2012年伊比利亚美洲国家数学奥林匹克试题

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2012年美国数学奥林匹克(USAMO)试题及其解答

2012年美国数学奥林匹克(USAMO)试题及其解答
杏 坛 孔 门
2012 年美国数学奥林匹克试题(USAMO)及其解答
田开斌 解答
1、求所有整数 n≥3,使得对于任意 n 个正实数a1 、a2 、a3 、 … … 、an ,如果满足 Max�a1 、a2 、a3 、 … … 、an � ≤ n · Min�a1 、a2 、a3 、 … … 、an �,则其中可以取出三个数, 它们能够构成一个锐角三角形的三条边的长度。 解:对于任意 n≤12,在序列 1、1、√2、√3、√5、√8、√13、√21、√34、√55、√89、12中取前 n 个数,都有 Max�a1 、a2 、a3 、 … … 、an � ≤ n · Min�a1 、a2 、a3 、 … … 、an �,但任意三个数都不能构成 锐角三角形的三条边。所以满足条件的 n≥13。 下面我们用反证法证明 n≥13 时,都满足条件。 我们给 n 个正实数从小到大排序为a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ⋯ ≤ an ,若其中任意三个数,都不 能构成一个锐角三角形的三条边,则有a1 2 ≤ a2 2 ,ak 2 + ak+1 2 ≤ ak+2 2 ,其中 1≤k≤n-2。 于是知an 2 ≥ fn · a1 2 ,即an ≥ �fn · a1 ,其中fn 为斐波那契数列的第 n 项。又当 n≥13 时, 根据数学归纳法易知都有�fn >n,此时则有an ≥ �fn · a1 >na1 ,与 Max�a1 、a2 、a3 、 … … 、an � ≤ n · Min�a1 、a2 、a3 、 … … 、an �矛盾。所以当 n≥13 时,都 满足条件。 综上所述知,满足条件的 n 为所有不小于 13 的自然数。 2、一个圆被 432 个点等分为 432 段弧,将其中 108 个点染成红色,108 个点染成绿色, 108 个点染成蓝色,108 个点染成黄色。求证:可以在每种颜色的点中各选 3 个点,使得由 同色点构成的四个三角形都全等。 解:我们记 f(m)表示 m 除以 432 的余数,其中 0≤f(m)≤431。 我们从某点开始,按顺时针方向依次给 432 个点排序为 0、1、2、3、……431。设 108 个 红点所在位置依次为a1 、a2 、a3 、 … … 、a108 ,108 个绿点依次为b1 、b2 、b3 、 … … 、b108 , 108 个蓝点依次为c1 、c2 、c3 、 … … 、c108 ,108 个黄点依次为d1 、d2 、d3 、 … … 、d108 。 记Xi = �f(a1 + i)、f(a2 + i)、f(a3 + i)、 … … 、f(a108 + i)� ∩ �b1 、b2 、b3 、 … … 、b108 � b1、b2、b3、……、b108=108(j=1、2、3、……108),所以

2012亚洲国际数学奥林匹克总决赛真题(四年级)

2012亚洲国际数学奥林匹克总决赛真题(四年级)

甲部:每題 3 分 甲部:每题 3 分 Section A – each question carries 3 marks 1) 求 1 3 5 7 ... 37 39 的值。 求 1 3 5 7 ... 37 39 的值。 Evaluate 1 3 5 7 ... 37 39 . 2) 求 200 40 200 50 200 10 的值。 求 200 40 200 50 200 10 的值。 Evaluate 200 40 200 50 200 10 . 3) 求 (633 324) (30 73) (163 137) 的值。 求 (633 324) (30 73) (163 137) 的值。 Evaluate (633 324) (30 73) (163 137) . 定義符號「 」的程序計算有以下的結果:
(C) 2012 Asia International Mathematical Olympiad Union (AIMO) All Rights Reserved. No part of this publication maybe reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means, electronic mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of Asian International Mathematical Olympiad Union. 未经亚洲国际数学奥林匹克公开赛中国区组委会许可,任何单位或个人不得复制、流通及出售本试题集。 P.1

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方晋级赛 A卷---------------------------------------------------------------------------------考生须知:每位考生将获得考题一份。

考试期间,不得使用计算工具或手机。

本卷共100分,填空题每小题5分,解答题每题10分。

请将答案写在本卷上。

考试完毕时,所有考题及草稿纸会被收回。

若计算结果是分数,请化至最简,并确保为真分数或带分数。

三年级试卷(本试卷满分100分,考试时间90分钟)一、填空题。

(每题5分,共60分)1、计算:1+2+3+…+98+99+98+…+3+2+1= 。

2、有一张边长为18厘米的正方形纸片,按图中虚线所示剪成两张小纸片,这两张小纸片的周长之和为厘米。

有一列数1、3、7、13、21……,第8个数是。

有一个数,比200小比150大,这个数被7除余3,被9除也余3,这个数是。

数一数,图中有个长方形。

6、2011年的国庆节是星期六,那么2012年的国庆节是星期。

7、将数字0、1、3、4、5、6填入下面的□内,使等式成立。

÷ = × = 28、欧欧、小美各有一些漫画书。

欧欧的漫画书比小美少18本,小美的漫画书是欧欧的3倍少14本,那么欧欧和小美一共有本。

9、3只猫在3天里抓3只老鼠,那么,只猫在30天里抓30只老鼠。

有一盒牛奶,奥斑马12天可以喝完,如果和欧欧一起喝,8天喝完。

那么,欧欧单独喝这盒牛奶可以喝天。

11、有14个连续自然数,前7个连续自然数的和是105。

那么,这14个连续自然数的和是。

12、黑白团队做换座位的游戏,开始时奥斑马、小泉、小美、欧欧分别坐在1、2、3、4号座位上(如图),第一次是前后排互换座位,第二次是左右列互换座位……按此规律交替进行下去,那么在第2011次互换座位后,欧欧的座位编号是号。

开始第一次第二次第三次二、解答题。

2012年世界奥林匹克数学竞赛九年级试题

2012年世界奥林匹克数学竞赛九年级试题

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛 A 卷--------------------------------------------------------------------------------- 考生须知:1.每位考生将获得考题一份。

考试期间,不得使用计算工具或手机。

2.本卷共100分,填空题每小题5分,解答题每题10分。

3.请将答案写在本卷上。

考试完毕时,所有考题及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数,请化至最简,并确保为真分数或带分数。

九年级试卷(本试卷满分100分 ,考试时间90分钟 )一.填空题。

(每题5分,共60分)1.已知2113=--+x x ,则代数式13-++x x 的值是_____________。

2.若253-=+y x ,523-=-y x ,则xy =______________。

3.方程x|x|-3|x|+2=0的实数根个数为_______________。

4.已知方程01222=+-+k kx x 的两个实数根的平方和为429,则k 的值是___________。

5.已知5112=++x xx ,则1242++x x x 的值是______________。

6.已知01322=--b a ,0232=-+a b ,且1≠ab ,则ba ab 1++的值是___________。

7.在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ,使13AE AB =,14AF AD =,连结EF 交对角线AC 于G ,则ACAG 的值是_______________。

8.如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BC=a ,AB=AC=AD=b ,则BD 的长是______________。

(第8题) (第9题) (第10题)9.如图,在平行四边形ABCD 中,过A ,B ,C 三点的圆交AD 于点E ,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则DE 的长是________________。

四年级地方晋级赛

四年级地方晋级赛

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方晋级赛四年级初赛A 卷(本试卷满分100分,考试时间90分钟)一、填空题。

(每题5分,共60分)1、计算: 1637-687-478-363-222-36872、有两个自然数P 、Q ,并且P ◊Q 表示P 与Q 的平均数,如:3◊5=4,按此规定计算,则(5◊9)◊x=50中x 的值是 。

3、小小泉与小小欧各有一些奥运纪念币。

小小欧的个数比小小泉的3倍多4个,比小小泉的5倍少14个。

那么,小小欧比小小泉多 个奥运纪念币。

4、找规律,在空格里填上适当的数。

14 12 7 12 9 4 2735、奥斑马从QQ 城前往IQ 城并原路返回。

且去时每分钟走120米,回时每分钟走80米,那么,奥斑马往返的平均速度是每分钟走 米。

6、黑白团队带着100千克水果去敬老院慰问15名老人。

每名老爷爷分到水果6千克,每名老奶奶分到水果7千克。

那么,其中老爷爷有 名,老奶奶有 名。

7、如图,正方形ABCD 中套着一个长方形,长方形的四个角的顶点恰好将正方形的四条边都分成两段,其中长的一段是短的一段的5倍。

已知正方形的边长是24厘米。

那么,这个长方形的面积是 平方厘米。

8、龙博士有81个水晶杯,其中一个是重量稍轻的次品。

这是,龙博士拿来一个天平(无砝码),他至少要称 次才能保证把次品找出来。

9、小美与欧欧同时从相距105千米的A 、B 两地相向而行,5小时相遇,已知欧欧每小时比小美多行3千米。

那么,相遇时小美行了千米。

10、猪误人拿了20元钱去买价格是每瓶1元的汽水。

这时,商店老板告诉他2个空瓶可再换一瓶汽水。

那么,猪误人花完20元钱一共可以喝到瓶汽水。

11、黑乌鸦将黑白两种棋子按每堆3枚分成100堆。

其中只有1枚白子的共有27堆,有2枚或3枚黑子的共有42堆,有3枚白子的与3枚黑子的堆数相等。

那么,在这些棋子中白子共有枚。

12、甲、乙、丙、丁同时参加“世界奥林匹克数学竞赛”,赛后,他们四人对自己的成绩进行了预测:甲:“丙是金奖,我是铜奖。

全球首发!1-58届国际数学奥林匹克真题及解析大合集,350道必刷、必看、必收藏的巅峰之题。。。

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在数学竞赛的江湖中,被无数人称为解题大师的单墫教授曾说:“学数学的目的,就是为了学会解题,在这个过程中,去巩固所学的知识,提高能力,更好更多的去掌握数学的内容、意义和方法,而这个过程很重要的一点就是要去解质量高,有变化,有技巧的题”,在江湖中,有一个无人不知、无人不晓的圣地,在那个地方每年都会从全世界几十个国家收集上百道由著名数学家或教学经验极为丰富的教师所命题的题目,这些题极具创造性和启发性,可以说是代表着一个国家好题的巅峰之作,这个圣地会从来自世界各国的数百道预选题中选出6或7道题,在58年的历史长河中,这个圣地从成千上万道题目中只选出了350道,曾有人说:“解完这350道题,必定成为真正的解题绝世高手”.来自数学竞赛圣地国际数学奥林匹克1-58届真题与解析大合集,350道代表数学竞赛巅峰之作的题目与来自国内外各位高手的巧解妙解,辅助线、构造、抽屉原理、极端原理、容斥原理、染色、区分、取模、不等式的放缩、对应、递推法、各种各样的数学归纳法、无穷递降、整体观念、局部观念、极端观点、运动观点、算两次……在这份干货中通过对一些新的或经典的问题解法的阐述充分体现了这些技巧,这是每一个学校,每一位老师,每一位数竞党都应该人手一本的必备资料,因为这份资料对于学生参加竞赛或者中学老师、教练用以教材编写、例题选讲、考试命题或教学研究都会有很大大大大大大大大大的帮助!这是全世界第一份1-58届IMO试题及解析大合集的无敌干货,今天,全球首发!请大家务必记住在此下文中所提到的所有名字,因为有了他们的巨大帮助,小数君才能顺利完成这份资料.(需要电子版的看文末,下文仅展示1-20届,50-58届试题及解析)去年小数君在发布1-57届IMO试题时,曾说如果文章点赞超过3000,小数君就来一个解析版的,虽然现在那篇文章的点赞数才1898,但是小数君还是想完成这个承诺,在花费了长达一年之久的时间,终于把这份超大工程的解析完成了,今天,小数君终于可以大喊一声:“小数君吹的牛牛牛牛牛牛牛牛牛实现了”.—over。

2012年小学数学奥林匹克试题决赛B卷

2012年小学数学奥林匹克试题决赛B卷

2012年小学数学奥林匹克试题决赛B卷1.计算:(8.4×2.5+9.7)÷(1.05÷1.5+8.4÷0.28)=_________.2.计算:=_________.3.除以4的余数是_________.4.有两组数,第一组16个数的和是98,第二组的平均数是11,两组中所有数的平均数是8,则第二组有_________个数.5.如果一个三角形的底边增加10%,底边上的高缩短10%,那么这个新三角形的面积是原三角形面积的_________%.6.ABCD是边长为12厘米的正方形,E、F分别是AB、BC边的中点,AF 与CE交于G,则四边形AGCD的面积是_________平方厘米.7.某水果店到苹果产地去收购苹果,收购价为每千克0.84元,从产地到水果店距离200千米,运费为每吨货物每运1千米收1.20元.如果在运输及销售过程中的损耗是10%,商店要实现25%的利润率,零售价应是每千克_________元.8.有四个互不相同的自然数,最大的数与最小的数之差是4,最大的数与最小的数之积是奇数,而这四个数的和是最小的两位奇数,则这四个数的乘积是_________.9.一个大于1的自然数去除300,243,205时,得到相同的余数,则这个自然数是_________.10.有50个学生,他们穿的裤子是白色的或黑色的,上衣是蓝色的或红色的.若有14人穿的是蓝上衣白裤子,31人穿黑裤子,18人穿红上衣,那么穿红上衣黑裤子的学生有_________个.11.圆周上均匀地放置了31枚棋子,其中黑棋子14枚,白棋子17枚,若将圆周上任意两枚棋子变换位置称为一次对换,则最少要经过_________次对换可使黑棋子在圆周上互不相邻(两枚黑棋子之间至少有一枚白棋子).12.两辆同一型号的汽车从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线前进,每车最多能带20桶汽油(连同油箱内的油).每桶汽油可以使一辆汽车前进50千米,两车都必须返回出发地点,两车均可以借对方的油.为了使一辆车尽可能地远离出发点,另一辆车应该在离出发点__________千米的地方返回.。

2012年国际数学奥林匹克竞赛(IMO)试题

2012年国际数学奥林匹克竞赛(IMO)试题

Day:12012年7月10日,星期二1. 设J 为三角形ABC 顶点A 所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC 相切于点M ,与直线AB 和AC 分别相切于点K 和L . 直线LM 和BJ 相交于点F ,直线KM 与CJ 相交于点G . 设S 是直线AF 和BC 的交点,T 是直线AG 和BC 的交点.证明:M 是线段ST 的中点.(三角形ABC 的顶点A 所对的旁切圆是指与边BC 相切,并且与边,AB AC 的延长线相切的圆.)2. 设整数3n ≥,正实数23n a ,a ,,a 满足231n a a a = .证明:()()()2323111nn n +a +a +a >n . 3.“欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行, 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k 和n .游戏开始时甲先选定两个整数x 和N , 1x N ≤≤. 甲如实告诉乙N 的值,但对x 守口如瓶. 乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于x 的信息: 每次提问,乙任选一个由若干正整数组成的集合S (可以重复使用之前提问中使用过的集合),问甲“x 是否属于S ?”. 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后,甲必须对乙的提问立刻回答“是”或“否”,甲可以说谎话,并且说谎的次数没有限制,唯一的限制是甲在任意连续1k +次回答中至少有一次回答是真话. 在乙问完所有想问的问题之后,乙必须指出一个至多包含n 个正整数的集合X ,若x 属于X ,则乙获胜;否则甲获胜. 证明:(1)若2k n ≥,则乙可保证获胜;(2)对所有充分大的整数k ,存在整数 1.99k n ≥,使得乙无法保证获胜.Language: Chinese (Simplified ) 考试时间:4小时30分 每题7分Day:22012年7月11日,星期三4. 求所有的函数f ∶ → ,使得对所有满足0a+b+c=的整数a,b,c ,都有()()()222f a +f b +f c =()()()()()()222f a f b +f b f c +f c f a . (这里 表示整数集.)5. 已知三角形ABC 中,90BCA ∠=°,D 是过顶点C 的高的垂足. 设X 是线段CD 内部的一点. K 是线段AX 上一点,使得=BK BC .L 是线段BX 上一点,使得=AL AC . 设M 是AL 与BK 的交点. 证明: MK ML =.6. 求所有的正整数n , 使得存在非负整数12,,,n a a a ,满足1212111121222333n n a a a a a a n +++=+++= .Language: Chinese (Simplified ) 考试时间:4小时30分 每题7分。

让学生脑洞大开的PISA2012数学全真题

让学生脑洞大开的PISA2012数学全真题

资料范本本资料为word版本,可以直接编辑和打印,感谢您的下载让学生脑洞大开的PISA2012数学全真题地点:__________________时间:__________________说明:本资料适用于约定双方经过谈判,协商而共同承认,共同遵守的责任与义务,仅供参考,文档可直接下载或修改,不需要的部分可直接删除,使用时请详细阅读内容目录PM00A:USB 随身碟 2PM00E:播放器故障率 7PM00F:购买公寓 11PM00L:冰淇淋店 13PM00R:漏油 17PM903:点滴速率19PM904:MP3 播放器22PM918:唱片排行榜25PM921:企鹅28PM922:风力发电33PM923:航行37PM924:调味酱41PM934:摩天轮42PM937:迭骰子44PM942:攀登富士山46PM957:小清骑单车49PM962:渡假公寓53PM977:DVD 出租 56PM978:有线电视59PM985:哪一辆车62PM991:车库65PM994:卖报纸68PM995:旋转门72PISA 2012 Released Items版权说明***************************************************************** **********版权所有:经济合作暨发展组织OECD(Organisation For Economic Co-Operation And Development)中文翻译版权所有:国立台南大学如有任何疑问请与台湾 PISA 国家研究中心联络 HYPERLINK "mailto:pisa@.tw" pisa@.tw ***************************************************************** **********USB 随身碟USB 随身碟是一种体积小、携带方便的计算机储存装置。

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛中国区选拔赛

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛中国区选拔赛

2012赛季世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方晋级赛五年级初赛A 卷(本试卷满分100分,考试时间90分钟)一、填空题。

(每题5分,共60分)1、计算:=⨯⨯+⨯9.5323.0-59.141.059.082.42、有M 、N 两个数,设,,3456788987654434567899876543⨯=⨯=N M 比较M 、N 的大小。

那么M N 。

3、小泉用一个四位数减去这个四位数各位上数字之和,得到的差是一个四位数字604□。

那么,这个□代表的数字是 。

4、如图,它是用四个等边三角形拼成的图案,如果在每条边上画上8只彩圈。

那么全部画完至少需要画 只彩圈。

5、奥斑马、小泉、欧欧绕着环形花坛跑步,奥斑马跑一圈要1分钟,欧欧跑一圈要1分30秒,小泉跑一圈要1分15秒。

现在它们同时同地出发,几分钟后,他们又在原地会合。

那么,这时他们一共绕着花坛跑了 圈。

6、小小马、小小泉、小小欧三人各有一些图钉。

小小马、小小泉两人的平均个数比三人的平均个数多5个;小小泉、小小欧两人的平均个数比三人的平均个数少2个。

已知小小泉有52个图钉,那么,小小欧有 个图钉。

7、如果13511、13903、14589三个自然数被一个自然数去除,所得的余数相同。

那么这个自然数最大是 。

8、如图,AD=EC=4厘米,BD=BE=6厘米。

那么,图中阴影部分的面积是 平方厘米。

9、欧欧与小美同时从学校去电影院观看电影。

当他们出发8分钟后,欧欧发现忘记拿电影票,于是赶紧返回学校拿电影票再追小美。

已知欧欧每分钟走80米,小美每分钟走60米。

那么,欧欧在小美出发后 分钟追上小美。

10、从1、2、3、4、…、2011、2012这2012个自然数中,至少抽取 个不同的数才能保证这些数中一定有一个自然数是5的倍数。

11、羊羊学校开学时,校长准备给每名学生发一支钢笔。

商店中钢笔都是5支一包或3支一包,不能打开零售。

5支一包的钢笔59元,3支一包的钢笔39元。

2012四年级世奥培训题解析

2012四年级世奥培训题解析

世界奥林匹克竞赛培训题11. 121×161÷ (23×ll)= 。

2、下图中包含※图形有____个。

3、在下列式子中,不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字,其中世+界+奥+林+匹+克=____。

4、已知当a大于或等于b时,规定a△b=3×a +4×b;当a小于b时,规定a△b=4×a+3×b,按此规定计算:(6△4)△35=____。

5、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号,例如,第一年如果属鼠年,第二年就属牛年,第三年就属虎年。

已知2011年属兔年,那么2049年属____年。

6、上午黑猩猩推着两筐桃子去集市卖,大筐有400个,小筐有240个,到了中午,两筐中都卖出了相等个数的桃子,剩下桃子的数量大筐恰好是小筐的5倍,上午共卖出了____个桃子。

7、从l、2、3、4、5中选出四个数填人右图中的方格内,使得右边的数比左边大,下面的数比上面的大。

那么,共有____种填法。

8、奥斑马爬楼梯,如果他从一楼爬到四楼用的时间是48秒,当他一相同的速度晚上爬到八楼,还需____秒才能到达。

9、小林前几次数学测评的平均成绩是86分,这一次要得100分,才能把平均成绩提高到88分。

问这一次是第____次测评。

10、汉江是长江的支流,汉江水的水速为每小时3千米,长江水的水速为每小时4千米。

一条船沿汉江顺水航行两小时,行了56千米到达长江,在长江还要逆水航行147千米。

这条船还要行____小时。

11、一排房子有4间房间,房间中住着小泉、小美、欧欧三人,规定每个房间只许住一个人,并且只允许两个人住的房间连在一起,第三人的房间必须和前两个人隔开。

有 ___ 种不同的住法。

12、奥斑马在古城堡里找到了10个砝码,他发现每个砝码重量都是整数克,而且无论怎样放都不能使天平平衡,这堆砝码总重量最少是____克。

2012年亚太小学数学奥林匹克第一回合详解

2012年亚太小学数学奥林匹克第一回合详解

2012年亚太小学奥林匹克第一回合2012年亚太小学奥林匹克第一回合2小时(总分:150分) 2008年4月14日 上午9:0011:00-(注意事项)1 尽量解答所有问题。

2 不准使用数学用表或计算器。

3 答案请另填写在所提供的第一回合的作答卷上。

4 只有正确答案才能得分。

第一题至第十题,每题4分 第十一题至第二十题,每题5分 第二十一题至第三十题,每题6分【第1题】计算:299992999299299++++。

【分析与解】 计算,凑整。

()()()()2999929992992993000013000130013019++++=-+-+-+-+ ()()300003000300309111133330533335=++++----=+=2012年亚太小学奥林匹克第一回合图中ABCD 为平行四边形。

四条边的中点分别为P ,Q ,R 和S 。

已知阴影部分的面积为220cm ,请问平行四边形ABCD 的面积为多少2cm ?D【分析与解】几何,面积,割补。

阴影部分的面积是平行四边形ABCD 的面积的15;平行四边形ABCD 的面积是阴影部分面积的5倍; 平行四边形ABCD 的面积为2205100cm ⨯=。

2012年亚太小学奥林匹克第一回合小珍将以下正整数中的所有数字相加,得到一个新的数1n 。

201233333⨯⨯⨯⨯个 然后,她将1n 中的所有数字相加,得到另一个新的数2n 。

她不断重复以上操作,直到加出一个个位数为止。

试求该个位数。

【分析与解】 数论,整除。

2012320103333393333⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯个个是9的倍数; 如果一个数是9的倍数,那么这个数的数字之和也是9的倍数; 故1n ,2n ,…都是9的倍数;0~9中,只有0和9是9的倍数;而一个非零自然数,将其数字相加,数字之和不可能是0; 故该个位数是9。

【第4题】如图所示大中小三个圆,小圆的圆周经过中圆的圆心,中圆的圆周又经过大圆的圆心。

亚奥赛四年级试卷答案

亚奥赛四年级试卷答案

亚洲国际数学奥林匹克联合会2012年亚洲国际数学奥林匹克公开赛(AIMO公开赛)模拟试题参考答案小学四年级时限:90分钟考生须知:1、本卷包括试题和答题卡。

2、本卷分为3部分,共20题,包括甲部:4分题(8题)。

乙部:5分题(8题)及丙部:7分题(4题)。

3、比赛期间,不得使用计算工具。

4、请将答案写在答题卡上。

5、比赛完毕时,试题和答题卡会被收回,6、本卷中所有图形不一定依比例绘成。

7、若计算结果是分数,请化至最简,并确保为真分数或假分数,或将计算结果写成小数。

8、答案可以根式表示,要求该根式是最简形式。

答题卡总分:甲部乙部丙部1 2 9 10 173 4 11 12 185 6 13 14 197 8 15 16 20 小学四年级试题,所有答案请写在[答题卡]上。

甲部(每题答对得4分)1) 8×7÷8×7=492) 8795-4998+2994-3002-2008=8800-5000+3000-3000-2000-5+2-6-2-8=1800-19=17813) 125×198÷(18÷8)=125×8×(198÷18)=1000×11=110004) 2772÷28+34965÷35=2772÷4÷7+34965÷5÷7=693÷7+6993÷7=(693+6993)÷7=7686÷7 =10985) 将一些半径相同的小圆按如图1所示的规律摆放:第1个图形中有6个小圆,第2个图形中有10个小圆,第3个图形中有16个小圆,第4个图形中有24个小圆……,依此规律,第6个图形中有 46 个小圆。

6) 小光参加了五次数学测验(每次试卷的满分是100分),平均成绩是78分,他想在下次测验后,把六次的平均成绩提高到80分以上,那么她至少要得( 90)分。

2012年亚太数学奥林匹克初选赛(含答案)

2012年亚太数学奥林匹克初选赛(含答案)

2012年亞太數學奧林匹亞競賽,初選考試試題2012年2月11日說明:將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號處。

答錯不倒扣,未完全答對者,不給分。

一、(7分)已知△ABC為直角三角形,其中∠C=90◦,BC=5,另兩邊AB,AC的長度均為正整數。

延長AC到D,使得∠ABD=90◦.則△ABD的外接圓半徑R=1⃝2⃝3⃝/4⃝5⃝(化成最簡分數)。

Ans.169/24.二、(7分)將2n個正整數1,2···,2n任意放置在一個圓周上。

已知,在所有相鄰的三個數中,三個數全為奇數的有a組,三個數恰有兩個為奇數的有b組,三個數中只有一個為奇數的有c組,三個數都是偶數的有d組。

若a=d,則b−c=6⃝7⃝。

Ans.−3三、(7分)已知半徑分別為10與5的兩個圓外切於點P。

試問:點P到這兩個圓的一條外公切線的距離d=8⃝9⃝/10⃝(化成最簡分數)。

Ans.20/3四、對所有兩兩相異的n個正整數a1,a2,···,a n,則在形如t1a1+t2a2+···+t n a n(其中t i為1或−1,i=1,2,···,n)的整數中,必存在S n個不同的整數。

試問(1)(2分)S10=11⃝12⃝Ans.56(2)(5分)S100=13⃝14⃝15⃝16⃝Ans.5051五、已知二元多項式f(x,y),滿足下列條件(i)對任意實數x,f(x,0)=1,(ii)對任意實數x,y,z,f(f(x,y),z)=f(z,xy)+z.試問(1)(2分)f(2012,1)=17⃝18⃝19⃝20⃝Ans.2013(2)(5分)f(2012,2)=21⃝22⃝23⃝24⃝Ans.4025。

2012年 第23届 亚太第一回合试题解析

2012年 第23届 亚太第一回合试题解析

6、 图示三个圆心各位 P、 Q 与 R 的圆。 每个圆都与另两个圆相互外切。 如果 PQ = 35cm , QR = 36cm ,
P R = 37cm ,且圆 R 的半径为 xcm ,试求的 x 值。
【分析】设圆 P 的半径为 p ,圆 Q 的半径为 q ,于是有:
35 p+q = 36 q + x = p+ x = 37
11、图中圆 O 经过两点 A 和 B。已知该圆半径为 5cm ,而且角 AOB 为 120° 。如有另一个经过三点 O、A 和 B 的圆,请问这个圆的半径是多少 cm ?
【分析】取弧 AB 的中点 C,连接 OC
120° ,于是 ∠AOC = ∠BOC = 60° 由于 ∠AOB = 又由于 OA=OB=OC 于是三角形 AOC,三角形 BOC 都是正三角形 = CB = CO = 5cm ,即点 C 到点 A、B、O 的距离相等 于是 CA 于是点 C 即所求圆的圆心,半径为 5cm
【分析】由于 SD 平行且等于 BQ,所以 SDQB 是平行四边形,同理,APCR 是平行四边形,于是 SB ∥DQ,AR∥PC,于是 EFGH 也是平行四边形。 由于 SB∥DQ,即 SE∥DF,且 AS=SD,于是 AE=EF,同理,DF=FG,CG=GH,BH=HE
1 1 1 1 AD ,于是 = SE = DF = FG EH 2 2 2 2 1 1 1 同理, FR = EF , QG = GF , PH = HG 2 2 2
【分析】先染 A 区域,有 4 种染法,其次染 B,要与 A 不同,有 3 种染法,接着染 C,要与 A 不同,
108 种不同的着色法 有 3 种染法,最后染 D,要与 A 不同,有 3 种染法,共有 4 × 3 × 3 × 3 =
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2012年伊比利亚美洲国家数学奥林匹克试题1.AAAA是一个矩形,向内作等边△AAB与等边△AAD,直线AB交直线AA于P,直线AD交直线AA于Q,证明:△APQ为等边三角形。

2.一个正整数被称为“明亮的”。

如果它可以被写成两个整数a,b之和(a,b可以相同),其中a,b各位数码之和相等,例如:2012是“明亮的”,因为2012=2005+7,其中2005和7各位数码之和相等。

找出所有非“明亮的”正整数。

3.n为正整数,给定整数集{a1,a2,⋯,a n},其中a i∈0,1,2,⋯,2n−1,对∀i成立。

我们计算每一个子集的所有元素之和(特别地,∅的所有元素之和定义为0),如果所有这些和除以2n后余数各不相同,称{a1,a2,⋯,a n}为“n−完全的”。

对每一个n,求出“n−完全的”集合的个数。

4.a,b,c,d为整数,满足a−b+c−d为奇数,且整除a2−b2+c2−d2。

证明:对每个正整数n,a−b+c−d整除a n−b n+c n−d n。

5.AAA为三角形,P,Q分别为过A点且平行于AA的直线与∠A,∠A的外角平分线的交点,过P且垂直于AP的直线交过Q点且垂直于AQ的直线于R点,I为△AAA的内心,证明:AI=AR.
6.证明:对每一个正整数n,存在n个连续正整数,使得没有一个数能被它各个数码之和整除。

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