高中数学第二章随机变量及其分布教案(1)(新人教A版选修2-3)
2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.1条件概率学案含解析新人教A版选修2_3
2.2 二项分布及其应用2．2.1 条件概率内容 标 准学 科 素 养 1.理解条件概率的定义． 2.掌握条件概率的计算方法．3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.利用数学抽象 发展数学建模 提升数学运算授课提示：对应学生用书第32页[基础认识]知识点 条件概率预习教材P 51－53，思考并完成以下问题(1)三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？提示：如果三张奖券分别用X 1，X 2，Y 表示，其中Y 表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：X 1X 2Y ，X 1YX 2，X 2X 1Y ，X 2YX 1，YX 1X 2，YX 2X 1.用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B 仅包含两个基本事件：X 1X 2Y ，X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P (B )＝26＝13.(2)如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？提示：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有X 1X 2Y ，X 1YX 2，X 2X 1Y 和X 2YX 1.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是X 1X 2Y 和X 2X 1Y .由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为24，即12.知识梳理 1.条件概率 (1)事件个数法：P (B |A )＝n AB n A(2)定义法：P (B |A )＝P AB P A(1)0≤P (B |A )≤1.(2)如果B 和C 是两个互斥的事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．[自我检测]1．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A.8225B.12C.38D.34 答案：C2．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________．答案：13授课提示：对应学生用书第32页探究一 求条件概率[阅读教材P 53例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 题型：求事件的概率及条件概率方法步骤：(1)先计算出不放回地依次抽2次的试验结果总数； (2)分别计算出第1次抽到理科题和两次都抽到的试验结果总数； (3)由概率的计算公式得出所求概率．[例1] 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E 型玻璃球，10个是F 型玻璃球．E 型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F 型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E 型玻璃球的概率是多少？[解析] 由题意得球的分布如下：E 型玻璃球F 型玻璃球总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计61016设A ＝{取得蓝球法一：∵P (A )＝1116，P (AB )＝416＝14，∴P (B |A )＝P AB P A ＝141116＝411. 法二：∵n (A )＝11，n (AB )＝4， ∴P (B |A )＝n AB n A＝411. 方法技巧 求条件概率P (B |A )的关键就是抓住事件A 为条件和A 与B 同时发生这两点，公式P (B |A )＝n AB n A＝P AB P A既是条件概率的定义，也是求条件概率的公式，应熟练掌握．跟踪探究 1.集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下．(1)求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率； (2)求乙抽到偶数的概率；(3)集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲乙两人各从A 中任取一球．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．解析：(1)设“甲抽到奇数”为事件C ， “乙抽到的数比甲抽到的数大”为事件D ，则事件C 包含的基本事件总数为C 13·C 15＝15个，事件CD 同时发生包含的基本事件总数为5＋3＋1＝9个， 故P (D |C )＝915＝35.(2)在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35.(3)甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P (B |A )＝212＝16.探究二 条件概率的性质及应用[阅读教材P 53例2]一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． 题型：互斥事件的条件概率方法步骤：(1)不超过2次就按对包含“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”两事件的和事件；(2)分别求出“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”的概率； (3)由互斥事件概率的计算公式得出所求概率．[例2] 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．[解析] 记事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A ，B ，C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620， P (AD )＝P (A )，P (BD )＝P (B )， P (E |D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P A P D＋P BPD ＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358. 故获得优秀成绩的概率为1358.方法技巧 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )便可求得较复杂事件的概率．跟踪探究 2.在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．解析：法一：设“摸出的第一个球为红球”为事件A ，“摸出的第二个球为黄球”为事件B ，“摸出的第二个球为黑球”为事件C ，则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝130.∴P (B |A )＝P AB P A ＝145110＝1045＝29， P (C |A )＝P AC P A ＝130110＝13. ∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59.故所求的条件概率为59.法二：∵n (A )＝1×C 19＝9，n [(B ∪C )∩A ]＝C 12＋C 13＝5，∴P (B ∪C |A )＝59.故所求的条件概率为59.授课提示：对应学生用书第33页[课后小结](1)条件概率：P (B |A )＝P AB P A＝n AB n A.(2)概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概型公式，则P (B |A )＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P (AB )＝AB 中样本点数Ω中样本点数.[素养培优]1.因把基本事件空间找错而致错一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？易错分析：解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P (B |A )＝P AB P A.第二种为P (B |A )＝n AB n A，其中找对基本事件空间是关键．考查数学建模的学科素养．自我纠正：法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩}，{两名都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，设基本事件空间为Ω，“其中一名是女孩”为事件A ，“其中一名是男孩”为事件B ，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A ＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}．∴P (AB )＝24＝12，P (A )＝34.∴P (B |A )＝P AB P A ＝1234＝23. 法二：由方法一可知n (A )＝3，n (AB )＝2. ∴P (B |A )＝n AB n A ＝23. 2．“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (A ·B )”混同袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．易错分析：本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清，P (AB )表示在样本空间S 中，A 与B 同时发生的概率；而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．考查数学建模的学科素养．自我纠正：P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝410×69＝415.。
高中数学人教A版选修2-3_第二章_随机变量及其分布_211_离散型随机变量(2)
高中数学人教A版选修2-3 第二章随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量（2）一、单选题1. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为（）A.掷硬币的次数B.出现正面向上的次数C.出现正面向上或反面向上的次数D.出现正面向上与反面向上的次数之和2. 下列随机变量是离散型随机变量的是（）抛5颗骰子得到的点数和;某人一天内接收到的电话次数;某地一年内下雨的天数;某机器生产零件的误差数.A.(1)(2)(3)B.(4)C.(1)(4)D.(2)(3)3. 已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.③④4. 下列变量中不是随机变量的是().A.某人投篮6次投中的次数B.某日上证收盘指数C.标准状态下,水在100时会沸腾D.某人早晨在车站等出租车的时5. 下列随机变量中不是离散型随机变量的是().A.掷5次硬币正面向上的次数MB.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X6. 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（）A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB.某水位监测站所测水位在(0, 18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位HC.从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξD.将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X参考答案与试题解析高中数学人教A版选修2-3 第二章随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量（2）一、单选题1.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】出现正面向上的次数为0或1，是随机变量【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】由离散型随机变量的定义知((1)(2)(3)均是离散型随机变量，而（4）不是，由于这个误差数几乎都是在0附近的实数，无法——列出．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】③中X的值可在某一区间内取值，不能——列出，故不是离散型随机变量【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】由随机变量的概念可知．标准状态下，水在100∘C时会沸腾不是随机变量【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】f】由随机变量的概念可知．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能——举出，故不是离散型随机变量【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用离散型随机变量的定义直接求解．【解答】解：水位在(0,18]内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量．其余都可以一一举出，故是离散型随机变量．故选B．。
高中数学 第二章 随机变量及其分布学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案
二随机变量及其分布1．条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．3．二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．4．均值与方差的性质(1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．(3)D(ξ)＝E(ξ2)－[E(ξ)]2.5．正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7.(2)P(μ－2σ<X≤ μ＋2σ)≈0.954 5.(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.1．求分布列时要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．2．要注意识别独立重复试验和二项分布．3．在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意D(aX＋b)≠a D(X)＋b，D(aX＋b)≠a D(X)．4．易忽略判断随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．主题1 条件概率口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？ 【解】 记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球．(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P (AB )＝4×36×5＝25. (3)利用条件概率的计算公式，可得 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝2523＝35.条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P （AB ）P （B ）⎝ ⎛⎭⎪⎫或P （B |A ）＝P （AB ）P （A ）求解． (2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n （AB ）n （A ）求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．(2018·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110B.15C.25D.12解析：选C.设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.主题2 相互独立事件的概率与二项分布为了解某校今年高三毕业班报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1∶2∶3，其中第2组的频数为12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选3人，设X 表示体重超过60 kg 的学生人数，求X 的分布列．【解】 (1)设该校报考飞行员的人数为n ，前三个小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝2p 1，p 3＝3p 1，p 1＋p 2＋p 3＋（0.037＋0.013）×5＝1，解得p 1＝0.125，p 2＝0.25，p 3＝0.375.又p 2＝0.25＝12n，解得n ＝48，所以该校报考飞行员的总人数为48.(2)由(1)可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60 kg 的概率为P ＝1－(0.125＋0.25)＝58， 依题意有X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，58，故P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫58k·⎝ ⎛⎭⎪⎫383－k，k ＝0，1，2，3.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P27512 135512 225512 125512求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P (A B)＝P (A )P (B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P (A ＋B)＝1－P (A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望． 解：记E ＝{}甲组研发新产品成功，F ＝{}乙组研发新产品成功，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{}至少有一种新产品研发成功，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (EF )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (EF )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (EF )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为X 0 100 120 220 P2151541525数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.主题3 离散型随机变量的均值与方差(2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天数216362574(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解】 (1)由题意知，X 所有可能取值为200，300，500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4，P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4. 因此X 的分布列为X 200 300 500 P0.20.40.4(2)200瓶，因此只需考虑200≤n ≤500. 当200≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n .因此E (Y )＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n . 当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n . 因此E (Y )＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n . 所以n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．求离散型随机变量的期望与方差的步骤一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1，2，2，3，3，3六个数字)．(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列；(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E (ξ)，D (ξ)． 解：(1)由已知，随机变量η的取值为：2，3，4，5，6. 投掷一次正方体骰子所得点数为X ，则P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝13，P (X ＝3)＝12，即P (η＝2)＝16×16＝136，P (η＝3)＝2×16×13＝19， P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518， P (η＝5)＝2×13×12＝13，P (η＝6)＝12×12＝14.故η的分布列为P 2 3 4 5 6 η136195181314(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14，因为随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，14， 所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.主题4 正态分布设X ～N (10，1)．(1)证明：P (1<X <2)＝P (18<X <19)； (2)设P (X ≤2)＝a ，求P (10<X <18)．【解】 (1)因为X ～N (10，1)，所以，正态曲线φμ，σ(x )关于直线x ＝10对称，而区间(1，2)和(18，19)关于直线x ＝10对称，所以⎠⎛12φμ，σ(x )d x ＝⎠⎛1819φμ，σ(x )d x ，即P (1<X <2)＝P (18<X <19)．(2)因为P (X ≤2)＋P (2<X ≤10)＋P (10<X <18)＋P (X ≥18)＝1，P (X ≤2)＝P (X ≥18)＝a ， P (2<X ≤10)＝P (10<X <18)，所以，2a ＋2P (10<X <18)＝1， 即P (10<X <18)＝1－2a 2＝12－a .根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点(1)正态曲线与x 轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x ＝μ对称，则正态曲线在对称轴x ＝μ的左右两侧与x 轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P (X ≥μ＋c )＝P (X ≤μ－c )(c >0)对目标概率进行转化求解．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (－1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈68.27%，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈95.45%，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈99.73%.) A ．1 193 B ．1 359 C ．2 718D ．3 413解析：选B.对于正态分布N (－1，1)，μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于x ＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，所以点落入题图中阴影部分的概率P ＝0.135 91＝0.135 9，所以投入10 000个点，落入阴影部分的个数约为10 000×0.1359＝1 359., [A 基础达标]1．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.447 B ．0.628 C ．0.954D ．0.997解析：选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)， 所以正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ>2)＝0.023， 所以P (ξ<－2)＝0.023.所以P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.2．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知，天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400D ．2 600元解析：选B.出海效益的均值为E (X )＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．3．盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B.110C.49D.25解析：选C.A ＝{}第一次取到新球，B ＝{}第二次取到新球，则n (A )＝C 15C 19，n (AB )＝C 15C 14.所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝C 15C 14C 15C 19＝49.4．某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为( )A ．C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126B ．A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126C ．C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫126解析：选B.根据射手每次射击击中目标的概率是12，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126，恰有两次连续击中目标的概率为A 24C 36，故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫126·A 24C 36＝A 24⎝ ⎛⎭⎪⎫126. 5．甲命题：若随机变量ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.3，则P (ξ≤4)＝0.7.乙命题：随机变量η～B (n ，p )，且E (η)＝300，D (η)＝200，则p ＝13，则正确的是( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲错误，乙也错误D ．甲正确，乙也正确解析：选D .随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，所以曲线关于ξ＝3对称，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.7，所以甲命题正确；随机变量η～B (n ，p )，且E (η)＝np ＝300，D(η)＝np (1－p )＝200，解得p ＝13，所以乙命题正确．6．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X 是取得红球的次数，则E (X )＝________． 解析：每一次摸得红球的概率为610＝35，由X ～B (4，35)．则E (X )＝4×35＝125.答案：1257．两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中有35个合格，乙加工了60个，其中有50个合格，令事件A 为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B 为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P (A |B )＝________． 解析：由题意知P (B )＝40100，P (AB )＝35100，故P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝3540＝78.答案：788．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23(23)2(13)1＝49.答案：499．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“入市”．若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同)．(1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率． 解：(1)三人恰好买同一支股票的概率为P 1＝10×110×110×110＝1100.(2)三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P 2＝10×C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×910＝27100.由(1)知，三人恰好买到同一支股票的概率为P 1＝1100，所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为P ＝P 1＋P 2＝1100＋27100＝725.10．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 解：(1)ξ的所有可能取值为0，1，2. 依题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15.P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35.P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.所以ξ的分布列为(2)则P (C)＝C 34C 36＝420＝15.所以所求概率为P (C)＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.[B 能力提升]11．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销运动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E (ξ )． 解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元， 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝(1－14－12)×(1－16－23)＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0，40，80，120，160.P (ξ＝0)＝14×16＝124， P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14， P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512， P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14， P (ξ＝160)＝14×16＝124，所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×24＋40×4＋80×12＋120×4＋160×24＝80.12．某学校的功能室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N (μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命μ；(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)．求至少两支灯管需要更换的概率．解：(1)因为ξ～N (μ，σ2)，P (ξ≥12)＝0.8，P (ξ≥24)＝0.2，所以P (ξ<12)＝0.2，显然P (ξ<12)＝P (ξ>24)．由正态分布密度函数的对称性可知，μ＝12＋242＝18，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月．(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则η～B (4，0.2)，故至少两支灯管需要更换的概率P ＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－C 04×0.84－C 14×0.83×0.21≈0.18.13．(选做题)(2017·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a ：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a 、b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？ 解：(1)按方案a 抽奖一次，获得奖金的概率P ＝C 22C 25＝110.顾客A 只选择方案a 进行抽奖，则其可以按方案a 抽奖三次． 此时中奖次数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，110.设所得奖金为w 1元，则E (w 1)＝3×110×30＝9.即顾客A 所获奖金的期望为9元．(2)按方案b 抽奖一次，获得奖金的概率P 1＝C 23C 25＝310.若顾客A 按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次，则由方案a 中奖的次数服从二项分布B 1⎝⎛⎭⎪⎫2，110，由方案b 中奖的次数服从二项分布B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，310，设所得奖金为w 2元，则E (w 2)＝2×110×30＋1×310×15＝10.5.若顾客A 按方案b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2，310.设所得奖金为w 3元，则E (w 3)＝2×310×15＝9.结合(1)可知，E (w 1)＝E (w 3)<E (w 2)．所以顾客A 应该按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次．。
高中数学第二章随机变量及其分布 事件的独立性学案含解析新人教A版选修2_3
2.2.2 事件的独立性自主预习·探新知情景引入在一次有关“三国演义”的知识竞赛中,三个“臭皮匠”能答对某题目的概率分别为50%,45%,40%,“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%,如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛,各选手独立答题,不得商量,团队中只要有一人答出即为该组获胜．试问：哪方获胜的可能性大？新知导学相互独立事件1．概念(1)设A,B为两个事件,若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即__P(B|A)＝P(B)__,则称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做__相互独立事件__．(2)对于n个事件A1,A2,…,A n,如果其中任一个事件发生的概率不受__其他事件是否发生__的影响,则称n个事件A1,A2,…,A n相互独立．2．性质(1)如果事件A与B相互独立,那么事件A与__B__,A与__B__,__A__与__B__也都相互独立．(2)若事件A与B相互独立,则P(A|B)＝__P(A)__,P(A∩B)＝__P(A)×P(B)__．(3)若事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件都发生的概率,等于__每个事件发生的概率积__,即P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1)×P(A2)×…×P(A n)．并且上式中任意多个事件A i换成其对立事件后等式仍成立．预习自测1．(2020·刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次,若两人投中的概率都是0.7,则恰有一人投中的概率是( A )A ．0.42B ．0.49C ．0.7D ．0.91[解析] 设甲投篮一次投中为事件A ,则P (A )＝0.7, 则甲投篮一次投不中为事件A ,则P (A )＝1－0.7＝0.3, 设乙投篮一次投中为事件B ,则P (B )＝0.7,则乙投篮一次投不中为事件B ,则P (B )＝1－0.7＝0.3, 则甲、乙两人各投篮一次恰有一人投中的概率为：P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.7×0.3＋0.7×0.3＝0.42.故选A ． 2．国庆节放假,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是13、14、15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( B )A ．5960B ．35C ．12D ．160[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A 、B 、C ,则P (A )＝13,P (B )＝14,P (C )＝15,P (A )＝23,P (B )＝34,P (C )＝45,由于A ,B ,C 相互独立,故A ,B ,C 也相互独立,故P (A B C )＝23×34×45＝25,因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35． 3．已知A 、B 是相互独立事件,且P (A )＝12,P (B )＝23,则P (A B )＝__16__；P (A B )＝__16__．[解析] ∵A 、B 是相互独立事件, ∴A 与B ,A 与B 也是相互独立事件． 又∵P (A )＝12,P (B )＝23,故P (A )＝12,P (B )＝1－23＝13,∴P (A B )＝P (A )×P (B )＝12×13＝16；P (A B )＝P (A )×P (B )＝12×13＝16．4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__．[解析] 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮,说明此选手第2个问题回答错误,第3、第4个问题均回答正确,第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立,故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶事件独立性的判断典例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生,2名女生；乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[解析] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为58,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为47,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为57.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点,B ：出现3点或6点,则A ＝{2,4,6},B ＝{3,6},AB ＝{6}, ∴P (A )＝36＝12,P (B )＝26＝13,P (AB )＝16,∴P (AB )＝P (A )·P (B ), ∴事件A 与B 相互独立．『规律总结』 (1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法,较准确,因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件．┃┃跟踪练习1__■一个家庭中有若干个小孩,假设生男孩和生女孩是等可能的,设A ＝{一个家庭中既有男孩,又有女孩},B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}. 对下列两种情况讨论事件A 与B 的独立性．(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．[解析] (1)有两个小孩的家庭,对应的样本空间Ω＝{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},有4个基本事件,每个基本事件的概率均为14,这时A ＝{(男,女),(女,男)},B ＝{(男,男),(男,女),(女,男)},AB＝{(男,女),(女,男)},于是P (A )＝12,P (B )＝34,P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B ),所以事件A ,B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭,样本空间为Ω＝{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},每个基本事件的概率均为18,这时A 中有6个基本事件,B 中有4个基本事件,AB 中含有3个基本事件,于是P (A )＝68＝34,P (B )＝48＝12.P (A )·P (B )＝38,即P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立,从而事件A 与B 是相互独立的． 命题方向❷求相互独立事件的概率典例2 (2020·鹤岗高二检测)小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[解析] 用A ,B ,C 分别表示这三列火车正点到达的事件,则P (A )＝0.8,P (B )＝0.7,P (C )＝0.9,所以P (A )＝0.2,P (B )＝0.3,P (C )＝0.1．(1)由题意得A ,B ,C 之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．『规律总结』 与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．一般地,已知两个事件A ,B ,它们的概率分别为P (A ),P (B ),那么： (1)A ,B 中至少有一个发生为事件A ＋B ； (2)A ,B 都发生为事件AB ； (3)A ,B 都不发生为事件A B ； (4)A ,B 恰有一个发生为事件A B ＋A B ．(5)A ,B 中至多有一个发生为事件A B ＋A B ＋A B ． 它们之间的概率关系如表所示：┃┃跟踪练习2__■(2020·浙江杭州高级中学检测)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别为23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标概率； (2)求甲射击4次,恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击,求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．[解析] (1)记事件A 表示“甲击中目标”,事件B 表示“乙击中目标”． 依题意知,事件A 和事件B 相互独立,因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×34＝12．(2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4),并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ,则C ＝A 1A 2A 3A 4∪A 1A 2A 3A 4,且A 1A 2A 3A 4与A 1A 2A 3A 4是互斥事件． 由于A 1,A 2,A 3,A 4之间相互独立,所以A i 与A j (i ,j ＝1,2,3,4,且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝23,故P (C )＝P (A 1A 2A 3A 4∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4) ＝(23)3×13＋13×(23)3＝1681． (3)记事件B i 表示“乙第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4),并记事件D 表示“乙在第4次射击后终止射击”,则D ＝B 1B 2B 3B 4∪B 1B 2B3B 4,且B 1B 2B3B 4与B 1B 2B 3B 4是互斥事件．由于B 1,B 2,B 3,B 4之间相互独立,所以B i 与B j (i ,j ＝1,2,3,4,且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (B i )＝34(i ＝1,2,3,4),故P (D )＝P (B 1B 2B3B 4∪B 1B 2B3B 4)＝P (B 1)P (B 2)P (B 3)P (B 4)＋P (B 1)P (B 2)P (B 3)P (B 4) ＝(34)2×(14)2＋34×(14)3＝364． 命题方向❸相互独立事件的综合应用典例3 (2020·西安高二检测)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X 的分布列． [解析] (1)设事件A 表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手． 观众甲选中3号歌手的概率为23,观众乙未选中3号歌手的概率为1－35．所以P (A )＝23×(1－35)＝415．因此,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为415．(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则X 可取0,1,2,3． 观众甲选中3号歌手的概率为23,观众乙、丙选中3号歌手的概率为35．当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时,这时X ＝0, P (X ＝0)＝(1－23)×(1－35)2＝475．当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时,这时X ＝1,P (X ＝1)＝23×(1－35)2＋(1－23)×35×(1－35)＋(1－23)×(1－35)×35＝8＋6＋675＝2075．当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时,这时X ＝2,P (X ＝2)＝23×35×(1－35)＋(1－23)×35×35＋23×(1－35)×35＝12＋9＋1275＝3375．当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时,这时X ＝3, P (X ＝3)＝23×(35)2＝1875．X 的分布列如下表：『规律总结』 概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A )＝1)简化问题,是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率,即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为互独事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系,建立方程(组),通过解方程(组)使问题获解．┃┃跟踪练习3__■某公司为了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)；(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率．[解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图．通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散．(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”；则C A 1与C B 1相互独立,C A 2与C B 2相互独立,C B 1与C B 2互斥,C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2． P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2),由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2的频率分别为1620,420,1020,820,故P (C A 1)＝1620,P (C A 2)＝420,P (C B 1)＝1020, P (C B 2)＝820,所以P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48．学科核心素养正难则反的思想的应用正难则反的思想在求解概率问题中应用广泛,尤其是解概率问题的综合题中,出现“至少”或“至多”等事件的概率求解问题,如果从正面考虑,它们是诸多事件的和或积,求解过程繁杂,而且容易出错,但如果考虑“至少”或“至多”事件的对立事件往往会简单,其概率很容易求出,此时可逆向分析问题,先求出其对立事件的概率,再利用概率的和或积的互补公式求出原来事件的概率．典例4三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是：第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局的胜者对第一局的败者,第四局是第三局的胜者对第二局的败者,求乙队连胜四局的概率．[思路分析]乙队每局胜利的事件是相互独立的,可由其公式计算概率．[解析]设乙队连胜四局为事件A,有下列情况：第一局中乙胜甲(A1),其概率为1－0.4＝0.6,第二局中乙胜丙(A2),其概率为0.5,第三局中乙胜甲(A3),其概率为1－0.4＝0.6,第四局中乙胜丙(A4),其概率为0.5,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62·0.52＝0.09．『规律总结』(1)求复杂事件的概率一般可分三步进行：①列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们；②理清各事件之间的关系,列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．(2)直接计算符合条件的事件个数较复杂,可间接地先计算对立事件的个数,求得对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率．┃┃跟踪练习4__■在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中1个开关能够闭合,线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率．[解析]如图所示,分别记这段时间内开关J A,J B,J C能够闭合为事件A,B,C．由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率乘法公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027,于是这段时间内至少有1个开关能够闭合,从而使线路能正常工作的概率是1－P (A B C )＝1－0.027＝0.973．易混易错警示因混淆独立事件和互斥事件而致错典例5 设事件A 与B 相互独立,两个事件中只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14,求事件A 和事件B 同时发生的概率．[错解] ∵A 与B 相互独立,且只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14,∴P (A )＝P (B )＝14,∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝14×14＝116．[正解] 在相互独立事件A 和B 中,只有A 发生即事件A B 发生,只有B 发生即事件A B 发生．∵A 和B 相互独立,∴A 与B ,A 和B 也相互独立．∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝14,① P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·P (B )＝14.② ①－②得P (A )＝P (B )．③联立①③可解得P (A )＝P (B )＝12.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×12＝14．[误区警示] 在A 与B 中只有A 发生是指A 发生和B 不发生这两个事件同时发生,即事件A B 发生．课堂达标·固基础1．下列事件A ,B 是相互独立事件的是( A )A ．一枚硬币掷两次,A ＝“第一次为正面”,B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A ＝“第一次摸到白球”,B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子,A ＝“出现点数为奇数”,B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“一个灯泡能用1 000小时”,B ＝“一个灯泡能用2 000小时”[解析] 把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球,显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C,其结果具有唯一性,A ,B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．故选A ．2．已知A ,B 是两个相互独立事件,P (A ),P (B )分别表示它们发生的概率,则1－P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( C )A ．事件A ,B 同时发生B ．事件A ,B 至少有一个发生C ．事件A ,B 至多有一个发生D ．事件A ,B 都不发生[解析] P (A )P (B )是指A ,B 同时发生的概率,1－P (A )P (B )是A ,B 不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A ,“骰子向上的点数是3”为事件B ,则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是( C )A ．512B ．12C ．712D ．34[解析] 由题意P (A )＝12,P (B )＝16,事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712． 4．甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球．从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率为__12__． [解析] 若都取到白球,P 1＝812×612＝13,若都取到红球,P 2＝412×612＝16, 则所求概率P ＝P 1＋P 2＝13＋16＝12． 5．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13、14.求： (1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一人译出密码的概率；(4)至多一人译出密码的概率；(5)至少一人译出密码的概率．[解析] 记事件A 为“甲独立地译出密码”,事件B 为“乙独立地译出密码”．(1)两个人都译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112．(2)两个人都译不出密码的概率为P(A B)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－13)(1－14)＝12．(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出,乙译出甲译不出, 即A B＋A B,∴P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)·P(B)＋P(A)P(B)＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512．(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码,∴其概率为1－P(AB)＝1－112＝1112．(5)至少一人译出密码的对立事件为两个都没有译出密码, ∴其概率为1－P(A B)＝1－12＝12．。
高二数学选修2-3第二章 随机变量及其分布
§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。
2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。
3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。
所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。
2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。
互斥事件的概率加法公式。
3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。
6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。
三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。
常用表示。
2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。
四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。
（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。
（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。
（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。
（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。
变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。
例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。
五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。
2020高中数学 第二章2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.1 离散型随机变量学案 新人教A版选修2-3
2.1.1 离散型随机变量学习目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)[自主预习·探新知]1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．思考：随机变量与函数有怎样的关系？[提示](1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．(2)特征：①可用数值表示．②试验之前可以判断其出现的所有值．③在试验之前不能确定取何值．④试验结果能一一列出．思考：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？[提示]离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1,2，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(3)离散型随机变量的取值是任意的实数．()[解析](1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)√因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.(3)×由离散型随机变量的定义可知它的取值能够一一列出，因此离散型随机变量的取值是任意的实数的说法错误．[答案](1)√(2)√(3)×2．下列变量中，是离散型随机变量的是( )【导学号：95032116】A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮10次，可能投中的次数D[根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A、B、C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．]3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5B[由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.]4．下列随机变量不是离散型随机变量的是________.【导学号：95032117】①某景点一天的游客数X；②某手机一天内收到呼叫次数X；③水文站观测到江水的水位数X；④某收费站一天内通过的汽车车辆数X.[解析]①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量．[答案]③[合作探究·攻重难]随机变量的概念A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率(2)判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①北京国际机场候机厅中明天的旅客数量；②2018年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；③2018年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；④体积为1 000 cm3的球的半径长．(1)B[A中取到的产品的件数是一个常量不是变量，C、D也是一个定值，而B中取到正品的件数可能是0,1,2，是随机变量．](2)[解]①旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．④球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．[规律方法]随机变量的辨析方法1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．[跟踪训练]1．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．[解](1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(4)体积为64 cm3的正方体的棱长为4 cm为定值，不是随机变量．离散型随机变量的判定(1)某教学资源网站一天内的点击量．(2)你明天上学进入校门的时间．(3)某市明年下雨的次数．(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差.【导学号：95032118】[思路探究]根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．[解](1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．[规律方法]离散型随机变量判定的关键及方法(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．(2)具体方法：①明确随机试验的所有可能结果；②将随机试验的试验结果数量化；③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．2．给出下列四种变量(1)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X.(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X.(3)测量一批电阻，在950 Ω和1 200 Ω之间的阻值记为X.(4)一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中离散型随机变量的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个B[(1)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X，X是离散型随机变量；(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X，X是离散型随机变量；(3)测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间，是连续型随机变量；(4)一个在数轴上运动的质点，它在数轴上的位置记为X，X不是随机变量．故离散型随机变量个数是2个．]3．有下列问题：(1)某单位一天来往的人数X；(2)从已编号的5张卡片中(从1号到5号)任取一张，被取出的卡片号数X；(3)一天内的温度为X；(4)某人一生内的身高为X；(5)全民运动会上，一选手进行射箭比赛，击中目标得10分，未击中目标得零分，用X表示该选手在比赛中的得分；(6)某林场树木最高达50米，此林场树木的高度X.上述问题中的X是离散型随机变量的是________．[解析](1)，(2)，(5)都可以一一列出，故都是离散型随机变量，而(3)，(4)都是连续型随机变量，不能一一列出，(6)也不能一一列出，树木高度有无限多个，也不是离散型随机变量．[答案](1)，(2)，(5)随机变量的可能取值及试验结果1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？[提示]可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？[提示]“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.【导学号：95032119】[思路探究]分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解](1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3.X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.母题探究：1.(变换条件、改变问法)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？[解]ξ＝10表示取5个球全是红球；ξ＝7表示取1个白球，4个红球；ξ＝4表示取2个白球，3个红球；ξ＝1表示取3个白球，2个红球．2．(改变问法)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？[解]X可取1,2,3.X＝3表示取出的3个球的编号为3,4,5；X＝2表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5；X＝1表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3.[规律方法]用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．4．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X ；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示． [解] (1)X 可能取值0,1,2,3,4,5，X ＝i 表示面试通过的有i 人，其中i ＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标； 当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．[当 堂 达 标·固 双 基]1．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A ．取到的球的个数 B ．取到红球的个数 C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球的概率B [A 的取值不具有随机性，C 是一个事件而非随机变量，D 中概率值是一个定值而非随机变量，只有B 满足要求．]2．下列变量中，不是随机变量的是( )【导学号：95032120】A ．2020年奥运会上中国取得的金牌数B ．2018年冬奥会上中国取得的奖牌数C ．某人投篮2次，投中的次数D ．某急救中心每天接到的呼救次数B [2018年我国冬奥会上取得的奖牌数是一个具体的数字，不是随机变量，其他三个均为随机变量．] 3．随机变量X 是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y 是某城市1天之内的温度，随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( )A ．X 和ξB ．只有YC ．Y 和ξD ．只有ξB [某城市1天之内的温度不能一一列举，故Y 不是离散型随机变量．]4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________.【导学号：95032121】[解析] 甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． [答案] 0,1,2,35．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．[解] 根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．。
数学人教A选修2-3讲义：第二章 随机变量及其分布2.1.2 离散型随机变量的分布列(一) (最新)
2.1.2 离散型随机变量的分布列(一)学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．知识点 离散型随机变量的分布列思考 掷一枚骰子，所得点数为X ，则X 可取哪些数字？X 取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？ 答案 (1)x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.(2)X 与P 的对应关系为梳理 (1)离散型随机变量的分布列的概念一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1np i ＝1.1．在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( × ) 2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( × )3．在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( √ )类型一 离散型随机变量分布列的性质例1 设随机变量X 的分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a 的值； (2)求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； (3)求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率解 (1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝115.(2)∵P ⎝⎛⎭⎫X ＝k 5＝115k (k ＝1,2,3,4,5)， ∴P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)当110<X <710时，只有X ＝15，25，35时满足，故P ⎝⎛⎭⎫110<X <710 ＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35 ＝115＋215＋315＝25. 反思与感悟 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题 (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .跟踪训练1 (1)设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每一个值概率均相等，若P (ξ<x )＝112，则x 的取值范围是________．(2)设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝k2i (i ＝1,2,3)，则P (X ≥2)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 (1)(5,6] (2)37解析 (1)由条件知P (ξ＝k )＝112，k ＝5,6，…，16， P (ξ<x )＝112，故5<x ≤6.(2)由已知得随机变量X 的分布列为∴k 2＋k 4＋k 8＝1，∴k ＝87. ∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝k 4＋k 8＝27＋17＝37.类型二 求离散型随机变量的分布列命题角度1 求离散型随机变量y ＝f (ξ)的分布列 例2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝12ξ，η2＝ξ2的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关的随机变量分布列的求法解 由η1＝12ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－12，0，12，1，32， 所以η1的分布列为由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率112与16的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率14与112的和，所以η2的分布列为反思与感悟 (1)若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数，则η＝aξ＋b 也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f (x )是连续函数或单调函数，则η＝f (ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f (ξ)也为离散型随机变量．(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f (ξ)的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可．跟踪训练2 已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1＝－ξ＋12，η2＝ξ2－2ξ的分布列．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 两个相关随机变量分布列的求法解 由η1＝－ξ＋12，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝52，32，12，－12，－32，－52，相应的概率值为112，14，13，112，16，112.故η1的分布列为由η2＝ξ2－2ξ，对于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3. 所以P (η2＝8)＝112，P (η2＝3)＝14＋112＝13，P (η2＝0)＝13＋16＝12，P (η2＝－1)＝112.故η2的分布列为命题角度2 利用排列、组合求分布列例3 某班有学生45人，其中O 型血的有10人，A 型血的有12人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4， 则X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 110C 145＝29，P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845，P (X ＝4)＝C 115C 145＝13.故X 的分布列为反思与感悟 求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X 的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列．跟踪训练3 一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X 表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 随机变量X 的可能取值为1,2,3.当X ＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P (X ＝1)＝C 24C 35＝610＝35；当X ＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P (X ＝3)＝C 22C 35＝110.因此，X 的分布列为类型三 离散型随机变量的分布列的综合应用例4 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．(1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的分布列； (3)求甲取到白球的概率．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知 17＝C 2nC 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6， 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27；P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率．跟踪训练4 北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．(1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；(2)若完整的选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X 表示所得的分数，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用解 (1)选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率P ＝C 12·C 13C 58＝656＝328.(2)X 的取值为100,80,60,40.P (X ＝100)＝C 12·C 13C 58＝328，P (X ＝80)＝C 23(C 22·C 13＋C 12·C 23)＋C 33(C 22＋C 23)C 58＝3156， P (X ＝60)＝C 13(C 22·C 23＋C 12·C 33)＋C 23·C 33C 58＝1856＝928， P (X ＝40)＝C 22·C 33C 58＝156.所以X 的分布列为1．已知随机变量X 的分布列如下：则P (X ＝10)等于( ) A.239 B.2310 C.139D.1310 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.2．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于( )A.13 B.14 C.12D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13.∴P (|X |＝1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝－1) ＝1－P (X ＝0)＝1－13＝23.3．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数)：则下列计算结果错误的是( ) A ．a ＝0.1 B ．P (X ≥2)＝0.7 C ．P (X ≥3)＝0.4 D ．P (X ≤1)＝0.3考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 C解析 易得a ＝0.1，P (X ≥3)＝0.3，故C 错误． 4．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为则P (ξ≤0)＝________.考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2－12解析 由分布列的性质，得1－2q ≥0，q 2≥0， 12＋(1－2q )＋q 2＝1， 所以q ＝1－22，q ＝1＋22(舍去)． P (ξ≤0)＝P (ξ＝－1)＋P (ξ＝0) ＝12＋1－2×⎝⎛⎭⎫1－22＝2－12. 5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 由题意知ξ＝i (i ＝1,2,3,4,5,6)， 则P (ξ＝1)＝1C 16C 16＝136；P(ξ＝2)＝3C16C16＝336＝112；P(ξ＝3)＝5C16C16＝5 36；P(ξ＝4)＝7C16C16＝7 36；P(ξ＝5)＝9C16C16＝936＝14；P(ξ＝6)＝11C16C16＝1136.所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．一、选择题1．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么()A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n＝9考点离散型随机变量分布列的性质及应用题点由分布列的性质求参数答案 C解析由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.2．若随机变量η的分布列如下：则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是()A．x≤1 B．1≤x≤2C ．1<x ≤2D ．1≤x <2考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 由分布列的性质求参数 答案 C解析 由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1) ＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， ∴P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.3．若随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 D解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝a ⎝⎛⎭⎫1－15＝1，∴a ＝54. ∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝a 1×2＋a 2×3＝a ⎝⎛⎭⎫1－13＝54×23＝56. 4．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.56考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝1，解得b ＝13.∵f (x )＝x 2＋2x ＋ξ有且只有一个零点， ∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1， ∴P (ξ＝1)＝13.5．设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y ＝X －2，则P (Y ＝2)等于( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 又P (Y ＝2)＝P (X ＝4)＝0.3.6．抛掷2枚骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 A解析 根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两枚骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)． 故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.7．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，13 C ．[－3,3]D ．[0,1] 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求参数 答案 B解析 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质，得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13.由⎩⎨⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.二、填空题8．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 47解析 设二级品有k 个，则一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴ξ的分布列为∴P ⎝⎛⎭⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47. 9．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：根据该表可知X 取奇数值时的概率是________． 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案 0.6解析 由离散型随机变量的分布列的性质，可求得P (X ＝3)＝0.25，P (X ＝5)＝0.15，故X 取奇数值时的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.10．把3枚骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X ，则有P (X <2)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 根据分布列的性质求概率 答案2527解析 P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝5363＋C 13×5263＝2527.11．将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X ，则X 的分布列是________．考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 答案解析 由题意知X ＝1,2,3. P (X ＝1)＝A 3443＝38；P (X ＝2)＝C 23A 2443＝916；P (X ＝3)＝A 1443＝116.∴X 的分布列为三、解答题12．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)设“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举事件A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列 解 (1)由x 2－x －6≤0， 得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0， 所以事件A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有 P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为13．将一枚骰子掷两次，第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数的差为X ，求X 的分布列． 考点 离散型随机变量的分布列 题点 求离散型随机变量的分布列解 第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差X 的可能取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5， 则P (X ＝－5)＝136，P (X ＝－4)＝236＝118，…， P (X ＝5)＝136.故X 的分布列为四、探究与拓展14．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，记得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 答案1335 解析 取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1，相应的黑球个数为0,1,2,3，其得分ξ＝4,6,8,10，则P (ξ≤6)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝6)＝C 44×C 03C 47＋C 34×C 13C 47＝1335. 15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 的分布列，并求出P (5≤X ≤25)的值．考点 离散型随机变量分布列的性质及应用 题点 排列、组合知识在分布列中的应用 解 (1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 26C 210＝1－13＝23.(2)X 的可能取值为0,10,20,50,60. P (X ＝0)＝C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，P (X ＝60)＝C 11C 13C 210＝115.故随机变量X 的分布列为所以P (5≤X ≤25)＝P (X ＝10)＋P (X ＝20)＝25＋115＝715.。
高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教A版选修23 (1)
P(X≥100)＝0.5，
∴P(X≥90)＝0.34＋0.5＝0.84．
故选 D．
• 3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6 ，则0.1P(0<ξ<1)＝________．
• [解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)， • ∴曲线关于直线x＝1对称， • ∵P(ξ<2)＝0.6， • ∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1， • 故答案为0.1．
• C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为 概率密度曲线的总体的期望大2
• D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为 概率密度曲线的总体的方差大2
[解析] 正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没 有改变，所得的曲线依然是正态曲线．
在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，σ 始终保持不变，所以曲线的
3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝___0_._6_8_2_6___； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝___0_.9_5_4_4____； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___0_.9_9_7_4____．
• 4．3σ原则
• 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋ 3σ)之间的值．
• 4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布 N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生10数 学[解成析绩] 在由1ξ1～0N分(10以0,1上02)知的，人μ＝数10为0，_σ_＝_1_0_，_．
又 P(90≤ξ≤100)＝0.3，
∴P(ξ>110)＝P(ξ<90)＝1－P90≤2 ξ≤110
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1.2 离散型随机变量的分布列学案 新人教A版选修2-3-新
2．1.2 离散型随机变量的分布列1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列．3．理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．,1．离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝x i)＝p i，以表格的形式表示如下：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i≥0，i＝1，2，…，n；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P（X＝x i）＝p i，i＝1，2，…，n 和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2．两个特殊分布(1)两点分布X 0 1P 1－p p若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率．(2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即X 0 1 … mPC 0M C n －0N －MC n NC 1M C n －1N －MC n N…C m M C n －mN －MC n N其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．(1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M ，N ，n .(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( ) (4)超几何分布的模型是放回抽样．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A.ξ －1 0 1 P0.30.40.4B.ξ 1 2 3 P0.40.7－0.1C.ξ －1 0 1 P0.30.40.3D.ξ 1 2 3 P0.30.10.4答案：C若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________． 答案：0.8探究点1 离散型随机变量的分布列某班有学生45人，其中O 型血的有15人，A 型血的有10人，B 型血的有12人，AB 型血的有8人．将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X ，求X 的分布列. 【解】 X 的可能取值为1，2，3，4. P (X ＝1)＝C 115C 145＝13，P (X ＝2)＝C 110C 145＝29，P (X ＝3)＝C 112C 145＝415，P (X ＝4)＝C 18C 145＝845.故X 的分布列为X 1 2 3 4 P1329415845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定X 的所有可能取值x i (i ＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P (X ＝x i )＝p i (i ＝1，2，…)． (3)写出分布列．(4)根据分布列的性质对结果进行检验．抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为x ，y .设ξ为随机变量，若x y 为整数，则ξ＝0；若x y为小于1的分数，则ξ＝－1；若x y为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解：(1)依题意，数对(x ，y )共有16种情况，其中使x y为整数的有以下8种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 所以P (ξ＝0)＝816＝12.(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1. 由(1)知P (ξ＝0)＝12；ξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P (ξ＝－1)＝616＝38；ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P (ξ＝1)＝216＝18，所以随机变量ξ的分布列为ξ －1 0 1 P381218探究点2 离散型随机变量的分布列的性质设随机变量X 的分布列P (X ＝k5)＝ak (k ＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a 的值；(2)求P (X ≥35)；(3)求P (110＜X ＜710)．【解】 (1)由P (X ＝k5)＝ak ，k ＝1，2，3，4，5可知，∑k ＝15P (X ＝k5)＝∑k ＝15ak ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝115.(2)由(1)可知P (X ＝k 5)＝k15(k ＝1，2，3，4，5)，所以P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝1)＝315＋415＋515＝45. (3)P (110＜X ＜710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)＝115＋215＋315＝25.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(2018·河北邢台一中月考)随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝ck （k ＋1），k＝1，2，3，4，c 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52的值为( )A.45 B.56 C.23D.34解析：选B.由题意c 1×2＋c 2×3＋c 3×4＋c4×5＝1，即45c ＝1，c ＝54， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＝56.故选B. 探究点3 两点分布与超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310. (2)由题意知X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P120920920 1201．[变问法]在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列． 解：由题意知η＝0，1，服从两点分布，又P (η＝1)＝C 25C 36＝12，所以随机变量η的分布列为η 0 1 P12122．[变条件]将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P ＝C 13×C 12×C 11×A 3363＝16. (2)由题意知X ＝0，1，2，3. P (X ＝0)＝3363＝18，P (X ＝1)＝C 13×3×3×363＝38. P (X ＝2)＝C 23C 13×3×363＝38， P (X ＝3)＝3363＝18.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P18383818求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布． (2)在超几何分布公式中，P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N ，k ＝0，1，2，…，m ，其中，m ＝min{M ，n }，且0≤n ≤N ，0≤k ≤n ，0≤k ≤M ，0≤n －k ≤N －M .(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名学生再随机抽取4名参赛，记X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列．解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从理学院中抽出(等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：C 33C 34C 36C 36＝1100，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为：1－1100＝99100.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X 表示参赛的男生人数， 则X 的可能取值为：1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 13C 33C 46＝15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P1535151．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B.设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝0)＝1－p . 依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (ξ＝0)＝1－p ＝13.2．(2018·昆明质检)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.1220 B.2755C.27220D.2125解析：选C.X ＝4表示取出的3个球为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.3．随机变量η的分布列如下η 1 23 4 5 6 P0.2x0.350.10.150.2则x ＝________，P (η≤3)＝________． 解析：由分布列的性质得0．2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0.故P (η≤3)＝P (η＝1)＋P (η＝2)＋P (η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55. 答案：0 0.554．某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P (ξ＜2)． 解：由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2，3. 则P (ξ＝0)＝C 04C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 03C 37＝435.所以随机变量ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P13512351835435P (ξ＜2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝135＋1235＝1335.知识结构深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概率之和是否等于1)，还可以利用性质②求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为1这一条件求出参数． 2．超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N 求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义., [A 基础达标]1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10D ．25解析：选B.号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．2．随机变量X 所有可能取值的集合是{－2，0，3，5}，且P (X ＝－2)＝14，P (X ＝3)＝12，P (X＝5)＝112，则P (X ＝0)的值为( )A ．0 B.14C.16D.18解析：选C.因为P (X ＝－2)＋P (X ＝0)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝1，即14＋P (X ＝0)＋12＋112＝1，所以P (X ＝0)＝212＝16，故选C.3．设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝A.712 B.512C.14D.16解析：选B.根据概率分布列的性质得出：13＋m ＋14＋16＝1，所以m ＝14，随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝12.故选B.4．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．x ≤1 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2D ．1≤x <2解析：选C.由分布列知，P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8， 所以P (η<2)＝0.8，故1<x ≤2.5．(2018·湖北武汉二中期中)袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3，现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X ，则P (X ＝3)等于( )287C.1556 D.27解析：选D.X ＝3第一种情况表示1个3，P 1＝C 12·C 24C 38＝314，第二种情况表示2个3，P 2＝C 22·C 14C 38＝114，所以P (X ＝3)＝P 1＋P 2＝314＋114＝27.故选D. 6．随机变量Y 的分布列如下：则(1)x ＝________(3)P (1＜Y ≤4)＝________．解析：(1)由∑6i ＝1p i ＝1，得x ＝0.1. (2)P (Y ＞3)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＋P (Y ＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45. (3)P (1＜Y ≤4)＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＋P (Y ＝4)＝0.1＋0.35＋0.1＝0.55. 答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab .则这名运动员得3分的概率是________． 解析：由题意得，2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，a ＋b ＋c ＝1，且a ≥0，b ≥0，c ≥0， 联立得a ＝12，b ＝13，c ＝16，故得3分的概率是16.68．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________．解析：设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5.P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.答案：5129．设离散型随机变量X 的分布列为：试求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．解：由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 所以m ＝0.3. 列表为：(1)2X ＋1的分布列为：(2)|X －1|10．从集合{1，2，3，4，5}中，等可能地取出一个非空子集．(1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为X ，求X 的分布列． 解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r ”为事件A . 基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31.事件A 包含的基本事件是{1，4，5}，{2，3，5}，{1，2，3，4}，事件A 包含的基本事件数m ＝3.所以P (A )＝m n ＝331.(2)依题意，X 的所有可能值为1，2，3，4，5. 又P (X ＝1)＝C 1531＝531，P (X ＝2)＝C 2531＝1031，P (X ＝3)＝C 3531＝1031，P (X ＝4)＝C 4531＝531，P (X ＝5)＝C 5531＝131.故X 的分布列为11．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C ．[－3，3]D ．[0，1]解析：选B.设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.12．袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________． 解析：由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.答案：5613．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505 g 的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为质量超过505 g 的产品数量，求Y 的分布列． 解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505 g 的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12(件)．(2)随机变量Y 的可能取值为0，1，2，且Y 服从参数为N ＝40，M ＝12，n ＝2的超几何分布，故P (Y ＝0)＝C 012C 228C 240＝63130，P (Y ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (Y ＝2)＝C 212C 028C 240＝11130.所以随机变量Y 的分布列为Y 0 1 2 P6313028651113014．(选做题)袋中装着外形完全相同且标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的分布列；(3)计算介于20分到40分之间的概率．解：(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ， 则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.(2)由题意，知X 的所有可能取值为2，3，4，5， P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130， P (X ＝3)＝C 22C 14＋C 12C 24C 310＝215， P (X ＝4)＝C 22C 16＋C 12C 26C 310＝310， P (X ＝5)＝C 22C 18＋C 12C 28C 310＝815. 所以随机变量X 的分布列为则P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝215＋310＝1330.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？ 提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一 离散型随机变量的方差及性质【例1】 已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二 二项分布的方差【例2】 已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】 解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三 离散型随机变量方差的应用【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】 第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】 离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。
数学：第二章《随机变量及其分布》教案(1)(新人教A版选修2-3)
2．1．1离散型随机变量知识目标：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题教学过程：一、复习引入：展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?观察，概括出它们的共同特点二、讲解新课：思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 （1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量（1）求租车费η关于行车路程ξ的关系式；（2）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：（1）依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 （2）由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ其中的ξ是连续型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ） A ．3n =； B ．4n =； C ．10n =； D ．不能确定 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ） A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．112 4.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量 六、课后作业： 七、板书设计（略）八、教学反思：1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题，实现学生实质意义的参与.2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.2．1．2离散型随机变量的分布列教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
人教版高中选修2-3第二章随机变量及其分布课程设计
人教版高中选修2-3第二章随机变量及其分布课程设计1. 课程简介本章主要讲解随机变量的概念及其分布，包括离散型和连续型随机变量，常见的分布如二项分布、正态分布等。
该课程适用于高中选修2-3课程学习，需要学生掌握基本的概率统计方法和数学知识。
2. 教学目标本章课程教学目标如下：•理解随机变量的概念及其特点；•掌握离散型随机变量及其分布，例如二项分布、泊松分布等；•掌握连续型随机变量及其分布，例如正态分布、指数分布等；•学会应用概率统计方法进行问题求解。
3. 教学重点和难点本章课程教学重点和难点如下：•随机变量的概念和特点；•离散型和连续型随机变量的概念和特点；•常见的离散型和连续型随机变量的分布特征和应用。
4. 教学内容及时间安排本章课程教学内容及时间安排如下：教学内容时间安排随机变量的概念和特点 1 课时离散型随机变量及其分布 2 课时连续型随机变量及其分布 2 课时常见随机变量的分布及应用 1 课时5. 教学方法本章课程教学采用以下方法：•讲授：通过讲解理论和解题方法，让学生掌握基本知识和应用能力；•课堂练习：通过课堂练习，帮助学生巩固知识和提高解题能力；•课前预习：督促学生在课前预习，提前掌握相关知识，利于课堂提问和交流。
6. 学生评价方式本章课程学生评价方式包括以下几个方面：•课堂表现：包括听课态度、课堂提问和参与度等；•课后作业：针对每一节课的作业，包括单项选择题、计算题和应用题等；•期中考试：对本章节进行考核，包括知识点的理解和应用能力的检验；•期末考试：对本章节进行复习和总结，综合考核学生的能力。
7. 教学资源本章课程教学资源包括以下几个方面：•人教版高中数学选修2-3教材及相关资料；•草稿纸、笔、计算器等学习工具；•电脑投影仪及相关软件等教学设备。
8. 总结通过本章课程的学习，学生可以理解和掌握随机变量的概念及其分布特征，掌握基本的概率统计方法，并能够应用概率统计方法进行问题求解。
高中数学 随机变量及其分布 教案 选修2-3
河北省张家口一中高二数学选修2-3 随机变量及其分布 教案【考纲知识梳理】 一、随机变量及其分布列 1．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x X 取每一个值(1,2,,)i x i n =的概率()i i P X x p ==，则表X 1x 2x …… i x…… n x P1p 2p…… i p……n p称为X 的分布列，(),1,2,,i i P X x p i n === 为X 的分布列。
（2）离散型随机变量的分布列的性质 ①i p ≥0（1,2,,i n =）；②11ni i p ==∑。
3．常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为（2）超几何分布其中m=min{M,n},且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈*N ,称分布列X 01……mP00n M N M n N C C C -- 11n M N MnNC C C --m n mM N MnNC C C -- 为超几何分布列。
二、二项分布及其应用1．条件概率及其性质（1）条件概率的定义A 、B 为两个事件，且P （A ）＞0，P （B|A ）=P （AB ）/P （A ） 若A ，B 相互独立，则P （B|A ）=P （B ）。
（2）条件概率的性质 ①0≤P （B|A ）≤1；②如果B 、C 是两个互斥事件，则P （B ∪C|A ）=P （B|A ）+P （C|A ）。
2．事件的相互独立性如果P （AB ）=P （A ）P （B ），则称事件A 与事件B 相互独立。
3．独立重复试验与二项分布那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P （X=k ）=(1)(0,1,2,,)k k n kn C p p k n --=，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B （n,p ）三、离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为EX=1x 1p +2x 2p +……+i x i p +……+n x n p 为随机变量X 的均值或数学期望DX=21()nii i x EX p =-∑为随机变量X 的方差，DX X 的标准差，记作X σ。
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量及其分布列(第1课时)》教案-新版
2.1 离散型随机变量及其分布列（第1课时）一、教学目标【核心素养】对离散型随机变量及其分布列概念的学习，初步形成从实际问题到数学问题的数学建模思想．【学习目标】1.了解随机变量的概念．2.理解离散型随机变量的概率分布列及其特征．3.学会解答一些简单分布列的运算．【学习重点】离散型随机变量分布列制表．【学习难点】1.正确选取离散型随机变量及概率的运算．2.掌握如何将实际问题划归为离散型随机变量的分布列方法．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1-阅读教材，了解离散型随机变量的的概念及性质．任务2-离散型随机变量分布列的性质及表格的制作．2.预习自测1.已知：①某机场候机室中一天的旅客数量X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数X ；③某篮球下降过程中离地面的高度X ；④某立交桥经过的车辆数X .其中不是离散型随机变量的是（ ） A.①中的X B.②中的X C.③中的X D.④中的X 解：C2.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X,则X 所有可能取值的个数是（ ） A.5 B.9 C.10 D.25 解：B由于本试验属于有放回抽取，所以所有1,2,3,4,5肯能号码都可被抽取到．然后抽取的数字之和是相同值得时候只能看作1次取值．所以最后可能组合就有9组不重复可能取值．3．某一随机变量X 的概率分布列如下表，且2.12=+n m ,则2nm -的值为（ ）A.-0.2B.0.2C.0.1D.-0.1 解：B利用概率=∑=ni i p 11．（二）课堂设计问题探究一 、离散型随机变量的定义●活动一 感知随机变量引例：某一时间段内公交站等公交的乘客人数；某固定电话在某时间段内接到的电话数量；一批注入某种毒素的动物在确定时间段内死亡的数量；长途汽车在1000KM 的行驶路程中到达目的地所用的时间等等． 讨论：（1）变量：可变的量；在函数中常见；常用x,y,z 等字母表示一些不确定的数值关系．（2）随机性：偶然性的一种形式；是对某一事件发生的不确定性的描述． （3）离散性：数据的分散性，不具备连续的特征（如:连续型数据-10≤x ≤9；离散型数据：x =-10，-1，0，1，9）． 引入（1）在随机试验的实际结果与数学之间，自然地或人为地建立起一种数学数字对应关系，使每一个可能的结果都对应着一个实数，那么随机试验的结果就可以用取值对应的任一个变量来表示，这个变量叫随机变量，随机变量常用X 、Y 、ξ、η等表示（区别于连续型函数)(x f ）．（2）离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值有限多个或无限多个，但可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量（如：掷骰子点6出现的次数X ;抛硬币正面出现的次数N ;流水生产线上发生故障点的个数M ）．注意：①并不是所有的随机变量都能一一列出．例如汽车的使用寿命；从发电站到用户家庭的线路故障点；一天中雷雨天气的发生时间等等．②相反的，如果随机变量可以取定区间内的任意一个数值，这样的变量称之为连续型随机变量．●活动二随机变量类型的判别、选取、取值实例感知，如何在实际情景中选取随机变量：例1.重庆至武汉的高铁路段设立有固定的100个安全检测点，请能否将此监测点看作随机变量？属于离散型或是连续型？如何选取随机变量？例2.三峡大坝水位检测站承担对长江沿岸（0，168m)水位任务检测工作．该水位站检测到的水位数据是否属于随机变量？是连续型或是离散型？例3.一个盒子里面装有5个红球4个黄球3个白球．一次实验中取出依次不放回取出3个球．根据题意如何选取随机变量．例4.在一次关于电视娱乐节目的调查中，对100个家庭进行了调查分析．发现有观看关于娱乐节目、生活节目、电视剧节目、电影节目．请对以上调查结果做出合理的分析，给出随机变量的的选取意见．随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果对应的某个函数的自变量．即随机变量的取值实质上是试验所对应的结果数，但这些数是预先知道的所有可能的值，而不知道具体是哪一个值，也就充分验证了实验结果具有随机性的特征．问题探究二、离散型随机变量的分布列及其性质●活动一列分布列表(1)分布列的定义表示概率在所有试验结果中的分布情况的列表．（2）分布列的表示①设定离散型随机变量X 可能的取值为nx x x ,,,21⋅⋅⋅．②求出X 取定每一个值i x (n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=)的概率i i p x X P ==)(． ③列出概率分布表则该表格为离散型随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列． ●活动二 结合实例，认知分布列性质思考：分布列的概率问题是否与之前所学概率知识有相通之处？例1.已知随机变量X 的分布列为33)21()(i C i X P == （i =0,1,2,3）则==)2(X P ；详解：83)21()2(323===i C X P点拔：考察组合在概率中的基本算法． 例2.已知随机变量X 的分布列为则x = ．详解：3.0)5.02.0(1)2(=+-==X P ． 点拔：概率的性质．通过以上案例的分析，我们不难发现： 离散型随机变量分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ①0(1,2,3,,)i p i n ≥=L ， ②11ni i p ==∑点拔：1.理解分布列的两大性质，熟练掌握概率的算法及运用它来解决一些实际问题．2.重点理解性质②，对于求取分布列中的某些参数具有重要指导意义． 三、课堂总结 【知识梳理】1.连续型随机变量、离散型随机变量的概念与区别．2.如何在实际问题中筛选出随机变量并建立变量关系．3.离散型随机变量分布列的概率性质：①0(1,2,3,,)i p i n ≥=L ，；②=∑=ni i p 1 1.4.随机变量分布列的表格制作步骤：①选取随机变量的可能取值；②计算随机变量取值对应的概率；③制作概率分布列表格． 【重难点突破】1.若X 是一个随机变量，λ、μ是常数.则有如下情况：μλ+=X Y ;X X Y μλ+=2; 2)(μλ+=X Y ......中的Y 也是一个随机变量．提示：类比于理解函数中x 与f （x ）的对应关系．2.掌握离散型随机变量分布列的两大性质，学会应用其概率特征解决一些参数问题．3.在具体划归分布列的应用中，关键明确变量的取值，正确求取值对应的概率四、随堂检测1.抛掷两颗骰子，如果将所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机试验结果是（）A.两颗都是4点B.一颗是1点，另一颗是3点C.两颗都是2点D.一颗是1点，另一颗是3点，或者两颗都是2点【知识点：随机变量的概念】解：D2.下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是（）A.B.C.D.【知识点：概率分布列的性质；互斥事件】 解：C3.随机变量X 的概率分布规律为)4,3,2,1()1()(=+==n n n an X P 其中a 是常数，则)2521(<<X P 的值为 ．【知识点：分布列的性质；互斥事件概率】解：654.设X 是离散型随机变量，其分布列如下表所示.则=q （ ）． A.1 B.221±C.221+D.221-【知识点：分布列的性质；互斥事件概率】 解：D 五、课后作业 ★基础型 自主突破1.如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是（ ） A.X 取每一个可能值的概率都是非负数； B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 【知识点：真假命题；分布列的性质】解：由分布列性质①可知1≥i p ≥0，(n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=)，故A 是真命题；分布列性质②=∑=ni i p 1 1 可知B 、C 是真命题．故D 是假命题．2.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A.① B .② C.③ D.①③【知识点：离散型随机变量的定义】解：②中的区间取值是随机的，但是数值是连续的，是不能一一列出的，这样的数据属于连续型随机变量．故选D.3.设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）A .12B .16C .13D .14【知识点:分布列性质】解：由概率分布列性质=∑=ni i p 11可知31,1)4()3()2()1(===+=+=+=a X P X P X P X P 故选C ．4、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【知识点:等比数列通项式及前n 项和公式；分布列性质】解：21,113211==-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=λλλλλλλn i i p 故选B ．5、已知随机变量X 的分布列为：()12k p X k ==， ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（ ） A.163B.41C.161 D.165【知识点:互斥事件概率问题；分布列性质】 解：,1632121)4()3()42(43=+==+==≤<X p X p X p 故选A ．6、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A.一枚是3点，一枚是1点B.两枚都是2点C.两枚都是4点D.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点【知识点:离散型随机变量；数学思想：分类讨论】解：一枚骰子可取点数范围从1、2、3、4、5、6；X =2+2=4 或X =1+3=4的讨论组合方式，故选D ．★★能力型 师生共研7.设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,k P X k k n λ==⋅=⋯⋯，则 λ= .【知识点:等比数列通项式及前n 项和公式；分布列性质】 解：31,11222223211==-=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=λλλλλλλn i i p8.一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为【知识点:组合；数学思想：分类讨论】解：由于抽取的过程中是不放回取球．可能情况数1035 C ,分类讨论情况如下（不论先后）：①1，2，3.②1，3，4③1，3，5 ④2，3，4 ⑤2，3，5 ⑥3，4，5.⑦4，5，1⑧4，5，2⑨5，1，2⑩4，2，1.故X 的可能取值为3，4，5.9.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【知识点:离散型随机变量；数学思想：转化】解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．★★★探究型 多维突破11、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．【知识点:分布列；数学思想：转化、分类讨论】解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为12、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.【知识点:分布列，互斥事件概率；数学思想：转化、分类讨论】解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==87814121=++． 自助餐1.下列随机变量中,不是离散随机变量的是( )A.从10只编号的球 ( 0号到9号) 中任取一只,被取出的球的号码ξB.抛掷两个骰子,所得的最大点数ξC.[0 , 10]区间内任一实数与它四舍五入取整后的整数的差值ξD.一电信局在未来某日内接到的 电话呼叫次数ξ【知识点:离散型随机变量】2.甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ（ ）A.4.06.01⨯-kB.76.024.01⨯-kC.6.04.01⨯-kD.24.076.01⨯-k【知识点:互斥事件概率；数学思想：转化、分类讨论】解：B 若甲投1次球，则包含两层信息---甲乙两人共投球1次；甲乙两人共投球2次，即概率76.0)4.01)(4.01(4.0)1(=--+==ξP ；若甲投2次球，则包含两层信息---甲乙两人共投球3次；甲乙两人共投球4次，即概率1824.0)4.01)(4.01(4.0)4.01(4.04.0)4.01()2(=--⋅-+⋅-==ξP ．同理可得出==)(k P ξ76.024.01⨯-k ．3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ）A.0B.21 C.31 D.32 【知识点:对立事件概率】4.设随机变量ξ的分布列为)5,4,3,2,1(15)(===k k k P ξ，则)2521(<<ξP 等于（ ） A.21B.91C.61D.51【知识点:互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：D5.已知随机变量ξ的分布列为：),3,2,1(21)(⋅⋅⋅===k k P k ξ，则=≤<)42(ξP （）A.163B.41C.161D.165【知识点:互斥事件概率；数学思想：分类讨论】解：A6.已知随机变量ξ的概率分布为：则==)10(ξP ( ) A.932 B.1032 C.931 D.1031 【知识点:分布列；数学思想：观察法】解：D7.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ） A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 【知识点:计数原理，独立事件概率；数学思想：组合】解：B8.在一批产品中共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取得合格品之前取出的次品数ξ的所有可能取值是【知识点:离散型随机变量】解：0,1,2,3.9.设随机变量ξ只能取5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率相同，则=>)8(ξP ，)146(≤<ξP =【知识点:对立事件、互斥事件概率；数学思想：分类讨论、正反面】 解：31121121121121)8(=+++=>ξP ；65)121121(1)6(1)146(=+-=≤-=≤<ξξP P ．10.已知随机变量ξ的分布列是：=≤≤)42(ξP【知识点:分布列；数学思想：分类讨论】解：0.711.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；(4)某个人的属相随年龄的变化．【知识点:离散型随机变量】解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(3)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．(4)属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．12.设b,c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.（1）设A =},,02|{2R x c bx x x ∈<+-求φ≠A 的概率；（2）设随机变量|,|c b -=ξ求ξ的分布列. 【知识点:二次方程根的判别，对立事件概率；数学思想：分类讨论】 解：b,c 的所有可能取值从1-6.当b =1,c =1,2,3,4,5,6; 08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =2,c =1,2,3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =3,c =2,3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ; 当b =4,c =3,4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =5,c =4,5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b ;当b =6,c =5,6;08)2(4)(4222<-=--=-=∆c b c b ac b .故当φ≠A 时概率18536261=-；5,4,3,2,1,0=ξ其分布列如下：。
高中数学人教A版选修2-3教案-2.1 离散型随机变量及其分布列_教学设计_教案_1
教学准备
1. 教学目标
离散型随机变量的分布列
2. 教学重点/难点
离散型随机变量的分布列
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、基本知识概要：
1. 随机变量：随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量的随机变量，记作；
说明：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量。
2. 离散型随机变量：随机变量可能取的值，可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量：随机变量可以取某一区间内的一切值。
说明：①分类依据：按离散取值还是连续取值。
②离散型随机变量的研究内容：随机变量取什么值、取这些值的多与少、所取值的平均值、稳定性等。
说明：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即。
例2：一袋中装有5只球，编号为1,2，3，4，5，在袋中同时取3只，以表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量的分布列。
剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即可以取1，2，3。
三、课堂小结
1会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件；2熟练应用分布列的两个基本性质；
3能熟练运用二项分布计算有关随机事件的概率。
四、作业布置：教材P193页闯关训练。
高二年级下学期新课标A版高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，
且 f(x)＝φμ，σ(x)＝ 18πe－x－8102，则这个正态总体的均值与标
准差分别是( )
A．10 与 8
B．10 与 2
C．8 与 10
D．2 与 10
解析： 由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝
数学 选修2-3
10，方差σ2＝4，即σ＝2.
答案： B
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
2．设 X～N－2，14，则 X 落在(－3.5，－0.5)内的概率是
()
A．95.44%
B．99.74%
C．4.56%
D．0.26%
解析： 由 X～N－2，14知，μ＝－2，σ＝12，则 P(－3.5<X≤ －0.5)＝P－2－3×12<X≤－2＋3×12＝0.997 4.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
200个产品尺寸的频率分布直方图
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的 顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为总体密度 曲线．
解析： (1)根据正态曲线的特点， 由 P(2≤X≤4)＝0.682 6， P(X<2)＋P(2≤X≤4)＋P(X>4)＝1， ∴P(X>4)＝P(X<2)＝1－P2≤ 2 X≤4＝0.158 7.
人教课标版高中数学选修2-3《事件的独立性》教案-新版
第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用2.2.1 事件的独立性一、教学目标1、核心素养通过上一节课条件概率和本节课事件的相互独立性的学习，使学生会处理较为复杂的概率计算，同时也培养了学生分类讨论的思想.从而提高了学生的运算能力和数学建模能力；2、学习目标（1）理解事件独立性的概念；（2）理解互斥事件、对立事件和相互独立事件的区别；（3）会利用相互独立事件概率的乘法公式解决相应的问题；3、学习重点理解事件A与B独立的概念，并能运用相互独立事件的概率乘法公式解决实际问题；4、学习难点运用相互独立事件的概率乘法公式解决实际问题二、教学设计（一）课前设计1、预习任务任务1阅读教材，思考：（1）互斥事件、相互独立事件和对立事件的区别？（2）如何用条件概率证明两个事件相互独立？任务2熟记相互独立事件的乘法公式，并会利用公式解决预习自测的题目；2、预习自测1.设A与B是相互独立事件，则下列命题中正确的命题是（）A．A与B是对立事件B．A与B是互斥事件C.A与B不相互独立D．A与B是相互独立事件答案 D2.一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A表示第一次摸得白球，B 表示第二次摸得白球，则A 与B 是（ ）A 、互斥事件B 、不相互独立事件C 、对立事件D 、相互独立事件 答案 B3.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（ ）A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42答案：D4.一学生通过英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率是（ ） A.41 B.31 C.21 D.43 答案：C（二）课堂设计1、知识回顾（1）互斥事件和相互独立事件的概念；（2）互斥事件与相互独立事件的区别；（3）古典概型的概率公式；（4）条件概率的概念及其性质、计算公式；（5）本节课所学习的事件独立性的概念？相互独立事件概率计算公式？2、问题探究问题探究一 活动一：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”.事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?解析：显然无放回时，A 的发生影响着B ，即是条件概率．而当有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P (B |A )=P (B )，代入条件概率公式得P (AB )=P (B |A )P (A )=P (A )P (B )活动二：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球 问题：事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响） “从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅. 相互独立事件的定义：设A,B 为两个事件，如果 P (AB )=P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ).事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题探究二、互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别 1.定义：设A ，B 为两个事件，如果()=()()P AB P A P B ⋅，那么称事件A 与事件B 相互独立．2.如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．3.如果A 与B 相互独立，那么()=()P B A P B ，()=()P A B P A ．4.互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆.对于事件A、B，在一次试验中，A、B如果不能同时发生，那么称A、B互斥．一次试验中，如果A、B两个事件互斥且A、B中必然有一个发生，那么称A、B对立，显然A+B为一个必然事件．A、B互斥则不能同时发生，但可能同时不发生．如掷一枚骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B，则A、B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．A、B互斥，则0)(=ABP；A、B对立，则1)()(=+BPAP．A、B相互独立，则)()()(BPAPABP⋅=，可见这是不相同的概率．问题探究三、利用相互独立事件乘法公式能解决哪些实际问题？例1.一个口袋内装有2个白球和2个黑球．求（1）先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？（2）先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？【知识点：相互独立事件乘法公式、条件概率】详解：（1）先摸出一白球不放回这件事对再摸出一个白球的概率产生了影响，再摸时只有一个白球，两个黑球，则概率为13；（2）先摸出一白球后放回这件事对再摸出一个白球的概率没有影响，还是从两个白球两个黑球中摸，则概率为1 2例2.天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲乙两地都降雨的概率；（2）甲乙两地都不降雨的概率；（3）甲乙两地至少一个地方的概率；【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】详解：“甲地降雨”为时间A，“乙地降雨”为事件B．（1）“甲乙两地都不下雨”表示时间A,B同时发生，且甲乙两地是否降雨相互之间没有影响，即事件A与事件B相互独立．所以()()()=0.20.3=0.06p AB P A P B=⨯（2）“甲乙两地都不降雨”即事件A与B同时发生．利用独立事件的性质2可知，事件A与B 相互独立．所以()()()10.210.30.56p AB P A p B==-⨯-=（）（）（3）“至少一个地方降雨”用字母表示应为()()()()()()()()()()0.20.70.80.30.20.30.44p AB AB AB p AB p AB p AB p A p B p A p B p A p B ++=++=++=⨯+⨯+⨯=例3：俗话说“三个臭皮匠，顶上一个诸葛亮”，从数学角度解释这句话的含义【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】分析：三个臭皮匠不妨命名为A,B,C ．假设三人解决某一问题的概率为0.5，且相互独立．诸葛亮解决该问题的概率为0.8．那么这三个臭皮匠至少有一人解决问题的概率为：1()10.50.50.50.8750.8p ABC -=-⨯⨯=>从数学角度解释名言，更能引起同学们的兴趣．激发他们上课的热情和积极性．例4：某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码；【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】详解：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A ，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，“两次抽奖都抽到某一指定号码”为事件AB ．（1）由于两次抽奖结果互不影响，因此事件A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖抽到某一指定号码的概率为P (AB )=P (A )P (B )=0.05×0.05=0.0025．（2）“两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A )()B AB 表示．由于事件B A B A 与互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为095.005.0)05.01()05.01(05.0)()()()()()(=⨯-+-⨯=+=+B P A P B P A P B A P B A P （3）“两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用()()()AB AB AB 表示．由于事件B A B A AB ,,两两互斥，根据概率的加法公式和相互独立事件的定义可得，所求事件的概率为0975.0095.00025.0)()()(=+=++B A P B A P AB P例5.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】分析：因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解：（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k =1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为5512345123454()=()()()()()(10.2)5P A A A A A P A P A P A P A P A ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-= ⎪⎝⎭∴敌机未被击中的概率为5)54(． （2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为415n⎛⎫- ⎪⎝⎭∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴11n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点拨：上面例题的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便；3、课堂总结结合第一小节的知识梳理【知识梳理】【重点难点突破】(1)条件概率的计算方法有两种：①利用定义计算，先分别计算概率)(AB P 和)(A P ，然后代入公式)()()(A P AB P A B P =. ②利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A ，原来的事件B 缩小为AB ，利用古典概型计算概率：)()()(A n AB n A B P =. （2）判定相互独立事件的方法①由定义，若)()()(B P A P AB P ⋅=，则B A 、独立．②有些事件不必通过概率的计算就能判定其独立性，如有放回的两次抽奖，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出它们是否相互独立．4、随堂检测1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 920【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C2个球不都是白球的概率()D2个球中恰好有1个是白球的概率【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（）()A0.128 ()B0.096 ()C0.104 ()D0.384【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案 B4．某道路的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是（）()A35192()B25192()C35576()D65192【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案 A5．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是．【知识点：相互独立事件乘法公式；】答案(1) 132(2) 0.56（三）课后作业★基础型自主突破1.一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A 表示第一次摸得白球，B表示第二次摸得白球，则A与B是（）A、互斥事件B、不相互独立事件C、对立事件D、相互独立事件【知识点：相互独立事件、互斥事件】答案 B2.10件产品中有4件是次品，从10件产品中任取2件，恰好2件是正品或2件是次品的概率是（）A、225B、215C、13D、715【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类谈论思想】答案 D3.加工某零件需要经过两道工序，第一道工序的废品率是0.01，第二道工序的废品率为0.02，设这两道工序是否出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为（）A、0.9702B、0.9700C、0.9998D、0.9996【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 A4.种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是（）A、0.33B、0.66C、0.5D、0.45【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 B5.一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手每次击中的概率是（）A、13B、23C、14D、25【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 C6.甲、乙两篮球运动员在罚球线投球的命中率分别是0.7和0.6，每人投球3次，则两人都投进2球的概率是_________．【知识点：相互独立事件乘法公式】答案0.19★★能力型师生共研7.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 B8.（浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）(A ) 0．216 (B )0．36 (C )0．432 (D )0．648【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D9.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______. 【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 2411 10.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 31251053 11.甲、乙、丙三人射击命中目标的概率分别为0.5,0.25,0.125,现三人同时射击一目标,则目标被命中的概率为________.【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 6443 ★★★探究型 多维突破12.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是（ ）A.13 B.29 C.49 D.827答案 A【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】13.在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为5 6、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在考核过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想，分类讨论思想】答案：设事件A i(i＝1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，由已知P(A1)＝56，P(A2)＝45，P(A3)＝34，P(A4)＝13，(1)设事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P(B)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P(C)＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3)＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12.(3)X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝P(A1)＝1 6，P(X＝2)＝P(A1A2)＝56×(1－45)＝16，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝56×45×(1－34)＝16，P(X＝4)＝P(A1A2A3)＝56×45×34＝12，所以，X的分布列为自助餐1.已知事件A 、B 发生的概率都大于零，则（ ）A ．如果A 、B 是互斥事件，那么A 与B 也是互斥事件B ．如果A 、B 不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件C ．如果A 、B 是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件D ．如果A ＋B 是必然事件，那么它们一定是对立事件【知识点：相互独立事件、互斥事件】答案 C2．两个事件对立是这两个事件互斥的（ ）A ．充分但不是必要条件B ．必要但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点：互斥事件、对立事件】答案 B3.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是（ ）A.35B.34C.1225D.1425【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 D4.今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（ ）A ．35035C CB ．350352515C C C C ++ C ．3503451C C -D ．3501452524515C C C C C + 【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D5.甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为（ ）A.115B.215C.15D.110【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 C6．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓概率为（ ）A ．201 B.1615 C ．53 D ．2019 【知识点：相互独立事件乘法公式】答案 C7.到成都旅游的外地游客中，若甲、乙、丙三人选择去武侯祠游览的概率均为35，且他们的选择互不影响，则这三人中至多有两人选择去武侯祠游览的概率为（ ）A.36125B.44125C.54125D.98125【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案 D8.位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位移动的方向为向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为21，质点P 移动5次后位于（2，3）的概率是（ ） A.5)21( B.525)21(C C.325)21(C D.53525)21(C C【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：分类讨论思想】答案 B9.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛甲乙两队夺取冠军的概率分别是4173和 ．则该市足球队夺得全省冠军的概率是_________.【知识点：互斥事件加法公式】答案 2819 10.一个家庭中有两个小孩，求：(1)两个小孩中有一个是女孩的概率；(2)两个都是女孩的概率； (3)已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案：设“家庭中有一个是女孩”为事件A ，“另一个也是女孩”为事件B ，则“两个都是女孩”为事件AB ，家庭中有两个小孩的情况有：男、男；男、女；女、男；女、女；共4种情况，因此n (Ù)＝4；其中有一个是女孩的情况有3种，因此n (A )＝3；其中两个都是女孩的情况有1种，因此n (AB )＝1.(1)由P (A )＝n (A )n (Ù)＝34，可得两个小孩中有一个是女孩的概率为34.(2)由P (AB )＝n (AB )n (Ù)＝14，可得两个都是女孩的概率为14.(3)由条件概率公式，可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1434＝13或P (B |A )＝n (AB )n (A )＝13.因此，在已知其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率为13.11.某零件从毛坯到成品，一共要经过六道自动加工工序，如果各道工序出次品的概率分别为0.01、0.02、0.03、0.03、0.05、0.05，那么这种零件的次品率是多少？【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案:设“第i 道工序出次品”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5,6，它们相互独立，但不互斥，所以出现次品的概率为P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4＋A 5＋A 6)＝1－P (A －1·A －2·A －3·A －4·A －5·A －6)＝1－(1－0.01)·(1－0.02)·(1－0.03)2·(1－0.05)2＝0.176 1.12.甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率；(4)至多1个人译出密码的概率；(5)至少1个人译出密码的概率．【知识点：相互独立事件乘法公式；数学思想：正难则反思想】答案: 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码”为事件B ，A ，B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2 个人都译出密码”的概率为：P (A ·B )＝P (A )×P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A ·B )＝P (A )×P (B )＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)(1－14)＝12. (3)“恰有1个人译出密码”可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A ·B ＋A ·B )＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13(1－14)＋(1－13)×14＝512.(4)“至多1个人译出密码”的对立事件为“有2个人译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：1－P (A ·B )＝1－P (A )P (B )＝1－23×34＝12.。
高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习 新人教A版选修2-3
解 设顾客所获的奖励额为X，
依题意，得 P(X＝60)＝CC11·C24 13＝12，
即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为12.
解答
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
解 依题意得X的所有可能取值为20,60， P(X＝20)＝CC2423＝12，P(X＝60)＝12，
即X的分布列为
X
20
60
P
1 2
1 2
所以这位顾客所获奖励额的均值为 E(X)＝20×12＋60×12＝40.
解答
(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标 有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组 成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所 获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计， 并说明理由.
跟踪训练3 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为 1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产 该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零 售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表：
1 ③曲线在 x＝μ 处达到峰值 σ 2π ； ④曲线与x轴之间的面积为 1 ； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 μ 的变化而沿x轴平移， 如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ 越小 ，曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越集中；σ 越，大曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如 图乙所示.
解答
反思与感悟 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列； (4)由分布列和均值的定义求出E(X)； (5)由方差的定义，求D(X)，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝ np，D(X)＝np(1－p).
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2．1．1离散型随机变量知识目标：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题教学过程：一、复习引入：展示教科书章头提出的两个实际问题(有条件的学校可用计算机制作好课件辅助教学)，激发学生的求知欲某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?观察，概括出它们的共同特点二、讲解新课：思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 （1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量（1）求租车费η关于行车路程ξ的关系式；（2）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：（1）依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 （2）由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ其中的ξ是连续型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ） A ．3n =； B ．4n =； C ．10n =； D ．不能确定 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ） A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．112 4.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量 六、课后作业： 七、板书设计（略）八、教学反思：1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题，实现学生实质意义的参与.2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.2．1．2离散型随机变量的分布列教学目标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
教学重点：离散型随机变量的分布列的概念 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列 授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令 ⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件， 其中恰有k 件次品的结果数为3595k k C C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。