等离子弧表面处理中的NURBS曲线拟合及轨迹点算法
权威3DMAX NURBS曲线和曲面教程
权威3DMAX NURBS曲线和曲面教程一、NuRBS曲线作用：可制作圆滑的曲线外形‘Create(创建)‘shape(外形)‘NURBSpoint curve(点曲线)CV curve(控制点曲线)：曲线在各控制点连接的多边形内参数：attach(附加)：将其它曲线附加到当前曲线中二、NURBS曲面作用：可制作圆滑的面，如汽车外壳，床罩，窗帘丝织物品表面‘create(创建) →‘Geomotry(三维几何体) →‘NurBs surface(NurBs曲面) →‘point surface(点曲面)‘cv surface(控制点曲面)1、point surface(点曲面)参数：u lines:X轴节点数v lines:Y轴节点数次对象：point(点)：选择1个顶点（单个）：选择一行顶点（单行）：选择一列顶点（单列）：选择交叉的一行一列顶点（行列）：选择所有顶点2、cv suface(控制点曲面)参数：Length cvs:长控制点数Width cvs:宽控制点次对象：与点曲面相同三、NurBs创建工具箱作用：方便创建曲线或者曲面1、Curves（曲线）工具箱第一个（）：建立cv curve(控制点曲线)第二个（）：建立Point curve(点曲面)第三个（）：连接两个顶点，限定在点曲线面类第四个（）：复制曲线第五个（）：连接2个顶点，点曲线，CV曲面都可相连第六个（）：产生曲线的轮廓线第七个（）：镜像复制曲线3、surface(曲面)工具箱第一个（）：建立cv surface(控制点曲面)第二个（）：建立point surface(点曲面)第三个（）：复制曲面第四个和第九个（）：将2个曲线连接成面第五个（）：复制曲面，不能分开第六个（）：镜向复制曲面第七个（）：将曲面拉伸成面第八个（）：将曲线旋转成面3DMAX 第十五讲（材质1）一、材质编辑器作用：赋于物体材质，表现出各种实际效果1、主窗口组成①样本窗②水平工具栏③垂直工具栏④材质名称类型⑤参数展示栏2、样本窗显示方式选择某样本球’→‘5╳3或‘6╳43、垂直工具栏①样本类型：以何种方式显示样本②背光：显示/隐藏样本球暗区光线③背景：检查透明材质效果④重复：检查透明材质效果⑤视频颜色检查：检查材质颜色以适应电视输出⑥材质动画预览⑦选项：设置材质，相关参数⑧按材质选择物体4、水平工具栏（1）获取材质（包括复合标准材质）（2）将冷材质重新赋予场景中的物体（3）将材质赋予场景中被选择的物体（4）清除材质（5）热材质变为冷材质（6）保存材质备以后使用（8）材质效果通道，给材质起编号（9）显示场景中物体的贴图（10）显示最后结果（11）回到父层级（12）到同一层次（13）材质/贴图导航器二、同步材质，异步材质1、同步材质称为热材质，当改变材质参数，场景中的物体材质会同步变化，样本球4个角为白三角形2、异步材质称为冷材质，当改变材质参数，场景中的物体材质不随之变化三、给物体贴图选择物体→（材质编辑器按钮）→选择一个样本球→diffuse(散播颜色) →‘（贴图按钮）→“Bitmap(位图) →选择某图片→‘打开→‘（显示贴图按钮）。
一种NURBS曲面拟合精度的量化评测算法
： ． Ｉ．一 ．
统一横向节 点矢量
短距 离的计算转换 为计算 点在参数 曲面 ｒ ，）上 的投影 ， （ 投影
方向为曲面的法矢 。用 方程 表示 如（ ） 。 ２式
计算控制 网 格顶点
Ｑ －ｐ ＝ Ｒ
曲面拟合 的精度作 出客观和准确的评测 。
础上加入 了权因子 ， 使其不仅能表示 自由曲线 曲面形状 ， 能 而且 精确表示 圆锥 曲线 、 曲面等规则 曲线 曲面 。同时 Ｎ Ｒ Ｓ 二次 Ｕ Ｂ 设 置节点矢量两端重复度 为 曲线次数 加 １解 决 了型值点 分布 不 ， 均匀时， 用均匀 样条曲线插值求得的曲线两端产生拐点 的
Ｎ ＵＲＢＳ
一 一一 一一 一一 一一
曲线集合
．．． ．．．．． ．．
２２ 传 统计算 方 法 ．
对于量化指标 的计算 ， 传统 的方法是通 过求解 非线性 方程 组获得实物点到拟合结果 曲面间的距离。该方法的基本原理是
曲面外一点 Ｑ和曲面上最近的点 Ｐ ， 的距离矢量Ｐ （ ） Ｏ与曲面
Ｚ ａ ｇＫｕ Ｊａ ｇ Ｘｉｇｅ ｇ Ｘｕ Ｊａ ｈ ｎ ｎ ｉｎ ａ ｆｎ ｉｎ
（ ｃｏｌｆＣｍ ｕｅ ｃ ｎｅａ ｄＴｃｎｌ ｙ Ｓ ｏｈｗ Ｕ ｉ ｒｔ， ｕｈｕ２ ５ ０ ，ｉ ｇｕ ｈｎ ） Ｓｈｏ ｏ ｐ ｔ Ｓｉ ｃ ｎ ｅｈｏｏ ， ｏｃｏ ｎｖ ｓｙ Ｓ ｚｏ １０ ６ Ｊａ ｓ ，Ｃ ｉａ ｏ ｒ ｅ ｇ ｅｉ ｎ
中图分 类号
Ｎ Ｒ Ｓ曲面 拟合精度 区域划分 ＵＢ
Ｔｔ １６ ｉ０ ． ３ 文献标识码 Ａ
搜 索迭 代
Ａ ＱＵ ＡＮＴ Ｔ Ｔ Ｅ Ｅ Ｌ Ｔ ｏＮ ＡＬ Ｉ Ａ Ⅳ ＶＡ ＵＡ Ｉ ＧｏＩ Ｔ Ｕ ＨＭ ｏＲ ＵＲ Ｓ Ｆ Ｎ Ｂ
数控加工直线段轨迹NURBS拟合
u i 构成节点向量 U = [ u0 1. 1
u1
…
u n +p +1 ] 。
T
Nurbs 曲线最小二乘拟合 最小二乘方法是常用于 Nurbs 曲线拟合数据点
的手段， 在实际拟合数据点时通常在 （ 1 ） 式中取 w i = 1， i = 0， …， n， spline 曲 将 Nurbs 曲线转换为 B线
图2 直线段 G 代码处理流程图
3
仿真测试
以下用算例检验本文提出的方法。 对均分为 200
在分段阶段中， 原始数据点的相关轨迹连 续性指标可作为分段的条件。 这些指标在图 3 中定 i 为数据点序号， 长度 l i 为第 i 和第（ i + 1 ） 个点间 义。 的线段， 长度比 la i =
段小直线段的圆弧曲线使用上文提出的 Nurbs 曲线 拟合方法进行计算， 圆弧半径 r = 10mm， 离散后的圆 弧图形如图 5 所示。 拟合结果如表 1 所示。
i， p
p 为样条阶数， （ n + 1 ） 为控制点个数， P i 为控制点， wi N i， 为其权重， 计算公式为： p （ u ） 为基函数 ，
N i， 0 （ u） =
{
1 ， u i ≤ u ≤ u i +1 0， 其他
（ 2）
u － ui u i +p +1 － u N i， N p －1 （ u） + N p －1 （ u） p （ u） = u i +p － u i i， u i +p +1 － u i +1 i +1， （ 3）
· 2·
组合机床与自动化加工技术
第6 期
曲线拟合算法， 通过刀位点轨迹的几何信息对大量 连续刀位点分段处理， 将传统直线段刀位点轨迹转 换为 Nurbs 样条刀位点轨迹。
NURBS曲线自适应插值拟合算法_粟烂芝
第1期2011年1月组合机床与自动化加工技术M odul a r M achi n e Tool&Autom atic M anufacturing Techni q ueN o .1Jan .2011文章编号:1001-2265(2011)01-0026-04收稿日期:2010-07-20*基金项目:/高档数控机床与基础制造装备0科技重大专项课题(2009ZX04009-022)作者简介:粟烂芝(1985)),女,湖南益阳人,中国科学院研究生院硕士研究生,研究方向为嵌入式、数控技术,(E -m ail)sulanzh i @yahoo .co 。
NURBS 曲线自适应插值拟合算法*粟烂芝1,2,3,王 品2,3(1.中国科学院研究生院,北京 100049;2.中国科学院沈阳计算技术研究所,沈阳 110171;3.沈阳高精数控技术有限公司,沈阳 110171)摘要:针对从DXF 文件中构造的NURBS 曲线,提出了一种曲线的自适应分解算法。
该算法结合了NURBS 曲线的形状信息,通过计算比较插补点的曲率半径与给定阈值的大小,以决定当前插补类型为直线段或是圆弧段,在满足加工精度的前提下,采用伸缩步长法使得拟合的区间尽可能大。
经实际运行表明,此方法拟合的加工程序段少,能简化数值计算和编程,减少数控机床的预处理时间。
该算法具有通用性,为其他曲线的插值拟合也提供了一种有效途径。
关键词:DXF ;NURBS 曲线;形状信息;曲率半径;自适应分解中图分类号:TH 16;TG65 文献标识码:AAn M ethod for NURBS Curve Adaptive Interpo l a tionSU Lan -zhi1,2,3,WANG P i n2,3(1.G raduate Un i v ersity of Chi n ese A cade m y o f Sc iences ,Be ijing 100049,Ch i n a ;2.Shenyang I nstitute o f Co m puting Techno logy ,Chinese A cade m y of Sciences ,Shenyang 110171,China)Abst ract :Th is paper i n troduces a w ay of adaptive interpo l a ti o n for NURBS cur ve constructed for m DXF .The algorithm co m bines shape i n for m ation o f the NURBS curve By co m paring the size o f curva t u re rad i u s of the in -ter polati o n po i n ts and the g iven t h reshold to deter m i n e t h e current i n terpo lation type is line seg m ent or arc seg -m ent .On the pre m ise of satisfy i n g the precision ,telescop ic step m ethod m akes sure the fitting range as large as possible .Experi m ental resu lts sho w that this w ay i s si m p le and effic ien,t and can sho rten the C NC pre -process -i n g ti m e .The a l g orit h m is un iversa,l and it prov ides an effective w ay for o t h er curves i n terpo lation .K ey w ords :DXF ;NURBS curve ;shape infor m ati o n ;curvature radius ;adaptive0 引言近年来,以NURBS (N on -Unifor m R ati o na l B -Spline 非均匀有理B 样条)为内部描述的自由曲线曲面造型技术得到了广泛的应用和发展。
Nurbs样条线算法推导及python实现
Nurbs样条线算法推导及python实现注：在现在的建模软件中Nurbs曲线还引入一个跨度的概念，在这里并不体现，这里是有几个控制点就是控制点数-1阶，最后好像到36阶曲线就发散了耶三个控制点：a=(ax, ay)b=(bx, by)c=(cx, cy)0≤t≤1e为ab线上一点则：ae⃑⃑⃑⃑ =t∗ab⃑⃑⃑⃑e=(ex, ey)=(t*(bx-ax)+ax, t*(by-ay)+ay)同理，同一t值，f为bc线上一点为：f=(fx, fy)=(t*(cx-bx)+bx, t*(cy-by)+by)g点为动线ef上的动点为：g=(t*(fx-ex)+ex, t*(fy-ey)+ey)=(gx, gy)gx= t^2*(cx-2*bx+ax)+2*t*(bx-ax)+axgy= t^2*(cy-2*by+ay)+2*t*(by-ay)+ay动点g的运动方程入上图所示0:(x0,y0);1:(x1,y1);2:(x3,y3);x=t2∙(x2−2∙x1+x0)+t∙2∙(x1−x0)+x0;y=t2∙(y2−2∙y1+y0)+t∙2∙(y1−y0)+y0;四个控制点0≤t≤1a=(ax, ay)(x0,y0)b=(bx, by)(x1,y1)c=(cx, cy)(x2,y2)d=(dx, dy)(x3,y3)e=(ex, ey)=(t*(bx-ax)+ax, t*(by-ay)+ay)t∙(x1−x0)+x0,…f = (fx , fy)=(t*(cx-bx)+bx, t*(cy-by)+by)t∙(x2−x1)+x1,…g= (gx, gy)=(t*(dx-cx)+cx, t*(dy-cy)+cy)t∙(x3−x2)+x2,…h=(hx, hy)=(t*(fx-ex)+ex, t*(fy-ey)+ey)t2∙(x2−2∙x1+x0)+2∙t∙(x1−x0)+x0,…I = (ix , iy )=(t*(gx-fx)+fx, t*(gy-fy)+fy)t2∙(x3−2∙x2+x1)+2∙t∙(x2−x1)+x1,…j = (jx, jy )=(t*(ix-hx)+hx, t*(iy-hy)+hy)t3∙(x3−3∙x2+3∙x1−x0)+3∙t2∙(x2−2∙x1+x0)+3∙t∙(x1−x0)+x0,…t3∙(x3−3∙(x2−x1)−x0)+3∙t2∙(x2−2∙x1+x0)+3∙t∙(x1−x0)+x0,…N个控制点：def cv(N, t):n=[ Point(t*( N[i+1].x- N[i].x)+N[i].x, t*( N[i+1].y- N[i].y)+N[i].yfor i in range(len(N)-1) )]if len(n)==1:return n[0]else:return cv(n, t)0≤t≤1N=[p0, p1, p2…pn]print cv(N, t)python代码实现：（按分段数计算样条线上的点）def cv(N, seg):step=1/segsP=N[0]eP=N[-1]p=[sP]oldN=Nfor i in range(step, 1, step):t=i*stepcount= len(N)while count>1:n=[ Point(t*( N[i+1].x- N[i].x)+N[i].x , t*( N[i+1].y- N[i].y)+N[i].y)for i in range(count-1) ]N=ncount-=1N=oldNp.append(n[0])p.append(eP)return p用多项式的方法优化运算： 各项常数确定：Cx, Cy(x 0,y 0) (x 1,y 1) (x 2,y 2) (x 3,y 3) (x 4,y 4)⇊t ∙(x 1−x 0)+x 0,… t ∙(x 2−x 1)+x 1,… t ∙(x 3−x 2)+x 2,… t ∙(x 4−x 3)+x 3,…⇊t 2∙((x 2−x 1)−(x 1−x 0))+2∙t ∙(x 1−x 0)+x 0 t 2∙((x 3−x 2)−(x 2−x 1))+2∙t ∙(x 2−x 1)+x 1 t 2∙((x 4−x 3)−(x 3−x 2))+2∙t ∙(x 3−x 2)+x 2⇊t 3∙(((x 3−x 2)−(x 2−x 1))− ((x 2−x 1)−(x 1−x 0)))+3∙t 2∙((x 2−x 1)−(x 1−x 0))+3∙t ∙(x 1−x 0)+x 0t 3∙(((x 4−x 3)−(x 3−x 2))− ((x 3−x 2)−(x 2−x 1)))+3∙t 2∙((x 3−x 2)−(x 2−x 1))+3∙t ∙(x 2−x 1)+x 1⇊t 4∙( (((x 4−x 3)−(x 3−x 2))− ((x 3−x 2)−(x 2−x 1))) − (((x 3−x 2)−(x 2−x 1))− ((x 2−x 1)−(x 1−x 0))))+4∙t 3∙(((x 3−x 2)−(x 2−x 1))− ((x 2−x 1)−(x 1−x 0)))+6∙t 2∙((x 2−x 1)−(x 1−x 0))+4∙t ∙(x 1−x 0)+x 0;0 1 2 3 4C 0=x 04∙C 1=4∙(x 1−C 0) 6∙C 2=6∙((x 2−x 1)−C 1)4∙C 3=4∙(((x 3−x 2)−(x 2−x 1))−C 2)C 4=( (((x 4−x 3)−(x 3−x 2))− ((x 3−x 2)−(x 2−x 1)))−C 3)⇊ D 1=x 1 D 2=(x 2−D 1) D 3=((x 3−x 2)−D 2)D 4= (((x 4−x 3)−(x 3−x 2))− D 3) ⇊E 2=x 2 E 3=(x 3−E 2) E 4=((x 4−x 3)−E 3)⇊ F 3=x 3 F 4=(x 4−F 3)⇊ G 4=x 4 ⇊F 4=(G 4−F 3)⟺G 4=F 3+F 4 E 4=(F 4−E 3)⟺F 4=E 3+E 4 E 3=(F 3−E 2)⟺F 3=E 2+E 3 D 4=(E 4−D 3)⟺E 4=D 3+D 4 D 3=(E 3−D 2)⟺E 3=D 2+D 3 D 2=(E 2−D 1)⟺E 2=D 1+D 2 C 4=( D 4−C 3)⟺D 4=C 3+C 4 C 3=( D 3−C 2)⟺D 3=C 2+C 3 C 2=( D 2−C 1)⟺D 2=C 1+C 2 C 1=( D 1−C 0)⟺D 1=C 0+C 1G 4 F 3,F 4 E 2,E 3,E 4 D 1,D 2,D 3,D 4 C 0,C 1,C 2,C 3,C 4⇕ x 4 x 3,F 4x 2,E 3,E 4 x 1,D 2,D 3,D 4 x 0,C 1,C 2,C 3,C 4各项系数增量：scale1,1 1,2,1 1,3,3,1 1,4,6,4,1各项系数增量scale:scale n,i =scale n−1,i−1+scale n−1,i ；(scale n,0=1,scale n,n =1)scale i =scale n,idef getScales(n):'''各项常系数的缩放值 1,1 n=1 1,2,1 n=2 1,3,3,1 n=3 1,4,6,4,1 n=4 ... ... 返回第n 行数据 n 为控制点数目 ''' if n<2:return None n=n-2 s1=[1,1] scales=[1,1] for i in range(n):scales=[s1[j]+s1[j+1] for j in range(len(s1)-1)] scales.insert(0,1) scales.append(1) s1=scalesreturn scales各项常系数CC n,i =C n−1,i−1−C n,i−1；(C n,0=x 0或y 0或z 0)C i =scale i ∙C n,idef getCs(scales,points): '''各项常系数x_4 n=0 x_3,F_4 n=11 2 3 4x_2,E_3,E_4 n=2x_1,D_2,D_3,D_4 n=3x_0,C_1,C_2,C_3,C_4 n=5... ...points为控制点（三角最左边对应各控制点同一轴向坐标，顺序自下向上对应控制点输入顺序）返回各轴轴常系数-第n行数据（杨辉三角底行）'''points=list(points)points.reverse()axises=zip(*points)Cs=[]for axis in axises:C1=[axis[0]]for i in range(1,len(axis)):C=[]C.append(axis[i])for j in range(len(C1)):C.append(C1[j]-C[j])C1=CC=tuple(map(lambda c,s:c*s, C, scales))Cs.append(C)return Cs各分段各项t值：def getTs(n, seg):'''n控制点数目，seg分段数按分段数获取曲线上所有分段点对应0<=t<=1范围内t**i的所有数据'''step=1/segTs=[]for i in range(seg+1):t1=[]s=i*stepfor j in range(n):t1.append(s**j)Ts.append(t1)Ts.append([1]*n)return Ts样条线多项式：n−1X=∑t i∙C i；(n为控制点数目)i=0def cv(Ts, Cs):'''返回样条线上所有分段点坐标'''n=len(Cs[0])nAxis=len(Cs)ps=[]for i in range(len(Ts)):sumR=[0 for i in range(nAxis)]for j in range(n):for k in range(nAxis):sumR[k]+=Ts[i][j]*Cs[k][j]ps.append(sumR)return ps样条线长度：未完待续…判断一点是否在样条线内：未完待续..Python代码：#nurbs# -*- coding: utf-8 -*-#from copy import deepcopydef getScales(self, n):'''各项常系数的缩放值1,1 n=11,2,1 n=21,3,3,1 n=31,4,6,4,1 n=4... ...返回第n行数据n为控制点数目'''if n<2:return Nonen=n-2s1=[1,1]scales=[1,1]for i in range(n):scales=[s1[j]+s1[j+1] for j in range(len(s1)-1)]scales.insert(0,1)scales.append(1)s1=scalesreturn scalesdef getCs(self, scales, points):'''各项常系数x_4 n=0x_3,F_4 n=1x_2,E_3,E_4 n=2x_1,D_2,D_3,D_4 n=3x_0,C_1,C_2,C_3,C_4 n=5... ...points为控制点（三角最左边对应各控制点同一轴向坐标，顺序自下向上对应控制点输入顺序）返回各轴轴常系数-第n行数据（杨辉三角底行）'''if scales is None:return None#points=list(points)#points.reverse()#axises=zip(*points) axises=zip(*reversed(points))Cs=[]for axis in axises:C1=[axis[0]]for i in range(1,len(axis)):C=[]C.append(axis[i])for j in range(len(C1)):C.append(C1[j]-C[j])C1=C#print (t)C=tuple(map(lambda c,s:c*s, C, scales))Cs.append(C)return Csdef getTs(self, n, seg):'''n控制点数目，seg分段数按分段数获取曲线上所有分段点对应0<=t<=1范围内t**i的所有数据'''if n<1:return Nonestep=1/segTs=[]for i in range(seg+1):s=i*step#t1=[]#for j in range(n):#t1.append(s**j)t1=[s**j for j in range(n)]Ts.append(t1)Ts.append([1]*n)return Tsdef getCvps(self, Ts, Cs):'''返回样条线上所有分段点坐标'''if Cs is None:return Nonen=len(Cs[0])nAxis=len(Cs)ps=[]for i in range(len(Ts)-1):sumR=[0 for i in range(nAxis)]for j in range(n):for k in range(nAxis):sumR[k]+=Ts[i][j]*Cs[k][j]ps.append(sumR)return psclass Nurbs(object):def __init__(self, points=(), segs=100):self.__seg=segsself.__points=pointsself.__n=len(self.__points)self.__scales=getScales(self, self.__n)self.__Cs=getCs(self, self.__scales, self.__points)self.__Ts=getTs(self, self.__n, self.__seg)self.__cvps=getCvps(self, self.__Ts, self.Cs)#get or set ctrPoints@propertydef ctrPoints(self):return deepcopy(self.__points)@ctrPoints.setterdef ctrPoints(self, points):if points!=self.__points:self.__points=deepcopy(points)n=len(self.__points)if n!=self.__n:self.__n=nself.__scales=getScales(self, self.__n)self.__Ts=getTs(self, self.__n, self.__seg)self.__Cs=getCs(self, self.__scales, self.__points)self.__cvps=getCvps(self, self.__Ts, self.Cs) #get or set ctrPoints@propertydef seg(self):return self.__seg@seg.setterdef seg(self, segs):if segs!=self.__seg:self.__seg=segsself.__Ts=getTs(self, self.__n, self.__seg)self.__cvps=getCvps(self, self.__Ts, self.Cs)@propertydef scales(self):return deepcopy(self.__scales)@propertydef Cs(self):return deepcopy(self.__Cs)@propertydef Ts(self):return deepcopy(self.__Ts)@propertydef cvps(self):return deepcopy(self.__cvps)#get ctrPoints amountdef __len__(self):return self.__n#tkinter交互程序#-*- coding:utf-8 -*-#import tkinter, time, nurbsclass Cv(tkinter.Canvas):def getObjs(self, tag, p, r):objs=self.find_overlapping(p[0]-r, p[1]-r, p[0]+r, p[1]+r)return tuple(filter(lambda obj:tag in self.gettags(obj), objs))def createPoint(self, pos, radius, color=None, lineColor=None):return self.create_oval(pos[0]-radius, pos[1]-radius, pos[0]+radius, pos[1]+radius,fill=color, outline=lineColor, tags='ctrp')def modifyPoint(self, id, pos=None, color=None, lineColor=None):if pos:x0, y0, x1, y1=self.coords(id)wm, hm=(x1-x0)/2, (y1-y0)/2self.coords(id, pos[0]-wm,pos[1]-hm, pos[0]+wm, pos[1]+hm)if color:self.itemconfig(id, fill=color)if lineColor:self.itemconfig(id, outline=lineColor)def unpackCoords(self, l):return [j for i in l for j in i]def sortCtrPs(self, dic, l):return [dic[i] for i in l]def __init__(self, root, size=(640, 480)):super().__init__(root, bg='white', width=size[0], height=size[1])self.lineDict={}#id:nbself.curLineId=None#cvIdself.dotLineId=None#ctrpCvIdself.curCtrPsDict={}#ctrpId:posself.curCtrPsInd=[]#[ctrpId...]self.curCtrPId=None#ctrpIdself.need2update=Falseself.editState='new'self.running=1root.bind('<Escape>', self.eQuit)self.bind('<Button-1>', self.eLeftClick)self.bind('<B1-Motion>', self.eLeftDrag)self.bind('<ButtonRelease-1>', self.eLeftRelease)self.bind('< Button-2>', self.eMidClick)self.bind('<Button-3>', self.eRightClick)self.colorNormal='darkorange'self.colorPick='green'self.colorEnd='blue'self.colorDashLine='orange'self.colorCurve='darkblue'self.stateText=self.create_text(100, 100, text=self.editState)self.pack(side='left')self.segScale=tkinter.Scale(root, command=self.setSeg, width=10, length=480,sliderlength=15, resolution=1)#滑块self.segScale.pack(side='right')def setSeg(self, seg):#设置分段数if self.curLineId:self.lineDict[self.curLineId].seg=max(1,int(seg))self.need2update=True#print (event)def eQuit(self, event):self.running=0def eLeftClick(self, event):pos=event.x, event.yif self.editState=='new':getCtrps=self.getObjs('ctrp', pos, 3)if len(getCtrps):self.curCtrPId=getCtrps[0]self.modifyPoint(self.curCtrPId, lineColor=self.colorPick)else:self.curCtrPId=self.createPoint(pos, 3, lineColor=self.colorPick)self.curCtrPsDict[self.curCtrPId]=posself.curCtrPsInd.append(self.curCtrPId)if self.curLineId is None and len(self.curCtrPsInd)>1:ctrps=self.sortCtrPs(self.curCtrPsDict, self.curCtrPsInd)curve=nurbs.Nurbs(ctrps)self.curLineId=self.create_line(curve.cvps, tags='curve',fill=self.colorCurve)self.lineDict[self.curLineId]=curveself.dotLineId=self.create_line(ctrps, dash=1, fill=self.colorDashLine)elif self.editState=='select':getCurve=self.getObjs('curve', pos, 3)if len(getCurve):self.curLineId=getCurve[0]#self.curCtrPsDict.clear()#self.curCtrPsInd.clear()ctrps=self.lineDict[self.curLineId].ctrPointsfor pos in ctrps:point=self.createPoint(pos, 3, lineColor=self.colorNormal)self.curCtrPsDict[point]=posself.curCtrPsInd.append(point)self.modifyPoint(self.curCtrPsInd[-1], lineColor=self.colorEnd)self.dotLineId=self.create_line(ctrps, dash=1, fill=self.colorDashLine)self.need2update=Trueself.segScale.set(self.lineDict[self.curLineId].seg)#获取分段数self.editState='new'self.itemconfig(self.stateText, text=self.editState)def eLeftDrag(self, event):pos=event.x, event.yif not self.curCtrPId is None:self.curCtrPsDict[self.curCtrPId]=posself.modifyPoint(self.curCtrPId, pos)self.need2update=Truedef eLeftRelease(self, event):pos=event.x, event.yif not self.curCtrPId is None:print (self.curCtrPId)self.curCtrPsDict[self.curCtrPId]=posself.modifyPoint(self.curCtrPId, pos)if self.curCtrPId==self.curCtrPsInd[-1]:if len(self.curCtrPsInd)>1:self.modifyPoint(self.curCtrPsInd[-2], lineColor=self.colorNormal) self.modifyPoint(self.curCtrPId, lineColor=self.colorEnd)else:self.modifyPoint(self.curCtrPId, lineColor=self.colorNormal) self.curCtrPId=Noneself.need2update=Truedef eMidClick(self, event):pos=event.x, event.yif self.curLineId:self.delete(*self.curCtrPsInd)self.delete(self.dotLineId)self.curLineId=Noneelse:self.delete(*self.curCtrPsInd)self.curCtrPsDict.clear()self.curCtrPsInd=[]#.clear()self.curCtrPId=Noneself.editState='select'self.itemconfig(self.stateText, text=self.editState)def eRightClick(self, event):if self.curCtrPId:self.delete(self.curCtrPId)del self.curCtrPsDict[self.curCtrPId]self.curCtrPsInd.remove(self.curCtrPId)self.curCtrPId=Noneif len(self.curCtrPsInd)<2 and self.curLineId:self.delete(self.curLineId, self.dotLineId)del self.lineDict[self.curLineId]self.curLineId=Noneself.dotLineId=Noneif len(self.curCtrPsInd)>0:self.modifyPoint(self.curCtrPsInd[-1], lineColor=self.colorEnd) elif self.curLineId:self.curCtrPsInd.reverse()self.modifyPoint(self.curCtrPsInd[0], lineColor=self.colorNormal)self.modifyPoint(self.curCtrPsInd[-1], lineColor=self.colorEnd)def run(self):while self.running:if self.need2update:if not self.curLineId is None:ctrps=self.sortCtrPs(self.curCtrPsDict, self.curCtrPsInd) self.lineDict[self.curLineId].ctrPoints=ctrps cvps=self.lineDict[self.curLineId].cvpsself.coords(self.curLineId, *self.unpackCoords(cvps)) self.coords(self.dotLineId, *self.unpackCoords(ctrps)) need2update=Falsetime.sleep(0.01)self.update()root=()gui=Cv(root)gui.run()gui.destroy() root.destroy()参考文献：Alias 帮助文档。
计算复杂度自适应的nurbs曲线插补算法
计算复杂度自适应的nurbs曲线插补算法NURBS曲线是一种广泛应用于CAD/CAM领域的曲线表示方法，其具有高精度、灵活性、可视化等优点。
在数控加工中，NURBS曲线插补算法是实现高精度加工的关键。
然而，由于NURBS曲线的复杂性，传统的插补算法在计算复杂度和精度方面存在一定的局限性。
本文提出了一种计算复杂度自适应的NURBS曲线插补算法，通过对曲线的分段和逐步调整插值点的数量，实现了计算复杂度和精度的平衡。
实验结果表明，该算法能够在保证加工精度的同时，有效提高计算速度。
关键词：NURBS曲线；插补算法；计算复杂度；自适应1. 引言NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline）是一种广泛应用于CAD/CAM领域的曲线表示方法，其可以用于描述各种复杂的曲线形状，如圆弧、椭圆、自由曲线等。
与传统的Bezier曲线相比，NURBS曲线具有更高的灵活性和可视化性，可以更好地满足工业设计和制造的需求。
在数控加工中，NURBS曲线插补算法是实现高精度加工的关键。
传统的插补算法通常采用等分段插值的方法，将曲线分成若干个小段，并在每个小段中插入一定数量的插值点，通过插值点之间的直线或曲线段来实现曲线的插补。
然而，由于NURBS曲线的复杂性，传统的插补算法在计算复杂度和精度方面存在一定的局限性。
一方面，当曲线的细节越来越多时，需要插入的插值点数量也会急剧增加，导致计算复杂度急剧上升；另一方面，当曲线的细节较少时，插值点数量较少，可能会导致加工精度不够。
为了解决这些问题，本文提出了一种计算复杂度自适应的NURBS曲线插补算法。
该算法通过对曲线的分段和逐步调整插值点的数量，实现了计算复杂度和精度的平衡。
实验结果表明，该算法能够在保证加工精度的同时，有效提高计算速度。
2. NURBS曲线插补算法2.1 NURBS曲线的定义NURBS曲线是一种基于B样条曲线的有理曲线表示方法。
其定义可以表示为：$$C(u) = frac{sum_{i=0}^n N_{i,p}(u)w_iP_i}{sum_{i=0}^n N_{i,p}(u)w_i}$$其中，$C(u)$表示曲线上任意一点的坐标，$u$表示曲线上的参数，$N_{i,p}(u)$表示第$i$个基函数，$w_i$表示第$i$个控制点的权重，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标。
面向高质量加工的NURBS曲线插补算法
面向高质量加工的NURBS曲线插补算法NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）曲线是一种广泛使用的曲线类型，适用于许多领域，如建筑、汽车工程、动画制作等。
NURBS曲线允许创建表示各种形状的曲线，而无需使用大量的控制点。
在高质量加工任务中，NURBS 曲线插补算法是重要的一部分。
本文将探讨面向高质量加工的NURBS曲线插补算法。
1. NURBS曲线基础知识在 NURBS 曲线中，曲线由一组有序的控制点和一个表示曲线度数的数字组成。
这些控制点以非均匀方式分布在曲线上，因此曲线可以在空间中产生自由度。
NURBS 曲线还包括一组权重，这些权重指定了控制点对曲线形状的具体影响。
因此，NURBS 曲线形状可以通过调整每个控制点的权重来获得。
2. NURBS曲线的优点NURBS 曲线比其他曲线类型具有许多优点。
例如，它们具有良好的可控性和可调性，这使得它们能够表示各种形状。
此外，NURBS曲线还具有平滑性，即使用少量的控制点就可以获得平滑的曲线。
在高质量加工任务中，这些特点都是非常关键的。
3. 插补算法曲线插补算法是用于生成曲线路径的算法，即将曲线分割成帧，并在每一帧中生成路径。
在标准NURBS曲线插补算法中，曲线被分割成等长线段。
每个线段上有一个起始点和一个结束点，并且使用一种遍历算法来生成路径。
这种算法的缺点是可能会产生拐角，因此在高质量加工任务中不能使用。
相反，高质量加工需要的曲线插补算法必须能够生成平滑和连续的路径，并避免拐角和其他不良影响。
下面是两种常见的NURBS曲线插补算法。
4. 平滑轨迹算法平滑轨迹算法是一种流畅、无拐角的曲线生成算法。
它使用三个控制点来生成曲线，即起始控制点、终止控制点和朝向控制点。
这些控制点定义了一条平滑的轨迹，可以通过在起始和终止控制点之间插入适当数量的中间点来进行细分。
这种算法可以生成完全没有拐角或较小拐角的曲线，因此适用于高质量加工任务。
连续微小线段 nurbs 曲线拟合及插补技术研究
连续微小线段nurbs 曲线拟合及插补技术研究全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续微小线段NURBS 曲线拟合及插补技术研究近年来，随着计算机技术和数学建模的不断发展，曲线拟合及插补技术在工程领域中扮演着越来越重要的角色。
尤其是在数字化制造和三维建模领域，对于曲线的精确拟合和插补需求日益增加。
本文将重点探讨连续微小线段NURBS 曲线拟合及插补技术的研究现状和发展趋势。
首先我们需要了解什么是NURBS 曲线。
NURBS 是Non-Uniform Rational B-Spline 的缩写，即非均匀有理B-样条曲线。
它是一种被广泛应用于计算机图形学和CAD/CAM领域的数学曲线表示方法。
NURBS 曲线具有很好的数学性质，能够高效地描述各种形状的曲线，因此在曲线拟合和插补中得到了广泛应用。
在实际应用中，通常我们需要对一组给定的离散点进行曲线拟合，以便得到一个光滑的曲线。
而在拟合过程中，经常会遇到连续微小线段的情况，即曲线需要通过一系列微小的线段来描述。
这时候就需要借助NURBS 曲线来实现连续的拟合。
对于连续微小线段的NURBS 曲线拟合，需要考虑以下几个关键问题。
首先是数据点的采集和处理，即如何从离散的数据点中提取出连续的线段。
其次是曲线的拟合算法，即如何通过数据点来拟合出最优的曲线。
最后是曲线的插补技术，即如何在曲线上插入新的点以实现更细致的描述。
在数据点的采集和处理方面，通常可以采用最小二乘法或最小二乘逼近法来实现。
这些方法能够有效地从离散的数据点中提取出连续的线段，为后续的曲线拟合打下基础。
而对于曲线的拟合算法，常见的方法包括最小二乘法、Bezier 曲线拟合和样条曲线拟合等。
这些算法能够根据数据点的特征来拟合出最符合实际情况的曲线。
在曲线的插补技术方面，可以利用NURBS 曲线的数学性质来实现。
可以通过调整曲线的控制点和权重来实现曲线的插值。
还可以采用分段插值的方法，将曲线分割成多个片段进行插值。
NURBS曲线算法
NURBS曲线算法说明：本文中的所有曲线都是由型值点拟合而成的，通过调整型值点达到调整曲线形状的目的。
设计算法时，请注意误差控制，所有涉及到误差的地方请用变量来控制。
算法封装成C++类1、通过型值点反算控制点（曲线拟合）；2、给定插值点数重新插值：如原曲线是由21个型值点拟合的，现在需要将型值点（插值点）数调整为5个或者更多（如30个），尽量保持原曲线形状。
3、定长调整曲线：如原曲线长度为50，现在需要通过调整曲线上的某个顶点使曲线长度变更为55。
4、计算曲线上离曲线外点P(x,y)最近的点P0。
5、计算插入点位置：如上图所示，当给定一个坐标时P(x,y)时，计算出曲线上的最近点P0，并计算出插值位置（如原曲线是由型值点P1,P2,P3,P4,P5生成的，这时计算出插入点位置为2，则插入点后的曲线由点P1,P2,P0,P3,P4,P5组成）。
6、延长曲线：给定一个延长量，并指定延长端，生成一条新的延长后的曲线，尽量保持原曲线部分不变化。
6、将曲线转换为多义线（一系列线段，折线），可以通过给定的圆顺系数控制多义线的圆顺度。
7、相似曲线算法：如原曲线前首尾端点为A和B，现在给定两个点C和D，并曲线相似到C、D位置：可以通过布尔参数（如bInvert）控制曲线方向，如果bInvert = true，则新曲线是翻转后的曲线：7、调整曲线上两点间的曲线形状：如原曲线由点P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9组成，现在需要调整P5到新的位置P5`，要求P3-P8间的点能跟随自动调整（注：P3和P8也不能动，在本例中P1、P2、P3、P8、P9是锁定点），从而保证调整后的曲线与原曲线形状相似：8、给定任意一个坐标点P(x,y)，计算该点在曲线上的节点矢量（注点P(x,y)有可能在曲线上，也有可能不在曲线上，如果不在曲线上，则映射到曲线上的最近点）。
9、曲线长度计算，及计算任意两个节点矢量间的曲线长度。
5-NURBS曲线高速高精度加工的插补控制
w id i w i- 3 w w
i- 2 i- 1 i
,
w
0≤ t≤1, i = 3, 4, …, n
( 3)
可见, 一条 NU RB S 曲线由 3 个参数定义: 控制 点, 权因子和节点矢量. 将这 3 个参数作为 N C 程序 指令的一部分 ( 如图 1 所示) , 由 CN C 系统内部进行 实时计算生成NU RB S 曲线 , 并按给定进给速度要
∑
i= 0 n
算公式的有关系数, 以简化实时插补的计算量 .
i, k
w i d iN w iN
(u ) ( 1)
2
i
为了便于表达, 引入记号
= u i+ 2 - u i ,
3
i
i
= ,
1
i
= u i+ 1 - u i ,
0
i
∑
i= 0
i, k
(u )
= u i+ 3 - u i , …, 特别地
0 1
+ m 12w + m 22w + m 32w + m 42w
i- 2 i- 2 i- 2 i- 2
+ m 13w + m 23w + m 33w + m 43w
3 i- 2
1- m 11 - m 13 3 (m 11 - m 23 ) - 3 (m 11 + m 33 ) -
( 3
i- 1
)2
3 i- 1
2 i- 1
0 0 0 (
2
i
… K ——; K ——; …
G 06. 2: X , Y , Z: R: K:
控点以想ｘ，ｙ，ｚ的形式给出
第十四讲-NURBS曲线和曲面
1、pointsurface:Y 轴节点数 次对象：point(点) l 选择 1 个顶点(单个) l 选择一行顶点(单行) l 选择一列顶点(单列) l 选择交叉的一行一列顶点(行列) l 选择所有顶点 2、cvsuface(控制点曲面) 参数：Lengthcvs:长控制点数 Widthcvs:宽控制点
第十四讲:NURBS 曲线和曲面
本文是关于 NURBS 曲线和曲面的内容，下面是详细介绍。 一、NuRBS 曲线 作用：可制作圆滑的曲线外形 Create(创建)shape(外形)NURBS pointcurve(点曲线) CVcurve(控制点曲线)：曲线在各控制点连接的多边形内 参数：attach(附加)：将其它曲线附加到当前曲线中 二、NURBS 曲面 作用：可制作圆滑的面，如汽车外壳，床罩，窗帘丝织物品表面 create(创建)→Geomotry(三维几何体)→NurBssurface(NurBs 曲 面)→pointsurface(点曲面)→cvsurface(控制点曲面)
第二个：建立 pointsurface(点曲面) 第三个：复制曲面 第四个和第九个：将 2 个曲线连接成面 第五个：复制曲面，不能分开 第六个：镜向复制曲面 第七个：将曲面拉伸成面 第八个：将曲线旋转成面 以上就是提供的关于 NURBS 曲线和曲面的内容，希望对大家有所帮助。
次对象：与点曲面相同 三、NurBs 创建工具箱 作用：方便创建曲线或者曲面 1、Curves(曲线)工具箱 第一个：建立 cvcurve(控制点曲线) 第二个：建立 Pointcurve(点曲面) 第三个：连接两顶点，限定在点曲线面 第四个：复制曲线 第五个：连接 2 个顶点，点曲线，CV 曲面都可相连 第六个：产生曲线的轮廓线 第七个：镜像复制曲线 3、surface(曲面)工具箱 第一个：建立 cvsurface(控制点曲面)
第五章 曲线曲面(NURBS)的操作概要
七、 边框建模的方法
（1）、创建新的场景，命名为Boundary。 （2）、应用CV工具在Top视图中创建一条曲线。 （3）、在Front视图中创建两条直线，同时复制一条曲线。 （4）、 选择 所有线，使用Surface——Boundary选项，点 击图标调出设置窗口。Curve Ordering部分的Automatic 的作用是自动根据边框创建曲面 （5）、 点击Boundary即可创建边界曲面。
四、旋转（Revolve）
（1）、创建一个场景。 （2）、应用CV工具在Front视图中创建一条曲线。 （3）、选择该曲面，使用Surface——Revolve选项，点击 属性图标调出设置窗口。Axis Preset定义曲线旋转 轴；Start Sweep Angle和End Sweep Angle定义开始 和结束的角度。
五、倒角（Bevel）
（1）、新建场景命名为Bevel。 （2）、创建字体。使用Create→Text命令，在场景中创建 文字。 （3）、选择一个字母，使用Surface→Bevel Plus选项，点 击图标调出设置窗口。 （4）、点击Apply按钮，创建一个倒角字母。 （5）、依次选择其他字母进行倒角，完成倒角创建模型的 操作。
一、切割曲面（Trim Surfaces）与布尔运算 （Booleans）
• 1、切割曲面的方法（以圆柱体为例） • （1）、创建一个场景，命名为Trim。 • （2）、在场景中创建一个NURBS圆柱体，并同时创建 一个Curve的圆。 • （3）、使用缩放工具放大该圆，同时进行旋转。 • （4）、选择圆柱和曲线，使用Edit NUEBS—— Project Curve on Surface命令，点击图标调出设置 窗口。完成参数设置，圆环按照法线的方向投射在圆 柱上。 • （5）、选择圆柱，使用Edit NUEBS——Trim Tool命 令，点击图标调出设置窗口。Keep的作用是保留分割 点所在的曲面；Fitting Tolerance定义切割的精确度， 值越小越精确。 • （6）、点击鼠标左键，在保留的曲面上画一个点，也 可以画多个点，回车键结束运行。 • （7）、通过移动切割边界，可以修改切割位置，移动 圆环还可以调整切割形状。
nurbs曲线拟合
nurbs曲线拟合NURBS曲线拟合是一种高级曲线拟合技术，它使用非均匀有理B样条(NURBS)曲线作为基本元素，为数据点建立一条平滑、自然的曲线。
NURBS曲线拟合在计算机辅助设计（CAD）、计算机图形学、三维建模等领域广泛应用。
下面将介绍NURBS曲线拟合的步骤。
第一步：采集数据点NURBS曲线拟合的第一步是采集数据点。
数据点是指需要拟合的曲线上的离散点。
数据点的数量越多，拟合得越精准。
数据点必须按照一定的顺序排列，以便于进一步的处理。
第二步：选择NURBS基本元素NURBS曲线是由非均匀有理B样条曲线演化而来的。
NURBS曲线是有理曲线，即NURBS曲线的基本元素中含有权值向量，以此来控制曲线上各点的形状。
NURBS基本元素一般由三个参数构成，分别是控制点、节点矢量和次数。
通过调整这些参数，可以使得曲线形状发生变化。
第三步：构建NURBS曲线在确定了NURBS曲线的基本元素之后，可以利用这些参数构建出一条NURBS曲线。
在构建曲线时，需要将数据点在曲线上对应的位置进行拟合，使得曲线尽可能贴合这些点。
构建曲线的过程中使用的算法有较为复杂的数学推导，可以借助计算机进行实现。
第四步：优化拟合结果在构建出曲线后，需要对拟合结果进行评估。
评估的指标主要有两个，一是曲线是否能尽量贴合数据点，二是曲线是否光滑。
如果呈现出较好的拟合效果，就可以输出最终结果。
如果拟合效果不理想，则需要进行优化操作，以获得更好的拟合效果。
总之，NURBS曲线拟合是一项重要而复杂的工作，需要进行数学推导和计算机实现，以确保曲线拟合的精度和可靠性。
通过采集数据点、选择NURBS基本元素、构建NURBS曲线和优化拟合结果这几个步骤，可以得到一条贴合度高、光滑自然的曲线，使得在CAD、计算机图形学、三维建模等领域得到广泛应用。
nurbs曲面拟合算法matlab
【NURBS曲面拟合算法Matlab】1. 简介NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）曲面是一种常用的曲面表示方法，它具有很高的灵活性和逼真度。
在计算机图形学、CAD、仿真等领域，NURBS曲面拟合算法是一个重要的技术工具，而Matlab作为一种强大的数学建模软件，提供了丰富的工具和函数来实现NURBS曲面的拟合。
2. NURBS曲面的概念和特点NURBS曲面是由一系列的控制点和权重构成的，它具有非均匀性和有理性的特点。
这意味着NURBS曲面可以灵活地调整曲线的形状，并且可以表示复杂的曲面几何。
在Matlab中，通过计算控制点的坐标和权重，可以构建出各种形状的NURBS曲面。
3. NURBS曲面拟合的基本原理NURBS曲面拟合是指根据给定的散点数据，利用NURBS曲面的特性来逼近原始曲面的过程。
在Matlab中，我们可以使用最小二乘法或最大似然估计等方法，来求解控制点和权重，从而实现曲面的拟合。
4. NURBS曲面拟合算法的实现在Matlab中，有丰富的工具箱和函数可以用来实现NURBS曲面的拟合。
可以使用Curve Fitting Toolbox中的NURBS拟合工具，或者使用自定义的算法来实现对曲面的拟合。
通过调用这些函数和工具，我们可以轻松地对各种曲面进行拟合操作，并得到高质量的曲面模型。
5. 个人观点和总结作为一种重要的曲面表示方法，NURBS曲面在实际应用中具有很高的价值和广泛的应用。
在Matlab中，通过合理地选择算法和工具，我们可以高效地实现对NURBS曲面的拟合。
对于工程和科研人员来说，深入理解NURBS曲面的原理和算法，可以帮助他们更好地应用这一技术，解决实际问题。
6. 结束语通过本文的介绍，希望读者能够对NURBS曲面拟合算法及其在Matlab中的实现有一个初步的了解。
在实际应用中，可以根据具体的需求和问题，灵活选择合适的方法和工具，来实现对曲面的拟合操作。
matlab nurbs曲线拟合
matlab nurbs曲线拟合
在Matlab中进行NURBS曲线拟合可以使用Curve Fitting Toolbox中的nrbfit函数。
以下是一个示例代码：
```matlab
% 输入控制点和权重
ctrl_pts = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]; % 控制点矩阵，每列代表一个控制点的坐标
weights = [1 1 1 1]; % 权重矩阵，每个控制点的权重
knots = [0 0 0 0.5 1 1 1]; % 结点矢量
% 进行NURBS曲线拟合
nurb = nrbfit(ctrl_pts, weights, knots);
% 绘制拟合结果
t = 0:0.01:1; % 参数化值
x = nrbdeval(nurb, t); % 计算曲线上的点坐标
plot3(x(:,1), x(:,2), x(:,3), 'r-');
hold on;
scatter3(ctrl_pts(1,:), ctrl_pts(2,:), ctrl_pts(3,:), 'bo');
```
在此示例中，我们首先定义了一组控制点、权重和结点矢量。
然后，使用nrbfit函数对这些数据进行NURBS曲线拟合。
最后，使用nrbdeval函数计算曲线上的点坐标，并使用plot函数将曲线绘制出来。
同时，我们也使用scatter函数将控制点绘制成蓝色圆点。
NURBS曲线理论
第三章 NURBS 曲线理论基础NURBS 方法的提出是基于描述自由曲面曲线的B 样条方法。
B 样条基函数和B 样条曲线是UURBS 曲线的基础，UURBS 是非均匀有理B 样条的英文缩写。
因此在给出UURBS 曲线定义之前，先介绍一下B 样条基函数和B 样条曲线的相关知识。
3.1 B 样条基函数定义和性质B-Spline Function （简称B 样条）就是B 样条基函数，是样条函数的一种。
B 样条不但具有一般样条函数所具有的分段光滑又在各段交接处具有一定光滑性等特点，而且具有许多其他优良性质，如连续阶数可调、局部支撑性、递推性等。
有很多种方法可以用来定义B 样条基函数，我们这里采用de Boor-Cox 递推定义方法，是由这种递推法很容易和有效地在计算机上实现。
而且de Boor-Cox 递推定义很好地揭示了B 样条基函数的性质。
B 样条基函数的de Boor-Cox 递推定义如下：1,01,,11,1i 111[,N 0()()000i i i i i k i k i k i k i k i k i u u u u u u u N N u N u u u u u +++-+-++++⎧∈⎧=⎨⎪⎩⎪⎪--⎪=+⎨--⎪⎪=⎪⎪⎩）其他规定： (3. 1) 上式(3．1)中k 为B 样条的次数(k+1阶)；令U={u 0，u 1，…，u m }是一个单调不减的实数序列，u i 称为节点序列，U 称为节点矢量，若存在ui-1,<u i =u i+1=…=u i+r-1<u i+r 则称节点u i 的重复度为r ，其中，r 、n 均为整数；N i,k (u )表示参数为u 时，k 次B 样条序号为i 的基函数值。
B 样条具有良好的性质，简单概括主要有【18,20】： ● 递推性：定义式(3．1)很好的说明了这个性质。
● 规范性：对于定义域内任意参数u ，所有的k 次B 样条基函数之和恒为1，即1)(0,=∑=u N mi k i 。
五轴双NURBS刀具路径拟合及其插补算法研究
五轴双NURBS刀具路径拟合及其插补算法研究随着数控技术的不断进步,五轴数控机床无论是在加工效率还是加工精度上都有了质的飞跃。
而五轴加工刀具路径拟合及其插补技术是影响五轴加工数控机床性能的关键技术,因此该技术的研究对于五轴加工数控机床的发展将是意义空前的。
本文从五轴加工刀具路径拟合方法以及NURBS曲线插补算法入手,提出了五轴双NURBS刀具路径拟合及其插补算法。
在研究了已有的五轴加工刀具路径拟合方法之后,利用NURBS曲线的性质,将有理运动法的思想运用到双B样条曲线拟合方法中,通过对偶四元数描述刚体空间运动,利用对偶四元数空间插值出的B样条对偶四元数曲线描述有理B样条运动,最终映射到三维空间便得到等距双NURBS刀具路径。
利用De-Boor算法完成了对B样条和NURBS曲线上点和导矢的快速计算。
在插补点曲线参量计算上采用了目前使用比较多的二阶泰勒展开公式近似的方法,并对弦误差受限的自适应速度进行了推导。
在插补前瞻模块,给出了NURBS曲线速度敏感点的分类以及寻找方法,并采用七段速度轨迹规划方法对曲线段进行速度规划。
针对由于曲线段较短可能出现的速度轨迹规划交叉,给出了规划交叉的全部情况及相应的速度轨迹规划解决方法,最后对整条NURBS曲线的速度轨迹规划进行了分析。
在分析了五轴加工数控机床的运动学逆解之后,给出了五轴加工数控机床的全部类型,并以双转台五轴加工数控机床为例,分析了其逆解结果。
最终将NURBS曲线直接插补算法运用到生成的等距双NURBS刀具路径中,便得到了五轴双NURBS刀具路径插补算法。
最后,对本文算法进行仿真研究,可以看出得到的刀具路径光滑,插补速度,加速度平滑性好,同时满足机床的限定要求。
CAGD第七章NURBS曲线的计算与应用
第七章 NURBS 曲线的计算与应用7.1 有理de Casteljau 算法对于给定的有理n 次B ézier 曲线：10,)()()(00≤≤=∑∑==t t B t B t ni n i i ni n i i i p P ωω （7.1.1）由于它是带权控制顶点4],[ℜ∈=i i i i ωωω p p 定义的非有理n 次B ézier 曲线在超平面1=ω上的透视投影，因此对于)(t P 的计算可直接采用非有理B ézier 曲线的de Casteljau 算法计算由ωi p 定义的高一维空间的非有理n 次B ézier 曲线，最后取其在超平面1=ω的投影即可。
这也可以看作分别同时对)(t P 的分子和分母执行非有理的de Casteljau 算法，最后相除即可。
下面我们举例说明这一计算过程。
例 给定控制顶点)1,0(),1,1(),0,1(210 p p p ===及权因子2120,1===ωωω ，定义一条平面有理二次B ézier 曲线)(2t P ：22221022)1(2)1()1(2)1()(tt t t t t t t t +-+-+-+-=p p p P 求曲线上参数为1=t 的点)(12P 。
求解步骤如下：1. 确定带权控制顶点2,1,0],,[ p p ==i i i i i ωωω：]1,1,0[],,,[],1,0,1[222222210 pp p ===ωωω2. 以参数21=t 对带权控制顶点执行de Casteljau 算法：ωωω20242214221421142214241424120101422142422110000],,[],,[],,[p BB B p BB p B =++=+++==++==3. 取0B 在1=ω上的中心投影，即用最后一个表示权因子的坐标除以其余各坐标分量，得到该有理二次B ézier 曲线上所求的点)(212P ：计算机辅助几何设计 114),(),()(222222212221212 P ==++++由此例可以看出，对于有理n 次B ézier 曲线上点的计算，其方法与非有理B ézier 曲线的方法完全一样，所不同的是计算量有所增加，增加了2)1(+n 乘法、2)1(+n n 加法和一次除法。
PPT2-NURBS原理
3.4 评定规则
评定规则便是Rhinoceros使用的一套通过采集用户的输入行为来得到一个NURBS 对象的计算机代码集合，这个规则集合包含了“阶”、“控制点”、“节点”、 “B-样条曲线公式”、“坐标映射”等各种因素，通过采集用户的输入数据来得 到一个NURBS对象，例如其最基础的一部分便是将节点矢量数值转换为坐标系上 的点。
一个标准的均匀赋值节点矢量 以上节点矢量可以表示为{0,1,2,3,4,5,6,7}，若此时恰好有7个控制点存在，一个简单 的模型描述便是这7个控制点便通过其位置对这7个节点区间造成影响从而变化成一 根曲线(实际规则要更加复杂)。
NURBS曲线通过对B-样条曲线的均匀节点矢量进行扩展，允许节点矢量赋值不均匀， 例如将以上节点矢量变为{0,1,2,3.3,4.67,5,6,7}那么就会由于某些控制点影响的区间 发生变化，而造成形成与刚才均匀赋值下曲线形态不同的一根曲线。
G1连续曲面斑马线纹理连续但方向发生 突变。
在连续处的点和旁边两个控制点此3点位于 同一条直线上，而且我们将①③点不论移动 到哪个位置，只要位于该直线上（但相对② 的位置方向不能发生变化），这两条曲线都 将形成G1连续。我们可以通过这种方法来手 动调节两条曲线形成G1连续。
G2连续
G2连续又称曲率连续，发生G2连续的两个对象在相交处点点连续，而且其曲率的切 线方向和半径大小都一致。这种连续性的曲线其曲率图形会呈现一个G0连续的不发 生间断的曲线形式，因此更高阶的连续其曲率图形也更加光滑。
节点矢量在出现重复的地方称为复节点-“MutilKnot”，重复数等于阶数的 节点赋值又称为全复节点（Full-MultKnot）。 NURBS一根曲线的节点赋值以全复节点开始，其中间全为单节点，最后以 全复节点结束，而且节点值呈等差，那么这根NURBS曲线即为 “均匀 （Uniform）”的。对于3阶6个控制点的NURBS曲线而言 {0,0,0,1,2,3,3,3}节 点赋值即是一个均匀（Uniform）的节点赋值。反之，曲线则为不均匀。 （Non- Uniform）的
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怎园 越怎员 越怎圆 越怎猿 越园
怎灶垣猿 越怎灶垣源 越怎灶垣缘 越怎灶垣远 越员 采用积累弦长参数化法院
灶
移 怎蚤垣猿 越怎蚤垣圆 垣 择蚤 原择蚤原员 辕
择蚤 原择蚤原员
蚤越员
渊圆冤
灶垣员 个型值点 择蚤渊蚤越园袁噎袁灶冤袁设总弦长为 蕴袁则院
灶
移 蕴越
择蚤 原择蚤原员
渊猿冤
蚤越员
如图 圆 加入了新的型值点 择贼袁 必定存在 皂沂咱园袁灶暂袁 使得
德布尔递推公式定义的三次 月 样条基函数咱远暂遥
猿 迭代算法增加控制点
采用迭代算法增加控制点袁最初的控制点通过插值法求得袁
以后的每次迭代所增加的控制点都通过改进算法得到遥
猿援员 增加型值点对节点矢量的影响
三次 晕哉砸月杂 曲线插值过程中袁型值点 择蚤渊蚤越园袁员袁噎袁灶冤与 节点矢量 怎蚤垣猿 对应遥
一条三次 晕哉砸月杂 曲线可表示为矢量有理多项式函数院
灶
移憎蚤 凿蚤 晕蚤袁猿 渊怎冤
孕渊怎冤越
蚤
越
园 灶
渊员冤
移憎蚤 晕蚤袁猿 渊怎冤
蚤越园
式中院憎蚤渊蚤越园袁员袁噎袁灶冤为权因子袁分别与控制顶点 凿蚤渊蚤越园袁
员袁噎袁灶冤相对应遥 晕蚤袁猿渊怎冤是由节点矢量 哉越咱怎园袁怎员袁怎圆袁噎袁怎灶垣源暂按
砸葬扎凿葬灶 选择节点的方法来求轨迹点袁利用 晕哉砸月杂 曲线的曲率
积分导出一组插值点的横坐标袁作为所求轨迹点的横坐标遥 计算
得到这些横坐标在 晕哉砸月杂 曲线上相对应的纵坐标袁 方向上平移距离 匀袁得到的一组
点作为等离子弧发生器的运动轨迹点遥
圆 晕哉砸月杂 曲线定义
140
等离子弧表面处理中的 晕哉砸月杂 曲线拟合及轨迹点算法
等离子弧表面处理中的 晕哉砸月杂 曲线拟合及轨迹点算法
晕哉砸月杂 悦怎则增藻 云蚤贼贼蚤灶早 葬灶凿 栽则葬糟噪 孕燥蚤灶贼 粤造早燥则蚤贼澡皂 蚤灶 孕造葬泽皂葬 粤则糟 杂怎则枣葬糟藻 栽则藻葬贼皂藻灶贼
吕 鑫 王硕桂 渊中国科学技术大学精密机械与精密仪器系袁安徽 合肥 圆猿园园圆苑冤
择皂约择贼约择皂垣员袁新的型值点集 择蚤忆表示成院
择忆蚤 越择蚤 袁渊园臆蚤臆皂冤
择忆 皂垣员
越择贼
叶工业控制计算机曳圆园员怨 年第 猿圆 卷第 愿 期
141
图 圆 增加型值点
忆
择贼垣员 越择蚤 袁渊皂垣员臆蚤臆灶冤
渊源冤
此时总弦长变为 蕴忆袁由三角形定理可知院
蕴忆跃蕴
蕴忆越蕴原 择皂垣员 原择皂 垣 择贼 原择皂 垣 择皂垣员 原择贼
关键词院晕哉砸月杂 曲线曰曲线拟合曰反求控制点 粤遭泽贼则葬糟贼押栽澡蚤泽 责葬责藻则 责则燥责燥泽藻泽 葬灶 葬造早燥则蚤贼澡皂 遭葬泽藻凿 燥灶 晕哉砸月杂 糟怎则增藻 贼燥 枣蚤贼 贼澡藻 泽怎则枣葬糟藻 糟怎则增藻 燥枣 糟燥皂责造藻曾 憎燥则噪责蚤藻糟藻泽 葬灶凿 贼澡藻灶 怎泽藻 贼澡藻 枣蚤贼贼蚤灶早 糟怎则增藻 贼燥 泽藻造藻糟贼 泽怎蚤贼葬遭造藻 贼则葬糟噪 责燥蚤灶贼泽援粤糟糟燥则凿蚤灶早 贼燥 贼澡藻 葬糟糟怎则葬糟赠 则藻择怎蚤则藻皂藻灶贼泽 燥枣 贼澡藻 责造葬泽皂葬 葬则糟 早藻灶藻则葬贼燥则 憎葬造噪蚤灶早 贼则葬糟噪熏贼澡藻 葬造早燥则蚤贼澡皂 燥枣 糟葬造糟怎造葬贼蚤灶早 糟燥灶贼则燥造 责燥蚤灶贼泽 蚤泽 蚤皂责则燥增藻凿 增蚤葬 蚤灶糟则藻葬泽蚤灶早 贼澡藻 增葬造怎藻 责燥蚤灶贼 葬贼 贼澡藻 皂葬曾蚤皂怎皂 藻则则燥则 燥枣 贼澡藻 晕哉砸月杂 糟怎则增藻援栽澡藻 糟怎则增葬贼怎则藻 蚤灶贼藻早则葬造 蚤泽 怎泽藻凿 贼燥 枣蚤灶凿 贼澡藻 噪藻赠 责燥蚤灶贼泽 燥灶 贼澡藻 糟怎则增藻熏葬灶凿 贼澡藻灶 贼澡藻泽藻 噪藻赠 责燥蚤灶贼泽 葬则藻 责则燥责藻则造赠 皂燥增藻凿 葬泽 贼澡藻 贼则葬糟噪 责燥蚤灶贼泽 燥枣 贼澡藻 责造葬泽皂葬 葬则糟 早藻灶藻则葬贼燥则 贼燥 蚤皂责则燥增藻 贼澡藻 择怎葬造蚤贼赠 燥枣 贼澡藻 责造葬泽皂葬 葬则糟 泽怎则枣葬糟藻 贼则藻葬贼皂藻灶贼 燥枣 贼澡藻 泽澡葬责藻凿 憎燥则噪责蚤藻糟藻援 运藻赠憎燥则凿泽押晕哉砸月杂 糟怎则增藻熏蚤灶糟则藻葬泽藻凿 增葬造怎藻 责燥蚤灶贼熏则藻增藻则泽藻 糟燥灶贼则燥造 责燥蚤灶贼
渊缘冤
再观察对节点矢量的影响袁 加入新的型值点后袁哉越咱怎园袁怎员袁
员 等离子弧表面处理 等离子弧表面处理技术作为一种新型表面强化处理技术袁
能够有效提高工件表面硬度尧耐磨性袁同时还能保持内部良好的 韧性和表面粗糙度袁可以显著提高工件的综合力学性能咱员暂遥 为保 证表面强化的质量袁在等离子弧表面处理中袁要求等离子弧发生 器与工件表面的间距在一个合理范围内遥 设此范围为 匀依吟澡袁匀 为理论间距袁吟澡 为允许偏差袁如图 员 所示遥 发生器固定在数控 机床上袁曲线 员 为工件表面轮廓袁虚线 圆 为等离子弧发生器的运 动轨迹遥等离子弧表面处理过程中袁要求虚线 圆 与曲线 员 的间距 始终控制在 匀依吟澡 范围内遥
摘要院针对等离子弧表面处理技术的特点袁提出了一种基于 晕哉砸月杂 曲线对复杂工件表面曲线进行拟合袁进而利用拟合 曲线选取合适轨迹点的算法遥 根据等离子弧发生器行走轨迹精度的要求袁改进反求控制点袁在 晕哉砸月杂 曲线最大误差处增加 型值点袁且利用曲率积分找到曲线上的关键点袁再将这些点作适当平移作为等离子弧发生器运行的轨迹点袁提高等离子弧表 面处理异形工件的质量遥 该算法能有效简化曲线拟合和求等离子弧发生器轨迹点的计算过程遥
图 员 等离子弧表面处理 本文首先利用 晕哉砸月杂 曲线对工件表面轮廓进行拟合袁传 统的 晕哉砸月杂 曲线拟合由一个小数目的控制点开始袁 通过检查 拟合曲线对数据点的偏差来增加控制点的数目袁 并经过数次迭 代得到要求误差范围内的拟合曲线遥 很多文献都在反求控制点 方面进行了研究袁孕葬则噪 等人利用最小二乘法反算控制点咱圆暂袁周红 梅等人通过德布尔递推式求解控制点咱猿暂袁原庆红等人应用线性 约束能量最小化方法反算出控制点咱源暂袁但这些控制点计算方法 都存在计算量过大的问题袁 不利于等离子弧表面处理的实际应 用遥 砸葬扎凿葬灶 提出了一种自适应地选择节点来插值 月 样条曲线 的方法袁 根据原始曲线的曲率信息选择节点 咱缘暂遥 本文借鉴了