(浙江版)2018年高考数学复习：专题5.5 数系的扩充和复数的引入(练)

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2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略：数系的扩充与复数的引入含答案

核心考点解读——数系的扩充与复数的引入复数的有关概念（II）复数的代数表示法及几何意义（I）复数的四则运算（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要在选择题、填空题中，考查复数的概念、模、几何意义及复数代数形式的四则运算.2.从考查内容来看，主要考查复数的几何意义的理解，复数的模的表示以及复数代数形式的四则运算.3.从考查热点来看，复数代数形式的四则运算是高考命题的热点，以复数的四则运算法则为依据，对复数的加、减、乘、除进行求值计算.1.数系的扩充数系的扩充：自然数集错误!未找到引用源。

，整数集错误!未找到引用源。

，有理数集错误!未找到引用源。

，实数集错误!未找到引用源。

，复数集错误!未找到引用源。

，其从属关系用集合来表示为错误!未找到引用源。

.2.复数的有关概念(1)复数的表示：错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

：复数的实部；错误!未找到引用源。

：复数的虚部；错误!未找到引用源。

：虚数单位，规定：错误!未找到引用源。

.(2)复数的分类：若错误!未找到引用源。

，则复数为实数；若错误!未找到引用源。

，则复数为虚数；若错误!未找到引用源。

，则复数为纯虚数.(3)复数相等：若错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

.(4)共轭复数：若错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

互为共轭复数，则错误!未找到引用源。

.记作错误!未找到引用源。

.(5)复数的模：若错误!未找到引用源。

，则复数的模为错误!未找到引用源。

.(6)复数的几何意义：错误!未找到引用源。

与复平面上的点错误!未找到引用源。

一一对应；与向量错误!未找到引用源。

一一对应.3.复数代数形式的四则运算(1)设错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

.(2)复数代数形式的四则运算满足分配律、结合律等.复数的除法运算一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法运算加以化简.(3)几个常见的复数运算的技巧：错误!未找到引用源。

高考数学一轮复习(浙江版)专题5.5数系的扩充和复数的引入(练)含解析

A 基础巩固训练1．【2018年全国卷Ⅲ理】（） A. B. C. D.【答案】D点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。

2．【2018年理数全国卷II 】（） A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D.3.如图，复平面上的点1234,Z ,,Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z【答案】B【解析】z i ⋅为将复数z 所对应的点逆时针旋转90得2Z ，选B.4.已知复数(1)(1)z i ai =+-是实数，则实数a 的值为（）A ．1B ．0C ．-1D ．1±【答案】A【解析】(1)(1)(1)(1)z i ai a a i =+-=++-是实数，所以10,1a a -==，选A.5.已知i 是虚数单位，则12iz i =-在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】()()()12221121212555i i i i z i i i i ?-+====-+--+，故12i z i =-在复平面内对应的点位于第二象限，选B B 能力提升训练1.【2018届河南省中原名校高考预测金卷】若复数在复平面内对应点为，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】2.若复数z 满足()11i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（）A C ．2 D ．1 【答案】D【解析】 ()()()()1111,22,,1i i z i i z i z i z +-=--=-=-=.3.【2018届浙江省台州中学第三次统练】已知复()2121iz i --=+，则复数z 的共轭复数z =（）A ． 3144i -+B ． 1344i -+C ． 112i --D ． 112i -+ 【答案】C【解析】因为()2121iz i --=+ 121111222i i i i i i ---⨯=-=-+⨯ ，所以复数z 的共轭复数112z i =--，故选C. 4.设复数z 满足()25i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意，得55(2)122(2)(2)i i i z i i i i +==-+--+，其在复平面对应的点为(1,2)-，位于第二象限，故选B ． 5.若复数112m i i +++是实数，则实数m =（） A ．12 B ．1 C ．32D ．2 【答案】B【解析】因为1(1)11112(1)(1)222m i m i i m m i i i i +-++-+=+=+++-是实数，所以102m -=，即1m =，故选B ． C 思维扩展训练1.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上学期期初】已知i 是虚数范围，若复数z 满足411i z=-+，则•z z =（）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 8【答案】B 【解析】由411i z =-+，得41121z i i=-=+-，则25z z z ⋅==，故选B ． 2.“1m =±”是“复数2(1)(1)m m i -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B.【解析】由题意得，2(1)(1)m m i -++是纯虚数210110m m m ⎧-=⇔⇔=⎨+≠⎩，故是必要不充分条件，故选B.3.【2018届陕西省延安市黄陵中学6月模拟】若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】4.已知i 是虚数单位，a R ∈，复数123,12z ai z i =-=+，若12z z ⋅是纯虚数，则a =（）A ．32-B ．32C ．6-D ．6【答案】A【解析】复数123,12z ai z i =-=+，∴()()()i a a i ai z z -++=+-=⋅62321321是纯虚数，∴⎩⎨⎧≠-=+06023a a ，解得23-=a ．故选：A ． 5.如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（） A ．-6 B ．23- C ．23 D ．2 【答案】B。

2018届一轮复习人教版第十四章数系的扩充与复数的引入课件(48张)(浙江专用)

4i z z 1
)
答案
z =(1+2i)(1-2i)=5,∴ = C ∵z =i,故选C.
4i 4i z z 1 4
13.(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ( A.(-3,1) ) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
)
答案
B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,
∴
x 1, ∴|x+yi|=|1+i|= 12 12 = 2 .故选B. y 1,
评析
本题考查复数相等的条件,属容易题.
12.(2016课标全国Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则 = ( A.1 B.-1 C.i D.-I
)
本题考查复数的运算.
1 i i
由zi=1+i得z= =1-i, 所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.
5.(2017课标全国Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:
p1:若复数z满足 ∈R,则z∈R; p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
z2 ; p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
2 2 2 2
得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.
评析本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.
9.(2013浙江,1,5分)已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= ( A.-3+i C.-3+3i B.-1+3i D.-1+I
)
答案
B (-1+i)(2-i)=-1+3i,选B.

2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第五章平面向量、复数第4讲数系的扩充与复数的引入含答案

第4讲数系的扩充与复数的引入最新考纲1。

理解复数的基本概念；2。

理解复数相等的充要条件；3。

了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5。

了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋b i(a∈R,b∈R）的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋b i为实数；若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d（a，b,c，d∈R）共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a ＝c且b＝－d（a,b，c，d∈R）复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚y轴叫虚轴数，各象限内的点都表示虚数复数的模设错误!对应的复数为z＝a＋b i，则向量错误!的长度叫做复数z＝a＋b i的模｜z｜＝|a＋b i｜＝a2＋b22.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1）复数z＝a＋b i复平面内的点Z（a，b)(a，b∈R).（2）复数z＝a＋b i（a,b∈R）平面向量错误!.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b,c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝（a＋b i)＋(c＋d i）＝（a＋c）＋（b＋d）i；②减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i）＝（a－c）＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝（a＋b i）·(c＋d i)＝(ac－bd）＋（ad＋bc)i；④除法：z1z2＝错误!＝错误!＝错误!(c＋d i≠0).诊断自测1。

判断正误（在括号内打“√”或“×")（1)复数z＝a＋b i（a，b∈R）中，虚部为b i。

（)(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ）（3)原点是实轴与虚轴的交点.（)（4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( ）解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2016·全国Ⅰ卷）设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝（)A.－3 B。

(浙江版)2018年高考数学复习：专题5.5 数系的扩充和复数的引入(测)

第05节数系的扩充和复数的引入班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2017届浙江台州期末】已知复数的虚部1，则 ( ) A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，应选答案A.。

2.若复数()21(ai i -为虚数单位,a R ∈) 是纯虚数, 则a =（） A ．1 B ．1- C ．0D ．1±【答案】D【解析】3. 【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】已知复数()2z i i =-，其中i是虚数单位，则z 的模z = ( )【答案】B【解析】()22z i i i i =-=-==B ．4.设复数1z i =--（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则|(1)|z z -⋅=（）A ．2 C D ．1【答案】A【解析】因1z i =--,故i z i z +-=+=-1,21,所以i i i z z +-=+-+=-3)1)(2()1(,则10|)1(|=-z z ,应选A.5.已知复数10512ai z i-=-的实部与虚部之和为4，则复数z 在复平面上对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】6.设i 是虚数单位，则复数25()2i i -+=+（） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -【答案】B【解析】25()1212i i i i-+=-+-=-+，选B. 7.复数z =5310512i i -+在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因i i i i i z 345)2)(21(521)2(5+=-+=--=,故应选A. 8.设i 是虚数单位，若复数z 与复数012z i =-在复平面上对应的点关于实轴对称，则0z z ⋅=（）A ．5B ．3-C ．14i +D ．14i -【答案】A【解析】因为复数z 与复数012z i =-在复平面上对应的点关于实轴对称，所以，12z i =+，故05z z ⋅=，故选A.9.i 为虚数单位，已知复数a ＋3i 1－2i为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．－6 D ．6【答案】D【解析】10.已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i【答案】D【解析】由题得z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i 1＋i＝－i(1－i)＝－1－i.故选D. 11.【浙江卷】已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋bi)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若a ＝b ＝1，则 (a ＋bi)2＝(1＋i)2＝2i ；反之，若(a ＋bi)2＝2i ，则a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，故“a ＝b ＝1”是“(a ＋bi)2＝2i ”的充分不必要条件．故选A.12.若复数()()312z bi i =++-是纯虚数()b R ∈，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D。

[配套K12]2018版高考数学考点54 数系的扩充与复数的引入试题解读与变式

考点54 数系的扩充与复数的引入【考纲要求】1.理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示． 4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【命题规律】分析近几年的高考命题不难发现复数是每年高考必须考查的内容之一，通常是第2题，分值5分，预计2018年仍会保持往年的命题规律，主要涉及到复数的概念、复数的运算、复数的几何意义等方面得知识，且不会与其它的知识相交汇．【典型高考试题变式】（一）复数的有关概念例1 （1）【2015高考重庆，文11】复数(12i)i +的实部为________. 【答案】2-【解析】由于2(12i)i 22i i i +=+=-+，故知其实部为2-．（2）【2013，安徽文1】设i 是虚数单位，若复数103ia --(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为 ( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 【答案】D【方法技巧归纳】复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实数和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．【变式1】【变为根据复数为纯虚数求参数】设i 是虚数单位，若复数21ia i+-（a R ∈）是纯虚数，则a =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】由题意： ()()()21212111i i ia a a i i i i ++=+=-+--+，满足题意时10a -=，解得： 1a =，故选B ．【变式2】【变求复数的实部为求含有参数的复数的虚部】已知复数13aiz i+=-是纯虚数（其中i 为虚数单位，a R ∈），则z 的虚部为（）A ．1B ．1-1C ．iD ．i - 【答案】A【解析】()()3311310a a i ai z i -+++==-．∵复数13aiz i+=-是纯虚数，∴30a -=，∴z i =，∴z 的虚部为1，故选A ．（二）复数的几何意义例2 【2017课标Ⅲ】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C ．【方法技巧归纳】复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．复数对应的点的坐标就是向量OZ 的坐标，对于复数()z a bi a b =+∈R ，，其对应的点的坐标是()a b ，．【变式1】【变确定复数对应的点所在象限为确定共轭复数对应的点】已知复数z 满足()2112i z i -⋅=+，则在复平面内复数z 对应的点为（） A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】复数z 满足()2112i z i -⋅=+， ()()2212121221122221i i ii i z i i i i +++-+=====-+---, 112z i =--, 在复平面内复数z 对应的点为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选A ．【变式2】【变为根据复数对应的点所在象限求参数】复数()11a R ai∈+在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是（）A ．0a <B ．01a <<C ．1a >D ．1a <- 【答案】A【解析】由题意可得：2211111a i ai a a =-+++，满足题意时： 2210,011aa a>-<++，据此可得： a 的取值范围是0a <，故选A ．（三）复数的代数运算例3 【2017课标Ⅱ】(1i)(2i)++=（） A.1i - B.13i + C.3i + D.33i + 【答案】B【解析】由题意2(1)(2)2313i i i i i ++=++=+，故选B ．【方法技巧归纳】（1）把i 看作一个字母，复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算；（2）在只含有z 的方程中，z 类似于代数方程中的x ，可直接求解；（3）在含有,,,z z z 中至少两个的复数方程中，可设,z a bi a b =+∈R ，，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于,a b 的方程组，求出,a b ，从而得出复数z ．【变式1】【变乘法运算为除法运算】复数z 满足13434z ii i-=+-（其中i 为虚数单位），则z =（） A ．75i -- B ．75i -+ C ．75i + D ．75i- 【答案】C【解析】（1）因为()()()()()134513473434345i ii i iz ii i -+-++===--+，故选C ．【变式2】【变为乘法与除法混合运算】若复数12,z z 在复平面内对应的点关于x 轴对称，且112z i =+，则1122z z z z +⋅=___________．【答案】22455i +【数学思想】1．方程思想的应用：在复数的概念、运算、几何意义中涉及到参数的求值问题，通常要通过建立方程（组）来解决；2．数形结合思想的应用：复数(),z a bi a b R =+∈与平面上的点(),Z a b 是一一对应的，因此有一些复数问题，可考虑其几何意义，将涉及到的相关问题转化为平面坐标系中点、线的位置关系问题，利用图形的直观性求解，如满足()2z a bi r -+=的点是复平面上以点(),a b 为圆心，以r 为半径的圆．【典例试题演练】1．【四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊模拟】复数2iz i+=（i 为虚数单位）的虚部为（） A. 2- B. i C. 2i - D. 1 【答案】A【解析】复数()i 2i 2i 12i i i i-++==--⋅的虚部为2-，故选A. 2．【河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评】若原命题为：“若12,z z 为共轭复数，则12z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（） A. 真真真 B. 真真假 C. 假假真 D. 假假假【答案】C【解析】由题意得原命题为真，由于模相等的复数不一定共轭，所以逆命题为假命题，从而否命题为假命题，逆否命题为假命题。

浙江版2018年高考数学一轮复习(讲练测)：专题5.5数系的扩充和复数的引入(讲)有解析

第05节数系的扩充和复数的引入【考纲解读】扩充1．复数的有关概念及性质1．虚数单位为i ，规定：i 2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立． 2．复数的概念形如：a ＋bi(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ①当b ＝0时，复数a ＋bi 为实数； ②当b≠0时，复数a ＋bi 为虚数；③当a ＝0且b≠0时，复数a ＋bi 为纯虚数． 3.复数相等的充要条件a ＋bi ＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)⇔ a ＝c 且b ＝d ，特别地，a ＋bi ＝0⇔ a ＝b ＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ．5. 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模，记作|z|或||a ＋bi .即||z ＝||a ＋bi ＝r ＝a 2＋b 2(r≥0，r ∈R)．对点练习：【2017浙江台州4月一模】已知复数的实部为1，则_________，__________．【答案】 1【解析】，实部，所以， .2．复数的几何意义1.z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ →都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)． 2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．对点练习：【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，【答案】A3.复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 (1)z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2)z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i (z 2≠0)． 2. 22|z |||zz z ==.对点练习：【2017浙江,12】已知a ，b∈R，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab= ．【答案】5，2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==【考点深度剖析】从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．【重点难点突破】考点1 复数的有关概念及性质【1-1】下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋ni(m ，n ∈C)，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数；(3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋yi ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；(5)若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】(4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确． (5)若a ＝0，则0·i ＝0不是纯虚数．故选A. 【1-2】(1)i 是虚数单位，若复数a －103－i(a∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)若3＋bi 1－i ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.【答案】（1）D ；（2）3.【解析】(1)复数a －103－i ＝a －10（3＋i ）10＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，∴a ＝3.故选D.(2)由已知得3＋bi ＝(1－i)(a ＋bi)＝(a ＋b)＋(b －a)i ，根据复数相等的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，b －a ＝b ， ∴a ＋b ＝3.故填3. 【领悟技法】（1）2i 1=-中的负号易忽略.（2）对于复数m ＋ni ，如果m ，n ∈C(或没有明确界定m ，n ∈R)，则不可想当然地判定m ，n ∈R. (3)对于a ＋bi(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b≠0. 【触类旁通】【变式一】【2017浙江嘉兴测试】已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 【答案】A【变式二】已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =+的模等于（）A B C D【答案】B 【解析】设2i a i -+bi =,则b abi i -=-2,故⎩⎨⎧-==-12ab b ,解之得21=a ,则i z 21+=,故3||=z ,应选B. 考点2 复数的几何意义【2-1】【2017浙江模拟】当时，复数在平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】<m<1，则3m －2>0，m －1<0，点在第四象限．【2-2】已知A ，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sinA －cosB)＋(sinB －cosA)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A即sinA －cosB ＞0.同理可得，sinB －cosA ＞0.故选A. 【领悟技法】复数的几何意义(1) (其中a ，b ∈R)．(2)||z 表示复数z 对应的点与原点的距离．(3)||z 1－z 2表示两点的距离，即表示复数z 1与z 2对应的点的距离．【触类旁通】【变式一】已知i 为虚数单位，在复平面内，复数321ii-+对应的点所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】()()()()3213215=1112i i i ii i i -⋅---=++⋅-，在第四象限.【变式二】复数22iz i-=+（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】因5435)2(222i i i i z -=-=+-=，故543iz +=在第一象限，应选A ．考点3 复数的代数运算【3-1】复数()()232i i z i--=的实部与虚部之和为（）A ．-3B ．4C ．3D ．-11 【答案】D 【解析】【3-2】【2017浙江嘉兴、杭州、宁波等五校联考】若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( )A. 12i -B. 12i +C. 12i --D. 12i -+ 【答案】B【解析】设z a bi z a bi =+∴=-，所以()22332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=+ ，所以33,21,2a b a b ==∴== ，所以选B.【领悟技法】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．【触类旁通】【变式一】【2017浙江高考模拟】已知复数1iz i+=，其中i 为虚数单位，则z = （）A.12B.2 D.2【答案】C.【解析】由题意得，1z i =-，∴||z =，故选C.【变式二】【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i -【答案】C【易错试题常警惕】易错典例：已知复数3412iz i+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数的虚部为（） A ．25i - B ．25i C ．45 D ．25易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错．正确解析：34112125i i z i +-==+，所以1125i z +=，虚部为25，选D. 温馨提醒：1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n＝z mn(m ，n 为分数)；(2)若z m＝z n，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0. 2.注意利用共轭复数的性质22|z |||zz z ==，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

2018高考一轮数学浙江专版练习第4章第4节数系的扩充

第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )平面向量OZ →＝(a ，b )．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图4-4-1所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.图4-4-11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2. (教材改编)如图4-4-2，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()图4-4-2A．A B．BC．C D．DB[共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝()A．0 B．2C．2i D．2＋2iC[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]4．复数1＋2i2－i＝()A．i B．1＋i C．－i D．1－iA[法一：1＋2i2－i＝(1＋2i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i5＝i.法二：1＋2i2－i＝i(1＋2i)i(2－i)＝i(1＋2i)2i＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________．－1[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.](1)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i(2)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． (1)C (2)－2[(1)因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i z z －1＝4i 4＝i.故选C. (2)由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.][规律方法] 1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z ，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1] (1)(2017·嘉兴二次质检)已知i 为虚数单位，复数z ＝i2＋i的虚部为( )A ．－15B ．－25 C.15D.25(2)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2(1)D (2)B [(1)复数z ＝i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝1＋2i 5＝15＋25i ，则其虚部为25，故选D.(2)z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.]A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________.【导学号：51062150】(1)C (2)2 [(1)∵(z －1)i ＝i ＋1，∴z －1＝i ＋1i ＝1－i ，∴z ＝2－i ，故选C. (2)∵(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，又a ，b ∈R ，∴1＋b ＝a 且1－b ＝0，得a ＝2，b ＝1，∴ab ＝2.][规律方法] 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i1＋i＝－i ；(4)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(5)i 4n ＝1；i 4n ＋1＝i ；i 4n ＋2＝－1；i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．[变式训练2] (1)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i(2)已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＝________. (1)D (2)1＋i [(1)由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，故选D.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 8＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＝i 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＝i 8＋i 1 009＝1＋i 4×252＋1＝1＋i.](1)数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i(1)A (2)A [(1)由题意知⎩⎨⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．(2)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2,1)即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.][规律方法] 1.复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3] (2017·湖州二次质检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，bc ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i －i ，2i ＝0的复数z 对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [由题意得z ×2i －(1＋i)(－i)＝0，所以z ＝(1＋i )(－i )2i ＝－12－12i ，则z ＝－12＋12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，位于第二象限，故选B.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，且b ≠0时，z 为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[易错与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，应注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．课时分层训练(二十五)数系的扩充与复数的引入A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·宁波一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[复数(1＋3i)i＝－3＋i在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3A[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.]3．若复数z＝21－i，其中i为虚数单位，则z－＝()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－iB[∵z＝21－i ＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(1＋i)2＝1＋i，∴z－＝1－i.]4．设(1＋i)x＝1＋y i，其中x，y是实数，则|x＋y i|＝() A．1 B.2C.3D．2B[∵(1＋i)x＝1＋y i，∴x＋x i＝1＋y i.又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0C [实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎨⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，，则b ＝0，或a ，b 都为0，即z 为实数，故选项A 为真，同理选项B 为真；选项C 为假，选项D 为真．]6．若i 为虚数单位，图4-4-3中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图4-4-3A ．EB ．FC ．GD ．HD [由题图知复数z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z1＋i的点为H .] 7．已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝1×(1－z 2 020)1－z＝1－i 2 0201－i ＝1－i 4×5051－i＝0.]二、填空题8．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________. 【导学号：51062151】－12 [1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a 5i. ∵1＋a i 2－i为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________． 3 [∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.] B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( ) A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.] 2．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n＋(－i)n ， f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…， ∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________. 【导学号：51062152】3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i ，则z 1·z 2＝________.12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i ＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。

(浙江专用)2018年高考数学总复习第五章平面向量、复数第4讲数系的扩充与复数的引入课时作业

第4讲数系的扩充与复数的引入基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A.3，－2B.3，2C.3，－3D.－1，4解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A2.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0B.2C.2iD.2＋2i解析 (1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，故选C. 答案 C3.(2016·山东卷)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i解析 ∵z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选B.答案 B4.(2015·安徽卷)设i 为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝3＋i. 答案 C5.复数1－i 2－i 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析复数1－i 2－i ＝（1－i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝35－15i ，∴其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限，故选D. 答案 D6.(2017·北京东城综合测试)若复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.－1B.0C.1D.2解析因为复数(m 2－m )＋m i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m ≠0，解得m ＝1，故选C.答案 C7.已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A.－1B.0C.1D.i解析 ∵z ＝1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i5＝i ，故虚部为1.答案 C8.设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若z 2≥0，则z 是实数 B.若z 2＜0，则z 是虚数 C.若z 是虚数，则z 2≥0D.若z 是纯虚数，则z 2＜0解析举反例说明，若z ＝i ，则z 2＝－1＜0，故选C. 答案 C9.(2015·全国Ⅰ卷)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i解析由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 答案 C10.设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A.若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B.若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C.若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D.若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析 A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立.B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立.C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确.D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22. 答案 D11.(2017·浙江省三市联考)若复数z ＝a ＋3ii＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是( ) A.－4 B.－3C.1D.2解析因为z ＝a ＋3ii＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，所以a <－3，选A.答案 A12.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A.1B. 2C. 3D.2解析由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B. 答案 B 二、填空题13.(2016·江苏卷改编)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________；z 的虚部是________.解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5，虚部为5. 答案 5 514.(2015·四川卷)设i 是虚数单位，则复数i －1i ＝________.解析 i －1i ＝i －ii 2＝2i.答案 2i15.(2015·江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________.解析设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4(a ，b ∈R )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z |＝ 5. 答案 516.(2017·丽水质测)若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＝________；b ＝________.解析 3＋b i 1－i ＝（3＋b i ）（1＋i ）2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 答案 0 3能力提升题组 (建议用时：20分钟)17.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( ) A.E B.F C.GD.H解析由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z1＋i 的点为H .答案 D18. z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i解析法一设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i. 答案 D19.(2014·全国Ⅰ卷)设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12B.22C.32D.2解析 ∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，故选B. 答案 B20.(2017·温州月考)已知复数z ＝(cos θ－isin θ)·(1＋i)，则“z 为纯虚数”的一个充分不必要条件是( ) A.θ＝π4B.θ＝π2C.θ＝3π4D.θ＝5π4解析因为z ＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i ，所以当θ＝3π4时，z ＝－2i 为纯虚数，当z 为纯虚数时，θ＝k π－π4.故选C.答案 C21.(2017·哈尔滨六中期中)若复数z 满足i·z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是( )A.－12iB.12i C.－12D.12解析 i·z ＝－12(1＋i)⇒z ＝－12（1＋i ）i ＝－12（1＋i ）·i i·i ＝12(－1＋i)，则z 的共轭复数z＝12(－1－i)，其虚部是－12. 答案 C22.(2017·绍兴月考)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A.－2B.－1C.0D.12解析 ∵（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0.答案 C23.下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2; p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i; p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A.p 2，p 3B.p 1，p 2C.p 2，p 4D.p 3，p 4解析 ∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝（－1）2＋（－1）2＝2，∴p 1是假命题； ∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题；∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题；∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题.其中的真命题共有2个：p 2，p 4. 答案 C24.(2017·广州综合测试)若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝( ) A.－3B.－1C.1D.3解析依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1，故选C.答案 C25.复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________. 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23 26.设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n(n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为________.解析 f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…∴集合中共有3个元素. 答案 327.(2017·杭州调研)已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________；最小值为________.解析 ∵|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min＝－ 3.答案3 － 328.定义运算＝ad －bc .若复数x ＝1－i1＋i，y ＝，则y ＝________.解析因为x ＝1－i 1＋i ＝（1－i ）22＝－i.所以y ＝＝＝－2.答案－2。

2018高考数学浙江专用一轮课件：第十四章数系的扩充

z =4,则a= ( 3 i,z· 7.(2017山东理,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若- 7
C.- 3
D. 3
答案 A
本题主要考查复数的概念及运算.
z =a- z =4,∴(a+ 3 i,∴ 3 i,又∵z· 3 i)(a- 3 i)=4,∴a2+3=4,∴a2=1,∴a=±1.故选A. ∵z=a+
C.(1+i)2=2i;
D.i(1+i)=-1+i,故选C.
2.(2017课标全国Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)= ( A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i
)
答案 B 本题考查复数的基本运算. (1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B. 3.(2017北京文,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( ) B.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
)
答案 B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,
∴
x 1, ∴|x+yi|=|1+i|= 12 12 = 2 .故选B. y 1,
评析本题考查复数相等的条件,属容易题.
12.(2016课标全国Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则 = ( A.1 B.-1 C.i D.-I
z =2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B. 答案 B 设z=a+bi(a、b∈R),则2z+

2018版数学人教A版浙江版选修2-2学案：第三章数系的

3．1.1数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理(1)复数①定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．(2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母C表示．知识点二两个复数相等的充要条件思考由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案不能．当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．梳理在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.知识点三复数的分类(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：类型一复数的概念例1 (1)给出下列三个命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i －1虚部是2i ； ③2i 的实部是0；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________．答案 (1)C (2)±2，5解析 (1)令z ＝i ∈C ，则i 2＝－1<0，故①不正确． ②中2i －1的虚部应是2，故②不正确． ④当a ＝0时，a i ＝0为实数，故④不正确， ∴只有③，⑤正确．(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b －2＝3，∴a ＝±2，b ＝5.反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分． (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1 下列命题： ①1＋i 2＝0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 为纯虚数； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0； ④两个虚数不能比较大小．是真命题的为________．(填序号) 答案 ①④解析 ②当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，所以②错． ③当x ＝i ，y ＝1时，x 2＋y 2＝0，所以③错．所以①④正确．类型二复数的分类例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数． (2)复数z 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，m 为何值时，z 为实数．解由已知得，复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3，虚部为m 2＋5m ＋6. 复数z 是实数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数．2．已知i 是虚数单位，m ∈R ，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，则当m ＝________时，z为纯虚数．答案 3或－2解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，解得m ＝3或－2.反思与感悟利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2. 类型三复数相等例3 (1)已知x 0是关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0(m ∈R )的实根，则m 的值(或取值范围)是________．答案112解析由题意，得x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，即(x 20＋x 0＋3m )＋(－2x 0－1)i ＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，－2x 0－1＝0⇒m ＝112.(2)已知x i ＋2y －3x －y i ＝1－i ，求实数x ，y 的值．解 ∵x i ＋2y －3x －y i ＝1－i ， ∴2y －3x ＋(x －y )i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2y －3x ＝1，x －y ＝－1，解得x ＝1，y ＝2.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知，m ＝1或m ＝2.1．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i答案 C2．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不对答案 A解析因为(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，所以x 2－1＝0且x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝1，故选A.3．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R )是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．4．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．答案－2解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，得x ＝－2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．课时作业一、选择题1．设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a ，b ∈R ，当“a ＝0”时“复数a ＋b i 不一定是纯虚数，也可能b ＝0，即a ＋b i ＝0∈R ”．而当“复数a ＋b i 是纯虚数”，则“a ＝0”一定成立．所以a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件． 2．下列命题正确的是( ) A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数 B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小答案 D解析对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数．在A 中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故A 错误；在B 中，两个虚数不能比较大小，故B 错误；在C 中，若x ＝－1，不成立，故C 错误．D 正确．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋i D.5＋5i答案 A解析设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知复数－5＋2i 的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A解析由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.6．若复数z ＝(cos θ－45)＋(sin θ－35)i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan(θ－π4)的值为( )A ．7B ．－17C ．－7D ．－7或－17答案 C解析 ∵复数z ＝(cos θ－45)＋(sin θ－35)i 是纯虚数，∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7. 7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( ) A ．4 B ．－1 C ．4或－1D ．1或6答案 B解析根据题意，M ∩N ＝{1,3}，故3∈M ，而M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，则有(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，即m 2－3m －1＝3且m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题8．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案－2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0⇒m ＝－2.9．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______________条件．答案充分不必要解析当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．10．若复数z ＝m 2＋m －2＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为________．答案 2或－1解析 ∵复数z ＝m 2＋m －2＋(m 2－m －2)i 为实数， ∴m 2－m －2＝0，解得m ＝2或－1.11．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)解析若复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 是纯虚数，则a 2－2a －3＝0，|a －2|－1≠0，解得a ＝－1，∴当a ≠－1时，复数z ＝(a 2－2a －3)＋(|a －2|－1)i 不是纯虚数．故答案为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．三、解答题12．复数z ＝(2a 2－a －1)＋(a －1)i ，a ∈R . (1)若z 为实数，求a 的值； (2)若z 为纯虚数，求a 的值； (3)若z ＝9－3i ，求a 的值．解 (1)若z 为实数，则a －1＝0，得a ＝1.(2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－a －1＝0，a －1≠0，解得a ＝－12.(3)若z ＝9－3i ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－a －1＝9，a －1＝－3，解得a ＝－2.13．已知复数z ＝a 2－1－(a 2－3a ＋2)i ，a ∈R . (1)若z 是纯虚数时，求a 的值；(2)若z 是虚数，且z 的实部比虚部大时，求a 的取值范围．解复数z ＝a 2－1－(a 2－3a ＋2)i ，a ∈R .(1)若z 是纯虚数时，可得a 2－1＝0，a 2－3a ＋2≠0，解得a ＝－1. (2)若z 是虚数，且z 的实部比虚部大时，可得a 2－1>－a 2＋3a －2≠0，解得a >1或a <12且a ≠2.所以a 的取值范围为(－∞，12)∪(1,2)∪(2，＋∞)．四、探究与拓展14．已知log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i ≥－1，且n ∈N *，则m ＋n ＝________.答案 1或2解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 12(m ＋n )≥－1， ①－(m 2－3m )＝0. ②由②，得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，由log 12(m ＋n )≥－1，得0<n ≤2，∴n ＝1或n ＝2.当m ＝3时，由log 12(m ＋n )≥－1，得0<n ＋3≤2，∴－3<n ≤－1，即n 无自然数解．∴m ，n 的值分别为m ＝0，n ＝1或m ＝0，n ＝2. 故m ＋n 的值为1或2.15．若m 为实数，z 1＝(m 2＋1)＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝(4m ＋2)＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 的值的集合又是什么？解当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝－2， ∴z 1＝1或z 1＝2或z 1＝5. 当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝1或m ＝4， ∴z 2＝2或z 2＝6或z 2＝18.上面m 的公共值为m ＝0，此时，z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2. ∴当z 1>z 2时，m 值的集合为空集；当z 1<z 2时，m 值的集合为{0}．。

2018版高考数学大一轮复习专题15 数系的扩充与复数课件理

3
考点85 复数的有关概念
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
复复复复复共共
数的概念
数数平数
的分
相等
面
的模
类
轭复数
轭复数的性
质
考点85 复数的有关概念
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
复复复复复共共
数的概念
数数平数
的分
复复复复复共共
数的概念
数数平数
的分
相等
面
的模
类
轭复数
轭复数的性
质
考法1 与复数的概念、分类有关的问题
类型1 求一个复数的实部与虚部将已知的复数化为代数形式的标准形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
类型2 复数的分类
【注意】由复数分类列方程(组) 求参数值时，首先应将复数化为代数形式的标准形式．
相等
面
的模
类
轭复数
轭复数的性
质
考点85 复数的有关概念
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
复复复复复共共
数的概念
数数平数
的分
相等
面
的模
类
轭复数
轭复数的性
质
考点85 复数的有关概念
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
复复复复复共共
数的概念
数数平数
的分
相等
面
的模
类
轭复数
轭复数的性

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练文

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练文[A 级基础达标](时间：40分钟)1．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 B解析解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.∴1＋a 2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3.解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝ 3. 2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i答案 A 解析 1＋2i 2－i＝＋＋－＋＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A. 3．[2016·全国卷Ⅲ]若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C.4．[2015·湖南高考]已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D 解析由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－＝－1－i.5．[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 ∵z ＝21＋i＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－2＝ 5.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数是________．答案 12－i2解析由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ，即z ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－i2. 9．[2017·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝b i －－＋－＝b －＋b ＋2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．复数z 为实数的充分不必要条件是( ) A ．z ＝z B ．|z |＝z C ．z 2为实数 D ．z ＋z 为实数答案 B解析 z ＝z ⇔z ∈R .|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2.z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i.对于任何z ，z ＋z 都是实数．故选B.12．复数m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，设在复平面内对应的点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －2，y ＝m －1，消去m 得x －3y －1＝0，因为直线x －3y －1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝ 3∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3. 14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

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(1)若 a，b 为实数，则 z＝a＋bi 为虚数．
(× )
(2)若 a 为实数，则 z＝a 一定不是虚数．
(√ )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个
复数相等．
(√ )
2．(1＋ 3)i 的实部与虚部分别是
()
A．1， 3
B．1＋ 3，0
C．0,1＋ 3
D．0，(1＋ 3)i
(2)当 x 满足xx2＋－32≠x－0，15≠0，即 x≠－3 且 x≠5 时，z 是虚数．
x2－x＋x－3 6＝0， (3)当 x 满足x2－2x－15≠0，
x＋3≠0，
即 x＝－2 或 x＝3 时，z 是纯虚数．
复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式 z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式． (2)注意分清复数分类中的条件设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z 为实数⇔b＝0，②z 为虚数 ⇔b≠0，③z 为纯虚数⇔a＝0，b≠0.④z＝0⇔a＝0，且 b＝0.
所以 a＝－12且－122－12＋3m＝0，
所以 m＝112.
[答案]
1 12
－12
[一题多变] 1．[变条件]若将本例中的方程改为：x2＋mx＋2xi＝－1－mi
如何求解？解：设实根为 x0，代入方程，由复数相等定义，得 x20＋mx0＝－1， 2x0＝－m，解得xm0＝＝－1，2 或xm0＝＝2－，1，因此，当 m＝－2 时，原方程的实根为 x＝1，当 m＝2 时，原方程的实根为 x＝－1.
＝b＝0 时，它是实数 0；当 b≠0时，叫做虚数；当 a＝0 且 b≠0

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