专题空间立体几何经典精讲-讲义

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立体几何知识点讲解

立体几何（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3.2棱锥的性质：①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。

）（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形）二点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质1.平面——无限延展，无边界三个定理与三个推论公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。

高中数学---空间几何体讲义

空间几何体1、多面体的定义：由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。

2、棱柱定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。

棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。

基本性质：侧面都是平行四边形；两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

棱柱的分类：侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

直棱柱侧面都是矩形；直棱柱侧棱与高相等；正棱柱的侧面都是全等的矩形。

底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；底面是矩形的直棱柱是长方体。

祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

侧面积和体积公式：S Cl =侧（C 为垂直于侧棱的直截面的周长，l 为侧棱长），V Sh =（S 为底面面积，h 为高）3、棱锥（1）定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。

相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

（2）基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。

4、正棱锥（1）定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥；（2）基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

空间立体几何精讲课件

答案：②④
知识点5：圆锥的结构特征直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,_____ 以________________________________ 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 ________________ ______叫做圆锥棱锥和________ 圆锥 _______ 统称为锥体圆锥SO 如图，圆锥表示为________
知识点2：棱锥的结构特征解析：“各侧面都是全等的等腰三角形”并不能保证底面是正多边形，也不能保证顶点在底面内的射影是底面的中心，故不是正棱锥，如图（1）中的三棱锥 S-ABC，可令SA=SB=BC=AC=3，SC=AB=1，则此三棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥，故（1）错误；
知识点3：棱台的结构特征解：(1)不是台体，因为各侧棱延长后不交于同一点，不是由棱锥截得； (2)不是台体，因为截面与底面不平行； (3)不是台体，理由同(2)．
知识点3：棱台的结构特征练习：下列三种叙述,其中正确的有 (1)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台. (2)两个底面平行且相似,其余的面都是梯形的多面体是棱台. (3)有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
球O 如图所示，球表示为_________
知识点7：球的结构特征例：正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是( )
A.①③④B.②④C.①②③D.②③④
点拨：本题主要考查截面问题，关键考虑过球心的正方体截面位置的可能情形解：当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，
O’ O
知识点6：圆台的结构特征例：下列四种说法： ①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的点拨：圆锥和圆台连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线相互平行. 的结构特征其中正确的是（）答案：D A.①② B.②③ C.①③ D.②④

立体几何专题讲义

3．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5 ，那么它的体积为_______________.
4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 1 ，则它的体积是原来的______________. 2
5．已知圆锥的母线长为 8,底面周长为 6π,则它的体积是
.
6。平行六面体 AC1 的体积为 30，则四面体 AB1CD1 的体积等于
锥。
3．球球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★② r R2 d 2 （其中，球心到截面的距离
d、球的半径为 R、截面的半径为 r)
球心
轴
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与
方体,球与正方体等的内接与外切。
O
D'
C'
A'
C'
A'
B'
O
O
A
R r
d O1
球面为半径
长
B
D
C
A
B
A
3
8
立体几何专题讲义
27. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________。
考点四平行与垂直的证明
1. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 ， AA1=2 ,E 为棱 CC1 的中点．（Ⅰ）求证: B1D1 AE ；（Ⅱ）求证： AC // 平面 B1DE ; （Ⅲ）求三棱锥 A-BDE 的体积．
c
注:球的有关问题转化为圆的问题解决。
1
球面积、体积公式：
S球
4
R2 ,V球
4 3
R3 （其中
R
为球的半径）
平行垂直基础知识网络★★★

立体几何讲义

立体几何总复习一、几何平面的基本性质1α=∅ A α=b A =l αβ= a α=∅（α）或a A α=公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图示：公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l公理3 推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂ 推论2 推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂推论3 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂动手练习：1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 2．下列推断中，错误的是（）A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,C ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A,B,C 不共线βα,⇒B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,, D ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,3．两个平面把空间最多分成___ 部分，三个平面把空间最多分成__部分． 4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面（）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）（3）两条直线可以确定一个平面（）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）（5）两条相交直线可以确定一个平面（）（6）三条平行直线可以确定三个平面（）（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（） 5．看图填空（1）AC ∩BD = （4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD = （2）平面AB 1∩平面A 1C 1= （5）平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C = （3）平面A 1C 1CA ∩平面AC = （6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是（）A 三角形B 菱形C 梯形D 四边相等的四边形（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（）A 1个B 4个C 6个D 8个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要1二、立体几何线面关系（一）、判定两线平行的方法1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明（二）、判定线面平行的方法6、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点7、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行8、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面9、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面10、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面（三）、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行（四）、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面（五）、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面（六）、判定两线垂直的方法1、定义：成︒90角2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直（七）、判定面面垂直的方法1、定义：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面（八）、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为︒902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面（九）、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,0 2、直线与平面所成的角的取值范围是：︒≤≤︒900θ []︒︒90,0 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：︒≤<︒900θ (]︒︒90,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：︒≤<︒1800θ (]︒︒180,0动手练习1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）（2）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （）（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º （）（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（） 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D 3 ,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，EA FB CMN D（1）求证四边形EFGH（2）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形；（3）若BD =2，AC =6，求22HF EG +；（4）若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EFGH 的面积；（5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.4 ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，EF = 求异面直线,AD BC5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角; (2)AC 与BD 1所成角.6．在长方体D C B A ABCD '''-中，已知AB=a ，BC=b ，A A '=c(a ＞b)，求异面直线B D '与AC7．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC （1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若4MN BC ==，PA = 求异面直线PA 与MN8．如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN =求证：//MN 平面CBE三、空间图形一、面积：1、ch s =直棱柱侧 ()为直截面周长斜棱柱侧``c l c s = rh cl s π2==圆柱侧 2、中截面面积：2`0ss s += 3、`21ch s =正棱锥侧 rl cl s π==21圆锥侧 4、()``21h c c s +=正棱台侧()()l r r l c c s ``21+=+=π圆台 5、预备定理ph s π2=锥球内接圆台，圆柱，圆①24r s π=球 ②rh s π2=球带 ③)(222h r rh s +==ππ球冠 6、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方7、圆锥轴截面的顶角α和侧面展开图的圆心角θ的关系为：2sin 22αππθ⋅=⋅=l r 8、圆台上、下底面半径为r`、r ，母线为l,圆台侧面展开后所得的扇环圆心角为θ，则：lc c l r r l r r `2`360`-=⋅-=︒⋅-=πθ 9、圆锥中，过两母线的截面面积为s当轴截面顶角(]︒︒∈90,0α时，αsin 212l s s ==轴截面截面最大当轴截面顶角[)︒︒∈180,90α时，轴截面截面最大s l l s ≠=︒=222190sin 21 10、球面距离θ⋅=R l （θ用弧度表示,Rl =θ）二、体积 1、l s sh V `==棱柱(s`为直截面面积) sh h r V =⋅=2π圆柱2、sh V 31=棱锥sh h r V 31312=⋅=π圆锥3、`)`(31s s s s h V +⋅+=棱台 =++=)``(3122r rr r h V π圆台`)`(31s s s s h +⋅+ 4、334R V π=球5、)3(31)3(61222h R h h r h V -=+=ππ球缺6、)(31体适用于有内切球的多面内切球半径表体r S V ⋅=1 n 面体共有8条棱，5个顶点，求n 2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求n 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是75．①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为．③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍； 13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是，内切球的体积是．球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是1417．正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．D'C'B'A'D CBAH OA'D'C'B'DCBA判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；（2）正四面体是四棱锥；（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥；（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．2 ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''3．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2 （1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '4．棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别为棱,AB BC 上的动点，且(0)AE BF x x a ==≤≤，（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当BEF ∆的面积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．5．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -的棱'BB 、''C B 的中点．求异面直线MN 与CBOCBA A GEP D CBA'CD 所成的角．6．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为正三角形，90PCA ∠=，D 为PA 中点，二面角P AC B --为120，2,PC AB ==（1）求证：AC BD ⊥；（2）求BD 与底面ABC 所成的角，（3）求三棱锥P ABC -的体积．7．斜三棱柱的底面的边长是4cm 的正三角形,侧棱长为3cm,侧棱1AA 与底面相邻两边都成060角. (1)求证:侧面11CC B B 是矩形; (2)求这个棱柱的侧面积; (3)求棱柱的体积.。

专题空间立体几何经典精讲-讲义

空间立体几何经典精讲
主讲教师：王春辉北京重点中学数学高级教师
金题精讲
1、研究正方体，用好正方体
题一：若空间中四条两两不同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（）.
A.14l l ⊥
B.14//l l
C.1l ，4l 既不平行也不垂直
D.1l ，4l 的位置关系不确定
题二：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.
A ．82π-
B ．8π-
C ．π82-
D ．π84
-
题三：如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）.
A. B. C.6 D.4
题四：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
.
C.21
D.18
2、线面位置关系
题五：如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D E ，分别为AC AB ，的中点，点F 为线段CD 上的一点．将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．
(1)求证：DE ∥平面1A CB ；
(2)求证：1A F BE ⊥；
(3)线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．
A 1
B C F D E 图1 图2
空间立体几何经典精讲
讲义参考答案
金题精讲
题一：D. 题二：B. 题三：C. 题四：A.
题五：(1)略；(2)略；(3)存在，理由略.。

空间立体几何精讲课件PPT课件

知识点2：棱锥的结构特征命题（4）中的“正四面体”是正三棱锥，三棱锥共有4个面，所以也叫四面体，故（4）错误
命题（5）中的“顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心”，说明底面是一个正多边形，故（5）正确
答案：A
知识点3：棱台的结构特征
棱台：用一个_平_行__于_棱__锥_底________的平面去截
解析：主要考查棱锥的结构特征
答案：①④
知识点2：棱锥的结构特征
练习：有下面五个命题：（1）各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（）
棱底锥面，和截__面__之_面________的部分，这样棱的台多面体
叫间_____，原棱
下底上底面
四锥_由___棱的三___台_底棱___面锥、_五_和、棱截四台面棱分锥别、叫五做棱棱锥台截面的得的__棱__台_分_和别三台叫棱做
__棱A_'_台_B__'_A_C_B_'_C_D、D_'-________,如图所示，四D棱’ 台顶表点C示’ 为
知识点1：棱柱的结构特征解析：说法(1)不满足侧面是平行四边形,反例如图1 说法(2)不满足侧棱互相平行,反例如图2
说法图(14)不能保证底图面2和截面平行,故只
有说法(3)正确.故填(3).
知识点2：棱锥的结构特征
一般地，有一个面是多_边______,其余各面都是有一个公共三顶角点的___形____，由这些多面面所体围成的 ______形叫棱锥。这个多边形面叫做棱_锥_的__底____底_或_____ 有__公__共__顶__点__的__各__个面__三__角__形__面___叫做棱锥的侧面 __各__侧__面__的__公__共__顶__点__叫做棱锥的顶点

空间立体几何讲义

第1讲空间几何体高考《考试大纲》的要求：① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲：例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（）A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( )A ．π2B ．π23C ．π332D ．π21例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 .例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

（二）基础训练：1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度075东经0120，则甲、乙两地球面距离为（）（A(B) 6R π(C)56R π(D) 23R π①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥C3．若一个底面边长为2的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为．4. 已知,,A B C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC BC ⊥，且AB R =，那么,A B 两点的球面距离为___________，球心到平面ABC 的距离为________ 5．如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）证明PA ⊥BD.（三）巩固练习：1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）（A ）π3 （B ）π33 （C ）π6 （D ）π92、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π3.一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( ) A.34 B.45 C.35 D.－35 4．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）（A ）31 （B ）33 （C ）32 （D）36 5.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为（）A ．3 B ．13π C．23π D ．36.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于________7．请您设计一个帐篷。

立体几何讲义

一、知识结构1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M 、N 、P 来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A ，B ，C ，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l—点A 在直线l 上；A ∉α—点A 不在平面α内；l ⊂α—直线l 在平面α内；a ⊄α—直线a 不在平面α内；l∩m=A—直线l 与直线m 相交于A 点；α∩l=A—平面α与直线l 交于A 点；α∩β=l —平面α与平面β相交于直线l.2.平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.证题方法4.空间线面的位置关系平行—没有公共点共面(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点相交—有一条公共直线(无数个公共点)(3)平面与平面证题方法间接证法直接证法反证法同一法平行—没有公共点5.异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.6.线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,a β，α∩β=b,则a∥b.③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b⊂α)(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.7.直线在平面内的判定(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB⊂α.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a⊂α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∉α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则a⊂β.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则b⊂α.8.存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.9.射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.10.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.11.直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.12.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD 是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD 的大小与顶点C 在棱AB 上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cos α其中S 为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.13.空间的各种距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到(或作出)表示距离的线段；②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=31S·h，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.14.直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.15.平行平面的距离(1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.16.异面直线的距离(1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。

空间立体几何讲义

、基本概念1•空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为| AB , a特别地：①规定长度为o的向量为零向量，记作o；②模为1的向量叫做单位向量；3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如a的相反向量记为-a.]5.共线与共面向量(1)共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a // b .(2)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量.(3)定理共线向量定理：对于空间任意两个向量ab(b =O),a//b的充要条件是存在实数•，使得a= .b 共面向量定理：如果两个向量ab不共线，则向量p与向量a、共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x , y),使得p =xa +yb.6 .注意：①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1;③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小.酋言描述共线向車(平行向凳》奁示空面向重的育向纯段庙在m直线平行点堇合，共面向莹平行于同一口面的向里.共娃向塑定理对空间任帝两个向量；，1祐舸)「二存花義共面向量定瑾若两吓询壘二M不#绻则向蚩?与向蚩二谨面匸存在唯一的肓朝数对也y),便:二航+总空间向塞基本定理⑴定理：如果三神重二去卯共面，那釘桂「册一向莖存在有序实数细｛办y- r潢得$=话吨咗.<2)推论1设6几B.C是不共面的四点.则对空间一点.嘟存在唯一的二个有号实敷払$旗二卅片Z且JT+尸沪11、加减法1)空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.OB - OA +AB - a - b BA = OA - OB = a ~ b加法的平行四边形法则减法的三角形法则加法的三角畛法则(2)加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律.交换律：结合律：(3)推广*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：*首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量2.空间向量的数乘运算(1)实数入与空间向量a的乘积入a仍是一个向量，称为向量的数乘运算.①当入＞0时，入a与a的方向相同；②当入V 0时，入a与a的方向相反；③当入=0时，入a =0 .④|入a |=|入|申,入a的长度是a的长度的|入|倍.(2)运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律X<0分配律：我)=&a +兀6 仇+p)a=略+血结合律：”也)=(很)a3.空间向量的数量积和坐标运算1.两个向壘的数量积⑴住怙％lib忙osv护b＞；⑵；丄了0；・京0 G 了为非零向量)■（3）\a^~a^t \a]r^cfi-b^-c^'坐标运算1直线的方向向量:空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点A以及一个定方向确定. 直线I上的向量e以及与e共线的向量叫做直线I的方向向量.1. 直魏与直线平存设礬H和囲方向向重分别为7神冠则由向童共线的条件得：①一条直线I有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行.②直线I的方向向量也是所有与I平行的直线的方向向量.2方向向量的求法：可根据直线I上的任意两点的坐标写出直线I的一个方向向量.3平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向” •如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面，记作n丄a,如果n丄a,那么向量n叫做平面a的法向量.注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面a有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有n.m=O.④一个平面a的法向量也是所有与平面a平行的平面的法向量.4法向量的求法：(1 )设：设出平面法向量的坐标为n=(u,v,w);(2)列：根据a *n =0,b *n =0,列出方程组；(3)解：把u (或v 或w)看作常数，用u (或v或w)表示另外两个量;(4)取：取u为任意一个数(当然取得越特殊越好)，则得到平面法向量n的坐标.四、用向量证明平行|件2鐵H电直创67"眉2. 与临怖⑴已知两个弓肉向壘订和W与a共面.直娃I的Y方向柯堡为二则由英而向壘定理可以得：於诫底叭曲柱两个有序实数(险yl施：=,订二二⑵由共丽向璽定理还可以觀如果几B, C三点不共练则点M在平面ABC内的克婆条祥是.存在一对有序实數k y) =^AB+/J?融-3. 平而与平而平行设平而6 0的法向童分別丸看' 眉，则，a//减口与隍合a屛卅«T 口存在实数I,厦石=话五、用向量证明垂直(1)删垂凤设陶、5的方向向重分别为二i-则l|丄1冲；丄了H；耳电⑵娃面垂直「①逵直妓I的訥向童肉二平眾的法向堡淅;「则LLae詡怖②由线面垂直的刑定定理，只薯证開已知直线的方佝向世与平面内两个不共线向量垂直.(3)面面垂直r①证明两牛平面的袪向童垂直即两牛平面的法佝重［丄©朽［总乜②由面面垂直的刑定定理可知：貝要证明一牛平面内的一条直线的方向向量和一个平而内的两条相交直绽的方佝向童垂直.一•选择题(共11小题)1 •已知直线I的一般方程式为x+y+仁0,则I的一个方向向量为( )A. ( 1,1)B.( 1,- 1) C . ( 1, 2)D.( 1,- 2)2•已知等差数列｛a n｝的前n项和为S，且S2=11, S5=50,贝U过点P (n, a n)和(n+2, a n+2)( n€ N)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A. (- 1,- 3)B.( 1,- 3) C . (1, 1) D.( 1,- 1)3. 若直线丨1,丨2的方向向量分别为a=( 2, 4, - 4) , = (- 6, 9, 6),则(A. I 1// 丨 2B. I 1 丄l 2C. I 1与l 2相交但不垂直D.以上均不正确4. 直线a, b的方向向量分别为■- (1,- 2,- 2), .= (- 2,- 3, 2),则与b的位置关系是( )A.平行B•重合C•垂直D.夹角等于——5. 若 A( 0,2, J), B (「X ：), C (-2,设平面a 的法向量.=（x , y , z ），则x : y : z=（ A. 2: 3:( - 4) B. 1: 1: 1 C. - 1 : 1: 1 D.26. 已知糾=(1, 5,-2), : '= (3, 1, z )，若小丄：’，• H= (x - 1, y , -3), 且BP 丄平面ABC 则实数x 、y 、z 分别为()A. ，-, 4B. ，-, 4C. , - 2, 4D. 4, , - 157. 若直线I 的方向向量为、平面a 的法向量为「，能使I //a 的是( ) A. = (1, 0, 0), ,= (-2, 0, 0) B.,= (1, 3, 5),尸(1,0, 1)C.；= (0, 2, 1), -.= (- 1, 0,- 1) D. 1= (1,-1, 3), 8. 设二-. , ■■在上的投影为〔，■在x 轴上的投影为2, 则为（） A.( 2, 14)B.二:C. ：:D.(2, 8)9.如图，在正方体ABCD- ABQD 中，P 为对角线BD 的三等分点,A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 B,点A €a, AC 丄I ,C 为垂足，B € 为垂足，若AB=2 AC=BD=1则D 到平面ABC 的距离等于（） A.- B . - C . D . 1 3 3 3 11.在正四棱柱ABC - A 1B 1C 1D 中，顶点B 1到对角线BD 和到平面ABCD 的距离分别为h 和d ,贝U 下列命题中正确的是（）A.若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0, 1）4,：）是平面a 内的三点,3: 2: 4'|= (0, 3, 1)P 到各顶点的10.已知直二面角a - I -B, BD 丄I , DdB. 若侧棱的长小于底面的边长，则C. 若侧棱的长大于底面的边长，则D. 若侧棱的长大于底面的边长，则二.填空题（共12小题）15. ______________________________________ 如图，在棱长为2的正方体ABCD- ABCD 中，E 为BC 的中点，点P 在线段 DE 上，点P 到直线CC 的距离的最小值为 ____________________________________ .16. 若二：•，二「」，匚―丨、工，贝U I ：- 一 = ______ .17. 已知A （1，2，- 1）关于面xOz 的对称点为B ,则：1，= ______ .18. 如图，在三棱锥D- ABC 中,已知AB=AD=2BC=1,正•丽二-3,则CD= ______19. 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面ABCD %矩形，SD 丄底面ABCD AD 五， DC=SD=2点M 在侧棱SC 上，/ ABM=60 .若以DA DC DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz ，则M 的坐标为 __________ .〔的取值范围为d〔的取值范围为: 〔的取值范围为d,+8)20. 如图，为一个正方体截下的一角P-ABC |PA|=a，|PB|=b，|PC|=c，建立21. ________________________________________ 下列关于空间向量的命题中，正确的有 ______________________________________ . ① 若向量与空间任意向量都不能构成基底，则丿：】； ② 若非零向量f , b ,::满足J 丄‘，】」：：则有・1// ;③ 若示，I'，不是空间的一组基底，且I.i +1 :'，则A ，B ，C, D 四3 3 3点共面；④ 若向量+ij ， I j + ■， + I ，是空间一组基底，则I ，I )，也是空间的一组基底. 22. 由空间向量 =(1，2，3) ，1(1，- 1，1)构成的向量集合 A={ ■ | ：■ = i +k b ，k € Z}，则向量:的模| ? |的最小值为 ______ .23. 已知点 A ( 1, 2, 1)，B(- 2,，4)，D (1,1,1)，若屮=2」、则 | -川£的值是 _______ .24. 已知空间四点 A (0, 1, 0), B (1, 0, ), C(0, 0, 1), D( 1 , 1,),2 2则异面直线AB CD 所成的角的余弦值为 _________ .A B25. 如图ABC - ABCD 是正方体，BE 二DR= 1】，贝U BE 与DF 所成角的余弦4值是 _______26.已知向量1, -满足| |=2 ,与「的夹角为60，则■在 ' 上的投影是Ai三.解答题(共9小题)27.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4AB=6BC=3(1) 证明：BC//平面PDA(2) 证明：BC1PD(3) 求点C到平面PDA的距离.28•如图，已知四棱锥P-ABCD PB丄AD则面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.(I)求点P到平面ABCD勺距离，(II )求面APB与面CPB所成二面角的大小.29. 如图，在四棱锥P-ABCD中, PDL平面ABCD PD=DC=BC=1AB=2 AB// DC / BCD=90 .(1)求证：PC! BC；(2)求点A到平面PBC的距离.30. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD%矩形，PAL平面ABCD点E 在线段PC上, PCL平面BDE 设PA=1, AD=2(1)求平面BPC的法向量；(2)求二面角B- PC- A的正切值.31. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA±底面ABCDAD丄AB, AB// DCAD=DC=AP=2 AB=1,点E为棱PC的中点.(I)证明：BE丄DC(U)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(川)若F为棱PC上一点，满足BF丄AC,求二面角F- AB- P的余弦值.32. 如题图,三棱锥P-ABC中, PCL平面ABC PC=3 / ACB= . D, E分别为2线段AB, BC上的点，且CD=DE孑,CE=2EB=2(I)证明：DE!平面PCD(U)求二面角A- PD- C的余弦值.33 .如图，在三棱台ABC- DEF中，已知平面BCFEL平面ABC / ACB=90 , BE=EF=FC=1 BC=2 AC=3(I)求证：BF丄平面ACFD(U)求二面角B- At> F的余弦值.I)求证: MN/ 平面(U)求二面角D - AC- B 的正弦值；(川)设E 为棱AB 上的点，若直线NE 和平面ABC ［所成角的正弦值为「求线 3 段A i E 的长.35.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABC 助矩形，PA!平面ABCD E 为PD 的中占八、、・(I)证明：PB//平面AEC(U)设AP=1 ADV3，三棱锥P-ABM 体积V 丰，求 A 至U 平面PBC 的距离. DAC=AA2, AD=CD 孑，且点M 和N 分别为B i C 和DD 的中点.AB=1C2017年12月02日空间立体几何参考答案一•选择题（共14小题）1. C;2. B;3. A;4. B;5. A;6. B;7. C;8. A;9. B; 10. D; 11. B;12. B;13. C; 14. C;二.填空题（共12小题）15. - ；16. 3; 17. （0, - 4, 0） ; 18. 19. （0, 1, 1）; 20.（丄.一.一）;5 --- J 0 D21.①③④;22..二；23. 2 二；24. ; 25. ; 26. 1;----- —9 17三.解答题（共9小题）27.; 28.; 29.; 30.; 31.; 32.; 33.; 34.; 35.;。

空间立体几何讲义全

①规定长度为0的向量为零向量，记作0；②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a的相反向量记为-a.5.共线与共面向量（1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∕∕b.（2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．（3）定理共线向量定理：对于空间任意两个向量b),、的充要条件是存在实数λ，使得.b(b≠a//ab=aλ共面向量定理：如果两个向量b、a共面的充要条件是存在唯一a不共线，则向量p与向量b、的有序史书对(x，y),使得p.b ya x+=6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．二、空间向量的运算1、加减法（1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．（2）加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．交换律：结合律：（3）推广*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：*首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量2.空间向量的数乘运算（1）实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．①当λ＞0时，λa与a的方向相同；②当λ＜0时，λa与a的方向相反；③当λ=0时，λa=0．④|λa|=|λ|a•，λa的长度是a的长度的|λ|倍．（2）运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律分配律：b a b a λλλ+=+)( b a a μλμλ+=+)(结合律：a a )()(λμμλ=3．空间向量的数量积和坐标运算坐标运算三．直线的方向向量1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．注意：①一条直线l 有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l 的方向向量也是所有与l 平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l 上的任意两点的坐标写出直线l 的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面，则有0n.=•m④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为n=)vu；(w,,（2）列：根据,0•nna列出方程组；b,0=•=（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量；（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n的坐标．四、用向量证明平行五、用向量证明垂直一．选择题（共11小题）1．已知直线l的一般方程式为x+y+1=0，则l的一个方向向量为（）A．（1，1）B．（1，﹣1） C．（1，2）D．（1，﹣2）2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=11，S5=50，则过点P（n，a n）和Q （n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3） C．（1，1）D．（1，﹣1）3．若直线l1，l2的方向向量分别为=（2，4，﹣4），=（﹣6，9，6），则（）A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确4．直线a，b的方向向量分别为=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，﹣3，2），则a 与b的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．夹角等于5．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：46．已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣157．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（）A．=（1，0，0），=（﹣2，0，0）B．=（1，3，5），=（1，0，1）C．=（0，2，1），=（﹣1，0，﹣1）D．=（1，﹣1，3），=（0，3，1）8．设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个10．已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．111．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值围为（0，1）B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值围为二．填空题（共12小题）15．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．16．若，，则= ．17．已知A（1，2，﹣1）关于面 xOz 的对称点为B，则= ．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=AD=2，BC=1，，则CD= ．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．若以DA，DC，DS，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为．20．如图，为一个正方体截下的一角P﹣ABC，|PA|=a，|PB|=b，|PC|=c，建立如图坐标系，求△ABC的重心G的坐标．21．下列关于空间向量的命题中，正确的有．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；②若非零向量，，满足⊥，⊥则有∥；③若，，是空间的一组基底，且=++，则A，B，C，D四点共面；④若向量+，+，+，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．22．由空间向量=（1，2，3），=（1，﹣1，1）构成的向量集合A={|=+k，k∈Z}，则向量的模的最小值为．23．已知点A（1，2，1），B（﹣2，，4），D（1，1，1），若=2，则||的值是．24．已知空间四点A（0，1，0），B（1，0，），C（0，0，1），D（1，1，），则异面直线AB，CD所成的角的余弦值为．25．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．26．已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是．三．解答题（共9小题）27．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．28．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．30．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．32．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．33．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．34．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．35．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．2017年12月02日空间立体几何参考答案一．选择题（共14小题）1．C；2．B；3．A；4．B；5．A；6．B；7．C；8．A；9．B；10．D；11．B；12．B；13．C；14．C；二．填空题（共12小题）15．；16．3；17．（0，﹣4，0）；18．；19．（0，1，1）；20．（）；21．①③④；22．；23．2；24．；25．；26．1；三．解答题（共9小题）27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；34．；35．；。

立体几何复习讲义全解

圆梦教育1对1个性化辅导讲义学员姓名学校年级和科目教师课题空间点、直线、平面之间的位置关系授课时间教学目标掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系和等角定理．教学内容【基础知识回顾】 1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，则这条直线在此平面内．公理2：过的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们过该点的公共直线． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数( )A．1 B．2C．3 D．47．若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分8．如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )9．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________．5．如下图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【考点探究】考点一平面的基本性质例1正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，则，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．考点二异面直线例2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．考点三异面直线所成的角例3(2014·宁波调研)正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．【训练3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．例4正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．【训练4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB ＝CGCD＝23，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．【作业】[知能演练]一、选择题1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b( )C.35 D.45二、填空题5．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB ＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体三、解答题7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．[高考·模拟·预测]1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为( ) A．2 B．3C．4 D．52．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )A.34B.54C.74 D.34。

高一数学空间几何体讲义

空间几何体讲义知识总结：1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

空间立体几何精讲课件

和原理。
交互性强：设置多种交互式练习让学生在互动中加深对知识的理解和
掌握。
适应性强：根据不同学生的需求提供多种难度等级的练习和测试满足个性化学习
需求。
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定义：空间几何是研究空间中形状、大小和位置关系的数学分支
常见概念：点、直线、平面、几何图形（如三角形、四边形等）
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增加互动环节：鼓励学生参与课堂讨论和互动通过小组合作、探究学习等方式提高学生的主动性和创造性。
多元化评估方式：采用多种评估方式如考试、作业、课堂表现等全面了解学生的学习情况为进一步改进教学提供依据。
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教师将提供详细的讲解和指导帮助学生理解空间立体几何的概念和原理。
教师将提供有针对性的练习题和作业帮助学生巩固所学知识和提高解题能力。
PRT FIVE
课时2：空间几何图形的作图与证明
课时1：空间立体几何的基本概念和性质
课时3：空间几何图形的性质与计算
课时4：空间几何的应用与拓展
直观教学：使用实物、模型等教具帮助学生理解空间几何的概念和性质。实验教学：通过让学生自己动手操作培养他们的空间想象能力和解决问题的能力。互动教学：采用小组讨论、竞赛等方式激发学生的学习兴趣和参与度。案例教学：通过分析实际问题的解决方案让学生更好地理解和应用空间几何的知识。
教学效果：学生对空间立体几何的理解和掌握程度

空间立体几何讲义精编版

①规定长度为0的向量为零向量，记作0；②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a的相反向量记为-a.5.共线与共面向量（1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∕∕b.（2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．（3）定理共线向量定理：对于空间任意两个向量b),(b≠、的充要条件是存在实数λ，使得.ba//ab=aλ共面向量定理：如果两个向量b、a共面的充要条件是存在唯一a不共线，则向量p与向量b、的有序史书对(x，y),使得p.b ya x+=6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．二、空间向量的运算1、加减法（1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．（2）加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．交换律：结合律：（3）推广*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：*首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量2.空间向量的数乘运算（1）实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．①当λ＞0时，λa与a的方向相同；②当λ＜0时，λa与a的方向相反；③当λ=0时，λa=0．（2）运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律结合律：a a )()(λμμλ=3．空间向量的数量积和坐标运算坐标运算三．直线的方向向量1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量．注意：①一条直线l 有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．②直线l 的方向向量也是所有与l 平行的直线的方向向量．2、方向向量的求法：可根据直线l 上的任意两点的坐标写出直线l 的一个方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有0n.=∙m④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）设：设出平面法向量的坐标为n=)vu；(w,,（2）列：根据,0∙nna列出方程组；b,0=∙=（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量；（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n的坐标．四、用向量证明平行五、用向量证明垂直一．选择题（共11小题）1．已知直线l的一般方程式为x+y+1=0，则l的一个方向向量为（）A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（1，2）D．（1，﹣2）2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2=11，S5=50，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（）A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（1，1）D．（1，﹣1）3．若直线l1，l2的方向向量分别为=（2，4，﹣4），=（﹣6，9，6），则（）A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确4．直线a，b的方向向量分别为=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，﹣3，2），则a 与b的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．夹角等于5．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：46．已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣157．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（）A．=（1，0，0），=（﹣2，0，0）B．=（1，3，5），=（1，0，1）C．=（0，2，1），=（﹣1，0，﹣1）D．=（1，﹣1，3），=（0，3，1）8．设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个10．已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．111．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面A1BCD1的距离分别为h和d，则下列命题中正确的是（）A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为二．填空题（共12小题）15．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．16．若，，则=．17．已知A（1，2，﹣1）关于面xOz 的对称点为B，则=．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=AD=2，BC=1，，则CD=．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°．若以DA，DC，DS，分别为x轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则M的坐标为．20．如图，为一个正方体截下的一角P﹣ABC，|PA|=a，|PB|=b，|PC|=c，建立如图坐标系，求△ABC的重心G的坐标．21．下列关于空间向量的命题中，正确的有．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；②若非零向量，，满足⊥，⊥则有∥；③若，，是空间的一组基底，且=++，则A，B，C，D四点共面；④若向量+，+，+，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．22．由空间向量=（1，2，3），=（1，﹣1，1）构成的向量集合A={|=+k，k∈Z}，则向量的模的最小值为．23．已知点A（1，2，1），B（﹣2，，4），D（1，1，1），若=2，则||的值是．24．已知空间四点A（0，1，0），B（1，0，），C（0，0，1），D（1，1，），则异面直线AB，CD所成的角的余弦值为．25．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．26．已知向量，满足||=2，与的夹角为60°，则在上的投影是．三．解答题（共9小题）27．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．28．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．30．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA=1，AD=2．（1）求平面BPC的法向量；（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．32．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．33．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．34．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．35．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．2017年12月02日空间立体几何参考答案一．选择题（共14小题）1．C；2．B；3．A；4．B；5．A；6．B；7．C；8．A；9．B；10．D；11．B；12．B；13．C；14．C；二．填空题（共12小题）15．；16．3；17．（0，﹣4，0）；18．；19．（0，1，1）；20．（）；21．①③④；22．；23．2；24．；25．；26．1；三．解答题（共9小题）27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；34．；35．；。

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