高中数学-空间向量与其计算-李君浩

环球雅思教育学科教师讲义讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】1.了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标运算。

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

【趣味链接】向量的建立经过了一个漫长的过程,所以不能说具体由哪个人建立起来的.从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。

【知识梳理】1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa4 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式OP OA t =+ a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量6空间直线的向量参数表示式：OP OA t =+ a 或()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+ ，中点公式．1()2OP OA OB =+7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP x OA y OB z OC=++10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,O A a O B b == ，则AOB ∠叫做向量a与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥11．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影 A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）【经典例题】1.下列命题中不正确的命题个数是①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD+DA =0 ；②|a |－|b |=|a +b |是a 、b共线的充要条件③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC（其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面A 1B 2C 3D 42在以下四个式子中正确的有①a +b ·c ，②a ·（b ·c ），③a （b ·c ），④|a ·b |=|a ||b|A 1个B 2个C 3个D 0个3.设向量a 、b 、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A {a +b ，b －a ，a }B {a +b ，b －a ，b }C {a +b ，b －a ，c }D {a +b +c ，a +b ，c }4.在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，向量AB ' 、AD ' 、BD是A 有相同起点的向量B 等长的向量C 共面向量D 不共面向量解析：∵AD ' －AB ' =B D '' =BD ，∴AB ' 、AD ' 、BD共面5.平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若11A B =a ，11A D =b ，1A A =c ，则下列式子中与1B M相等的是A － 21a + 21b +cB 21a + 21b +cC 21a － 21b +cD － 21a － 21b +c6O 、A 、B 、C 为空间四个点，又OA 、OB 、OC为空间的一个基底，则A O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 B O 、A 、B 、C 四点不共线C O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线D O 、A 、B 、C 四点不共面7已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF=_____________8已知a +3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b〉=_______9.．设a ={1,2,0}, b ={1,0,1}，则：“c ={32，－31，－32}”是“c⊥a ,c ⊥b 且c 为单位向量”的（ ） A ． 充要条件 B ． 充分不必要条件C ． 必要不充分条件D ． 既非充分条件也非必要条件 10．下列结论恒成立的是（ ）①若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β②过直线外一点能作一条直线与已知直线平行③如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么，这两个角相等=+，则A,B,C 三点共线。

A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【课堂练习】1.如图，在平行六面体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，M 为AC与BD 的交点．若B A =11,D A =11,A =1,则下列向量中与B 1相等的向量是（ ）A ．++-2121B ．++2121C ．+-2121 D ．+--2121 2如图，正三棱锥P-ABC 的底面边长为1， E,F,G ,H,分别是PA,AC,BC,PD 的中点，四边形EFGH 的面积为S(x)，则S(x)值域为_________A ． ｛41｝ B ．（0, +∞） C ． （123, +∞） D ．（63, +∞） 3． 已知→a ＝（—4,2,x ），→b ＝(2,1,3),且→a ⊥→b ，则x ＝ 。

4． 向量()b a b a 57)3(-⊥+ ，()()274-⊥-，则和所夹角是5． 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 点D 满足条件：DB ⊥AC, DC ⊥AB, AD=BC, 则D 的坐标为【课后作业】1．平行六面体 1111D C B A ABCD -中，E,F,G,H,P,Q 是111111,,,,,A D D C CC BC AB A A 的中点，则A（ ）A ．=++B ．=--C ．=-+D ．=+-2．已知空间三点O(0，0, 0), A(-1, 1, 0), B(0, 1, 1), 在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为（ ）C 1MA B 1A ．(-2, 2, 0)B ．(2, -2, 0)C ．)0,,(2121-D ．)0,,(2121- 3．若()(),,,,,,321321b b b a a a == 则332211b a b a b a ==是b a //的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E, F 分别是 BC, AD 的中点，则=⋅（ ）A ． 0B ．21C ．43-D ．21-5．O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),[0,).|||A BA C O P O A AB A Cλλ=++∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0≠⋅AC BD ； ② 60=∠BAC ；③三棱锥D —ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确的是 （ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7． 若()1,3,2-=, (),3,0,2= ()2,2,0=, 则()+⋅=（ ）A ． 4B ． 15C ． 7D ． 38． 三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设a AB =，bAC =，c AA =1，则NM 等于） A ．)(21++ B ．)(21-+C ．)(21+D ．)(21-+CC【课后反馈】本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________ 本次课后作业：___________________________________________________________________________________ 需要家长协助：____________________________________________________________________________________ 家长意见：________________________________________________________________________________________【参考答案】经典例题1.解：易知只有①是正确的，对于④，若O 平面ABC ，则OA 、OB 、OC不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面答案：C2解析：根据数量积的定义，b ·c 是一个实数，a +b ·c 无意义实数与向量无数量积，故a·（b ·c ）错，|a ·b |=|a ||b ||c os 〈a ，b 〉|，只有a （b ·c）正确 答案：A3.解析：由已知及向量共面定理，易得a +b ，b －a ，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C 答案：C4.答案：C5.解析：1B M =1B B + BM =1B B + 21（BA +BC ）=1A A －2111A B + 2111A D =c － 21a + 21b，故选A 答案：A6.解析：由基底意义，OA 、OB 、OC 三个向量不共面，但A 、B 、C 三种情形都有可能使OA 、OB 、OC共面只有D 才能使这三个向量不共面，故应选D 答案：D7.解析：∵EF =EA +AB +BF ，EF =EC+CD +DF ，两式相加，得2EF =（EA +EC ）+（AB +CD ）+（BF +DF）∵E 是AC 的中点，故EA +EC=0同理，BF +DF =0∴2EF = AB +CD =（a －2c ）+（5a +6b －8c ）=6a +6b －10c ∴EF =3a +3b －5c 答案：3a +3b －5c8.解析：由条件知（a +3b ）·（7a －5b ）=7|a |2－15|b |2+16a ·b =0，及（a －4b ）·（7a －2b ）=7|a |2+8|b |2－30a ·b =0两式相减得46a ·b=23|b |2，∴a ·b = 21|b |2代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |=|b |∴c os 〈a ，b 〉=a b |a ||b |⋅=221|2|b |b |1∴〈a ，b 〉=60° 答案：60°9.B 10 D 11 A 12 C课堂练习1． 2 2．60° 3．（1，1，1）或),,(111---课后作业1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．D。