【创新方案】2014届高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和讲解与练习 理 新人教A版

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一轮复习课时训练§5.3: 等比数列及其前n项和

一轮复习课时训练§5.3: 等比数列及其前n项和

第五章§3:等比数列及其前n 项和(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100,训练时间45钟一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知点A n (n ,a n )(n ∈N *)都在函数y =a x (a>0,a ≠1)的图象上,则a 3+a 7与a 5的大小关系是A .a 3+a 7>2a 5B .a 3+a 7<2a 5C .a 3+a 7=2a 5D .a 3+a 7与2a 5的大小与a 有关2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q 等于A .3B .4C .5D .63.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2,S 3n =14,则S 4n 等于A .80B .30C .26D .164.已知数列{a n }是等差数列,数列{b n }是等比数列,其公比q ≠1,且b i >0(i =1,2,3,…),若a 2=b 2,a 8=b 8,则 A .a 5=b 5B .a 5>b 5C .a 5<b 5D .a 5>b 5或a 5<b 55.若“#”表示一种运算,其运算法则如下:(1)1#1=2;(2)(n +1)#1=2(n #1)+1,(n ∈N *). 则按照这种运算法则,n #1等于A .2n -1B .2nC .2nD .3·2n -1-1二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3a 9=4a 25,a 2=2,则{a n }的前5项和S 5等于______.7.已知实数列{a n }中,a 1=1,a 6=32,a n +2=a 2n +1a n,把数列{a n }的各项排成如图所示的三角形状,记A(m ,n)为第m 行从左起第n 个数,则A(12,5)=________. 8.为了观看2014年在韩国仁川举办的第17届亚运会,小王从2009年1月1日起, 每年到银行存入一万元定期储蓄,若年利率为p ,且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款,若到2014年1月1日他将所有存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数为______万元.三、解答题:本大题共2小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)已知等比数列{a n }中,a 2=32,a 8=12,a n +1<a n .(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ,求T n 的最大值及相应的n 值.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)已知数列{a n }满足,a 1=1,a 2=2,a n +2=a n +a n +12,n ∈N *. (1)令b n =a n +1-a n ,证明:{b n }是等比数列; (2)求{a n }的通项公式.参考答案及其解析一、选择题:本大题共5小题,每小题8分,共40分.1.解析:依题意a n =a n ,所以{a n }是等比数列,则a 3a 7=a 25,因为a ≠1, 所以a 3+a 7>2a 3a 7=2a 5. 答案:A2.解析:两式相减得,3a 3=a 4-a 3,a 4=4a 3,∴q =a 4a 3=4.答案:B3.解析:由题得S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n 成等比数列,设公比为q ,则q>0, ∵S 3n =2+2q +2q 2=14,∴q 2+q -6=0,∴q =2,∴S 4n -S 3n =2q 3=16,∴S 4n =30. 答案:B4.解析:由题意不妨设d>0,q>1.a n 是关于n 的一次函数形式,b n 是关于n 的指数函数形式,在同一坐标系中分别作出它们的图象(如图),故a 5>b 5. 答案:B5.解析:设n#1=a n ,则a 1=2,a n +1=2a n +1,即a n +1+1a n +1=2,所以{a n +1}为等比数列,首项为a 1+1=3,公比为2.所以a n +1=3·2n -1,所以a n =3·2n -1-1. 答案:D二、填空题:本大题共3小题,每小题8分,共24分.6.解析:因为a 3a 9=4a 25,所以q 2=4,又q>0,所以q =2,又a 2=2,所以a 1=1,S 5=1-251-2=31.答案:317.解析:由题意,第1行1个数,第2行3个数,第3行5个数,所以第12行第5个数应是a 126,又{a n }是首项为1,公比为2的等比数列,所以a 126=2125. 答案:21258.解析:从后向前考虑,因2014年不再存款,故可取回的钱的总数为:(1+p)+(1+p)2+…+(1+p)5=(1+p )[(1+p )5-1]p =1p[(1+p)6-(1+p)]答案:1p[(1+p)6-(1+p)]三、解答题:本大题共2小题,共36分.9.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)设公比为q ,则q 6=a 8a 2=164,a n +1<a n ,所以q =12.于是a 1=a 2q =64.所以,通项公式为a n =64·(12)n -1=27-n (n ∈N *).(2)设b n =log 2a n ,则b n =log 227-n =7-n.所以,数列{b n }是以首项为6,公差为-1的等差数列.T n =6n +n (n -1)2(-1)=-12n 2+132n =-12(n -132)2+1698.由n 是自然数,知n =6或n =7时,T n 最大,其最值为T 6=T 7=21.10.(本小题满分18分,(1)小问8分,(2)小问10分)解:(1)证明:b 1=a 2-a 1=1, 当n ≥2时,b n =a n +1-a n =a n -1+a n 2-a n =-12(a n -a n -1)=-12b n -1, 所以{b n }是以1为首项,-12为公比的等比数列.(2)解:由(1)知b n =a n +1-a n =(-12)n -1,当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+1+(-12)+…+(-12)n -2=1+1-(-12)n -11-(-12)=1+23[1-(-12)n -1]=53-23(-12)n -1, 当n =1时,53-23(-12)1-1=1=a 1.所以a n =53-23(-12)n -1(n ∈N *).。

等比数列及其前n项和讲义-高三数学一轮复习

等比数列及其前n项和讲义-高三数学一轮复习

等比数列及其前n项和一.学习目标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.体会等比数列与指数函数的关系.二.知识整合1.等比数列的有关概念等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表示,符号表示为a n+1a n=q(n∈N∗)等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时提醒:由a n+1=qa n,q≠0,并不能立即断定{a n}为等比数列,还要验证a1≠0.2.等比数列的有关公式通项公式a n=;推广:a n=a m⋅q n−m(m,n∈N∗)前n项和公式S n={ ,q=1,q≠1提醒:在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解题失误.知识拓展:(1)当q≠0,q≠1时,S n=k−k⋅q n(k≠0)是{a n}成等比数列的充要条件,此时k=a11−q.(2)等比数列的单调性当{a 1>0,q >1 或{a 1<0,0<q <1时,等比数列{a n } 是递增数列. 当{a 1>0,0<q <1 或{a 1<0,q >1时,等比数列{a n } 是递减数列. 当q =1 时,等比数列{a n } 是常数列.当q =−1 时,等比数列{a n } 是摆动数列.三.典型例题考点一 等比数列基本量的运算例1(1) 已知等比数列{a n } 的前3项和为168,a 2−a 5=42 ,则a 6= ( )A. 14B. 12C. 6D. 3(2) 已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ,a 1=1 ,a 5=8a 2 ,若S n =31 ,则n = .方法感悟:等比数列基本量运算的解题策略(1)方程思想:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a 1 ,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a 1 和q ,问题便可迎刃而解.(2)分类讨论思想:等比数列{a n } 的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q =1 时,{a n } 的前n 项和S n =na 1 ;当q ≠1 时,{a n } 的前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q .考点二 等比数列的判定与证明例2已知数列{a n } 的首项a 1=12 ,且满足a n+1=a n3−2a n (n ∈N ∗) .(1) 证明:{1a n −1} 是等比数列,并求数列{a n } 的通项公式;(2) 记b n =n (1a n −1) ,求{b n } 的前n 项和S n .变式:已知各项都为正数的数列{a n } 满足a n+1+a n =3⋅2n ,a 1=1 .(1) 若b n =a n −2n ,求证:{b n } 是等比数列;(2) 求数列{a n } 的通项公式.方法感悟:判定等比数列的四种常用方法定义法 若a n+1a n =q (q 为非零常数,n ∈N ∗ )或a n a n−1=q (q为非零常数,且n ≥2 ,n ∈N ∗ ),则{a n } 是等比数列等比中项法 在数列{a n } 中,若a n ≠0 且a n+12=a n ⋅a n+2(n ∈N ∗) ,则{a n } 是等比数列通项公式法 若数列{a n } 的通项公式可以写成a n =c ⋅q n (c ,q均是不为0的常数,n ∈N ∗ )的形式,则{a n } 是等比数列前n 项和公式法 若数列{a n } 的前n 项和S n =k ⋅q n −k (k 为常数,且k ≠0 ,q ≠0 ,q ≠1 ),则{a n } 是等比数列五.达标练习1.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么( )A .b =-3,ac =9B .b =3,ac =9C .b =-3,ac =-9D .b =3,ac =-92.已知等比数列{a n }的前3项和为168,a 2-a 5=42,则a 6= ( )A .14B .12C .6D .33.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 5-a 3=12,a 6-a 4=24,则S n a n=( )A .2n -1B .2-21-nC .2-2n -1D .21-n -14.在数列{a n }中,满足a 1=2,a 2n =a n -1·a n +1(n ≥2,n ∈N *),S n 为{a n }的前n 项和.若a 6=64,则S 7的值为( )A .126B .256C .255D .2545. 已知正项等比数列{a n}的首项为1,且4a5,a3,2a4成等差数列,则{a n}的前6项和为( )A. 31B. 3132C. 6332D. 636. 数列{a n}中,a1=2,a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10= 215−25,则k=( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知等比数列{a n},其前n项和为S n.若a2=4,S3=14,则a3=.8. 已知等比数列{a n}的公比为−1,前n项和为S n,若{S n−1}也是等比数列,则a1=.9.设等比数列{a n}满足a1+a2=4,a3−a1=8. 记S n为数列{log3a n}的前n项和.若S m+S m+1=S m+3,则m=.10.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足2S n=−a n+n(n∈N∗). (1)证明:数列{a n−12}为等比数列;(2)求数列{a n−1}的前n项和T n.。

高考数学一轮复习 53 等比数列及其前n项和课件 文

高考数学一轮复习 53 等比数列及其前n项和课件 文

a1>0,q>1或者a1<0,0<q<1 a1>0,0<q<1或者a1<0,q>1
a1≠0,q=1 q<0
5.在性质(5)中,当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 不是等比数列.
6.在运用等比数列及其前n项和的性质时,要注意字母间的上标、 下标的对应关系.
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=41,则公比 q 等于(
列{ban},{pan·qbn}和
(其中b,p,q是非零常
4.Sm+n=Sn+ qn Sm=Sm+ qm Sn. 5.当 q≠-1,或 q=-1 且 k 为 奇 数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 是等比数列.
6.若 a1·a2·…·an=Tn,则 Tn,TT2nn,TT32nn,…成 等比 数列. 7.若数列{an}的项数为 2n,则SS偶 奇= q ;若项数为 2n+1,则S奇S-偶a1 = q.
等比数列的性质及应用(师生共研)
• 例2 (1)(2015年潍坊四县一区联考)设等比数列{an}中, 前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于 ()
解析:由等比数列的性质,得 a3+a5=(a2+a4)q,解得 q=aa32++aa54=2, 又∵a2+a4=a1(q+q3)=20,∴a1=2,∴Sn=a111--qqn=2n+1-2.
答案:2 2n+1-2
等比数列的基本运算(自主探究)
• 例1 (1)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8, 则a1+a10等于( )
)
A.-12
B.-2
C.2
D.12
解析:由题意知:q3=aa52=18,∴q=12.

高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和学案(含解析)

高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和学案(含解析)

等比数列及其前n 项和【考纲传真】1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.【知识扫描】知识点1 等比数列的有关概念1.定义;如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,公比的表达式为a n +1a n=q . 2.等比中项;如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab . 知识点2 等比数列的有关公式1.通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m .2.前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧ na 1,q =1,a 1-q n 1-q=a 1-a n q 1-q ,q ≠1.1.必会结论;等比数列的性质 (1)对任意的正整数m ,n ,p ,q ,若m +n =p +q =2k ,则a m ·a n =a p ·a q =a 2k .(2)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },{|a n |},⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列.(3)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n +3k ,…为等比数列,公比为q k .(4)公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,当公比为-1时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 不一定构成等比数列.(5)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项,则S 偶S 奇=q . 2.必清误区(1)在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,与等差数列不同.(2)由a n +1=qa n (q ≠0)并不能断言{a n }是等比数列,还要验证a 1≠0.【学情自测】1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)数列a ,a ,a ,…(a ∈R )必为等比数列.( )(2)当q <0时,等比数列{a n }为递减数列.( )(3)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( )(4)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }是等比数列.( )2.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则公比q 等于( ) A .-12B .-2C .2 D.12 3.(2015·广东高考)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中a =5+26,c =5-26,则b =________.4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5S 2=________.5.(2014·重庆高考)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和.(1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q +S 4=0,求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .参考答案1【解析】 (1)错误.a =0时不能构成等比数列.(2)错误.当q <0时,{a n }为摆动数列.(3)错误.G 2=abD ⇒/G 为a ,b 的等比中项.(4)错误.若a 1=0,则{a n }不是等比数列.【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2【解析】 由题意知q 3=a 5a 2=18,∴q =12. 【答案】 D3【解析】 ∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=a ·c =(5+26)(5-26)=1.又b >0,∴b =1.【答案】 14【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ,因为8a 2+a 5=0,所以8a 1q +a 1q 4=0.∴q 3+8=0,∴q =-2,∴S5S 2=a 1-q 51-q ·1-q a 1-q 2=1-q 51-q 2=1--51-4=-11.【答案】 -115【解】 (1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d =2的等差数列,所以a n =a 1+(n -1)d =2n -1.故S n =1+3+…+(2n -1)=n a 1+a n 2=n +2n -2=n 2.(2)由(1)得a 4=7,S 4=16.因为q 2-(a 4+1)q +S 4=0,即q 2-8q +16=0,所以(q -4)2=0,从而q =4.又因为b 1=2,{b n }是公比q =4的等比数列, 所以b n =b 1q n -1=2·4n -1=22n -1.从而{b n }的前n 项和T n =b 1-q n1-q =23(4n -1).。

高中数学高考高三理科一轮复习资料第5章 5.3 等比数列及其前n项和

高中数学高考高三理科一轮复习资料第5章 5.3 等比数列及其前n项和

因为 q<1,解得 q=-1 或 q=-2. 当 q=-1 时,代入①得 a1=2, - 通项公式 an=2×(-1)n 1; 1 当 q=-2 时,代入①得 a1=2, 1 通项公式 an=2×(-2)n-1.
点评:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式, 并能灵活运用.尤其需要注意的是,在使用等比数列的前 n 项 和公式时,应根据公比的取值情况进行分类讨论,此外在运算 过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
高中数学
5.3 等比数列及其前n项和
考纲点击 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用 有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起,①____________等于同一个常 数,这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ② ______.公比通常用字母 q 表示(q≠0). 2.通项公式与前 n 项和公式. (1)通项公式:③__________,a1 为首项,q 为公比. (2)前 n 项和公式: 当 q=1 时, ④__________; 当 q≠1 时, ⑤______________.
解析:由等比数列的性质知:a1· a19=16=a8· a12=a2 10,∴ a10=4,则 a8· a10· a12=a3 10=64,故选 B. 答案:B
1n 3. 若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3( ) +m(n∈N*), 则 2 实数 m 的取值为( ) 3 A.- B.-1 2 C.-3 D.一切实数n-1 Nhomakorabea1 -2

高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教学案含解析理

高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n项和教学案含解析理

高考数学一轮复习第5章数列第3节等比数列及其前n 项和教学案含解析理第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.1.等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1a n=q (n∈N *,q 为非零常数).(2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项⇒a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=a b.2.等比数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1.(2)前n 项和公式:3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m ·qn -m(n ,m ∈N *).(2)若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k .(3)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列.(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n +3k ,…为等比数列,公比为q k.(5)当q ≠-1时,数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成等比数列.[常用结论]1.“G 2=ab ”是“a ,G ,b 成等比数列”的必要不充分条件.2.若q ≠0,q ≠1,则S n =k -kq n(k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件,此时k =a 11-q.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列. ( ) (2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=a b.( )(3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )(4)数列{a n }的通项公式是a n =a n,则其前n 项和为S n =a 1-a n1-a. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2.(教材改编)等比数列{a n }中,a 3=12,a 4=18,则a 6等于( ) A .27 B .36C.812D .54C [公比q =a 4a 3=1812=32,则a 6=a 4q 2=18×⎝ ⎛⎭⎪⎫322=812.]3.(教材改编)在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为__________.27,81 [设该数列的公比为q ,由题意知, 243=9×q 3,q 3=27,∴q =3.∴插入的两个数分别为9×3=27,27×3=81.]4.在单调递减的等比数列{a n }中,若a 3=1,a 2+a 4=52,则a 1=________.4 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3=a 1q 2=1,a 2+a 4=a 1q +a 1q 3=52,消去a 1得1q +q =52,解得q =12或q =2.又0<q <1,故q =12,此时a 1=4.]5.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =__________. 6 [∵a 1=2,a n +1=2a n ,∴数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列.又∵S n=126,∴21-2n1-2=126,解得n=6.]等比数列基本量的运算1.(2019·太原模拟)已知公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,S3=3a3,则S5=( )A.1 B.5 C.3148D.1116D[由S3=3a3得a1+a2=2a3,∴1+q=2q2,解得q=-12或q=1(舍).∴S5=1-⎝⎛⎭⎪⎫-1251-⎝⎛⎭⎪⎫-12=23×3332=1116,故选D.]2.(2017·江苏高考)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=74,S6=634,则a8=________.32[设{a n}的首项为a1,公比为q,则⎩⎪⎨⎪⎧a11-q31-q=74,a11-q61-q=634,解得⎩⎪⎨⎪⎧a1=14,q=2,所以a8=14×27=25=32.]3.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m=63,求m.[解](1)设{a n}的公比为q,由题设得a n=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.(2)若a n =(-2)n -1,则S n =1--2n3.由S m =63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n -1,则S n =2n -1.由S m =63得2m=64,解得m =6.综上,m =6.[规律方法] 解决等比数列有关问题的两种常用思想 方程的思想等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a 1和q ,问题可迎刃而解.分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q =1时,{a n }的前n 项和S n =na 1;当q ≠1时,{a n }的前n 项和S n =a 11-q (1-q n)(q <1)或S n =a 1q -1(qn-1)(q >1).等比数列的判定与证明【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1=1,na n +1=2(n +1)a n .设b n =a nn. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. [解] (1)由条件可得a n +1=2n +1na n .将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a n +1n +1=2a nn,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得a n n=2n -1,所以a n =n ·2n -1.[规律方法] 等比数列的判定方法 1定义法:若q 为非零常数,n ∈N *,则{a n }是等比数列.2等比中项法:若数列{a n }中,a n ≠0,且a \o\al(2,n +1)=a n ·a n +2n ∈N*,则数列{a n }是等比数列.3通项公式法:若数列通项公式可写成a n =c ·qnc ,q 均是不为0的常数,n ∈N *,则{a n }是等比数列.4前n 项和公式法:若数列{a n }的前n 项和S n =kq n-k k 为常数且k ≠0,q ≠0,1,则{a n }是等比数列.说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.[解] (1)证明:由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,故a 1≠0.由S n =1+λa n ,S n +1=1+λa n +1得a n +1=λa n +1-λa n , 即a n +1(λ-1)=λa n . 由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1a n =λλ-1. 因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n -1.(2)由(1)得S n =1-⎝⎛⎭⎪⎫λλ-1n.由S 5=3132得1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=3132,即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=132.解得λ=-1.等比数列性质的应用►考法1 【例2】 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n >0,q >1,a 3+a 5=20,a 2a 6=64,则S 5=________. (1)50 (2)31 [(1)因为a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5,所以a 10a 11=e 5. 所以ln a 1+ln a 2+…+ln a 20 =ln(a 1a 2…a 20)=ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]=ln(a 10a 11)10=10ln(a 10a 11) =10ln e 5=50ln e =50.(2)由等比数列的性质,得a 3a 5=a 2a 6=64,于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3+a 5=20,a 3a 5=64,且a n >0,q >1,得a 3=4,a 5=16,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=4,a 1q 4=16,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2.所以S 5=1×1-251-2=31.]►考法2 等比数列前n 项和的性质【例3】 (1)等比数列{a n }中,前n 项和为48,前2n 项和为60,则其前3n 项和为________. (2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列,所有项之和是偶数项之和的4倍,前三项之积为64,则此数列的通项公式a n =________.(1)63 (2)12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1[(1)法一:设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n ≠2S n ,所以q ≠1,由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 11-q n1-q=48,①a 11-q 2n1-q=60,②②÷①,得1+q n =54,所以q n=14.③将③代入①,得a 11-q=64. 所以S 3n =a 11-q 3n 1-q =64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-143=63.法二:设数列{a n }的前n 项和为S n , 因为{a n }为等比数列,所以S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 也成等比数列, 所以(S 2n -S n )2=S n (S 3n -S 2n ),即S 3n =S 2n -S n2S n+S 2n =60-48248+60=63.法三:设数列{a n }的前n 项和为S n , 因为S 2n =S n +q nS n ,所以q n=S 2n -S n S n =14, 所以S 3n =S 2n +q 2nS n =60+⎝ ⎛⎭⎪⎫142×48=63.(2)设此数列{a n }的公比为q ,由题意,知S 奇+S 偶=4S 偶,所以S 奇=3S 偶,所以q =S 偶S 奇=13. 又a 1a 2a 3=64,即a 1(a 1q )(a 1q 2)=a 31q 3=64, 所以a 1q =4.又q =13,所以a 1=12,所以a n =a 1qn -1=12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1.][规律方法] 应用等比数列性质解题时的两个关键点1在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q ”,可以减少运算量,提高解题速度.2在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.(1)已知等比数列{a n }的公比q >0,且a 5·a 7=4a 24,a 2=1,则a 1=( )A.12B.22C. 2 D .2(2)已知数列{a n }是等比数列,S n 为其前n 项和,若a 1+a 2+a 3=4,a 4+a 5+a 6=8,则S 12等于( )A .40B .60C .32D .50(1)B (2)B [(1) a 5·a 7=a 26=4a 24, ∴a 6=2a 4,则a 6a 4=q 2=2. ∴q =2,从而a 1=12=22,故选B. (2)S 12=(a 1+a 2+a 3)+(a 4+a 5+a 6)+(a 7+a 8+a 9)+(a 10+a 11+a 12)=4+8+16+32=60.]等差、等比数列的综合问题【例4】 (1)已知等比数列{a n }的各项都为正数,且a 3,2a 5,a 4成等差数列,则a 3+a 5a 4+a 6的值是( )A.5-12 B.5+12 C.3-52D.3+52A [设等比数列{a n }的公比为q ,由a 3,12a 5,a 4成等差数列可得a 5=a 3+a 4,即a 3q 2=a 3+a 3q ,故q 2-q -1=0,解得q =1+52或q =1-52(舍去),由a 3+a 5a 4+a 6=a 3+a 3q 2a 4+a 4q 2=a 31+q2a 41+q2=1q=25+1=25-15+15-1=5-12,故选A.] (2)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2. ①求{a n }的通项公式; ②求e a 1+e a 2+…+e a n . [解] ①设{a n }的公差为d . 因为a 2+a 3=5ln 2, 所以2a 1+3d =5ln 2. 又a 1=ln 2,所以d =ln 2. 所以a n =a 1+(n -1)d =n ln 2. ②因为e a 1=eln 2=2,==eln 2=2,所以数列{e a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 所以e a 1+e a 2+…+e a n =2×1-2n1-2=2(2n-1).[规律方法] 等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a 1,d q 充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=1,a 2,a 4,a 8成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n ,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 1+3d 2=a 1+d a 1+7d ,解得d =1或d =0(舍去), ∴a n =1+(n -1)=n . (2)由(1)得a n =n , ∴b n =2n,∴b n +1b n=2, ∴{b n }是首项为2,公比为2的等比数列, ∴T n =21-2n1-2=2n +1-2.1.(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( )A .2B .1C.12D.18C [法一:∵a 3a 5=a 24,a 3a 5=4(a 4-1),∴a 24=4(a 4-1),∴a 24-4a 4+4=0,∴a 4=2.又∵q 3=a 4a 1=214=8,∴q =2,∴a 2=a 1q =14×2=12,故选C.法二:∵a 3a 5=4(a 4-1),∴a 1q 2·a 1q 4=4(a 1q 3-1), 将a 1=14代入上式并整理,得q 6-16q 3+64=0,解得q =2,∴a 2=a 1q =12,故选C.]2.(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( )A .n (n +1)B .n (n -1) C.n n +12D.n n -12A [由a 2,a 4,a 8成等比数列,得a 24=a 2a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14),∴a 1=2.∴S n=2n +n n -12×2=2n +n 2-n =n (n +1).]3.(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4=________. -8 [设等比数列{a n }的公比为q , ∵a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3, ∴a 1(1+q )=-1,① a 1(1-q 2)=-3.②②÷①,得1-q =3,∴q =-2. ∴a 1=1,∴a 4=a 1q 3=1×(-2)3=-8.]4.(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=21,求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q , 则a n =-1+(n -1)d ,b n =q n -1.由a 2+b 2=2得d +q =3.① (1)由a 3+b 3=5得2d +q 2=6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d =3,q =0(舍去),⎩⎪⎨⎪⎧d =1,q =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n -1.(2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q -20=0. 解得q =-5或q =4.当q =-5时,由①得d =8,则S 3=21. 当q =4时,由①得d =-1,则S 3=-6.自我感悟:______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

【创新方案】2014届高考数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和讲解与练习 理 新人教A版

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第二节 等差数列及其前n 项和[备考方向要明了]考什 么怎 么 考1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数的关系.1.以选择题的形式考查等差数列的基本量及等差数列性质的简单应用,如2012年辽宁T6,北京T10,江西T12等.2.以解答题的形式考查等差数列的概念、等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式以及等差数列的性质等,如2012年陕西T17等.[归纳·知识整合]1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示,定义表达式为a n -a n -1=d (常数)(n ∈N *,n ≥2)或a n +1-a n =d (常数)(n ∈N *).2.等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d .亦可以用数列中的第m 项a m 与公差d 表示为a n =a m +(n -m )d .[探究] 1.已知等差数列{a n }的第m 项为a m ,公差为d ,则其第n 项a n 能否用a m 与d 表示?提示:能,a n =a m +(n -m )d . 3.等差中项若三个数a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且有A =a +b2.4.等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n n -12d =n a 1+a n 2.[探究] 2.等差数列前n 项和公式的推导运用了什么方法? 提示:倒序相加法.3.等差数列前n 项和公式能否看作关于n 的函数,该函数是否有最值?提示:当d ≠0时,S n 是关于n 的且常数项为0的二次函数,则(n ,S n )是二次函数图象上的一群孤立的点,由此可得:当d >0时,S n 有最小值;当d <0时,S n 有最大值.5.等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和. (1)若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q , 特别:若m +n =2p ,则a m +a n =2a p .(2)a m ,a m +k ,a m +2k ,a m +3k ,…仍是等差数列,公差为kd . (3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.[自测·牛刀小试]1.(2012·重庆高考)在等差数列{a n }中,a 2=1,a 4=5,则{a n }的前5项和S 5=( ) A .7 B .15 C .20D .25解析:选B 数列{a n }的公差d =5-12=2,则a 1=-1,a 5=7,可得S 5=15.2.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( )A .58B .88C .143D .176解析:选B 因为{a n }是等差数列,所以a 4+a 8=2a 6=16⇒a 6=8,则该数列的前11项和为S 11=11a 1+a 112=11a 6=88.3.(教材习题改编)在等差数列{a n }中,若a 4+a 5=15,a 7=15,则a 2的值为( ) A .-3 B .0 C .1D .2解析:选B 由题意知,a 2+a 7=a 4+a 5,所以a 2=a 4+a 5-a 7=0.4.(教材习题改编)已知两个数列x ,a 1,a 2,a 3,y 与x ,b 1,b 2,y 都是等差数列,且x ≠y ,则a 2-a 1b 2-b 1的值为________.解析:∵a 2-a 1=14(y -x ),b 2-b 1=13(y -x ),∴a 2-a 1b 2-b 1=34.答案:345.(教材习题改编)有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列{a n }的通项公式a n =________.解析:两个等差数列的公共项为2,14,26,…即新数列的首项为2,公差为12. 故a n =2+(n -1)×12=12n -10. 答案:12n -10等差数列的判定与证明[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=12,a n =-2S n S n -1(n ≥2).(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列;(2)求S n 和a n .[自主解答] (1)证明: ∵当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-2S n S n -1,①∴S n (1+2S n -1)=S n -1. 由上式,若S n -1≠0,则S n ≠0. ∵S 1=a 1≠0,由递推关系知S n ≠0(n ∈N *), 由①式得1S n -1S n -1=2(n ≥2).∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列,其中首项为1S 1=1a 1=2,公差为2.(2)∵1S n =1S 1+2(n -1)=1a 1+2(n -1),∴S n =12n.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-12n n -1,当n =1时,a 1=S 1=12不适合上式,∴a n=⎩⎪⎨⎪⎧12,n =1,-12n n -1,n ≥2.若将条件改为“a 1=2,S n =S n -12S n -1+1(n ≥2)”,如何求解.解:(1)证明:∵S n =S n -12S n -1+1,∴1S n =2S n -1+1S n -1=1S n -1+2.∴1S n -1S n -1=2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以12为首项,以2为公差的等差数列.(2)由(1)知1S n =12+(n -1)×2=2n -32,即S n =12n -32. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=12n -32-12n -72 =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -72;当n =1时,a 1=2不适合a n , 故a n=⎩⎪⎨⎪⎧2n =1,-2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n -72n ≥2.———————————————————等差数列的判定方法(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证a n -a n -1为同一常数; (2)等差中项法:验证2a n -1=a n +a n -2(n ≥3,n ∈N *)成立; (3)通项公式法:验证a n =pn +q ; (4)前n 项和公式法:验证S n =An 2+Bn .注意:在解答题中常应用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.1.已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1a n -1(n ∈N *).(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由. 解:(1)证明:∵a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),b n =1a n -1, ∴b n +1-b n =1a n +1-1-1a n -1=1⎝ ⎛⎭⎪⎫2-1a n -1-1a n -1 =a na n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a n -1=-52, ∴数列{b n }是以-52为首项,以1为公差的等差数列.(2)由(1)知b n =n -72,则a n =1+1b n =1+22n -7,设f (x )=1+22x -7,则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72,+∞上为减函数.故当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3.等差数列基本量的计算[例2] (1)已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20等于( ) A .-1 B .1 C .3D .7(2)(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1,a 3=a 22-4,则a n =________. (3)(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=12,S 2=a 3,则a 2=________;S n =________.[自主解答] (1)两式相减,可得3d =-6,d =-2.由已知可得3a 3=105,a 3=35,所以a 20=a 3+17d =35+(-34)=1.(2)设等差数列{a n }的公差为d ,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 3=a 1+d 2-4,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,1+2d =1+d 2-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =±2.由于等差数列{a n }是递增的等差数列,因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2.所以a n =a 1+(n -1)d =2n -1.(3)设等差数列的公差为d ,则2a 1+d =a 1+2d ,把a 1=12代入得d =12,所以a 2=a 1+d=1,S n =na 1+n n -12d =14n (n +1).[答案] (1)B (2)2n -1 (3)1 n n +14———————————————————等差数列运算问题的通法等差数列的通项公式及前n 项和公式中,共涉及五个量,知三可求二,如果已知两个条件,就可以列出方程组求解,体现了用方程思想解决问题的方法.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.2.已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d (n ≥1,n ∈N *). 由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3, 解得d =-2.从而,a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n . (2)由(1)知a n =3-2n , 所以S n =n [1+3-2n ]2=2n -n 2.进而由S k =-35,可得2k -k 2=-35, 即k 2-2k -35=0,解得k =7或k =-5. 又k ∈N *,故k =7为所求结果.等差数列前n 项和的最值[例3] 已知在等差数列{a n }中,a 1=31,S n 是它的前n 项和,S 10=S 22, (1)求S n ;(2)这个数列的前多少项和最大,并求出这个最大值. [自主解答] (1)∵S 10=a 1+a 2+…+a 10,S 22=a 1+a 2+…+a 22,又S 10=S 22,∴a 11+a 12+…+a 22=0, 即12a 11+a 222=0,即a 11+a 22=2a 1+31d =0.又a 1=31,∴d =-2. ∴S n =na 1+n n -12d =31n -n (n -1)=32n -n 2.(2)法一:由(1)知,S n =32n -n 2=-(n -16)2+256, ∴当n =16时,S n 有最大值256. 法二:由(1)知,⎩⎪⎨⎪⎧a n =31+n -1·-2=-2n +33≥0,a n +1=31+n ·-2=-2n +31≤0(n ∈N *),解得312≤n ≤332,∵n ∈N *,∴n =16时,S n 有最大值256.若将“a 1=31,S 10=S 22”改为“a 1=20,S 10=S 15”,则n 为何值时,S n 取得最大值? 解:法一:∵a 1=20,S 10=S 15, ∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,解得d =-53.∴a n =20+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-53n +653. ∴a 13=0,即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0. ∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130. 法二:同法一求得d =-53.∴S n =20n +n n -12·⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-56n 2+1256n =-56⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2522+3 12524.∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值, 且最大值为S 12=S 13=130. 法三:同法一得d =-53.又由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. ∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或13时,S n 有最大值, 且最大值为S 12=S 13=130.——————————————————— 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数形结合的思想,从而使问题得解;(2)通项公式法:求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可.一般地,等差数列{a n }中,若a 1>0,且S p =S q (p ≠q ),则①若p +q 为偶数,则当n =p +q2时,S n 最大; ②若p +q 为奇数,则当n =p +q -12或n =p +q +12时,S n 最大.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围;(2)指出S 1,S 2,…,S 12中,哪一个最大,并说明理由. 解:(1)设数列首项为a 1,公差为d ,由题意可得,⎩⎪⎨⎪⎧S 12=12a 1+12×12×12-1d >0,S13=13a 1+12×13×13-1d <0.将a 1=a 3-2d =12-2d 代入,得⎩⎪⎨⎪⎧24+7d >0,3+d <0,即-247<d <-3.(2)法一:S n =na 1+n n -12d =(12-2d )n +n n -12d =d2n 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫52d -12n ,其中-247<d <-3.由二次函数知识可得S 6最大.法二:∵a n =a 1+(n -1)d =12+(n -3)d ,由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0,a n +1≤0,得⎩⎪⎨⎪⎧12+n -3d ≥0,12+n -2d ≤0.∴-12d +2≤n ≤-12d +3.而-247<d <-3, ∴112<n <7.∴n =6. ∴前6项和S 6最大.法三:由S 13=13a 7<0,S 12=6(a 6+a 7)>0, ∴a 7<0,a 6>0.∴前6项和S 6最大.等差数列性质的应用[例4] (1)(2013·江门模拟)等差数列{a n }前17项和S 17=51,则a 5-a 7+a 9-a 11+a 13等于( )A .3B .6C .17D .51(2)等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则前9项的和S 9等于( ) A .66 B .99 C .144D .297[自主解答] (1)由于S 17=a 1+a 172×17=17a 9=51,所以a 9=3.根据等差数列的性质a 5+a 13=a 7+a 11,所以a 5-a 7+a 9-a 11+a 13=a 9=3.(2)由等差数列的性质及a 1+a 4+a 7=39,可得3a 4=39,所以a 4=13.同理,由a 3+a 6+a 9=27,可得a 6=9.所以S 9=9a 1+a 92=9a 4+a 62=99.[答案] (1)A (2)B ———————————————————在等差数列有关计算问题中,结合整体思想,灵活应用性质,可以减少运算量,达到事半功倍的效果.4.(1)(2013·山西四校联考)在等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 3=3,a 18+a 19+a 20=87,则此数列前20项的和等于( )A .290B .300C .580D .600(2)(2012·江西高考)设数列{a n },{b n }都是等差数列.若a 1+b 1=7,a 3+b 3=21,则a 5+b 5=________.解析:(1)选B 依题意得3(a 1+a 20)=90,即a 1+a 20=30,数列{a n }的前20项的和等于20a 1+a 202=300.(2)法一:设数列{a n },{b n }的公差分别为d 1,d 2,因为a 3+b 3=(a 1+2d 1)+(b 1+2d 2)=(a 1+b 1)+2(d 1+d 2)=7+2(d 1+d 2)=21,所以d 1+d 2=7.所以a 5+b 5=(a 3+b 3)+2(d 1+d 2)=21+2×7=35.法二:∵2a 3=a 1+a 5,2b 3=b 1+b 5, ∴a 5+b 5=2(a 3+b 3)-(a 1+b 1) =2×21-7=35. 答案:351个技巧——利用等差数列的性质妙设项若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a -d ,a ,a +d ;若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a -d ,a +d ,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.2种选择——等差数列前n 项和公式的选择等差数列前n 项和公式有两个,如果已知项数n 、首项a 1和第n 项a n ,则利用S n =n a 1+a n 2,该公式经常和等差数列的性质结合应用.如果已知项数n 、首项a 1和公差d ,则利用S n =na 1+n n -1d2,在求解等差数列的基本运算问题时,有时会和通项公式结合使用.3个结论——等差数列前n 项和S n 的几个结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ,则①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);②S 偶-S奇=nd ,S 奇S 偶=a na n +1. (2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n +1,则①S 2n +1=(2n +1)a n +1;②S 奇S 偶=n +1n. (3)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ;若a 1<0,d >0,则满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .4种方法——等差数列的判断方法①定义法;②等差中项法;③通项公式法;④前n 项和公式法.数学思想——整体思想在数列中的应用利用整体思想解数学问题,就是从全局着眼,由整体入手,把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法.有不少数列题,其首项、公差无法确定或计算繁琐,对这类问题,若从整体考虑,往往可寻得简捷的解题途径.[典例] (2013·盐城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m ≠n )则它的前m +n 项的和S m +n =________.[解析] 法一:设{a n }的公差为d , 则由S n =m ,S m =n ,得⎩⎪⎨⎪⎧S n=na 1+n n -12d =m , ①S m =ma 1+m m -12d =n . ②②-①得(m -n )a 1+m -n m +n -12·d =n -m ,∵m ≠n ,∴a 1+m +n -12d =-1.∴S m +n =(m +n )a 1+m +n m +n -12d=(m +n )⎝⎛⎭⎪⎫a 1+m +n -12d =-(m +n ).法二:设S n =An 2+Bn (n ∈N *),则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2+Bm =n , ③An 2+Bn =m , ④③-④得A (m 2-n 2)+B (m -n )=n -m . ∵m ≠n ,∴A (m +n )+B =-1. ∴A (m +n )2+B (m +n )=-(m +n ), 即S m +n =-(m +n ). [答案] -(m +n ) [题后悟道]1.本题的两种解法都突出了整体思想,其中法一把a 1+m +n -12d 看成了一个整体,法二把A (m +n )+B 看成了一个整体,解起来都很方便.2.整体思想是一种重要的解题方法和技巧,这就要求学生要掌握公式,理解其结构特征.3.本题的易错点是,不能正确运用整体思想的运算方法,不能建立数量间的关系,导致错误.[变式训练]1.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若S n T n =2n 3n +1,则a nb n=( )A.23 B.2n -13n -1 C.2n +13n +1D.2n -13n +4解析:选Ba nb n =2a n 2b n =a 1+a 2n -1b 1+b 2n -1=S 2n -1T 2n -1=22n -132n -1+1=2n -13n -1. 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知其前6项和为36,S n =324,最后6项的和为180(n >6),求该数列的项数n 及a 9+a 10.解:由题意知a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=36,a n +a n -1+a n -2+a n -3+a n -4+a n -5=180,∴6(a 1+a n )=36+180=216. ∴a 1+a n =36.又S n =324,∴n a 1+a n 2=324,即n =2×32436=18.∴a 9+a 10=a 1+a 18=36.一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.已知{a n }是等差数列,且a 3+a 9=4a 5,a 2=-8,则该数列的公差是( ) A .4 B .14 C .-4D .-14解析:选A 因为a 3+a 9=4a 5,所以根据等差数列的性质可得a 6=2a 5.所以a 1+5d =2a 1+8d ,即a 1+3d =0.又a 2=-8,即a 1+d =-8,所以公差d =4.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 17=a ,则a 2+a 9+a 16等于( ) A.a17 B.4a 17C.3a 17D .-3a 17解析:选C ∵S 17=a 1+a 17×172=a ,∴17a 9=a ,a 9=a 17.∴a 2+a 9+a 16=3a 9=3a17.3.(2013·秦皇岛模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S k +2-S k =24,则k =( )A .8B .7C .6D .5解析:选D 依题意得S k +2-S k =a k +1+a k +2=2a 1+(2k +1)d =2(2k +1)+2=24,解得k =5.4.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99.以S n 表示{a n }的前n 项和,则使得S n 达到最大值的n 是( )A .21B .20C .19D .18解析:选B ∵a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99, ∴3a 3=105,3a 4=99,即a 3=35,a 4=33. ∴a 1=39,d =-2,得a n =41-2n .令a n >0且a n +1<0,n ∈N *,则有n =20.5.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 1=1,S 4S 2=4,则S 6S 4的值为( ) A.94 B.32 C.53D .4解析:选A 由等差数列的性质可知S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等差数列,由S 4S 2=4得S 4-S 2S 2=3,则S 6-S 4=5S 2,所以S 4=4S 2,S 6=9S 2,S 6S 4=94.6.(2013·玉溪模拟)数列{a n }的首项为3,{b n }为等差数列且b n =a n +1-a n (n ∈N *).若b 3=-2,b 10=12,则a 8=( )A .0B .3C .8D .11解析:选B 因为{b n }是等差数列,且b 3=-2,b 10=12, 故公差d =12--210-3=2.于是b 1=-6,且b n =2n -8(n ∈N *),即a n +1-a n =2n -8.所以a 8=a 7+6=a 6+4+6=a 5+2+4+6=…=a 1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.等差数列{a n }中a 1=1,前n 项和S n 满足S 4S 2=4,则数列{a n }的前n 项和S n =________.解析:设公差为d ,则由S 4S 2=4得4a 1+6d2a 1+d=4.又∵a 1=1,∴d =2. ∴S n =na 1+n n -1d2=n +n (n -1)=n 2.答案:n 28.已知等差数列{a n }中,a n ≠0,若n >1且a n -1+a n +1-a 2n =0,S 2n -1=38,则n 等于________. 解析:∵2a n =a n -1+a n +1, 又a n -1+a n +1-a 2n =0,∴2a n -a 2n =0,即a n (2-a n )=0. ∵a n ≠0,∴a n =2.∴S 2n -1=2(2n -1)=38,解得n =10. 答案:109.(2013·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若(a 2-1)3+2 012(a 2-1)=1,(a 2 011-1)3+2 012·(a 2 011-1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为________.①S 2 011=2 011;②S 2 012=2 012;③a 2 011<a 2;④S 2 011<S 2.解析:由f (x )=x 3+2 012 x 为奇函数,f ′(x )=3x 2+2 012>0,f (1)=2 013>1知f (1)>f (a 2-1),故a 2-1<1即a 2<2又f (a 2-1)=-f (a 2 011-1)=1,故a 2 011<a 2,a 2-1=(a 2 011-1)即a 2+a 2 011=2,S 2 012=a 1+a 2 0122×2 012=2 012,S 2 011=S 2 012-a 2 012=2 012-(2-a 2+d )=2 010+a 1>a 1+a 2=S 2,又假设S 2 011=2 011,则a 1=1,a 2 011=1矛盾.综上,正确的为②③. 答案:②③三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)10.设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.(1)若S 5=5,求S 6及a 1; (2)求d 的取值范围.解:(1)由题意知S 6=-15S 5=-3,a 6=S 6-S 5=-8,所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1+10d =5,a 1+5d =-8,解得a 1=7.所以S 6=-3,a 1=7. (2)因为S 5S 6+15=0,所以(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0, 即2a 21+9da 1+10d 2+1=0. 故(4a 1+9d )2=d 2-8,所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.11.已知等差数列{a n }中,公差d >0,前n 项和为S n ,a 2·a 3=45,a 1+a 5=18. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)令b n =S nn +c(n ∈N *),是否存在一个非零常数c ,使数列{b n }也为等差数列?若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题设,知{a n }是等差数列,且公差d >0,则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3=45,a 1+a 5=18,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d a 1+2d =45,a 1+a 1+4d =18,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4.故a n =4n -3(n ∈N *).(2)由b n =S nn +c=n 1+4n -32n +c=2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n -12n +c.∵c ≠0,∴可令c =-12,得到b n =2n .∵b n +1-b n =2(n +1)-2n =2(n ∈N *), ∴数列{b n }是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c =-12,使数列{b n }也为等差数列.12.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,S n 满足关系式2S n =S n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+2(n ≥2,n 为正整数),a 1=12.(1)令b n =2na n ,求证数列{b n }是等差数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)在(1)的条件下,求S n 的取值范围.解:(1)由2S n =S n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+2,得2S n +1=S n -⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +2,两式相减得2a n +1=a n +⎝ ⎛⎭⎪⎫12n,上式两边同乘以2n得2n +1a n +1=2n a n +1,即b n +1=b n +1,所以b n +1-b n =1,故数列{b n }是等差数列,且公差为1.又因为b 1=2a 1=1,所以b n =1+(n -1)×1=n .因此2na n =n ,从而a n =n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .(2)由于2S n =S n -1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1+2,所以2S n -S n -1=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,即S n +a n =2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1.S n =2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-a n ,而a n =n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,所以S n =2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n =2-(n +2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .所以S n +1=2-(n +3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1,且S n +1-S n =n +12n +1>0.所以S n ≥S 1=12,又因为在S n =2-(n +2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 中,(n +2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>0,故S n <2,即S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,2.1.已知数列{a n }的通项公式a n =pn 2+qn (p ,q ∈R ,且p ,q 为常数). (1)当p 和q 满足什么条件时,数列{a n }是等差数列? (2)求证:对任意实数p 和q ,数列{a n +1-a n }是等差数列.解:(1)a n +1-a n =[p (n +1)2+q (n +1)]-(pn 2+qn )=2pn +p +q ,要使{a n }是等差数列,则2pn +p +q 应是一个与n 无关的常数,所以2p =0,即p =0.故当p =0时,数列{a n }是等差数列. (2)证明:∵a n +1-a n =2pn +p +q , ∴a n +2-a n +1=2p (n +1)+p +q .而(a n +2-a n +1)-(a n +1-a n )=2p 为一个常数, ∴{a n +1-a n }是等差数列.2.设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列,它的前10项和S 10=110,且a 1,a 2,a 4成等比数列.(1)证明a 1=d ;(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式. 解:(1)证明:因a 1,a 2,a 4成等比数列, 故a 22=a 1a 4.而{a n }是等差数列,有a 2=a 1+d ,a 4=a 1+3d .于是(a 1+d )2=a 1(a 1+3d ),即a 21+2a 1d +d 2=a 21+3a 1d ,化简得a 1=d . (2)由条件S 10=110和S 10=10a 1+10×92d ,得到10a 1+45d =110.由(1),a 1=d ,代入上式得55d =110, 故d =2,a n =a 1+(n -1)d =2n .因此,数列{a n }的通项公式为a n =2n (n =1,2,3,…). 3.已知{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它的前n 项和S n 有最大值,那么当S n 取得最小正值时,n 等于多少?解:由已知得,{a n }是首项为正,公差为负的递减等差数列. 由a 11a 10<-1得a 10+a 11<0且a 10>0,a 11<0, ∴S 20=20a 1+a 202=20a 10+a 112=10(a 10+a 11)<0.而S 19=19a 10>0, ∴S n 取最小正值时n =19.4.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+2n ,数列{b n }的前n 项和T n =2-b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式.解:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n 2+2n -2(n -1)2-2(n -1)=4n , 又a 1=S 1=4,故a n =4n .当n ≥2时,由b n =T n -T n -1=2-b n -2+b n -1,得b n =12b n -1,又T 1=2-b 1,即b 1=1,故b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=21-n.。

高考数学一轮复习配套讲义:第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和

高考数学一轮复习配套讲义:第5篇 第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲等比数列及其前n项和[最新考纲]1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及前n项和公式.2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.数学语言表达式:a na n-1=q(n≥2),q为常数.(2)等比中项如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即:G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab . 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1,公比是q ,则其通项公式为a n =a 1q n -1; 若等比数列{a n }的第m 项为a m ,公比是q ,则其第n 项a n 可以表示为a n =a m q n -m.(2)等比数列的前n 项和公式:当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q1-q. 3.等比数列及前n 项和的性质(1)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即a k ,a k +m ,a k +2m ,…仍是等比数列,公比为q m .(3)当q ≠-1,或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n .(4)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列.辨 析 感 悟1.对等比数列概念的理解(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.(×)(2)三个数a ,b ,c 成等比数列的充要条件是b 2=ac .(×) (3)若三个数成等比数列,那么这三个数可以设为aq ,a ,aq .(√) 2.通项公式与前n 项和的关系(4)数列{a n }的通项公式是a n =a n,则其前n 项和为S n =a (1-a n)1-a.(×)(5)(·新课标全国Ⅰ卷改编)设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n=3-2a n.(√)3.等比数列性质的活用(6)如果数列{a n}为等比数列,则数列{ln a n}是等差数列.(×)(7)(·兰州模拟改编)在等比数列{a n}中,已知a7·a12=5,则a8a9a10a11=25.(√)(8)(·江西卷改编)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于-2或0.(×)[感悟·提升]1.一个区别等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值.如(1)中的“常数”,应为“同一非零常数”;(2)中,若b2=ac,则不能推出a,b,c成等比数列,因为a,b,c为0时,不成立.2.两个防范一是在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1或q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误,如(4).二是运用等比数列的性质时,注意条件的限制,如(6)中当a n+1a n=q<0时,ln a n+1-ln a n=ln q无意义.学生用书第85页考点一等比数列的判定与证明【例1】(·济宁测试)设数列{a n}的前n项和为S n,若对于任意的正整数n都有S n=2a n-3n,设b n=a n+3.求证:数列{b n}是等比数列,并求a n.证明由S n=2a n-3n对于任意的正整数都成立,得S n+1=2a n+1-3(n+1),两式相减,得S n+1-S n=2a n+1-3(n+1)-2a n+3n,所以a n+1=2a n+1-2a n-3,即a n+1=2a n+3,所以a n+1+3=2(a n+3),即b n+1b n=a n+1+3a n+3=2对一切正整数都成立,所以数列{b n}是等比数列.由已知得:S 1=2a 1-3,即a 1=2a 1-3,所以a 1=3, 所以b 1=a 1+3=6,即b n =6·2n -1. 故a n =6·2n -1-3=3·2n -3.规律方法 证明数列{a n }是等比数列常用的方法:一是定义法,证明a n a n -1=q (n ≥2,q 为常数);二是等比中项法,证明a 2n =a n -1·a n +1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法.【训练1】 (·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式;(2)设q ≠1,证明数列{a n +1}不是等比数列. 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n , 当q =1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1; 当q ≠1时,S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1,① qS n =a 1q +a 1q 2+…+a 1q n ,② ①-②得,(1-q )S n =a 1-a 1q n ,∴S n =a 1(1-q n)1-q,∴S n =⎩⎨⎧na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1.(2)假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *, (a k +1+1)2=(a k +1)(a k +2+1), a 2k +1+2a k +1+1=a k a k +2+a k +a k +2+1,a 21q 2k +2a 1q k =a 1qk -1·a 1q k +1+a 1q k -1+a 1q k +1, ∵a 1≠0,∴2q k =q k -1+q k +1.∵q ≠0,∴q 2-2q +1=0,∴q =1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,∴{a n +1}不是等比数列.考点二 等比数列基本量的求解【例2】 (·湖北卷)已知等比数列{a n }满足:|a 2-a 3|=10,a 1a 2a 3=125.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数m ,使得1a 1+1a 2+…+1a m≥1?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.审题路线 (1)建立关于a 1与q 的方程组可求解.(2)分两种情况,由a n ⇒1a n ⇒再用等比数列求和求∑n =1m 1a n⇒得到结论.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则由已知可得⎩⎨⎧a 31q 3=125,|a 1q -a 1q 2|=10, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=53,q =3或⎩⎨⎧a 1=-5,q =-1.故a n =53·3n -1或a n =-5·(-1)n -1. (2)若a n =53·3n -1,则1a n=35⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1,则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35,公比为13的等比数列. 从而∑n =1m 1a n =35⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13m 1-13=910·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13m <910<1. 若a n =-5·(-1)n -1,则1a n=-15(-1)n -1,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为-15,公比为-1的等比数列, 从而∑n =1m1a n =⎩⎪⎨⎪⎧-15,m =2k -1(k ∈N *),0,m =2k (k ∈N *),故∑n =1m 1a n<1.综上,对任何正整数m ,总有∑n =1m 1a n<1.故不存在正整数m ,使得1a 1+1a 2+…+1a n≥1成立.规律方法 等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,在使用等比数列的前n 项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.【训练2】 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.(2)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=________.解析 (1)显然公比q ≠1,由题意可知9(1-q 3)1-q =1-q 61-q,解得q =2,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公比的等比数列,由求和公式可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和T 5=3116.(2)显然公比q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1,a 1(1-q 3)1-q=7,解得⎩⎨⎧a 1=4,q =12或⎩⎨⎧a 1=9,q =-13(舍去),∴S 5=a 1(1-q 5)1-q =4⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1251-12=314.答案 (1)3116 (2)314考点三 等比数列性质的应用【例3】 (1)(·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ).A .7B .5C .-5D .-7(2)等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,若S 10S 5=3132,则公比q =________.解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=2,a 5a 6=a 4a 7=-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=4,a 7=-2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=-2,a 7=4.当a 4=4,a 7=-2时,易得a 1=-8,a 10=1,从而a 1+a 10=-7; 当a 4=-2,a 7=4时,易得a 10=-8,a 1=1,从而a 1+a 10=-7. (2)由S 10S 5=3132,a 1=-1知公比q ≠1,则S 10-S 5S 5=-132.由等比数列前n 项和的性质知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,且公比为q 5,故q 5=-132,q =-12. 答案 (1)D (2)-12规律方法 熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度,历年高考对等比数列的性质考查较多,主要是考查“等积性”,题目“小而巧”且背景不断更新.解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质,不要把两者的性质搞混.【训练3】 (1)已知x ,y ,z ∈R ,若-1,x ,y ,z ,-3成等比数列,则xyz 的值为 ( ). A .-3 B .±3 C .-3 3D .±3 3(2)(·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 3=2-1,a 5=2+1,则a 23+2a 2a 6+a 3a 7=( ).A .4B .6C .8D .8-4 2解析(1)由等比中项知y2=3,∴y=±3,又∵y与-1,-3符号相同,∴y=-3,y2=xz,所以xyz=y3=-3 3.(2)由等比数列性质,得a3a7=a25,a2a6=a3a5,所以a23+2a2a6+a3a7=a23+2a3a5+a25=(a3+a5)2=(2-1+2+1)2=(22)2=8.答案(1)C(2)C1.等比数列的判定方法有以下几种:(1)定义:a n+1a n=q(q是不为零的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(2)通项公式:a n=cq n-1(c、q均是不为零的常数,n∈N*)⇔{a n}是等比数列.(3)等比中项法:a2n+1=a n·a n+2(a n·a n+1·a n+2≠0,n∈N*)⇔{a n}是等比数列.2.方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法:在a1,q,n,a n,S n五个量中,知三求二.3.在求解与等比数列有关的问题时,除了要灵活地运用定义和公式外,还要注意等比数列性质的应用,以减少运算量而提高解题速度.教你审题6——如何确定数列中的项【典例】(·山东卷)在等差数列{a n}(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对任意m∈N*列{b m}的前m项和S m.[审题]一审条件❶:根据性质转化为先求a4,再结合a9求a1和d.二审条件❷:转化为求{b m}的通项公式,尽而再求S m.三审结构:由9m <a n <92m 得9m -1+1≤n ≤92m -1.解 (1)由a 3+a 4+a 5=84,可得3a 4=84,即a 4=28,而a 9=73,则5d =a 9-a 4=45,即d =9.又a 1=a 4-3d =28-27=1,所以a n =1+(n -1)×9=9n -8,即a n =9n -8(n ∈N *).(2)对任意m ∈N *,9m <9n -8<92m ,则9m +8<9n <92m +8, 即9m -1+89<n <92m -1+89,而n ∈N *,所以9m -1+1≤n ≤92m -1. 由题意,可知b m =92m -1-9m -1.于是S m =b 1+b 2+…+b m =91+93+…+92m -1-(90+91+…+9m -1)=9-92m +11-92-1-9m 1-9=92m +1-980-9m -18=92m +1-10×9m +180,即S m =92m +1-10×9m +180.[反思感悟] 本题第(2)问设置了落入区间内的项构成新数列,这是对考生数学能力的挑战,由通项公式及已知区间建立不等式求项数,进而得到所求数列{b m }的通项公式是解答该问题的核心与关键. 【自主体验】(·许昌模拟)已知点(1,2)是函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的图象上一点,数列{a n }的前n 项和S n =f (n )-1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n }前2 013项中的第3项,第6项,…,第3k 项删去,求数列{a n }前2 013项中剩余项的和.解 (1)把点(1,2)代入函数f (x )=a x ,得a =2. ∴S n =f (n )-1=2n -1,当n =1时,a 1=S 1=21-1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n -1)-(2n -1-1)=2n -1,经验证可知n =1时,也适合上式,∴a n =2n -1.(2)由(1)知数列{a n }为等比数列,公比为2,故其第3项,第6项,…,第2 013项也为等比数列,首项a 3=23-1=4,公比23=8,a 2 013=22 102=4×8671-1为其第671项,∴此数列的和为4(1-8671)1-8=4(22 013-1)7,又数列{a n }的前2 013项和为S 2 103=1×(1-22 013)1-2=22 013-1,∴所求剩余项的和为(22 013-1)-4(22 013-1)7=3(22 013-1)7.基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(·六安二模)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n -2,n ∈N *,则 ( ).A .{a n }是递增的等比数列B .{a n }是递增数列,但不是等比数列C .{a n }是递减的等比数列D .{a n }不是等比数列,也不单调 解析 ∵S n =3n -2,∴S n -1=3n -1-2,∴a n =S n -S n -1=3n -2-(3n -1-2)=2×3n -1(n ≥2), 当n =1时,a 1=S 1=1不适合上式,但a 1<a 2<a 3<…. 答案 B2.(·广州模拟)已知等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n .若S 3=72,则S 6等于( ). A.312 B.632 C .63D.1272解析 S 3=a 1(1-23)1-2=7a 1=72,所以a 1=12.所以S 6=a 1(1-26)1-2=63a 1=632.答案 B3.(·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ).A.13 B .-13 C.19D .-19解析 由题知q ≠1,则S 3=a 1(1-q 3)1-q =a 1q +10a 1,得q 2=9,又a 5=a 1q 4=9,则a 1=19. 答案 C4.在等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21,则公比q 的值为 ( ). A .1 B .-12 C .1或-12 D .-1或12解析 根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=7,a 1+a 1q +a 1q 2=21.得1+q +q 2q 2=3.整理得2q 2-q -1=0,解得q =1或-12. 答案 C5.(·浙江十校联考)若方程x 2-5x +m =0与x 2-10x +n =0的四个根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则m ∶n 值为 ( ).A.14B.12 C .2D .4解析 设方程x 2-5x +m =0的两根为x 1,x 2,方程x 2-10x +n =0的两根为x 3,x 4.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=5,x 1·x 2=m ,⎩⎪⎨⎪⎧x 3+x 4=10,x 3·x 4=n ,由题意知x 1=1,x 2=4,x 3=2,x 4=8,∴m =4,n =16,∴m ∶n =14. 答案 A 二、填空题6.(·江西九校联考)实数项等比数列{a n }的前n 项的和为S n ,若S 10S 5=3132,则公比q 等于________.解析 首先q ≠1,因为若q =1,则S 10S 5=2,当q ≠1时,S 10S 5=a 1(1-q 10)1-q a 1(1-q 5)1-q=1-q 101-q 5=(1-q 5)(1+q 5)1-q 5=3132,q 5=-132,q =-12. 答案 -127.在等比数列{a n }中,a 1+a 2=30,a 3+a 4=60,则a 7+a 8=________. 解析 ∵a 1+a 2=a 1(1+q )=30,a 3+a 4=a 1q 2(1+q )=60,∴q 2=2,∴a 7+a 8=a 1q 6(1+q )=[a 1(1+q )]·(q 2)3=30×8=240. 答案 2408.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1,S n ,S n +2成等差数列,则q 的值为________.解析 由已知条件,得2S n =S n +1+S n +2, 即2S n =2S n +2a n +1+a n +2,即a n +2a n +1=-2.答案 -2 三、解答题9.在数列{a n }中,已知a 1=-1,且a n +1=2a n +3n -4(n ∈N *). (1)求证:数列{a n +1-a n +3}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n .(1)证明 令b n =a n +1-a n +3,则b n +1=a n +2-a n +1+3=2a n +1+3(n +1)-4-2a n -3n +4+3=2(a n +1-a n +3)=2b n ,即b n +1=2b n .由已知得a 2=-3,于是b 1=a 2-a 1+3=1≠0.所以数列{a n +1-a n +3}是以1为首项,2为公比的等比数列. (2)解 由(1)可知b n =a n +1-a n +3=2n -1, 即2a n +3n -4-a n +3=2n -1, ∴a n =2n -1-3n +1(n ∈N *), 于是S n =(1+2+22+…+2n -1)-3(1+2+3+…+n )+n =1-2n 1-2-3×n (n +1)2+n=2n-3n 2+n 2-1.10.(·济南期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2=4,a 3+a 4=17. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +2,证明数列{b n }是等比数列并求其前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d .由题意知⎩⎨⎧a 3+a 4=a 1+2d +a 1+3d =17,a 2=a 1+d =4, 解得a 1=1,d =3, ∴a n =3n -2(n ∈N *).(2)证明:由题意知,b n =2a n +2=23n (n ∈N *), b n -1=23(n -1)=23n -3(n ∈N *,n ≥2),∴b n b n -1=23n 23n -3=23=8(n ∈N *,n ≥2),又b 1=8, ∴{b n }是以b 1=8,公比为8的等比数列, T n =8(1-8n )1-8=87(8n -1).能力提升题组 (建议用时:25分钟)一、选择题1.(·兰州模拟)已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( ). A .-15 B .-5 C .5D.15解析 由log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *),得log 3a n +1-log 3a n =1且a n >0,即log 3a n +1an =1,解得a n +1a n =3,所以数列{a n }是公比为3的等比数列.因为a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)q 3,所以a 5+a 7+a 9=9×33=35.所以log 13(a 5+a 7+a 9)=log 1335=-log 335=-5. 答案 B2.(·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为22,则2a 7+a 11的最小值是( ).A .16B .8C .2 2D .4解析 由题意知a 4·a 14=(22)2=a 29,即a 9=2 2.设公比为q (q >0),所以2a 7+a 11=2a 9q 2+a 9q 2=42q 2+22q 2≥ 242q 2×22q 2=8,当且仅当42q2=22q 2,即q =42时取等号,其最小值为8. 答案 B 二、填空题3.(·江苏卷)在正项等比数列{a n }中,a 5=12,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+…+a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________.解析 由已知条件得12q +12q 2=3,即q 2+q -6=0,解得q =2或q =-3(舍去), a n =a 5qn -5=12×2n -5=2n -6,a 1+a 2+…+a n =132(2n -1),a 1a 2…a n =2-52-42-3…2n -6=,由a 1+a 2+…+a n >a 1a 2…a n ,可知2n -5-2-5>,可求得n 的最大值为12,而当n =13时,28-2-5<213,所以n 的最大值为12. 答案 12 三、解答题4.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n =S n -1S n(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列, 所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5, 即4a 5=a 3,于是q 2=a 5a 3=14.又{a n }不是递减数列且a 1=32,所以q =-12. 故等比数列{a n }的通项公式为 a n =32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1=(-1)n -1·32n . (2)由(1)得S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n =⎩⎪⎨⎪⎧1+12n ,n 为奇数,1-12n ,n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1=32,故0<S n -1S n≤S 1-1S 1=32-23=56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34=S 2≤S n <1,故0>S n -1S n ≥S 2-1S 2=34-43=-712.综上,对于n∈N*,总有-712≤S n-1S n≤56.所以数列{T n}最大项的值为56,最小项的值为-712.。

【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)数列求和教学案

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第四节数_列_求_和[知识能否忆起]一、公式法1.如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式,注意等比数列公比q 的取值情况要分q =1或q ≠1.2.一些常见数列的前n 项和公式: (1)1+2+3+4+…+n =n n +12;(2)1+3+5+7+…+2n -1=n 2; (3)2+4+6+8+…+2n =n 2+n . 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1.倒序相加法如果一个数列{a n },首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法,等差数列的前n 项和即是用此法推导的.2.分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,等比数列的前n 项和就是用此法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.[小题能否全取]1.(2012·某某六校联考)设数列{(-1)n}的前n 项和为S n ,则对任意正整数n ,S n =( )A.n [-1n-1]2B.-1n -1+12C.-1n+12 D.-1n-12解析:选 D 因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以S n =-1--1n×-11--1=-1n-12. 2.等差数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,其前n 项的和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A .120B .70C .75D .100 解析:选C ∵S n =n a 1+a n2=n (n +2),∴S n n =n +2.故S 11+S 22+…+S 1010=75. 3.数列a 1+2,…,a k +2k ,…,a 10+20共有十项,且其和为240,则a 1+…+a k +…+a 10的值为( )A .31B .120C .130D .185解析:选C a 1+…+a k +…+a 10=240-(2+…+2k +…+20)=240-2+20×102=240-110=130.4.若数列{a n }的通项公式为a n =2n+2n -1,则数列{a n }的前n 项和为________. 解析:S n =21-2n1-2+n 1+2n -12=2n +1-2+n 2.答案:2n +1+n 2-25.数列12×4,14×6,16×8,…,12n 2n +2,…的前n 项和为________.解析:因a n =12n2n +2=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1则S n =14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+12-13+…+1n -1n +1=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1=n4n +1. 答案:n4n +1数列求和的方法(1)一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和.(2)解决非等差、等比数列的求和,主要有两种思路:①转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.②不能转化为等差或等比数列的数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.分组转化法求和典题导入[例1] (2011·某某高考)等比数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a 1,a 2,a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:b n =a n +(-1)nln a n ,求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [自主解答] (1)当a 1=3时,不合题意;当a 1=2时,当且仅当a 2=6,a 3=18时,符合题意; 当a 1=10时,不合题意.因此a 1=2,a 2=6,a 3=18.所以公比q =3,故a n =2·3n -1.(2)因为b n =a n +(-1)n ln a n =2·3n -1+(-1)n ln(2·3n -1)=2·3n -1+(-1)n(ln 2-ln3)+(-1)nn ln 3,所以S 2n =b 1+b 2+…+b 2n =2(1+3+…+32n -1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)2n2n ]ln 3=2×1-32n1-3+n ln 3=32n+n ln 3-1.由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若a n =b n ±,且{b n },{}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.(2)通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧b n ,n 为奇数,,n 为偶数的数列,其中数列{b n },{}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.以题试法1.已知数列{x n }的首项x 1=3,通项x n =2n p +nq (n ∈N *,p ,q 为常数),且x 1,x 4,x 5成等差数列.求:(1)p ,q 的值;(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式.解:(1)由x 1=3,得2p +q =3,又因为x 4=24p +4q ,x 5=25p +5q ,且x 1+x 5=2x 4,得3+25p +5q =25p +8q ,解得p =1,q =1.(2)由(1),知x n =2n+n ,所以S n =(2+22+…+2n )+(1+2+…+n )=2n +1-2+n n +12.错位相减法求和典题导入[例2] (2012·某某高考)已知数列{a n }的前n 项和S n =k -k (其中c ,k 为常数),且a 2=4,a 6=8a 3.(1)求a n ;(2)求数列{na n }的前n 项和T n .[自主解答] (1)由S n =k -k ,得a n =S n -S n -1=k -k -1(n ≥2). 由a 2=4,a 6=8a 3 ,得kc (c -1)=4,kc 5(c -1)=8kc 2(c -1),解得⎩⎪⎨⎪⎧c =2,k =2,所以a 1=S 1=2,a n =k -k -1=2n(n ≥2), 于是a n =2n.(2)T n =∑i =1nia i =∑i =1ni ·2i,即T n =2+2·22+3·23+4·24+…+n ·2n.T n =2T n -T n =-2-22-23-24-…-2n +n ·2n +1=-2n +1+2+n ·2n +1=(n -1)2n +1+2.由题悟法用错位相减法求和应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.以题试法2.(2012·某某模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =3n+k . (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足a n +12=(4+k )a n b n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)当n ≥2时,由a n =S n -S n -1=3n+k -3n -1-k =2·3n -1,得等比数列{a n }的公比q =3,首项为2.∴a 1=S 1=3+k =2,∴k =-1,∴数列{a n }的通项公式为a n =2·3n -1.(2)由a n +12=(4+k )a n b n ,可得b n =n2·3n -1, 即b n =32·n 3n .∵T n =32⎝ ⎛⎭⎪⎫13+232+333+…+n 3n ,∴13T n =32⎝ ⎛⎭⎪⎫132+233+334+…+n 3n +1,∴23T n =32⎝ ⎛⎭⎪⎫13+132+133+…+13n -n 3n +1,∴T n =94⎝ ⎛⎭⎪⎫12-12·3n -n 3n +1.裂项相消法求和典题导入[例3] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =na n -n (n -1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =2a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .[自主解答] (1)∵S n =na n -n (n -1),当n ≥2时,S n -1=(n -1)·a n -1-(n -1)(n -2),∴a n =S n -S n -1=na n -n (n -1)-(n -1)a n -1+(n -1)·(n -2), 即a n -a n -1=2.∴数列{a n }是首项a 1=1,公差d =2的等差数列, 故a n =1+(n -1)·2=2n -1,n ∈N *.(2)由(1)知b n =2a n a n +1=22n -12n +1=12n -1-12n +1, 故T n =b 1+b 2+…+b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+⎝ ⎛⎭⎪⎫15-17+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1-12n +1=1-12n +1=2n 2n +1.本例条件不变,若数列{b n }满足b n =1S n +n,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:S n =na n -n (n -1)=n (2n -1)-n (n -1)=n 2.b n =1S n +n =1n 2+n =1n n +1=1n -1n +1,T n =⎝⎛⎭⎪⎫11-12+⎝⎛⎭⎪⎫12-13+⎝⎛⎭⎪⎫13-14+…+⎝⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=1-1n +1=nn +1.由题悟法利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项; (2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{a n }是等差数列,则1a n a n +1=1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -1a n +1,1a n a n +2=12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n -1a n +2. 以题试法3.(2012·“江南十校”联考)在等比数列{a n }中,a 1>0,n ∈N *,且a 3-a 2=8,又a 1、a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 4a n ,数列{b n }的前n 项和为S n ,是否存在正整数k ,使得1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n<k 对任意n ∈N *恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;不存在,请说明理由. 解:(1)设数列{a n }的公比为q ,由题意可得a 3=16, ∵a 3-a 2=8,则a 2=8,∴q =2. ∴a n =2n +1.(2)∵b n =log 42n +1=n +12,∴S n =b 1+b 2+…+b n =n n +34.∵1S n =4nn +3=43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +3, ∴1S 1+1S 2+1S 3+…+1S n=43⎝ ⎛⎭⎪⎫11-14+12-15+13-16+…+1n -1n +3=43⎝⎛⎭⎪⎫1+12+13-1n +1-1n +2-1n +3<229,∴存在正整数k 的最小值为3.1.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116D.158解析:选C 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1,且91-q 31-q=1-q 61-q,解得q =2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公比的等比数列,由求和公式可得S 5=3116.2.已知数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn (a 、b ∈R ),且S 25=100,则a 12+a 14等于( ) A .16 B .8 C .4 D .不确定解析:选B 由数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn (a 、b ∈R ),可知数列{a n }是等差数列,由S 25=a 1+a 25×252=100,解得a 1+a 25=8,所以a 1+a 25=a 12+a 14=8.3.数列112,314,518,7116,…,(2n -1)+12n ,…的前n 项和S n 的值等于( )A .n 2+1-12nB .2n 2-n +1-12nC .n 2+1-12n -1D .n 2-n +1-12n解析:选A 该数列的通项公式为a n =(2n -1)+12n ,则S n =[1+3+5+…+(2n -1)]+⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+…+12n =n 2+1-12n .4.(2012·“江南十校”联考)若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q =2,则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1的结果可化为( )A .1-14nB .1-12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1-14n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n解析:选C a n =2n -1,设b n =1a n a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫122n -1, 则T n =b 1+b 2+…+b n =12+⎝ ⎛⎭⎪⎫123+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫122n -1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n 1-14=23⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n .5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100解析:选A 设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d .∵a 5=5,S 5=15,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+4d =5,5a 1+5×5-12d =15,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =1,∴a n =a 1+(n -1)d =n .∴1a n a n +1=1nn +1=1n -1n +1,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n +1的前100项和为1-12+12-13+…+1100-1101=1-1101=100101.6.已知函数f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时,-n 2当n 为偶数时,且a n =f (n )+f (n +1),则a 1+a 2+a 3+…+a 100等于( )A .0B .100C .-100D .10 200解析:选B 由题意,a 1+a 2+a 3+…+a 100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100.7.在等差数列{a n }中,S n 表示前n 项和,a 2+a 8=18-a 5,则S 9=________. 解析:由等差数列的性质及a 2+a 8=18-a 5, 得2a 5=18-a 5,则a 5=6, 故S 9=a 1+a 9×92=9a 5=54.答案:548.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,{a n }的“差数列”的通项公式为2n,则数列{a n }的前n 项和S n =________.解析:∵a n +1-a n =2n ,∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =2n -1+2n -2+…+22+2+2=2-2n1-2+2=2n -2+2=2n.∴S n =2-2n +11-2=2n +1-2.答案:2n +1-29.已知等比数列{a n }中,a 1=3,a 4=81,若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n +1的前n 项和S n =________.解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4a 1=q 3=27,解得q =3.所以a n =a 1q n -1=3×3n -1=3n,故b n =log 3a n =n ,所以1b n b n +1=1nn +1=1n -1n +1. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n +1的前n 项和为1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=n n +1.答案:nn +110.(2013·某某统考)在等比数列{a n }中,a 2a 3=32,a 5=32.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ,求S 1+2S 2+…+nS n . 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2=32,a 1q 4=32,解得a 1=2,q =2,故a n =2·2n -1=2n.(2)∵S n 表示数列{a n }的前n 项和, ∴S n =21-2n1-2=2(2n-1),∴S 1+2S 2+…+nS n =2[(2+2·22+…+n ·2n )-(1+2+…+n )]=2(2+2·22+…+n ·2n )-n (n +1),设T n =2+2·22+…+n ·2n,① 则2T n =22+2·23+…+n ·2n +1,②①-②,得-T n =2+22+…+2n -n ·2n +1=21-2n1-2-n ·2n +1=(1-n )2n +1-2,∴T n =(n -1)2n +1+2,∴S 1+2S 2+…+nS n =2[(n -1)2n +1+2]-n (n +1)=(n -1)2n +2+4-n (n +1).11.(2012·某某调研)已知等差数列{a n }满足:a 5=9,a 2+a 6=14. (1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =a n +qa n (q >0),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则由a 5=9,a 2+a 6=14,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+4d =9,2a 1+6d =14,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2,所以{a n }的通项a n =2n -1.(2)由a n =2n -1得b n =2n -1+q 2n -1.当q >0且q ≠1时,S n =[1+3+5+…+(2n -1)]+(q 1+q 3+q 5+…+q 2n -1)=n 2+q 1-q 2n1-q2; 当q =1时,b n =2n ,则S n =n (n +1). 所以数列{b n }的前n 项和S n =⎩⎪⎨⎪⎧n n +1,q =1,n 2+q 1-q 2n1-q 2,q >0,q ≠1.12.(2012·“江南十校”联考)若数列{a n }满足:a 1=23,a 2=2,3(a n +1-2a n +a n -1)=2.(1)证明:数列{a n +1-a n }是等差数列;(2)求使1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n >52成立的最小的正整数n .解:(1)由3(a n +1-2a n +a n -1)=2可得:a n +1-2a n +a n -1=23,即(a n +1-a n )-(a n -a n -1)=23,故数列{a n +1-a n }是以a 2-a 1=43为首项,23为公差的等差数列.(2)由(1)知a n +1-a n =43+23(n -1)=23(n +1),于是累加求和得a n =a 1+23(2+3+…+n )=13n (n +1),∴1a n =3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, ∴1a 1+1a 2+1a 3+…+1a n =3-3n +1>52,∴n >5, ∴最小的正整数n 为6.1.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-6n ,则{|a n |}的前n 项和T n =( ) A .6n -n 2B .n 2-6n +18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n -n 21≤n ≤3n 2-6n +18n >3 D.⎩⎪⎨⎪⎧6n -n 21≤n ≤3n 2-6n n >3解析:选C ∵由S n =n 2-6n 得{a n }是等差数列,且首项为-5,公差为2. ∴a n =-5+(n -1)×2=2n -7, ∴n ≤3时,a n <0,n >3时,a n >0,∴T n =⎩⎪⎨⎪⎧6n -n 21≤n ≤3,n 2-6n +18n >3.2.(2012·某某二模)若数列{a n }满足a 1=2且a n +a n -1=2n+2n -1,S n 为数列{a n }的前n项和,则log 2(S 2 012+2)=________.解析:因为a 1+a 2=22+2,a 3+a 4=24+23,a 5+a 6=26+25,….所以S 2 012=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2 011+a 2 012=21+22+23+24+…+22 011+22 012=21-22 0121-2=22 013-2.故log 2(S 2 012+2)=log 222 013=2 013.答案:2 0133.已知递增的等比数列{a n }满足:a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =a n log 12a n ,S n =b 1+b 2+…+b n ,求S n .解:(1)设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q . 依题意,有2(a 3+2)=a 2+a 4, 代入a 2+a 3+a 4=28,得a 3=8. ∴a 2+a 4=20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q +a 1q 3=20,a 3=a 1q 2=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧q =2,a 1=2,或⎩⎪⎨⎪⎧q =12,a 1=32.又{a n }为递增数列, ∴⎩⎪⎨⎪⎧q =2,a 1=2.∴a n =2n.(2)∵b n =2n ·log 122n =-n ·2n,∴-S n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n.①∴-2S n =1×22+2×23+3×24+…+(n -1)×2n +n ×2n +1.②①-②得S n =2+22+23+…+2n -n ·2n +1=21-2n1-2-n ·2n +1=2n +1-n ·2n +1-2.∴S n =2n +1-n ·2n +1-2.1.已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列. (1)求数列{a n }的通项; (2)求数列{2a n }的前n 项和S n .解:(1)由题设知公差d ≠0,由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数列得1+2d 1=1+8d1+2d ,解得d =1或d =0(舍去), 故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n . (2)由(1)知2a n =2n, 由等比数列前n 项和公式得S n =2+22+23+ (2)=21-2n1-2=2n +1-2.2.设函数f (x )=x 3,在等差数列{a n }中,a 3=7,a 1+a 2+a 3=12,记S n =f (3a n +1),令b n =a n S n ,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n .(1)求{a n }的通项公式和S n ; (2)求证:T n <13.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,由a 3=a 1+2d =7,a 1+a 2+a 3=3a 1+3d =12,解得a 1=1,d =3,则a n =3n -2.∵f (x )=x 3,∴S n =f (3a n +1)=a n +1=3n +1. (2)证明:∵b n =a n S n =(3n -2)(3n +1), ∴1b n=13n -23n +1=13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -2-13n +1.∴T n =1b 1+1b 2+…+1b n=13⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14+14-17+…+13n -2-13n +1=13⎝ ⎛⎭⎪⎫1-13n +1.∴T n <13. 3.已知二次函数f (x )=x 2-5x +10,当x ∈(n ,n +1](n ∈N *)时,把f (x )在此区间内的整数值的个数表示为a n .(1)求a 1和a 2的值; (2)求n ≥3时a n 的表达式; (3)令b n =4a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和S n (n ≥3).解:(1)f (x )=x 2-5x +10,又x ∈(n ,n +1](n ∈N *)时,f (x )的整数个数为a n ,所以f (x )在(1,2]上的值域为[4,6)⇒a 1=2;f (x )在(2,3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤154,4⇒a 2=1.(2)当n ≥3时,f (x )是增函数,故a n =f (n +1)-f (n )=2n -4.(3)由(1)和(2)可知,b 1=42×1=2,b 2=41×2=2.而当n ≥3时,b n =42n -42n -2=2⎝⎛⎭⎪⎫12n -4-12n -2.所以当n ≥3时,S n =b 1+b 2+b 3+b 4+…+b n=2+2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫12-14+14-16+…+12n -4-12n -2 =4+2⎝ ⎛⎭⎪⎫12-12n -2=5-1n -1.。

2014届高考数学一轮复习教学案等比数列及其前n项和含解析

2014届高考数学一轮复习教学案等比数列及其前n项和含解析

等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1a n=q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a 、G 、b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即:G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab .2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1.(2)前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q ,q ≠1.3.等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2r (m ,n ,p ,q ,r ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2r . 特别地,a 1a n =a 2a n -1=a 3a n -2=….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中,数列a m ,a m +k ,a m +2k ,a m +3k ,…仍是等比数列,公比为q k ;数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…仍是等比数列(此时q ≠-1); a n =a m q n-m.[小题能否全取]1.(教材习题改编)等比数列{a n }中,a 4=4,则a 2·a 6等于( ) A .4 B .8 C .16D .32解析:选C a 2·a 6=a 24=16.2.已知等比数列{a n }的前三项依次为a -1,a +1,a +4,则a n =( )A .4·⎝⎛⎭⎫32nB .4·⎝⎛⎭⎫23n C .4·⎝⎛⎭⎫32n -1D .4·⎝⎛⎭⎫23n -1 解析:选C (a +1)2=(a -1)(a +4)⇒a =5, a 1=4,q =32,故a n =4·⎝⎛⎭⎫32n -1. 3.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3,a 2+a 3=6,则a 7=( ) A .64 B .81 C .128D .243解析:选A q =a 2+a 3a 1+a 2=2,故a 1+a 1q =3⇒a 1=1,a 7=1×27-1=64.4.(2011·北京高考)在等比数列{a n }中,若a 1=12,a 4=4,则公比q =________;a 1+a 2+…+a n =________.解析:a 4=a 1q 3,得4=12q 3,解得q =2,a 1+a 2+…+a n =12(1-2n )1-2=2n -1-12.答案:2 2n -1-125.(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =________.解析:∵S 3+3S 2=0,∴a 1+a 2+a 3+3(a 1+a 2)=0, ∴a 1(4+4q +q 2)=0. ∵a 1≠0,∴q =-2. 答案:-2 1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看,等比数列的任意项都是非零的,公比q 也是非零常数. (2)由a n +1=qa n ,q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0. 2.等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的,注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形导致解题失误.等比数列的判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n +S n =n . (1)设c n =a n -1,求证:{c n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.[自主解答] (1)证明:∵a n +S n =n ,① ∴a n +1+S n +1=n +1.② ②-①得a n +1-a n +a n +1=1, ∴2a n +1=a n +1,∴2(a n +1-1)=a n -1, ∴a n +1-1a n -1=12.∵首项c 1=a 1-1,又a 1+a 1=1, ∴a 1=12,c 1=-12.又c n =a n -1,故{c n }是以-12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)可知c n =⎝⎛⎭⎫-12·⎝⎛⎭⎫12n -1=-⎝⎛⎭⎫12n , ∴a n =c n +1=1-⎝⎛⎭⎫12n.在本例条件下,若数列{b n }满足b 1=a 1,b n =a n -a n -1(n ≥2),证明{b n }是等比数列. 证明:∵由(2)知a n =1-⎝⎛⎭⎫12n , ∴当n ≥2时,b n =a n -a n -1 =1-⎝⎛⎭⎫12n -⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n -1 =⎝⎛⎭⎫12n -1-⎝⎛⎭⎫12n =⎝⎛⎭⎫12n .又b 1=a 1=12也符合上式,∴b n =⎝⎛⎭⎫12n . ∵b n +1b n =12,∴数列{b n }是等比数列.由题悟法等比数列的判定方法(1)定义法:若a n +1a n =q (q 为非零常数,n ∈N *)或a na n -1=q (q 为非零常数且n ≥2,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(2)等比中项法:若数列{a n }中,a n ≠0且a 2n +1=a n ·a n +2(n ∈N *),则数列{a n }是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成a n =c ·q n (c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *),则{a n }是等比数列.以题试法1. (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )=log a x ,且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n +1-log a a n =2,则数列{a n }()A .一定是等比数列B .一定是等差数列C .既是等差数列又是等比数列D .既不是等差数列又不是等比数列解析:选A 由log a a n +1-log a a n =2,得log a a n +1a n =2=log a a 2,故a n +1a n=a 2.又a >0且a ≠1,所以数列{a n }为等比数列.等比数列的基本运算典题导入[例2] (2011·全国高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 2=6,6a 1+a 3=30,求a n 和S n .[自主解答] 设{a n }的公比为q ,由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q =6,6a 1+a 1q 2=30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=3,q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,q =3.当a 1=3,q =2时,a n =3×2n -1,S n =3×(2n -1); 当a 1=2,q =3时,a n =2×3n -1,S n =3n -1.由题悟法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.2.在使用等比数列的前n 项和公式时,应根据公比q 的情况进行分类讨论,切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式.以题试法2.(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=2,且a 2,a 4,a 8成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{3a n }的前n 项和.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0). 因为a 2,a 4,a 8成等比数列, 所以(2+3d )2=(2+d )·(2+7d ), 解得d =2.所以a n =2n (n ∈N *).(2)由(1)知3a n =32n ,设数列{3a n }的前n 项和为S n , 则S n =32+34+…+32n =9(1-9n )1-9=98(9n -1).等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中,若a 3a 4a 5=3π,则sin(log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7)的值为( )A.12 B.32C .1D .-32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6∶S 3=1∶2,则S 9∶S 3等于( ) A .1∶2 B .2∶3 C .3∶4D .1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5=3π=a 34,所以a 4=3π3.log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7 =log 3(a 1a 2…a 7)=log 3a 74 =7log 33π3=7π3,故sin(log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 7)=32. (2)由等比数列的性质:S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列,于是(S 6-S 3)2=S 3·(S 9-S 6), 将S 6=12S 3代入得S 9S 3=34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,它们的通项公式和性质有许多相似之处,其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比.关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握,同时也有利于类比思想的推广.对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算,若能关注通项公式a n =f (n )的下标n 的大小关系,可简化题目的运算.以题试法3.(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( )A .7B .5C .-5D .-7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=14,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=( )A .16(1-4-n ) B .16(1-2-n ) C.323(1-4-n )D.323(1-2-n ) 解析:(1)选D 法一:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=a 1q 3+a 1q 6=2,a 5a 6=a 1q 4×a 1q 5=a 21q 9=-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-2,a 1=1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-12,a 1=-8,故a 1+a 10=a 1(1+q 9)=-7.法二:由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4+a 7=2,a 5a 6=a 4a 7=-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=-2,a 7=4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=4,a 7=-2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-2,a 1=1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3=-12,a 1=-8,故a 1+a 10=a 1(1+q 9)=-7. (2)选C ∵a 2=2,a 5=14,∴a 1=4,q =12,a n a n +1=⎝⎛⎭⎫122n -5. 故a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=8⎝⎛⎭⎫1-14n 1-14=323(1-4-n ).1.设数列{a n }是等比数列,前n 项和为S n ,若S 3=3a 3,则公比q 为( ) A .-12 B .1C .-12或1D.14解析:选C 当q =1时,满足S 3=3a 1=3a 3. 当q ≠1时,S 3=a 1(1-q 3)1-q =a 1(1+q +q 2)=3a 1q 2,解得q =-12,综上q =-12或q =1.2.(2012·东城模拟)设数列{a n }满足:2a n =a n +1(a n ≠0)(n ∈N *),且前n 项和为S n ,则S 4a 2的值为( )A.152 B.154 C .4D .2解析:选A 由题意知,数列{a n }是以2为公比的等比数列,故S 4a 2=a 1(1-24)1-2a 1×2=152.3.(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 10=( )A .4B .5C .6D .7解析:选B ∵a 3·a 11=16,∴a 27=16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数,∴a 7=4. 又∵a 10=a 7q 3=4×23=25,∴log 2a 10=5.4.已知数列{a n },则“a n ,a n +1,a n +2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n +1=a n a n +2”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件解析:选A 显然,n ∈N *,a n ,a n +1,a n +2成等比数列,则a 2n +1=a n a n +2,反之,则不一定成立,举反例,如数列为1,0,0,0,…5.(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2,S 3n =14,则S 4n 等于( )A .80B .30C .26D .16解析:选B 设S 2n =a ,S 4n =b ,由等比数列的性质知: 2(14-a )=(a -2)2,解得a =6或a =-4(舍去), 同理(6-2)(b -14)=(14-6)2,所以b =S 4n =30.6.已知方程(x 2-mx +2)(x 2-nx +2)=0的四个根组成以12为首项的等比数列,则mn =( )A.32 B.32或23C.23D .以上都不对解析:选B 设a ,b ,c ,d 是方程(x 2-mx +2)(x 2-nx +2)=0的四个根,不妨设a <c <d <b ,则a ·b =c ·d =2,a =12,故b =4,根据等比数列的性质,得到c =1,d =2,则m =a +b =92,n =c +d =3,或m =c +d =3,n =a +b =92,则m n =32或m n =23.7.已知各项不为0的等差数列{a n },满足2a 3-a 27+2a 11=0,数列{b n}是等比数列,且b 7=a 7,则b 6b 8=________.解析:由题意可知,b 6b 8=b 27=a 27=2(a 3+a 11)=4a 7,∵a 7≠0,∴a 7=4,∴b 6b 8=16. 答案:168.(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比不为1.若a 1=1,则对任意的n ∈N *,都有a n +2+a n +1-2a n =0,则S 5=________.解析:由题意知a 3+a 2-2a 1=0,设公比为q ,则a 1(q 2+q -2)=0.由q 2+q -2=0解得q =-2或q =1(舍去),则S 5=a 1(1-q 5)1-q=1-(-2)53=11.答案:119.(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列,若a 3-a 1=6,则a 1=________;1a 21+1a 22+…+1a 2n=________. 解析:∵{a n }是公比为2的等比数列,且a 3-a 1=6,∴4a 1-a 1=6,即a 1=2,故a n =a 12n-1=2n ,∴1a n =⎝⎛⎭⎫12n ,1a 2n =⎝⎛⎭⎫14n ,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14,公比为14的等比数列, ∴1a 21+1a 22+…+1a 2n =14⎝⎛⎭⎫1-14n 1-14=13⎝⎛⎭⎫1-14n . 答案:2 13⎝⎛⎭⎫1-14n 10.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 3+…+a 2n +1.解:(1)∵S 1=a 1=1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列,∴S n =2n -1, 又当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -2(2-1)=2n -2.∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -2,n ≥2.(2)a 3,a 5,…,a 2n +1是以2为首项,以4为公比的等比数列, ∴a 3+a 5+…+a 2n +1=2(1-4n )1-4=2(4n -1)3.∴a 1+a 3+…+a 2n +1=1+2(4n -1)3=22n +1+13.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,其中a n ≠0,a 1为常数,且-a 1,S n ,a n +1成等差数列. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1-S n ,问:是否存在a 1,使数列{b n }为等比数列?若存在,求出a 1的值;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意,得2S n =a n +1-a 1.当n ≥2时,有⎩⎪⎨⎪⎧2S n =a n +1-a 1,2S n -1=a n -a 1.两式相减,得a n +1=3a n (n ≥2). 又因为a 2=2S 1+a 1=3a 1,a n ≠0,所以数列{a n }是首项为a 1,公比为3的等比数列. 因此,a n =a 1·3n -1(n ∈N *). (2)因为S n =a 1(1-3n )1-3=12a 1·3n -12a 1,b n =1-S n =1+12a 1-12a 1·3n .要使{b n }为等比数列,当且仅当1+12a 1=0,即a 1=-2.所以存在a 1=-2,使数列{b n }为等比数列.12. (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105,且a 10=2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意m ∈N *,将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解:(1)设数列{a n }的公差为d ,前n 项和为T n , 由T 5=105,a 10=2a 5, 得⎩⎨⎧5a 1+5×(5-1)2d =105,a 1+9d =2(a 1+4d ),解得a 1=7,d =7.因此a n =a 1+(n -1)d =7+7(n -1)=7n (n ∈N *).(2)对m ∈N *,若a n =7n ≤72m ,则n ≤72m -1.因此b m =72m -1.所以数列{b m }是首项为7,公比为49的等比数列,故S m =b 1(1-q m )1-q =7×(1-49m )1-49=7×(72m -1)48=72m +1-748.1.若数列{a n }满足a 2n +1a 2n=p (p 为正常数,n ∈N *),则称数列{a n }为“等方比数列”.甲:数列{a n }是等方比数列;乙:数列{a n }是等比数列,则甲是乙的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B 若a 2n +1a 2n =p ,则a n +1a n =±p ,不是定值;若a n +1a n =q ,则a 2n +1a 2n=q 2,且q 2为正常数,故甲是乙的必要不充分条件.2.(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则q =________.解析:法一:S 4=S 2+a 3+a 4=3a 2+2+a 3+a 4=3a 4+2,将a 3=a 2q ,a 4=a 2q 2代入得, 3a 2+2+a 2q +a 2q 2=3a 2q 2+2,化简得2q 2-q -3=0,解得q =32(q =-1不合题意,舍去). 法二:设等比数列{a n }的首项为a 1,由S 2=3a 2+2,得 a 1(1+q )=3a 1q +2.①由S 4=3a 4+2,得a 1(1+q )(1+q 2)=3a 1q 3+2.②由②-①得a 1q 2(1+q )=3a 1q (q 2-1).∵q >0,∴q =32. 答案:323.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =4a n -3(n ∈N *).(1)证明:数列{a n }是等比数列;(2)若数列{b n }满足b n +1=a n +b n (n ∈N *),且b 1=2,求数列{b n }的通项公式. 解:(1)证明:依题意S n =4a n -3(n ∈N *),n =1时,a 1=4a 1-3,解得a 1=1.因为S n =4a n -3,则S n -1=4a n -1-3(n ≥2),所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=4a n -4a n -1,整理得a n =43a n -1. 又a 1=1≠0,所以{a n }是首项为1,公比为43的等比数列. (2)因为a n =⎝⎛⎭⎫43n -1,由b n +1=a n +b n (n ∈N *),得b n +1-b n =⎝⎛⎭⎫43n -1. 可得b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n -1)=2+1-⎝⎛⎭⎫43n -11-43=3·⎝⎛⎭⎫43n -1-1(n ≥2), 当n =1时也满足,所以数列{b n }的通项公式为b n =3·⎝⎛⎭⎫43n -1-1. 1.(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n +1,则S n =( )A .2n -1B.⎝⎛⎭⎫32n -1C.⎝⎛⎭⎫23n -1D.12n -1 解析:选B ∵S n =2a n +1,∴当n ≥2时,S n -1=2a n ,∴a n =S n -S n -1=2a n +1-2a n ,∴3a n =2a n +1,∴a n +1a n =32. 又∵S 1=2a 2,∴a 2=12,∴a 2a 1=12, ∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列,∴S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =1+12⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫32n -11-32=⎝⎛⎭⎫32n -1. ( 也可以先求出n ≥2时,a n =3n -22n -1,再利用S n =2a n +1,求得S n =⎝⎛⎭⎫32n -1 ) 2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,S 3,S 2成等差数列.(1)求{a n }的公比q ;(2)若a 1-a 3=3,求S n .解:(1)依题意有a 1+(a 1+a 1q )=2(a 1+a 1q +a 1q 2).由于a 1≠0,故2q 2+q =0,又q ≠0,从而q =-12. (2)由(1)可得a 1-a 1⎝⎛⎭⎫-122=3. 故a 1=4,从而S n =4⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-12n 1-⎝⎛⎭⎫-12=83⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-12n . 3.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1+c 2b 2+…+c n b n=a n +1成立,求c 1+c 2+c 3+…+c 2 013. 解:(1)∵a 2=1+d ,a 5=1+4d ,a 14=1+13d ,∴(1+4d )2=(1+d )(1+13d ).∵d >0,故解得d =2.∴a n =1+(n -1)·2=2n -1.又b 2=a 2=3,b 3=a 5=9,∴数列{b n }的公比为3,∴b n =3·3n -2=3n -1.(2)由c 1b 1+c 2b 2+…+c n b n=a n +1得 当n ≥2时,c 1b 1+c 2b 2+…+c n -1b n -1=a n . 两式相减得:n ≥2时,c n b n=a n +1-a n =2. ∴c n =2b n =2·3n -1(n ≥2).。

高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和讲解与练习 理 新人教A版

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第三节等比数列及其前n项和[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中,识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算,如2012年新课标全国T5,浙江T13等.2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用,如2012年湖北T18等.[归纳·知识整合] 1.等比数列的相关概念相关名词等比数列{a n}的有关概念及公式定义a n+1a n=q(q是常数且q≠0,n∈N*)或a na n-1=q(q是常数且q≠0,n∈N*且n≥2)通项公式a n=a1q n-1=a m·q n-m前n 项和公式 S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q =1a 11-q n 1-q=a 1-a n q1-q q ≠1等比中项设a ,b 为任意两个同号的实数,则a ,b 的等比中项G =±ab[探究] 1.b 2=ac 是a ,b ,c 成等比数列的什么条件?提示:b 2=ac 是a ,b ,c 成等比数列的必要不充分条件,因为当b =0时,a ,c 至少有一个为零时,b 2=ac 成立,但a ,b ,c 不成等比数列;若a ,b ,c 成等比数列,则必有b 2=ac .2.如何理解等比数列{a n }与指数函数的关系? 提示:等比数列{a n }的通项公式a n =a 1qn -1可改写为a n =a 1q·q n.当q >0,且q ≠1时,y=q x是一个指数函数,而y =a 1q·q x是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列{a n }的图象是函数y =a 1q·q x的图象上的一群孤立的点.2.等比数列的性质(1)对任意的正整数m ,n ,p ,q ,若m +n =p +q 则a m ·a n =a p ·a q . 特别地,若m +n =2p ,则a m ·a n =a 2p .(2)若等比数列前n 项和为S n 则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍成等比数列,即(S 2m -S m )2=S m (S 3m-S 2m )(m ∈N *,公比q ≠-1).(3)数列{a n }是等比数列,则数列{pa n }(p ≠0,p 是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n+3k,…为等比数列,公比为q k.[自测·牛刀小试]1.在等比数列{a n }中,如果公比q <1,那么等比数列{a n }是( ) A .递增数列 B .递减数列C .常数列D .无法确定数列的增减性解析:选D 当a 1>0,0<q <1,数列{a n }为递减数列,当q <0,数列{a n }为摆动数列. 2.(教材习题改编)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 5a 6+a 4a 7=18,则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=( )A .12B .10C .8D .2+log 35解析:选B ∵数列{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=9, ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3(a 1·a 2·…·a 10)=log 3(a 5a 6)5=5log 3a 5a 6=5log 39=10.3.(教材习题改编)在等比数列{a n }中,若a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,则a 3=________.解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4-1=15,a 1q 3-q =6.∴q 2-1≠0,q 4-1q 3-q =52.∴2q 2-5q +2=0,解得q =12或q =2.当q =2时,a 1=1,∴a 3=a 1q 2=4. 当q =12时,a 1=-16,∴a 3=a 1q 2=-4.答案:4或-44.在等比数列{a n }中,a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,则a 3+a 5的值为________. 解析:由等比数列性质,已知转化为a 23+2a 3a 5+a 25=25, 即(a 3+a 5)2=25,又a n >0,故a 3+a 5=5. 答案:55.在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别是________. 解析:设等比数列的公比为q ,则4=q 4.即q =± 2. 当q =2时,插入的三个数是2,2,2 2. 当q =-2时,插入的三个数是-2,2,-2 2. 答案:2,2,22或-2,2,-2 2等比数列的基本运算[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( )A .7B .5C .-5D .-7(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列,且a 25=a 10,2(a n +a n +2)=5a n +1,则数列{a n }的通项公式a n =________.(3)(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则q =________.[自主解答] (1)设数列{a n }的公比为q ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=2,a 5·a 6=a 4·a 7=-8,得⎩⎪⎨⎪⎧a 4=4,a 7=-2,或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=-2,a 7=4,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,q 3=-12,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q 3=-2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,a 10=1,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 10=-8,所以a 1+a 10=-7.(2)∵2(a n +a n +2)=5a n +1,∴2a n +2a n ·q 2=5a n ·q , 即2q 2-5q +2=0, 解得q =2或q =12(舍去).又∵a 25=a 10=a 5·q 5, ∴a 5=q 5=25=32. ∴32=a 1·q 4,解得a 1=2. ∴a n =2×2n -1=2n ,故a n =2n.(3)由S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2作差可得a 3+a 4=3a 4-3a 2,即2a 4-a 3-3a 2=0,所以2q 2-q -3=0,解得q =32或q =-1(舍去).[答案] (1)D (2)2n(3)32———————————————————等比数列运算的通法与等差数列一样,求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式a n =a 1·q n -1(a 1q ≠0)及前n 项和公式S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 11-q n1-q,q ≠1中共有五个变量,已知其中的三个变量,可以通过构造方程或方程组求另外两个变量,在求公比q 时,要注意应用q ≠0验证求得的结果.1.(1)(2013·海淀模拟)在等数列{a n }中,a 1=8,a 4=a 3a 5,则a 7=( )A.116 B.18 C.14D.12(2)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=( ) A.152 B.314 C.334D.172解析:(1)选B 在等比数列{a n }中,a 24=a 3a 5,又a 4=a 3a 5,所以a 4=1,故q =12,所以a 7=18.(2)选B 显然公比q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1,a 11-q 31-q =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,q =12,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,q =-13,(舍去)故S 5=a 11-q51-q=4⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1251-12=314.等比数列的判定与证明[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明数列{b n }是等比数列; (2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列,并求a n .[自主解答] (1)证明:∵由a 1=1,及S n +1=4a n +2, 有a 1+a 2=4a 1+2,a 2=3a 1+2=5,∴b 1=a 2-2a 1=3. 由S n +1=4a n +2,①知当n ≥2时,有S n =4a n -1+2,② ①-②得a n +1=4a n -4a n -1, ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1). 又∵b n =a n +1-2a n ,∴b n =2b n -1.∴{b n }是首项b 1=3,公比q =2的等比数列. (2)由(1)可得b n =a n +1-2a n =3×2n -1,∴a n +12n +1-a n 2n =34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12,公差为34的等差数列.∴a n 2n =12+(n -1)34=34n -14. a n =(3n -1)×2n -2.———————————————————等比数列的判定方法(1)定义法:若a n +1a n =q (q 为非零常数,n ∈N *)或a n a n -1=q (q 为非零常数且n ≥2,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(2)等比中项公式法:若数列{a n }中,a n ≠0且a 2n +1=a n ·a n +2(n ∈N *),则数列{a n }是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成a n =c ·q n(c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(4)前n 项和公式法:若数列{a n }的前n 项和S n =k ·q n-k (k 为常数且k ≠0,q ≠0,1),则{a n }是等比数列.注意:前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.2.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是等比数列.解:(1)设成等差数列的三个正数分别为a -d ,a ,a +d . 依题意,得a -d +a +a +d =15,解得a =5. 所以{b n }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d .依题意,有(7-d )(18+d )=100,解得d =2或d =-13(舍去).故{b n }的第3项为5,公比为2.由b 3=b 1·22,即5=b 1×22,解得b 1=54.所以{b n }是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54×2n -1=5×2n -3.(2)证明:由(1)得数列{b n }的前n 项和S n =541-2n1-2=5×2n -2-54,即S n +54=5×2n -2.所以S 1+54=52,S n +1+54S n +54=5×2n -15×2n -2=2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是以52为首项,以2为公比的等比数列.等比数列的性质及应用[例3] (1)在等比数列{a n }中,若a 1·a 2·a 3·a 4=1,a 13·a 14·a 15·a 16=8,则a 41·a 42·a 43·a 44=________.(2)已知数列{a n }为等比数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *,若a 1+a 2+a 3=3,a 4+a 5+a 6=6,则S 12=________.[自主解答] (1)法一:a 1·a 2·a 3·a 4=a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3=a 41·q 6=1,①a 13·a 14·a 15·a 16=a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15=a 41·q 54=8,② 由②÷①,得a 41·q 54a 41·q6=q 48=8⇒q 16=2,又a 41·a 42·a 43·a 44=a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43=a 41·q 166=a 41·q 6·q 160=(a 41·q 6)·(q 16)10=1·210=1 024.法二:由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为q ,T 1=a 1·a 2·a 3·a 4=1,T 4=a 13·a 14·a 15·a 16=8,∴T 4=T 1·q 3=1·q 3=8,即q =2.∴T 11=a 41·a 42·a 43·a 44=T 1·q 10=210=1 024.(2)法一:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4+a 5+a 6a 1+a 2+a 3=a 1·q 3+a 2·q 3+a 3·q 3a 1+a 2+a 3=q 3=63,即q 3=2.故S 12=(a 1+a 2+a 3)+(a 4+a 5+a 6)+(a 7+a 8+a 9)+(a 10+a 11+a 12)=(a 1+a 2+a 3)+(a 1·q 3+a 2·q 3+a 3·q 3)+(a 1·q 6+a 2·q 6+a 3·q 6)+(a 1·q 9+a 2·q 9+a 3·q 9)=(a 1+a 2+a 3)+(a 1+a 2+a 3)q 3+(a 1+a 2+a 3)q 6+(a 1+a 2+a 3)q 9=(a 1+a 2+a 3)(1+q 3+q 6+q 9)=3×(1+2+22+23)=45.法二:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4+a 5+a 6a 1+a 2+a 3=q 3=63,即q 3=2.因为S 6=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=9,S 12-S 6=a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12,所以S 12-S 6S 6=a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= a 1·q 6+a 2·q 6+a 3·q 6+a 4·q 6+a 5·q 6+a 6·q 6a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=q 6=4.所以S 12=5S 6=45. [答案] (1)1 024 (2)45———————————————————等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类:①通项公式的变形,②等比中项的变形,③前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.3.已知等比数列前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和.解:∵S n=2,其后2n项为S3n-S n=S3n-2=12,∴S3n=14.由等比数列的性质知S n,S2n-S n,S3n-S2n成等比数列,即(S2n-2)2=2·(14-S2n)解得S2n=-4,或S2n=6.当S2n=-4时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…是首项为2,公比为-3的等比数列,则S6n=S n+(S2n-S n)+…+(S6n-S5n)=-364,∴再后3n项的和为S6n-S3n=-364-14=-378.当S2n=6时,同理可得再后3n项的和为S6n-S3n=126-14=112.故所求的和为-378或112.3个防范——应用等比数列的公比应注意的问题(1)注意q=1时,S n=na,这一特殊情况.(2)由a n +1=qa n (q ≠0),并不能断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.(3)在应用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1和q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情况而导致错误.4个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量:a 1,q ,n ,a n ,S n ,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a 1与q ,在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组,是解题的关键.(2)整体思想:当公比q ≠1时,S n =a 11-q n 1-q =a 11-q ·(1-q n),令a 11-q =t ,则S n =t (1-q n ).把a 11-q与q n当成一个整体求解,也可简化运算.(3)分类讨论思想:在应用等比数列前n 项和公式时,必须分类求和,当q =1时,S n=na 1;当q ≠1时,S n =a 11-q n1-q;在判断等比数列单调性时,也必须对a 1与q 分类讨论.(4)函数思想:在等比数列{a n }中,a n =a 1q·q n,它的各项是函数y =a 1q·q x图象上的一群孤立的点,可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性),注意函数思想在等比数列问题中的应用.创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题1.在新情境下先定义一个新数列,然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题,同时,数列也常与函数、不等式等形成交汇命题.2.对于此类新定义问题,我们要弄清其本质,然后根据所学的数列的性质即可快速解决.[典例] (2012·湖北高考)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x ),如果对于任意给定的等比数列{a n },{f (a n )}仍是等比数列,则称f (x )为“保等比数列函数”,现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f (x )=x 2;②f (x )=2x;③f (x )=|x |;④f (x )=ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A .①② B .③④ C .①③D .②④[解析] 法一:设{a n }的公比为q . ①f (a n )=a 2n ,∵a 2n +1a 2n =⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +1a n 2=q 2, ∴{f (a n )}是等比数列.排除B 、D. ③f (a n )=|a n |, ∵|a n +1||a n |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n +1a n =|q |, ∴{f (a n )}是等比数列. 法二:不妨令a n =2n.①因为f (x )=x 2,所以f (a n )=4n .显然{f (2n)}是首项为4,公比为4的等比数列. ②因为f (x )=2x,所以f (a 1)=f (2)=22,f (a 2)=f (4)=24,f (a 3)=f (8)=28,所以f a 2f a 1=2422=4≠f a 3f a 2=2824=16,所以{f (a n )}不是等比数列.③因为f (x )=|x |,所以f (a n )=2n=(2)n. 显然{f (a n )}是首项为2,公比为2的等比数列. ④因为f (x )=ln|x |,所以f (a n )=ln 2n =n ln 2. 显然{f (a n )}是首项为ln 2,公差为ln 2的等差数列. [答案] C [名师点评]1.本题具有以下创新点(1)命题背景新颖:本题是以“保等比数列函数”为新定义背景,考查等比数列的有关性质.(2)考查内容创新:本题没有直接指明判断等比数列的有关性质,而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合,对学生灵活处理问题的能力有较高要求.2.解决本题的关键有以下两点(1)迅速脱掉“新定义”的外衣,认清本题的实质是:已知数列{a n }为正项等比数列,判断数列{a 2n },{2a n },{|a n |}及{ln|a n |}是否为等比数列问题.(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键. [变式训练]1.已知方程(x 2-mx +2)(x 2-nx +2)=0的四个根组成以12为首项的等比数列,则m n =( )A.32 B.32或23 C.23D .以上都不对解析:选B 设a ,b ,c ,d 是方程(x 2-mx +2)(x 2-nx +2)=0的四个根,不妨设a <c <d <b ,则a ·b =c ·d =2,a =12,故b =4,根据等比数列的性质,得到c =1,d =2,则m =a +b=92,n =c +d =3,或m =c +d =3,n =a +b =92,则m n =32或m n =23. 2.设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数,且对任意的实数x ,y ∈R ,都有f (x )·f (y )=f (x +y ),若a 1=12,a n =f (n )(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1 解析:选D 由已知可得a 1=f (1)=12,a 2=f (2)=[f (1)]2=⎝ ⎛⎭⎪⎫122,a 3=f (3)=f (2)·f (1)=[f (1)]3=⎝ ⎛⎭⎪⎫123,…,a n =f (n )=[f (1)]n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,∴S n =12+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫123+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵n ∈N *,∴12≤S n <1.一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.已知等比数列{a n }的前三项依次为a -1,a +1,a +4,则a n =( )A .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1D .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1解析:选C (a +1)2=(a -1)(a +4)⇒a =5,a 1=4,q =32,故a n =4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.2.(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 10=( )A .4B .5C .6D .7解析:选B 由题意可知a 3a 11=a 27=16,因为{a n }为正项等比数列,所以a 7=4.所以log 2a 10=log 2(a 7×23)=log 225=5.3.各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ) A .33 B .72 C .84D .189解析:选C ∵a 1+a 2+a 3=21,∴a 1+a 1·q +a 1·q 2=21,3+3×q +3×q 2=21, 1+q +q 2=7,解得q =2或q =-3.∵a n >0,∴q =2,a 3+a 4+a 5=21×q 2=21×4=84.4.(2013·西安模拟)已知a ,b ,m ,n ,x ,y 均为正数,且a ≠b ,若a ,m ,b ,x 成等差数列,a ,n ,b ,y 成等比数列,则有( )A .m >n ,x >yB .m >n ,x <yC .m <n ,x <yD .m <n ,x >y解析:选B ∵m =a +b2,n =ab (a ≠b ),∴m >n .又2b =m +x ,由b 2=ny ,得b =ny , 即2ny =m +x ≥2mx ,∴ny ≥mx , 即ny ≥mx ,y x ≥mn>1.∴y >x .5.已知等比数列{a n }中,a 1=2,a 5=18,则a 2a 3a 4等于( ) A .36 B .216 C .±36D .±216解析:选B 由等比数列的性质得a 23=a 1·a 5=2×18=36, 又a 3=a 1q 2=2q 2>0,故a 3=6. 所以a 2a 3a 4=a 33=216.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n +1,则S n =( ) A .2n -1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1D.12n -1解析:选B 利用等比数列知识求解. ∵S n =2a n +1,∴当n ≥2时,S n -1=2a n .∴a n =S n -S n -1=2a n +1-2a n .∴3a n =2a n +1. ∴a n +1a n =32. 又∵S 1=2a 2,∴a 2=12.∴a 2a 1=12.∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列.∴S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =1+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -11-32=⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1⎝⎛也可以先求出n ≥2时,a n =3n -22n -1,再利用S n =2a n +1,⎭⎪⎫求得S n =⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =________. 解析:∵S 3+3S 2=0,即a 1+a 2+a 3+3(a 1+a 2)=0, ∴a 1(4+4q +q 2)=0. ∵a 1≠0,∴q =-2. 答案:-28.若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ,n 满足a m +n =a m a n ,且a 3=22,那么a 12=________.解析:令m =1,则a n +1=a n a 1⇒a 1=q ,a 3=a 1q 2=22⇒q 3=22,a 12=q 12=64. 答案:649.(2013·聊城模拟)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a ,b∈R ,满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ),f (2)=2,a n =f 2n n (n ∈N *),b n =f 2n 2n(n ∈N *),考察下列结论.①f (0)=f (1);②f (x )为偶函数;③数列{a n }为等比数列;④{b n }为等差数列.其中正确的是________.解析:令a =0,b =0,则f (0)=0,令a =b =1, 则f (1)=2f (1),故f (0)=f (1)=0; 设a =-1,b =x ,因为f (1)=f [(-1)×(-1)]=-2f (-1), 则f (-1)=0,所以f (-x )=-f (x )+xf (-1)=-f (x ),f (x )为奇函数;f (2n)=2f (2n -1)+2n -1f (2)=2f (2n -1)+2n⇒f 2n2n=f 2n -12n -1+1,则{b n }为等差数列;∵b 1=f 22=1,∴b n =1+(n -1)×1=n .∴f 2n2n =n ,a n =f 2n n=2n,则数列{a n }为等比数列.答案:①③④三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 10.数列{a n }中,S n =1+ka n (k ≠0,k ≠1). (1)证明:数列{a n }为等比数列; (2)求通项a n ;(3)当k =-1时,求和a 21+a 22+…+a 2n . 解:(1)∵S n =1+ka n ,①S n -1=1+ka n -1,②①-②得S n -S n -1=ka n -ka n -1(n ≥2), ∴(k -1)a n =ka n -1,a n a n -1=k k -1为常数,n ≥2. ∴{a n }是公比为kk -1的等比数列.(2)∵S 1=a 1=1+ka 1,∴a 1=11-k. ∴a n =11-k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k -1n -1=-kn -1k -1n.(3)∵{a n }中a 1=11-k ,q =k k -1,∴{a 2n }是首项为⎝⎛⎭⎪⎫1k -12,公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k -12的等比数列.当k =-1时,等比数列{a 2n }的首项为14,公比为14,∴a 21+a 22+…+a 2n =14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1-14=13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .11.设数列{a n }是一等差数列,数列{b n }的前n 项和为S n =23(b n -1),若a 2=b 1,a 5=b 2.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)∵S 1=23(b 1-1)=b 1,∴b 1=-2.又S 2=23(b 2-1)=b 1+b 2=-2+b 2,∴b 2=4.∴a 2=-2,a 5=4.∵{a n }为等差数列, ∴公差d =a 5-a 23=63=2, 即a n =-2+(n -2)·2=2n -6. (2)∵S n +1=23(b n +1-1),①S n =23(b n -1),②①-②得S n +1-S n =23(b n +1-b n )=b n +1,∴b n +1=-2b n .∴数列{b n }是等比数列,公比q =-2,首项b 1=-2, ∴b n =(-2)n. ∴S n =23[(-2)n-1].12.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1+c 2b 2+…+c n b n=a n +1成立,求c 1+c 2+c 3+…+c 2 013. 解:(1)∵由已知得a 2=1+d ,a 5=1+4d ,a 14=1+13d , ∴(1+4d )2=(1+d )(1+13d ), 解得d =2或d =0(舍去).∴a n =1+(n -1)·2=2n -1(n ∈N *). 又b 2=a 2=3,b 3=a 5=9, ∴数列{b n }的公比为3. ∴b n =3·3n -2=3n -1(n ∈N *).(2)由c 1b 1+c 2b 2+…+c n b n=a n +1得 当n ≥2时,c 1b 1+c 2b 2+…+c n -1b n -1=a n . 两式相减得,n ≥2时,c n b n=a n +1-a n =2. ∴c n =2b n =2·3n -1(n ≥2).又当n =1时,c 1b 1=a 2, ∴c 1=3.∴c n =⎩⎪⎨⎪⎧3n =1,2·3n -1n ≥2.∴c 1+c 2+c 3+…+c 2 013=3+6-2×32 0131-3=3+(-3+32 013)=32 013.1.已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A .5 2 B .7 C .6D .4 2解析:选A 法一:由等比中项的性质知a 1a 2a 3=(a 1a 3)·a 2=a 32=5,a 7a 8a 9=(a 7a 9)·a 8=a 38=10,所以a 2a 8=5013,所以a 4a 5a 6=(a 4a 6)·a 5=a 35=(a 2a 8)3=(5016)3=5 2.法二:由等比数列的性质知a 1a 2a 3,a 4a 5a 6,a 7a 8a 9构成等比数列,所以(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)=(a 4a 5a 6)2,即a 4a 5a 6=±5×10=±52,又数列各项均为正数,所以a 4a 5a 6=5 2.2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6∶S 3=1∶2,则S 9∶S 3等于( ) A .1∶2 B .2∶3 C .3∶4D .1∶3解析:选C 由等比数列的性质:S 3、S 6-S 3、S 9-S 6仍成等比数列,于是(S 6-S 3)2=S 3·(S 9-S 6),将S 6=12S 3代入得S 9S 3=34.3.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=4,a 4a 5a 6=212. (1)求首项a 1和公比q 的值;21 (2)若S n =210-1,求n 的值.解:(1)∵a 4a 5a 6=a 35=212⇒a 5=16, ∴a 5a 3=q 2=4⇒q =2,a 1q 2=a 3,解得a 1=1. (2)由S n =210-1,得S n =a 1q n -1q -1=2n-1, ∴2n -1=210-1⇒2n =210,即n =10.4.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=a n +a n +12,n ∈N *.(1)令b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等比数列;(2)求{a n }的通项公式.解:(1)b 1=a 2-a 1=1, 当n ≥2时,b n =a n +1-a n =a n -1+a n2-a n =-12(a n -a n -1)=-12b n -1,所以{b n }是以1为首项,以-12为公比的等比数列.(2)由(1)知b n =a n +1-a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1,当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =1+1+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -2=1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -11-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=1+23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1 =53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1,又a 1=1也符合上式,所以{a n }的通项公式为 a n =53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1(n ∈N *).。

2014届高考数学一轮复习名师首选第6章29《等比数列及其前n项和》学案

2014届高考数学一轮复习名师首选第6章29《等比数列及其前n项和》学案

学案29 等比数列及其前n 项和导学目标: 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.自主梳理1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的________,通常用字母______表示(q ≠0).2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则它的通项a n =____________. 3.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m ·________ (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则__________________.(3)若{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n } (λ≠0),⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列.(4)单调性:⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0,q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列;⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0,0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1⇔{a n }是________数列;q =1⇔{a n }是____数列;q <0⇔{a n }是________数列. 5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0),其前n 项和为S n ,当q =1时,S n =na 1;当q ≠1时,S n =a 1-q n 1-q =a 1q n -q -1=a 1q n q -1-a 1q -1.6.等比数列前n 项和的性质公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为______.自我检测1.如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么b =________.2.已知等比数列{a n }的前三项依次为a -2,a +2,a +8,则a n =______________. 3.设{a n }是公比为q 的等比数列,|q |>1,令b n =a n +1 (n =1,2,…),若数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q =________.4.若数列{a n }的前n 项和S n =3n-a ,数列{a n }为等比数列,则实数a 的值为________.5.设f (n )=2+24+27+…+23n +1 (n ∈N *),则f (n )=____________.探究点一 等比数列的基本量运算例 1 已知正项等比数列{a n }中,a 1a 5+2a 2a 6+a 3a 7=100,a 2a 4-2a 3a 5+a 4a 6=36,求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n .变式迁移1 在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n -1=128,S n =126,求n 和q .探究点二 等比数列的判定例2 已知数列{a n }的首项a 1=5,前n 项和为S n ,且S n +1=2S n +n +5,n ∈N *. (1)证明:数列{a n +1}是等比数列; (2)求{a n }的通项公式以及S n .变式迁移 2 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *).(1)求a 2,a 3的值;(2)求证:数列{S n +2}是等比数列.探究点三 等比数列性质的应用例3 在等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=8,且1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=2,求a 3.变式迁移3 (1)已知等比数列{a n }中,有a 3a 11=4a 7,数列{b n }是等差数列,且b 7=a 7,求b 5+b 9的值;(2)在等比数列{a n }中,若a 1a 2a 3a 4=1,a 13a 14a 15a 16=8,求a 41a 42a 43a 44.分类讨论思想与整体思想例 (14分)设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80,它的前2n 项和为6 560,且前n 项中数值最大的项为54,求此数列的第2n 项.【答题模板】解 设数列{a n }的公比为q ,若q =1,则S n =na 1,S 2n =2na 1=2S n . ∵S 2n =6 560≠2S n =160,∴q ≠1,[4分]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1-qn1-q =80, ①a1-q 2n1-q=6 560. ②[6分]将①整体代入②得80(1+q n)=6 560,∴q n=81.[8分]将q n=81代入①得a 1(1-81)=80(1-q ), ∴a 1=q -1,由a 1>0,得q >1, ∴数列{a n }为递增数列.[10分] ∴a n =a 1qn -1=a 1q·q n=81·a 1q=54.∴a 1q =23.[12分] 与a 1=q -1联立可得a 1=2,q =3,∴a 2n =2×32n -1 (n ∈N *).[14分] 【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想:①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q =1和q ≠1两种情况讨论;②研究等比数列的单调性时也应进行讨论:当a 1>0,q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列;当a 1<0,q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列;当q <0时为摆动数列;当q =1时为常数列.(2)函数的思想:等比数列的通项公式a n =a 1qn -1=a 1q·q n(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系.(3)整体思想:应用等比数列前n 项和时,常把q n,a 11-q当成整体求解.本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键,同时将q n和a 1-qn1-q的值整体代入求解,简化了运算,体现了整体代换的思想,在解决有关数列求和的题目时应灵活运用.1.等比数列的通项公式、前n 项和公式分别为a n =a 1q n -1,S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1, q =1,a 1-q n1-q, q ≠1.2.等比数列的判定方法:(1)定义法:即证明a n +1a n=q (q ≠0,n ∈N *) (q 是与n 值无关的常数). (2)中项法:证明一个数列满足a 2n +1=a n ·a n +2 (n ∈N *且a n ·a n +1·a n +2≠0).3.等比数列的性质:(1)a n =a m ·q n -m (n ,m ∈N *);(2)若{a n }为等比数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ·a l =a m ·a n ;(3)设公比不为-1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n.4.在利用等比数列前n 项和公式时,一定要对公比q =1或q ≠1作出判断;计算过程中要注意整体代入的思想方法.5.等差数列与等比数列的关系是:(1)若一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列是非零常数列; (2)若{a n }是等比数列,且a n >0,则{lg a n }构成等差数列.课后练习(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分) 1.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=________.2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,8a 2+a 5=0,则S 5S 2=________.3.在各项都为正数的等比数列{a n }中,a 1=3,前三项的和S 3=21,则a 3+a 4+a 5=________. 4.等比数列{a n }前n 项的积为T n ,若a 3a 6a 18是一个确定的常数,那么数列T 10,T 13,T 17,T 25中也是常数的项是________.5.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=2,S 6=18,则S 10S 5=________.6.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1=1,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为________.7.在等比数列{a n }中,公比q =2,前99项的和S 99=30,则a 3+a 6+a 9+…+a 99=________. 8.在等比数列{a n }中,若公比q =4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式a n =________.二、解答题(共42分)9.(12分)已知{a n }是公差不为零的等差数列,a 1=1,且a 1,a 3,a 9成等比数列. (1)求数列{a n }的通项;(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .10.(14分)已知数列{log 2(a n -1)}为等差数列,且a 1=3,a 2=5. (1)求证:数列{a n -1}是等比数列;(2)求1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n的值.11.(16分)已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1+c 2b 2+…+c n b n=a n +1成立,求c 1+c 2+c 3+…+c 2 010.答案 自主梳理1.公比 q 2.a 1·q n -1 4.(1)q n -m(2)a k ·a l =a m ·a n(4)递增 递减 常 摆动 6.q n自我检测 1.-3解析 由等比数列的性质可得ac =(-1)×(-9)=9,b 2=9且b 与奇数项的符号相同,故b =-3.2.8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1解析 因为{a n }为等比数列,所以(a +2)2=(a -2)(a +8),解得a =10,a -2=8,q =a +2a -2=32, ∴a n =a 1q n -1=8·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.3.-9解析 由题意:等比数列{a n }有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由等比数列的定义知:四项是两个正数、两个负数,故-24,36,-54,81,符合题意,则q =-32,∴6q =-9.4.1解析 可用特殊值法,由S n 得a 1=3-a ,a 2=6,a 3=18,由等比数列的性质可知a =1. 5.27(8n +1-1) 解析 由题意可知,f (n )即为一个以2为首项,公比q =23=8,项数为n +1的等比数列的和.由公式可得f (n )=S n +1=a 1-q n +11-q=-8n +11-8=27(8n +1-1).课堂活动区例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有a 1,a n ,q ,n ,S n 五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利用方程组的思想求解;(2)本例可将所有项都用a 1和q 表示,转化为关于a 1和q 的方程组求解;也可利用等比数列的性质来转化,两种方法目的都是消元转化.解 方法一 由已知得:⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4+2a 21q 6+a 21q 8=100,a 21q 4-2a 21q 6+a 21q 8=36.①②①-②,得4a 21q 6=64,∴a 21q 6=16.③代入①,得16q2+2×16+16q 2=100.解得q 2=4或q 2=14.又数列{a n }为正项数列,∴q =2或12.当q =2时,可得a 1=12,∴a n =12×2n -1=2n -2,S n =12-2n1-2=2n -1-12;当q =12时,可得a 1=32.∴a n =32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=26-n.S n =32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12=64-26-n.方法二 ∵a 1a 5=a 2a 4=a 23,a 2a 6=a 3a 5,a 3a 7=a 4a 6=a 25, 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5+2a 2a 6+a 3a 7=100,a 2a 4-2a 3a 5+a 4a 6=36, 可得⎩⎪⎨⎪⎧a 23+2a 3a 5+a 25=100,a 23-2a 3a 5+a 25=36,即⎩⎪⎨⎪⎧a 3+a 52=100,a 3-a 52=36.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3+a 5=10,a 3-a 5=±6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3=8,a 5=2,或⎩⎪⎨⎪⎧a 3=2,a 5=8.当a 3=8,a 5=2时,q 2=a 5a 3=28=14.∵q >0,∴q =12,由a 3=a 1q 2=8,得a 1=32,∴a n =32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=26-n.S n =32-26-n×121-12=64-26-n.当a 3=2,a 5=8时,q 2=82=4,且q >0,∴q =2.由a 3=a 1q 2,得a 1=24=12.∴a n =12×2n -1=2n -2.S n =12n-2-1=2n -1-12.变式迁移1 解 由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a n -1=a 1·a n =128,a 1+a n =66, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=64,a n =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,a n =64.若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=64,a n =2,则S n =a 1-a n q 1-q =64-2q1-q=126, 解得q =12,此时,a n =2=64·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,∴n =6.若⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2,a n =64,则S n =2-64q1-q=126,∴q =2.∴a n =64=2·2n -1.∴n =6. 综上n =6,q =2或12.例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法:①a n +1a n =q (q 为与n 值无关的常数)(n ∈N *). ②a 2n +1=a n a n +2 (a n ≠0,n ∈N *).(2)证明数列不是等比数列,可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明,也可用反证法.解 (1)由已知S n +1=2S n +n +5,n ∈N *, 可得n ≥2时,S n =2S n -1+n +4,两式相减得S n +1-S n =2(S n -S n -1)+1, 即a n +1=2a n +1,从而a n +1+1=2(a n +1), 当n =1时,S 2=2S 1+1+5, 所以a 2+a 1=2a 1+6, 又a 1=5,所以a 2=11, 从而a 2+1=2(a 1+1),故总有a n +1+1=2(a n +1),n ∈N *,又a 1=5,a 1+1≠0,从而a n +1+1a n +1=2,即数列{a n +1}是首项为6,公比为2的等比数列.(2)由(1)得a n +1=6·2n -1,所以a n =6·2n -1-1,于是S n =-2n 1-2-n =6·2n-n -6.变式迁移2 解 (1)∵a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *),∴当n =1时,a 1=2×1=2;当n =2时,a 1+2a 2=(a 1+a 2)+4,∴a 2=4; 当n =3时,a 1+2a 2+3a 3=2(a 1+a 2+a 3)+6, ∴a 3=8.(2)∵a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n (n ∈N *),① ∴当n ≥2时,a 1+2a 2+3a 3+…+(n -1)a n -1 =(n -2)S n -1+2(n -1).②①-②得na n =(n -1)S n -(n -2)S n -1+2=n (S n -S n -1)-S n +2S n -1+2=na n -S n +2S n -1+2. ∴-S n +2S n -1+2=0,即S n =2S n -1+2, ∴S n +2=2(S n -1+2).∵S 1+2=4≠0,∴S n -1+2≠0,∴S n +2S n -1+2=2,故{S n +2}是以4为首项,2为公比的等比数列.例3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q ”,可以减少运算量,提高解题速度.解 由已知得1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=a 1+a 5a 1a 5+a 2+a 4a 2a 4+a 3a 23=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5a 23=8a 23=2,∴a 23=4,∴a 3=±2.若a 3=-2,设数列的公比为q ,则-2q 2+-2q-2-2q -2q 2=8, 即1q 2+1q +1+q +q 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1q +122+⎝ ⎛⎭⎪⎫q +122+12=-4. 此式显然不成立,经验证,a 3=2符合题意,故a 3=2.变式迁移3 解 (1)∵a 3a 11=a 27=4a 7, ∵a 7≠0,∴a 7=4,∴b 7=4,∵{b n }为等差数列,∴b 5+b 9=2b 7=8.(2)a 1a 2a 3a 4=a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3=a 41q 6=1.① a 13a 14a 15a 16=a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15 =a 41·q 54=8.②②÷①:a 41·q 54a 41·q6=q 48=8⇒q 16=2,又a 41a 42a 43a 44=a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43=a 41·q 166=a 41·q 6·q 160=(a 41·q 6)·(q 16)10=1·210=1 024. 课后练习区 1.314解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列,且a 2a 4=1,∴设{a n }的公比为q ,则q >0,且a 23=1,即a 3=1.∵S 3=7,∴a 1+a 2+a 3=1q 2+1q+1=7,即6q 2-q -1=0.故q =12或q =-13(舍去),∴a 1=1q2=4.∴S 5=-1251-12=8(1-125)=314.2.-11解析 由8a 2+a 5=0,得8a 1q +a 1q 4=0,所以q =-2,则S 5S 2=a 1+25a 1-22=-11. 3.84解析 由题可设等比数列的公比为q ,则-q 31-q=21⇒1+q +q 2=7⇒q 2+q -6=0⇒(q +3)(q -2)=0,根据题意可知q >0,故q =2.所以a 3+a 4+a 5=q 2S 3=4×21=84. 4.T 17解析 a 3a 6a 18=a 31q 2+5+17=(a 1q 8)3=a 39,即a 9为定值,所以下标和为9的倍数的积为定值,可知T 17为定值.5.33解析 因为等比数列{a n }中有S 3=2,S 6=18,即S 6S 3=a1-q 61-q a 1-q 31-q=1+q 3=182=9, 故q =2,从而S 10S 5=a1-q 101-q a1-q 51-q=1+q 5=1+25=33. 6.127解析 ∵公比q 4=a 5a 1=16,且q >0,∴q =2,∴S 7=1-271-2=127.7.1207解析 ∵S 99=30,即a 1(299-1)=30,∵数列a 3,a 6,a 9,…,a 99也成等比数列且公比为8,∴a 3+a 6+a 9+…+a 99=4a 1-8331-8=4a 199-7=47×30=1207.8.4n -1解析 ∵等比数列{a n }的前3项之和为21,公比q =4,不妨设首项为a 1,则a 1+a 1q +a 1q 2=a 1(1+4+16)=21a 1=21,∴a 1=1,∴a n =1×4n -1=4n -1.9.解 (1)由题设知公差d ≠0, 由a 1=1,a 1,a 3,a 9成等比数列,得1+2d 1=1+8d1+2d,…………………………………………………………………………(4分) 解得d =1或d =0(舍去).故{a n }的通项a n =1+(n -1)×1=n .……………………………………………………(7分)(2)由(1)知2a n =2n,由等比数列前n 项和公式,得S n =2+22+23+ (2)=-2n 1-2=2n +1-2.………………………………………………………………………………(12分) 10.(1)证明 设log 2(a n -1)-log 2(a n -1-1)=d (n ≥2),因为a 1=3,a 2=5,所以d =log 2(a 2-1)-log 2(a 1-1)=log 24-log 22=1,…………………………………………………………(3分)所以log 2(a n -1)=n ,所以a n -1=2n,所以a n -1a n -1-1=2 (n ≥2),所以{a n -1}是以2为首项,2为公比的等比数列.………(6分)(2)解 由(1)可得a n -1=(a 1-1)·2n -1,所以a n =2n+1,…………………………………………………………………………(8分)所以1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n +1-a n=122-2+123-22+…+12n +1-2n =12+122+…+12n =1-12n .………………………………………………………………(14分) 11.解 (1)由已知有a 2=1+d ,a 5=1+4d ,a 14=1+13d ,∴(1+4d )2=(1+d )(1+13d ).解得d =2(d =0舍).……………………………………………………………………(2分) ∴a n =1+(n -1)·2=2n -1.………………………………………………………………(5分)又b 2=a 2=3,b 3=a 5=9, ∴数列{b n }的公比为3,∴b n =3·3n -2=3n -1.………………………………………………………………………(8分)(2)由c 1b 1+c 2b 2+…+c n b n=a n +1得当n ≥2时,c 1b 1+c 2b 2+…+c n -1b n -1=a n . 两式相减得:当n ≥2时,c nb n=a n +1-a n =2.……………………………………………(10分)∴c n =2b n =2·3n -1(n ≥2).又当n =1时,c 1b 1=a 2,∴c 1=3.∴c n =⎩⎪⎨⎪⎧3 n =2·3n -1n .………………………………………………………………(12分)∴c 1+c 2+c 3+…+c 2 010=3+6-2×32 0101-3=3+(-3+32 010)=32 010.…………………………………………(16分)。

高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案:5.3 等比数列及其前n项和 word版含答案

高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案:5.3 等比数列及其前n项和 word版含答案

第三节 等比数列及其前n 项和等比数列(1)理解等比数列的概念.(2)掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. (4)了解等比数列与指数函数的关系.知识点一 等比数列的相关概念公式 相关名词 等比数列{a n }的有关概念及公式定义 a n +1a n =q (q 是常数且q ≠0,n ∈N +)或a na n -1=q (q 是常数且q ≠0,n ∈N +且n ≥2) 通项公式a n =a 1q n -1(n ≥2,n ∈N +)前n 项和公式S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1 (q =1),a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q (q ≠1)等比中项设a ,b 为任意两个同号的实数,则a ,b 的等比中项G =±ab易误提醒1.在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形导致解题失误.[自测练习]1.在等比数列{a n }中,若a 1<0,a 2=18,a 4=8,则公比q 等于( ) A.32 B.23 C .-23D.23或-23解析:由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q =18,a 1q 3=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=27,q =23.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-27,q =-23. 又a 1<0,因此q =-23.答案:C2.等比数列x,3x +3,6x +6,…的第四项等于( ) A .-24 B .0 C .12D .24解析:由题意知(3x +3)2=x (6x +6),即x 2+4x +3=0,解得x =-3或x =-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.答案:A知识点二 等比数列的性质设数列{a n }是等比数列,S n 是其前n 项和.1.若m +n =p +q ,则a m a n =a p a q ,其中m ,n ,p ,q ∈N +.特别地,若2s =p +r ,则a p a r =a 2s ,其中p ,s ,r ∈N +. 2.相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即a k ,a k +m ,a k +2m ,…仍是等比数列,公比为q m (k ,m ∈N +).3.若数列{a n },{b n }是两个项数相同的等比数列,则数列{ba n },{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ,p ,q 是非零常数),也是等比数列.4.S m +n =S n +q n S m =S m +q m S n .5.当q ≠-1,或q =-1且k 为奇数时,S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…是等比数列. 6.若a 1·a 2·…·a n =T n ,则T n ,T 2n T n ,T 3n T 2n,…成等比数列.7.若数列{a n }的项数为2n ,则S 偶S 奇=q ;若项数为2n +1,则S 奇-a 1S 偶=q .易误提醒1.在性质中,当q =-1且k 为偶数时,S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k ,…不是等比数列. 2.在运用等比数列及其前n 项和的性质时,要注意字母间的上标、下标的对应关系.[自测练习]3.在等比数列{a n }中,若a 3a 5a 7=-33,则a 2a 8=( ) A .3 B.17 C .9D .13解析:由a 3a 5a 7=-33,∴a 35=-33,又a 2a 8=a 25=3.答案:A4.(2015·唐山期末)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若S 4S 2=3,则S 6S 4=( )A .2 B.73 C.310D .1或2解析:设S 2=k ,S 4=3k ,由数列{a n }为等比数列,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4为等比数列,∴S 2=k ,S 4-S 2=2k ,S 6-S 4=4k ,∴S 6=7k ,S 4=3k ,∴S 6S 4=7k 3k =73,故选B.答案:B考点一 等比数列的基本运算|1.(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( )A .21B .42C .63D .84解析:由于a 1(1+q 2+q 4)=21,a 1=3,所以q 4+q 2-6=0,所以q 2=2(q 2=-3舍去),所以a 3=6,a 5=12,a 7=24,所以a 3+a 5+a 7=42.故选B.答案:B2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=7a 1,则数列{a n }的公比q 的值为( ) A .2 B .3 C .2或-3D .2或3解析:因为S 3=a 1+a 2+a 3=7a 1,所以a 2+a 3=6a 1,即a 1q +a 1q 2=6a 1,q 2+q -6=0,解得q =2或-3,故选C.答案:C3.(2016·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S n a n=( )A .4n -1 B .4n -1 C .2n -1D .2n -1解析:设{a n }的公比为q ,∵⎩⎨⎧a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,∴⎩⎨⎧a 1+a 1q 2=52, ①a 1q +a 1q 3=54, ②由①②可得1+q 2q +q 3=2,∴q =12,代入①得a 1=2,∴a n =2×⎝⎛⎭⎫12n -1=42n ,∴S n =2×⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n 1-12=4⎝⎛⎭⎫1-12n ,∴S n a n =4⎝⎛⎭⎫1-12n 42n =2n -1,选D. 答案:D解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a 1和q ,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q =1时,{a n }的前n 项和S n =na 1;当q ≠1时,{a n }的前n 项和S n =a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q1-q.考点二 等比数列的判定与证明|已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1=a 1,b n =a n -a n -1(n ≥2),且a n +S n =n .(1)设c n =a n -1,求证:{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式. [解] (1)证明:∵a n +S n =n ,① ∴a n +1+S n +1=n +1,②②-①得a n +1-a n +a n +1=1,即2a n +1=a n +1, ∴2(a n +1-1)=a n -1,即2c n +1=c n . 由a 1+S 1=1得a 1=12,∴c 1=a 1-1=-12,从而c n ≠0,∴c n +1c n =12.所以数列{c n }是以-12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)知c n =-12×⎝⎛⎭⎫12n -1=-⎝⎛⎭⎫12n , 又c n =a n -1,∴a n =c n +1=1-⎝⎛⎭⎫12n,∴当n ≥2时,b n =a n -a n -1=1-⎝⎛⎭⎫12n -⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫12n -1=⎝⎛⎭⎫12n -1-⎝⎛⎭⎫12n =⎝⎛⎭⎫12n , 又b 1=a 1=12,适合上式,故b n =⎝⎛⎭⎫12n .等比数列的判定方法(1)定义法:若a n +1a n=q (q 为非零常数,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(2)等比中项法:若数列{a n }中,a n ≠0且a 2n +1=a n ·a n +2(n ∈N *),则数列{a n }是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成a n =c ·q n (c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *),则{a n }是等比数列.1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. 解:(1)证明:∵S n +1=4a n +2, ∴S 2=4a 1+2,即a 1+a 2=4a 1+2, ∴a 2=3a 1+2=5, ∴b 1=a 2-2a 1=3.又a n +1=S n +1-S n =4a n +2-(4a n -1+2)=4a n -4a n -1(n ≥2), ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1)(n ≥2), 即b n =2b n -1(n ≥2),又b 1=3,则b n ≠0,∴b n b n -1=2(n ≥2).从而数列{b n }是以3为首项,以2为公比的等比数列. (2)由(1)知b n =3·2n -1,即a n +1-2a n =3·2n -1 ∴a n +12n -1-a n 2n -2=3且a 12-1=2, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n -2是首项为2,公差为3的等差数列,∴a n2n -2=2+(n -1)×3=3n -1, ∴a n =(3n -1)·2n -2.考点三 等比数列的性质及应用|(1)(2015·衡阳联考)若函数f (x )=log 2x4,在等比数列{a n }中,a 2·a 5·a 8=8,则f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 9)=( )A .-9B .-8C .-7D .-10[解析] 因为a 2·a 5·a 8=8,所以a 5=2,f (a 1)+f (a 2)+…+f (a 9)=log 2a 14+log 2a 24+…+log 2a 94=log 2⎝⎛⎭⎫a 14a 24…a 94=log 2a 9549=log 22949=log 22-9=-9,故选A. [答案] A(2)设等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,已知S 3=8,S 6=7,则a 7+a 8+a 9=( ) A.18 B .-18C.578D.558[解析] 因为a 7+a 8+a 9=S 9-S 6, 在等比数列中S 3,S 6-S 3, S 9-S 6也成等比,即8,-1,S 9-S 6成等比,所以有8(S 9-S 6)=(-1)2,S 9-S 6=18,即a 7+a 8+a 9=18.[答案] A等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类:①通项公式的变形,②等比中项的变形,③前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.2.(2015·呼和浩特调研)已知等比数列{a n }的公比q >0,且a 5·a 7=4a 24,a 2=1,则a 1=( ) A.12 B.22 C. 2D .2解析:利用等比数列的性质求出公比, 再求解a 1.因为{a n }是等比数列,所以a 5a 7=a 26=4a 24,所以a 6=2a 4,q 2=a 6a 4=2,又q >0,所以q =2,a 1=a 2q =22,故选B.答案:B3.等比数列{a n }的首项a 1=-1,前n 项和为S n ,若S 10S 5=3132,则公比q =________.解析:由S 10S 5=3132,a 1=-1知公比q ≠1,S 10-S 5S 5=-132.由等比数列前n 项和的性质知S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列,且公比为q 5,故q 5=-132,q =-12.答案:-1218.分类讨论思想在等比数列中的应用【典例】 (2015·高考湖南卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n +2=3S n -S n +1+3,n ∈N *.(1)证明:a n +2=3a n ; (2)求S n .[思路点拨] (1)利用数列递推关系式,结合a n 和S n 的关系得出结论;(2)利用分类讨论思想写出数列通项,结合等比数列再进行分类求和.[解] (1)证明:由条件,对任意n ∈N *,有a n +2=3S n -S n +1+3, 因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n +1=3S n -1-S n +3. 两式相减,得a n +2-a n +1=3a n -a n +1,即a n +2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1. 故对一切n ∈N *,a n +2=3a n .(2)由(1)知,a n ≠0,所以a n +2a n=3,于是数列{a 2n -1}是首项a 1=1,公比为3的等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列,因此a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(1+3+…+3n -1)+2(1+3+…+3n -1)=3(1+3+…+3n -1)=3(3n -1)2,从而S 2n -1=S 2n -a 2n =3(3n -1)2-2×3n -1=32(5×3n -2-1).综上所述,S n=⎩⎨⎧32(5×3n -32-1),当n 是奇数,32(3n2-1),当n 是偶数.[方法点评] 分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有: (1)已知S n 与a n 的关系,要分n =1,n ≥2两种情况. (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q =1,q ≠1讨论. (3)项数的奇、偶数讨论.(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1,q 的取值的讨论.[跟踪练习] 已知数列{a n }的前n 项和S n =a n -1(a ≠0),则{a n }( ) A .一定是等差数列 B .一定是等比数列C .或者是等差数列,或者是等比数列D .既不可能是等差数列,也不可能是等比数列解析:∵S n =a n-1(a ≠0),∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.即a n =⎩⎪⎨⎪⎧a -1,n =1,(a -1)a n -1,n ≥2. 当a =1时,a n =0,数列{a n }是一个常数列,也是等差数列;当a ≠1时,数列{a n }是一个等比数列.答案:CA 组 考点能力演练1.(2016·太原一模)已知等比数列{a n }单调递减,若a 3=1,a 2+a 4=52,则a 1=( )A .2B .4 C. 2D .2 2解析:设等比数列{a n }的公比为q ,q >0,则a 23=a 2a 4=1,又a 2+a 4=52,且{a n }单调递减,所以a 2=2,a 4=12,q 2=14,q =12,所以a 1=a 2q=4,故选B.答案:B2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n +a n =2n (n ∈N *),则下列数列中一定为等比数列的是( )A .{a n }B .{a n -1}C .{a n -2}D .{S n }解析:由S n +a n =2n (n ∈N *) ①可得S n -1+a n -1=2(n -1)(n ≥2,n ∈N *) ②,①-②得a n =12a n -1+1(n ≥2,n ∈N *),所以a n -2=12(a n -1-2)(n ≥2,n ∈N *),且a 1=1,a 1-2=-1≠0,所以{a n -2}一定是等比数列,故选C.答案:C3.已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ,且公比q ≠1,若T 7=128,则( ) A .a 4=2 B .a 5=2 C .a 6=2D .a 1=2解析:因为T n 为等比数列{a n }的前n 项积,所以T 7=a 74=128,则a 4=2,故选A. 答案:A4.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若2a 1+3a 2=1,a 3=3a 4,则2S n +a n =( ) A .1 B.13 C.12D .2解析:设等比数列{a n }的公比为q ,因为2a 1+3a 2=1,a 3=3a 4,所以2a 1+3a 1q =1 ①,a 1q 2=3a 1q 3 ②,由②得q =13,代入①得a 1=13,所以a n =a 1q n -1=⎝⎛⎭⎫13n ,S n =13×⎝⎛⎭⎫1-13n 1-13=12×⎝⎛⎭⎫1-13n ,则2S n +a n =1. 答案:A5.(2015·衡水二模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,a 1=120,9S 3=S 6,设T n =a 1a 2a 3·…·a n ,则使T n 取最小值的n 的值为( )A .3B .4C .5D .6解析:设等比数列{a n }的公比为q ,由9S 3=S 6知,q ≠1,故9(1-q 3)1-q =1-q 61-q ,解得q =2,又a 1=120,所以a n =a 1q n -1=2n -120.因为T n =a 1a 2a 3·…·a n ,故当T n 取最小值时,a n ≤1,且a n +1≥1,即⎩⎨⎧2n -120≤1,2n20≥1,则n =5,故选C.答案:C6.若正项数列{a n }满足a 2=12,a 6=132,且a n +1a n =a n a n -1(n ≥2,n ∈N *),则log 2a 4=________.解析:由a n +1a n =a n a n -1(n ≥2,n ∈N *)可得数列{a n }是等比数列,所以a 24=a 2a 6=164,又a 4>0,则a 4=18,故log 2a 4=log 2 18=-3.答案:-37.已知在等比数列{a n }中,a 5a 11=6,a 6+a 10=7,则a 7a 9的值是________.解析:因为{a n }是等比数列,所以a 5a 11=a 6a 10=6,又a 6+a 10=7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 6=1,a 10=6或⎩⎪⎨⎪⎧a 6=6,a 10=1,设{a n }的公比为q ,则q 4=6或16,q 2=6或66,所以a 7a 9=1q 2=66或 6.答案:66或 6 8.等比数列的首项是-1,前n 项和为S n ,如果S 10S 5=3132,则S 4的值是________.解析:由已知得S 10S 5=1-q 101-q 5=1+q 5=3132,故q 5=-132,解得q =-12,S 4=(-1)×⎝⎛⎭⎫1-1161+12=-58.答案:-589.(2015·陕西一检)已知正整数数列{a n }是首项为2的等比数列,且a 2+a 3=24. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n3a n,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)设正整数数列{a n }的公比为q ,则2q +2q 2=24, ∴q =3, ∴a n =2×3n -1.(2)∵b n =2n 3a n =2n 3×2×3n -1=n3n , ∴T n =13+232+333+…+n3n ,①∴13T n =132+233+…+n -13n +n3n +1.② 由①-②,得23T n =13+132+133+…+13n -n 3n +1. ∴T n =32⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎫1-13n 1-13-n 3n +1=3n +1-2n -34×3n. 10.已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ,S 18∶S 9=7∶8.(1)求证:S 3,S 9,S 6依次成等差数列;(2)a 7与a 10的等差中项是否是数列{a n }中的项?如果是,是{a n }中的第几项?如果不是,请说明理由.解:(1)证明:设等比数列{a n }的公比为q ,若q =1,则S 18=18a 1,S 9=9a 1,S 18∶S 9=2∶1≠7∶8,∴q ≠1.∴S 18=a 11-q (1-q 18),S 9=a 11-q(1-q 9),S 18∶S 9=1+q 9. ∴1+q 9=78,解得q =-2-13. ∴S 3=a 1(1-q 3)1-q =32×a 11-q ,S 6=a 1(1-q 6)1-q =34×a 11-q ,S 9=a 11-q(1-q 9)=98×a 11-q . ∵S 9-S 3=-38×a 11-q ,S 6-S 9=-38×a 11-q, ∴S 9-S 3=S 6-S 9.∴S 3,S 9,S 6依次成等差数列.(2)a 7与a 10的等差中项等于a 7+a 102=a 1(2-2-2-3)2=a 116, 设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项,则a 1(-2-13)n -1=a 116, 化简得(-2)-n -13=(-2)-4,即-n -13=-4,解得n =13. ∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项.B 组 高考题型专练1.(2014·高考大纲全国卷)等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( )A .6B .5C .4D .3 解析:lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg(a 1·a 2·…·a 8)=lg(a 4·a 5)4=lg(2×5)4=4,故选C. 答案:C2.(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A .2B .1 C.12 D.18解析:设等比数列{a n }的公比为q ,a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),由题可知q ≠1,则a 1q 2×a 1q 4=4(a 1q 3-1),∴116×q 6=4⎝⎛⎭⎫14×q 3-1,∴q 6-16q 3+64=0, ∴(q 3-8)2=0,∴q 3=8,∴q =2.∴a 2=12,故选C. 答案:C3.(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和,若S n =126,则n =________.解析:因为在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,因为S n =126,所以2-2n +11-2=126,解得2n +1=128,所以n =6. 答案:64.(2015·高考湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q .已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d >1时,记c n =a n b n,求数列{c n }的前n 项和T n . 解:(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1+45d =100,a 1d =2, 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+9d =20,a 1d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2,或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=9,d =29. 故⎩⎪⎨⎪⎧ a n =2n -1,b n =2n -1或⎩⎨⎧ a n =19(2n +79),b n =9·⎝⎛⎭⎫29n -1.(2)由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1,故c n =2n -12n -1,于是 T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,① 12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .② ①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n +32n . 故T n =6-2n +32n -1.。

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第三节 等比数列及其前n 项和[备考方向要明了]考什 么怎 么 考1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中,识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算,如2012年新课标全国T5,浙江T13等.2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及性质的综合应用,如2012年湖北T18等.[归纳·知识整合]1.等比数列的相关概念 相关名词 等比数列{a n }的有关概念及公式定义 a n +1a n =q (q 是常数且q ≠0,n ∈N *)或a n a n -1=q (q 是常数且q ≠0,n ∈N *且n ≥2) 通项公式 a n =a 1q n -1=a m ·q n -m前n 项和公式 S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q =1a 11-q n 1-q=a 1-a n q1-q q ≠1等比中项设a ,b 为任意两个同号的实数,则a ,b 的等比中项G =±ab[探究] 1.b 2=ac 是a ,b ,c 成等比数列的什么条件?提示:b 2=ac 是a ,b ,c 成等比数列的必要不充分条件,因为当b =0时,a ,c 至少有一个为零时,b 2=ac 成立,但a ,b ,c 不成等比数列;若a ,b ,c 成等比数列,则必有b 2=ac .2.如何理解等比数列{a n }与指数函数的关系?提示:等比数列{a n }的通项公式a n =a 1qn -1可改写为a n =a 1q·q n.当q >0,且q ≠1时,y=q x是一个指数函数,而y =a 1q·q x是一个不为0的常数与指数函数的积,因此等比数列{a n }的图象是函数y =a 1q·q x的图象上的一群孤立的点.2.等比数列的性质(1)对任意的正整数m ,n ,p ,q ,若m +n =p +q 则a m ·a n =a p ·a q . 特别地,若m +n =2p ,则a m ·a n =a 2p .(2)若等比数列前n 项和为S n 则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 仍成等比数列,即(S 2m -S m )2=S m (S 3m-S 2m )(m ∈N *,公比q ≠-1).(3)数列{a n }是等比数列,则数列{pa n }(p ≠0,p 是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n+3k,…为等比数列,公比为q k.[自测·牛刀小试]1.在等比数列{a n }中,如果公比q <1,那么等比数列{a n }是( ) A .递增数列 B .递减数列C .常数列D .无法确定数列的增减性解析:选D 当a 1>0,0<q <1,数列{a n }为递减数列,当q <0,数列{a n }为摆动数列. 2.(教材习题改编)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 5a 6+a 4a 7=18,则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=( )A .12B .10C .8D .2+log 35解析:选B ∵数列{a n }为等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=9, ∴log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=log 3(a 1·a 2·…·a 10) =log 3(a 5a 6)5=5log 3a 5a 6=5log 39=10.3.(教材习题改编)在等比数列{a n }中,若a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,则a 3=________.解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4-1=15,a 1q 3-q =6.∴q 2-1≠0,q 4-1q 3-q =52.∴2q 2-5q +2=0,解得q =12或q =2.当q =2时,a 1=1,∴a 3=a 1q 2=4. 当q =12时,a 1=-16,∴a 3=a 1q 2=-4.答案:4或-44.在等比数列{a n }中,a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,则a 3+a 5的值为________. 解析:由等比数列性质,已知转化为a 23+2a 3a 5+a 25=25, 即(a 3+a 5)2=25,又a n >0,故a 3+a 5=5. 答案:55.在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列,则这三个数分别是________. 解析:设等比数列的公比为q ,则4=q 4.即q =± 2. 当q =2时,插入的三个数是2,2,2 2. 当q =-2时,插入的三个数是-2,2,-2 2. 答案:2,2,22或-2,2,-2 2等比数列的基本运算[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( )A .7B .5C .-5D .-7(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列,且a 25=a 10,2(a n +a n +2)=5a n +1,则数列{a n }的通项公式a n =________.(3)(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则q =________.[自主解答] (1)设数列{a n }的公比为q ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=2,a 5·a 6=a 4·a 7=-8,得⎩⎪⎨⎪⎧a 4=4,a 7=-2,或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=-2,a 7=4,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,q 3=-12,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q 3=-2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,a 10=1,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 10=-8,所以a 1+a 10=-7.(2)∵2(a n +a n +2)=5a n +1,∴2a n +2a n ·q 2=5a n ·q , 即2q 2-5q +2=0,解得q =2或q =12(舍去).又∵a 25=a 10=a 5·q 5, ∴a 5=q 5=25=32. ∴32=a 1·q 4,解得a 1=2. ∴a n =2×2n -1=2n ,故a n =2n.(3)由S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2作差可得a 3+a 4=3a 4-3a 2,即2a 4-a 3-3a 2=0,所以2q 2-q -3=0,解得q =32或q =-1(舍去).[答案] (1)D (2)2n(3)32———————————————————等比数列运算的通法与等差数列一样,求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式a n =a 1·q n -1(a 1q ≠0)及前n 项和公式S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 11-q n 1-q,q ≠1中共有五个变量,已知其中的三个变量,可以通过构造方程或方程组求另外两个变量,在求公比q 时,要注意应用q ≠0验证求得的结果.1.(1)(2013·海淀模拟)在等数列{a n }中,a 1=8,a 4=a 3a 5,则a 7=( ) A.116B.18C.14D.12(2)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和.已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=( ) A.152 B.314 C.334D.172解析:(1)选B 在等比数列{a n }中,a 24=a 3a 5,又a 4=a 3a 5,所以a 4=1,故q =12,所以a 7=18.(2)选B 显然公比q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3=1,a 11-q 31-q =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,q =12,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=9,q =-13,(舍去)故S 5=a 11-q 51-q =4⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1251-12=314.等比数列的判定与证明[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明数列{b n }是等比数列; (2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列,并求a n .[自主解答] (1)证明:∵由a 1=1,及S n +1=4a n +2, 有a 1+a 2=4a 1+2,a 2=3a 1+2=5, ∴b 1=a 2-2a 1=3. 由S n +1=4a n +2,①知当n ≥2时,有S n =4a n -1+2,② ①-②得a n +1=4a n -4a n -1, ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1). 又∵b n =a n +1-2a n ,∴b n =2b n -1.∴{b n }是首项b 1=3,公比q =2的等比数列. (2)由(1)可得b n =a n +1-2a n =3×2n -1,∴a n +12n +1-a n 2n =34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12,公差为34的等差数列.∴a n 2n =12+(n -1)34=34n -14. a n =(3n -1)×2n -2.———————————————————等比数列的判定方法(1)定义法:若a n +1a n =q (q 为非零常数,n ∈N *)或a n a n -1=q (q 为非零常数且n ≥2,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(2)等比中项公式法:若数列{a n }中,a n ≠0且a 2n +1=a n ·a n +2(n ∈N *),则数列{a n }是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成a n =c ·q n(c ,q 均是不为0的常数,n ∈N *),则{a n }是等比数列.(4)前n 项和公式法:若数列{a n }的前n 项和S n =k ·q n-k (k 为常数且k ≠0,q ≠0,1),则{a n }是等比数列.注意:前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.2.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是等比数列.解:(1)设成等差数列的三个正数分别为a -d ,a ,a +d . 依题意,得a -d +a +a +d =15,解得a =5. 所以{b n }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d .依题意,有(7-d )(18+d )=100,解得d =2或d =-13(舍去).故{b n }的第3项为5,公比为2.由b 3=b 1·22,即5=b 1×22,解得b 1=54.所以{b n }是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54×2n -1=5×2n -3.(2)证明:由(1)得数列{b n }的前n 项和S n =541-2n1-2=5×2n -2-54,即S n +54=5×2n -2.所以S 1+54=52,S n +1+54S n +54=5×2n -15×2n -2=2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是以52为首项,以2为公比的等比数列.等比数列的性质及应用[例3] (1)在等比数列{a n }中,若a 1·a 2·a 3·a 4=1,a 13·a 14·a 15·a 16=8,则a 41·a 42·a 43·a 44=________.(2)已知数列{a n }为等比数列,S n 为其前n 项和,n ∈N *,若a 1+a 2+a 3=3,a 4+a 5+a 6=6,则S 12=________.[自主解答] (1)法一:a 1·a 2·a 3·a 4=a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3=a 41·q 6=1,①a 13·a 14·a 15·a 16=a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15=a 41·q 54=8,② 由②÷①,得a 41·q 54a 41·q6=q 48=8⇒q 16=2,又a 41·a 42·a 43·a 44=a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43=a 41·q 166=a 41·q 6·q 160=(a 41·q 6)·(q 16)10=1·210=1 024.法二:由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为q ,T 1=a 1·a 2·a 3·a 4=1,T 4=a 13·a 14·a 15·a 16=8,∴T 4=T 1·q 3=1·q 3=8,即q =2.∴T 11=a 41·a 42·a 43·a 44=T 1·q 10=210=1 024.(2)法一:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4+a 5+a 6a 1+a 2+a 3=a 1·q 3+a 2·q 3+a 3·q 3a 1+a 2+a 3=q 3=63,即q 3=2.故S 12=(a 1+a 2+a 3)+(a 4+a 5+a 6)+(a 7+a 8+a 9)+(a 10+a 11+a 12)=(a 1+a 2+a 3)+(a 1·q 3+a 2·q 3+a 3·q 3)+(a 1·q 6+a 2·q 6+a 3·q 6)+(a 1·q 9+a 2·q 9+a 3·q 9)=(a 1+a 2+a 3)+(a 1+a 2+a 3)q 3+(a 1+a 2+a 3)q 6+(a 1+a 2+a 3)q 9=(a 1+a 2+a 3)(1+q 3+q 6+q 9)=3×(1+2+22+23)=45.法二:设等比数列{a n }的公比为q , 则a 4+a 5+a 6a 1+a 2+a 3=q 3=63,即q 3=2.因为S 6=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=9,S 12-S 6=a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12,所以S 12-S 6S 6=a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= a 1·q 6+a 2·q 6+a 3·q 6+a 4·q 6+a 5·q 6+a 6·q 6a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=q 6=4.所以S 12=5S 6=45. [答案] (1)1 024 (2)45———————————————————等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类:①通项公式的变形,②等比中项的变形,③前n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.3.已知等比数列前n 项的和为2,其后2n 项的和为12,求再后面3n 项的和. 解:∵S n =2,其后2n 项为S 3n -S n =S 3n -2=12, ∴S 3n =14.由等比数列的性质知S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列, 即(S 2n -2)2=2·(14-S 2n )解得S 2n =-4,或S 2n =6.当S 2n =-4时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…是首项为2,公比为-3的等比数列, 则S 6n =S n +(S 2n -S n )+…+(S 6n -S 5n )=-364, ∴再后3n 项的和为S 6n -S 3n =-364-14=-378.当S 2n =6时,同理可得再后3n 项的和为S 6n -S 3n =126-14=112. 故所求的和为-378或112.3个防范——应用等比数列的公比应注意的问题 (1)注意q =1时,S n =na ,这一特殊情况.(2)由a n +1=qa n (q ≠0),并不能断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.(3)在应用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1和q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情况而导致错误.4个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量:a 1,q ,n ,a n ,S n ,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a 1与q ,在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组,是解题的关键.(2)整体思想:当公比q ≠1时,S n =a 11-q n 1-q =a 11-q ·(1-q n),令a 11-q =t ,则S n =t (1-q n ).把a 11-q与q n当成一个整体求解,也可简化运算.(3)分类讨论思想:在应用等比数列前n 项和公式时,必须分类求和,当q =1时,S n=na 1;当q ≠1时,S n =a 11-q n 1-q;在判断等比数列单调性时,也必须对a 1与q 分类讨论.(4)函数思想:在等比数列{a n }中,a n =a 1q·q n,它的各项是函数y =a 1q·q x图象上的一群孤立的点,可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性),注意函数思想在等比数列问题中的应用.创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题1.在新情境下先定义一个新数列,然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题,同时,数列也常与函数、不等式等形成交汇命题.2.对于此类新定义问题,我们要弄清其本质,然后根据所学的数列的性质即可快速解决.[典例] (2012·湖北高考)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{a n},{f(a n)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”,现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)=|x|;④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )A.①②B.③④C.①③D.②④[解析] 法一:设{a n}的公比为q.①f(a n)=a2n,∵a2n+1a2n=⎝⎛⎭⎪⎫a n+1a n2=q2,∴{f(a n)}是等比数列.排除B、D.③f(a n)=|a n|,∵|a n+1||a n|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n+1a n=|q|,∴{f(a n)}是等比数列.法二:不妨令a n=2n.①因为f(x)=x2,所以f(a n)=4n.显然{f(2n)}是首项为4,公比为4的等比数列.②因为f(x)=2x,所以f(a1)=f(2)=22,f(a2)=f(4)=24,f(a3)=f(8)=28,所以f a 2f a 1=2422=4≠f a 3f a 2=2824=16,所以{f (a n )}不是等比数列.③因为f (x )=|x |,所以f (a n )=2n =(2)n. 显然{f (a n )}是首项为2,公比为2的等比数列. ④因为f (x )=ln|x |,所以f (a n )=ln 2n=n ln 2. 显然{f (a n )}是首项为ln 2,公差为ln 2的等差数列. [答案] C [名师点评]1.本题具有以下创新点(1)命题背景新颖:本题是以“保等比数列函数”为新定义背景,考查等比数列的有关性质.(2)考查内容创新:本题没有直接指明判断等比数列的有关性质,而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合,对学生灵活处理问题的能力有较高要求.2.解决本题的关键有以下两点(1)迅速脱掉“新定义”的外衣,认清本题的实质是:已知数列{a n }为正项等比数列,判断数列{a 2n },{2a n },{|a n |}及{ln|a n |}是否为等比数列问题.(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键. [变式训练]1.已知方程(x 2-mx +2)(x 2-nx +2)=0的四个根组成以12为首项的等比数列,则m n =( )A.32 B.32或23 C.23D .以上都不对解析:选B 设a ,b ,c ,d 是方程(x 2-mx +2)(x 2-nx +2)=0的四个根,不妨设a <c <d <b ,则a ·b =c ·d =2,a =12,故b =4,根据等比数列的性质,得到c =1,d =2,则m =a +b=92,n =c +d =3,或m =c +d =3,n =a +b =92,则m n =32或m n =23. 2.设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数,且对任意的实数x ,y ∈R ,都有f (x )·f (y )=f (x +y ),若a 1=12,a n =f (n )(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1 解析:选D 由已知可得a 1=f (1)=12,a 2=f (2)=[f (1)]2=⎝ ⎛⎭⎪⎫122,a 3=f (3)=f (2)·f (1)=[f (1)]3=⎝ ⎛⎭⎪⎫123,…,a n =f (n )=[f (1)]n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,∴S n =12+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫123+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12n=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵n ∈N *,∴12≤S n <1.一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.已知等比数列{a n }的前三项依次为a -1,a +1,a +4,则a n =( )A .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1D .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1解析:选C (a +1)2=(a -1)(a +4)⇒a =5,a 1=4,q =32,故a n =4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.2.(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 10=( )A .4B .5C .6D .7解析:选B 由题意可知a 3a 11=a 27=16,因为{a n }为正项等比数列,所以a 7=4.所以log 2a 10=log 2(a 7×23)=log 225=5.3.各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3+a 4+a 5=( ) A .33 B .72 C .84D .189解析:选C ∵a 1+a 2+a 3=21,∴a 1+a 1·q +a 1·q 2=21,3+3×q +3×q 2=21, 1+q +q 2=7,解得q =2或q =-3.∵a n >0,∴q =2,a 3+a 4+a 5=21×q 2=21×4=84.4.(2013·西安模拟)已知a ,b ,m ,n ,x ,y 均为正数,且a ≠b ,若a ,m ,b ,x 成等差数列,a ,n ,b ,y 成等比数列,则有( )A .m >n ,x >yB .m >n ,x <yC .m <n ,x <yD .m <n ,x >y解析:选B ∵m =a +b2,n =ab (a ≠b ),∴m >n .又2b =m +x ,由b 2=ny ,得b =ny , 即2ny =m +x ≥2mx ,∴ny ≥mx , 即ny ≥mx ,y x ≥mn>1.∴y >x .5.已知等比数列{a n }中,a 1=2,a 5=18,则a 2a 3a 4等于( ) A .36 B .216 C .±36D .±216解析:选B 由等比数列的性质得a 23=a 1·a 5=2×18=36, 又a 3=a 1q 2=2q 2>0,故a 3=6. 所以a 2a 3a 4=a 33=216.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n +1,则S n =( ) A .2n -1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1D.12n -1解析:选B 利用等比数列知识求解. ∵S n =2a n +1,∴当n ≥2时,S n -1=2a n .∴a n =S n -S n -1=2a n +1-2a n .∴3a n =2a n +1. ∴a n +1a n =32.又∵S 1=2a 2,∴a 2=12.∴a 2a 1=12.∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列.∴S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =1+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -11-32=⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1⎝⎛也可以先求出n ≥2时,a n =3n -22n -1,再利用S n =2a n +1,⎭⎪⎫求得S n =⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+3S 2=0,则公比q =________. 解析:∵S 3+3S 2=0,即a 1+a 2+a 3+3(a 1+a 2)=0, ∴a 1(4+4q +q 2)=0. ∵a 1≠0,∴q =-2. 答案:-28.若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ,n 满足a m +n =a m a n ,且a 3=22,那么a 12=________.解析:令m =1,则a n +1=a n a 1⇒a 1=q ,a 3=a 1q 2=22⇒q 3=22,a 12=q 12=64. 答案:649.(2013·聊城模拟)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的a ,b∈R ,满足f (a ·b )=af (b )+bf (a ),f (2)=2,a n =f 2n n (n ∈N *),b n =f 2n 2n(n ∈N *),考察下列结论.①f (0)=f (1);②f (x )为偶函数;③数列{a n }为等比数列;④{b n }为等差数列.其中正确的是________.解析:令a =0,b =0,则f (0)=0,令a =b =1, 则f (1)=2f (1),故f (0)=f (1)=0; 设a =-1,b =x ,因为f (1)=f [(-1)×(-1)]=-2f (-1), 则f (-1)=0,所以f (-x )=-f (x )+xf (-1)=-f (x ),f (x )为奇函数;f (2n)=2f (2n -1)+2n -1f (2)=2f (2n -1)+2n⇒f 2n 2n=f 2n -12n -1+1,则{b n }为等差数列;∵b 1=f 22=1,∴b n =1+(n -1)×1=n .∴f 2n 2n =n ,a n =f 2n n=2n,则数列{a n }为等比数列.答案:①③④三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 10.数列{a n }中,S n =1+ka n (k ≠0,k ≠1). (1)证明:数列{a n }为等比数列; (2)求通项a n ;(3)当k =-1时,求和a 21+a 22+…+a 2n . 解:(1)∵S n =1+ka n ,①S n -1=1+ka n -1,②①-②得S n -S n -1=ka n -ka n -1(n ≥2), ∴(k -1)a n =ka n -1,a n a n -1=k k -1为常数,n ≥2. ∴{a n }是公比为kk -1的等比数列.(2)∵S 1=a 1=1+ka 1,∴a 1=11-k. ∴a n =11-k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k -1n -1=-kn -1k -1n.(3)∵{a n }中a 1=11-k ,q =k k -1,∴{a 2n }是首项为⎝⎛⎭⎪⎫1k -12,公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k -12的等比数列.当k =-1时,等比数列{a 2n }的首项为14,公比为14,∴a 21+a 22+…+a 2n =14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1-14=13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .11.设数列{a n }是一等差数列,数列{b n }的前n 项和为S n =23(b n -1),若a 2=b 1,a 5=b 2.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)∵S 1=23(b 1-1)=b 1,∴b 1=-2.又S 2=23(b 2-1)=b 1+b 2=-2+b 2,∴b 2=4.∴a 2=-2,a 5=4. ∵{a n }为等差数列, ∴公差d =a 5-a 23=63=2, 即a n =-2+(n -2)·2=2n -6. (2)∵S n +1=23(b n +1-1),①S n =23(b n -1),②①-②得S n +1-S n =23(b n +1-b n )=b n +1,∴b n +1=-2b n .∴数列{b n }是等比数列,公比q =-2,首项b 1=-2, ∴b n =(-2)n. ∴S n =23[(-2)n-1].12.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1+c 2b 2+…+c n b n=a n +1成立,求c 1+c 2+c 3+…+c 2 013. 解:(1)∵由已知得a 2=1+d ,a 5=1+4d ,a 14=1+13d , ∴(1+4d )2=(1+d )(1+13d ), 解得d =2或d =0(舍去).∴a n =1+(n -1)·2=2n -1(n ∈N *). 又b 2=a 2=3,b 3=a 5=9, ∴数列{b n }的公比为3. ∴b n =3·3n -2=3n -1(n ∈N *).(2)由c 1b 1+c 2b 2+…+c n b n=a n +1得 当n ≥2时,c 1b 1+c 2b 2+…+c n -1b n -1=a n . 两式相减得,n ≥2时,c n b n=a n +1-a n =2. ∴c n =2b n =2·3n -1(n ≥2).又当n =1时,c 1b 1=a 2, ∴c 1=3.∴c n =⎩⎪⎨⎪⎧3n =1,2·3n -1n ≥2.∴c 1+c 2+c 3+…+c 2 013=3+6-2×32 0131-3=3+(-3+32 013)=32 013.1.已知各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A .5 2 B .7 C .6D .4 2解析:选A 法一:由等比中项的性质知a 1a 2a 3=(a 1a 3)·a 2=a 32=5,a 7a 8a 9=(a 7a 9)·a 8=a 38=10,所以a 2a 8=5013,所以a 4a 5a 6=(a 4a 6)·a 5=a 35=(a 2a 8)3=(5016)3=5 2.法二:由等比数列的性质知a 1a 2a 3,a 4a 5a 6,a 7a 8a 9构成等比数列,所以(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)=(a 4a 5a 6)2,即a 4a 5a 6=±5×10=±52,又数列各项均为正数,所以a 4a 5a 6=5 2.2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6∶S 3=1∶2,则S 9∶S 3等于( ) A .1∶2 B .2∶3 C .3∶4D .1∶3解析:选C 由等比数列的性质:S 3、S 6-S 3、S 9-S 6仍成等比数列,于是(S 6-S 3)2=S 3·(S 9-S 6),将S 6=12S 3代入得S 9S 3=34.3.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=4,a 4a 5a 6=212. (1)求首项a 1和公比q 的值; (2)若S n =210-1,求n 的值. 解:(1)∵a 4a 5a 6=a 35=212⇒a 5=16,∴a 5a 3=q 2=4⇒q =2,a 1q 2=a 3,解得a 1=1.(2)由S n =210-1,得S n =a 1q n -1q -1=2n-1,∴2n -1=210-1⇒2n =210,即n =10.4.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=a n +a n +12,n ∈N *.(1)令b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等比数列; (2)求{a n }的通项公式. 解:(1)b 1=a 2-a 1=1, 当n ≥2时,b n =a n +1-a n =a n -1+a n2-a n =-12(a n -a n -1)=-12b n -1,所以{b n }是以1为首项,以-12为公比的等比数列.(2)由(1)知b n =a n +1-a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1,当n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+1+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -2=1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -11-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=1+23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1=53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1, 又a 1=1也符合上式,所以{a n }的通项公式为a n =53-23⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1(n ∈N *).。

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