兴化市第一中学高一数学晚间小练习2

O P θ

45°

东

西

北

东

兴化市第一中学高一数学第六周晚间小练习2

1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．

2．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.

3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 9－a 10的值为________． 4．已知数列{a n }满足11=a ,22=a , 则该数列的前20项和为________．

5．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，122221-+⋅⋅⋅+++=n n a ，则n S 的值为________． 6．数列{a n }中，21=a ，1341+-=+n a a n n ，*

∈N n ，则其前n 项和n S ＝________. 7. 在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南

)10

2

(cos =

θθ方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？

8. 某地区位于沙漠边缘地带，到2004年底该地区的绿化率只有30%，计划从2005年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16% ，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化。

⑴ 设该地区的面积为1，2004年绿洲面积为10

3

1=a ，经过一年绿洲面积为2a ……经过n 年绿洲面积为,1+n a 求证：;25

4

541+=

+n n a a ⑵ 求通项公式n a ⑶ 问至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（取)3.02lg =

兴化市第一中学高一数学第六周晚间小练习2答案

1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．

1．解：如图所示，在△ABC 中， AB ＝10海里，∠A ＝60°，∠B ＝75°， ∴∠C ＝180°－(∠A ＋∠B )＝45°，

根据正弦定理：AB sin C ＝BC

sin A

，

∴BC ＝AB sin A sin C ＝10sin60°

sin45°＝56海里．

答案：56海里

2．(2010年高考课标全国卷)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________.

2．解：如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k .

再设BD ＝x ，则DC ＝2x . 在△ABD 中，由余弦定理得 k 2＝x 2＋2－2·x ·2·(－

2

2

)＝x 2＋2＋2x .① 在△ADC 中，由余弦定理得

2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·2

2＝4x 2＋2－4x ，

∴k 2＝2x 2＋1－2x .②

由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)．

答案：2＋ 5

3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 9－a 10的值为________． 3．解：∵a 4＋a 12＝2a 8，a 6＋a 10＝2a 8， ∴由已知5a 8＝120，∴a 8＝24，

于是2a 9－a 10＝a 8＋a 10－a 10＝a 8＝24. 答案：24

4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π

2，则该数 列的前20项和为________．

4. 解：由a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π

2＝⎝⎛⎭⎫1＋1＋cos n π2a n ＋1－cos n π2，得n 为奇数时有 a n ＋2＝a n ＋1，n 为偶数时，有a n ＋2＝2a n .所以{a n }奇数项是1为首项，1为公差的等差数

列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S 20＝10×1＋10×92×1＋21)

21(210

--

＝2 101.

答案 2 101

5．设S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －

1，则S n 的值为________．

解析：a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1·(1－2n )1－2＝2n －1， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n

＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)

＝(2＋22＋ (2)

)－n ＝2(1－2n )1－2－n

＝2n ＋

1－n －2.

答案：2n ＋

1－n －2

6．数列{a n }中，21=a ，1341+-=+n a a n n ，*

∈N n ，则其前n 项和n S ＝________.

答案： 3

1

42)1(-++=n n n n S . 7. 在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南

)10

2

(cos =

θθ方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？

7. 解：设经过t 小时台风中心移动到Q 点时，台风边沿恰经过O 城， 由题意可得：OP=300，PQ=20t ，OQ=r(t)=60+10t 因为102cos =

θ，α=θ-45°,所以10

2

7sin =θ，54cos =α

由余弦定理可得：OQ 2

=OP 2

+PQ 2

-2·OP ·PQ ·αcos 即 (60+10t)2

=3002

+(20t)2

-2·300·20t ·

5

4 即0288362

=+-t t ， 解得121=t ,242=t -2t 121=t

O P

θ

45°

东西

北

东