《空间几何中的平行和垂直的综合应用》导学案解析
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。
平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。
本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。
一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。
如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。
平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。
3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。
切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。
二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系也称为垂直关系或直角关系。
如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。
3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。
在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。
三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。
以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。
平行与垂直数学教案设计
平行与垂直數學教案設計平行与垂直是几何学中的基本概念，对于理解和应用几何知识至关重要。
以下是一份关于平行与垂直数学教案设计的文档。
一、教学目标1. 知识与技能：理解并掌握平行线和垂直线的定义和性质。
2. 过程与方法：通过观察、比较、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对几何学习的兴趣，培养其探究精神和实事求是的科学态度。
二、教学重点难点1. 重点：平行线和垂直线的定义及性质。
2. 难点：理解和运用平行线和垂直线的性质。
三、教学过程1. 导入新课- 展示一些生活中常见的平行和垂直现象（如铁路轨道、楼梯扶手等），引导学生思考这些现象背后的数学原理。
2. 新课讲解- 定义：平行线、垂直线的概念及其表示方式。
- 性质：平行线的性质（永不相交）、垂直线的性质（夹角为90度）。
- 应用：举例说明平行线和垂直线在生活中的应用。
3. 实践操作- 让学生使用直尺和铅笔，在纸上画出一组平行线和一组垂直线。
- 分组讨论，让学生找出日常生活中的平行线和垂直线实例，并分享给全班同学。
4. 巩固练习- 出示一些关于平行线和垂直线的问题，让学生解答。
- 对于答案有争议的问题，组织全班进行讨论。
5. 小结- 回顾本节课的主要内容，强调平行线和垂直线的重要性和应用价值。
四、作业布置- 给出一些具有挑战性的题目，要求学生运用今天所学的知识来解决。
- 要求学生在生活中寻找更多的平行线和垂直线实例，并记录下来。
五、教学反思在教学过程中，教师应密切关注学生的反应，及时调整教学策略，确保每个学生都能理解和掌握平行线和垂直线的概念和性质。
同时，要鼓励学生积极参与课堂活动，提高他们的主动学习意识和能力。
空间中的平行与垂直教案
空间中的平行与垂直教案第一章：认识平行与垂直1.1 学习目标：让学生理解平行与垂直的概念，并能识别和判断空间中的平行与垂直关系。
1.2 教学内容：平行：两条直线在同一平面内，永不相交的现象称为平行。
垂直：两条直线相交成直角的关系称为垂直。
1.3 教学活动：教师通过PPT展示图片，引导学生观察并识别平行与垂直的关系。
学生分组讨论，分享各自对平行与垂直的理解。
教师进行讲解，明确平行与垂直的定义和特点。
1.4 练习与巩固：教师设计一些练习题，让学生判断给定的直线关系是平行还是垂直。
学生独立完成练习题，教师进行解答和反馈。
第二章：平行与垂直的性质与判定2.1 学习目标：让学生掌握平行与垂直的性质与判定方法，并能够运用到实际问题中。
2.2 教学内容：平行性质：同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行。
垂直性质：如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。
2.3 教学活动：教师通过PPT展示图片和实例，引导学生理解和掌握平行与垂直的性质。
学生进行小组讨论，通过实际操作验证平行与垂直的性质。
2.4 练习与巩固：教师设计一些练习题，让学生运用平行与垂直的性质进行解答。
学生独立完成练习题，教师进行解答和反馈。
第三章：平行与垂直的应用3.1 学习目标：让学生能够运用平行与垂直的知识解决实际问题，提高空间想象力。
3.2 教学内容：应用场景：在日常生活中，平行与垂直关系广泛应用于建筑设计、绘画、交通规划等领域。
3.3 教学活动：教师展示一些实际问题，如建筑设计中的平行与垂直应用，引导学生思考和解答。
学生分组讨论，分享各自的应用实例和解决方案。
教师进行讲解，强调平行与垂直在实际问题中的重要性。
3.4 练习与巩固：教师设计一些应用题，让学生运用平行与垂直的知识进行解答。
学生独立完成练习题，教师进行解答和反馈。
第四章：平行与垂直的综合练习4.1 学习目标：让学生综合运用平行与垂直的知识，提高解决问题的能力。
高中数学_空间平行垂直关系的证明教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计学生课前学习活动设计：1.学生两人一组互相检查平行垂直判定性质8个定理内容。
2.录课班共9个学习小组，前8个小组每个小组以定理的身份介绍自己的用途和条件，9组为评委组选出介绍好的前3个小组。
3.初步完成课堂训练1、2，例1、2，学有余力的同学可做选做题。
教师课堂教学活动设计：1.电子白板出示学生易混概念让学生辨析。
如甲.空间两条直线的位置关系分为相交、平行、垂直三种。
2.组织学生对8个定理进行自我介绍。
3.对例题中平行垂直证明的思路探索，利用问题串进行方法探究。
例1、P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，PA=AD，（1）求证：AF//平面PEC（2）平面PEC ⊥平面PCD例1学生独立完成，小组交流，个别展示后，教师提出5个问题（1）第一小题辅助线是怎样想到的？设计意图：证线面平行不宜证时，可结合线面平行的性质定理作辅助面。
（2）第二小题还可以怎样证明，第一小题还可以怎样做辅助线？设计意图：平行与垂直的相互转化，通过面面平行证明线面平行，一题多解，达到熟悉。
（3）通过例1，可以发现证明两条直线平行的常用方法利用三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形（4）证明两条直线垂直的常用方法等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，勾股定理（5）涉及中点的常见辅助线作法：取中点设计意图：多题归一，形成规律。
例2、（2008高考卷，文19）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．例2学生板演，教师强调运用符号语言写步骤时，条件要列全。
通过例2，可以发现利用定义求距离（或夹角）的“三步曲”：一作二证三求学生课堂学习活动设计：1. 辨析电子白板出示的易混概念。
高中数学必修二导学案10.平行与垂直问题综合应用
．平行与垂直问题综合应用曾劲松学习目标．归纳出判断线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直的常用方法．．能运用已获得的结论证明有关平行或垂直的简单命题．．能将自然语言、图形语言、符号语言三者进行转化，并能准确地表达空间点、线、面间的关系。
一、夯实基础基础梳理．判断线线平行的常用方法（）平行于同一直线的两条直线互相平行。
（）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
（）两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”．在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明。
．判断线面平行的常用方法（）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点．（）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
（）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
．判断面面平行的常用方法（）定义法：两平行平面没有公共点．（）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行．（）垂直于同一直线的两个平面平行．（）平行于同一平面的两平面互相平行．．两个平面平行的性质（）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。
（）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（）夹在两个平行平面间的平行线段相等．（）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行．．判断线线垂直的常用方法（）定义：两线成角．（）直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直．（）平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。
（）平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
（）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直。
．判断线面垂直的常用方法（）定义：直线和平面内任意一条直线垂直，则直线和平面垂直。
空间中的平行与垂直教案
空间中的平行与垂直教案一、教学目标1. 让学生理解平行和垂直的概念，能够识别和判断空间中的平行线和垂直线。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手能力和合作意识。
二、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握平行和垂直的概念，学会用直尺和三角板判断空间中的平行线和垂直线。
2. 教学难点：如何让学生理解并在实际操作中判断平行和垂直。
三、教学准备1. 教具：直尺、三角板、多媒体设备。
2. 学具：每人一套直尺、三角板、练习纸。
四、教学过程1. 导入：通过多媒体展示生活中常见的平行和垂直现象，引导学生关注空间中的平行和垂直。
2. 新课导入：介绍平行和垂直的概念，让学生尝试判断一些图片中的线段是否平行或垂直。
3. 讲解与示范：使用直尺和三角板，演示如何判断空间中的平行线和垂直线。
4. 练习：学生分组练习，用直尺和三角板判断给出的线段是否平行或垂直。
5. 总结：教师引导学生总结平行和垂直的判断方法，并提醒注意事项。
五、作业布置1. 请学生运用所学知识，回家后观察家里的家具布置，判断家具之间的位置关系，并画出来。
2. 完成练习册的相关练习题。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及在学习过程中的合作意识。
2. 练习完成情况评价：检查学生练习册的完成情况，关注学生对平行和垂直概念的理解和应用。
3. 作业完成情况评价：评价学生作业的准确性、整洁度以及创新性，了解学生对家庭环境的观察和思考。
七、教学拓展1. 引导学生思考：在实际生活中，还有哪些场景会用到平行和垂直的知识？2. 介绍相关的数学游戏或活动，让学生在游戏中巩固平行和垂直的概念。
八、教学反思1. 总结本节课的优点和不足，思考如何改进教学方法，提高学生的学习效果。
2. 针对学生的不同需求，制定个性化的辅导计划，帮助学生巩固平行和垂直的知识。
九、课后服务1. 为学生提供课后辅导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
高中数学_空间中的平行垂直证明教学设计学情分析教材分析课后反思
空间中的平行、垂直证明(引入：在一轮复习的基础上对所考内容及学生出现的问题进行分析，从而引入本节课的内容）一、考情分析：立体几何是高中数学的重要组成部分，是高考考查考生空间感、图形感、语言转换能力、几何直观想象能力、逻辑推理能力的主要载体，在高考中几乎每年都会考查，近几年全国高考分值一般在22~27分。
二、命题特点：在题目处理时，线面关系是立体几何中的一种重要关系且常以多面体为背景结合柱、锥体的图像及特点进行考察。
转化法是空间中垂直（平行）关系的重要数学方法.近几年折叠问题与探索性问题综合性考查线面、面面关系是一类考查方向，也需要引起重视。
三、典型例题：（一）垂直问题证明（学生已经进行了一轮的复习，但是针对本学校学生特点进行本节课的内容） 1、(2014·辽宁高考)如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120°,点E,F,G 分别为AC,DC,AD 的中点.求证:EF ⊥平面BCG.（学生表述分析展示自己的思路，利用投影发现学生书写步骤中的问题，找出得分点和表述不明确的地方）2、如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是弧CD 上异于C 、D 的点．证明：BMC 平面平面 AMD（学生表述分析展示自己的思路，利用投影发现学生书写步骤中的问题，找出得分点和表述不明确的地方）3、已知如图，P 平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC（学生表述分析展示自己的思路，利用投影发现学生书写步骤中的问题，找出得分点和表述不明确的地方）小结：（引领学生复习相关知识点，总结归纳解决问题的方式方法，提升学生思维）（二）综合问题证明(探索问题、折叠问题） 1、(2015·广州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为AD 的中点.若点M 在线段PC 上,PM=tPC,试确定实数t 的值,使得PA ∥平面MQB.小结：（小组讨论发现自己的分析方式并展现给小组成员，然后由学生将小组讨论展示给全体同学，表述自己的解题思路，教师提问相关的思考方式，进而总结归纳题目的处理方法）PABC2、(2018·山西八校联考)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，CC 1⊥底面ABC ，AC ＝BC ＝CC 1，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，G 是棱BB 1上的动点．当BGBB 1为何值时，平面CDG ⊥平面A 1DE?解：(1)当BG BB 1＝12，即G 为BB 1的中点时，平面CDG ⊥平面A 1DE . 证明如下：因为点D ，E 分别是AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC 且DE ＝12AC ，又AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1， 所以DE ∥A 1C 1，DE ＝12A 1C 1，故D ，E ，C 1，A 1四点共面．如图，连接C 1E 交GC 于H .在正方形CBB 1C 1中，tan ∠C 1EC ＝2，tan ∠BCG ＝12，故∠CHE ＝90°，即CG ⊥C 1E .因为A 1C 1⊥平面CBB 1C 1，CG ⊂平面CBB 1C 1，所以DE ⊥CG ， 又C 1E ∩DE ＝E ，所以CG ⊥平面A 1DE ， 故平面CDG ⊥平面A 1DE .（在总结归纳的基础上进行知识升华，让学生学以致用，并对学生的讲解进行分析归纳，发现证明平行与垂直的不同）3、(2015·天津模拟)如图,在边长为3的正三角形ABC 中,G,F 为边AC 的三等分点,E,P 分别是AB,BC 边上的点,满足AE=CP=1,今△BEP,△CFP 分别沿EP,FP 向上折起,使边BP 与边CP 所在的直线重合,B,C 折后的对应点分别记为B 1,C 1.(1)求证:C 1F ∥平面B 1GE.(2)求证:PF ⊥平面B 1EF.ABC DA 1 C 1B 1 G E【证明】(1)取EP的中点D,连接FD,C1D.因为BC=3,CP=1,所以折起后C1为B1P的中点. 所以在△B1EP中,DC1∥EB1.又因为AB=BC=AC=3,AE=CP=1,所以EP EBAC AB,所以EP=2且EP∥GF.因为G,F为AC的三等分点,所以GF=1.又因为ED= EP=1,所以GF=ED,所以四边形GEDF为平行四边形.所以FD∥GE.又因为DC1∩FD=D,GE∩B1E=E,所以平面DFC1∥平面B1GE.又因为C1F⊂平面DFC1,所以C1F∥平面B1GE.(2)连接EF,B1F,由已知得∠EPF=60°,且FP=1,EP=2,由余弦定理,得EF2=12+22-2×1×2×cos60°=3,所以FP2+EF2=EP2,可得PF⊥EF.因为B1C1=PC1=1,C1F=1,得FC1=B1C1=PC1,所以△PB1F的中线C1F= ½PB1,可得△PB1F是直角三角形,即B1F⊥PF.因为EF∩B1F=F,EF,B1F⊂平面B1EF,所以PF⊥平面B1EF.小结：（小组讨论发现自己的分析方式并展现给小组成员，然后由学生将小组讨论展示给全体同学，表述自己的解题思路，教师提问相关的思考方式，进而总结归纳题目的处理方法）四、归纳总结：（对本节课进行总结，进一步明确本节课的内容及寻找入手点及思考方式）五、测评练习：1.三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，90ABC ∠=o ，12AB BC BB ===， ,M N 分别是AB ，1A C 的中点．求证：MN ⊥平面11A B C ；2、(2015·威海模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= AD,若E,F 分别为PC,BD 的中点.在线段CD 上是否存在一点G,使得平面EFG ⊥平面PDC?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.3、(2013·扬州模拟)图1是由菱形BCDE 和△ABC 组成的五边形，其中P 为AB 的中点，现沿BC 将菱形BCDE 折起，使得AD=AB ，得到如图2所示的几何体. 证明：①AD ∥平面PCE.②平面ABD ⊥平面ACE.N MC 1B 1A 1CBA三、学情分析：针对本校学生的总体情况，空间想象能力、表述能力是他们的不足之处，因此对于本课程有相当一部分同学对于平行垂直的证明找不到入手点，书写过程往往找不到得分点，因此得分率不高。
《空间几何中的平行和垂直的综合应用》导学案解析
.. 导. 学 固思
如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求证:AE∥平面 BFD.
【解析】(1)∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE,则 AE⊥BF, ∴AE⊥平面 BCE.
已知,正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,M,F 分别是 AD,CD,CC1 的中点, 求证:(1)EM∥平面 BFD1; (2)A1E⊥平面 ABF. 【解析】 (1) 连接 AC、BD 交于点 O,取 BD1 中 点为 O',连接 O'F、O'O,因为 E,M 分别是 AD,CD 的中 点,所以 EM∥AC, 又因为 OO'∥DD1∥CC1,
其他几何体中的平行问题与垂直问题
如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互 相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE; (2)求证:CF⊥平面 BDE.
.. 导. 学 固思
【解析】(1)设 AC 与 BD 交于点 G.
因为 EF∥AG,且 EF=1, AG= AC=1,
.. 导. 学 固思
∴DF⊥平面 PAF 成立; C 中,CF∥AB,AB⊂平面 PAB,CF⊄平面 PAB, ∴CF∥平面 PAB; 而 D 中 CF 与 AD 不垂直,故选 D.
3.若 l 为一条直线,α,β,γ 为三个互不重合的平面,给出 下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β; ③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有 ②③ .
2.已知如图,六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边 形,PA⊥平面 ABC.则下列结论不正确的是( D ).
空间中的垂直关系教案
空间中的垂直关系教案一、教学目标1. 让学生理解垂直关系的概念，能够识别和描述物体之间的垂直关系。
2. 培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手能力和合作意识。
二、教学内容1. 垂直关系的定义及识别2. 垂直关系的应用3. 实际问题解决三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生能够识别和描述物体之间的垂直关系，运用垂直关系解决实际问题。
2. 教学难点：培养学生运用垂直关系解决实际问题的能力。
四、教学方法1. 采用观察、讨论、实践、解决问题的教学方法。
2. 利用教具、模型等辅助教学。
五、教学准备1. 教具：垂直关系模型、实物图片等。
2. 学具：学生用书、练习本、画笔等。
六、教学过程1. 导入新课：通过展示实际生活中的垂直关系实例，引导学生发现和关注垂直关系。
2. 教学新课：讲解垂直关系的定义，让学生观察和描述实例中的垂直关系。
3. 实践操作：学生分组讨论，运用教具模型演示垂直关系，并互相评价。
4. 解决问题：引导学生运用垂直关系解决实际问题，如计算物体的高度、距离等。
5. 巩固拓展：出示不同类型的题目，让学生独立完成，提高运用垂直关系解决问题的能力。
七、课堂小结八、课后作业1. 完成学生用书上的练习题。
2. 观察生活中的垂直关系，拍照或绘图，下节课分享。
九、教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况调整教学策略。
十、章节测试设计一份章节测试题，检测学生对空间中垂直关系的掌握程度。
六、教学内容与活动1. 活动一：探索垂直关系的性质目的：让学生通过实践探索垂直关系的性质。
过程：学生分组，每组使用不同的材料（如直尺、三角板、绳子等）来构建垂直关系，并记录观察到的性质。
反馈：小组之间分享观察结果，讨论垂直关系的共同特点。
2. 活动二：垂直关系的应用游戏目的：培养学生将垂直关系应用于实际情境中。
过程：设计一个游戏，要求学生在游戏中识别和利用垂直关系，如在建筑游戏中使用垂直关系来构建稳定的结构。
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质(解析版)
立体几何与空间向量06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质【考点讲解】一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.面面平行的判定与性质a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，α∥β，α∩γ＝a，(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.3．两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.3.平面与平面垂直的判定与性质(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质：如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．4.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．5.定理：⎭⎪⎬⎪⎫AB βAB ⊥α⇒β⊥α⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝MNAB βAB ⊥MN⇒AB ⊥α1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件.由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则（ ） A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.如图，G 为AC 中点，连接VG ，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面的投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直于AC 于E ，连接PE ，BD ，易得PE VG ∥，过P 作PF AC ∥交VG 于F ，连接BF ，过D 作DH AC ∥，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED αβγ=∠=∠=∠，结合△PFB ，△BDH ，△PDB 均为直角三角形，可得cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBαβ===<=，即αβ>； 【真题分析】在Rt △PED 中，tan tan PD PDED BDγβ=>=，即γβ>，综上所述，答案为B.【变式1】【2018年高考浙江卷】已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则（ ）A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ1【解析】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO ，SN ，SE ，SM ，OM ，OE ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO ∠=∠=∠=θθθ从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OM====θθθ 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,≥≥θθθ即132≥≥θθθ，故选D. 【答案】D【变式2】【2017年高考浙江卷】如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CR QC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为αβγ,,，则（ ）A ． γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而三棱锥的高相等，因此αγβ<<，所以选B ． 【答案】B3.【2018优选题】空间中，设,m n 表示不同的直线， ,,αβγ表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,αγβγ⊥⊥，则//αβB. 若,m m αβ⊥⊥，则//αβC. 若,m βαβ⊥⊥，则//m αD. 若,n m n α⊥⊥，则//m α 【解析】本题考点是面面平行，线面平行的判定.A 项，若,αγβγ⊥⊥，过正方体同一顶点的三个平面分别为,,αβγ，则αβ⊥，故A 项不合题意；B 项，若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则//αβ，故B 项符合题意；C 项，若,m βαβ⊥⊥，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m 在平面α内或平行，故C 项不合题意；D 项，若,n m n α⊥⊥,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m 在平面α内或平行，故D 项不合题意. 故选B. 【答案】B4.【2019优选题】在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是( ) A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面P AE C ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面P AE ⊥平面ABC【解析】画出图形，如图所示，则BC ∥DF ，又DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，∴BC ∥平面PDF ，故A 成立；由题意可得AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，BC ∥DF ，则DF ⊥AE ，DF ⊥PE ，∴DF ⊥平面P AE ，故B 成立； 又DF ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面P AE ，故D 成立．本题的考点是平面与平面垂直的判定.【答案】C5.【2016全国新课标2】α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【解析】对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥⊥⊥所以所以，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有②③④.本题考点是空间中的线面关系. 【答案】②③④6.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．【解析】（1）连结B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME =12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D ．由题设知A 1B 1=P DC ，可得B 1C =P A 1D ，故ME =P ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ∥ED ．又MN ⊄平面EDC 1，所以MN ∥平面C 1DE ．（2）由已知可得DE ⊥DA ．以D 为坐标原点，DA uuu r的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则(2,0,0)A ，A 1(2，0，4)，2)M ，(1,0,2)N ，1(0,0,4)A A =-u u u r ，1(12)A M =--u u u u r ，1(1,0,2)A N =--u u u u r，(0,MN =u u u u r ．设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量，则1100A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rm m ，所以2040x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，．可取=m ．设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量，则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur ，．n n所以020p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，．可取(2,0,1)=-n．于是cos ,||⋅〈〉===‖m n m n m n ， 所以二面角1A MA N --的正弦值为5． 7.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【解析】（1）由已知得AD P BE ，CG P BE ，所以AD P CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．（2）作EH ⊥BC ，垂足为H ．因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ． 由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EHH 为坐标原点，HC u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，0），CG uuu r =（1，0），AC uuu r=（2，–1，0）．设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,CG AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n即0,20.x x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 所以可取n =（3，6，．又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以cos ,||||2⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．8.【2019年高考北京卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（3）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定.（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥． 所以BD ⊥平面PAC ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD ．所以AB ⊥AE ．所以AE ⊥平面PAB ．所以平面PAB⊥平面PAE．（3）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．则FG∥AB，且FG=12 AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG．因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF∥平面PAE．9.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的四边形ACGD的面积.【解析】本题从多面体折叠开始，考查考生在折叠过程中掌握哪些量的大小与位置关系是不变与变化的，折叠后的多面体的性质解决题中的要求.（1）由已知得AD P BE，CG P BE，所以AD P CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE．又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．（2）取CG的中点M，连结EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM．因此DM⊥CG．在Rt△DEM中，DE=1，EM DM=2．所以四边形ACGD的面积为4．10.【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F –AE –P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ．又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0）， P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）．所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=u u u ru u u r u u u r．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以3cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P ．（3）直线AG 在平面AEF 内．因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--u u ur ，所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n .所以4220333AG ⋅=-++=u u u r n .所以直线AG 在平面AEF 内.11.【2019年高考天津卷文数】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【解析】（1）连接BD ，易知AC BD H =I ，BH DH =.又由BG=PG ，故GH PD ∥. 又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD . （2）取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN ⊥PC ，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面P AC ， 又PA ⊂平面P AC ，故DN PA ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ，所以PA ⊥平面PCD . （3）连接AN ，由（2）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角， 因为PCD △为等边三角形，CD =2且N 为PC的中点，所以DN =又DN AN ⊥， 在Rt AND △中，3sinDN DAN AD ∠==.所以，直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为3.12.【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,AD AB ⊥1,2AB AD AE BC ====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE u u u r u u u r u u u r，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r ，可得0BF AB ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ． （2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--u u u ru u u r u u u r．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-u u u ru u u r u u u r n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭m．由题意，有||1cos ,||||3⋅〈〉===m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意． 所以，线段CF的长为87．【模拟考场】1.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考点是线面平行与面面平行与充要条件的综合应用.因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件，故选B. 【答案】B2.设,a b 是空间中不同的直线， ,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. //,a b b α⊂，则//a αB. ,,//a b αβαβ⊂⊂，则//a bC. ,,//,//a b b αααββ⊂⊂，则//αβD. //,a αβα⊂，则//a β【解析】本题考点是线面平行，面面平行的判定。
教学设计和反思：空间中垂直和平行
专题五立体几何学习目标1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．自主梳理1．直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也______这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．②垂直于同一个平面的两条直线______．③垂直于同一直线的两个平面________．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或l⊂α，则它们成________角．3．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的__________，则这两个平面垂直．(2)平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直．4．二面角的平面角以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．自我检测热点一空间线面位置关系的判定例1(1)设a，b表示直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若a⊥α且a⊥b，则b∥αB.若γ⊥α且γ⊥β，则α∥βC.若a∥α且a∥β，则α∥βD.若γ∥α且γ∥β，则α∥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD.存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α变式训练1设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β ②若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ④若n ⊥α，n ⊥β，则β∥α其中真命题的序号为( )A.①③ B .②③ C.①④ D.②④热点二 平行、垂直关系的证明例1 如图，多面体 D C B ABC 11-是由三棱柱 111C B A ABC - 截去一部分后而成，D 是AA1的中点．（1）若AD=AC=1，AD ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，求点C 到面B1C1D 的距离；（2）若E 为AB 的中点，F 在CC1上，且 λ=CF CC 1 ，问λ为何值时，直线EF ∥平面B1C1D ？变式迁移1如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点.求证：(1)AF ∥平面BCE ；(2)平面BCE ⊥平面CDE 热点三 图形的折叠问题例3 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1F ⊥CD ，如图(2).(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由.变式迁移3如图(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝x.沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图(2)所示)，G是BC的中点.(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG(2)当x变化时，求三棱锥D－BCF的体积f(x)的函数式转化归纳总结1.证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明2.证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.3.证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.4.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. 5.证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.6.证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决1．证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；(2)判定定理1：m、n⊂α，m∩n＝Al⊥m，l⊥n⇒l⊥α；(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 2．证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 3．证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.真题感悟押题精练满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·辽宁)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α2．2.(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC ＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积1. 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？并证明你的结论.高中立体几何教学反思新课程标准理念要求教师从片面注重知识的传授转变到注重学生学习能力的培养，教师不仅要关注学生学习的结果，更重要的是要关注学生的学习过程，促进学生学会自主学习、合作学习，引导学生探究学习，让学生亲历、感受和理解知识产生和发展的过程，培养学生的数学素养和创新思维能力，重视学生的可持续发展，培养学生终身学习的能力，因此我们应该更新教育观念，真正做到变注入式教学为启发式，变学生被动听课为主动参与，变单纯知识传授为知能并重。
空间几何的平行与垂直解析几何的基本性质
空间几何的平行与垂直解析几何的基本性质几何学是数学的一个分支，研究空间中的各种形状、大小、相对位置以及与它们相关的性质。
空间几何是其中的一个重要分支，主要研究空间中的点、线、面以及它们之间的关系。
平行与垂直是空间几何中的重要概念，下面将介绍平行和垂直的解析几何的基本性质。
一、平行线的解析几何性质平行线是指在同一个平面上永不相交的两条直线。
在解析几何中，我们可以利用坐标系来描述平行线的性质。
1. 两直线平行的判定条件在平面直角坐标系中，两条直线平行的条件为斜率相等。
假设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，若k1=k2，则直线L1与直线L2平行。
2. 平行线的性质（1）平行线之间的距离相等：设直线L1和直线L2分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2，斜率相等且截距不相等，则直线L1与直线L2平行。
设点P1(x1, y1)和点P2(x2, y2)分别在直线L1和直线L2上，则点P1到直线L2的距离等于点P2到直线L1的距离。
（2）平行线的夹角为0度：两条平行线之间的夹角为0度。
二、垂直线的解析几何性质垂直线是指两条直线相交时互相垂直的性质。
同样，在解析几何中，我们可以利用坐标系来描述垂直线的性质。
1. 两直线垂直的判定条件在平面直角坐标系中，两条直线垂直的条件为斜率的乘积为-1。
假设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，若k1*k2=-1，则直线L1与直线L2垂直。
2. 垂直线的性质（1）直线与其法线的斜率互为相反数：设直线L的斜率为k1，直线L的法线的斜率为k2，则k1*k2 = -1。
（2）两条垂直线之间的夹角为90度：两条垂直线之间的夹角为90度。
三、平行与垂直的应用平行和垂直的概念在几何学中有广泛的应用。
在建筑、工程、地理学和艺术等领域中，平行和垂直关系的运用非常常见。
以建筑为例，建筑设计师在绘制平面图时需要准确地描述建筑物之间的相对位置。
这时，平行和垂直的概念就派上了用场。
设计师可以利用解析几何的性质来判断各个建筑物之间的平行和垂直关系，从而保证建筑的结构稳定和美观。
空间几何中的平行与垂直关系的教学备课与方法总结
空间几何中的平行与垂直关系的教学备课与方法总结一、引言空间几何是数学中的重要分支之一，平行与垂直关系是其中的基础概念。
正确的教学备课与方法对于学生的深入理解和掌握至关重要。
本文将总结空间几何中平行与垂直关系的教学备课与方法，以帮助教师更好地进行教学。
二、教学备课1. 教学目标的确定在备课过程中，首先要明确教学目标。
对于平行与垂直关系的教学，目标可以包括：理解平行线的定义和性质、掌握判断平行线和垂直线的方法、能够在空间几何问题中应用平行与垂直关系。
通过明确目标，可以有针对性地设计教学内容和教学方法。
2. 教学内容的选择根据教学目标，确定教学内容。
可以包括平行与垂直关系的基本概念、平行线的判定方法、垂直线的判定方法、平行线与垂直线的性质等。
需根据学生的年级和学习能力进行调整，确保内容的准确性和学生的能力接受范围。
3. 教学资源的准备在备课过程中，需要准备相关的教学资源，如教材、课件、实物模型等。
这些资源能够帮助学生更好地理解平行与垂直关系，并加深印象。
同时，教师应该熟悉这些资源的使用方法，以便能够灵活运用在教学过程当中。
4. 教学步骤的设计根据教学内容和教学资源，设计详细的教学步骤。
可以包括导入新知识、呈现教学重点、开展小组活动或实验、进行巩固和拓展等环节。
教学步骤的设计应该合理有序，能够引导学生循序渐进地学习。
5. 教学评估的方法在备课过程中，要考虑合适的评估方法，以及评估的时间点。
可以采用课堂小测、作业、项目展示等方式对学生的学习情况进行评估。
评估的结果可以及时了解学生的学习状况，调整教学方向和方法。
三、教学方法1. 激发学生的兴趣在教学过程中，教师可以采用生动有趣的教学方法激发学生的兴趣。
比如通过引入一些有趣的空间几何问题，或者展示一些与平行与垂直关系相关的实际应用，增加学生的参与度和学习的积极性。
2. 多种教学手段的运用教师应该灵活运用多种教学手段，如讲解、示范、讨论、实践等。
例如，可以通过讲解平行线的定义和性质，示范判断平行线和垂直线的方法，进行小组讨论解决具体问题，实践操作建立概念等方式，让学生从多个角度理解平行与垂直关系。
人教版高中数学全套教案导学案专题四 第2讲 空间中的平行与垂直
第2讲 空间中的平行与垂直自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设l 是直线，α、β是两个不同的平面 A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β C ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β D ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β解析 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此D 错误． 答案 B2．(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D 、E 分别是棱BC 、CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点． 求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE .证明 (1)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以C C 1⊥平面ABC .又AD ⊂平面ABC ，所以C C 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，C C 1，DE ⊂平面BC C 1 B 1， C C 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BC C 1 B 1. 又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BC C 1 B 1.(2)因为A1 B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为C C1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以C C1⊥A1F.又因为C C1，B1C1⊂平面BC C1B1，C C1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE考题分析空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点，多以选择题与解答题的形式出现，难度中等，解答高考题时，推理过程不完整是失分的重要原因，需引起特别注意．络构建高频考点突破考点一：线线、线面的平行与垂直【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(1)求证：BD⊥平面CDE；(2)求证：GH∥平面CDE；(3)求三棱锥D－CEF的体积．[审题导引](1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；.(3)变换顶点，求VC－DEF[规范解答](1)证明∵四边形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)证明∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，∴BC ＝2，BD ＝3，∴12×2×h ＝12×1×3，∴h ＝32，即点C 到平面DEF 的距离是32，∴V D －CEF ＝V C －DEF ＝13×12×2×2×32＝33.【规律总结】线线、线面位置关系证法归纳(1)证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行． (3)证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂直；二是利用面面垂直的性质定理，把证面面垂直转化为证线面垂直；另外还要注意利用教材中的一些结论，如：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等． 【变式训练】1．(2012·山东实验中学一诊)如图，在几何体ABCDEP 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ∥EB ，且P A ＝2BE ＝4 2.(1)证明：BD ∥平面PEC ；(2)若G 为BC 上的动点，求证：AE ⊥PG .证明 (1)连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF ， ∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ， 又OF ∥P A ，且OF ＝12P A ， ∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形， ∴EF ∥BD .又∵EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)连接BP ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ，∴∠PBA ＝∠BEA ， ∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°， ∴PB ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面APEB ， ∴平面ABCD ⊥平面APEB ，∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ， ∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE ，∴AE ⊥平面PBC ， ∵G 为BC 上的动点，∴PG ⊂平面PBC ，∴AE ⊥PG . 考点二：面面平行与垂直【例2】如图所示，已知在三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形． (1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．[审题导引] (1)只要证明MD ∥AP 即可，根据三角形中位线定理可证； (2)证明AP ⊥BC ；(3)根据锥体体积公式进行计算．[规范解答] (1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP . 又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC . (2)证明 因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， 所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱锥D－BCM的一条高，所以V M－DBC ＝13×S△BCD×MD＝13×221×53＝107.【规律总结】面面平行与垂直的证明技巧在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．【变式训练】2．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明(1)在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)如图，连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.考点三：平面图形的折叠问题【例3】(2012·南京模拟)在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图1)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连接B′C(如图2)．图1图2(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′－ADC的体积；(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证HF∥l；(3)求证：AD⊥B′E.[审题导引](1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得B′到平面ADC的距离，可利用线面垂直求得；(2)线面平行⇒线线平行；(3)线面垂直⇒线线垂直．[规范解答](1)在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连接B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O⊂平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的中点，所以AC＝3，B′O＝3 2.所以S△ADC ＝12×12×1×3＝34.所以三棱锥B ′－ADC 的体积为V ＝13×S △ADC ×B ′O ＝18.(2)证明 因为H 为B ′C 的中点，F 为CE 的中点， 所以HF ∥B ′E .又HF ⊄平面B ′ED ，B ′E ⊂平面B ′ED ， 所以HF ∥平面B ′ED .因为HF ⊂平面HFD ，平面B ′ED ∩平面HFD ＝l ， 所以HF ∥l .(3)证明 由(1)知，B ′O ⊥AD .因为AE ＝33，AO ＝12，∠DAC ＝30°， 所以EO ＝AE 2＋AO 2－2AE ·AO cos 30°＝36. 所以AO 2＋EO 2＝AE 2.所以AD ⊥EO .又B ′O ⊂平面B ′EO ，EO ⊂平面B ′EO ，B ′O ∩EO ＝O ， 所以AD ⊥平面B ′EO .又B ′E ⊂平面B ′EO ，所以AD ⊥B ′E . 【规律总结】解决翻折问题的注意事项(1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决． 【变式训练】3．如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为AD 和BC 上的点，且EF ∥AB ，AD ＝2AE ＝2AB ＝4FC ＝4.将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的形状，使AD ＝AE .(1)求证：BC∥平面DAE；(2)求四棱锥D－AEFB的体积．解析(1)证明∵BF∥AE，CF∥DE，BF∩CF＝F，AE∩DE＝E，∴平面CBF∥平面DAE.又BC⊂平面CBF，∴BC∥平面DAE.(2)取AE的中点H，连接DH.∵EF⊥DE，EF⊥EA，∴EF⊥平面DAE.又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH.∵AE＝DE＝AD＝2，∴DH⊥AE，DH＝ 3.∴DH⊥平面AEFB.则四棱锥D－AEFB的体积V＝13×3×2×2＝433.名师押题高考【押题1】已知直线a、b与平面α、β，且b⊥α，则下列命题中正确的是①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b∥β，则α⊥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③解析命题①，若a∥α，过直线a作一平面γ，使得α∩γ＝c，则由线面平行的性质定理可得a∥c，又因为b⊥α，c⊂α，所以b⊥c，故有a⊥b，所以该命题为真；命题②，若a⊥b，b⊥α，则直线α与平面α的位置关系有两种：a⊂α或a∥α，故该命题为假；命题③，若b∥β，则过直线b作一平面δ，使得δ∩β＝d，则由线面平行的性质定理可得b∥d，又b⊥α，所以d⊥α，因为d⊂β，所以由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故该命题为真；命题④，若α⊥β，b⊥α，则直线b与平面β的位置关系有两种：b⊂β或b∥β，故该命题为假．综上，①③为真命题，故选A.答案 A[押题依据]线面的平行与垂直，是立体几何的主体内容，在高考试题中通常会有一道解答题和一道选择题或填空题，主要考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大．【押题2】如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝π6，AB＝AC＝2，BC＝2，D、E分别为AB、OB的中点．(1)求证：CO⊥平面AOB.(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC？若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明 因为AO ⊥平面COB ，所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO ， 即△AOC 与△AOB 为直角三角形． 又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2， 所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2， 可知△BOC 为直角三角形．所以CO ⊥BO ，又因为AO ∩BO ＝O ， 所以CO ⊥平面AOB .(2)在线段CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ， 此时F 为线段CB 的中点．如图，连接DF ，EF ，因为D 、E 分别为AB 、OB 的中点，所以DE ∥OA . 又DE ⊄平面AOC ，所以DE ∥平面AOC .因为E 、F 分别为OB 、BC 的中点，所以EF ∥OC . 又EF ⊄平面AOC ，所以EF ∥平面AOC ，又EF ∩DE ＝E ，EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以平面DEF ∥平面AOC .[押题依据] 线面的平行与垂直是立体几何的必考内容，通常要考一个解答题，本题不仅突出考查了线面的平行与垂直，而且以立体几何为背景．考查了探索性问题，题目新颖灵活、重点突出、难度适中，故押此题．。
高考数学第十章立体几何初步第72课平行与垂直的综合应用教案
平行与垂直的综合应用一、教学目标1．理解直线与平面及平面和平面相关判断定理、性质定理；2．能熟练地解决有一定综合性的立体几何证明问题.二、知识梳理【回顾】证明线面平行、垂直有哪些方法？证明面面平行、垂直有哪些方法？【解析】1. 由面面平行可推出线面平行 .2. 根据面面垂直的性质定理可推出线面垂直.3.线面、面面平行和垂直最终都可归纳为求证线线平行和垂直，因此积累常见的平行和垂直的结构，可以为证题带来很大方便 .三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成 4 道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
找出学生错误的原因，设计“问题串”，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评题 1．PA⊥矩形 ABCD所在平面，M、N分别是 AB和 PC的中点，则 MN与平面 PAD的关系为 ______. 【分析与点评】取 PD中点 E，连 AE及 NE，因四边形 AMNE是平行四边形，可判断 MN//平面PAD.利用中点制造平行关系是常方法。
题 2．已知直线l⊥平面α，直线m? 平面β，下面有三个命题：①α ∥β ? l⊥m；②α ⊥β ? l∥m；③l∥m? α ⊥ β . 则真命题的个数为 ________．【分析与点评】对于①，由直线 l ⊥平面α，α∥ β，得 l ⊥β，又直线 m? 平面β，故 l ⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l ∥m，还有 l 与 m垂直和异面的D 1情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为 2.题 3．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，给出以下四个结论：A1①D1C∥平面 A1ABB1；② A1D1与平面 BCD1相交；③ AD⊥平面 D1DB；④平面 BCD1⊥平面 A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为． D【分析与点评】对于①，由于平面A1ABB1∥平面 CDC1D1，而 D1C? 平面 CDC1D1，故 D1C与平面 A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面 A1ABB1正确；A对于②，由于A1D1∥ BC，所以 A1D1? 平面 BCD1，错误；对于③，只有AD⊥ D D，AD与平面 BCD内其他直线不垂直，错误；1 1对于④，容易证明BC⊥平面 A1 ABB1，而 BC? 平面 BCD1，故平面BCD1⊥平面 A1ABB1．正确．题 4．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是 ________．①若m⊥ α， n⊥ β，α ⊥β，则 m⊥ n②若 m⊥α， n∥ β，α ⊥β，则 m⊥ n③若 m∥ α， n∥ β，α ∥β，则 m∥ n④若 m∥ α， n⊥ β，α ⊥β，则 m∥ n【分析与点评】易知①正确．而②中α ⊥β且 m⊥ α? m∥ β或 m? β，又 n∥ β，容易知道 m，n 的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．3、要点归纳（1）线面关系是各类位置关系的核心，利用线面关系可判断面面关系，也可确定线线关系；C1 B1C B（2）空间问题落实到平面上解决，常利用中位线构造平行关系，利用等腰三角形“三线合一”构造垂直关系，在有线段长度时可通过计算证平行或垂直；（3）要关注学生文字语言与符号语言及图形语言之间的相互转化的训练。
空间中的平行与垂直教案
直线与平面的平行与垂直教案高级中学数学组肖蕾教材分析本节选自2011新课标高考总复习，属于人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修2的内容。
本节课主要复习直线与平面、平面与平面平行及垂直的判定、性质定理及其简单应用。
线、面的垂直关系是空间位置关系中的核心内容之一，是线面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。
同时，线、面垂直关系的转化，能较好的培养和提高学生的转化意识和能力，对学生的空间想象能力的提高有举足轻重的作用。
学情分析本节课是12月下旬上，学生越临近高考越患得患失，太注重结果，忽视过程，心态急躁，急功近利，毛手毛脚，不知所措，并且由于我所任课班级学生是非重点校的学生，生源弱，基本功差，学生已经学习了直线、平面垂直的判定及其性质，复习了直线、平面平行的判定及其性质，对空间概念有一定的基础。
但是，在考试中真拿满分的只有几个人，具体暴露的问题挺多，绝大多数的同学都出现“会而不对，对而不全”解题不规范的情况，另外改卷过程中发现各种不同书写错误，引发教师进一步探究，但评讲试卷时要全盘考虑不便展开，同时学生的抽象概括能力、空间想象力还有待提高，转化意识还有待加强考纲分析《2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲的说明》中要求：了解空间直线和平面的位置关系，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理；了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。
同时，考纲指出：能以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中的线面平行、垂直的有关性质与判定定理。
能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
高考命题分析近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体。
客观题中，多考查平行与垂直有关的命题真假的判断，在解答题中多考查线线、线面、面面平行及垂直的证明。
江苏省建陵高级中学高三数学一轮复习导学案专题4《空间平行与垂直》
则α⊥β;③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α;④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．3、已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为1.5 cm2,2 cm2，6 cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为________ cm2。
（注S球＝4πr2，其中r为球半径)4、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是:①3;②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)5、在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点,点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．6、给出下列四个命题：①如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交；②如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β；③如果平面α⊥平面β,那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直；④如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）三：课堂研讨1、如图，在三棱锥P ABC-中，PC⊥平面,ABC ABCD E F分∆为正三角形，,,别是,,BC PB CA的中点.（1）证明平面PBF⊥平面PAC；（2）判断AE是否平行平面PFD，并说明理由；（3）若2-的体积。
PC AB==，求三棱锥P DEF2、如图ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD,P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD。
（1)求证：PA⊥BD；（2）若PC与CD不垂直,求证：PA≠PD。
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1.综合应用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定 理解决空间几何中的平行与垂直问题.
2.培养学生的空间识图能力和空间想象能力,会根据题意构
造辅助线将问题进行转化,提高学生的逻辑推理能力和计算能力 .
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通过前面几节课的学习,我们认识了空间中的点、线、面的 位置关系,学习了空间几何中的线面平行和垂直的判定定理 和性质定理、面面平行和垂直的判定定理和性质定理,了解 了直线与平面所成的角、二面角的概念,并能进行一些简单 的线面角和二面角的计算,这节课我们将探究空间中平行和 垂直的综合性问题,提高空间几何的想象能力和解决综合性 问题的方法技巧.
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棱锥中的平行问题与垂直问题
已知四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,AB∥CD,CD=2AB,AD⊥CD,BC=PB,E 为 PD 的中点. 求证:(1)AE∥平面 PBC; (2)AE⊥平面 PCD.
【解析】 (1)取 PC 的中点为 F,连接 EF,BF, 则 EF= CD,AB= CD,所以 EF=AB,
【解析】 A 中没强调 a,b 是相交直线,C、D 明显错误,B 正确.
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在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的各面上的对 角线的条数是 6 .
【解析】 通过画图分析可得,每个面都有一条面对角线与该 对角线垂直,所以有 6 条.
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已知直线 l⊥平面 α,垂足为 A,直线 AP⊥l. 求证:AP 在 α 内.
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问题4
垂直问题与平行问题的常见错误命题归类 (1)垂直同一平面的两个平面平行,即 α⊥β,β⊥γ⇒ ; α∥γ (2)垂直同一平面的两个平面垂直,即 α⊥β,β⊥γ⇒ ; α⊥γ (3)平行同一直线的两个平面平行,即 ;α∥β a∥α,a∥β⇒ (4)平行同一平面的两个直线平行,即 a∥α,b∥α⇒.α∥b
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平行问题与垂直问题的相互转化 (1)垂直同一平面的两条直线平行,即 a⊥α,b⊥α⇒a ; ∥b (2)与平面的垂线平行的直线也垂直这个平面, a⊥α,a∥b 即 ; ⇒b⊥α (3)垂直同一直线的两个平面平行,即 a⊥α,a⊥β⇒α ;∥β (4)与平面的垂线平行的平面也垂直这个平面, 即 ; α⊥β a⊥α,a∥β⇒ (5) 与平面的垂直平面平行的平面也垂直这个 a⊥β,β∥γ⇒ 平面,即 . a⊥γ
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所以四边形 AEFB 是平行四边形, 所以 AE∥BF 且 BF⊂平面 PBC, 所以 AE∥平面 PBC.
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(2)因为 BC=PB,F 是 PC 的中点, 所以 BF⊥PC 且 AE∥BF, 所以 AE⊥PC, 侧面 PAD⊥底面 ABCD 且 AD⊥CD, 所以 CD⊥平面 PAD 且 AE⊂平面 PAD, 所以 AE⊥CD 且 CD∩PC=C, 所以 AE⊥平面 PCD.
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问题1
平行综合问题的转化方法和技巧 (1)利用线面平行的判定定理可以把线面平行问题转 化为 线线平行 问题,利用面面平行的判定定理可以把面面 平行问题转化为 线面平行 问题; (2)利用线面平行的性质定理可以利用线面平行推导 线线平行 ,利用面面平行的性质定理可以利用面面平 线面平行 行推导 ; (3)线线平行是把立体几何中的平行问题转化为平面 几何中的平行问题的中转站,在平面几何中证明线线平行 ) 的常用方法有: 定义法(即平面中没有公共点的两条直线是平行线 、 三角形中位线定理 三角形分线段成比例定理 、 、 特殊四边形的性质 .
且 OO'= DD1= CC1=CF,
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所以四边形 OO'FC 是平行四边形,
..ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ导. 学 固思
所以 EM∥O'F 且 O'F⊂平面 BFD1, 所以 EM∥平面 BFD1. (2)取 BC 中点为 G,连接 B1G,易得 A1E∥B1G, 在正方形 BB1C1C 中,因为 G,F 分别是 BC,CC1 的中点, 易证 B1G⊥BF, 所以 A1E⊥BF, 又因为 AB⊥平面 AA1D1D,A1E⊂平面 AA1D1D, 所以 AB⊥A1E,AB∩BF=B, 所以 A1E⊥平面 ABF.
已知,正方体 ABCD-A1B1C1D1,E,M,F 分别是 AD,CD,CC1 的中点, 求证:(1)EM∥平面 BFD1; (2)A1E⊥平面 ABF. 【解析】 (1) 连接 AC、BD 交于点 O,取 BD1 中 点为 O',连接 O'F、O'O,因为 E,M 分别是 AD,CD 的中 点,所以 EM∥AC, 又因为 OO'∥DD1∥CC1,
【解析】 假设 AP 与 l 确定的平面为 β ,如果 AP 不在 α 内, 则可设 α 与 β 相交于直线 AM, ∵l⊥α ,∴l⊥AM, 又 AP⊥l, ∵在平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直, ∴假设错误, ∴AP 一定在 α 内.
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棱柱中的平行问题与垂直问题
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问题2
垂直综合问题的转化方法和技巧 (1)利用线面垂直的判定定理可以把线面垂直问 题转化为 线线平行 问题,利用面面垂直的判定定理可以 线面垂直 把面面垂直问题转化为 问题; (2)利用线面垂直的性质定理可以利用线面垂直 推导 线线垂直 ,利用面面垂直的性质定理可以利用面 线面垂直 面垂直推导 ; (3)线线垂直是把立体几何中的垂直问题转化为 平面几何中的垂直问题的中转站,在平面几何中证明 线线垂直的常用方法有: 勾股定理 、 等腰三角形三线合一定理 、 特殊四边形的性质 .
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1
如果一条直线 l 与平面 α 的一条垂线垂直,那么直线 l 与 平面 α 的位置关系是( D ). A.l⊂α B.l⊥α C.l∥α D.l⊂α 或 l∥α
【解析】 通过画图分析可得.
2
已知 a,b,c 是直线,α,β 是平面,下列条件中,能得出 直线 a⊥平面 α 的是( A ). A.a⊥c,a⊥b,其中 b⊂α,c⊂α B.a∥b,b⊥α C.α⊥β,a∥β D.a⊥b,b∥α