线性回归方程分析

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线性回归方程-高中数学知识点讲解

线性回归方程

1．线性回归方程

【概念】

线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．

【实例解析】

例：对于线性回归方程푦=1.5푥+45，푥1∈{1，7，5，13，19}，则푦=

解：푥=1+7+5+13+19

9，因为回归直线必过样本中心（푥，푦），

所以푦=1.5×9+45=13.5+45=58.5．

故答案为：58.5．

方法就是根据线性回归直线必过样本中心（푥，푦），求出푥，代入即可求푦．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．

【考点点评】

这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．

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总结：线性回归分析的基本步骤

总结：线性回归分析的基本

步骤

-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

线性回归分析的基本步骤

步骤一、建立模型

知识点：

1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。Y X U β=+

特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下：

作出其散点图如下：

②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。

总体回归方程的求法：以例1的数据为例

由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。

如将()()222777100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入

()01|i i i E Y X X ββ=+可得：0100117710017

1372000.6ββββββ=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩

以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为：

③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据：那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型

[高中数学线性回归方程]线性回归方程公式详解

[高中数学线性回归方程]线性回归方程公式详

解

线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。接下来为你整理了高中数学线性回归方程相关资料，欢迎阅读。

线性回归方程的分析方法

分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

线性回归方程的例题求解

用最小二乘法估计参数b,设服从正态分布,分别求对a、b 的偏导数并令它们等于零，得方程组解得。

其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差。

先求x,y的平均值。

利用公式求解：b=把x,y的平均数带入a=y-bx。

求出a=是总的公式y=bx+a线性回归方程y=bx+a过定点。

(x为xi的平均数，y为yi的平均数)

线性回归方程两个重要公式

线性回归方程求法

关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果
第18页/共50页
什么是回归分析：
“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。
根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。
r∈[-1,-0.75]--负相关很强;
r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
第16页/共50页
第一章统计案例
1.1回归分析的基本思想及其初步应用
（第二课时）
第17页/共50页
2、现实生活中存在着大量的相关关系。
如：人的身高与年龄；产品的成本与生产数量；商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等
探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律？
第6页/共50页
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
X
3
4
y
2.5
3
5
6
4
4.5

线性回归方程的分析及其应用

线性回归主要是通过研究自变量与因变量的关系建立线性回归方程并且对其应用的过程。线性回归分析在此过程中显得尤为重要，因为线性回归分析直接影响着线性回归方程，从而影响着预测值与实际值的差距大小。在线性回归方程建立后，就要讨论所建立的方程的预测值与实际值是否大致相等。如果大致相等，这可进行下一步；反之则需重新讨论。确定好线性回归方程后，下一步就是对其进行应用。研究線性回归方程就是要用其解决现实生活中的问题。因此线性回归方程的研究与应用是一个完整的体系。

标签：线性回归，最小二乘法，线性回归方程，线性回归方程的应用

1.引言

线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。

在统计学中，线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归。（这反过来又应当由多个相关的因变量预测的多元线性回归区别，而不是一个单一的标量变量。）

一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。模型的各个参数可以根据实测数据来求解。然后评价回归模型能否很好的拟合实际数据：如果不能很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。

线性回归分析

一元线性回归分析

1.理论

回归分析是通过试验和观测来寻找变量之间关系的一种统计分析方法。主要目的在于了解自变量与因变量之间的数量关系。

采用普通最小二乘法进行回归系数的探索，对于一元线性回归模型,设（X1，Y1），（X2，Y2），…，（X n，Y n）是取至总体（X,Y）的一组样本。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。由此得回归方程：

y=β0+β1x+ε

其中Y为因变量，X为解释变量（即自变量），ε为随机扰动项，β0，β1为标准化的偏斜率系数，也叫做回归系数。

ε需要满足以下4个条件：

1.数据满足近似正态性：服从正态分布的随机变量。

2.无偏态性：∑（εi）=0

3.同方差齐性：所有的ε

i 的方差相同，同时也说明ε

与自变量、因变量

之间都是相互独立的。

4.独立性：ε

i 之间相互独立，且满足COV（ε

，ε

）=0（i≠j）。

最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。

最常用的是普通最小二乘法（OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。

线性回归分析根据已有样本的观测值，寻求β0，β1的合理估计值^

β0，^

β1，对样本中的每个x i，由一元线性回归方程可以确定一个关于y i的估计值

y i=^β0+^β1x i，称为Y关于x的线性回归方程或者经验回归公式。

β0=y-x

β1，

β1=L xy/L xx，其中L xx=J12−

高中数学知识点：线性回归方程

线性回归方程是高中数学中的一个重要知识点。其中，回归直线是指通过散点图中心的一条直线，表示两个变量之间的线性相关关系。回归直线方程可以通过最小二乘法求得。具体地，可以设与n个观测点（xi，yi）最接近的直线方程为

y=bx+a，其中a、b是待定系数。然后，通过计算n个偏差的平方和来求出使Q为最小值时的a、b的值。最终得到的直线方程即为回归直线方程。需要注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义。因此，在进行线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性。另外，求回归直线方程时，需要仔细谨慎地进行计算，避免因计算产生失误。

回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用。这种方程可以将非确定性问题转化为确定性问题，从而使“无序”变得“有序”，并对情况进行估测和补充。因此，研究回归直线方程后，学生应更加重视其在解决相关实际问题中的应用。

注：原文已经没有格式错误和明显有问题的段落。

线性回归方程分析

环球雅思学科教师辅导讲义

讲义编号：组长签字：签字日期：

学员编号：年级：高二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：闫建斌课题线性回归方程

授课日期及时段 2014-2-11 18:00-20:00 教学目标线性回归方程基础重点、难点

教学内容

1、本周错题讲解

2、知识点梳理

1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系 ②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：a bx y +=∧

（最小二乘法）

最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法

221

i i i n

i i x y nx y b x nx a y bx

==⎧

-⎪

⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=

i n

i i i

y y x x

r 1

)()()

)((

注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；

⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；

②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3．线形回归模型：

⑴随机误差e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。随机误差a bx y e i i i --=

⑵残差e

ˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=，所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e i

线性回归方程的知识要点

1．回归直线

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线。

2．回归直线方程ˆˆˆy

bx a =+ 对于一组具有线性相关关系的数据11(,)x y ，22(,)x y ，……，(,)n n x y ，其回

归直线ˆˆˆy

bx a =+的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为： 1

()()

ˆ()

i n

i x x y y b

x x ==--=-∑∑，ˆˆa

y bx =- 其中表示数据x i （i=1，2，…，n ）的均值，表示数据y i （i=1，2，…，n ）的均值，表示数据x i y i （i=1，2，…，n ）的均值．

、的意义是：以为基数，x 每增加一个单位，y 相应地平均变化个单位．要点诠释：

①回归系数1

()()

ˆ()

i n

i x x y y b

x x ==--=-∑∑，也可以表示为1

ˆn

i i

i n

i x y nx y

==-=-∑∑，这样更便

于实际计算。

②12111

()n i n i x x x x x n n

===++

+∑；12111

()n i n i y y y y y n n

===++

+∑。

③(,)x y 称为样本中心点，回归直线ˆˆˆy

a bx =+必经过样本中心点(,)x y 。 ④回归直线方程ˆˆˆy

a bx =+中的表示x 增加1个单位时的变化量，而表示不随x 的变化而变化的量。

3．求回归直线方程的一般步骤： ①作出散点图

由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系，若存在线性

二.2.1 线性回归分析

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Y = β 0 + β 1 Βιβλιοθήκη Baidu 1 + β 2 X 2 + L + β p −1 X p −1
称之为经验回归方程或简称回归方程. 称之为经验回归方程或简称回归方程
2.误差方差 2.误差方差σ2的估计
• 方差σ2的无偏估计为
SSE 1 ˆ σ = = Y T ( I − H )Y n− p n− p
S ( β ) = ∑ ε i2 = ε T ε = (Y − Xβ )T (Y − Xβ )
n
达到最小. 达到最小 •
i =1
回归参数β 的最小二乘估计为
ˆ ˆ ˆ ˆ β = ( β 0 , β 1 , L, β p −1 )T = ( X T X ) −1 X T Y
将回归参数的估计代入回归模型并略去误差项，差项，得到
ε ~ N n (0, σ 2 I )
Y：观测向量；X：设计矩阵，假定：观测向量；：设计矩阵，假定rank(X) = p
引入矩阵记号
Y = y1 y2 M yn n ×1
1 x11 1 x21 X = M M 1 x n1 x12 x22 M xn2 x1, p −1 L x2, p −1 O M L xn, p −1 n× p n× L
非线性回归

线性回归分析

线性回归分析是一种统计学方法，用于建立一个自变量和一个或

多个因变量之间的线性关系模型。它是一种常用的预测和解释性方法，在实际问题的应用广泛。

首先，线性回归分析的基本原理是通过找到最佳拟合直线来描述

自变量和因变量之间的关系。这条直线可以用一元线性回归方程 y =

β0 + β1*x 表示，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归

系数。通过确定最佳拟合直线，我们可以预测因变量的值，并了解自

变量对因变量的影响程度。

其次，线性回归分析需要满足一些假设前提。首先，自变量和因

变量之间呈线性关系。其次，误差项满足正态分布。最后，自变量之

间不具有多重共线性。如果这些假设得到满足，线性回归模型的结果

将更加可靠和准确。

线性回归分析的步骤通常包括数据收集、模型设定、模型估计和

模型检验。在数据收集阶段，我们要搜集并整理相关的自变量和因变

量数据。在模型设定阶段，我们根据问题的需求选择适当的自变量，

并建立线性回归模型。在模型估计阶段，我们使用最小二乘法来估计

回归系数，并得到最佳拟合直线。在模型检验阶段，我们通过检验回

归方程的显著性和模型的拟合程度来评估模型的质量。

通过线性回归分析，我们可以进行预测和解释。在预测方面，我

们可以利用回归模型对新的自变量数据进行预测，从而得到相应的因

变量值。这对于市场预测、销售预测等具有重要意义。在解释方面，

线性回归分析可以帮助我们了解自变量对因变量的影响程度。通过回

归系数的大小和正负，我们可以判断自变量对因变量的正向或负向影响，并量化这种影响的大小。

线性回归分析在许多领域都有广泛的应用。在经济学中，线性回

线性回归分析

线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习的分析方法，用于建立

和预测两个变量之间的线性关系。它可以帮助我们理解变量之间的相互作

用和影响，并进行未来的预测。本文将介绍线性回归的基本原理、模型建

立过程和一些应用实例。

一、线性回归的基本原理

线性回归的目标是通过一条直线（或超平面）来拟合数据点，使得预

测值和实际观测值之间的误差最小。这条直线的方程可以表示为：

y=β0+β1*x+ε，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。

线性回归的核心假设是，自变量x和因变量y之间存在线性关系，并

且误差项ε服从正态分布。在此基础上，线性回归通过最小二乘法来估

计回归系数β0和β1的值，使得预测值和实际值的误差平方和最小。

二、线性回归的模型建立过程

1.数据准备：收集包含自变量和因变量的样本数据，确保数据的质量

和准确性。

2.模型选择：根据自变量和因变量之间的性质和关系，选择合适的线

性回归模型。

3.模型拟合：使用最小二乘法来估计回归系数β0和β1的值，计算

出拟合直线的方程。

4.模型评估：通过误差分析、残差分析等方法来评估模型的拟合效果

和预测能力。

5.模型应用：利用已建立的模型进行预测和推断，帮助决策和预测未来的结果。

三、线性回归的应用实例

线性回归可以应用于各个领域和实际问题中，下面以几个典型的实例来说明其应用：

1.经济学：通过分析自变量（如GDP、通货膨胀率）对因变量（如消费水平、投资额）的影响，可以建立GDP与消费的线性回归模型，预测未来消费水平。

2.市场营销：通过分析广告投入与销售额之间的关系，可以建立销售额与广告投入的线性回归模型，帮助制定广告投放策略。

统计学线性回归分析作业

白杨树重量与其直径、高度、生长地点的相关指标数据表

一、散点图

白杨树重量与地点的散点图相关性很弱。

白杨树重量与高度的散点图相关性较强，为正相关。

白杨树重量与直径的散点图相关性很强，为正相关。

二、检验（统计-回归-回归）

回归分析: 重量与直径, 高度, 地点

回归方程为：重量= - 0.185 + 0.513 直径- 0.210 高度+ 0.0019 地点

自变量系数系数标准误T P

常量-0.18477 0.07859 -2.35 0.043

直径0.51276 0.04428 11.58 0.000

高度-0.21012 0.04172 -5.04 0.001

地点0.00193 0.02861 0.07 0.948

S = 0.0469198 R-Sq = 98.9% R-Sq（调整）= 98.6%

方差分析

来源自由度SS MS F P

回归 3 1.85328 0.61776 280.61 0.000

残差误差9 0.01981 0.00220

合计12 1.87309

来源自由度Seq SS

直径 1 1.78807

高度 1 0.06520

地点 1 0.00001

异常观测值

拟合值标准化

观测值直径重量拟合值标准误残差残差

2 2.12 0.1500 0.242

3 0.022

4 -0.0923 -2.24R

R 表示此观测值含有大的标准化残差

因地点的P值大于0.05，无法通过回归方程检验，故剔除自变量“地点”。回归分析: 重量与直径, 高度

回归方程为：重量= - 0.181 + 0.514 直径- 0.211 高度

线性回归方程

一、线性回归方程

1、线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。线性回归也是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应用中广泛使用的类型。按自变量个数可分为一元线性回归分析方程和多元线性回归分析方程。在统计学中，线性回归方程是利用最小二乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。只有一个自变量的情况称为简单回归，大于一个自变量情况的叫做多元回归。

2、在线性回归中，数据使用线性预测函数来建模，并且未知的模型参数也是通过数据来估计。这些模型被叫做线性模型。最常用的线性回归建模是给定X值的y的条件均值是X的仿射函数。不太一般的情况，线性回归模型可以是一个中位数或一些其他的给定X的条件下y的条件分布的分位数作为X的线性函数表示。像所有形式的回归分析一样，线性回归也把焦点放在给定X值的y的条件概率分布，而不是X和y的联合概率分布（多元分析领域）。

3、理论模型

给一个随机样本（Y

i ,X

,…，X

），i=1,…,n,，一个线性回归模型假设回

归子Y

i 和回归量X

,…,X

之间的关系是除了X的影响以外，还有其他的变数存

在。我们加入一个误差项（也是一个随机变量）来捕获除了X

i1,…,X

之外任

何对Y

的影响。所以一个多变量线性回归模型表示为以下的形式：

，i=1,…,n,其他的模型可能被认定成非线性模型。

一个线性回归模型不需要是自变量的线性函数。线性在这里表示Y

线性回归方程分析

线性回归是一种常见的统计分析方法，用于分析自变量与因变量之间

的线性关系。线性回归方程是根据样本数据拟合出来的直线方程，可以预

测因变量的值。在本文中，我们将详细介绍线性回归方程的分析方法。

首先，线性回归方程的一般形式为：y = ax + b，在这个方程中，x

是自变量，y是因变量，a和b是回归系数。线性回归试图找到最佳的a

和b，使得通过这个方程预测出来的y值与实际观测值之间的差距最小。

1.收集数据：首先，需要收集一组自变量和因变量的观测数据。

2.描述数据：对于自变量和因变量的观测数据，可以用散点图来描述

它们之间的关系。散点图可以帮助我们观察到数据的分布和趋势。

3.拟合直线：根据收集的数据，我们可以使用最小二乘法来拟合一条

直线。最小二乘法的目标是最小化观测值与拟合值之间的差距的平方和。

通过最小二乘法，可以计算出最佳的回归系数a和b。

4.解读回归系数：得到最佳的回归系数后，我们需要解读它们的意义。回归系数a表示因变量y随着自变量x的增加而增加或减少的程度。回归

系数b表示当自变量x为0时，因变量y的预测值。

5.评估模型：评估模型的好坏可以使用多个指标，如R方值、均方根

误差等。R方值是用来评估回归方程的解释力度，取值范围从0到1，越

接近1表示模型拟合得越好。均方根误差是用来评估预测值与观测值的偏

差程度，值越小表示模型拟合得越好。

6.预测新值：拟合好的线性回归方程可以用于预测新的自变量对应的

因变量的值。通过将新的自变量代入回归方程中，可以计算出预测的因变

量值。

线性回归方程的分析方法既适用于简单线性回归，也适用于多元线性

线性回归分析：举例

已知某地区在校生人数与教育经费投入资料如下，根据资料要求完成以下问题: （1）计算相关系数,分析变量间相关程度;

（2）建立一元线性回归方程,并解释方程中回归系数的经济意义; （3)）若教育经费达到500万元时,在校生数可以达到多少；（4）计算判定系数，说明其含义；

（5）对回归系数（b）进行显著性检验。

在校生数y 11 16 18 20 22 25 112

__________________________________________

教育经费x 316 343 373 393 418 455 2298 ————————————————

x2 99856 117649 139129 154449 174724 207025 892832————————————————

y2 121 256 324 400 484 625 2210————————————————

xy 3476 5488 6714 7860 9196 11375 44109————————————————

y-y-7.7 -2.7 -0.7 1.3 3.3 6.3 ————————————————

∧

y12.11 14.68 17.53 19.43 21.8 25.32 ————————————————

y-∧y-1.11 1.32 0.47 0.57 0.20 -0.32

————————————————

∧

y -y -6.56 -3.99 -1.14 0.76 3.13 6.65

———————————————— )(2

y y - 59.29 7.29 0.49 1.69 10.89 39.69 119.34 ————————————————