利润有
所减少．（总利润 =总收入－投入资金－总维修费）其中真命题是
（ 1）求： a2 a4 a6 a8 a10 a12 a14 a16 ；
（ 2）若 Sn a1 a2 a3
an 21

南通中学学年高三(上)期中数学试题(理科)

2018-2018 学年江苏省南通中学高三<上）期中数学试卷 <理科）一、填空题 <每题 5 分，共70 分）2﹣ 5x+4≥0}，则 A ∩B= {4} ． 1． <5 分）已知会合 A={x||x ﹣ 3| ≤ 1}， B={x|x 考交集及其运算．点：专计算题．题：A ，解 x 2﹣ 5x+4 ≥0 可得会合 B ，由交分依据题意，解 |x ﹣3|≤1 可得 2≤x ≤4，即可得会合析：集的定义，即可得答案．解解：依据题意，关于会合 A ， |x ﹣ 3|≤1? 2≤x ≤4，则 A={x|2 ≤x ≤4} ，答：关于会合 B ，由 x 2﹣ 5x+4≥0? x ≤1 或 x ≥4，则 B={x|x ≤1 或 x ≥4} ，则 A ∩B={4} ，故答案为 {4} ．点本题考察会合交集的计算，重点是正确解出不等式，获得会合 A 、B ．评：2 2 2若 a+b+c ≠3，2． <5 分）已知 a ， b ， c ∈R ，命题 “若 a+b+c=3，则 a +b +c ≥ 3的”否命题是2 2 2 ＜3 ．则 a +b +c 考四种命题．点：专综合题．题：分若原命题是 “若 p ，则 q ”的形式，则其否命题是 “若非 p ，则非 q ”的形式，由原命题析：222“若 a+b+c=3 ，则 a +b +c ≥3”，依据否命题的定义给出答案．解解：：依据四种命题的定义， 2 22 2答：2 2＜ 3”命题 “若 a+b+c=3，则 a +b +c ≥3”的否命题是 “若 a+b+c ≠3，则 a +b +c2 2 2故答案为：若 a+b+c ≠3，则 a +b +c ＜ 3 点本题考察的知识点是四种命题，娴熟掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答评：本题的重点．3． <5 分）已知，则= ．考运用引诱公式化简求值．点：专计算题．题：分依据引诱公式可知 =sin< ﹣α﹣ ），从而整理后，把析：sin<α+ ）的值代入即可求得答案．解解：=sin< ﹣ α﹣） =﹣sin<α+）=﹣答：故答案为：﹣点本题主要考察了运用引诱公式化简求值的问题．属基础题．评：4． <5 分）函数 y=x ﹣ 2lnx 的单一减区间为 <0， 2）．考利用导数研究函数的单一性．点：专计算题．题：分函数的单一减区间就是函数的导数小于零的区间，能够先算出函数f<x ）=x ﹣2lnx 的析：导数，再解不等式 f′<x ）＜ 0，可得出函数的单一减区间．解解：求出函数f<x ）=x ﹣ 2lnx 的导数：答：而函数的单一减区间就是函数的导数小于零的区间由 f′<x）＜ 0，得 <0， 2）由于函数的定义域为<0， +∞）所以函数的单一减区间为 <0， 2）故答案为： <0， 2）点本题的考点是利用导数研究函数的单一性，解题的重点是求导函数，在做题时应当评：防止忽视函数的定义域而致使的错误．5． <5 分）已知 ||=， | |=3，和的夹角为45°，若向量 <λ + ）⊥ <+λ），则实数λ的值为．考平面向量数目积的运算．点：专平面向量及应用．题：分先利用两个向量的数目积的定义求出?的值，再由两个向量垂直的性质可得析：<λ + ） ?<+λ） =0 ，解方程求得实数λ的值．解解：∵已知 ||=， | |=3，和的夹角为 45°，答：∴ ? =?3cos45°=3．由向量 <λ +）⊥ < +λ），可得 <λ +） ?< +λ） =0，即λ2+<λ+1）+λ =0，2，即 2λ+3< λ+1） +9λ=0，解得λ=故答案为．点本题主要考察两个向量的数目积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．评：6． <5 分）设函数 f<x ）是定义在 R 上的奇函数，且对随意x∈R 都有 f<x ）=f<x+4 ），当xx∈<﹣ 2， 0）时， f<x ） =2 ，则 f<2018 ）﹣ f<2018 ） = ．考奇偶性与单一性的综合．点：专计算题；函数的性质及应用．题：分函数 f<x ）是定义在 R 上的奇函数，可得 f<0 ） =0；对随意 x∈R 都有 f<x ）析：=f<x+4 ），可得函数的周期为4，由此可得结论．解解：由题意，函数 f<x ）是定义在 R 上的奇函数，∴ f<0 ） =0答：∵对随意 x∈R 都有 f<x ） =f<x+4 ），∴函数的周期为4，∴ f<2018 ） =f<4 ×503）=f<0 ） =0∵当 x ∈<﹣ 2， 0）时， f<x ） =2x，∴ f< ﹣ 1）= ，∴ f<1 ） =﹣∴ f<2018 ）=f<4 ×503+1 ）=f<1 ） =﹣∴ f<2018 ）﹣ f<2018 ）=故答案为：点本题考察函数的奇偶性与周期性，考察学生的计算能力，属于基础题．评：7． <5 分），设 {a n } 是正项数列，其前 n 项和 S n 知足： 4S n =<a n ﹣1） <a n +3），则数列 {a n }的通项公式 a n = 2n+1 ．考数列的观点及简单表示法．点：分把数列仿写一个，两式相减，归并同种类，用平方差分解因式，约分后获得数列相析：邻两项之差为定值，获得数列是等差数列，公差为2，取 n=1 代入 4S n =<a n ﹣ 1）<a n +3）获得首项的值，写出通项公式．解解：∵ 4S n =<a n ﹣ 1）<a n +3），答： ∴ 4s n ﹣ 1=<a n ﹣ 1﹣1） <a n ﹣ 1+3），两式相减得整理得： 2a n +2a n ﹣1=a n 2﹣a n ﹣1 2，∵ {a n } 是正项数列， ∴ a n ﹣ a n ﹣1=2，∵ 4S n =<a n ﹣ 1） <a n +3），令 n=1 得 a 1=3 ，∴ a n =2n+1，故答案为： 2n+1 ．点数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考取据有重要的评：地位．高考对本章的考察比较全面，等差数列，等比数列的考察每年都不会遗漏．8． <5 分）已知命题 p ：在 x ∈<﹣∞，0] 上存心义，命题 q ：函数y=lg<ax 2﹣ x+a ）的定义域为 R ．假如 p 和 q 有且仅有一个正确，则 a 的取值范围<﹣ ∞，]∪ <1， +∞）．考命题的真假判断与应用．点：专计算题；函数的性质及应用．题：在 x ∈<﹣ ∞， 0]上存心义可得 p ；由函数 y=lg<ax 2﹣ 分由函数析：x+a ）的定义域为 R ．可得 ax 2﹣ x+a ＞0 恒成立，联合二次函数的性质可求 q ，而 p 和 q 有且仅有一个正确即是 ① p 正确而 q 不正确， ② q 正确而 p 不正确，两种状况可求 a 的范围解解： x ∈<﹣ ∞， 0] 时， 3x∈<0，1] ，答：∵函数在 x ∈<﹣ ∞， 0]上存心义，∴ 1﹣ a?3x≥0，∴ a ≤ ，∴ a ≤1，即便 p 正确的 a 的取值范围是： a ≤1． <2 分）由函数 y=lg<ax 2﹣ x+a ）的定义域为 R ．可得 ax 2﹣x+a ＞ 0 恒成立<1 ）当 a=0 时， ax 2﹣ x+a= ﹣ x 不可以对一确实数恒大于0．<2 ）当 a≠0 时，由题意可得，2△ =1 ﹣ 4a ＜0，且 a＞0∴ a＞．故 q 正确： a＞． <4 分）①若 p 正确而 q 不正确，则，即 a≤， <6 分）②若 q 正确而 p 不正确，则，即 a＞ 1，<8 分）故所求的 a 的取值范围是： <﹣∞， ]∪ <1 ， +∞）．故答案为： <﹣∞， ]∪<1 ， +∞）．点本题考察命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，认真解答，注意评：函数的定义域的合理运用．9． <5 分）设函数y=sinx<0≤ x≤π的图象为曲线）C，动点 A<x ， y）在曲线C 上，过 A 且平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B<A 、 B 能够重合），设线段AB 的长为 f<x ），则函数f<x ）单一递加区间[] ．考正弦函数的图象；正弦函数的单一性．点：专计算题；三角函数的图像与性质．题：分依题意，对x∈[0，] 与 x∈[ ，π]议论即可．析：解解：依题意得f<x ）=|AB| ， <0≤|AB| ≤π）．答：当 x∈[0，]时， |AB| 由π变到 0，∴[0， ] 为 f<x ）单一递减区间；当当 x∈[ ，π]时， |AB|由 0 变到π，∴[ ，π]为 f<x ）单一递加区间．故答案为： [，π]．点本题考察正弦函数的图象与性质，考察数形联合思想与剖析问题的能力，属于中档评：题．10． <5 分） <2018?苏州模拟）当时，恒成立，则实数 a 的取值范围是．考绝对值不等式的解法．点：专计算题；压轴题．题：分析：解答：由题意当时，恒成立，可得﹣≤ax ﹣2x 3≤ ，化为两个恒成立问题，从而求解．解：∵当时，恒成立，∴﹣ ≤ax ﹣2x 3≤ ，∴ ax ﹣ 2x 33﹣ ≤0，在 [0， ] 上恒成立；+ ≥0 和 ax ﹣ 2x∴，下求出 2的最大值和 2x 2的最小值，2x ﹣ + ∵，∵ 2x 2﹣在上增函数，∴ 2x 2﹣≤2× ﹣ 1=﹣ ，∴ a ≥﹣ ；∵，∵ 2x 2≥2× +1= ，∴ a ≤ ，+∴，故答案为：．点本题考察绝对值不等式的性质及函数的恒成立问题，这种题目是高考的热门，难度评：不是很大，要注意函数的增减性．3﹣ 3ax11． <5 分）已知存在实数 a ，知足对随意的实数 b ，直线 y= ﹣ x+b 都不是曲线 y=x 的切线，则实数 a 的取值范围是．考利用导数研究曲线上某点切线方程．点：专计算题．题：分由直线 y= ﹣ x+b 得直线斜率为﹣ 1，直线 y= ﹣ x+b 不与曲线 f<x ）相切知曲线 f<x ）析：上任一点斜率都不为﹣ 1，即 f ′<x ） ≠﹣ 1，求导函数，并求出其范围 [ ﹣ 3a ，+∞），得不等式﹣ 3a ＞﹣ 1，即得实数 a 的取值范围．解解：设 f<x ） =x 3﹣ 3ax ，求导函数，可得 f ′<x ）=3x 2﹣ 3a ∈[﹣ 3a ， +∞），答： ∵存在实数 a ，知足对随意的实数b ，直线 y=﹣ x+b 都不是曲线 y=x 3﹣ 3ax 的切线， ∴﹣ 1? [﹣ 3a ，+∞），∴﹣ 3a ＞﹣ 1，即实数 a 的取值范围为故答案为：点本题考察导数知识的运用，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．评：12． <5 分） <2008?辽宁）设，则函数的最小值为．考三角函数的最值．点：专计算题；压轴题．题：分先依据二倍角公式对函数进行化简，而后取点A<0 ， 2）， B<﹣ sin2x ， cos2x）且在析：22x +y =1 的左半圆上，将问题转变为求斜率的变化的最小值问题，从而看解．解解：∵，答：2 2取 A<0 ， 2）， B< ﹣ sin2x， cos2x）∈x +y =1 的左半圆，如图易知．故答案为：．点本小题主要考察二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．考察知识的综合运用能评：力和灵巧能力．13． <5 分）设实数 a＞ 1，若仅有一个常数 c 使得关于随意的2 x∈[a，3a] ，都有 y∈[a，a ]满足方程 log a x+log a y=c，这时，实数 a 的取值的会合为{3}．考对数的运算性质．点：专函数的性质及应用．题：分析：由题意可得 x＞ 0， y＞ 0，，作出其图象如下图，从而得出及 a＞1， c 只有一个值．解出即可．解解：∵ log a x+log a y=c ，∴ x＞ 0， y＞ 0，． <a＞ 1），作出其函数图象：答：由图象能够看出：函数在区间 [a， 3a]上单一递减，∴必有及 a＞ 1， c 只有一个值．解得c=3， a=3．适合题意．∴实数 a 的取值的会合为{3} ．点由意确立函数的性和画出其象是解的关．：14． <5 分）已知函数，把函数 g<x ） =f<x ） x+1 的零点按从小到大的序摆列成一个数列，数列的前 n 的和 S n ， S 10= 45 ．考数列的乞降．点：合；等差数列与等比数列．：分函数 y=f<x ）与 y=x 在<0， 1]， <1， 2] ， <2，3] ，<3， 4]， ⋯， <n ，n+1]上的交点依析：次 <0，0）， <1， 1）， <2， 2）， <3 ， 3）， <4， 4）， ⋯， <n+1， n+1 ）．即方程f<x ） x=0 在 <2， 3]， <3，4] ， ⋯， <n ， n+1] 上的根挨次 3， 4， ⋯n+1．方程 f<x ） x=0 的根按从小到大的序摆列所得数列 0， 1， 2， 3， 4，⋯，可得数列通公式． x ﹣1解解：当 0＜ x ≤1 ，有 1＜x 1＜ 0， f<x ） =f<x 1），+1=2答：当 1＜ x ≤2 ，有 0＜ x 1≤1， f<x ）=f<x 1）+1=2 x ﹣2+1，当 2＜ x ≤3 ，有 1＜ x 1≤2， f<x ）=f<x 1） +1=2x ﹣3+2，当 3＜ x ≤4 ，有 2＜ x 1≤3， f<x ）=f<x 1） +1=2x ﹣4+3，x ﹣ n ﹣ 1以此推，当 n ＜x ≤n+1<此中 n ∈N ）， f<x ） =f<x 1） +1=2 +n ，所以，函数 f<x ） =2x的象与直 y=x+1 的交点： <0， 1）和 <1 ， 2），因指数函数 f<x ）=2 x增函数且象下凸，故它只有两个交点．而后：① 将函数 f<x ） =2 x和 y=x+1 的象同向下平移一个位，即获得函数 f<x ） =2x1 和 y=x 的象，取 x ≤0 的部分，可它有且有一个交点 <0， 0）．即当 x ≤0 ，方程 f<x ） x=0 有且有一个根 x=0 ．x ﹣1和 y=x 象 1＜x ≤0 的部分， ② 取 ① 中函数 f<x ） =2 再同向上和向右各平移一个位，即得 f<x ）=2x ﹣ 1和 y=x 在 0＜x ≤1 上的象，此它仍旧只有一个交点 <1， 1）．即当 0＜ x ≤1 ，方程 f<x ） x=0 有且有一个根x=1．x ﹣1和 y=x 在 0＜ x ≤1 上的象， ③ 取 ② 中函数 f<x ） =2 依据上述步行，即获得 f<x ） =2x ﹣2+1 和 y=x 在 1＜ x ≤2 上的象，此它仍旧只有一个交点 <2， 2）．即当 1＜ x ≤2 ，方程 f<x ） x=0 有且有一个根 x=2． ④ 以此推，函数y=f<x ）与 y=x 在 <2， 3]， <3 ，4] ， ⋯，<n ， n+1] 上的交点挨次<3， 3）， <4 ， 4），⋯<n+1 ，n+1 ）．即方程 f<x ） x=0 在<2， 3] ， <3， 4]，⋯<n， n+1] 上的根挨次3，4，⋯， n+1．上所述方程f<x ） x=0 的根按从小到大的序摆列所得数列：0， 1，2， 3， 4，⋯，其通公式：a n=n 1，前 n 的和 S n=，∴S10=45．故答案： 45．点本考了数列推公式的灵巧运用，解要注意分思想和；本：属于的目，要心解答．二、解答：本大共 6 小，共 90 分．在答卡指定地区内作答，解答写出文字明、明程或演算步 .15． <12 分） <2009?江）向量<1）若与垂直，求tan<α +）β的；<2）求的最大；<3）若 tan α tan β，=16求：∥．考平面向量数目坐表示的用；平行向量与共向量；两向量的和或差的模的最点：．合．：分<1 ）先依据向量的性运算求出，再由与垂直等价于与的析：数目等于0 可求出α+β的正余弦之的关系，最后可求正切．解答：<2 ）先依据性运算求出，而后依据向量的求模运算获得||的关系，最后根据正弦函数的性可确立答案．<3 ）将 tanαtanβ=16 化成弦的关系整理即可获得<4cosα） ?<4cosβ） =sin αsinβ，正是∥的充要条件，从而得．解： <1）∵=<sin β 2cosβ， 4cosβ+8sin β），与垂直，∴4cosα<sinβ 2cosβ）+sinα<4cosβ+8sin β）=0，即 sinαcosβ+cosαsinβ=2<cosαcosβ sinαsinβ），∴sin<α+β） =2cos<α+β），∴ tan<α+β）=2 ．<2 ）∵=<sin β+cosβ， 4cosβ 4sinβ），∴||==，∴当 sin2β= 1 ， ||取最大，且最大．<3 ）∵ tanαtanβ=16 ，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，∴<4cosα）?<4cosβ） =sinαsinβ，即 =<4cos α， sinα）与 =<sinβ， 4cosβ）共，∴∥ ．点本主要考向量的性运算、求模运算、向量垂直和数目之的关系．向量和：三角函数的合是高考的点，要化复．16． <14 分）已知函数f<log a x ） =，此中a ＞ 0 且a ≠1．<1）求函数 f<x ）的解式，并判断其奇偶性和性； <2）于函数 f<x ），当 x ∈<1，1）， f<1m ） +f<1m 2）＜ 0，求数m 的取范；<3）当 x ∈< ∞， 2）， f<x ） 6 的恒数，求函数 a 的取范．考奇偶性与性的合；函数性的判断与明；函数奇偶性的判断．点：函数的性及用．：分<1 ）依据数式与相指数式的关系，由函数 f<log a x ）= ，将析：括号中的数式化 x 后，解式中 x 要化 a x，求出解式后，可依据奇偶性的定及数法，求出函数的奇偶性和性；2）＜<2 ）依据 <1）中函数的性，及 x ∈< 1， 1）可将不等式 f<1 m ） +f<1 m 0，化 1＜ 1 m ＜ 1 m 2＜ 1，而获得数 m 的取范；<3 ）由当 x ∈< ∞， 2）， f<x ） 6 的恒数，依据函数的性可得 f<2 ） 6≤0 整理可得 a 的取范．解解： <1）由 f<log a x ） =，得答：， ⋯2’因定域R ，= f<x ）所以 f<x ）奇函数， ⋯4’因，当 0＜ a ＜ 1 及 a ＞ 1 ， f ′<x ）＞ 0，所以 f<x ） R 上的增函数； ⋯6’<2 ）由 f<1 m ） +f<1 m2）＜ 0，得 f<1 m ）＜ f<1 m 2） =f<m 21），，又 x ∈< 1， 1）， 1＜ 1 m ＜ 1 m 2＜ 1，得 1＜ m ＜； ⋯10’ <3 ）因 f<x ） R 上的增函数，所以当 x ∈<0， 2）， f<x ） 6 的恒数，所以 f<x ） 6＜ 0 恒成立，f<2 ） 6=≤0，⋯12’整理得 a 26a+1≤0，所以≤a ≤，又 a ＞ 0 且 a ≠1，所以数a 的取范是 [，1）∪ <1， ≤ ]． ⋯14’点本是函数奇偶性与性的合用，特是后边抽象不等式及恒成立，：度大．17． <16 分）数列 {a n } 的前 n 和 S n ，且足 S n =2a n ，n=1 ， 2，3， ⋯ ．<1）求数列 {a n } 的通公式；<2）若数列 {b n } 足 b 1=1，且 b n+1=b n +a n ，求数列 {b n } 的通公式；<3） c n =n <3 b n ），求数列 {c n } 的前 n 和 T n ．考数列的乞降；数列的函数特征；等比数列的通公式．点：算．：分a n 与 Sn 关系析： <1）利用数列中解决．<2）合 <1）所求得出 b=．利用累加法求bn+1 b nn<3）由上求出 c n =n <3 b n ）=，利用位相消法乞降即可．解解： <1）因 n=1 ， a 1+S 1=a 1+a 1=2，所以 a 1=1．答：因 S n n ，即 a n n n+1 n+1=2 a +S =2，所以 a +S=2 ．两式相减： a n+1 a n +S n+1 S n =0，即 a n+1 a n +a n+1=0，故有 2a n+1=a n ．因 a n ≠0，所以=< n ∈N * ）．所以数列 {a n } 是首 a 1=1，公比的等比数列， a n = < n ∈N *）．<2）因 b n+1=b n +a n < n=1 ， 2，3， ⋯），所以 b n+1 b n = ．从而有 b 2 b 1=1，b 3b 2= ， b 4 b 3=， ⋯， b n b n ﹣ 1=< n=2 ， 3， ⋯）．将 n 1 个等式相加，得 b n b 1=1+ + +⋯+ = =2．又因 b 1=1 ，所以 b n =3 < n=1 ，2， 3， ⋯）． <3）因 c n =n <3 b n ） = ，所以T n =． ① =．②① ②，得=．故 T n = =8 =8 < n=1 ，2，3， ⋯）．点a n 与 Sn 关系：本考利用数列中求数列通，累加法、位相消法乞降，考化、形结构、算能力．18． <16 分） <2018?盐城三模）某广告企业为2018 年上海世博会设计了一种霓虹灯，款式如图中实线部分所示．其上部分是以AB 为直径的半圆，点O 为圆心，下部分是以AB 为斜边的等腰直角三角形，DE， DF 是两根支杆，此中AB=2M ，∠ EOA= ∠ FOB=2x<0 ＜ x＜）．此刻弧EF、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯，在弧AE 、弧 BF、线段 AD 与线段 BD 上装节能灯．若每种灯的“心悦成效”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比率系数为 2k，节能灯的比率系数为 k<k ＞ 0），假设该霓虹灯整体的“心悦成效”y是全部灯“心悦成效”的和．<1）试将 y 表示为 x 的函数；<2）试确立当x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦成效”最正确．考在实质问题中成立三角函数模型；三角函数的最值．点：专计算题；新定义．题：分<1 ）由题意知，成立三角函数模型，依据所给的条件看出要用的三角形的边长和角析：度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，获得结果．<2 ）要求函数的单一性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量 x 取到的结果．解解： <1）∵∠ EOA= ∠ FOB=2x ，答：∴弧 EF、 AE 、 BF 的长分别为π﹣4x，2x，2x连结 OD，则由 OD=OE=OF=1 ，∴，∴=；<2 ）∵由，解得，即，又当时， y'＞ 0，此时y 在上单一递加；当时， y'＜ 0，此时y 在上单一递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦成效”最正确．点本题是一道难度较大的题，表此刻以下几个方面第一需要自己依据条件成立三角函评：数模型写出解读式，再对解读式进行整理运算，获得函数性质，这是一个综合题，解题的重点是读懂题意．19． <16 分） <2018?绵阳二模）已知函数 f<x ） = x 3﹣ 2x 2+3x<x ∈R ）的图象为曲线 C ．<1）求曲线 C 上随意一点处的切线的斜率的取值范围；<2）若曲线 C 上存在两点处的切线相互垂直，求此中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标取值范围；<3）试问：能否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不一样点？假如存在，求出切合条件的全部直线方程；若不存在，说明原因．考利用导数研究曲线上某点切线方程；函数与方程的综合运用．点：专题：分析：压轴题；函数的性质及应用．<1 ）先求导函数，而后依据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线 C 上随意一点处的切线的斜率的取值范围；<2 ）依据 <1）可知 k 与﹣ 的取值范围，从而可求出 k 的取值范围，而后解不等式可求出曲线 C 的切点的横坐标取值范围；<3 ）设存在过点 A<x 1，y 1）的切线曲线 C 同时切于两点，另全部点为 B<x 2，y 2），x 1≠x 2，分别求出切线，由于两切线是同向来线，成立等式关系，依据方程的解的情况可得是切合条件的全部直线方程．解解： <1）f'<x ） =x 2﹣4x+3 ，则 f ′<x ）=<x ﹣ 2） 2﹣1≥﹣ 1，答：即曲线 C 上随意一点处的切线的斜率的取值范围是 [﹣ 1，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ <4 分） <2 ）由 <1）可知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ <6 分）解得﹣ 1≤k ＜ 0 或 k ≥1，由﹣ 1≤x 2﹣ 4x+3 ＜ 0 或 x 2﹣ 4x+3 ≥1 得： x ∈<﹣ ∞， 2﹣ ] ∪ <1， 3）∪ [2+ ， +∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ <9 分）<3 ）设存在过点 A<x 1，y 1）的切线曲线 C 同时切于两点，另全部点为B<x 2，y 2），x 1≠x 2，则切线方程是： y ﹣ < ﹣2 +3x 1 ）=<﹣ 4x 1+3） <x ﹣ x 1），化简得： y=<﹣ 4x 1+3） x+< ﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣<11 分）而过 B<x 2， y 2）的切线方程是 y=<﹣ 4x 1+3） x+< ﹣+2 ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ <，由于两切线是同向来线，则有：﹣ 4x 1+3=﹣ 4x 1+3 ，得 x 1+x 2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ <13 分）又由﹣+2 =﹣+2，即﹣ <x 1﹣ x 2） < +x 1x 2+ ） +<x 1﹣ x 2）<x 1+x 2） =0< +x1x2+）+4=0 ，即 x1<x 1+x 2）+12=0即 <4 x2）×4+12=0，4x2+4=0得 x2=2，但当 x2=2 ，由 x1+x2=4 得 x1=2，与 x1≠x2矛盾．所以不存在一条直与曲 C 同切于两点．<16 分）点本主要考了利用数研究曲上某点切方程，以及相互垂直的直的斜率关：系，同考了运算能力，属于中档．20． <16 分）已知数列 {a n} ，{b n} 足 b n=a n+1a n，此中 n=1 ， 2，3，⋯．<Ⅰ）若 a1=1，b n=n，求数列 {a n} 的通公式；<Ⅱ）若 b n+1b n﹣1=b n<n≥2），且 b1=1， b2=2．<ⅰ） c n=a6n﹣1<n≥1），求：数列{c n} 等差数列；<ⅱ）若数列中随意一的均未在数列中重复出无数次．求a1足的条件．考数列推式；等差关系确实定．点：算；；分．：分<Ⅰ）依据数列的基天性以及中已知条件即可求出数列{a n} 的通公式；析：<Ⅱ） <ⅰ）先依据中已知条件推出b n+6=b n，而后求出c n+1 c n定，即可明数列 {c n} 等差数列<ⅱ）数列 {a 6n+i} 均以7 公差的等差数列，而后分当和当，数列能否出 a1足的条件．解解： <Ⅰ）当 n≥2 ，答：有 a n=a1+<a2 a1） +<a3 a2） +⋯+<a n a n﹣1）=a1+b1+b2 +⋯+b n﹣1<2 分）=．<3 分）又因 a1=1 也足上式，所以数列 {a n} 的通．<4分）<Ⅱ）由知： b n＞ 0，随意的 n∈N *有 b n+2b n=b n+1， b n+1b n+3=b n+2得 b n+3b n=1，于是又 b n+3b n+6=1，故 b n+6=b n<5 分）∴b6n﹣5=b 1=1， b6n﹣4=b2=2， b6n﹣3=b 3=2，b6n﹣2=b4=1，<ⅰ） c n+1 c n=a6n+5 a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b 6n+1+b 6n+2+b 6n+3+b6n+4=<n ≥1），所以数列 {c n} 等差数列． <7 分）<ⅱ） d =a6n+i <n≥0）， <此中 i 常数且 i∈{1 ， 2， 3， 4， 5， 6} ），n所以 d n+1 d n=a6n+6+i a6n+i=b6n+i+b6n+i+1 +b6n+i+2 +b6n+i+3+b 6n+i+4+b6n+i+5=7<n ≥0）所以数列 {a 6n+i} 均以7 公差的等差数列． <9 分），<此中 n=6k+i<k ≥0）， i {1 ， 2，3， 4， 5， 6} 中的一个常数），当，随意的n=6k+i 有= ；<10 分）由此时当， i∈{1 ， 2， 3，4， 5， 6} 知重复出现无数次．时，；=① 若，则对随意的k∈N 有f k+1＜ f k，所以数列为单一减数列；② 若<12 分），则对随意的k∈N 有 f k+1＞ f k，所以数列为单一增数列；<i=1 ， 2， 3， 4，5， 6）均为单一数列，随意一个数在这 6 个数列中最多各出现一次，即数列中随意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当 a1? B 时，数列中随意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．<14 分）点本题考察了等差数列的基天性质和数列的递推公式，考察了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分评：想的运用，属于中档题．三、 <理科附带题）21． <2018?西山区模拟）自圆O 外一点 P 引圆的一条切线PA，切点为 A ， M 为 PA 的中点，过点 M 引圆 O 的割线交该圆于B、 C 两点，且∠ BMP=100°，∠ BPC=40°，求∠ MPB的大小．考与圆相关的比率线段；相像三角形的判断．点：专计算题．题：22分依据 MA 为圆 O 的切线，由切割线定理得MA =MB ?MC ．从而 MP =MB ?MC ．依析：据相像三角形的判断方法得：△ BMP ∽△ PMC 得出∠ MPB= ∠ MCP ．最后在△ MCP 中，即得∠ MPB ．解选修 4﹣ 1：几何证明选讲，答：解：由于 MA 是圆 O 的切线，所以 MA 2=MB ?MC<2 分）2又 M 是 PA 的中点，所以 MP =MB ?MC由于∠ BMP= ∠PMC ，所以△ BMP ∽△ PMC<6 分）于是∠ MPB= ∠MCP ，在△ MCP 中，由∠ MPB+ ∠ MCP+ ∠ BPC+ ∠BMP=180 °，即 100°+2∠MPB+40 °=180°；得∠ MPB=20 °<10 分）点本题考察了圆中间的比率线段，以及三角形相像的相关知识点，属于中档题．找到评：题中的相像三角形来获得角的相等，是解决本题的重点．22． <2009?盐城一模）如图，已知 OA 、 OB 是⊙ O 的半径，且 OA ⊥ OB， P 是线段 OA 上一点，直线 BP 交⊙ O 于点 Q，过 Q 作⊙ O 的切线交直线 OA 于点 E，求证：∠OBP+ ∠ AQE=45° ．考圆周角定理．点：专证明题．题：分本题考察的知识点是圆周角定理，要证明：∠OBP+ ∠ AQE=45 °，我们能够连结析：AB ，而后依据圆周角定理，获得∠OBP+ ∠ AQE= ∠ OBP+ ∠ABP= ∠AQE ，进行获得结论．解证明：连结 AB ，答：则∠ AQE= ∠ ABP ，而 OA=OB ，所以∠ ABO=45 °所以∠ OBP+ ∠ AQE=∠ OBP+ ∠ ABP=∠ ABO=45 °点依据求证的结论，使用剖析斟酌证明过程中所需要的条件，从而剖析增添协助线的评：方法，是平面几何证明一定掌握的技术，大家必定要娴熟掌握，而在<2）中依据已知条件剖析转变的方向也是解题的主要思想．解决就是找寻解题的思路，由已知出发，搜寻转变方向和从结论出发找寻转变方向要联合在一同使用．23． <2018?许昌三模）选修4﹣ 1：几何证明选讲如图：⊙ O 是等腰三角形 ABC 的外接圆， AB=AC ，延伸 BC 到点 D ，使 CD=AC ，连结 AD交⊙ O 于点 E，连结 BE 与 AC 交于点 F．<1）判断 BE 能否均分∠ ABC ，并说明原因<2）若 AE=6 ，BE=8 ，求 EF 的长．考与圆相关的比率线段．点：专证明题．题：∠ACB ，再利分<1 ） BE 均分∠ ABC ．由已知中边的相等，可得∠CAD= ∠D ，∠ ABC=析：用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD= ∠D= ∠DBE ，即有解答：∠ ABE+ ∠ EBD= ∠ CAD+ ∠ D ，利用等量减等量差相等，可得∠ EBD= ∠ D= ∠ ABE ，故得．<2 ）由 <1）中的所条件∠ ABE= ∠FAE ，再加上两个三角形的公共角，可 △ BEA ∽△ AEF ，利用比率段可求 EF ．解： <1）BE 均分∠ ABC ；明：∵ AC=CD ，∴∠ CAD= ∠ ADC∴∠ ACB= ∠ CAD+ ∠ ADC=2 ∠CAD ⋯<2 分）又∵ AB=AC ∴∠ ABC= ∠ ACB=2 ∠ CAD ∵∠ CAD= ∠EBC ， ∴∠ ABC=2 ∠ EBC ∴ BE 均分∠ ABC ； ⋯<5 分）<2 ）接 EC ，由 <1） BE 均分∠ ABC ∴ E 是弧 AC 的中点 ∴ AE=EC=6又∠ EBC= ∠ CAD= ∠ ADC ∴ ED=BD=8 ⋯<7 分）∵ A 、 B 、C 、E 四点共 ∴∠ CED= ∠ ABC= ∠ ACB= ∠ AEF ∴△ AEF ∽△ DEC∴∴ ⋯<10 分）点本考了周角定理，以及等腰三角形的性，等等角，角均分的判断，：有相像三角形的判断和性等知．本解的关是正确，做最好自己作以帮助理解意．24．某高三学生希望名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生，因此中两所学校的同样，所以学生不可以同考两所学校．学生不一样的考方法种数是16 ． <用数字作答）考摆列、合及数．点：算；概率与．：分分，考的 3 所中，不含同样的两所与含同样的两所中的析：一个，利用分数原理，可得．解解：由意分两种状况： C 43答：若考的 3 所中，不含同样的两所，有 =4 种考方法，若考的 3 所中，含同样的两所中的一个，有1 2C 2 ?C 4 =12 种考方法，由分数原理，可得学生不一样的考方法种数 12+4=16 种，故答案： 16点本考合的运用，考分数原理，属于基．：25． <2018? 州三模）理科附带：已知睁开式的各挨次 a 12 3 n n+1<x ）， a <x ）， a<x ）， ⋯a <x ）， a <x ）． F<x ） =a 1<x ） +2a 2<x ）+3a 3<x ）， ⋯ +na n <x ） +<n+1 ）a n+1<x ）．<Ⅰ）若 a 1<x ）， a 2<x ）， a 3<x ）的系数挨次成等差数列，求n 的；n ﹣ 1<Ⅱ）求：随意 x 1， x 2∈[0， 2]，恒有 |F<x 1） F<x 2） | ≤2 <n+2 ）．考二式定理；等差数列的性．点：：分析：解答：明；合．<I ）利用二睁开式的通公式求出睁开式的通，求出前三的系数，据a1<x ），a2<x）， a3<x ）的系数挨次成等差数列，列出方程求出n 的．<II ）先利用到序相加法求出 F<2 ） F<0）的，利用数判断出 F<x ）的性，得．解： <Ⅰ）依意，k=1，2，3，⋯，n+1，a1<x）， a2<x ）， a3<x ）的系数挨次，C n =1，，所以，解得 n=8；<Ⅱ） F<x ） =a1<x ） +2a2<x ） +3a3<x），⋯+na n<x） +<n+1 ）a n+1<x ）=12n﹣1nF<2） F<0） =2C n +3C n⋯+nC n +<n+1 ） C n012n﹣ 1） C nnS n=C n +2C n +3C n⋯+nC n+<n+1，n n﹣ 1210S n=<n+1 ） C n +nC n⋯+3C n +2C n +C n012n﹣1n k n﹣k考到 C n =C n，将以上两式相加得： 2S n=<n+2 ） <C n +C n +C n⋯+C n+C n）所以 S n=<n+2 ） 2n﹣1所以 F<2） F<0） =<n+2 ） 2n﹣11又当 x∈[0， 2]， F'<x ）≥0恒成立，从而 F<x ）是 [0， 2] 上的增函数，所以随意 x1， x2∈[0， 2] ， |F<x1） F<x 2） |≤F<2 ） F<0）═ <n+2 ）2n﹣11＜n﹣1．<n+2） 2点解决二睁开式的特定常利用的工具是二睁开式的通公式；求数列的前n ：和关是利用数列的通公式的形式，适合的方法．。

江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试数学试题含答案

南通市2018届高三第一次调研测试数学Ⅰ一、选择题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{}1,0,A a =-，{}0,B a =.若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ .2.已知复数141i z i+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为 ▲ . 3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取 ▲ 名学生.4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ .5.某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为 ▲ .6.若实数,x y 满足1,3,10,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩则2x y -的最大值为 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为 ▲ .8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8646a a a =+，则3a 的值为 ▲ .9.在平面直角坐标系xOy 中，将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度.若平移后得到的图像经过坐标原点，则ϕ的值为 ▲ .10.若曲线ln y x x =在1x =与x t =处的切线互相垂直，则正数t 的值为 ▲ .11.如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm ，圆柱的底面积为293cm .若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为 ▲ cm .（不计损耗）12.如图，已知矩形ABCD 的边长2AB =，1AD =.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且45PAQ ︒∠=，则AP AQ ⋅u u u r u u u r 的最小值为 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为 ▲ . 14.已知函数221,0,()ln(),0,x ax a x f x x x ⎧--+≥=⎨-<⎩2()12g x x a =+-.若函数(())y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在三棱锥P ABC -中，AB PC ⊥，CA CB =，M 是AB 的中点.点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点.求证：（1）//MD 平面PAC ；（2）平面ABN ⊥平面PMC .16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222a b c bc =+-，15a =.（1）求sin B 的值；（2）求cos 12C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为22，两条准线之间的距离为42.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.18.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F .（道路宽度忽略不计）（1）若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离；（2）设POD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大.19.已知函数32()g x x ax bx =++(,)a b R ∈有极值，且函数()()x f x x a e =+的极值点是()g x 的极值点，其中e 是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式；（2）当0a >时，若函数()()()F x f x g x =-的最小值为()M a ，证明：7()3M a <-. 20.若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ，1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,2,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,判断数列{}n a 是否为“(2)R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“(3)R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -，31p b -，31p b +，33p b +成等差数列，证明：{}n b 是等差数列.21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]如图，已知1O e 的半径为2，2O e 的半径为1，两圆外切于点T .点P 为1O e 上一点，PM 与2O e 切于点M .若3PM =，求PT 的长.B.[选修4-2：矩阵与变换]已知x R ∈，向量01⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵102x A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与1A -. C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与曲线211x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.D.[选修4-5：不等式选讲]已知1a >，1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，AP ，AB ，AD 两两垂直，//BC AD ，且4AP AB AD ===，2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PH PC的值. 23.（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时， cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=1sin 12122sin 2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠，k Z ∈）；（2）求234sin 2sin 3sin 4sin 6666ππππ++++20182018sin 6π⋅⋅⋅+的值.南通市2018届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、选择题1.12.32-3.254.105.126.57.6539.6π 10.2e - 11.210 12.424- 13.32 14.()51,11,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭U 二、解答题15.【证明】（1）在ABN ∆中，M 是AB 的中点， D 是BN 的中点，所以//MD AN .又因为AN ⊂平面PAC ，MD ⊄平面PAC ，所以//MD 平面PAC .（2）在ABC ∆中，CA CB =，M 是AB 的中点，所以AB MC ⊥，又因为AB PC ⊥，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC MC C =I ，所以AB ⊥平面PMC .又因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC .16.【解】（1）在ABC ∆中，根据余弦定理及222a b c bc =+-得，2221cos 22b c a A bc +-==. 又因为()0,A π∈，所以3A π=. 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=得， sin sin b B A a =352515==. （2）因为15a b =>，所以A B >，即得03B π<<.又sin B =，所以cos B ==. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以cos()cos()1212C A B πππ+=--+ cos()4B π=-+ cos cos sin sin 44B B ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5252⎛=-- ⎝⎭=17.【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，2c a =，22a c =解得2a =，c =b =. 所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 因为椭圆的方程为22142x y +=，所以(2,0)A -.设00(,)M x y ，则00(22,2)B x y +. 所以220089x y +=①，2200(22)(2)142x y ++=②，由①②得200918160x x --=，解得023x =-，083x =（舍去）. 把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB的方程为1(2)2y x=±+即22x y++=，220x y-+=.方法二：因为2AOB AOMS S∆∆=，所以2AB AM=，所以点M为AB的中点.设直线AB的方程为(2)y k x=+.由221,42(2),x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8840k x k x k+++-=，所以22(2)[(12)42]0x k x k+++-=，解得222412Bkxk-=+，所以22(2)4212BMx kxk+--==+，22(2)12M Mky k xk=+=+，代入2289x y+=得22222428()()12129k kk k-+=++，化简得422820k k+-=，即22(72)(41)0k k+-=，解得12k=±，所以，直线AB的方程为1(2)2y x=±+即220x y++=，220x y-+=.18.【解】以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.（1）直线PB的方程为2y x=，半圆O的方程为22240x y+=(0)y≥，由2222,40(0),y xx y y=⎧⎨+=≥⎩得5y=所以，点P到AD的距离为165m.（2）①由题意，得(40cos ,40sin )P θθ.直线PB 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ++=++，令0y =，得80cos 8040sin 2E x θθ+=-+80cos 40sin sin 2θθθ-=+. 直线PC 的方程为sin 280(40)cos 1y x θθ-+=--，令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=++80cos 40sin sin 2θθθ+=+. 所以，EF 的长度为()F E f x x θ=-80sin sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪+⎝⎭6400sin 2θ=+，区域Ⅱ的面积为2140sin 2S EF θ=⨯⨯180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭21600sin sin 2θθ=+，所以2121600sin 6400sin 2S S θθ++=+(0)2πθ<<. 设sin 2t θ+=，则23t <<，2121600(2)6400t S S t-++=. 81600(4)t t=+-1600(284)≥6400(21)=.当且仅当t =sin 2θ=时“=”成立.所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为21)m .答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.19.【解】（1）因为'()()x x f x e x a e =++(1)x x a e =++，令'()0f x =，解得1x a =--.列表如下.所以1x a =--时，()f x 取得极小值.因为2'()32g x x ax b =++，由题意可知'(1)0g a --=，且24120a b ∆=->所以23(1)2(1)0a a a b --+--+=，化简得243b a a =---，由2412a b ∆=-2412(1)(3)0a a a =+++>，得32a ≠-. 所以243b a a =---，32a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭. （2）因为()()()F x f x g x =-32()()x x a e x ax bx =+-++，所以'()'()'()F x f x g x =-2(1)[32(1)(3)]x x a e x ax a a =++-+-++(1)(1)(33)xx a e x a x a =++-++--(1)(33)x x a e x a =++-++记()33x h x e x a =-++，则'()3x h x e =-，令'()0h x =，解得ln3x =.列表如下.所以ln3x =时，()h x 取得极小值，也是最小值，此时，ln3(ln 3)3ln 33h e a =-++63ln3a =-+3(2ln 3)a =-+23(ln )03e a a =+>>. 令'()0F x =，解得1x a =--.列表如下.所以1x a =--时，()F x 取得极小值，也是最小值.所以()(1)M a F a =--=132(1)((1)(1)(1))a a e a a a b a -------+--+--12(1)(2)a e a a --=--++.令1t a =--，则1t <-，记2()(1)t m t e t t =---32t e t t =-+-，1t <-，则2'()32t m t e t t =-+-，1t <-.因为10t e e --<-<，2325t t ->，所以'()0m t >，所以()m t 单调递增.所以17()2233t m t e -<--<--=-，所以7()3M a <-. 20.【解】（1）当n 为奇数时，12(1)(21)30n n a a n n --=+--=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++=2(2)12(2)12(21)2n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时，1(21)210n n a a n n --=+-=>，所以1n n a a +≥.22n n a a -++=2(2)2(2)42n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“(2)R 数列”.（2）由题意可得：332n n n b b b -++=，则数列1b ，4b ，7b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ，数列2b ，3b ，8b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ，数列3b ，6b ，9b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d .因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤，所以112211(1)b nd b nd b n d +≤+≤++，所以2112()n d d b b -≥-①，21121()n d d b b d -≤-+②.若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得：13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===.设31333131p p p p b b b b --+--=-3331p p b b λ++=-=，则31323131()((1))n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得：331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-.所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=-23(1)((2))b p d b p d =+--+-23b b d =-+， 3131p p b b λ+-=-1212((1))b pd b p d b b d =+-+-=-+，3331p p b b λ++=-3131()b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得：32d λ=，所以23d λ=，所以321(1)n b b n d -=+-1(321)3d b n =+-+， 312(1)n b b n d -=+-1(1)b d n d λ=+-+-1(311)3d b n =+--， 33(1)n b b n d =+-1(1)b n d λ=++-1(31)3d b n =+-，所以1(1)3n d b b n =+-，所以13n n d b b +-=，所以，数列{}n b 是等差数列.21.A.【解】延长PT 交2O e 与点C ，连结1O P ，2O C ，12O O ，则12O O 过点T ，由切割线定理得：23PM PC PT =⨯=.因为12O TP O TC ∠=∠，1O TP ∆与2O TC ∆均为等腰三角形，所以12O TP O TC ∆∆:，所以122PO PT TC CO ==，所以23PT PC =，即32PC PT =. 因为PC PT ⨯=332PT PT ⨯=，所以2PT =.B.【解】由已知得1002121x x c λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以20x λ=⎧⎨=⎩所以1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11002a b AA c d -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦即102201a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 所以1a =，0b c ==，12d =. 所以2λ=，110102A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. C.【解】曲线211x t y t =-⎧⎨=-⎩的普通方程为22y x x =+. 联立2,2,y x y x x =⎧⎨=+⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ 所以(0,0)A ，(1,1)B --，所以AB ==D.【解】因为1a >，1b >，所以24(1)41b a b a +-≥-，24(1)41a b a b +-≥-. 两式相加：224(1)4(1)11b a a b a b +-++-≥--44b a +，所以22811b a a b +≥--. 当且仅当24(1)1b a a =--且24(1)1a b b =--时“=”成立. 即2a b ==时，2211b a a b +--取得最小值8. 22.【解】以{},,AB AD AP u u u r u u u r u u u r 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，(4,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,4)P（1）由题意可知，(0,4,4)DP =-u u u r ，(4,2,0)DC =-u u u r .设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，则1100n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r 即440420y z x y -+=⎧⎨-=⎩令1x =，则2y =，2z =.所以1(1,2,2)n =u r .平面ACD 的法向量为2(0,0,1)n =u u r ，所以1212122cos ,3n n n n n n ⋅<>==u r u u r u r u u r u r u u r ，所以二面角P CD A --的余弦值23.（2）由题意可知，(4,2,4)PC =-u u u r ，(4,2,0)DC =-u u u r，设(4,2,4)PH PC λλλλ==-u u u r u u u r ，则DH DP PH =+=u u u u r u u u r u u u r (4,24,44)λλλ--，因为DC DH =222(4)(24)(44)20λλλ+-+-=化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=. 又因为点H 异于点C ，所以13λ=. 23. 【解】（1）①当1n =时，等式右边1sin(1)12122sin 2x x +=-11sin(1)sin(1)2212sin 2x x x +--= 1111(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )222212sin 2x x x x x x x x x +--= cos x ==等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+1sin()12122sin 2k x x +=-. 那么，当1n k =+时，有cos cos 2cos3cos cos(1)x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++1sin()12cos(1)122sin 2k x k x x +=-++ 11sin[sin(1)]2sin cos(1)122122sin 2k x x k x x +-++=- 111sin(1)cos cos(1)sin 2sin cos(1)1222122sin 2k x x k x x x k x x +-+++=- 11sin(1)cos cos(1)sin 122122sin 2k x x k x x x +++=- 1sin(1)12122sin 2k x x ++=- 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+=1sin(2018)12122sin 2x x +-，两边同时求导，得sin 2sin 23sin32018sin 2018x x x x ----⋅⋅⋅-2111111(2018)cos(2018)sin sin(2018)cos 22222212sin 2x x x x x ++-+= 所以232018sin 2sin 3sin 2018sin 6666ππππ----⋅⋅⋅- 21111(2018)cos(2018)sin sin(2018)cos 22612226122sin 12πππππ++-+=20152= 所以2342018sin 2sin 3sin 4sin 2018sin 66666πππππ++++⋅⋅⋅+20152=.。

江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

江苏省南通中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合元素和集合的关系确定的值，注意元素的互异性的应用．【详解】解：，，，，由得，由，得，由得或．综上，或．当时，集合为不成立．当时，集合为不成立．当时，集合为，满足条件．故．故选：C．【点睛】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．2.设，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由得到关于m的不等式，能求出实数的取值范围．【详解】解：，，，，实数的取值范围是．故选：A．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.函数的定义域为（）A.且 B.C.且 D.【答案】A【解析】由题意，要使有意义，需满足，即．因此的定义域为．故选A．4.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数的性质和不等式的性质求解．【详解】解：由题意：函数，，，即函数的值域为．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的值域问题．考查了不等式的性质，属于基础题．5.已知函数，若，则值是（）A. B. 或 C. 或 D. 或或【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的性质求解．【详解】∵函数y，函数值为5，∴当x≤0时，x2+1＝5，解得x＝﹣2，或x＝2（舍），当x＞0时，﹣2x＝5，解得x，（舍）．故选：C．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．6.函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴函数的定义域为，又，∴函数为偶函数，且图象关于轴对称，可排除、．又∵当时，，可排除．综上，故选．点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．7.在函数（1）；（2）；（3）；（4）中，偶函数的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析所给的个函数的奇偶性，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析所给的个函数：对于，其定义域为，且且，是非奇非偶函数；对于，有，解可得，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数；对于，为二次函数，其对称轴为，则是非奇非偶函数；对于，有，其定义域为或}，且，则函数为偶函数，个函数中，偶函数的数目为；故选：C．【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题．8.已知函数，则函数的减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对数的真数大于0，先求得定义域；再根据复合函数单调性判断“同增异减”的原则即可判断出单调递减区间。

江苏南通中学2018-2019年度第一学期11月2日高三期中数学pdf

x 1 （1）若 m 2 ，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围；（2）若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
17.（本小题满分 14 分）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 B 60 ， c 4 . （1）若点 M 是线段 BC 的中点， AM 3 ，求 a 的值；
x0
__________.
(1 x20 )sin 2x0
【答案】 1 2
【解析】Q 函数 f (x) | cos x | kx(x 0, k R) 有且只有四个零点
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即函数 g(x) | cos x | 与函数 h(x) kx 在[0, ) 有且只有四个交点则四个零点中的最大值 x0 即为两个函数图象的切点 A 的横坐标

r b
，且

1
，
x
R
,若
f
(x)
的任何一条对称
2
轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间 (3 , 4 ) ，则的取值范围是______.
【答案】[ 7 , 11] U[11 ,15] 12 16 12 16 rr
【解析】 f (x) a b sinx cosx
2 sin(x ) 4
Q f (x) 的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间 (3 , 4 )
T 2
Q T 2 ， 1

2
1 1 ① 2
Q k 3
2
4
k 4
2
4
第 6 页，共 14 页
江苏省南通中学 2018-2019 学年第一学期期中考试

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则()y f x =的解析式可以是（） A.sin()26x y π=+ B. cos(2)3y x π=+C.sin(2)6y x π=-D. cos(2)6y x π=-9．把函数cos 23y x =+的图象沿向量平移后得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则向量是（） A ．(,3)3π- Ｂ．(,3)6π Ｃ．(,3)12π- Ｄ．(,3)12π-10.函数x x y 33cos sin +=在]4,4[ππ-上的最大值是( )A.2B.1 D. 0第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11.把点(2,1)A 按向量(2,3)a =-平移到B ，此时点B 分向量（O 为坐标原点）的比为－2，则C 点的坐标为 .12.已知数列{}n a 满足递推关系式1121,(*),4n n a a n N a +=-∈=且，则数列{}n a 的通项公式n a ＝ 13．给出下列命题中:①（+）+（+）+=；②平行四边形ABCD 中，有||||+=+；③矩形A B C 中，点集{,,,}M A B C D =，则集合{{|,,}T PQ P Q M P Q =∈且不重合中元素个数为8；④“两个向量方向相反”是这两个向量共线的充分不必要条件.其中正确命题的序号是______.（注：把你认为正确的命题的序号都填上．．．．．．．．．．．．．．．） 14．等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n ，12...2n n a a a p +++=-，则22212...n a a a +++=____15．向量(cos23,cos67)a =︒︒，(cos68,cos22)b =︒︒，()u a tb t R =+∈，则|u |的最小值是________． 16．已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则(1)f =________,方程()0f x =在[2,2]-上至少有_________个实数根。

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分14分）已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，22(1){|0}x a x a B x --+=<.（1）当2a =时，求A B ；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围.18．（本题满分14分）在ABC ∆中，OB OD OA OC 21,41==，AD 与BC 交于点M ，设O A a =,OB b =，（1）用a ，b 表示;（2）过M 的直线交AC 于点E ，交线BD 于点F ，设OE POA =，OF qOB =，求证：13177p q+=. 19. （本题满分14分）已知函数.3cos 33cos 3sin)(2x x x x f += （Ⅰ）将()f x 写成sin()A x k ωφ++的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC 的三边,,a b c 满足2b ac =，设边b 所对的角为x ，求①x 的范围.②函数()f x 的值域。

”20. （本题满分14分）已知函数22()(1),(1).1f x x x -=+>- (Ⅰ)求函数()f x 的反函数1()f x -的解析式及其定义域；(Ⅱ)判断函数1()fx -在其定义域上的单调性并加以证明； (Ⅲ)若当11(,]164x ∈时,不等式1(1()(f x a a ->恒成立,试求实数a 的取值范围.21.（本题满分14分）设函数)(x f 的定义域为R ，当0<x 时，0()1f x <<，且对任意的实数x 、R y ∈，有).()()(y f x f y x f =+；（Ⅰ）求)0(f ；(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(,0]-∞上是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在说明理由；（Ⅲ）设数列{}n a 各项都是正数，且满足1(0),a f =22111(),()(32)n n n n f a a n N f a a *++-=∈--，又设na nb )21(=，n n b b b S +++= 21， 13221111++++=n n n a a a a a a T ，试比较n S 与 n T 的大小。

江苏省南通中学2018-2018学年度高三第一学期期中考试参考答案第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“24x >”是“38x <-”的（ B ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．给定两个向量)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+==若，则x 的等于 ( A ) A ．－3 B ．32 C ．3 D ．32- 3．已知函数)(1x fy -=的图象过（1，0），则)121(-=x f y 的图象一定过点（ B ） A ．（1，2） B ．（2，1） C ．（0，2） D ．（2，0） 4函数x x y cot tan -=的最小正周期是( A ) A ．2πB ．πC ．2πD ．3π5．在ABC ∆中，若,2,3ABC A b S π∆∠=== ，则sin sin sin a b cA B C++++的值为（D ）A ． C 6．已知,i j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ B ）A ．1(,)2+∞ B ．1(,2)(2,)2-∞-- C ．22(2,)(,)33-⋃+∞ D ．1(,)2-∞7．关于x 的函数212log (2)y ax a a =-++在［1，+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( D ）A ．（－∞,0）B ．(－1,0)C ．(0,2]D ．(－∞,－1)8．若函数()y f x =)同时具有下列三个性质：（1）最小正周期是π；（2）图像关于直线3x π=对称；（3）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数。

则()y f x =的解析式可以是（ C ） A.sin()26x y π=+B. cos(2)3y x π=+ C.sin(2)6y x π=-D. cos(2)6y x π=-9．把函数cos 23y x =+的图象沿向量平移后得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则向量是（ A ） A ．(,3)3π- Ｂ．(,3)6π Ｃ．(,3)12π- Ｄ．(,3)12π-10.函数x x y 33cos sin +=在]4,4[ππ-上的最大值是( B )A.2B.1C. 2D. 0第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.11.把点(2,1)A 按向量(2,3)a =-平移到B ，此时点B 分向量（O 为坐标原点）的比为－2，则C 点的坐标为（0,2） .12.已知数列{}n a 满足递推关系式1121,(*),4n n a a n N a +=-∈=且，则数列{}n a 的通项公式n a ＝1321n n a -=⋅+13．给出下列命题中①（+）+（+）+=； ②平行四边形ABCD 中，有||||AB BC BA BC +=+；③矩形ABCD 中，点集{,,,}M A B C D =，则集合{{|,,}T PQ P Q M P Q =∈且不重合中元素个数为8；④“两个向量方向相反”是这两个向量共线的充分不必要条件.其中正确命题的序号是______.（注：把你认为正确的命题的序号都填上．．．．．．．．．．．．．．．） ①③④ 14．等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n ，12...2n n a a a p +++=-，则22212...n a a a +++=____1(41)3n- 15．向量(c o s 23,c o s 6a =︒︒，(cos68,cos22)b =︒︒，()u a tb t R =+∈，则|u |的最小值是__22______． 16．已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则(1)f =____0______,方程()0f x =在[2,2]-上至少有______5____个实数根。

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分14分）已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，22(1){|0}x a x a B x --+=<.（1）当2a =时，求A B ；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围. 解：（1）当2a =时，(2,7)A =，(4,5)B =∴ (4,5)A B =.………5分（2）∵ 2(2,1)B a a =+，当13a <时，(31,2)A a =+ 要使B ⊆A ，必须231212a a a ≥+⎧⎪⎨+≤⎪⎩，此时1a =-；………8分当13a =时，A ＝∅，使B A ⊆的a 不存在； ……………………………………10分当13a >时，A ＝（2，3a ＋1）要使B ⊆A ，必须222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩，此时1≤a ≤3. 13分综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}……………………………14分18．（本题满分14分）在ABC ∆中，OB OD OA OC 21,41==，AD 与BC 交于点M ，设O A a =,OB b =，（1）用a ，b 表示;（2）过M 的直线交AC 于点E ，交线BD 于点F ，设OE POA =，OF qOB =，求证：13177p q+=. （1）解：设OM ma nb =+，则(1)AM m a nb =-+;12AD a b =-+， ∵点,,A M D 共线，∴AM 与AD 共线， ∴5.011nm =--，∴21m n +=. ① 3分而1()4CM OM OC m a nb =-=-+，14CB a b =-+，∵,,C M B 共线，∴CM 与CB 共线，∴11()1()44m n -⋅=-，∴41m n +=. ②7分联立①②可得13,77m n ==，∴1377OM a b =+ 8分（1）解法二：12AD a b =-+,14BC a b =-∵点,,A M D 共线，设1()2AM AD a b λλ==-+∵,,C M B 共线，设1()4BM BC a b μμ==-, (3分)又 1(1)2OM OA AM a b λλ=+=-+又 1(1)4OM OM BM a b μμ=+=+- （5分）∵a ，b 不共线114112λμμμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 6747λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（7分） ∴ 1377OM a b =+ （8分）（2）证明：13()77EM p a b =-+，EF pa qb =-+，∵与共线，∴13()()77p q p -=-.∴1367q pq p -=-，即13177p q+=. 14分 19. （本题满分14分）已知函数.3cos 33cos 3sin )(2x x x x f += （Ⅰ）将()f x 写成sin()A x k ωφ++的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC 的三边,,a b c 满足2b ac =，设边b 所对的角为x ，求①x 的范围.②函数()f x 的值域。