25.4(3)解直角三角形的应用
25.4(3)坡度问题-精选文档
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和 Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)． ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
α≈18°26′
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为 132.5米，斜坡AB的长约为72.7米
∴AE=1.5×0.6=0.9(米)． ∵等腰梯形ABCD， ∴FD=AE=0.9(米)． ∴AD=2×0.9+0.5=2.3(米)． 总土方数=截面积×渠长 =0.8×100=80(米3)． 答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为 100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
有一段防洪大堤, 其横断面为梯形 ABCD,AB∥CD, 斜坡AD的坡度i1=1∶1.2,斜坡 BC的坡度i2=1∶0.8, 大堤顶宽DC为6米, 为了 增强抗洪能力, 现将大堤加高, 加高部分的横 断面为梯形DCFE, EF∥DC, 点E、F分别 在AD、BC的延长线上（如图）.当新大 堤顶宽EF为3.8米时,大堤加高了几米?
3
答:需52360方土加上去。 (4): 解:52360 300=15708000（元） =1570.8(万元) 答:计划准备1570.8万元资金付给民工.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
．
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上 底长CB=5米，迎水面坡度为1： 3 背水面坡度为1：1，坝高为4米．求：⑴坡底 宽AD的长．⑵迎水坡CD的长．⑶坡角α、 β．
解直角三角形及应用
【知识点结构】：1．直角三角形中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，那么： （1）三边关系：222a b c +=；（2）两锐角关系：∠A ＋∠B=90°；（3）边、角关系：,a bsinA cosB cosA sinB c c ====t a n c o t ,c o t t a n a bA B A B b a====。
2．解直角三角形（1）定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
（2）解直角三角形的四种基本类型的常用解法如下表所示：cot a AB=90°－∠sin Acos A22a b +，a bb注意：在Rt △中，除直角外，再知道两个元素（其中至少有一个为边），则这个直角三角形其他元素都可求出。
3．解直角三角形的应用题中常见的有关概念：（1）仰角与俯角。
它们都是在同一铅垂面内视线和水平面的夹角，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。
（2）坡角与坡度。
【典型精解】例1 在△ABC 中，∠C=90°，a =15，∠A=35°，求b 。
例2 （1）在△ABC 中，∠C=90°，a =3，b =4，求其他各边各角。
（2）在△ABC 中，∠C=90°，a =9，c =B 、∠A 、b 。
例3 已知，如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，D 在AC 上，且∠BDC=60°，AD=20，求BC 。
两船的距离。
例5 如图，一艘货船以30km/h的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏西30°，20min 后货船行至B处，看见灯塔C在船的北偏西60°，若货船向北继续航行，当灯塔C在船的正西方向时，灯塔与货船相距多少千米？例6 如图，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB坡度i=CD坡度'1:1i=，求斜坡AB的长及坡角α及坝宽AD。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 25.4(3)解直角三角形的应用教案
三、巩固新知（1、2）例题1如图，大楼前残疾人通道是斜坡（把直线AC看作水平线），沿着通道走8 米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高1 米，那么你知道该通道的坡度与坡角吗？（角度精确到1′）初步体会坡度、坡角问题转化为数学问题．完成学习单的2：巩固练习：（1）如果斜坡的坡角是30°，那么此斜坡的坡度i =___________.（保留根号）（2）如果斜坡的坡度i =1꞉12，那么此斜坡的坡角 =_________.（角度精确到1′）（3）如果斜坡的坡度i =1꞉8，水平距离是40米，那么此斜坡的铅垂高度是__________米.（4）如果斜坡的坡度i =1꞉2.35，铅垂高度是2米，那么此斜坡的水平宽度是_________米.（5）某人在坡度i =1꞉15的斜坡上走了8米，那么此人的位置高度上升了___________米.进一步理解坡度、坡角的概念，并进行简单计算．D四、新知应用 （1、2）完成学习单的3： 练习1如图，大楼前残疾人通道是斜坡（把直线AC 看作水平线），沿着通道走 8 米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高 1 米，现要把此斜坡改成 i = 1꞉16的坡道，那么地面延伸部分AD 的长是多少米？（保留根号）根据生活中的实例，再次体会将坡度、坡角的实际问题转化为解直角三角形问题的方法．五、延伸拓展（1、2、3）完成学习单的4： 练习2某景区计划在观景平台两侧分别建造台阶和残疾人通道．如图，观景平台为宽是 3 米的水平面AD ，平台一侧共有十级台阶，每级台阶的高是0.15米、宽是0.4米．坡度 1 ꞉ 8 1 ꞉ 10 1 ꞉ 12 1 ꞉ 16 1 ꞉20每段允许最大铅垂高度（米）0.350.600.751.001.50（1）平台另一侧的残疾人通道AB 应该选择哪个坡度建造是符合要求的？请说明理由．（2）在(1)的坡度下，求斜坡底部点B 到台阶底部点C 的水平距离BC 的长．将实际问题抽象为数学问题，数形结合，感受数学与现实的联系，增强应用数学的意识与能力．六、总结（1、2、3）通过本节课的学习，有什么感受和收获？还有什么疑惑？提高数学概括表达能力，增强学习过程中的反思和总结意识．AB DC七、作业布置（1、2、3）1．练习册P43——习题25.4（3）．2．完成学习单上的练习3．。
25.4 解直角三角形的应用(2)
25.4 解直角三角形的应用（2）[方位角]第一组 25-151、某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔C 在北偏西30º处，下图25-15-1正确的是（ ）2、海面上有A 、B 两个灯塔，已知灯塔A 位于B 的北偏东30º方向，那么灯塔B 位于灯塔A 的（ ）A 、南偏西60ºB 、南偏西30ºC 、北偏东30ºD 、北偏东60º3、某人在离水平面a m 的山上测得地面B 点的俯角为α，此时此人与地面B 点之间的水平距离是（ ）m 。
A 、a cot α B 、a sin αC 、a tan αD 、acos α4、如图25-15-2，已知小明外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40º，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ） A 、南偏东50º B 、南偏东40º C 、北偏东50º D 、北偏东40º5、如图25-15-3，当太阳光线与地面成30º时，测得旗杆AB 在地面上的影子BC 长为15m ，那么旗杆AB 的高度是 m 。
（保留根号）图 25 - 15 - 1(D)A CA C CA CA 图 25 - 15 - 2小明家学校北北图 25 - 15 - 3BA太阳光C6、某人从A 点出发，向北偏东45º方向走到B 点，再从B 点出发，向南偏西15º方向走到C 点，那么∠ABC= 。
7、如图25-15-4，点B 在点A 北偏西30º方向，且AB=5km ，点C 在点B 北偏东60º方向，且BC=12km ，则A 到C 的距离是 。
8、如图25-15-5，一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A 处测得某灯塔位于它的北偏东30º的B 处，上午9时行至C 处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里。
解直角三角形及其应用
o
F
A
E
B
例2：计算6tan45 -2cos60
o
o
一般地，当ɑ，β为任意角时，sin(ɑ+β)与 sin(ɑ-β)的值可以用下面的公式求得： sin(ɑ+β)=sinɑ cosβ+cosɑ sinβ sin(ɑ-β)=sinɑ cosβ-cosɑ sinβ 例如： o o o o o o sin90 =sin(60 +30 )=sin60 cos30 +cos60 sin o 30 = 3 3 1 1 =1
A F H B C
A F H B E G
C
D
2 3
5 3
10 5
5 5
2 2 2 2
类似的可以求得sin15 的值是
o
例3：某市在创建文明城市活动中，对道路进 行美化。如图，道路两旁分别有两个高度相同 的路灯AB和CD，两个路灯之间的距离BD长为 24米，小明在点E(B,E,D,G在一条直线上）处 o 测得路灯AB顶部A点的仰角为45 ,然后沿BE方 向前进8米到达点G处，测得路灯CD顶端的C 点仰角为30。已知小明的两个观测点F,H距离 地面的高度EF,GH均为1.6米，求路灯AB的高 度。(精确到0.1米，参考数据 2≈1.41， 3≈ 1.73）
1、由直角三角形中已知的边和角，计算出未 知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。
2、锐角三角函数：我们把正弦、余弦、正切 统称为“锐角三角函数”。
3、正弦=对边/斜边 余弦=邻边/斜边 正切=对边/邻边 （特殊三角函数值的记忆）
例1：如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ， o ∠A=30 ,E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC 于点F,连接FB，则tan∠CFB=
解直角三角形及其应用--知识讲解
解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边 (如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA ，PB ，PC 的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2016•包头）如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ． （1）若∠A=60°，求BC 的长； （2）若sinA=，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【思路点拨】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE 和CE 的长，本题得以解决； （2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE 的长，本题得以解决． 【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ， ∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10， ∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．【总结升华】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵ AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD ＝52， ∴ BD ＝225BC CD -=， ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB ＝525552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD ＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DE DB AD=，∴ 2AD DE DB =．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝32355452⨯=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造直角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的结论，将∠AEB转化为Rt△BCD中的DCB∠．(3)在Rt△ABE中求AB．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532， 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
解直角三角形的应用
图 1图4图3三角函数的应用 【知识要点】1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。
如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
图2h【典型例题】1．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=5米，AB=7米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD为多少米？（结果保留根号）2．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．3．如图，斜坡AB长130米，坡度i=1：2.4，BC⊥AC，（1）BC= m，AC= m；（2）现在计划在斜坡AB的中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE，若斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）4．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°．（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）5．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．（1）填空：AD AC（填“＞”，“＜”，“=”）．（2）求旗杆AB的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）．6．如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3米，且与灯柱BC 成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想．问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果．（结果保留根号）7．今年夏天我市出现厄尔尼诺现象极端天气，多地引发滑坡、山洪等严重自然灾害．如图所示，ON为水平线，斜坡MN的坡比为1：，斜坡上一棵大树树干AB（树干AB垂直于底面ON）被大风刮倾斜15°后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面，经测量，大树被折断部分与坡面所成的角∠ADC=30°，AD=8米，∠BAC=15°．（1）求这棵大树原来的高度；（参考数据：≈1.732．结果精确到0.1米）（2）某高速路段由于滑坡，需要在一定时间内进行抢修，若甲队单独做正好按时完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲乙两队合作2小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，正好按期完成．求乙队单独完成全部工程需多少小时？8．如图，一楼房AB后有一假山，其坡面CE与水平地面的夹角为30°，在阳光的照射下，楼房AB落在地上的影长BC=25米，落在坡面上的影长CE=20米，已知小丽测得同一时刻1米高的竹竿在水平地面上的影长为0.8米，求楼房AB的高．（≈1.7）9．公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？10．如图，电线杆AB铅垂的竖立在坡角为30°的山坡上，太阳光线与水平线成60°时，电线杆AB的影子BC长为4米．（1）求电线杆AB的长；（2）同一时刻与AB高度相等的电线杆DE铅垂的竖立在平地上，电线杆DE的影子EF都在平地上，求影子EF的长．【经典练习】11．如图，小明家（点P）与限速60千米/小时的高速公路AB之间有一块巨型广告牌CD，已知小明家距离高速公路60米，在△ABP中，∠A=60°，∠B=45°，一辆车自西向东匀速行驶，小明从P处观察，看到它在A处消失9秒后又在B处出现，请问这辆车经过AB段是否超速？（参考数据：≈1.4，≈1.7）12．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为4米，落在广告牌上的影子CD的长为3米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．13．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）14．如图，一人行天桥的高是10米，坡面CA的坡角为30°，为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的坡角为18°．（1）求新坡长CD；（精确到0.01米）（2）求原坡脚向外延伸后DA的长；（精确到0.01米）（3）若需留DE为4米的人行道，问离原坡脚A处15米的花坛E是否需要拆除？（参考数据sin18°=0.309；cos18°=0.951；tan18°=0.325）15．如图，坡面CD的坡比为1：，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，求小树AB的高．16．如图，高为110米的电视塔AB建在小山丘上，点O是电视塔AB的中点，小卫在地平面点C处利用测角仪测得电视塔的最高点A的仰角为33°，测得点O的仰角为21°，求小卫所在C点到电视塔AB所在直线的距离（精确到1m）【参考数据：sin33°=0.54，cos33°=0.84，tan33°=0.65；sin21°=0.36，cos21°=0.93，tan21°=0.38】17．地震后，全国各地纷纷捐款捐物，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空时，为了能准确空投救援物资，在A处测得空投动点C的俯角α=60°，测得地面指挥台的俯角β=30°，如果B、C两地间的距离是2000米，则此时飞机距地面的高度是多少米？（结果保留根号）18．如图所示，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：（1）C到AB的最短距离是多少？（2）救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）参考答案与试题解析1．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=5米，AB=7米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD为多少米？（结果保留根号）【解答】解：∵AM=5米，AB=7米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，∴∠MAD=∠MDA=45°，BM=AM+AB=12米，∴AM=MD=5米，MC=BM•tan30°=12×=4米，∴CD=MC﹣MD=（）米，答：警示牌的高CD为（）米．2．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．【解答】解：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，∴AE=18米，在RT△ADE中，AD==6米∵背水坡坡比为1：2，∴BF=60米，在RT△BCF中，BC==30米，∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=6+10+30+88=（6+30+98）米，面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，面积是1470平方米．3．如图，斜坡AB长130米，坡度i=1：2.4，BC⊥AC，（1）BC= 50 m，AC= 120 m；（2）现在计划在斜坡AB的中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE，若斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【解答】解：（1）∵AB长130米，坡度i=1：2.4，∴设BC=xm，AC=2.4xm，则x2+（2.4x）2=1302，解得：x=50，则2.4x=120m，故BC=50m，AC=120m．故答案是：50，120；（2）延长DE到BC于点F，∵D为AB的中点，∴可得F是BC的中点，∴BF=25m，∴DF=25×2.4=60（m），∵∠BEF=30°，∴EF==25，∴DE=DF﹣EF=60﹣25≈16.8，答：平台DE的长约为16.8米．4．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°．（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【解答】解：（1）沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，由题意，在Rt△AFG中，GF=BC=15，∠AFG=29°，∴AG=GF•tan29°=15×0.55=8.25米，∴GB=FC=20﹣8.25=11.75米，∵11.75＞6，∴居民住房会受影响；（2）沿着光线作射线AE交直线BC于点E．由题意，在Rt△ABE中，AB=20，∠AEB=29°，∴BE=米，∴至少要相距37米．5．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．（1）填空：AD ＜AC（填“＞”，“＜”，“=”）．（2）求旗杆AB的高度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）．【解答】解：（1）由图形可得：AD＜AC；（2）设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7（m），答：旗杆AB的高度为8.7m．故答案为：＜．6．如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3米，且与灯柱BC 成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想．问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果．（结果保留根号）【解答】解：延长BC、ED交于点F．∵∠DCB=150°，∴∠DCF=30°．∵∠CDE=90°，∴∠F=60°．∵在Rt△DCF中，DC=3，∠DCF=30°，∴，∴米，∵AB=28米，E为AB的中点，∴BE=14米．∵在Rt△EBF中，BE=14，∠F=60°，∴，∴米，∴米．答：当灯柱高为米时能取得最理想的照明效果．7．今年夏天我市出现厄尔尼诺现象极端天气，多地引发滑坡、山洪等严重自然灾害．如图所示，ON为水平线，斜坡MN的坡比为1：，斜坡上一棵大树树干AB（树干AB垂直于底面ON）被大风刮倾斜15°后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面，经测量，大树被折断部分与坡面所成的角∠ADC=30°，AD=8米，∠BAC=15°．（1）求这棵大树原来的高度；（参考数据：≈1.732．结果精确到0.1米）（2）某高速路段由于滑坡，需要在一定时间内进行抢修，若甲队单独做正好按时完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲乙两队合作2小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，正好按期完成．求乙队单独完成全部工程需多少小时？【解答】解：（1）过点A作AH⊥CD，垂足为H，∵在Rt△ADH中，∠ADH=30°，AD=8米，∴AH=AD=4米，DH=AH=4米．∵斜坡MN的坡比为1：，∴tan∠MNO=1：=，∴∠MNO=30°，∴∠M=60°=∠BAM，∵∠BAC=15°，∴∠CAD=180°﹣∠BAM﹣∠BAC=180°﹣60°﹣15°=105°，∴∠C=180°﹣∠CAD﹣∠ADC=180°﹣105°﹣30°=45°．∵在Rt△ACH中，∠C=45°，∴CH=AH=4米，AC=AH=4米．∴AB=AC+CD=4+4+4≈16.6（米）．答：这棵大树原来的高度约16.6米；（2）设乙队单独完成需要x小时，则甲队单独完成需要（x﹣3）小时，根据题意得（+）×2+×（x﹣3﹣2）=1，解得x=9．经检验，x=9是原方程的解，也符合题意．答：乙队单独完成全部工程需9小时．8．如图，一楼房AB后有一假山，其坡面CE与水平地面的夹角为30°，在阳光的照射下，楼房AB落在地上的影长BC=25米，落在坡面上的影长CE=20米，已知小丽测得同一时刻1米高的竹竿在水平地面上的影长为0.8米，求楼房AB的高．（≈1.7）【解答】解：延长AE交BC的延长线于F，作EG⊥CF，∵CE=20米，∠ECG=30°，∴EG=10米，CG=10≈17（米），又∵，∴，∴GF=8米，∴BF=25+17+8=50（米），∵，∴，∴AB=62.5米．即楼房的高度约为62.5米．9．公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？【解答】解：（1）作AB⊥MN于B，则AB为A到道路的最短距离．在Rt△APB中，AB=APsin30°=80＜100，∴会影响；（2）过A作AB⊥MN，以A为圆心，100m为半径画弧，与MN交于C、D，如图所示，在Rt△ABD中，BD==60（米），∴受影响的时间为：=120s=2（分钟），∴会受影响2分钟．10．如图，电线杆AB铅垂的竖立在坡角为30°的山坡上，太阳光线与水平线成60°时，电线杆AB的影子BC长为4米．（1）求电线杆AB的长；（2）同一时刻与AB高度相等的电线杆DE铅垂的竖立在平地上，电线杆DE的影子EF都在平地上，求影子EF的长．【解答】解：（1）由已知得：AE⊥ED，∠ADE=60°，∴∠A=30°，又∠F=30°，∴∠EBF=60°，∴∠ABC=60°，∴∠ACB=90°，∴根据直角三角形的性质得：AB=2BC=2×4=8，答：电线杆AB的长为8米．（2）由已知，DE⊥EF，∠DFE=60°，DE=8，∴在直角三角形DEF中，EF=DE•cot60°=8×=，答：影子EF的长为米．11．如图，小明家（点P）与限速60千米/小时的高速公路AB之间有一块巨型广告牌CD，已知小明家距离高速公路60米，在△ABP中，∠A=60°，∠B=45°，一辆车自西向东匀速行驶，小明从P处观察，看到它在A处消失9秒后又在B处出现，请问这辆车经过AB段是否超速？（参考数据：≈1.4，≈1.7）【解答】解：作PE⊥AB于E，在Rt△ABE中，∵∠A=60°，AB=60米，∠AEP=90°，∴AE=PE÷tan30°=20米，在Rt△PEB中，∵∠PEB=90°，∠B=45°，∴BE=PE=60米，∴AB=AE+EB=20+60≈94米，∴这辆车的速度为米/秒=×3600千米/小时=37.6千米/小时，∵37.6＜60，∴这辆车经过AB段没有超速．12．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为4米，落在广告牌上的影子CD的长为3米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，∵∠DBF=30°，sin∠DBF==，cos∠DBF==，∵BD=4，∴DF=2，BF=2，∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，∴四边形BFCE为矩形，∴BF=CE=2（米）∵四边形BFCE为矩形，BF=CE=2．则CF=BE=CD﹣DF=1，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=2米，∴AB=2+1．即：铁塔AB的高为（2+1）米．13．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（≈1.4，≈1.7，≈2.4）【解答】解：（1）延长BA交EF于点G．在Rt△AGE中，∠E=24°，∴∠GAE=66°．又∵∠BAC=39°，∴∠CAE=180°﹣66°﹣39°=75°．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=，∴DH=2．sin∠ADC=，∴AH=2．在Rt△ACH中，∵∠C=180°﹣75°﹣60°=45°，CH=AH=2，∴AC=2，CH=AH=2．∴AB=AC+CD=2+2+2≈10（米）．答：这棵大树折断前高约10米．14．如图，一人行天桥的高是10米，坡面CA的坡角为30°，为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的坡角为18°．（1）求新坡长CD；（精确到0.01米）（2）求原坡脚向外延伸后DA的长；（精确到0.01米）（3）若需留DE为4米的人行道，问离原坡脚A处15米的花坛E是否需要拆除？（参考数据sin18°=0.309；cos18°=0.951；tan18°=0.325）【解答】解：（1）在Rt△ABC中sin18°=（1分）CD==≈32.36（米）（3分）∴新坡长约为32.36米．（4分）（2）在Rt△ABC中tan30°=（1分）AB===10≈17.32（米）（3分）在Rt△CDB中tan18°=（4分）DB==≈30.77（米）（5分）DA=DB﹣AB≈30.77﹣17.32=13.45（米）∴原坡脚向外延伸约13.45米．（6分）（3）在Rt△ABC中tan30°=（1分）AB==10≈17.32（米）（3分）在Rt△CDB中tan18°=（4分）DB==≈30.77（米）（6分）DA=DB﹣AB≈30.77﹣17.32=13.45（米）（7分）4+DA=17.45＞15（米）∴离原坡脚15米的花坛应拆除．（8分）15．如图，坡面CD的坡比为1：，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，求小树AB的高．【解答】解：如图，过D作水平线DF，与AB的延长线交于F，过C作CE⊥DF于E，得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为1：，得：DE=x，则根据勾股定理得：x2+（x）2=（）2，得x=±，﹣不合题意舍去，所以，CE=米，则ED=米，那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，在Rt△AFD中，由三角函数得：=tan∠ADF，∴AF=FD•tan60°=×=米，∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4 米，答：小树AB的高为4米．16．如图，高为110米的电视塔AB建在小山丘上，点O是电视塔AB的中点，小卫在地平面点C处利用测角仪测得电视塔的最高点A的仰角为33°，测得点O的仰角为21°，求小卫所在C点到电视塔AB所在直线的距离（精确到1m）【参考数据：sin33°=0.54，cos33°=0.84，tan33°=0.65；sin21°=0.36，cos21°=0.93，tan21°=0.38】【解答】解：延长AB交水平线于H．设CH=xm，BH=ym．在Rt△ACH中，tan∠ACH=，即0.65=①，在Rt△CHO中，tan∠OCH=，即0.38=②，由①②得到：x≈204（m），答：小卫所在C点到电视塔AB所在直线的距离204m17．地震后，全国各地纷纷捐款捐物，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空时，为了能准确空投救援物资，在A处测得空投动点C的俯角α=60°，测得地面指挥台的俯角β=30°，如果B、C两地间的距离是2000米，则此时飞机距地面的高度是多少米？（结果保留根号）【解答】解：作AH⊥BC交BC的延长线于H，由题意得，∠ACH=60°，∠ABC=30°，∴∠BAC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴AC=BC=2000米，∴AH=AC•sin∠ACH=1000米，答：此时飞机距地面的高度是1000米．18．如图所示，位于A处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B处，现救生船沿着航线CB前往B处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：（1）C到AB的最短距离是多少？（2）救生船到达B处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）【解答】解：（1）如右图所示，延长BC交AN于点D，则BD⊥AN，在Rt△ADC中，∠DAC=30°，AC=20海里，∴CD=10海里，∴AD=10海里，在Rt△BDA中，∠DAB=68°，sin∠B=，AD=10，∴AB=≈46.81，BD=AB•cos∠B=46.81×0.93=43.53，∴BC=BD﹣CD=43.53﹣10=33.53，即C到AB的最短距离是33.53海里；（2）救生船到达B处大约需要：33.53÷20≈1.7（小时），答：救生船到达B处大约需要1.7小时．。
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用例1：有一块三角形余料，三个角均为锐角，三边分别为a ，b ，c ，且满足a ＞b ＞c ，现要把它加工成正方形的半成品，使其四个顶点都在三角形边上，问两个顶点放在哪一边可使得正方形的面积最大？解：设ΔABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，各边上的高分别为h a 、h b 、h c ，在各边上的正方形的边长分别为x a 、x b 、x c ，ΔABC 的面积为S ，则由于ΔAPQ ∽ΔABC ， 可得a a a a h x h a x -=，整理得x a ＝aa a h a s h a ah +=+2 同理得xb ＝a h b s +2，xc ＝ah c s +2 用比差法比较x a ，x a 的大小，x a －x b ＝))(()]()[(222b a a a a a h b h a h h a b s h b s h a S ++-+-=+-+ ＝))(()1)(sin (2))(()]sin sin ()[(2b a b a h b h a c b a s h b h a c b c a a b s ++--=++-+- ∵ sin c －＜0，a ―b ＞0∴ x a －x b ＜0，同理，x a －x c ＜0，∴x a ＜x b ＜x c∴ 在最小边C 上的内接正方形的面积最大．例2．已知a ，b ，c ，为ΔABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，当m>0时，关于x 的方程b(x 2＋m)＋c(x ―m)―2m ax ＝0，有两个相等的实数根，且sinC ·cosA ―cosC ·sinA ＝0，试判断ΔABC 的形状．解：(a ＋c)x 2―2m a x ＋m(b ―c)= 0∵ 关于x 的方程有两个相等的实数根∴ Δ＝B 2－4AC ＝(―2m a)2－4m(b ＋c)(b －c)＝4m(a 2―b 2＋c 2)＝0∵ m ＞0∴ a 2―b 2＋c 2＝0∴ b 2＝a 2＋c 2∴ ΔABC 为直角三角形，且∠＝90°，∴∠A 与∠C 互余，∴ cosA ＝sinC ，cosC ＝sinA ．∵ sinC •cos A －cosC•sin A ＝0＝sin 2C=sin 2A∴∠C ＝∠A ，∴a ＝CABC 为等腰直角三角形例3．ΔABCD 中，∠A ＝60°，最大边与最小边的长分别是方程3x 2―27x ＋32＝0的两实根，求ΔABC 的内切圆的面积．解：∵三角形中最大角不小于60°，最小角不大于60°，而∠A ＝60°，∠A 必须是最大边与最小边的夹角，设大边为c ，小为b ，由韦达定理b ＋c ＝9，bc ＝332． ∵S ΔABC ＝21b ·h ＝21b ·csin A ＝21×332×33823= 过点C 作CD ⊥AB 交AB 于∵∠ACD ＝30°，∴AD ＝21AC ＝21b CD ＝2322=-AD AC b BD ＝AB －AD ＝C －21b, BC 2＝CD 2＋DB 2＝222123⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b C b ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c) 2－3bc ＝81－3×332＝49 ∴a ＝BC=7设ΔABC 的内切圆半径为r ，圆心为0,∴S ΔABC ＝S ΔO AB ＋S ΔO BC ＋S ΔO CA∴ r ＝339733822=+⨯=++∆c b a S ABC ∴三角形内切圆面积S ＝πr 2＝π31332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π 例4．在梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，CD ＝m ，AD ＝n ，AB ＝p ，以BC 为直径作圆分别交AB 和AD 于E 和H 、F ，（1）求tg ∠DCF ＋tg ∠DCH 的值．（2）求证：tg ∠DCF 和∠DCH 是方程mx 2－nx ＋p ＝0的两个根．解：（1）连接CE ，AE ＝DC ＝m ，连结CF ，EH ，则∠DFC ＝∠CEH ，而∠CEH ＝∠AHE ，∴∠DFC ＝∠AHE ，∴Rt ΔAEH ≌Rt ΔDCFDF ＝AH, AF ＝DH∵tg ∠DCF=m DF DC DF =, tg ∠DCH mDH DC DH = (1) ∵AH ·AF ＝AF ·AB∴tg ∠DCF ·tg ∠DCH ＝m p mmp m AB AE m AF AH m DH DF ==⋅=⋅=⋅2222 ∴mx 2－nx ＋p ＝0例5．已知矩形的长大于的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于21，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．解：∵矩形ABCD 的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，∴AD ＞4，AB ＜2，根据题意，可分为以下两种情况第一种情况如（一）图当tg ∠BAE ＝21时，设CE ＝x ，BE ＝m ， 则AB ＝DC ＝2m ，AD ＝m ＋x ，∵AB ＋AD ＝6，∴2m ＋m ＋x ＝6，m ＝36x - S 梯形＝21(AD ＋EC)·DC ＝21[(m ＋x)＋x] ·2m =m(m ＋2x)＝9535636-=+⋅-x x x 2＋38x ＋4 其中3＜x ＜6，第二种情况如图二当tg ∠DAE ＝21时，在矩形ABCD 中，AD//BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴tg ∠AEB ＝21，∴tg ∠AEB ＝21，设CE ＝x, AB ＝CD ＝n ，则BE ＝2n ，AD ＝2n ＋x ，∵矩形的周长为12，∴AB ＋AD ＝6 ∴n ＋2n ＋x ＝6，n ＝36x - S 梯形ABCD ＝21 (AD+EC)·DC ＝21[(2n+x)+x]·n ＝(n+x)·n ＝9236326-=-⋅+x x x 2＋32x ＋4 其中0＜x ＜6例6．已知A 是⊙o 上一点，以A 为圆心作圆交⊙o 于B ，C 两点，E 是弦BC 上一点，连结AE ，并延长交⊙o 于D ，连结BD, CD 设∠BDC ＝2α（1）求证：BD ·CD ＝AD ·ED（2）若ED ∶AD ＝43cos 2α，求作一个以AD BD 和ADCD 为根的一元二次方程， 并求出BD ∶CD 的值．证明：（1）连结AB ，AC ，则AB ＝AC∴AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝α又∴∠BAD ＝∠BCD ∴ΔABD ∽ΔCED∴BD ∶ED ＝AD ∶CD BD ·CD ＝AD ·ED（2）在等腰ΔABC 中，作AF ⊥BC 于F ，F 为BC 的中点，BC ＝BF ＋FG ＝2FC ， ∵∠ACB ＝∠ADB ＝α，∴FC ＝AC ·cos αCOS ，BC ＝2AC ·cos α在ΔABE 和ΔADB 中，∵∠ABE ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠BAE ，∴ΔABE ∽ΔADB ∴BD ∶AD=BE ∶AB同理ΔAEC ∽ΔACD ，∴CD ∶AD ＝ED ∶AC由（1）BD ·CD ＝AD ·ED ∴432==⋅=⋅AD ED ADFD AD AD CD AD BD cos 2α ∴x 2―2cos ·x ＋43cos 2α=0 解得x 1＝21cos α, 当BD ＜CD 时， 31cos 23cos 21:21===ααx x AD CD AD BD 当BD ＞CD 时，321==x x CD BD练习：1、已知方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是直角三角形的两个锐角的余弦值．（1）求证：m 2＝2n ＋1；（2）若P(m ，n)是一次函数y ＝―21x ―83图象上一点，求点P 的坐标．2、已知在ΔABC 中，若AC 和BC 边的长是关于x 的方程x 2―(AB ＋4)x ＋4AB ＋8＝0的两根，且25BC ·sinA ＝9AB ，DB 为半圆的直径，0为圆心，AC 切半圆于E ，BC 交半圆于F ，（1）求ΔABC 三边的长．（2）求AD 的长．3、已知ΔABC 内接于⊙o ，弦AE 交BC 于D（1）求证：DEAD BE AC CE AB =⋅ （2）如果AE 是直径，那么DE AD 与tgB 和tgC 具有什么关系？并简要说明理由。
市北资优九年级分册 第25章 25.4 解直角三角形的应用+滕小红
25.4 解直角三角形的应用解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用．在解决问题时，既要了解相关的名词，更根据实际情况灵活运用相关知识．1．仰角、俯角与方位角如图25.4.1在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【例1】如图25.4.2，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？(结果精确到0.1m)【解】由题意得α＝30°，β＝30°，AD ＝120m ，AD ⊥BC ． ∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD， ∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan30°＝(m)， CD ＝AD ·tan β＝120×tan60°＝．∴BC ＝BD ＋CD＝＋277.1(m)．即这栋楼高约为277.1m ．【例2】如图25.4.3，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，他沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问：此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？(精确到0.01海里，cos25°≈0.91，sin34°≈0.559)图25.4.2视线视线仰角 俯角图25.4.1铅垂线【解】过点P 作PC ⊥AB 于点C ，由题意得∠APC ＝90°－65°＝25°，∠BPC ＝90°－34°＝56°，AP ＝80海里．在Rt △APC 中，∵cos ∠APC ＝PCPA， ∴PC ＝P A ·cos25°＝80×cos25°≈80×0.91≈72.80(海里)． ∵sin B ＝PCPB， ∴PB ＝sin PC B ＝72.80sin34 ≈72.800.559≈130.23(海里)． 即海轮所在的B 处距离灯塔P 有130.23海里．【例3】如图25.4.4，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度(匀速)沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇． ⑴甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？⑵求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度．(结果保留根号)【解】⑴过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意得∠B ＝30°，∠BAC ＝105°，∠BCA ＝45°，AC ＝千米) ．在Rt △ADC 中，CD ＝AD ＝AC ·cos45°＝30(千米) ． 在Rt △ABD 中，AB ＝2AD ＝60(千米)，t ＝6015－2＝2(时) ． 即甲船从C 处追赶上乙船用了2小时．北图25.4.4图25.4.3⑵由⑴知BD ＝AB ·cos30°＝(千米) ．∴BC ＝30＋(千米)，从而v ＝15＋(千米/时) ． 即甲船加快速度后，追赶乙船时的速度为(15＋)(千米/时) ．练习25.4（1）1．如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方山顶D 的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°．求这座山的高度DN ．(结果可保留根号)2．某高层建筑物图中AB 所示．小明家住在建筑物附近的“祥和”大厦(图中CD 所示)，小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB 的高度．他先在自己家的阳台(图中的点Q 处)测得AB 的顶端(点A )的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB 方向走了84米，来到另一座高楼的底端(图中的点P 处)，测得点A 的仰角为45 °．又点C 、P 、B 在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB 的高度．(参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75)CADCA B NM北3．小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离港口A 的距离．(精确到0.1千米)(1.41≈2.45，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)答案练习25.4（1）1．根据题意，得∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∠CBD ＝45°，AB ＝2． 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝45°，∴BC ＝CD ＝x ． 在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝45°，∴AC．∴＝x ＋2．解得x1．所以，这座山的高度DN ＝5－1)＝(4千米)2．过点Q 作QE ⊥AB ，交AB 于点E ．根据题意，得：∠AQE ＝37°，∠APB ＝45°，CQ ＝60(米)，CP ＝84(米)． 设AB ＝x (米)，则AE ＝x －60，QE ＝CB ＝x ＋84． 在Rt △APB 中，PB ＝AB ＝x ，在Rt △AQE 中，AE ＝QE ·tan37°，即x －60＝34(x ＋84)， 解得x ＝492．即楼AB 的高度为492米．3．由题意，得AC ＝30×23＝20(千米) ． 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，∴AD ＝AC ·cos45°＝千米) ．CD ＝AC ·sin45°＝千米) ．37°APCQ EB45°北 B在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠B ＝90°―45°―15°＝30°， ∴BD ＝CD ·cos30°＝千米) ．AB ＝AD ＋BD ＝)≈10(1.41＋2.45)＝38.6(千米) ．即小岛B 离深水港口A 的距离是38.6千米．2．坡度在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25.4.5，坡面的铅直高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l． 坡度通常写成1：m 的形式，如i ＝1：6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl＝tan α．α就越大，坡面就越陡．【例4】如图25.4.6，水坝的横截面是梯形ABCD ，上底AD ＝4米，坝高AM ＝DN ＝3米，斜坡AB 的坡比i 1＝1CD 的坡比i 2＝1：1．⑴求坝底BC 的长；(结果保留根号)⑵为了增强水坝的防洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底EF ＝2米，求水坝增加的的高度．(精确到0.1 1.73)【解】⑴由题意得四边形AMND 是矩形，∴MN ＝AD ＝4(米)．∵i 1＝AM BM ，i 2＝DN CN ＝1，∴BM ＝米)，CN ＝DN ＝3(米)． ∴BC ＝BM ＋MN ＋CN ＝4＋3＝7＋米)．AB CDM N 图1图2AB CDM N FE图25.4.6图25.4.5。
25.4解直角三角形的应用：仰角俯角问题(重难点培优)(原卷版)【沪教版】
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.4解直角三角形的应用：仰角俯角问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•杨浦区期末）如果小丽在楼上点A 处看到楼下点B 处小明的俯角是35°，那么点B 处小明看点A 处小丽的仰角是（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°2．（2019秋•宝山区期末）直角梯形ABCD 如图放置，AB 、CD 为水平线，BC ⊥AB ，如果∠BCA ＝67°，从低处A 处看高处C 处，那么点C 在点A 的（ ）A ．俯角67°方向B ．俯角23°方向C ．仰角67°方向D ．仰角23°方向3．（2019秋•徐汇区期末）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为60°，那么此时小李离着落点A 的距离是（ ）A ．200米B ．400米C ．2003√3米D ．4003√3米4．（2020•谯城区模拟）如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（ ）A ．m cotα−cotβ千米B ．m cotβ−cotα千米C．mtanα−tanβ千米D．mtanβ−tanα千米5．（2021•沐川县模拟）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：√3，则大楼AB的高度为（）（精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）A．30.4B．36.4C．39.4D．45.46．（2021•天桥区二模）小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角45°，已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）A．13.6B．18.1C．17.3D．16.87．（2021•沙坪坝区校级模拟）小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米8．（2021•杭州模拟）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60°角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（）A．6.6B．11.6C．1.6+5√33D．1.6+5√39．（2021春•重庆月考）清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分别选择了两条不同的路线登顶，如图，小明从A点出发水平直行到达了B点，然后沿坡度为i＝0.75：1的斜坡BC 走500米到达C点处，再从C点出发水平直行120米到达D点，最后从D点沿着坡度为i＝5：12的斜坡走520米登顶到达E点，而小亮选择了从A点直接沿着斜坡AE登顶E点，已知小亮在山顶E点测得山脚A点的俯角为22°，则AB的长度约为（）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．230米B．240米C．250米D．260米10．（2021•渝中区校级一模）为了纪念巴蜀中学首任校长周助成和首任教务主任孙伯才而修建的助艾亭，见证了巴蜀走过的风雨历程；助艾亭下的石榴花，阶梯边的蓝楹树，也陪伴着一届届巴蜀学子的青春成长．小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对助艾亭的高度进行测量，他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG＝1.8米．从钢板斜坡底的E点向前走16.25米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4．C点到亭中心O点的距离为1米．根据测量结果，助艾亭的高度AO大约为（）米．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A；B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内）A．4.9米B．4.6米C．6.4米D．6.1米二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•嘉定区期末）如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么∠APB的度数为°．12．（2020秋•徐汇区期末）已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．13．（2020秋•普陀区期末）如图，小明在教学楼AB的楼顶A测得：对面实验大楼CD的顶端C的仰角为α，底部D的俯角为β．如果教学楼AB的高度为m米，那么两栋教学楼的高度差CH为米．14．（2021•上海模拟）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为米．15．（2020•金山区二模）如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于米（保留根号）．16．（2020•太和县模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．（2019•金山区二模）如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是米（保留根号）．18．（2019•徐汇区校级一模）为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•宝山区二模）图1是某地摩天轮的图片，图2是示意图．已知线段BC经过圆心D且垂直于地面，垂足为点C，当座舱在点A时，测得摩天轮顶端点B的仰角为15°，同时测得点C的俯角为76°，又知摩天轮的半径为10米，求摩天轮顶端B与地面的距离．（精确到1米）参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．20．（2020秋•金山区期末）如图，在距某输电铁塔GH（GH垂直地面）的底部点H左侧水平距离60米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度i＝1：√3，山坡坡底点B到坡顶A的距离AB等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔GH与山坡AB在同一平面内）．（1）求山坡的高度；（2）求铁塔的高度GH．（结果保留根号）21．（2021•北仑区一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.73）22．（2021•海陵区一模）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31°，再沿斜坡AB走了26m到达斜坡顶点B处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4．（参考数据：tan53°≈43，tan31°≈35）（1）求点B到地面的高度；（2）求建筑物CD的高度．23．（2021•滨海新区二模）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D，点E的俯角分别为64°和53°．已知椅面宽BE＝46cm，求椅脚高ED的长（结果取整数）．参考数据：tan53°≈1.33，sin53°≈0.80，tan64°≈2.05，sin64°≈0.90．24．（2021•莱芜区三模）如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从A点出发沿斜坡走6√5米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡度为1：2．（1）求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度；（2）依据他们测量的数据求出大树BC的高度．（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50）。
解直角三形应用举例
解直角三形应用举例解直角三角形应用举例在我们的日常生活中，数学知识无处不在，尤其是解直角三角形这一重要的数学工具，它在解决实际问题时发挥着巨大的作用。
接下来，让我们通过一些具体的例子，来看看解直角三角形是如何帮助我们解决实际难题的。
想象一下，你站在一座高楼前，想要知道这座楼的高度。
这时，解直角三角形就派上用场了。
假设你在距离大楼底部一定距离的地方，测量出你看楼顶的仰角，以及你与大楼底部的水平距离。
通过这些已知条件，就可以利用三角函数来计算出大楼的高度。
例如，你站在离大楼底部 50 米的地方，测量出仰角为 60°。
我们设大楼的高度为 h 米。
因为正切函数tanθ ＝对边÷邻边，所以 tan60°＝h÷50。
而 tan60°＝√3，所以√3 ＝ h÷50，通过计算可得 h ＝50√3 米。
再来看一个与航海有关的例子。
一艘轮船在大海中航行，想要知道它距离某个灯塔的距离。
假设船员在轮船上测量出灯塔的俯角，以及轮船与灯塔的水平夹角。
通过这些角度和已知的一些距离，就能够利用解直角三角形求出轮船与灯塔之间的距离。
比如说，轮船与灯塔的水平夹角为 30°，测量出的俯角为 45°，已知轮船到灯塔所在直线与海平面交点的距离为 100 米。
设轮船到灯塔的距离为 d 米。
因为正弦函数sinθ ＝对边÷斜边，所以 sin45°＝ 100÷d。
而 sin45°＝√2÷2，所以√2÷2 ＝ 100÷d，通过计算可得 d ＝100√2 米。
在测量山的高度时，解直角三角形也能大展身手。
假设我们在山脚下的一点，测量出山顶的仰角，然后沿着一定的方向前进一段距离，再次测量山顶的仰角。
通过这两个仰角和前进的距离，就可以计算出山的高度。
比如，我们在 A 点测量山顶的仰角为 30°，然后沿着水平方向前进200 米到达 B 点，此时测量山顶的仰角为 45°。
《解直角三角形的应用》数学教学PPT课件(3篇)
1. 在直角三角形中，任一锐角的三角函数只与角的大小有 关，而与直角三角形的大小无关. 2. 在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边， 就可以求出其他的边和角
3. 有些关于图形的实际问题，我们可以结和已知条件，恰 当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直 角三角形的问题.
温故知新
A
的测角仪测得东方明珠塔顶的仰
角为60°48 ′．
根据测量的结果，小亮画 了一张示意图，其中 AB 表示 东方明珠塔， DC 为测角仪 的支架，DC= 1.20 米，
CB= 200米，∠ADE=60°48'.
根据在前一学段学过的长 D
E
方形对边相等的有关知识，你 C
B
能求出AB 的长吗？
解：根据长方形对边相等，EB=DC，DE=CB． A
例2 如图，某直升飞机执行海
上搜救任务，在空中A 处观测
到海面上有一目标B ，俯角是
α= 18°23 ' ，这时飞机的高度 为1500 米，求飞机A与目标B的 B 水平距离（精确到1 米）.
α
A
C
解:设经过B点的水平线为BC，作AC⊥BC，垂足为C ． 在Rt△ABC中，AC=1500 米，∠ABC＝∠α= 18°23 ' .
因此，该船能继续安全地向东航行．
课堂练习
1.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC 与地面MN所形成的夹角∠ABN， ∠ACN分别为8°和15°， 大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC （不考虑其他因素，结果精确到0.1m）．
2. 一种坡屋顶的设计图如图所示. 已知屋顶的宽度 l为10m， 坡屋顶的高度h为3.5m. 求斜面AB的长度和坡角α（长度精 确到0.1m，角度精确到1°）.
25.4(1,2)解直角三角形的应用
旗杆长为 多少？ 多少？
举行升旗仪式时， 举行升旗仪式时，全体师 生肃立行注目礼， 生肃立行注目礼，少先队 员行队礼 。
在测量时， 在测量时，在视线与水平线所 成的角中， 成的角中，视线在水平线上方 的角叫做仰角 视线在水平线 仰角， 的角叫做仰角， 方的角叫做 角
ห้องสมุดไป่ตู้
铅 垂 线 仰角 角
视 线
水平线
CE 在Rt△DCE中,tan∠CDE= DE , 得
例题2 如图,甲乙两幢楼之间的距离CD等于40米 等于40 例题 如图,甲乙两幢楼之间的距离 等于40米, 现在要测乙楼的高BC(BC⊥CD),所选观察点A在甲楼 所选观察点A 现在要测乙楼的高 ⊥ 所选观察点 一窗口处, ∥ . 处测得乙楼顶端B的仰角为 一窗口处,AD∥BC.从A处测得乙楼顶端 的仰角为 处测得乙楼顶端 32° 底部C的俯角为25° 求乙楼的高度 精确到1 求乙楼的高度( 32°,底部C的俯角为 °.求乙楼的高度(精确到1米). 解 从观察点A处作AE∥CD,交BC于点E.
25.4(1) 解直角三角形的应用
1、解直角三角形的主要依据 、 (1)三边之间的关系： 2 + b 2 = c 2 . 三边之间的关系： 三边之间的关系 a (2)锐角之间的关系： A + ∠B = 90 . 锐角之间的关系： 锐角之间的关系 ∠ (3)边角之间的关系： 边角之间的关系： 边角之间的关系
如图，为了测量河宽,在河的一边沿岸选取 在河的一边沿岸选取B、 例4 如图，为了测量河宽 在河的一边沿岸选取 、C 两点，对岸岸边有一块石头A.在 两点，对岸岸边有一块石头 在△ABC中，测得∠C= 中 测得∠ 62°, ∠B= 49°,BC=33.5米,求河宽 精确到 米). 求河宽(精确到 ° ° 米 求河宽 精确到0.1米
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(2008年温州)如图: Rt△ABC中 (2008年温州)如图:在Rt△ABC中,CD 年温州 是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3.则 是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3.则 AB上的中线 CD=2,AC=3. sinB =
3 4
A
D
C
B
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浙江义乌） （2010浙江义乌）课外活动小组测量学校旗杆的 浙江义乌 高度。如图，当太阳光线与地面成30°角时， 高度。如图，当太阳光线与地面成 °角时， 测得旗杆AB在地面上的投影 长为24m，则旗 在地面上的投影BC长为 测得旗杆 在地面上的投影 长为 ， 杆AB的高度是 8 3 m.（结果保留根号） 的高度是 （结果保留根号）
B
C
A
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解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形 构筑直角三角形（ 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时， ）；当问题以一个实际问题的形式给出时 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意， 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 关系。 一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构 复习时要形成知识结构， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
A
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ห้องสมุดไป่ตู้
刍议初中数学作业内容设计与作业评价要求——以上教版“25.4解直角三角形的应用（3）”为例
刍议初中数学作业内容设计与作业评价要求——以上教版“25.4解直角三角形的应用（3）”为例
颜金凤
【期刊名称】《数学教学通讯》
【年(卷),期】2016(000)035
【摘要】本文遵循＂精心设计、合理布置、动态调整、优化评价＂的原则,力求提升作业设计的有效性与针对性,利用作业,让学生的思维可视化,增强作业的内容适切性,使作业真正成为教师为学生号脉把关的有效载体,成为学生自我检测、自我评价、自我提升的助推器.
【总页数】3页(P11-13)
【作者】颜金凤
【作者单位】华东师大一附中实验中学,200086
【正文语种】中文
【中图分类】G623.2
【相关文献】
1.刍议初中数学作业内容设计r与作业评价要求r——以上教版"25.4解直角三角
形的应用(3)"为例 [J], 颜金凤
2.新北师大版和人教版初中数学教材“三角形”的比较研究——以“解直角三角形”为例 [J], 冯德文
3.新北师大版和人教版初中数学教材“三角形”的比较研究——以“解直角三角形”
为例 [J], 冯德文
4.核心素养下中学“三区N级作业设计”实践研究——以人教版高一化学“物质的分类”作业设计为例 [J], 杨杰
5.函数概念教材内容比较——以上教版数学教材与IBDP数学课程为例 [J], 唐费颖
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第3节 解直角三角形及实际应用(一)
第3节解直角三角形及实际应用(一)※知识要点1．解直角三角形在直角三角形中，除外，由元素求出元素的过程叫做解直角三角形．具体说来，主要有以下两种情况：(1)已知两边，求另一边和两个锐角：；(2)已知一边和一锐角，求另一个角和其他两边：；注意：要牢记直角三角形相关的定理和结论．2．解直角三角形的应用一：视角(1)视角：与的夹角叫视角．视角分为和；（如图）注意：(1)解决视角问题的关键在于找准和，进而确定视角类型．※题型讲练【例1】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据条件解下列直角三角形：(1)a＝4，c＝8；(2)c＝3，∠B＝60°；(3)a＝23，b＝2．变式训练1：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知一直角边b和锐角∠A，试用含有b或∠A的表达式分别表示为a、c和∠B．【例2】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．变式训练2：1．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝105°，BC＝42，求AB的长．【例3】如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D 是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．:变式训练3：1．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD ＝4，AD＝BC，cos∠ADC= ，(1)求DC的长；(2)求sinB的值．2．如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB=30°，计算说明此公路是否会穿过森林公园？【例4】在某次反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C的下潜深度．(结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)变式训练4：1．如图所示，大楼AD高30 m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC．53※课后练习1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( ) A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 32．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为( )A ．h sin αB ．h tan αC ．h cos αD ．h ·sin α3．如图，A ，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC ＝a 米，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝40°，则AB 等于( )米．A ．asin 40°B ．acos 40°C ．atan 40°D ．a tan 40°4．如图，从热气球C 处测得地面上A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A ，D ，B 在同一直线上，则AB 两点的距离是( ) A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100(3＋1)米5．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于( )A ．acos A ＋bsinB B ．asin A ＋bsin BC ．a sin A ＋b sin BD ．a cos A ＋b sin B6．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝32，b ＝3 6，则∠A＝________，∠B ＝________，c ＝__________．7．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B ，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC ＝________米．8．数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是__________米． 9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A ＝ba .则下列关系式中：①tan A ·cot A ＝1 ②sin A ＝tan A ·cos A③cos A ＝cot A ·sin A ④tan 2A ＋cot 2A ＝1其中正确的结论有 ．10．已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，△ABC 的面积312 S ，求a 、b 、c 及∠B ． 11．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5 cm ，求AB 的长．12．如图所示，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D •处分别用测角仪器测得塔顶A 的仰角为30°，45°，已知CD ＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）13．校车的安全隐患主要是超速和超载．某中学数学小组设计了如下测速实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A ，B ，使∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°． (1)求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)； (2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．14．如图所示，一天，灰太狼在自家城堡顶部A 处测得懒羊羊所在地B 处的俯角为60°，然后下到城堡的C 处，测得B 处的俯角为30°.已知AC＝40米，若灰太狼以5m /s 的速度从城堡底部D 处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？(结果精确到个位)第3题图 第9题图 第8题图 第7题图 第4题图 第2题图 第1题图。
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小结： 1、坡度与坡角的概念； 2、用解直角三角形的知识解决斜坡中的简 单计算问题.
作业： (1)看课本77-79页； (2)课本练习25.4(3).
B
C l
' 答：残疾人通道的坡度约为1：7.938,坡角约为 7 11.
例题6 如图,一段铁路路基的横断面为等腰梯形 ABCD,路基顶宽BC为2.8米,路基高为1.2米，斜坡AB的 坡度为i=1:1.6 . (1)计算路基的下底宽(精确到0.1米). (2)求坡角 (精确到1°).
B
1:1.6
2.8
25.4(3) 解直角三角形的应用
1、用解直角三角形的知识解决有关测高、测距等简 单的实际问题. 2、用解直角三角形的知识解决斜坡中的简单计算问 题.
我们在生活中会见到 很多斜坡,有的斜坡比较 陡，有的比较平缓. 这只是我们的直观认识， 我们怎么来定量的表示坡 的陡缓程度呢？
在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需 要注明斜坡的倾斜程度。
C
1.2
A
E
F
D
解 分别过点B、C作BE⊥AD、 CF⊥AD,垂足分别为 点E、F. 根据题意,可知 BE=1.2(米),AE=DF,EF=BC=2.8(米).
在Rt△ABE中, 1:1.6 BE 1 , A AE 1.6 AE 1.6 BE 1.6 1.2 1.92(米).
(1) AD AE EF DF 2 AE EF 2 1.92 2.8 6.64 6.6(米). (2)设坡角为 , 则 1 i tan 0.625, 1.6 32 .
B E
2.8
C
1.2
F
D
答：路基的下底宽约为6.6米,坡角约为 32 .
h
l
解 过点A作水平线l,再作BC⊥l,垂足为点C. 根据题意,可知 AB=3.2米,BC=0.4米. 在Rt△ABC中, A
AC AB2 BC 2 3.ห้องสมุดไป่ตู้2 0.42 3.1749(米).
i BC 0.4 1: 7.938. AC 3.1749 BC 0.4 tan A 0.12599, AC 3.1749 ' A 7 11.
如右图,坡面的铅垂高度 h 和水平宽度l 的比叫做坡
h 面的坡度（或坡比）, 记作i, 即i . l 坡度通常写成1: m的形式, 如i 1:1.5.
坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 . 坡度i与坡角 之间的关系从右图可以得出 : h i tan . l
h
l
例题5 如图,一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用 AB表示，沿着通道走3.2米可进入楼厅，楼厅比楼外的 地面高0.4米，求残疾人通道的坡度与坡角 (角度精确 ' 到精确到 1 ，其他近似数取四位有效数字). 分析： 根据坡度与坡角的定义, 我们需要求得AC的大小.