材料力学应力状态分析

单位：MPa
10
1 10 ;
30 2 0 ;
3 30 ;
（2)、应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。 平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
空间应力状态
x
x
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
yy
平面应力状态
y
yx
x
xy
x
y
y
x
x
y
yx xy
x
单向应力状态
纯剪应力状态
§8－2 平面应力的应力状态分析 — 解析法
一、斜截面上的应力计算
y
y
y y
x
x x
等价
x
y
y
空间问题简化 y 为平面问题
x x
y
o
z
x y y
n
y
o x
aF
Fa
AA B B
CC
A
B
C
4、应力状态的分类
（1）、主平面与主应力： 主平面：切应力为零的平面。
y
x
y
x x
主应力：作用于主平面上的正应力。
y
过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10
1 50 ;
50
30 2 10 ;
3 30 ;
3
max
1
2
3
例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（M P a）
y
B A 40 C 50
D/
（M Pa）max
2) 建立应力坐标系如图， 画y—z平面的应力圆及 三向应力圆得:
30
z
x
解：1) x面为
主平面之一
3
0 50MPa
10
o
C
2 1(MPa)
1 58
2 50
3 27
D
——xy
面内的最大切应力
ta2 n0ta2 n11
(10450)
将 max与 max,min画在原单元体上。
tan20
2xy x y
——主平面的位置
tan21
x y 2xy
——最大切应力 所在的位置
1 0 450
y
min
(0; 0 0900 )
(1; 1 1900 )
max x
min
max
对上述方程消参数（2），得：
o
x
y
x x
y
(x 2y)22 (
xy)22xy 2
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
圆心：
(
x
y
,0)
2
半径：
R
(xy
2
)2
xy2
应力圆：
(x 2y)2 2 (x 2y)2 2xy
R C
R (x y)22xy
2
x y 2
二.应力圆的画法
y y
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力 状态（State of the Stresses of a Given Point）。
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当 的强度条件。
x
o
x x
x
-- 逆时针转为正。
y
y y
x b
a
c x x
y
b
x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA ab : dA cos ac : dA sin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
F n0;
dA (xdcAo)scos(xdcAo)ssin
(ydA sin)sin(ydsAin)co s0
max 43
解析法——
1)由单元体知：x 面为主平面之一, x 50y
2)求y—z面内的最大、最小正应力。
mmainxy
z
2
(y
z
2
)2
y2z
030 (030)2 (40)2 57.7
z
2
2
27.7
3)主应力
1 5.7 ;72 5;0 3 2.7 7
4)最大切应力
max1
3
2
57 .7 (27 .7) 2
1 8 .7 ( 0 M ),P 2 0 ,a 3 6 .7 ( 0 M ) Pa
主平面位置： y
1
tg20
2xy x y
40 50
0
x
x x
3
60
2(50) 1 4060
0 67.50
§8 -3 平面应力的应力状态分析 — 图解法
一、应力圆：
y
xx 2 2yysin2 x 2yxcycoo2s2sxysin2 y x
Fy
解：1) 研究对象： 正方形钢块
y
F80MP, a A
x
?,
z 0.
x 0 , y ?,z ?.
2)由广义虎克定律：
y y x
y
x
z
x E 1[x(yz)]
x 0E1[x y].
xy24MPa
1 0 , 2 2,4 3 8.0
40
a(40,30)
30MPa
60MPa
e
tg2p
2xy x y
0.6
p 15.48
(10,0)
f
o c 2 o
60
b(60,30)
d (9.02,58.3)
R(6 0(4)0 )2(3 03)0 25.3 8M 1 Pa
2
2
主应力单元体：
3
o
1
1 6.3 M 8 ,P 2 0 ,a3 4.3 M 8 Pa
yx
D xy x
A x
D’
(y ,yx)
R (x y)22xy
2
R
D (x ,xy)
c
x y
2
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力
y
y
n
yx
H
xy
x
x
D’
(y ,yx)
H (a,a)
2 D (x ,xy)
c
x y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
x
B
A
x'45ºx E
y
D y'
x
b
d
2×45º
o
c
a
2×45º
e
D
1＝
B
3＝
E
a (0, )
1＝ B
A
2×45º
e
c
o
b
3＝
2×45º
E
d (0,- )
主应力单元体
例题 试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。 图中应力的单位为MPa。
e 2.2 4.4 30 0
f
n
a
c 60 0
o
x 2ysi2 n xc y o 2s
4060sin6(00)(5)0cos6(00) 2
1.83(MP ) a
2、求主应力、主平面
主应力：m mian xx 2y
(
x 2
y)2x2 y
42 0 6 0(42 0 6)2 0 ( 5)2 0 8 6..7 7 0 0 ( (M M) )P Pa a
主应力与主应变方向是否一致?
广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向 的正应变：
y
90
x
xy
E 190
求出 , 90 ,就可求得 方向的正应变
例 槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢块
的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。
min
y
x
0
max
例：如图所示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面。
60 50 40 300
（单位：MPa）
解：1、求斜面的应力
x 4,0 y 6,0 x 5,0 30
x 2 y x 2 yc2 o sxs y 2 i n
40604060cos6( 00)
2
2
(50)sin(600)58.3(MP)a
(2)
d d 21)) 、、 0 的 极值 x 2 9 主00 应y s 力以x2 i 及n 0主 y平x面c y方2 o 位0 s0 dd 2 0 0 即0, 0 0
tg20
2xy x y
可以确定出两个相互垂直的 平面——主平面，分别为最大正 应力和最小正应力所在平面。
结论 ——
图b
1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对
应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
2).整个单元体内的最大切应力为：
131
3
2
max
3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面：
y
2
z
3
1 1
x
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
13
13123 max
(1, 3, 13 )2
3
2
23
23
2
3
2
,
12
1
2
2
1
1 2 3,
1
1
5 FP
S 截面
42
3
Mz
FP l 4
2 1
1
x1
2
2 x 2
2
5 4 3 2 1
3 3
取单元体示例二
y
1
S 截面
z
2
3
l
S截面
FP a
4
x
忽略弯曲切应力 y
FQy
1
2
z
3
4 Mz
1
1
Mx Wp
x1
Mz Wz
3
x
Mx 4
3
Mx Wp
x3
Mz Wz
3
Mx Wp
取单元体示例三
图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的 A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应 力。
例：求 1）图示单元体α=300 斜截面上的应力
2）主应力、主平面（单位：MPa）。
40
解：1、按比例画此单元体对应的应力圆
0 20
τ
80 60
D’
A2
2、量出所求的物理量
300O;F300E.F
1 OA1; 2 0; 3 OA2.
0
DC1A. 2
60 OC
E (30, 30)
A1 σ 2 0 F
第八章 应力状态分析 强度理论
§8-1 应力状态的概念 §8-2 平面应力状态分析——解析法 §8-3 平面应力状态分析——图解法（应力圆） §8-4 空间应力的应力状态分析——一点的最大应力 §8-5 广义胡克定律 §8-6 强度理论概念
§8-1 应力状态的概念
1、问题的提出
问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；
d
30 0 5.2MPa 30 0 0.8MPa
例题一点处的平面应力状态如图所示。已知 30, x 60MP,a xy30MP.a y 40MP,a
试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
D
A 30MPa
60MPa
解：用应力圆解法 3 48.3MPa
1 68.3MP
b :d c ;a A :d b c A o ;a :s d c sA in
F t 0 ,d A (x dcA o )ss i n (x dcA o )cs os (ydsA i)n c o (sydsA i)n s in 0
由切应力互等定理和三角变换，可得：
b
x 2 y x 2 yc2 o sxs y 2 i n x
42 .7 MPa
B A 40 C 50 30
x
（M Pa ）
平面应力状态作为三向应力状态的特例
max
200
300 50
3
2
o
1
200 50
300
3
2
50
1
O
300 3 2
O 50
1
§8 -5 广义胡克定律
一、单向应力状态：
E
E
1
E
二、三向应力状态：
1
1 E
1
(
2
3)
2 +
轴向拉伸杆件
F
横截面应力： F
A
斜截面应力：
F
cos2
2
sin(2 )
F
F
n
x
p
p
问题2 B点处应力该如何校核？
梁弯曲的强度条件：
ma x M W m z a x , ma x F Isz S m * ba x .
F
z
()
Fl
z
FB
B
B
——有必要研究一点的应力状态。
2、点的应力状态的概念
D
§8 -4
空间应力的应力状态分析
—
一点的最大应力
o 3
y
y
xz
1
与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2 应力圆的圆周上找到对应的点。
与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。 与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3 应力圆的圆周上找到对应的点。
max
o 3
1
图a
主平面的方位
(0; 0 0900 )
ma x
min
x y( 2
x 2
y)2x2 y
——主应力的大小
3)、
切应力
由
的极值及所在截面
x 2ysi2 n x
y co2s,
令d 0 d 1
tan21
x y 2xy
(1;
1 1900 )
——最大切应力 所在的位置
max
min
(x 2y)2xy2
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态， 可对一个包围该点的微小正 六面体——单元体进行分析
各边边长 dx , dy , dz
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
z
zx zy
xz yz
x
xy
yx
y
取单元体示例一
FP
S 截面
l/2
l/2
5 FP
S截面
5
42
3
Mz
FP l 4
4 3
2
2
2
1 E
2
( 3 1 )
3
1 E
3
( 1 2 )
2 +
——（广义虎克定律）
1
1
3 3
2 3
1 2
三、、广义胡克定律的一般形式:
z
zx zy
xz yz
x
xy
yx
y
xE 1[x(yz)] y E 1[y(z x)]
z E 1[z(xy)]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
x 2ysi2 n xc y o2s
x
a
y
c
y t
n
x
符号规定：1)“”正负号同“”；
2) “ ”正负号同“” ；
3) “a”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针
为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。
讨论：
x 2yx 2yco 2 sxs y i2 n ( 1 )
x 2ysi2 n xc y o2s