“江淮十校”2019届高三第一次联考理科数学试题(含答案)

“江淮十校”2019届高三第一次联考
理科数学2017.8
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
1,2,3,4
A=，()
{}
2
log41
B x x
=-?，则A B=
I( )
A．{}
1,2B．{}
2,3C．{}
1,2,3D．{}
1,2,3,4
2.若复数z满足()34
i z i
+=(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )
A．3i+B．3i-C．13i
+D．13i
-
3.如图是某年北京国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

若大正方形的面积是13，每个直角三角形的两直角边的和是5，在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．
12
13
B．
10
13
C．
1
13
D．
3
13
4.已知数列{}n a是等差数列，3813
a a
+=，且
4
5
a=，则
7
a=( )
A．11 B．10 C.9 D．8
5.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是( )
A．2
2
p
+B．2
3
p
+
C.4
3
p
+D．4
2
p
+
6.执行如图所示的程序框图，若将判断框内“100
S>”改为关于n的
不等式“
n n
≥”且要求输出的结果不变，则正整数
n的取值是( )
A．4 B．5 C.6 D．不唯一
7.设变量,x y满足约束条件
3
1
23
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，则
1
x y
z
x
++
=的取值范围是( )
A ．[]2,4
B ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
8.已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+-<<，将()f x 的图象向左平移3
p
个单位长度后所得的函数图象经过点()0,1，则函数()()cos 2g x x j
=+( )
A ．在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减
B ．在区间,63ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增
C. 在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值 D ．在区间,63ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上有最小值
9.函数()3cos391
x x x
f x =-的大致图象为( )
A ．
B ． C. D ．
10.已知球1O 与正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的所有表面都相切，并且该三棱柱的六个顶点都在球2O 上，则球1O 与球2O 的表面积之比为( ) A ．1:2 B ．1:3 C.1:4 D ．1:5
11.已知函数()()
()24sin 21f x x x x x =--++在[]1,5-上的最大值为M ，最小值为m ，则
M m +=( )
A ．0
B ．2 C.4 D ．6
12.已知F 为抛物线22x py =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于A B ，两点，1l ，2l 分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线，1l ，2l 相交于点C ，设AF a =，BF b =，则CF =( ) A a b + B ab C.
2
a b
+ D 22a b + 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若非零向量,a b r r 满足32a b a b ==+r r r r
，则a r 与b r 的夹角余弦值为 ．
14.在()()5
221x x -+的展开式中，5x 的系数为 ．(用数字作答)
15.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且
120PF PF ⋅=u u u r u u u u r
，12F PF △的内切圆半径2r a =，则双曲线的离心率为 ．
16.对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a H n
-+++=…为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的
“优值”为12n n H +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的()
*n n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在ABC △中，已知22sin cos212
A B
C ++=，外接圆半径2R =. (1)求角C ；
(2)求ABC △面积的最大值.
18.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC =∠°. (1)若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ； (2)若2CD =，二面角1A C D C --的余弦值为5
，求三棱锥11C A CD -的体积.
19.计划在某水库建一座至多安装2台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足100的年份有40年，不低于100的年份有10年.将年入流量在以上两段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中，至多1年的年入流量不低于100的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制，并有如下关系：
某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
20.椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1
2，设过点2F 的直线l
被椭圆C 截得的线段为RS ，当l x ⊥轴时，3RS =. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知点()4,0T ，证明：当直线l 变化时，总有TS 与TR 的斜率之和为定值.
21.已知函数()()21
ln 12f x x ax a x =-+-，a R ∈.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当2a =-时，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明：121
4x x +>.
22.已知直线l 的参数方程为33112
x t y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半
轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos 6πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)若(),P x y 是直线l 与圆面4cos 6πρθ⎛
⎫≤- ⎪⎝
⎭的公共点，求3x y m =+的取值范围.
23.已知函数()211f x x x =-++. (1)解不等式()4f x <；
(2)若存在实数0x ，使得不等式()0f x m t t m <++-对任意实数t 恒成立，求实数m 的取值范围.。