从自由试验提取阻尼约束结构主模态

φ = φ + jφ = ( φ − F F φ )( q + jq )
R I
−1
RΒιβλιοθήκη Baidu
I
cd
cd
cd
ki
h ,ib
h ,bb
kb
k
k
(27)
下标 c 表示约束结构，d 代表有阻尼下的复模态。 3.2 粘性阻尼状态 将式（12）代入式（15）右边便得
[( Λ
k
T 1 + Φ kb Fh−,bb Φ kb − ω 2 I k ) + j 2ωζ k f k ] qk = 0
⎛ ⎡I ⎜− ω2 ⎢ k ⎜ ⎣0 ⎝ 0⎤ ⎡αI k + βΛk ⎥ + jω ⎢ Ih ⎦ 0 ⎣ ⎤ ⎡Λk +⎢ αI h + β Λh ⎥ ⎦ ⎣0 0
−1
0 ⎤ ⎞⎧qk ⎫ ⎧Φ kT R ⎫ ⎟⎨ ⎬ = ⎨ T ⎬ ⎟ Λh ⎥ ⎦ ⎠⎩q h ⎭ ⎩Φ h R ⎭
(7)
由式（7）之第二行知 将式（8）代回式（5） ，则有 式中
收稿日期：2005-09-06； 修回日期：2005-09-06 作者简介：张德文(1937-)，男,研究员,研究方向：结构动力学分析方法； （100076）北京 9200 信箱 72 分箱.
24
强 度 与 环 境
2006 年
尝试了粘性阻尼模型。数值模拟例题的结果表明，本文方法和两阻尼模型是初步可行的。另外 还证实了，文[13]提出的辨识主模态的技术和文[14]对文[13]方法之本质的反推演都是正确的。 最后指出，本文方法考核中的一个遗憾是，瑞利阻尼下对约束结构提取的模态阻尼比 ζC， 还没能进行直接验证，只能由提取的其它模态参数的满意程度，间接地相信 ζC 值的正确性。然 而，在用 ζ 描述的粘性阻尼模型下，连约束结构的 ζC 都不能辨识到，这是由于本文方法仍属 于实模态理论范畴。只有在复模态理论下建立起复模态参数（含复频率）的提取方法后，方可 采用文[15]的技术同时辨识到约束结构的主模态和非解耦的广义阻尼阵。 这样的途径有待进一步 研究。
2
坐标变换
当一个有阻尼的约束结构以其固有频率ω进行谐和运动时，在约束边界上就存在谐和反力
。对约束边界进行释放，则该约束结构就等价于一个在边界上作用着激励力 Rb（ω）的 Rb（ω） 有阻尼自由结构，该自由结构的运动方程可写为
⎡ M ii ⎢ ⎣M ⎫ M ib ⎤ ⎧ ⎡ C ii ⎪X i ⎪ ⎥ ⎨ ⎬ + ⎢ M bb ⎦ ⎪ ⎪ X ⎩ b ⎭ ⎣Cbi ⎫ C ib ⎤ ⎧ ⎡ K ii ⎪X i ⎪ ⎥⎨ ⎬ + ⎢ C bb ⎦ ⎪ ⎪ X ⎩ b ⎭ ⎣ K bi K ib ⎤ ⎧ X i ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎬ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ K bb ⎦ ⎩ X b ⎭ ⎩ Rb ( ω )⎭
1 Rb = − Fh−,bb Φ kb qk
Fh ,ib ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎥⎨ ⎬ Fh ,bb ⎦ ⎩ Rb ⎭
为了求得反力幅值 Rb，由式（11）第二行中引用约束条件 xb=0 便得 (12)
k k
利用式（12） ，将式（9）改写为 x = [ Φ − F F Φ ] q = Ψq
−1
k
h ,b
(28)
同样，将式（21）代入式（28） ，且令其实、虚部分别等于零，得
T 1 ( Λk + Φ kb Fh−,bb Φ kb − ω 2 I k )qkR − 2ωζ k f k qkI = 0 T 1 2ωζ k f k qkR + ( Λk + Φ kb Fh−,bb Φ kb − ω 2 I k )qkI = 0
qk = qkR + jqkI
R k I k
(21) (22a) (22b)
这里 q 和 q 分别为 q k 的实部和虚部。将式（21）代入式（20） ，然后令其实、虚部分别为零， 便有
( Kψ − ω 2 M ψ )qkR − ω( αM ψ + β Kψ )qkI = 0 ( Kψ − ω M ψ )qk + ω( αM ψ + β Kψ )qk = 0
qh = [Λh − ω 2 I h + jω( αI h + β Λh )] Φ hT R x = Φ k qk + Fh ( ω )R
−1
(8) (9) (10a)
Fh ( ω ) = Φ h [Λh − ω 2 I h + jω( αI h + β Λh )] Φ hT
为了简化，在计算高阶模态 Φh 对动柔度之贡献 Fh(ω)时，忽略其中高阶模态阻尼的影响，即将
2 I R
最后，由式（22）建立下列提取有阻尼约束结构模态参数的特征方程 ⎛⎡ Kψ 0 ⎤ ⎞⎧q ⎫ ⎧0 ⎫ − ω( αM ψ + βKψ )⎤ ⎡M ψ ⎜⎢ = ⎬ ⎥ −ω ⎢ ⎥⎟ ⎜ ω ( αM ψ + β Kψ ) ⎟⎨ ⎬ ⎨ K 0 M ψ ψ ⎦ ⎠⎩ q ⎭ ⎩0 ⎭ ⎦ ⎣ ⎝⎣
(2) (3) (4)
将式(2)简写为 无阻尼自由结构的特征方程为
( −ω 2 M + jωC + K )x = R
( K − λM )ϕ = 0
现设Λk 和 Φk 为自由结构的试验特征对，而Λh 和 Φh 为式（4）的高阶计算特征对。这样， 式（3）中的谐和响应幅值 x 便可表述为下列试验模态 Φk 和计算的高阶模态 Φh 的线性组合
第 33 卷第 2 期
张德文
从自由试验提取阻尼约束结构主模态
25
式(10a)的复数式变成实数式如下
Fh ( ω ) = Φ h [Λh − ω 2 I h ] Φ hT
−1
(10b) (11)
将式（9）分割为
⎡ Fh ,ii ⎧ xi ⎫ ⎡Φ ki ⎤ ⎨ ⎬ = ⎢ ⎥ qk + ⎢ x Φ ⎩ b ⎭ ⎣ kb ⎦ ⎣ Fh ,bi
(25)
) 。转置式（25） ，且考虑到 μ =μ 便得
T
[κ
这里建议采用瑞利商逆迭代法
[11，12，16]
T
( ω ) − ω 2 µ ( ω )] pk = 0
(26)
求解式（24）或（26） ，从而获得广义坐标 qk （或 pk）和
约束结构固有频率ω，然后由式（21）得 qk。 根据式（13）可知，约束结构复模态为
(15) (16) (17) (18)
由式（16）知 将式（17）代入式（5） ，便得 式中
qh = (Λh − ω 2 I h + j 2ωζ h f h ) Φ hT R
−1
x = Φ k qk + Fh ( ω )R
−1
Fh ( ω ) = Φ h [Λh − ω 2 I h + j 2ωζ h f h )] Φ hT
R I 2 k k
(23) (24)
将式 （23） 简写为
[κ ( ω ) − ω µ( ω )] q
2
k
=0
显然，式（24）是一个非线性特征方程，同时又是非对称特征方程，因此它存在下列左特
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强 度 与 环 境
2006 年
征向量 pk 式中 pk = ( pkRT , p
IT T k
pkT [κ ( ω ) − ω 2 µ ( ω )] = 0
2006 年 6 月 第 33 卷第 2 期
强 度 与 环 境 STRUCTURE & ENVIRONMENT ENGINEERING
Jue.2006 Vol.33, No.2
从自由试验提取阻尼约束结构主模态
张德文
（北京强度环境研究所，北京 100076）
摘要：本文发展了一种利用自由试验提取阻尼约束结构复模态的可行方法。然后利用现有技术，又由 提取的复模态辨识出工程中常用的主模态。本文采用了两种阻尼模型：瑞利阻尼和粘性阻尼。针对此 两阻尼模型建立的提取约束结构复模态的两支配特征方程的精度是良好的。 即使当所要求提取的约束 结构模态的频率范围大于自由结构的试验频段，也能获得满意的结果。 关键词：自由—自由模态试验；阻尼；变换 中图分类号：O241.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3919(2006)02-0023-10
T T 2 k k k k k k h h h h h h
式中 ζk 和 fk 都是(k,k)维的对角阵，其对角元素分别为自由结构的测量模态阻尼比 ζl(l=1,2,…k) 和测量固有频率 fl=√λl (l=1,2,…k)。 展开式（14）得
( Λk − ω 2 I k + j 2ωζ k f k )qk = Φ kT R ( Λh − ω 2 I h + j 2ωζ h f h )qh = Φ hT R
1
引言
“从不同边界试验提取原结构模态”问题已被某些学者[1-12]研究过， 然而以往研究都没有涉及
阻尼效应。实际结构总是有阻尼的，如航天器等金属结构在做模态试验时都随着固有频率与模 态的测量总伴随有各阶模态阻尼比 ζ 测量。为此，在文[11，12]的基础上，引入阻尼项，这样从 。 阻尼自由结构试验便可提取到阻尼约束结构的模态参数（含模态阻尼比 ζC） 为了获得解耦的广义阻尼阵，本文对阻尼自由结构采用了瑞利（比例）阻尼模型，同时又
⎧q ⎫ x = Φ k q k + Φ h q h = [ Φ k ,Φ h ] ⎨ k ⎬ = Φq ⎩q h ⎭
(5)
2.1 瑞利阻尼情况 这里为了便于解耦，对式（3）中的阻尼阵 C 采用瑞利（比例）阻尼模型如下
C = αM + β K
(6)
式中比例常数 α 和 β 的计算，见附录 A。将式（5）和（6）代入式（3） ，得
h ,bb
kb
(13)
式中 Fh,b 是由 Fh 中与边界自由度相应的列构成。 2.2 粘性阻尼情况 ，便有 这里利用自由结构的测量模态阻尼比 ζ 来描述粘性阻尼。将式（5）代入式（3） ⎛ 0 ⎤ ⎡Λ 0 ⎤ ⎞⎧q ⎫ ⎧Φ R ⎫ ⎡I 0 ⎤ ⎡2ζ f ⎜−ω ⎢ (14) ⎬ ⎥ + jω ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎜ 0 I 0 2 f ⎦ ⎣ 0 Λ ⎦⎟ ζ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎩q ⎭ ⎩Φ R ⎭
Extraction of normal eigenmodes for damping constrained structure from free test data
ZHANG De-wen
(Beijing Institute of Structure and Environment Engineering, Beijing 100076, China) Abstract: Extraction of constrained structural eigenmodes from free test data was addressed by many scholars, but the effect of structural damping frequently is not taken into account. For this reason, the author develops a technique for extracting constrained structural complex modes from damping free structural test in this paper. Then for application of engineering, the normal eigenmodes of constrained structure are identified based on the complex modes. Numerical simulation example shows that developed method is feasible and efficient. Key words: free-free modal test; damping; transformation
(1)
bi
这里 i 和 b 分别代表内部和边界自由度。设 x=xejωt 和 Rb(ω) =Rbejωt，且 t 为时间，则式(1)变为
⎛ ⎡M ⎜ − ω 2 ⎢ ii ⎜ ⎣ M bi ⎝ M ib ⎤ ⎡ Cii ⎥ + jω ⎢ M bb ⎦ ⎣C bi C ib ⎤ ⎡ K ii ⎥+⎢ C bb ⎦ ⎣ K bi K ib ⎤ ⎞⎧ xi ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎥ ⎟⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ K bb ⎦ ⎟ ⎠⎩ xb ⎭ ⎩ Rb ⎭
(19)
同样，忽略其中高阶模态阻尼影响，便使复数式（19）又变成实数式（10b） 。
3
约束结构复模态的提取
将式(13)代入式(3)得
3.1 瑞利阻尼状态
[K
ψ
− ω 2 M ψ + jω( αM ψ + βKψ )] qk = Ψ T R ≡ 0
(20)
式中 Kψ=ΨTKΨ和 Mψ=ΨTMΨ。式（20）是一个复齐次方程，故应设