高中数学北师大版必修4《探索函数y=Asin(ωx+φ)的图像及性质》word导学案

第9课时探索函数y=A sin(ωx+φ)的图像及性质1.熟练掌握五点作图法的实质.2.理解表达式y=A sin(ωx+φ),掌握A、φ、ωx+φ的含义.3.理解振幅变换和周期变换的规律,会对函数y=sin x进行振幅和周期的变换.4.会利用平移、伸缩变换方法,作函数y=A sin(ωx+φ)的图像.5.结合函数y=A sin(ωx+φ)的图像分析函数的性质.在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如y=A sin(ωx+φ)的函数,例如:在简谐振动中位移与时间表示的函数关系就是形如y=A sin(ωx+φ)的函数.正因为如此,我们要研究它的图像、性质及其应用,今天先来学习它的图像和性质.问题1:利用“五点法”画函数y=A sin x,y=sin(x+φ),y=sin ωx(ω>0)简图的五个关键点列,--(问题2:如何由函数y=sin x的图像变换得到y=A sin x,y= ,y=sin ωx(A,ω>0)的图像?y=sin x y= ,y=sin x y= ,y=sin x y= .问题3:在y=A sin(ωx+φ)中,A,φ,ω这三个系数分别有什么意义和作用?通常称A为,A决定了函数的;称φ为,ωx+φ叫,φ决定了时的函数值;ω决定了函数的,周期T= .问题4:如何由函数y=sin x的图像变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像?路径1:y=sinx y= y= y=A sin(ωx+φ).路径2:y=sinx y= y= y=A sin(ωx+φ).1.用“五点法”作y=2sin 2x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是().A.0,,π,,2πB.0,,,,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,2.要得到函数y=sin(2x-)的图像,需将函数y=sin 2x的图像().A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位3.函数y=|sin x|的一个单调增区间是.①(-,);②( ,);③(π,);④(,2π).4.若函数y=a-b sin x的最大值为,最小值为-,试求函数y=-4a sin bx的最值及周期.函数y=A sin(ωx+φ)的图像及变换用五点法画出函数y=2sin(2x+)(x∈R)的图像,并指出它是由y=sin x图像如何变换得到的.函数y=A sin(ωx+φ)的性质及应用右图为y=A sin(ωx+φ)的图像的一段.(2)若将y=A sin(ωx+φ)的图像向左平移个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.求函数y=A sin(ωx+φ)的解析式或参数A、ω、φ等如图,给出的是函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的一段图像,求ω和φ的值.函数y=的图像如图所示,则().A.k=,ω=,φ=B.k=,ω=,φ=C.k=,ω=2,φ=D.k=-2,ω=,φ=已知函数f (x)=sin(2ωx+)+(ω>0),x∈R在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(2)若将函数f(x)的图像向右平移个单位后,再将得到的图像上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)的最大值及单调递减区间.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈R)的图像的一部分如图所示.求函数f(x)的解析式.1.下列函数中,周期为π且在[0,]上是减函数的是().A.y=sin(x+)B.y=cos(x+)C.y=sin 2xD.y=cos 2x2.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像().A.关于点(,0)对称B.关于直线x=对称C.关于点(,0)对称D.关于直线x=对称3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ≤)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2,则ω= .4.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,0<ω≤2且0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图像过点M(0,2).又f(x)的图像关于点N(,0)对称且在区间[0,π]上是减函数,求f(x)的解析式.(2012年·陕西卷)函数f(x)=A sin(ωx-)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设α∈(0,),f()=2,求α的值.考题变式(我来改编):答案第9课时探索函数y=A sin(ωx+φ)的图像及性质知识体系梳理问题1:(π,0)(2π,0)π-φ-1问题2:sin(x+φ)A sin x sin(x+φ)sin ωx问题3:振幅最值初相相位x=0周期问题4:sin ωx sin(ωx+φ)sin(x+φ)sin(ωx+φ)基础学习交流1.B令2x=0,,π,,2π得x=0,,,,π.故选B.2.D∵y=sin(2x-)=sin[2(x-)],∴把函数y=sin 2x的图像向右平移个单位,就能得到函数y=sin(2x-)的图像,即选D.3.③作出函数y=|sin x|的图像.观察可知,函数y=|sin x|在(π,)上递增.4.解:设t=sin x∈[-1,1],①当b>0时,a-b≤a-bt≤a+b,∴∴∴所求函数为y=-2sin x.②当b<0时,同理可得∴∴所求函数为y=-2sin(-x)=2sin x.∴综合①②得,所求函数为y=±2sin x,其最小值为-2,最大值为2,周期为2π.重点难点探究探究一:【解析】(1)-x+(2)描点.(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像,如图所示:利用函数的周期性,我们要把上面所得到的图像向左、右扩展,得到y=2sin(2x+)(x∈R)的简图(图略).(法一)y=sin x y=sin 2xy=sin[2(x+)]=sin(2x+)y=2sin(2x+).(法二)y=sin x y=sin(x+)y=sin(2x+)y=2sin(2x+).【小结】五点法作y=A sin(ωx+φ)+b的图像,是将ωx+φ看成一个整体,ωx+φ分别取0,,π,,2π,求出的x才是要取的五个关键点的x值.探究二:【解析】(1)由图像知A=,以M(,0)为第一个零点,N(,0)为第二个零点.列方程组解之得∴所求解析式为y=sin(2x-).(2)f(x)=sin[2(x+)-]=sin(2x-),令2x-=+kπ(k∈Z),则x=π+(k∈Z),∴f(x)的对称轴方程为x=π+(k∈Z).【小结】(1)求函数解析式要找准图像中的“五点”,利用方程求解ω,φ;(2)讨论性质时将ωx+φ视为一个整体.探究三:【解析】∵T=4×[-(-)]=π,∴ω==2.又∵(-,0)在函数图像上,∴2sin(-×2+φ)=0,∴φ-=kπ,k∈Z.又∵|φ|<π,∴φ=或φ=-π.[问题]φ的两解都正确吗?[结论]不正确.点(-,0)只可能是“五点法”中的第三点,所以应是φ-=2kπ+π,k∈Z.于是,正确解答如下:∵T=4×[-(-)]=π,∴ω==2.又∵(-,0)在函数图像上,∴2sin(-×2+φ)=0,∴φ-=2kπ+π(k∈Z),即φ=2kπ+.又∵|φ|<π,∴φ=-π.【小结】根据图像确定参数A,ω,φ的关键是要利用好图像确定φ,还要注意规定的φ的取值范围.思维拓展应用应用一:A本题的函数是一个分段函数,其中一个是一次函数,其图像是一条直线,由图像可判断该直线的斜率k=.另一个函数是三角函数,三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定,由图像可知函数的周期为T=4×(-)=4π,故ω=.将点(,0)代入解析式y=2sin(x+φ),得×+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z).结合各选项可知,选项A正确.应用二:(1)f(x)=sin(2ωx+)+,令2ωx+=,将x=代入可得ω=1.(2)由(1)得f(x)=sin(2x+)+,经过题设的变化得到函数g(x)=sin(x-)+,当x=4kπ+π(k∈Z)时,函数g(x)取得最大值.令2kπ+≤x-≤2kπ+π,即[4kπ+,4kπ+π](k∈Z)为函数g(x)的单调递减区间.应用三:由图像可知A=2,T=8.∴ω===.(法一)由图像过点(1,2),得2sin(×1+φ)=2,∴sin(+φ)=1.∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin(x+).(法二)∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点,∴×1+φ=,∴φ=,∴f(x)=2sin(x+).基础智能检测1.D正确表达三角函数的周期性和单调性.2.A由已知,ω=2,所以f(x)=sin(2x+),因为f()=0,所以函数图像关于点(,0)中心对称,故选A.3.由已知两相邻最高点和最低点的距离为2,而f(x)max-f(x)min=2,由勾股定理可得==2,∴T=4,∴ω==.4.解:∵f(x)是R上的偶函数,∴f(x)关于y轴对称,即当x=0时,φ=kπ+(k∈Z),又0≤φ≤π,∴φ=.又∵f(x)过点M(0,2),∴A sin=A=2,∴f(x)=2sin(ωx+)=2cos ωx.又f(x)的图像关于点N(,0)对称,∴f()=2cos(π)=0,∴π=kπ+(k∈Z),ω=(k+)(k∈Z).又0<ω≤2,∴ω=或ω=2.最后根据f(x)在区间[0,π]上是减函数,可知只有ω=满足条件.所以f(x)=2cos x.全新视角拓展(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A=2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期T=π,∴ω=2,故函数f(x)的解析式为y=2sin(2x-)+1.(2)∵f()=2sin(α-)+1=2,即sin(α-)=,∵0<α<,∴-<α-<,∴α-=,故α=.思维导图构建振幅频率ωx+φ初相。