WL07《第四章》“复习与思考”8.参考答案

《第四章》“复习与思考”8．参考答案

(1)根据企业实现给定成本条件产量最大化的均

衡条件：r

w

MP MP K L =

其中 MP L 31

31

K L 3

2dL dQ -==

MP K 32

3

2K L 3

1dK dQ -==

w=2，r=1

于是有 12K 31K L 3232323

1

31=--

整理得 1

1

L K =，即K=L

再以K=L 代入约束条件2L+1·K=3 000，有：

2L+L=3 000 解得L *=1 000，且有K *=1 000

以L *=K *=1 000代入生产函数，求得最大的产量 Q *

=(L *

)3

2(K *

)31=1 000

3

132+=1 000

本题的计算结果表示：在成本C=3 000时，厂商以L *=1 000，K *=1 000进行生产所达到的最大产量为 Q *

=1 000。

此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。

3

1K L max 3

2K

L,

s.t ．2L+1·K=3 000

L (L ，K ，λ)=3

132K +(3 000-2L-K)

将拉格朗日函数分别对L 、K 和λ求偏导，得极值的一阶条件：

L ∂∂L =31

31

K L 3

2--2λ=0

(1)

K ∂∂L =3

232K L 3

1

-

-λ=0

(2)

λ

∂∂L

=3 000-2L-K=0 (3)

由(1)式、(2)式可得：1

1

L K =，即K=L

以K=L 代入约束条件即(3)式，可得： 3 000-2L-L=0

解得L *

=1 000，且有K *

=1 000

再以L *=1 000、K *=1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量：Q *=(L *)3

2

(K *)3

1=1 000

3

132+=1 000

在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。

(2)根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的

均衡条件：r

w

MP MP K L =

其中 MP L 31

31

K L 3

2dL dQ -==

MP K 3

2

32K 3

1dK dQ -==

w=2，r=1

于是有 12K L 31K L 3232323

1

31=--

整理得 1

1

L K =

即 K=L

再以K=L 代入约束条件3

13

2K =800，解得： L *

=800 且有 K *=800

以L *=800、K *=800代入成本方程2L+1·K=C，求得最小成本：

C *=2×800+1×800=2 400

本题的计算结果表示：在Q=800时，厂商以L *=800，K *=800进行生产的最小成本为C *=2 400。

此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。

K 2L max K

L,+

s.t ．3

132K =800

L (L ，K ，μ)=2L+K+μ(800-3

13

2

K )

将拉格朗日函数分别对L 、K 和μ求偏导，得极值的一阶条件：

L ∂∂L =231

31

K L 3

2-μ-=0 (1)

K ∂∂L =13

232K L 3

1

-

μ-=0 (2)

μ

∂∂L

=800-3132K L =0

(3)

由(1)式、(2)式可得：11

L K =，即K=L

以K=L 代入约束条件即800-3

13

2K 式，有： 800-3

1

32=0，解得L=800，且有K=800 再以L *=800、K *=800代入目标函数即成本等式，得最小的成本：C *=2L *+1K *=2×800+1×800=2 400 在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。