高中数学(人教b版)必修1导学案2.3《函数的应用(ⅰ)》缺答案
2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案:2.3 函数的应用(Ⅰ)

2.3 函数的应用(Ⅰ)[学习目标] 1.明确一次函数、二次函数、分段函数可作为数学模型解有关应用题.2.初步掌握数学建模的方法.3.通过数学建模的应用,培养应用意识.[预习导引] 常见函数模型解决学生疑难点要点一 一次函数模型例1 大气中的温度随着高度的上升而降低,根据实测的结果上升到12 km 为止,温度的降低大体上与升高的距离成正比,在12 km 以上温度一定,保持在-55 ℃.(1)当地球表面大气的温度是a ℃时,在x km 的上空为y ℃,求0≤x ≤12时,a ,x ,y 间的函数关系式;(2)当地球表面大气的温度是29 ℃时,3 km 上空的温度是多少? 解 (1)由题意知y -a =kx (0≤x ≤12,k <0), 即y =a +kx .∵当x =12时,y =-55,∴-55=a +12k , 解得k =-55+a12,∴当0≤x ≤12时,y =a -55+a12x ,∴所求的函数关系式为y =a -55+a12x (0≤x ≤12).(2)当a =29,x =3时,y =29-55+2912×3=8(℃),即当地球表面大气的温度是29 ℃时,3 km 上空的温度是8 ℃.规律方法 用一次函数模型解决实际问题时,要注意分析数量关系的特征.对于一次函数y =ax +b (a ≠0),当a >0时为增函数,当a <0时为减函数.另外要结合题目理解(0,b )或(-ba ,0)这些特殊点的意义.跟踪演练1 如图所示,这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象,根据图象填空:(1)通话2分钟,需要付电话费________元; (2)通话5分钟,需要付电话费________元;(3)如果t ≥3,则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为________. 答案 (1)3.6 (2)6 (3)y =1.2t (t ≥3)解析 (1)由图象可知,当t ≤3时,电话费都是3.6元. (2)由图象可知,当t =5时,y =6,需付电话费6元.(3)当t ≥3时,y 关于x 的图象是一条直线,且经过(3,3.6)和(5,6)两点,故设函数关系式为y =kt +b ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 3k +b =3.6,5k +b =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1.2,b =0.故y 关于t 的函数关系式为y =1.2t (t ≥3). 要点二 二次函数模型例2 某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与报纸广告费用x 1(万元)及电视广告费用x 2(万元)之间的关系有如下经验公式:R =-2x 21-x 22+13x 1+11x 2-28.(1)若提供的广告费用共为5万元,求最优广告策略;(即收益最大的策略,其中收益=销售收入-广告费用)(2)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略(其中x 1,x 2∈N).解 (1)∵广告费共5万元,设报纸广告费用x 万元,则电视广告费用5-x 万元,利润为w 万元.∴R =-2x 2-(5-x )2+13x +11(5-x )-28(0<x ≤5) =-3x 2+12x +2(0<x ≤5).。
数学人教B版必修1学案:课堂导学 2-3函数的应用Ⅰ 含

课堂导学三点剖析一、求函数的解析式【例1】设计一水槽,其横截面为等腰梯形,要求AB+BC+CD=3,∠ABC=120°. (1)写出横截面面积S 用腰长x 表示的函数关系式,并求出定义域. (2)问当腰长为多少时,横截面面积最大?最大值是多少?思路分析:这是几何图形方面的应用题,运用几何图形的性质求出与面积有关的量(用x 表示),据面积公式列出关系式,注意实际问题中的定义域. 解:(1)设AB=CD=x,则BC=3-2x. 又作BE ⊥AD 于点E, ∵∠ABC=120°, ∴∠BAE=60°. ∴BE=23x,AE=2x ,AD=BC+2AE=3-2x+x=3-x.∴S=21(AD+BC)∙BE =21(3-x+3-2x)∙23x =.2334332x x +-∵AB>0,BC>0,∴⎩⎨⎧>>0.2x -30,x∴0<x<23,即定义域为(0,23). (2)S=433-(x-1)2+433. ∴当x=1时,S max =433. 二、求实际问题的最值【例2】某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?思路分析:(2)根据所给数据关系,列出公司月收益函数关系从而求出最大值. 解:(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为5030003600-=12,∴租出了100-12=88辆.(2)设每辆车的月租金定为x 元,则租凭公司的月收益为 f(x)=(100503000--x )(x-150)503000--x ×50 =502x -+162x-21 000=501-(x-4 050)2+307 050. 当x=4 050时,f(x)最大,其最大值为307 050元. 温馨提示根据题意设出未知量,列出正确的函数关系式是解决应用题的基本方法之一. 利用二次函数求实际问题的最值时要配方并且由对称轴与定义域区间的相对位置求之. 三、从不同的方案中选优问题【例3】某私营企业老板对企业有突出贡献的某员工加薪,有两种加薪方案供员工选择:方案一:每年年末加薪1 000元;方案二:每半年加薪300元.〔注:每年年末加薪a 元,即是原薪金为m 元,则加薪第一年总薪金应为m+a 元,第二年薪金应为(m+a)+a 元,第三年薪金应为(m+a)+a+a 元〕(1)设该员工在此私企再工作2年,试问该员工根据自己需继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠,请说明理由;(2)设该员工在此私企继续工作x 年,试问该员工根据自己需继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠,请说明理由.〔注:m+(m+a)+(m+2a)+(m+3a)+…+[m+(x-1)a ]=mx+2)1(-x x a 〕 解析:(1)选择方案一,第1年加薪=1000,第2年加薪=2000,2年加薪总额=3000;选择方案二,第1年加薪=900,第2年加薪=2100,2年加薪总额=3000,因此,该员工选择哪个加薪方案都一样.(2)选择方案一的加薪总额为1000x+10002)1(∙-x x =500x 2+500x. 选择方案二的加薪总额为3002)12(22300∙-+∙x x x =600x 2+300x. ∵(500x 2+500x)-(600x 2+300x)=-100(x 2-2x),∴0<x<2,即x=1(工作1年)时,选择方案一;x=2(工作2年)时,两种方案一样;x>2(工作3年以上)时,选择方案二. 温馨提示若一个题目中含有2个或多个数学模型时,要想判断哪个模型更好,可以利用比较大小的方法,进行作差、判断符号,也可利用图象法,分别作出函数图象,由图象直接观察. 各个击破 类题演练1某商人购货,进价已按原价30元/件扣去25%,他希望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后,仍可获得售价25%的纯利,那么此商人经营这种货物时,按新价让利总额y 与货物数x 之间的函数关系是________.解析:设每件货物的新价为a 元, 则销售价为a(1-20%)=a×80%(元/件), 而进价为30(1-25%)=30×75%(元/件), 因此,销售每件货物的利润为a×80%-30×75%, 由题意,知a×80%-30×75%=a×80%×25%,所以a=275,故y=a×20%x=215x, 即y 与x 之间的函数关系是y=215x(x ∈N ).答案:y=215x(x ∈N )变式提升1某人开汽车以60 km/h 速度从A 地到150 km 远处的B 地,在B 地停留1 h 后,再以50 km/h 的速度返回A 地.把汽车离开A 地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A 地出发时开始)的函数,并画出函数的图象.解析:汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是x=⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈∈]5.6,5.3(),5.3(50150],5.3,5.2(,150],5.2,0[,60t t t t t 它的图象如图所示.类题演练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数R(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤400.x 000, 80400,x 0 ,x 21 -400x2 其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x).(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润) 解析:(1)设月产量为x 台,则总成本为20 000+100x ,从而f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-.400,10060000,4000,20000300212x x x x x (2)当0≤x≤400时,f(x)=21-(x-300)2+25 000;当x=300时,f(x)max =25 000;当x>400时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000.∴当x=300时,利润最大为25 000元. 变式提升2某厂生产一种机器的固定成本(即因定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x 22x -(万元)(0≤x≤5),其中x 是产品售出的数量(单位:百台).(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? 解析:(1)当x≤5时,产品能售出x 百台;当x>5时,只能售出5百台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--5),25.05.0()2555(50),25.05.0()25(22x x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--.5,25.012,50,5.0275.42x x x x x (2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x 22x --0.5,当x=4.75时得L(x)max =10.781 25万元.当x>5时,L(x)<12-1.25=10.75(万元). ∴生产475台时利润最大. 类题演练3商店出售茶壶与茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶送一个茶杯,②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个).设购买茶杯数x 个,付款为y(元),试分别建立两种优惠办法中,y 与x 的函数关系式,并指出如果该顾客需要购买茶杯40个,应选择哪种优惠办法? 解析:由优惠办法(1)得函数关系式为y 1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x ∈N *). 由优惠办法(2)得函数关系式为y 2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x ∈N *). 当该顾客购买茶杯40个时,采用优惠办法(1)应付款y 1=5×40+60=260元;采用优惠办法(2)应付款y 2=4.6×40+73.6=257.6元,由于y 2<y 1,因此应选择优惠办法(2). 变式提升3经过调查发现,某种新产品在投放市场的100天中,前40天其价格直线上升,而后60天其价格(1)写出价格f(x)关于时间x 的函数表示式(x 表示投放市场的第x 天); (2)若销售量g(x)与时间x 的函数关系是g(x)=31-x+3109(1≤x≤100,x ∈N ),问该产品投放市场第几天时日销售额最高,最高值为多少千元?解析:(1)用待定系数法不难得到f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧N ∈≤≤+-N ∈≤≤+,,10040,5221,,401,2241x x x x x x(2)设日销售额为S,当1≤x<40时,S=(41x+22)(31-x+3109)=121-(x 2-21x-9 592),∴x=10或11时, S max =129702=808.5(千元). 当40≤x≤100时, S=(21-x+52)(31-x+3109) =61(x 2-213x+11 336), ∴x=40时,S max =736(千元).综上分析,日销售额最高是在第10及第11两天,最高销售额为808.5千元.。
人教b版高一数学必修一:3.4《函数的应用(i)》学案(含答案)

3.4函数的应用(Ⅱ)自主学习学习目标1.能够运用函数(指数函数、对数函数、幂函数等)性质,解决某些简单的实际问题.2.能够根据实际问题构建适当的函数模型,了解和体会函数模型的广泛应用.3.培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.自学导引1.人口数的计算设原有人口a人,人口的自然年增长率为b,则经过x年后,人口数y=________.2.复利及应用(1)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息.(2)本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,则本利和y随存期x变化的函数式为________ (x∈N+).3.半衰期及应用(1)放射性元素剩留量为________________所需要的时间叫做半衰期.(2)放射性元素最初质量为a g.按每年r衰减(0<r<1).t年后,这种元素的质量w的表达式是____________.这种元素的半衰期t=____________.对点讲练知识点一指数函数模型例1 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)变式迁移1 2000年全国人口普查时,我国人口数为13亿,如果从2000年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长,那么,大约经过多少年我国人口数达到18亿?知识点二对数函数模型的应用例2 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2Q10,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?变式迁移2 在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M (kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系v =2 000ln ⎝⎛⎭⎫1+Mm .当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达12 km/s?知识点三 综合应用例3 某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t );(2)进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,药物对治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病的有效时间.变式迁移3 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细胞注入.药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物?(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天,已知lg 2=0.301 0)解答应用题的基本步骤:(1)设:合理、恰当地设出变量;(2)写:根据题意,抽象概括数量关系,并能用数学语言表示,得到数学问题;(3)算:对所得数学问题进行分析、运算、求解;(4)答:将数学问题的解还原到生活中的实际问题,给出最终的答案.课时作业一、选择题1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍,则函数y =f (x )的图象大致为( )2.据报道,青海湖的湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2008年的湖水量为m ,从2008起,过x 年后湖水量y 与x 的函数关系式为( )A .y =0.9x 50B .y =(1-0.1x50)mC .y =0.9x50·m D .y =(1-0.150x ) m3.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过( )A .12小时B .4小时C .3小时D .2小时 4.今有一组实验数据如下:( )A .V =log 2tB .V =log 12tC .V =t 2-12D .V =2t -25.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的物质约是原来的45.则经过多少年,剩留的物质是原来的64125( )A .3B .4C .5D .6二、填空题6.已知镭经过100年后剩留量为原来的95.76%,设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ,则x 、y 的关系是__________.7. 某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y (m 2)与时间t (月)之间的函数关系式是y =a t -1 (a >0且a ≠1),它的图象如图所示,给出以下命题:①池塘中原有浮草的面积是0.5 m 2;②到第7个月浮草的面积一定能超过60 m 2; ③浮草每月增加的面积都相等;④若浮草面积达到4 m 2,16 m 2,64 m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3,则t 1+t 2<t 3,其中所有正确命题的序号是________.8. 如图所示,开始时桶1中有a 升水,t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1=a e -nt ,那么桶2中水就是y 2=a -a e -nt .假设过5分钟时桶1和桶2的水相等,若桶1中的水只有a 8时,需经过的时间是________分钟.三、解答题9.某企业计划发行企业债券,每张债券现值500元,按年利率6.5%的复利计息,问多少年后每债券一次偿还本利和1 000元?(参考lg 2=0.301 0,lg 1.065=0.027 4)【探究驿站】 10.某商场销售一种进价为50元的商品,据市场调查,当商品销售单价x 在50≤x ≤100范围时,每天售出数量P 与(x -40)2成反比例,且当定价为50元时,P =1 000.(1)写出售出数量P 与销售单价x 的关系式;(2)为使每天获得的利润最多,销售单价x 应定为多少元?§3.4 函数的应用(Ⅱ) 答案自学导引1.a (1+b )x2.(2)y =a (1+r )x3.(1)原来的一半 (2)w =a (1-r )t lg 0.5lg (1-r )对点讲练例1 解 依题意,得2100·⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000,即⎝⎛⎭⎫23n ≤120.则n (lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),故n ≥1+lg 2lg 3-lg 2≈7.4,考虑到n ∈N ,即至少要过滤8次才能达到市场要求.变式迁移1 解 设大约经过n 年,我国人口由2000年的13亿增加到18亿,则13×(1+1%)n =18.∴1.01n =1813,即n =log 1.011813=lg1813lg 1.01=lg 18-lg 13lg 1.01≈1.255 3-1.113 90.004 3=32.883 7≈33(年)即从2000年开始,大约经过33年,我国人口总数可达18亿. 例2 解 (1)由题知,当燕子静止时,它的速度v =0,代入v =5 log 2Q10可得:0=5log 2Q10,解得Q =10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q =80代入v =5 log 2Q10得:v =5log 28010=5log 28=15 (m/s).即当一只燕子的耗氧量是80个单位时, 它的飞行速度为15 m/s.变式迁移2 解 由12 000=2 000ln ⎝⎛⎭⎫1+M m , 即6=ln ⎝⎛⎭⎫1+M m , 1+M m =e 6,利用计算器算得Mm≈402.即当燃料质量约是火箭质量的402倍时,火箭的最大速度可达12 km/s. 例3 解 (1)当t ∈[0,1]时,函数的解析式为y =kt , 将M (1,4)代入得k =4,∴y =4t . 又当t ∈(1,+∞)时,函数的解析式为y =⎝⎛⎭⎫12t -a,将点(3,1)代入得a =3.∴y =⎝⎛⎭⎫12t -3. 综上有y =f (t )=⎩⎪⎨⎪⎧4t (0≤t ≤1),⎝⎛⎭⎫12t -3 (t >1).(2)由f (t )≥0.25,解得116≤t ≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为5-116=41516个小时. 变式迁移3 解 (1)由题意知,病毒细胞个数关于天数t 的函数为y =2t -1.则由2t -1≤108两边取常用对数得 (t -1)lg 2≤8, 得t ≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物.(2)由题意知,注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%,再经过x 天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x .由题意,得226×2%×2x ≤108,两边取常用对数,得26lg 2+lg 2-2+x lg 2≤8,得x ≤6.2,即再经过6天必须注射药物,即第二次应在第33天注射药物.课时作业 1.D2.C [设湖水量每年为上一年的q %,则(q %)50=0.9,所以q %=0.9150,即x 年后湖水量为y =0.9x50·m .]3.C [设共分裂了x 次,则有2x =4 096, ∴2x =212,又∵每次为15分钟,∴共15×12=180分钟,即3个小时.] 4.C 5.A6.y =(0.957 6)x1007.①②8.15解析 当t =5时,y 1=y 2,即a e -5n =a -a e -5n∴e -5n =12.若a e -nt =a 8,则e -nt =18,即e -nt =(e -5n )3,∴-15n =-nt ,t =15.9.解 设本金为P 元,每期利率为r ,本利和为y 元,存期为x 年,则复利函数式y =P (1+r )x .设n 年后每张债券一次偿还本利和1 000元, 由1 000=500(1+6.5%)n , 解得n =lg 2/lg 1.065≈11.故11年后每张债券应一次偿还本利和1 000元.10.解 (1)设P =k(x -40)2,将x =50,P =1 000代入,解得k =100 000,∴P =100 000(x -40)2(50≤x ≤100).(2)设每天获得利润y 元,则y =(x -50)·100 000(x -40)2=100 000[-10(x -40)2+1x -40]=100 000[-10(1x -40-120)2+140],∵50≤x ≤100,∴1x -40∈[160,110], 当1x -40=120, 即x =60(元)时,每天利润最大,为2 500元.。
《 3.3 函数的应用(一)》学历案-高中数学人教B版19必修第一册

《3.3 函数的应用(一)》学历案(第一课时)一、学习主题本课学习主题为“高中数学课程《3.3 函数的应用(一)》”,主要围绕函数的基本概念、性质及其在现实生活中的应用展开,通过具体实例分析,让学生掌握函数的基本应用方法,提高解决实际问题的能力。
二、学习目标1. 知识与技能:掌握函数的基本概念和性质,能够运用函数知识解决简单的实际问题。
2. 过程与方法:通过实例分析,培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观:激发学生的学习兴趣,培养学生的数学应用意识,提高学生的学习自信心。
三、评价任务1. 知识理解评价:通过课堂提问和随堂小测验,评价学生对函数基本概念和性质的理解程度。
2. 应用能力评价:通过布置实际问题的解决作业,评价学生运用函数知识解决实际问题的能力。
3. 学习过程评价:通过观察学生的学习态度、参与课堂活动的积极性以及小组合作情况,评价学生的学习过程。
四、学习过程1. 导入新课:通过回顾之前学习的函数知识,引出本课学习主题,激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解:讲解函数的基本概念、性质及其在现实生活中的应用,重点强调函数的概念、定义域、值域以及函数的图象。
3. 实例分析:通过具体实例,让学生分析函数的性质,加深对函数概念的理解。
4. 小组合作:学生分组进行实际问题解决,小组内交流讨论,培养学生的合作精神和团队意识。
5. 总结归纳:总结本课学习的重点和难点,强调函数的应用价值和实际意义。
五、检测与作业1. 课堂检测:通过随堂小测验,检测学生对函数基本概念和性质的理解程度。
2. 作业布置:布置实际问题的解决作业,要求学生运用所学知识解决实际问题,加强知识的应用能力。
3. 作业评价:教师批改作业,评价学生运用函数知识解决实际问题的能力,针对学生的不足之处进行指导。
六、学后反思1. 教师反思:教师对本课教学进行反思,总结教学过程中的优点和不足,为今后的教学提供借鉴。
2. 学生反思:学生回顾本课学习内容,反思自己的学习过程和成果,找出自己的不足之处,为今后的学习制定改进措施。
人教版高中必修1(B版)2.3函数的应用(Ⅰ)课程设计 (2)

人教版高中必修1(B版)2.3函数的应用(Ⅰ)课程设计一、课程基本信息1.课程名称:人教版高中必修1(B版)2.3函数的应用(Ⅰ)课程设计2.适用对象:高中一年级学生3.学科:数学4.课时数:2课时5.教学内容:函数、函数的应用二、教学目标1.知识目标:1.熟悉函数的定义和性质。
2.熟练掌握函数的应用。
2.能力目标:1.能灵活应用函数来解决实际问题。
2.能在实际问题中发现函数的应用。
3.情感目标:1.培养学生对函数应用的兴趣和热情。
2.提高学生对数学学科的信心。
三、教学重点与难点1.教学重点:1.函数的定义和性质。
2.函数的应用。
2.教学难点:1.如何将函数的概念应用到实际问题中。
2.如何从实际问题中发现函数的应用。
四、课时安排第一课时教学内容1.函数概念的回顾。
2.函数的性质介绍。
3.函数的应用举例。
教学步骤1.回顾函数的定义和图像。
1.讲解函数的概念,并介绍函数的符号表示法。
2.回顾函数的图像,重点讲解函数图像在平面直角坐标系中的表示方法。
2.函数的性质介绍。
1.介绍函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性等性质。
2.强调性质在函数的应用中的作用。
3.函数的应用举例。
1.案例一:在一定周期内的变化规律。
2.案例二:在一定范围内的最值问题。
3.案例三:在实际问题中的应用。
第二课时教学内容1.函数图像的研究与分析。
2.实际问题中的函数应用。
教学步骤1.函数图像的研究与分析。
1.通过例题引入函数图像的研究与分析方法。
2.用具体的图表和数据展示方式讲解函数图像研究中的常用方法。
3.通过一些难度适当的案例,让学生练习函数图像研究与分析的方法。
2.实际问题中的函数应用。
1.引导学生从实际问题中发现函数的应用。
2.通过实例讲解函数在实际问题中的应用方式和方法。
3.让学生通过回答问题和举例子的方式巩固函数的应用。
五、教学方法1.案例引入法:通过例题引入函数的应用和概念,激发学生的思考。
2.观察发现法:通过观察真实环境和事例,让学生从中发现函数的应用。
高中数学人教B版必修一2.3函数应用word教案

学科:数学课题:2.3函数应用教学目标(三维融通表述):能够找出简单实际问题中的函数关系式,应用一次函数、二次函数模型解决实际问题,初步掌握数学建模的一般步骤和方法;通过具体实例,感受运用函数建立模型的过程和方法,体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性,初步树立函数的观点;了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生的应用意识.教学重点: 运用一次函数、二次函数模型解决实际问题.教学难点:增强运用函数思想理解和处理问题的意识,理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法.教学过程教学环节问题与任务时间教师活动学生活动引入新课讲解典型例题复习一次函数、二次函数相关内容结合实例,探求新知根据老师的引导启发,学生自主,建立恰当3分钟5分钟18分钟1.形如f(x)= 叫一次函数,当为增函数;当为减函数。
2.二次函数的解析式三种常见形式为;;。
3.f(x)=a x2+bx+c(a≠0),当a 0,其图象开口向,函数有最值,为;当 a 0, 其图象开口向,函数有最值,为。
(当给定一区间的二次函数的最值问题怎样考虑?)4. f(x)=a x2+bx+c(a≠0)当a>0时,增区间为;减区间为.任务二:典型例题分析例2、某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金.如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其它因素,旅游公司将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高?任务三:闯关训练说出一次函数、二次函数相关性质学生独立思考,完成解答,并相互讨论、交流、评析.探索:1)本例所涉及的变量有哪分析巩固提高的函数模型,进行解答,然后交流、进行评析.14分钟1.一根弹簧,挂重100N的重物时,弹簧伸长20cm,当挂重150N的重物时,弹簧伸长()cmA.3b.15c.25D.302.用长度为24米的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3cmB.4cmC.6cmD.12cm3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20X-0.1x2(0<x<240,x N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()台A.100B.120C.150D.1804.某商场出售一种产品,每天可卖1000件,每件可获利4元,根据经验,若每件少买1角,则每天可多买100件,为获得最好的经济效益,每件应减价()A.1.5元B.2元C.3元D.2.5元些?它们的取值范围怎样;2)变式思考:试写出火车匀速行驶的路程y与火车行驶的时间x之间的函数关系3)所涉及的变量的关系如何?4)写出本例的解答过程.小结2分解方法步骤:1合理选取变量,建立实际问题中的变量之间的函数关系,从而将实际问题转化为函数模型问题2运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答个别回答板书课题例1 例2作业训练1.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告上写上"大酬宾,八折优惠"结果是每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是元2。
高中数学 23函数的应用教案 新人教B版必修1 教案

§2.3函数的应用(Ⅰ)(课前预习案)
一、新知导学
1.形如f (x )= 叫一次函数,当 为增函数;当为减函数。
2.二次函数的解析式三种常见形式为 ; ; 。
3.f (x )=a x 2+bx+c (a ≠0),当a 0,其图象开口向 ,函数有最 值,
为 ;
当a 0, 其图象开口向 ,函数有最 值,为 。
(当给定一区间的二次函数的最值问题怎样考虑?)
4. f (x )=a x
2
+bx+c (a ≠0)当a>0时,增区间为 ;减区间为
二、课前自测 1.固定电话市话收费规定:前三分钟0.22元(不满三分钟按三分钟计算),以后每分钟0.11元(不满一分钟按一
分钟计算),那么某人打市话550秒,应该收费 ( )
A.1.10元 B.0.99元 C. 1.21元 D. 0.88元 2.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车盈利的总利润y(万元)与营运年数
x(x*N ∈)满足函数关系式y=25152
-+-x x ,则每辆客车营运多少年可使其营运利润最大
( )
A.6 B.7 C.6或7 D.7或8 3.在一定范围内,某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000吨,每吨为800元;
购买2000吨,每吨为700元,一客户购买400吨,单价应该为( )
A.820元 B.840元 C. 860元 D.880元
§2.3函数的应用(Ⅰ)(课堂探究案)。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修1 2.3 函数的应用(Ⅰ)》

引入
问题:水上公园一圆形喷水池,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?
教师提出问题,学生思考引入课题.
通过对实际问题的引入,激发学生对本节课的兴趣。
应 用
举
例
2021年世界园艺博览会在北京举行,引出课本例1
(1)题目中自变量是什么?因变量是什么?
进一步体会数学在生活中的应用,提高学习数学的应用意识,学会生活要先学好数学。
小结
提问本节课的收获和感悟,提问解决实际应用问题的步骤及注意问题。
学生总结,师生完善
使学生养成归纳的好习惯,让学生初步掌握数学建模的基本过程
布置作业
习题2-3 A 7
习题2-3 B 3
学生课下练习与思考.
使学生巩固本节所学知识和方法。
通过应用举例,使学生进一步体会函数的列表法和函数解析式法,理解二次函数在生活中的应用并涉及二次函数求最值的问题
巩固练习
教材例
学生独立完成,然后展示解决问题的过程
使学生巩固本节所学知识和方法。
问题解决
对课前提出的问题,建立直角坐标系分析思路,提问如何去解决
分析思路引导学生思考如何去求函数关系式,一般式和顶点式,然后分析怎样去求喷水水池的半径。
函数的应用教学设计
一、教学目标
1、能运用所学的函数知识、方法解决以一次函数、二次函数为模型的实际问题
2、通过对实际问题的解决,提升数学建模素养,在解决问题中加深对函数概念的认识和理解。二、教学重点:一次函数和二次函数模型的应用
三、教学难点:实际问题转化为数学问题
四、教学设计:
教学环节
教学内容
师生互动
通过提问的方式让学生养成归纳总结的好习惯。
(人教B版)必修一名师精品:2.3《函数的应用(Ⅰ)》教案设计(含答案)

示范教案整体设计教学分析函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.教科书用例题作示范,并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在例题中,分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用.三维目标1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力,即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式.2.会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论,并根据数学结论解决实际问题.3.通过学习函数基本模型的应用,体会实践与理论的关系,初步向学生渗透理论与实践的辩证关系.重点难点教学重点:根据实际问题分析建立数学模型,并根据数学模型解决实际问题. 教学难点:建立数学模型. 课时安排 1课时教学过程应用示例思路1例1某列火车从北京西站开往石家庄,全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后,以120 km/h 匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的关系,并求离开北京2 h 时火车行驶的路程.解:因为火车匀速运动的时间为(277-13)÷120=115(h),所以0≤t≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶路程为120t ,所以,火车行驶的总路程s 与匀速行驶时间t 之间的关系是s =13+120t(0≤t≤115).离开北京2 h 时火车行驶的路程s =13+120×116=233(km).解:(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式:f(x)=⎩⎨⎧ 20,0≤x≤100,310x -10,x>100,g(x)=⎩⎨⎧50,0≤x≤500,310x -100,x>500.(2)当f(x)=g(x)时,310x -10=50,∴x =200.∴当客户通话时间为200分钟时,两种方案均可; 当客户通话时间为0≤x <200分钟,g(x)>f(x),故选择方案A ; 当客户通话时间为x >200分钟时,g(x)<f(x),故选择方案B.例2某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满.公司欲提高档次,并提高租金.如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅游公司将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高?分析:由题设可知,每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数.设提高为x 个2元,则依题意可算出总租金(用y 表示)的表达式.由于客房间数不太多,为了帮助同学理解这道应用题,我们先用列表法求解,然后再用函数的解析表达式求解.解:方法一 依题意可列表如下:x 0 (300-10×1)(20+2×1)=6 380 (300-10×2)(20+2×2)=6 720 (300-10×3)(20+2×3)=7 020由上表容易得到,当x =10,即每天租金为40元时,能出租客房200间,此时每天总租金最高,为8 000元.再提高租金,总收入就要小于8 000元了.方法二 设客房租金每间提高x 个2元,则将有10x 间客房空出,客房租金的总收入为y =(20+2x)(300-10x)=-20x 2+600x -200x +6 000=-20(x 2-20x +100-100)+6 000=-20(x -10)2+8 000.由此得到,当x =10时,y max =8 000.因此每间租金为20+10×2=40(元)时,客房租金的总收入最高,每天为8 000元. 变式训练某车间生产某种产品,固定成本为2万元,每生产一件产品成本增加100元,已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入,它是成本与总利润的和,单位:元)是年产量Q(单位:件)的函数,满足关系式: R =f(Q)=⎩⎪⎨⎪⎧400Q -12Q 2,0≤Q≤400,80 000,Q>400,解:y =R -100Q -20 000=⎩⎪⎨⎪⎧300Q -12Q 2-20 000,0≤Q≤400,60 000-100Q ,Q>400(Q ∈Z ).(1)0≤Q≤400时,y =-12(Q -300)2+25 000,∴当Q =300时,y max =25 000.(2)Q >400时,y =60 000-100Q <20 000,∴综合(1)(2),当每年生产300件时利润最大为25 000元.例1某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为l ,如果要使围墙围出的场地面积最大,问矩形的长、宽各等于多少?解:设矩形的长为x(0<x <l 2),则宽为12(l -2x),从而矩形的面积为S =x·l -2x 2=-x 2+l 2x =-[x 2-l 2x +(l 4)2-(l 4)2]=-(x -l 4)2+l 216. 由此可得,该函数在x =l 4时取得最大值,且S max =l 216.这时矩形的宽为l -2x 2=l 4.即这个矩形是边长等于l4的正方形时,所围出的面积最大.点评:本题转化为求二次函数的最值,在实际应用问题中,二次函数是最常见的函数模今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”(平衡价m是这样的一个量:m与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品,并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万吨,政府为了鼓励公司多收购这种农产品,决定将税率降低x个百分点,预测收购量可增加2x个百分点,(1)根据题中条件填空,m=________(元/吨);(2)写出税收y(万元)与x的函数关系式;(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.解:(1)∵f(m)=(m-195.5)2+(m-200.5)2+(m-204.5)2+(m-199.5)2=4m2-1 600m+160 041,∴m=200.(2)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万吨,收购总金额为200a(1+2x%),故y=200a(1+2x%)(10-x)%=20010 000a(100+2x)(10-x)=150a(100+2x)(10-x)(0<x<10).(3)原计划税收为200a×10%=20a(万元),依题意得150a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,即x2+40x-84≤0.解得-42≤x≤2.又0<x<10,∴0<x≤2.∴x的取值范围是0<x≤2.例2建立函数数学模型的例子.问题:我国1999~2019年国内生产总值(单位:万亿元)如下表所示:(1)画出函数图形,猜想它们之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式;(2)利用得出的关系式求生产总值,与表中实际生产总值比较;(3)利用关系式估计2019年我国的国内生产总值.解:(1)画出函数图形.从函数的图形可以看出,画出的点近似地落在一条直线上,可选择线性函数建立数学模型.如下图所示.设所求的线性函数为y=kx+b.把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式,解方程组,得k =0.677 7,b =8.206 7.因此,所求的函数关系式为y =f(x)=0.677 7x +8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2019年和2019年的国内生产总值分别为f(1)=0.677 7×1+8.206 7=8.884 4,f(2)=0.677 7×2+8.206 7=9.562 1,与实际的生产总值相比,误差不超过0.1万亿元.(3)假设我国2019年以后国内生产总值还按上面的关系式增长,则2019年(即x =4时)的国内生产总值为y =f(4)=0.677 7×4+8.206 7=10.917 5,所以2019年国内生产总值约为10.917 5万亿元.点评:根据国家统计局公布的数据,我国2019年国内生产总值为11.669 4万亿元,比估计的数字高得多.这说明为解决实际问题所建立的数学模型是否符合实际情况,还要经过实践的验证,如果与实际误差较大,就要修正得到的数学模型.这里是同学们第一次学习数学建模,问题虽然简单,但体现了数学建模的主要思路.顺此思路,同学们不妨取两点(0,8.206 7),(2,9.593 3)去求函数关系式,进一步体会数学建模的变式训练九十年代,政府间气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出:使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO 2浓度增加.据测,1990年、1991年、1992年大气中的CO 2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO 2浓度增加的可比单位数y 与年份增加数x 的关系,模拟函数可选用二次函数或函数y =a·b x +c(其中a 、b 、c 为常数),且又知1994年大气中的CO 2浓度比1989年增加了16个可比单位,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好?解:(1)若以f(x )=px 2+qx +r 作模拟函数,则依题意得⎩⎪⎨⎪⎧p +q +r =1,4p +2q +r =3,9p +3q +r =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =12,q =12,r =0,∴f(x)=12x 2+12x.(2)若以g(x)=a·b x +c 作模拟函数,则⎩⎪⎨⎪⎧ab +c =1,ab 2+c =3,ab 3+c =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =83,b =32,c =-3,知能训练1.我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x).答案:f(x)=5x(15≤x≤40);g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧90,15≤x≤30,2x +90,30<x≤40.2.A 、B 两城相距100 km ,在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电,为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A 城供电量为20亿度/月,B 城为10亿度/月.把月供电总费用y 表示成x 的函数,并求定义域.答案:y =5x 2+52(100—x)2(10≤x≤90).3.当人的生活环境温度改变时,人体代谢率也有相应的变化,下表给出了实验的一组数据,这组数据能说明什么?解:在这个实际问题中出现了两个变量:一个是环境温度;另一个是人体的代谢率.不难看出,对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应,这就决定了一个函数关系.实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率,为了使函数关系更直观,我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来.在医学研究中,为了方便,常用折线把它们连接起来(如下图).根据图象,可以看出下列性质:(1)代谢率曲线在小于20 ℃的范围内是下降的,在大于30 ℃的范围内是上升的;(2)环境温度在20 ℃~30 ℃时,代谢率较低,并且较稳定,即温度变化时,代谢率变化不大;(3)环境温度太低或太高时,它对代谢率有较大影响.所以,临床上做“基础代谢率”测定时,室温要保持在20 ℃~30 ℃之间,这样可以使环境温度的影响最小.4.某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个,出厂价为60元/个,日销售量为1 000个,为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0<x <1),则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ,同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ,已知日利润=(出厂价一成本)×日销售量,且设增加成本后的日利润为y.(1)写出y 与x 的关系式;(2)为使日利润有所增加,求x 的取值范围. 解:(1)由题意,得y =[60×(1+0.5x)-40×(1+x)]×1 000×(1+0.8x) =2 000(-4x 2+3x +10)(0<x <1).(2)要保证日利润有所增加,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y -(60-40)×1 000>0,0<x<1,即⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+3x>0,0<x<1.解得0<x <34.所以为保证日利润有所增加,x 应满足0<x <34.拓展提升某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小? (2)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即原价的85%).问该厂是否考虑利用此优惠条件,请说明理由.解:(1)设该厂应隔x(x ∈N +)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y 1, ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元), 6(x -1)+6(x -2)+…+6=3x 2-3x(元).从而有y 1=1x (3x 2-3x +300)+200×1.8=300x +3x +357,可以证明y 1=300x+3x +357在(0,10)上为减函数,在(10,+∞)上为增函数. ∴当x =10时,y 1有最小值417,即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.(2)若厂家利用此优惠条件,则至少25天购买一次饲料,设该厂利用此优惠条件,每隔x 天(x≥25)购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y 2,则y 2=1x (3x 2-3x +300)+200×1.8×0.85=300x +3x +303(x≥25).∵函数y 2在[25,+∞)上是增函数,∴当x =25时,y 2取得最小值为390.而390<417, ∴该厂应接受此优惠条件. 课堂小结本节学习了一、二次函数的实际应用,建立函数模型解决实际问题. 作业课本习题2-3A 2、3、4.设计感想本节设计从现实例题开始,让学生从现实中体会函数模型的选择,然后通过几个实例介绍常用函数模型.接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力,从而解决实际问题,本节的每个例题的素材都是贴近现代生活,学生非常感兴趣的问题,很容易引起学生的共鸣.备课资料 [备选例题]例1假设国家收购某种农产品的价格是120元/担,其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%),计划可收购m 万担(其中m 为正常数),为了减轻农民负担,如果税率降低x%,预计收购量可增加(2x)%.(1)写出税收y(万元)与x 的函数关系式;(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%,求x 的取值范围. 解:(1)y =120m×104[1+(2x)%]×(8-x)%=120m(-2x 2-84x +800). (2)由题意知120m(-2x 2-84x +800)≥0.78×120m×104×8%, 解得0<x≤2.所以x 的取值范围是0<x≤2.例2某厂生产一种畅销的新型工艺品,为此更新专用设备和制作模具花去了200 000元,生产每件工艺品的直接成本为300元,每件工艺品的售价为500元,产量x 对总成本C 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义?解:总成本C 与产量x 的关系为C =200 000+300x ;单位成本P 与产量x 的关系为P =200 000x+300;销售收入R 与产量x 的关系为R =500x ;利润L 与产量x 的关系为L =R -C =200x -200 000. 以上各式建立的是函数关系.(1)从利润关系式可见,希望有较大利润应增加产量.若x <1 000,则要亏损;若x =1 000,则利润为零;若x >1 000,则可盈利.这也可从上图看出,R 和C 的图象是两条直线,在它们的交点处利润为零.(2)从单位成本与产量的关系P =200 000x +300可见,为了降低成本,应增加产量,以形成规模效益.例3某民营企业生产A 、B 两种产品,根据市场调查与市场预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如左下图,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如右下图.(注:利润与投资单位:万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A 、B 两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元?(精确到1万元)解:(1)设投资为x 万元,A 产品的利润为f(x)万元,B 产品的利润为g(x)万元. 由题设f(x)=k 1x ,g(x)=k 2x ,由图知f(1)=14,∴k 1=14.又g(4)=52,∴k 2=54.从而f(x)=14x(x≥0),g(x)=54x(x≥0).(2)设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,企业利润为y 万元. 则y =f(x)+g(10-x)=x 4+5410-x(0≤x≤10),令10-x =t ,则y =10-t 24+54t =-14(t -52)2+6516(0≤t≤10),当t =52时,y max =6516≈4,此时x =10-254=3.75(万元).(设计者:林大华)。
数学人教B全国通用版必修一学案:第2章 2.3 函数的应用(Ⅰ) Word版含答案

2.3函数的应用(Ⅰ)学习目标:1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.(一般)2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.(重点、难点)[自主预习·探新知]常见的函数模型(1)直线型:即一次函数模型;(2)抛物线型:即二次函数模型,二次函数的最值问题是高考中的永恒话题,现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数;(3)分段函数型:由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义,因此这种模型的应用也比较广泛.思考:解决数学应用题的步骤是什么?[提示][基础自测]1.思考辨析甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图2-3-1所示,判断下列说法的对错.图2-3-1(1)甲比乙先出发.()(2)乙比甲跑的路程多.( )(3)甲、乙两人的速度相同.( )(4)甲先到达终点.( )[解析] 由图象可知:甲乙两人同时出发,跑相同的路程,甲先到达终点,因此甲的速度快,由此判断只有(4)正确.[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2.某生产厂家的生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的关系式为y =x 2-80x ,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( )A .52B .52.5C .53D .52或53D [因为利润=收入-成本,当产量为x 件时(x ∈N ),利润f (x )=25x -(x 2-80x ),所以f (x )=105x -x 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -10522+10524, 所以x =52或x =53时,f (x )有最大值.]3.已知从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f (m )=1.06(0.5[m ]+1)元给出,其中m >0,[m ]表示不超过m 的最大整数,(如[3]=3,[3.2]=3),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为________元.3.71 [由题意知m =5.5,[m ]=[5.5]=5,所以f (5.5)=1.06×(0.5×[5.5]+1)=1.06×(0.5×5+1)=3.71(元).][合 作 探 究·攻 重 难]6台,乙分公司有同一型号的电脑12台.现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A 、B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元,乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元.设甲地调运x台至B地,该公司运往A和B两地的总运费为y元,(1)求y关于x的函数关系式;(2)若总运费不超过1 000元,问能有几种调运方案?(3)求总运费最低的调运方案及最低运费.[解](1)甲地调运x台到B地,则剩下(6-x)台电脑调运到A地;乙地应调运(8-x)台电脑至B地,运往A地12-(8-x)=(x+4)台电脑(0≤x≤6,x∈N).则总运费y=30x+40(6-x)+50(8-x)+80(x+4)=20x+960,∴y=20x+960(x∈N,且0≤x≤6).(2)若使y≤1 000,即20x+960≤1 000,得x≤2.又0≤x≤6,x∈N,∴0≤x≤2,x∈N.∴x=0,1,2,即能有3种调运方案.(3)∵y=20x+960是R上的增函数,又0≤x≤6,x∈N,∴当x=0时,y有最小值为960.∴从甲地运6台到A地,从乙地运8台到B地、运4台到A地,运费最低为960元.[规律方法]用一次函数解决实际问题的关注点(1)一次函数有单调递增(k>0)和单调递减(k<0)两种情况.(2)一次函数图象一般是一条直线或一些孤立的点.(3)一次函数模型的增长特点是直线上升.(4)若实际问题中两个变量间的关系是线性的,则可通过建模转化为一次函数问题解决.如行程、价格、分配等问题.[跟踪训练]1.如图2-3-2所示,这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象.根据图象填空:图2-3-2(1)通话2分钟,需要付电话费________元;(2)通话5分钟,需要付电话费________元;(3)如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________.(1)3.6(2)6(3)y=1.2t(t≥3)[(1)由图象可知,当t≤3时,电话费都是3.6元.(2)由图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元.(3)易知当t≥3时,图象过点(3,3.6),(5,6),利用待定系数法求得y=1.2t(t≥3).]如图50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长为x米.要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少米?图2-3-3[思路探究]二次函数模型⇒构建函数配方法解题.[解] 因为长为x 米,则宽为50-x 3米,设面积为S 平方米.S =x ·50-x 3=-13(x 2-50x )=-13(x -25)2+6253,所以当x =25时,S max =6253(平方米),即鸡场的长度为25米时,面积最大.母题探究:1.(变条件)将本例中“中间有一道篱笆隔墙”改为“中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙”,结果如何?并将所得结果与原题结果比较,你能得出什么结论?[解] 设中间有n 道篱笆隔墙,则宽为50-x n +2米,设面积为S 平方米. 则S =x ·50-x n +2=-1n +2(x 2-50x ) =-1n +2(x -25)2+625n +2,所以当x =25时,S max =625n +2(平方米).由两者比较可知,无论中间有几道篱笆隔墙,要使面积最大,长都是25米. 即使面积最大的值与中间有多少道篱笆隔墙无关.2.(变问法)本例条件不变,将中间篱笆隔墙的长度设为x 米,则要使鸡场面积最大,篱笆隔墙的长度应为多少米?[解] 设鸡场面积为S 平方米,因为篱笆隔墙的长度为x 米,则鸡场的长度为(50-3x )米,则S =(50-3x )x =-3x 2+50x =-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -2532+6253, 所以当x =253时,S max =6253,即鸡场篱笆隔墙的长度为253米时,鸡场面积最大为6253平方米.[规律方法] 解二次函数模型的策略(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式).(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象.[探究问题] 1.分段函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ f 1(x ),x ∈D 1,f 2(x ),x ∈D 2,……f n (x ),x ∈D n 的定义域和值域分别是什么?如何求分段函数的最大值和最小值?提示:分段函数f (x )是各段自变量取值范围的并集,即D 1∪D 2∪…∪D n ,分段函数的值域是各段值域的并集.先求出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值,然后分别比较各段最大值和最小值,各段最大值的最大者就是分段函数的最大值,各段最小值的最小者就是分段函数的最小值.2.解实际应用问题时,如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数? 提示:根据题意,判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律,若是,则所要应用的函数模型为分段函数,反之则不是.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿的市场售价P (单位:元/102 kg)与上市时间t (单位:天)的关系符合图2-3-4①中的折线表示的函数关系,西红柿种植成本Q(单位:元/102 kg)与上市时间t (单位:天)的关系符合图2-3-4②中的抛物线表示的函数关系.图2-3-4(1)写出图2-3-4①表示的西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式P =f (t ),图2-3-4②表示的西红柿种植成本与上市时间的函数关系式Q =g (t ).(2)若西红柿的市场售价减去其种植成本为西红柿的纯收益,问何时上市西红柿的纯收益最大?[思路探究] 函数模型构建⇒变量在不同区间上取值时图象不同,故宜采用分段函数模型.[解] 由图①可得市场售价与时间的函数关系为f (t )=⎩⎪⎨⎪⎧ 300-t ,0≤t ≤2t -300,200<t ≤300由图2可得种植成本与时间的函数关系为g (t )=1200(t -150)2+100,0≤t ≤300.(2)设t 时刻的纯收益为h (t ),则由题意得,h (t )=f (t )-g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧ -1200t 2+12t +1752,0≤t ≤-1200t 2+72t -10252,200<t ≤300.当0≤t ≤200时,h (t )=-1200(t -50)2+100所以t =50时,h (t )在[0,200]上取最大值100;当200<t ≤300时,h (t )=-1200(t -350)2+100.所以t =300时,h (t )在(200,300]上取最大值87.5.因此,h (t )在[0,300]上可以取最大值100,此时t =50.综上所述,从2月1日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.[规律方法] 分段函数模型的求解技巧(1)在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并抓住“分界点”,确保分界点“不重不漏”.(2)求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程,即每段都令y 取已知函数值,解出相应x 的值,再判别是否属于所在区间.[跟踪训练]2.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元;若旅行团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15 000元.(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数;(2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?[解] (1)当0<x ≤30时,y =900;当30<x ≤75,y =900-10(x -30)=1 200-10x ;即y =⎩⎪⎨⎪⎧ 900,0<x ≤30,1 200-10x ,30<x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元,则当0<x ≤30时,S =900x -15 000;当30<x ≤75,S =x (1 200-10x )-15 000=-10x 2+1 200x -15 000;即S =⎩⎪⎨⎪⎧900x -15 000,0<x ≤30,-10x 2+1 200x -15 000,30<x ≤75.因为当0<x≤30时,S=900x-15 000为增函数,所以x=30时,S max=12 000;当30<x≤75时,S=-10x2+1 200x-15 000=-10(x-60)2+21 000,即x=60时,S max=21 000>12 000.所以当旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润.[当堂达标·固双基]1.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中电动车存车费是每辆一次0.3元,自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车数为x辆次,存车总收入为y元,则y关于x的函数关系式是()A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000)B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000)C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000)D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000)D[因为自行车x辆,∴电动车4 000-x辆,y=0.2x+0.3(4 000-x)=-0.1x+1 200,故选D.]2.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x,和L2=2x,其中销售量单位:辆.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元C[设甲销售x辆,则乙销售(15-x)辆,总利润:y=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30(0≤x≤15且x∈N),当x=9或10时,y max=120.]3.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾,八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电的原价为________元.2 250 [设彩电的原价为a ,∴a (1+0.4)·80%-a =270,∴0.12a =270,解得a =2 250.∴每台彩电的原价为2 250元.]4.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个________元.60 [设涨价x 元,销售的利润为y 元,则y =(50+x -45)(50-2x )=-2x 2+40x +250=-2(x -10)2+450,所以当x =10,即售价为60元时,y 取得最大值.]5.某游乐场每天的盈利额y (元)与售出的门票数x (张)之间的关系如图2-3-5所示,试问盈利额为750元时,当天售出的门票数为多少?图2-3-5[解] 根据题意,得每天的盈利额y (元)与售出的门票数x (张)之间的函数关系式是:y =⎩⎪⎨⎪⎧ 3.75x (0≤x ≤400)1.25x +1 000(400≤x ≤600). ①当0≤x ≤400时,由3.75x =750,得x =200.②当400≤x ≤600时,由1.25x+1 000=750,得x=-200(舍去).综合①和②,盈利额为750元时,当天售出的门票数为200张.11。
人教B版高中数学必修一教案函数的应用

2.3函数的应用(Ⅰ)教学目标:学习一次、二次函数的模型的应用,解决一些简单的实际问题教学重点:一次、二次函数的模型的应用教学过程:1、复习一次、二次函数的有关知识2、解题方法:(1)审题(2)使用合适的数学模型(3)求解(4)作答3、例1是一次函数模型的例子常设一次函数为b=,使用待定系数法求解.kxy+例2、两函数差的最大值用于刻画两函数在谋取间内的近似情况。
例3、用列表法求解可以作为学生探求思路的方法,重点讲解方法二。
例4某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示。
(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式;写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式。
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/百千克,时间单位:天)杰: 由图1可得市场售价与时间t的函数关系:,由图2可得种植成本与时间t的函数关系:,由上消去t得Q与P的对应关系式:。
因为认定市场售价P与种植成本Q之差为纯收益,所以当且时,;由二次函数性质可知当P=250时,t=50,此时P-Q取得最大值100;当且时,;由二次函数性质可知当P=300时,t=300,此时P-Q取得最大值87.5。
因为100>87.5,所以当t=50时,P-Q取得最大值100,即从二月一日起的第50天上市的西红柿收益最大。
课堂练习:第73页习题2-3A小结:本节课学习了一次、二次函数的模型的应用,解决一些简单的实际问题课后作业:第73页习题2-3B,1,3,4。
高中数学人教版B版精品学案《函数的应用(一)》

函数的应用(一)【学习目标】在现实问题中,能利用函数构建模型,解决问题.【学习重难点】函数模型与实际应用问题.【学习过程】一、自主学习知识点二:数学建模建模示例:1.发现问题,提出问题.2.分析问题,建立模型.3.确定参数,计算求解.4.验证结果,改进模型.错误!建立函数模型解决实际问题的基本思路基础自测:1.某厂日产手套总成本(元)与手套日产量(副)的关系式为=5+4 000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为()A.2021B.400副C.600副D.800副解析:利润=10-=10-(5+4000)≥0.解得≥800.答案:D2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是()解析:距学校的距离应逐渐减小,由于小明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,直线段比前段下降的快,故应选C.答案:C3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-和L2=2,其中为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为()A.万元B.万元C.万元D.万元解析:依题意可设甲销售辆,则乙销售(15-)辆,总利润S=L1+L2,则总利润S=-+2(15-)=-++30=-(-)2+×+30(0≤≤15且∈N),所以当=10时,S ma=(万元).答案:B4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:=错误!10,不合题意;若2+10=60,则=25,满足题意;若1.5=60,则=400,即260 m3300时,有f()=22021(300-22021+(-300)×=-.因此f()=错误!(2)因为22021解得>.因为∈N*,所以≥3,所以3≤≤6,∈N*.当>6时,=[50-3(-6)]-115.令[50-3(-6)]-115>0,得32-68+115185,所以当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使日净收入最多.(1)利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式,写出分段函数,注意实际问题中自变量的取值范围.(2)利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值,取其最大的即可.四、课时作业(一)选择题1.向一杯子中匀速注水时,杯中水面高度h随时间t变化的函数h=f(t)的图像如图所示,则杯子的形状是()解析:从题图中看出,在时间段[0,t1],[t1,t2]内水面高度是匀速上升的,在[0,t1]上升慢,在[t1,t2]上升快,故选A.答案:A2.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2021辆次,其中变速车存车费是每辆一次元,普通车存车费是每辆一次元,若普通车存车数为辆次,存车费总收入为元,则关于的函数关系式是()A.=0.3+800(0≤≤2 000,∈N*)B.=0.3+1600(0≤≤2 000,∈N*)C.=-0.3+800(0≤≤2 000,∈N*)D.=-+1600(0≤≤2021,∈N*)解析:由题意知,变速车存车数为(2 000-)辆次,则总收入=+(2021-)×=+1600-=-+1 600(0≤≤2021,∈N*).答案:D3.某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A.7B.8C.9D.10解析:由题意,当生产第档次的产品时,每天可获利润为:=[8+2(-1)][60-3(-1)]=-62+108+378(1≤≤10),配方可得=-6(-9)2+864,∴当=9时,获得利润最大.答案:C4.已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离关于时间t(时)的函数解析式是()A.=60tB.=60t+50tC.=错误!D.=错误!1000得,>错误!,故每天至少需要卖出234张门票.9.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20210元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R()=错误!其中是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f();(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)解析:(1)设月产量为台,则总成本为202100+100,从而f()=错误!(2)当0≤≤400时,f()=-错误!(-300)2+25000.∴当=300时,f()的最大值为25000;当>400时,f()=60000-100是减函数,f()<60000-100×400=20210<25000.∴当=300时,f()的最大值为25000,即每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25000元.尖子生题库:10.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解析:(1)租金增加了600元,所以未租出的车有12辆,一共租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为元(≥3 000),租赁公司的月收益为元,则=错误!-错误!×50-错误!×150=-错误!+162-21000=-错误!(-4050)2+307050,当=4050时,ma=307050.所以当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大为307050元.。
人教版高中必修1(B版)2.3函数的应用(Ⅰ)教学设计

人教版高中必修1(B版)2.3函数的应用(Ⅰ)教学设计一、教学目标1.知识目标1.了解函数的概念,理解函数及其图象的基本性质;2.掌握利用函数探究问题的方法,能够用函数模型解决一些实际问题;3.了解正比例函数、反比例函数、二次函数的概念、性质及其应用。
2.能力目标1.能够把实际问题转化为函数模型进行求解;2.能够利用函数的性质进行问题的研究;3.能够运用完整求解思想,掌握解决实际问题的方法和技巧。
二、教学重难点1.教学重点1.函数的概念、基本性质及其应用;2.正比例函数、反比例函数、二次函数的概念、性质及其应用。
2.教学难点1.如何有效地运用函数的性质进行问题的研究;2.如何将实际问题转化为函数模型进行求解。
1.引入环节通过简单的例子介绍函数的概念,引导学生明确函数的定义及其理解。
2.知识讲解1.函数的定义及其图象的基本性质;2.正比例函数、反比例函数、二次函数的概念、性质及其应用。
3.案例分析案例一:一只舞蹈队每月的报销费用是2000元加上每位队员的月工资500元,如果舞蹈队共有20位队员,问每年的报销费用是多少?案例二:一块长方形的铜板,面积为900平方厘米,铜板的一边长为另一边长的3倍,按照面积计价每平方厘米10元,请问铜板的价值是多少?案例三:某地从2010年开始,每年要增加1000人口,到2015年末,共增加了多少人口?4.练习环节练习一:已知函数$f(x)=\\dfrac{1}{4}x^2-3x+2$,求其在区间[1,3]上的最小值。
练习二:设y=ax2+bx+c,当x=−2时,y=−3;当x=1时,y=4;当x=4时,y=0。
试求该函数的解析式。
5.归纳总结回顾本节课的知识点,总结函数的概念及其应用。
在教学过程中,通过引入例子,让学生更好地理解函数的运用,创设了案例分析环节,使学生更好地运用所学知识点进行问题的解决,对学生的学习效果起到了很好的促进作用。
同时,在练习环节中,教师更加注重对学生思维的引导,让学生运用一定的思维方式进行求解,提高了学生的探究能力和解决问题的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2.3 函数的应用(一) 【预习达标】
1.形如f (x )= 叫一次函数,当 为增函数;当为减函数。
2.二次函数的解析式三种常见形式为 ; ; 。
3.f (x )=a x 2+bx+c (a ≠0),当a 0,其图象开口向 ,函数有最 值,为 ;
当a 0, 其图象开口向 ,函数有最 值,为 。
(当给定一区间的二次函数的最值问题怎样考虑?)
4. f (x )=a x 2
+bx+c (a ≠0)当a>0时,增区间为 ;减区间为 . 【典例解析】
例1.《民共和国个人所得税法》十四条中有表:
个人所得税税率表(工资 / 薪金所得使用)
目前,上表中"全月应纳税所得额"是从工资 薪金收入中减去800元后的余额.如,某人月工资薪金收入1320元,减去800元,应纳税所得额为520元,由税率表知其中500元税率为5%,另20元的税率为10%,所以此人应纳个人所得税500%1020%5⨯+⨯=27元.
(1)请写出月工资薪金的个人所得税y关于工资薪金收入x(0<x≤1000
0)的函数表达式;
某人在某月交纳的个人所得税是120元,他那个月的工资薪金收入是多少?
例2:渔场中鱼群的最大养殖量是m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量。
已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率乘积成正比,比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式,指出这个函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值;
当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
例3:某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销量为1000。
为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1=,则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6,利润=(出厂价-投入成本) 年销售量。
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; 为使本年度的年利润比上年有说增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围? 【当堂练习】
1.某种电热水器的水箱盛满水时200升,加热到一定温度即可浴用,浴用前,已知每分钟放水34升,在放水的同时按
9
10
毫升/秒2的匀加速自动注水(即分钟自动注水22t 升)当水箱内的水达到最小值时,放水过程自动停止.现假定每人洗浴用量为65升,则该热水器一次至多可供多少人洗浴( ) A.3 B.4 C.5 D.6
2.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5[m]+1) (元)决定,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数,则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为( )
A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元
3.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到
123,,,...,n a a a a ,某n个数据,我们规定所测物理量的"最佳近似值"a是这样一个量:a与其它近似值相比较,与各数据的差的平方和最小,依次规定,从
123,,,...,n a a a a 推出的a= .
4.甲乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/小时,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v的平方成正比,其系数为b,固定部分为a元,为了使全程运输成本最低,汽车应以多大速度行驶?
5、(12分)某种商品现在定价每年p 元,每月卖出n 件,因而现在每月售货总金额np 元,设定价上涨x 成(1成=10%),卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍.
(1)用x 和y 表示z ;(2)若y =x ,求使售货总金额有所增加的x 值的范围.
参考答案:
【预习达标】 1.kx+b(k≠0);k>0;k<0.
2.f(x)=ax 2
+bx+c;f(x)=a)(2
h x -+k;f(x)=a(x
-))(21x x x - (a≠0)3.>,上,小;<,下,大. 4.[-,2a
b
+)∞;(-∞,-
,2a
b
) 【典例解析】
例1、解析:(1)应纳税所得额为全月工资薪金总收入x-800元.
所以得:y=⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≤<∙-+≤<∙-+≤<∙-+≤<∙-≤<)
100005800%(20)5800(625)58002800%(15)2800(175)28001300%(10)1300(25)1300800%(5)800()
8000(0x x x x x x x x x
(2)当y=120时,y应归为:当x∈(1800,2800)时,y=25+(x-1300)∙10%
∴25+(x-1300)∙10%=120 ∴x=950+1300=2250(元)
评析:求分段函数的解析式关键在自变量按什么意义分段的.本题若设应纳税所得额为x,求应纳税额f(x)随应纳税所得额x的函数关系是什么? 例2、解:(1)因鱼群最大养殖量为m吨,实际养殖量为m吨,则空闲量为(m-x) 吨,空闲率为m
x
m x m -=-1,依题意,鱼群增长量为y=kx(1-
m
x
)定义域为(0<x<m) (2)2
(1),24
x k m km
y kx x m m ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭当x=m/2时,max
,4km y =即鱼群年
增长量的最大值为
4
km
. (3)由于实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量,有0<x+y<m成立,即0<
m km m <+4
2,得-2<k<2,但k>0,∴0<k<2. 评析:由于是二次函数,处理最值问题时可依二次函数求最值得方法来求,而实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量应是常识,在阅读题意时要得到这个隐含条件.
例3、(1)由题意得:y=[1.210)(6.01(1000)]1(1)75.01(<<+⨯⨯+⨯-+⨯x x x x ]整理得y=-60220200(01)x x x ++<<.
(2)要保证本年度的利润比上年度与所增加,当且仅当⎩⎨
⎧<<>⨯--100
1000)12.1(x y
即26020001
x x x ⎧-+>⎨<<⎩解不等式,得0<x<31
答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例应满足0<
x<3
1
.
评析:建立模型后在用一元二次函数知识处理问题.
【当堂练习】
1.B 2.C 3.n
a a a n
+++ 21
4.解:成本:y=s(
v
a
+bv),v∈(0,c],即为求f(v)=。