数理方法02

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放大系数 转动角
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§1.5 解析函数
1、解析函数的定义 、 邻域内点点可导 点点可导， 若函数 f ( z ) 在点 z 0 邻域内点点可导，则称 f ( z ) 在点 z0 解析． 解析． 的点的集合， 点 z0 的邻域是指满足 z − z 0 < ε 的点的集合，自然 点自身． 包含 z0 点自身． 注 意 在区域D内点点可导 内点点可导， 若函数 f ( z ) 在区域 内点点可导，则称 f (z ) 在区 内解析． 域D内解析． 内解析 的某个开区域解析， 若 f ( z ) 在包含 D 的某个开区域解析，则称f ( z ) 在 闭 中解析．若函数点a点不解析 则称点a 点不解析， 区域 D 中解析．若函数点 点不解析，则称点 为 的奇点． 的奇点 z=0是奇点 是奇点
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2、函数解析的充要条件 、
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−y 例：考察函数 f (z ) = e (cos x + i sin x )是否解析
由于这四个偏导数在全平面存在且连续，因而 和 在 由于这四个偏导数在全平面存在且连续，因而u和v在 四个偏导数在全平面存在且连续 全平面可微，且满足C-R条件，故函数在全平面解析． 全平面可微，且满足 条件，故函数在全平面解析． 条件
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2、柯西-黎曼条件（C-R条件） 、柯西 黎曼条件 黎曼条件（ 条件） 条件
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3、导数存在的充要条件 、 f(z)在点 可导的充要条件： 在点z可导的充要条件 在点 可导的充要条件：
注意: 注意 4、复变函数导数的几何意义 、
z → z0 z → z0 z → z0
lim ( fg ) = lim f ⋅ lim g
z → z0 z → z0 z → z0
f z→z lim = z→z g lim g z→z
0 0 0
lim f
(lim g ≠ 0)
z → z0
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3、复变函数的连续 、
注 意
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§1.4 复变函数的导数
1、导数 、
注 意
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导数公式： 导数公式：
[ f1 ( z ) ± f 2 ( z )]′ = f1′( z ) ± f 2′( z ) [ f1 ( z ) f 2 ( z )]' = f1′( z ) f 2 ( z ) + f1 ( z ) f 2′( z ) f1 ( z ) f1′( z ) f 2 ( z ) − f1 ( z ) f 2′( z ) [ ]′ = 2 f2 ( z) [ f 2 ( z )] df [ξ ( z )] df (ξ ) dξ ( z ) = dz dξ dz
4、解析函数遵循拉普拉斯方程( 、解析函数遵循拉普拉斯方程
)
同理
∂ 2v ∂ 2v + 2 =0 2 ∂x ∂y
满足C-R条件的两个调和函数称为共轭调和函数 条件的两个调和函数称为共轭调和函数. 满足 条件的两个调和函数称为共轭调和函数
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5、保角变换 、
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映射前后两切线的夹角相等
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习题： 习题：
P14: 1.2.4 P19: 1.3.4,1.3.5 ,1.3.6 P26:1.4.1,1.4.3.
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§1.3 复变函数的极限与连续
1、复变序列的极限 、
几何意义
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2、复变函数的极限 、
(无心邻域 无心邻域) 无心邻域
注意
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极限仍是一个复数点(两个实数 极限仍是一个复数点 两个实数); 两个实数
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复变函数极限的性质： 复变函数极限的性质：
lim ( f ± g ) = lim f ± lim g
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3、解析函数的实部与虚部的联系 、 微分
积分 类似
∂v ∂v ∂u ∂u dv = dx + dy = − dx + dy ∂x ∂y ∂y ∂x
即解析函数的实部与虚部可以相互求出
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(积分与路径无关 积分与路径无关) 积分与路径无关
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