线性回归方程分析
《线性回归方程》课件
线性回归方程的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系，即它们 之间的关系可以用一条直线来描述。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中保持恒定，没 有系统的变化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它们之间 没有高度的相关性。
无自相关
误差项在不同观测值之间是独立的，没有相 关性。
02
线性回归方程的建立
详细描述
在销售预测中，线性回归方程可以用来分析历史销售数据，并找出影响销售的关键因素。通过建立线性回归模型 ，可以预测未来的销售趋势，为企业的生产和营销策略提供依据。
案例二：股票价格预测
总结词
线性回归方程在股票价格预测中具有一定的 应用价值，通过分析历史股票价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和影响股 票价格的因素，可以预测未来的股票价格走 势。
04
线性回归方程的应用
预测新数据
1 2
预测新数据
线性回归方程可以用来预测新数据，通过将自变 量代入方程，可以计算出对应的因变量的预测值 。
预测趋势
通过分析历史数据，线性回归方程可以预测未来 的趋势，帮助决策者制定相应的策略。
3
预测异常值
线性回归方程还可以用于检测异常值，通过观察 偏离预测值的点，可以发现可能的数据错误或异 常情况。
确定自变量和因变量
确定自变量
自变量是影响因变量的因素，通 常在研究问题中是可控制的变量 。在建立线性回归方程时，首先 需要确定自变量。
确定因变量
因变量是受自变量影响的变量， 通常是我们关心的结果或目标。 在建立线性回归方程时，需要明 确因变量的定义和测量方式。
收集数据
数据来源
确定数据来源，包括调查、实验、公开数据等，确保数据质量和可靠性。
线性回归方程-高中数学知识点讲解
线性回归方程
1．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程푦=1.5푥+45，푥1∈{1，7，5，13，19}，则푦=
解：푥=1+7+5+13+19
5
=
9，因为回归直线必过样本中心（푥，푦），
所以푦=1.5×9+45=13.5+45=58.5．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（푥，푦），求出푥，代入即可求푦．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
1/ 1。
线性回归分析的基本原理
线性回归分析的基本原理线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
它通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并利用这条直线进行预测和推断。
本文将介绍线性回归分析的基本原理，包括模型假设、参数估计、模型评估等内容。
一、模型假设线性回归分析的基本假设是：自变量和因变量之间存在线性关系。
具体来说，假设因变量Y可以通过自变量X的线性组合来表示，即Y =β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估参数，ε是误差项，表示模型无法解释的随机误差。
二、参数估计线性回归分析的目标是估计模型中的参数，即β0和β1。
常用的估计方法是最小二乘法，即通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计参数。
具体来说，最小二乘法通过求解以下方程组来得到参数的估计值：∑(Yi - β0 - β1Xi) = 0∑(Yi - β0 - β1Xi)Xi = 0其中∑表示对所有样本进行求和，Yi和Xi分别表示第i个观测值的因变量和自变量的取值。
三、模型评估在进行线性回归分析时，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合程度和预测能力。
常用的评估指标包括残差分析、决定系数和假设检验。
1. 残差分析残差是观测值与模型预测值之间的差异，残差分析可以用来检验模型的合理性和假设的成立程度。
通常，残差应该满足以下几个条件：残差的均值为0，残差的方差为常数，残差之间相互独立，残差服从正态分布。
通过绘制残差图和正态概率图，可以对残差是否满足这些条件进行检验。
2. 决定系数决定系数是衡量模型拟合程度的指标，表示因变量的变异程度中可以由自变量解释的比例。
决定系数的取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。
常用的决定系数是R平方，定义为回归平方和与总平方和的比值。
R平方越大，说明模型对观测值的解释能力越强。
3. 假设检验在线性回归分析中，常常需要对模型的参数进行假设检验，以确定参数的显著性。
常用的假设检验包括对β0和β1的检验。
假设检验的原假设是参数等于0，备择假设是参数不等于0。
回归方程公式详解
回归方程公式详解
回归方程（Regression Equation）是统计学中用来描述自变量与因变量之间关系的数学公式。
回归方程可以通过分析数据得到，并用于预测未来观测值或者理解变量之间的关系。
一般来说，回归方程的形式为：
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε
其中，
Y 是因变量（被预测的变量）；
X1, X2, ..., Xn 是自变量（影响因变量的变量）；
β0, β1, β2, ..., βn 是回归系数（或称为斜率），表示每个自变量对因变量的影响；
ε是误差项（残差），表示不能被自变量解释的随机误差。
回归方程的目标是通过估计回归系数，找到最佳的拟合线来描述因变量和自变量之间的关系。
在实际应用中，可以使用不同的回归方法，如线性回归、多项式回归、逻辑回归等，具体选择取决于数据的性质和研究问题的需求。
对于线性回归模型（最常见的一种回归模型），回归方程的形式简化为：Y = β0 + β1X1 + ε
其中，Y 和X1 是一维变量（向量），β0 和β1 是回归系数，ε 是误差项。
线性回归的目标是找到最佳的拟合直线，使得观测数据点与该直线的拟合误差最小。
需要注意的是，回归方程所估计的系数可以提供关于自变量与因变量之间的定量关系和影响程度的信息。
此外，回归方程的使用也需要考虑一些假设和前提条件，如线性性、独立性、常态性、同方差性等。
在实际应用中，可以使用统计软件（如Python中的scikit-learn、R语言中的lm函数等）进行回归分析，从而得到具体的回归方程和系数。
线性回归分析
线性回归分析线性回归分析是一种常见的统计分析方法，主要用于探索两个或多个变量之间的线性关系，并预测因变量的值。
在现代运营和管理中，线性回归分析被广泛应用于市场营销、财务分析、生产预测、风险评估等领域。
本文将介绍线性回归分析的基本原理、应用场景、建模流程及常见误区。
一、基本原理线性回归分析基于自变量和因变量之间存在一定的线性关系，即当自变量发生变化时，因变量也会随之发生变化。
例如，销售额与广告投入之间存在一定的线性关系，当广告投入增加时，销售额也会随之增加。
线性回归分析的目标是找到这种线性关系的最佳拟合线，并利用该线性方程来预测因变量的值。
二、应用场景线性回归分析可以应用于许多不同的领域，例如：1.市场营销。
通过分析销售额和广告投入之间的关系，企业可以确定最佳的广告投入量，从而提高销售额。
2.财务分析。
线性回归分析可以用于预测公司的收入、费用和利润等财务指标，并帮助企业制定有效的财务战略。
3.生产预测。
通过分析生产量和生产成本之间的关系，企业可以确定最佳的生产计划，从而提高生产效率。
4.风险评估。
通过分析不同变量之间的关系，企业可以评估各种风险并采取相应的措施，从而减少损失。
三、建模流程线性回归分析的建模流程包括以下步骤：1.确定自变量和因变量。
自变量是用来预测因变量的变量，而因变量是需要预测的变量。
2.收集数据。
收集与自变量和因变量相关的数据，并进行初步的数据处理和清理工作。
3.拟合最佳拟合线。
利用最小二乘法拟合最佳拟合线，并计算相关的统计指标（如拟合优度、标准误等）。
4.判断线性关系的签ificance。
利用t检验或F检验来判断线性关系的签ificance，并进行推断分析。
5.进行预测。
利用已知的自变量的值，通过线性方程来预测因变量的值。
四、常见误区在进行线性回归分析时，有一些常见的误区需要注意：1.线性假设误区。
线性回归分析建立在自变量和因变量之间存在线性关系的基础之上，如果这种关系不是线性的，则建立的回归模型将失效。
线性回归分析
一元线性回归分析1.理论回归分析是通过试验和观测来寻找变量之间关系的一种统计分析方法。
主要目的在于了解自变量与因变量之间的数量关系。
采用普通最小二乘法进行回归系数的探索，对于一元线性回归模型,设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（X n，Y n）是取至总体（X,Y）的一组样本。
对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。
要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。
综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。
由此得回归方程：y=β0+β1x+ε其中Y为因变量，X为解释变量（即自变量），ε为随机扰动项，β0，β1为标准化的偏斜率系数，也叫做回归系数。
ε需要满足以下4个条件：1.数据满足近似正态性：服从正态分布的随机变量。
2.无偏态性：∑（εi）=03.同方差齐性：所有的εi 的方差相同，同时也说明εi与自变量、因变量之间都是相互独立的。
4.独立性：εi 之间相互独立，且满足COV（εi，εj）=0（i≠j）。
最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。
用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。
最常用的是普通最小二乘法（OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。
线性回归分析根据已有样本的观测值，寻求β0，β1的合理估计值^β0，^β1，对样本中的每个x i，由一元线性回归方程可以确定一个关于y i的估计值^y i=^β0+^β1x i，称为Y关于x的线性回归方程或者经验回归公式。
^β0=y-x^β1，^β1=L xy/L xx，其中L xx=J12−x2，L xy=J1−xy，x=1J1 ，y=1J1 。
再通过回归方程的检验：首先计算SST=SSR+SSE=J1^y−y 2+J1−^y2。
其中SST为总体平方和，代表原始数据所反映的总偏差大小；SSR为回归平方和（可解释误差），由自变量引起的偏差，放映X的重要程度；SSE为剩余平方和（不可解释误差），由试验误差以及其他未加控制因子引起的偏差，放映了试验误差及其他随机因素对试验结果的影响。
线性回归方程的残差分析课件
残差的同方差性检验
目的
检验残差是否具有同方差性，即方差是否随预测值的增加而增加。
方法
可以通过绘制残差的散点图、计算残差的方差齐性检验等手段进行检验。
CHAPTER 03
残差图分析
残差图绘制
残差图是一种用于分析回归模型预测 准确性的工具，通过将实际观测值与 预测值进行比较，可以直观地展示模 型的预测误差。
案例三：某股票价格预测的线性回归分析
总结词
利用线性回归分析方法预测某股票未来价格走势，并通过残差分析评估模型的预测能力 和可靠性。
详细描述
收集某股票的历史价格数据和其他相关因素数据，如公司财务指标、市场走势等。利用 线性回归分析方法建立股票价格预测模型。通过残差分析评估模型的预测能力和可靠性 ，如计算残差均值、残差标准差、残差图等。根据分析结果提出投资策略和建议，如选
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
残差分析还可以用于评估模型的预测能力和泛化能力 。通过将模型应用于新数据集，观察新数据集的残差 分布和拟合效果，可以评估模型的预测精度和泛化能 力，为实际应用提供依据。
03
04
β0和β1
回归系数，表示X对Y的效应 大小。
ε
随机误差项，表示Y的变异中 不能由X解释的部分。
线性回归方程的建立
收集数据
收集因变量Y和自变量X的相关数据。
散点图
最小二乘法
使用最小二乘法估计β0和β1的值，使 实际观测值与预测值之间的残差平方 和最小化。
绘制Y与X的散点图，观察是否存在线 性关系。
线性回归方程的评估
线性回归方程分析
环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号： 组长签字： 签字日期：学员编号： 年 级： 高二 课时数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：闫建斌 课 题 线性回归方程授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00 教学目标 线性回归方程基础 重点、难点教 学 内 容1、本周错题讲解2、知识点梳理1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系 ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法1221ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．线形回归模型：⑴随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。
随机误差a bx y e i i i --=⑵残差eˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。
⑶回归效果判定-----相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率) 22121ˆ()1()niii niii y yR y y ==-=--∑∑(2R 的表达式中21)(∑=-ni i y y 确定)注：①2R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R 越接近于1，，则回归效果越好。
(整理)总结：线性回归分析的基本步骤
线性回归分析的基本步骤步骤一、建立模型知识点：1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。
Y X U β=+特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。
例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下：作出其散点图如下：②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。
总体回归方程的求法：以例1的数据为例，求出E (Y |X 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。
如将()()222777100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入()01|i i i E Y X X ββ=+可得：01001177100171372000.6ββββββ=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为：③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。
如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据： 那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型ˆY X e β=+就称为样本回归模型。
④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出ˆβ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程ˆˆY X β=称为样本回归方程。
如下图所示：⑤四者之间的关系：ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y和自变量X 之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之上，它描述的是因变量Y和自变量X之间的近似于真实的非确定型依赖关系。
总结线性回归分析的基本步骤
总结线性回归分析的基本步骤线性回归分析是一种统计方法，用于研究两个或更多变量之间的关系。
它的基本思想是通过构建一个线性函数来描述因变量与自变量之间的关系，并使用最小二乘法估计未知参数。
下面是线性回归分析的基本步骤：1.收集数据：首先，我们需要收集有关自变量和因变量的数据。
这些数据可以通过实验、观察或调查获得。
数据应该涵盖自变量和因变量的所有可能值，并且应该尽可能全面和准确。
2.绘制散点图：一旦我们收集到数据，我们可以使用散点图来可视化自变量和因变量之间的关系。
散点图展示了每个观测值的自变量与相应因变量的值之间的关系图形。
通过观察散点图，我们可以初步判断变量之间的关系类型，如直线、曲线或没有明显关系。
3.选择模型：在进行线性回归分析之前，我们需要选择适当的模型。
线性回归模型的形式为Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1,X2,...Xn是自变量，β0,β1,β2,...βn是未知参数，ε是误差项。
我们假设因变量与自变量之间的关系是线性的。
4.估计参数：在线性回归模型中，我们的目标是估计未知参数β0,β1,β2,...βn。
我们使用最小二乘法来估计这些参数，最小二乘法的目标是通过最小化残差平方和来选择最佳拟合直线，使预测值与观测值之间的差异最小化。
5.评估模型：一旦我们估计出参数，我们需要评估模型的拟合程度。
常见的评估指标包括残差分析、方差分析、回归系数的显著性检验、确定系数和调整确定系数。
这些指标可以帮助我们判断模型的有效性和可靠性。
6.解释结果：在得到合理的回归模型之后，我们可以使用回归方程来进行预测和解释结果。
通过回归系数可以了解自变量对因变量的影响程度和方向。
同时，我们可以进行假设检验，确定哪些自变量对因变量是显著的。
7.模型修正和改进：一旦我们获得了回归模型，我们可以进一步修正和改进模型。
这可以通过添加更多的自变量或删除不显著的自变量来完成。
同时，我们还可以使用交互项、多项式项或转换变量来探索更复杂的关系。
线性回归分析
1
在研究问题时，我们考虑一个变量受其他变量的影响时，把这变量称为因变 量，记为Y ，其他变量称为自变量，记为 X ，这时相关系数可记作：
行元素构成的行向量，上式对 k 1,2, , K 都成立，bk 正是被解释变量观测值Yi 的
线性组合，也就是多元线性回归参数的最小二乘估计是线性估计。 （2）无偏性：
多元线性回归的最小二乘估计也是无偏估计，即参数最小二乘估计的数学期 望都等于相应参数的真实值，最小二乘估计向量的数学期望等于参数真实值的向 量，参数真实值是参数估计量的概率分布中心。
i
bk zki )](1) 0, bk zki )](z1i ) 0,
2[Yi (b0 b1z1i bk zki )](zki ) 0
i
同时成立时，V 有最小值。对这个方程组整理，可得到如下的正规方程组：
4
b0 Y (b1z1 bK zK ), S11b1 S12b2 S1KbK S10,
(2)成立为前提)。 (4) 对应不同观测数据的误差项不相关，即
Cov(i , j ) E[(i E(i ))( j E( j ))] E(i j 0) 对任意的 i j 都成立(假设(1) 成立为前提)。
(5) 解释变量 Xi (i 1, 2, ,r)是确定性变量而非随机变量。当存在多个解释 变量 (r 1) 时假设不同解释变量之间不存在线性关系，包括严格的线性关系和强 的近似线性关系。
Yi 0 1X1i 2 X2i 3X3i k Zki i ，其中 i 是随机误差项。
线性回归分析
线性回归分析线性回归分析是一种统计学方法，用于建立一个自变量和一个或多个因变量之间的线性关系模型。
它是一种常用的预测和解释性方法，在实际问题的应用广泛。
首先，线性回归分析的基本原理是通过找到最佳拟合直线来描述自变量和因变量之间的关系。
这条直线可以用一元线性回归方程 y =β0 + β1*x 表示，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数。
通过确定最佳拟合直线，我们可以预测因变量的值，并了解自变量对因变量的影响程度。
其次，线性回归分析需要满足一些假设前提。
首先，自变量和因变量之间呈线性关系。
其次，误差项满足正态分布。
最后，自变量之间不具有多重共线性。
如果这些假设得到满足，线性回归模型的结果将更加可靠和准确。
线性回归分析的步骤通常包括数据收集、模型设定、模型估计和模型检验。
在数据收集阶段，我们要搜集并整理相关的自变量和因变量数据。
在模型设定阶段，我们根据问题的需求选择适当的自变量，并建立线性回归模型。
在模型估计阶段，我们使用最小二乘法来估计回归系数，并得到最佳拟合直线。
在模型检验阶段，我们通过检验回归方程的显著性和模型的拟合程度来评估模型的质量。
通过线性回归分析，我们可以进行预测和解释。
在预测方面，我们可以利用回归模型对新的自变量数据进行预测，从而得到相应的因变量值。
这对于市场预测、销售预测等具有重要意义。
在解释方面，线性回归分析可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度。
通过回归系数的大小和正负，我们可以判断自变量对因变量的正向或负向影响，并量化这种影响的大小。
线性回归分析在许多领域都有广泛的应用。
在经济学中，线性回归模型被用于解释经济变量之间的关系，如GDP与失业率的关系。
在医学领域，线性回归模型可以用于预测患者的疾病风险，如心脏病与吸烟的关系。
在工程领域，线性回归模型可以用于预测材料的强度与温度的关系。
总之，线性回归分析在实践中具有广泛的应用价值。
然而，线性回归分析也存在一些局限性。
首先，线性回归模型只能处理线性关系，对于非线性关系的建模效果不佳。
线性回归方程
一、线性回归方程1、线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。
线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。
按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。
在统计学中，线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。
这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。
只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归。
2、在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。
这些模型被叫做线性模型。
最常用的线性回归建模是给定X值的y的条件均值是X的仿射函数。
不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定X的条件下y的条件分布的分位数作为X的线性函数表示。
像所有形式的回归分析一样，线性回归也把焦点放在给定X值的y的条件概率分布，而不是X和y的联合概率分布（多元分析领域）。
3、理论模型给一个随机样本（Yi ,Xi1,…，Xip），i=1,…,n,，一个线性回归模型假设回归子Yi 和回归量Xi1,…,Xip之间的关系是除了X的影响以外，还有其他的变数存在。
我们加入一个误差项（也是一个随机变量）来捕获除了Xi1,…,Xip之外任何对Yi的影响。
所以一个多变量线性回归模型表示为以下的形式：，i=1,…,n,其他的模型可能被认定成非线性模型。
一个线性回归模型不需要是自变量的线性函数。
线性在这里表示Yi的条件均值在参数里是线性的。
例如：模型在和里是线性的，但在里是非线性的，它是的非线性函数。
4、数据和估计区分随机变量和这些变量的观测值是很重要的。
通常来说，观测值或数据（以小写字母表记）包括了n个值（y i,x i1,…,x ip）,i=1,…,n。
我们有p+1个参数，，需要决定，为了估计这些参数，使用矩阵表记是很有用的。
线性回归分析
⒉回归方法
“Method”下拉菜单提供了五种筛选策略供选择： 强行介入法Enter（默认，通常在一元线性回归中） 向前筛选Forward 向后筛选Backward 逐步筛选Stepwise 强行剔除Remove
④强行剔除Remove（一次性剔除）
指定某些变量不能进入方程。这种方法通常同别的方法联合使 用，而不能首先或单独使用，因为第一次使用或单独使用将意味着 没有哪个变量进入方程。
⑤这是一种不检验F和Tolerance，一次将全部自变量无条件地 纳入回归方程。
四、线性回归分析的具体操作步骤
⒈回归分析命令菜单
采用R2统计量。该统计量为调整的判定系数或 调整的决定系数。
2回归方程显著性检验
• X的变化应引起Y的显著变化。从而需要对回归方程做F检 验。F检验的原假设是：各个偏回归系数同时与0无差异。 它意味着，当偏回归系数同时为0是，无论各个xi 取值如 何变化都不会引起y 的线性变化，所以x无法解释y的线性 变化，y 与x的全体不存在线性关系。
三、自变量纳入回归方程的方式
SPSS 系统提供的自变量纳入方程的方式有五种，分别为： ①向前筛选Forward
每次选择符合进入条件的自变量进入方程，逐个选择，逐个进 入，直到全部合格自变量进入方程
②向后筛选Backward 先强行介入，再逐个剔除不合格变量，直到全合格。
③逐步筛选Stepwise
向前和向后的综合。每次选择符合进入条件的自变量进入方程， 进入后立即检验，不合格者剔除，直到全部合格自变量进入方程。
线性回归方程分析
线性回归方程分析线性回归是一种常见的统计分析方法，用于分析自变量与因变量之间的线性关系。
线性回归方程是根据样本数据拟合出来的直线方程，可以预测因变量的值。
在本文中，我们将详细介绍线性回归方程的分析方法。
首先，线性回归方程的一般形式为：y = ax + b，在这个方程中，x是自变量，y是因变量，a和b是回归系数。
线性回归试图找到最佳的a和b，使得通过这个方程预测出来的y值与实际观测值之间的差距最小。
1.收集数据：首先，需要收集一组自变量和因变量的观测数据。
2.描述数据：对于自变量和因变量的观测数据，可以用散点图来描述它们之间的关系。
散点图可以帮助我们观察到数据的分布和趋势。
3.拟合直线：根据收集的数据，我们可以使用最小二乘法来拟合一条直线。
最小二乘法的目标是最小化观测值与拟合值之间的差距的平方和。
通过最小二乘法，可以计算出最佳的回归系数a和b。
4.解读回归系数：得到最佳的回归系数后，我们需要解读它们的意义。
回归系数a表示因变量y随着自变量x的增加而增加或减少的程度。
回归系数b表示当自变量x为0时，因变量y的预测值。
5.评估模型：评估模型的好坏可以使用多个指标，如R方值、均方根误差等。
R方值是用来评估回归方程的解释力度，取值范围从0到1，越接近1表示模型拟合得越好。
均方根误差是用来评估预测值与观测值的偏差程度，值越小表示模型拟合得越好。
6.预测新值：拟合好的线性回归方程可以用于预测新的自变量对应的因变量的值。
通过将新的自变量代入回归方程中，可以计算出预测的因变量值。
线性回归方程的分析方法既适用于简单线性回归，也适用于多元线性回归。
在多元线性回归中，自变量可以有多个，并且回归方程的形式变为：y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b。
多元线性回归的分析过程与简单线性回归类似，只是需要考虑多个自变量的影响。
线性回归方程的分析方法在实际应用中得到了广泛的应用，特别是在经济学、金融学、社会科学等领域。
线性回归分析方法
线性回归分析方法线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的线性关系。
本文将介绍线性回归的基本原理、模型假设、参数估计方法以及结果解释等内容，帮助读者更好地理解和应用线性回归分析方法。
一、线性回归的基本原理线性回归假设自变量和因变量之间存在线性关系，通过拟合一个线性方程来描述这种关系。
假设我们有一个因变量Y和一个自变量X，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε其中，β0是截距，β1是自变量的回归系数，ε是误差项，表示模型无法完全解释的因素。
线性回归的目标是找到最佳的回归系数，使得预测值与真实值之间的误差最小化。
二、线性回归的模型假设在线性回归分析中，有几个关键的假设前提需要满足：1. 线性关系假设：自变量和因变量之间的关系是线性的。
2. 独立性假设：观测样本之间是相互独立的，误差项之间也是独立的。
3. 同方差性假设：误差项具有相同的方差，即误差项的方差在不同的自变量取值下是恒定的。
4. 正态性假设：误差项服从正态分布。
如果以上假设不满足，可能会导致线性回归分析的结果不可靠。
三、线性回归的参数估计方法线性回归的参数估计方法通常使用最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）来确定回归系数。
最小二乘法的思想是通过最小化观测值与估计值之间的残差平方和来拟合回归模型。
具体而言，我们可以通过以下步骤来估计回归系数：1. 计算自变量X和因变量Y的均值。
2. 计算自变量X和因变量Y与其均值的差。
3. 计算X与Y的差乘积的均值。
4. 计算X的差的平方的均值。
5. 计算回归系数β1和β0。
四、线性回归模型的结果解释线性回归模型的结果可以用来解释自变量对因变量的影响程度以及回归系数的显著性。
通常我们会关注以下几个指标：1. 回归系数：回归系数β1表示自变量X单位变化时，因变量Y的平均变化量。
回归系数β0表示当自变量X为零时，因变量Y的平均值。
2. R平方：R平方是衡量模型拟合优度的指标，它表示因变量Y的变异中有多少百分比可以由自变量X来解释。
第十二章 线性回归分析-1
163.724 104.376 268.1
1 8 9
163.724 12.549** P<0.01 13.047
第二十一讲
回归分析回归分析-2
五. 回归系数的显著性检验
对回归方程有三种等效的方法
♦ ♦
对回归方程进行方差分析 对回归方程进行方差分析 对两个变量的相关系数 相关系数进行总体零相 对两个变量的 相关系数 进行总体零相
n
因此检验统计量的计算公式可写为： 因此检验统计量的计算公式可写为：
ΣX − (ΣX ) / n bYX t= = bYX ⋅ SEb MS E
2 2
df = n − 2
例2：对10名学生初一对初二年级数学成绩 对 名学生初一对初二年级数学成绩 的回归系数进行显著性检验， 的回归系数进行显著性检验，检验过程为
回归方程，经计算， 回归方程，经计算，SST=268.1，SSR=163.724， ， ， 可算得： 可算得：
S
2 YX
SST − SS R 268.1 − 163.724 = = = 13.047 n−2 10 − 2
SYX = 13.047 = 3.612
♦
可见回归方程的估计误差并不大。 可见回归方程的估计误差并不大。
例：经计算10名学生初一和初二数学成 例： 绩的回归方程为
Y = 1.22 X − 14.32
∧
，现对回归
方程进行方差分析。 已经计算得到
♦ ♦
ΣＸ＝710，
ΣＹ＝723
ΣＸ2＝ 50520， ΣＹ2＝52541
♦
由原始数据直接计算平方和：
SST
(ΣY ) 2 = 52541 − (723)2 = ΣY 2 −
线性回归分析基础
误差项的性质
第一节 模型的假定
三、 经典假设条件 经典的一元线性回归模型 Yt=β1+β2Xt+ut (t=1, 2, …， n) (1—7) 通常要满足五个假设条件： 假设1 误差项ut的数学期望(均值)为零，即 E(ut)=0 (t=1, 2, …， n) (1—8) 假设2 误差项ut的方差与t无关，为一个常数，即 var(ut)=E((ut-E(ut))2) = E(ut2) =σu2 (t=1, 2, …， n) (1—9) 假设3 不同的误差项ut和us之间互相独立，即 cov(ut,us)=E((ut-E(ut))(us-E(us)))=0 (1—10)
=0
∑atXt=∑[1/n- bt]Xt
=β1∑at+β2∑atXt+∑atut
所以β*1 =β1+∑atut
=(1/n)∑Xt- ∑btXt
其中：∑at=∑[(1/n)- bt]=1- ∑bt=1
β*1 =∑at(β1+β2Xt+ut)
第二节 参数的最小二乘估计
指β*1和β*2 的期望值分别等于总体参数β1和β2。
01
参数的最小二乘估计
02
最小二乘估计的性质
03
参数估计的检验
04
预测
重点问题
1、几个概念 条件分布（Conditional distribution）：以X取定值为条件的Y的条件分布 条件概率（Conditional probability）：给定X的Y的概率，记为P(Y|X)。 例如，P(Y=55|X=80)=1/5；P（Y=150|X=260）=1/7。 条件期望（conditional Expectation）：给定X的Y的期望值，记为E(Y|X)。 例如，E(Y|X=80)=55×1/5＋60×1/5＋65×1/5＋70×1/5＋75×1/5＝65 总体回归曲线（Popular Regression Curve）（总体回归曲线的几何意义）：当解释变量给定值时因变量的条件期望值的轨迹。 2、总体回归函数( Popular Regression Function，PRF) E(Y|Xi)=f(Xi) 当PRF的函数形式为线性函数，则有， E(Y|Xi)=1+2Xi 其中1和2为未知而固定的参数，称为回归系数。1和2也分别称为截距和斜率系数。 上述方程也称为线性总体回归函数。 3、“线性”的含义 “线性”可作两种解释：对变量为线性，对参数为线性。一般“线性回归”一词总是指对参数为线性的一种回归（即参数只以它的1次方出现）。
报告中的线性回归分析与结果解读
报告中的线性回归分析与结果解读标题一：线性回归分析的基础概念线性回归分析是统计学中常用的一种分析方法，它用于研究两个或更多变量之间的关系。
本节将介绍线性回归的基础概念，包括回归方程、自变量和因变量的定义以及回归系数的含义。
在线性回归中，我们研究的目标变量被称为因变量，记作Y。
而用来预测或解释因变量的变量被称为自变量，记作X。
回归方程可以用来描述因变量和自变量之间的关系，其形式为Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε，其中β0、β1、β2...βk 是回归系数，表示自变量对因变量的影响程度，ε是误差项。
线性回归分析的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值与回归方程的预测值之间的误差最小化。
一种常用的求解方法是最小二乘法，通过最小化残差平方和来估计回归系数。
解释变量的选择对回归结果的解释能力有重要影响，通常需要依据领域知识、相关性分析等方法进行选择。
标题二：线性回归模型的拟合优度评估线性回归分析的结果需要进行拟合优度评估，以判断回归方程的拟合程度。
一种常用的方法是使用R方（决定系数），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R方的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对观测数据的解释能力越强。
除了R方之外，我们还可以使用调整后的R方（Adjusted R-square）来评估模型拟合优度。
调整后的R方考虑了自变量个数对R方的影响，避免了自变量个数增加而导致R方过高的问题。
此外，我们还可以通过回归分析的残差分布来评估模型的拟合优度。
残差是观测值与回归方程预测值之间的差异，如果残差满足独立性、正态性和方差齐性的假设，表示回归模型对数据的拟合比较好。
标题三：回归系数的显著性检验在线性回归分析中，显著性检验用于判断自变量对因变量的影响是否显著。
常用的显著性检验方法包括t检验和F检验。
对于单个自变量，t检验用于检验自变量的回归系数是否显著。
t统计量的计算公式为t = βj / SE(βj)，其中βj是回归系数，SE(βj)是标准误。
线性回归分析
表：小区超市的年销售额（百万元）与小区常住人口数（万人）统计表
24
10
01-03 回归分析的应用
分析步骤：(一)
11
01-03 回归分析的应用
分析步骤：（二）
反映模型的拟合度
12
01-03 回归分析的应用
分析步骤：（三） • 一元线性回归 y=kx+b
第三组数据的第1个数据（301.665）是回归直线的截距b，第2个数据（ 44.797）也叫回归系数，其实就是回归直线的斜率k。
某一类回归方程的总称回归分析的概念50102?分类1回归分析按照涉及的变量多少分为一一元回归分析多元回归分析2按照自变量和因变量之间的关系类型可分为线性回归分析非线性回归分析回归分析的概念60102?步骤回归分析的概念1
Contents 内 容
01 回归分析的起源 02 回归分析的概念 03 回归分析的应用
22
01-03 回归分析的应用
想一想 做一做：
已 知 2009 — 2015 年 淘 宝 “ 双 11 ” 当天销量统计如图所示，请利用散 点图进行回归分析，模拟淘宝“双 11 ” 的 销 量 变 化 规 律 ， 并 预 测 2016年的销量。
23
01-03 回归分析的应用
两种回归分析工具使用总结： • 利用回归分析工具进行线性回归的优缺点如下： ① 优点：可以进行一元线性回归，也可以进行多元线性回归。 ② 缺点：只能进行线性回归，不能直接进行非线性回归。 • 利用散点图和趋势线进行回归分析的优缺点如下： ① 优点：不仅能进行线性回归，还能进行非线性回归。 ② 缺点：只能进行一元回归，不能进行多元回归。
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n
(xi x)(yi y)
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
注:⑴ r ＞0 时,变量 x, y 正相关； r <0 时,变量 x, y 负相关;
--
--
⑵①| r | 越接近于 1，两个变量的线性相关性越强;
②| r | 接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程： y bx a (最小二乘法)
最小二乘法:求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法
n
xi yi nx y
b
i 1 n
i 1
xi2
2
nx
a y bx
注意：线性回归直线经过定点 (x, y)
２．相关系数(判定两个变量线性相关性）： r
故 eˆi yi yˆi yi bˆxi aˆ , eˆ 称为相应于点 (xi , yi ) 的残差。
n
( yi yˆi )2
⑶回归效果判定---－－相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率)
R2
1
i 1 n
( yi yi )2
i 1
n
2
（ R2 的表达式中 ( yi y) 确定)
3.线形回归模型： ⑴随机误差 e :我们把线性回归模型 y bx a e ，其中 a,b 为模型的未知参数, e 称为随机误差。
随机误差 ei yi bxi a ⑵残差 eˆ ：我们用回归方程 yˆ bˆx aˆ 中的 yˆ 估计 bx a ,随机误差 e y (bx a) ，所以 eˆ y yˆ 是 e 的估计量，
--
讲义编号:
学员编号:
学员姓名:
课
题
授课日期及时段
教学目标
重点、难点
环球雅思学科教师辅导讲义
组长签字：
签字日期:
年
级: 高二
课时数:3
辅导科目： 数学
学科教师：闫建斌
线性回归方程
20１4-2-11
１8:00－20：0０
线性回归方程基础
教学内 容
1、本周错题讲解
2、知识点梳理
1．线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系
时间 x
1
2
3
4
5
命中率 y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这 5 天的平均投篮命中率为__＿_____；用线性回归分析的方法，预测小李该月６号打 6 小时篮球的投篮 命中率为_＿______.
解析 小李这 5 天的平均投篮命中率
错误!＝错误!＝0.5，
可求得小李这 5 天的平均打篮球时间错误!=３.根据表中数据可求得错误!＝0.0１，错误!＝
n(ad bc)2
。
(a b)(c d )(a c)(b d )
(4)临界值 k0 表:
P(k 2 k0 )
0.50
k0
0.455
0.40 0.708
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
父亲身高 x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高 y/cm
175
175
176
177
177
则 y 对 x 的线性回归方程为 A.错误!=x-1 C.错误!＝88＋错误!x
B.错误!=ｘ+1 D.错误!＝１７6
( ）．
解析 因为错误!=错误!=17６，
－y =错误!＝176，
又 y 对 x 的线性回归方程表示的直线恒过点(错误!,错误!),
典型例题
１.(2０１1·山东)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
广告费用 x/万元
4
2
3
5
销售额 y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程错误!＝错误!x＋错误!中的错误!为 9.4,据此模型预报广告费用为６万元时销售额为
( )．
A.63.6 万元
B.６5.5 万元
C.67.7 万元
D.７2.0 万元
解析 ∵错误!＝错误!＝错误!,错误!＝错误!=42，
又＼o(y,＼s＼up6（^))=错误!x+错误!必过(错误!，错误!)，∴42＝错误!×9.４＋错误!,∴错误!＝9．１.
∴线性回归方程为错误!=9.４x＋9．1.
∴当 x＝6 时，错误!＝9.4×6+9.1=6５．5(万元）． 答案 B 2．（2０11·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取５对父子的身高数据如下:
所以将(176,1７6）代入 A、Ｂ、Ｃ、D 中检验知选Ｃ． 答案 C
--
--
3.（20１1·陕西）设（x1，y1），(ｘ2,y2),…，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下 ( ). A.ｘ和ｙ的相关系数为直线 l 的斜率 B．x 和 y 的相关系数在０到 1 之间 C.当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D．直线 l 过点(错误!，错误!)
如果 k k0 ，就推断“ X ,Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不超过 ；否则,在样本数据中没有发现足够证据支 持结论“ X ,Y 有关系”。 (５)反证法与独立性检验原理的比较：
反证法原理 在假设 H 0 下，如果推出矛盾，就证明了 H 0 不成立。
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独立性检 验原理
在假设 H 0 下，如果出现一个与 H 0 相矛盾的小概率事件，就推断 H 0 不成立，且该推断 犯错误的概率不超过这个小概率。
i 1
注：① R 2 得知越大,说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好;
② R 2 越接近于 1,,则回归效果越好。
4.独立性检验（分类变量关系）: (1)分类变量:这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。 （2)列联表:列出两个分类变量的频数表，称为列联表。
（３）对于 2 2 列联表: K 2 的观测值 k
解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的
个样本点,直线ｌ是 结论中正确的是
绝对值越接近１，两个变量的线性相关程度越强,所以 A、B 错误.C 中ｎ
为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以 C 错误．根据回
归直线方程一定经过样本中心点可知 D 正确，所以选 D. 答案 D ４．(2０1１·广东）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位：小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系：