江苏省常熟中学2019-2020学年高三上学期阶段性抽测二(12月)数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高三（上）抽测数学试卷（二）一、填空题1.设集合2{}1A＝﹣，，集合}2{1B ＝，，则A B ⋃＝_____． 【答案】21}2{﹣，，．. 【解析】【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】解：{},{},2,11,2A B =-=1{}2,,2A B ∴-=．故答案为： 1{22}-，，． 【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.“1x ＞”是“21x ≥”的_____条件． 【答案】充分不必要.【解析】【分析】利用充分性，必要性的判定即可．【详解】解：由“1x >”可以推出“21x ≥”，所以具有充分性；由“21x ≥”可以推出“11x x <->或”，推导不出“1x >”，所以不具有必要性；故“1x >”是“21x ≥”的充分不必要条件．故答案：充分不必要.【点睛】本题考查了条件的充分性与必要性，属于基础题．3.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为k =，得到00tan [0,180)αα=∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)αα=∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150. 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.双曲线22143x y -=的渐近线方程是_________________.【答案】2y x =±【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.【详解】双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，所以双曲线22143x y -=的渐近线方程是2y x =±.故答案为y x = 【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.抛物线2y =上的点A A 到其焦点F 的距离为_____．【答案】【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义求解即可．【详解】解：抛物线2y =的准线方程为：x =，抛物线2y =上的点A则A 到其焦点F 距离为： 2=故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．6.已知10sin ,sin 263ππαα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭，则2sin 23απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_____．【答案】9-. 【解析】【分析】 由已知结合同角平方关系可求cos()6πα-，然后结合诱导公式可求1sin()3απ+，1cos()3απ+，最后再用二倍角的正弦公式可求 【详解】解：10,sin 263ππαα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，11sin sin cos 3626ππαπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111cos cos sin 36263ππαπαπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则2111sin 22cos sin 2333339απαπαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为： 9-【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础试题．7.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36410S S ＝，＝，则9S ＝_____． 【答案】18.【解析】【分析】等差数列{}n a 中， 36396,S S S S S --，成等差数列，代入即可求解．【详解】解：等差数列{}n a 中，36396,S S S S S --，成等差数列，92104410S ∴-+-（）=则918S ＝．故答案为：18【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础题．8.如图，已知棱长为a 的正方体ABCD MNPQ -的体积为1V ，以,,,B D M P 为顶点的三棱锥P BDM -的体积为2V ，则21V V =________． 【答案】13【解析】【分析】先由题意求出正方体的体积1V ，然后运用1V 减去四个三棱锥的体积得到三棱锥P BDM -的体积为2V ，然后可得所求比值．【详解】依题意得正方体的体积31V a =，三棱锥A BDM -的体积21132A BDM M ABD V V a a --==⨯⨯ 36a =， 又三棱锥P BDM -为正四面体，由对称性知3332114463A BDM a V V V a a -=-=-⨯=， 所以2113V V =． 故答案为13． 【点睛】求几何体的体积时首先要确定几何体的形状，然后再求出体积，对于一些不规则的几何体，可采用分割或补形的方法转化为规则几何体的体积后进行求解，考查转化思想方法的运用，属于基础题．9.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则y x 的最大值 ． 【答案】3【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故y x的最大值为3.考点：线性规划解法【此处有视频，请去附件查看】10.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()1,0F c -，右焦点为()20F c ，．若椭圆上存在一点P ，线段2PF 与圆2224c x y +=相切于点E ，且E 为线段2PF 中点，则该椭圆的离心率为_____．1.【分析】连接OE ，1F P ．利用切线的性质可得2OE PF ⊥．利用三角形中位线定理可得：1122c OE PF ==，1//OE PF ．再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，连接1OE F P ，．线段2PF 与圆2224c x y +=相切于点E ，2OE PF ∴⊥． 又O 为12F F 的中点，111//22c OE OE PF ∴＝PF ,． 12122290PF c PF a c F PF OEF ∴-∠∠︒＝，＝，＝＝．()()22222c a c c ∴=+-，化为：2220,01e e e +-<<＝解得1e =．1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切性质、三角形中位线定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．11.已知正实数,x y 满足x y xy +＝，则1911y x y +--的最小值是_____． 【答案】15.【解析】由已知可得，(1)(1)1x y --=，而191991111y x y x y +=++----，利用基本不等式即可求解． 【详解】解：正实数x ，y 满足x y xy +=，01y x y ∴=>-， 1y ∴>，同理1x >，(1)(1)1x y ∴--=，则191999151111y x y x y +=++=----…， 当且仅当1911x y =--且(1)(1)1x y --=，即43x =，4y =时取得等号， 故答案为：15．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑，属于基础题． 12.已知1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且AB =||PA PB +的最小值是___________．【答案】2【解析】分析】由两直线方程可知两直线垂直，且分别过定点（3，1）、（1，3），所以点P 的轨迹为以两定点连线段为直径的圆，方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2．因为要求||PA PB +的最小值，可作垂直线段CD ⊥AB ，根据向量的运算可得，||=2PA PB PD +，根据条件求得CD 的长度为1，所以点D 的轨迹为()221)11x y +++=（．根据两圆方程可知点P 的轨迹与点D 的轨迹外离，故||PA PB +的最小值为两圆的圆心距减去两圆的半径．【详解】∵l 1：mx ﹣y ﹣3m +1=0与l 2：x +my ﹣3m ﹣1=0，∴l 1⊥l 2，l 1过定点（3，1），l 2过定点（1，3），∴点P 的轨迹方程为圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=2，作垂直线段CD ⊥AB ，CD=1， 所以点D 的轨迹为()221)11x y +++=（, 则||=|22|PA PB PC CA PC CB PC CD PD ++++=+=，因为圆P和圆D1=>+ 所以两圆外离，所以|PD |最小值为11=，所以||PA PB +的最小值为﹣2.故答案为42﹣2. 【点睛】平面向量具有代数与几何双重身份，是沟通代数与几何桥梁．平面向量模的最值问题一般以选择题或填空题的形式出现．解决此类问题关键在于正确运用相关知识，进行合理转化，常用方法有（1）利用向量基本知识转化为函数最值问题；（2）利用坐标进行转化，结合图形求最值；（3）利用向量模的性质求解；（4）利用几何意义，数形结合求解．13.已知函数()[](]2,0,1,1,3x x x f x e x -⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，若存在实数12x x ，满足1203x x ≤≤＜，且12()()f x f x =，则212x x ﹣的取值范围为_____． 【答案】2]1ln ∞-（-，．【解析】【分析】先讨论1x ，2x ，在同一区间内的最大值，最小值，再讨论在不同区间时的情况，利用导数求出最值．【详解】解：记212m x x =-，①当1201x x 剟? 时，11()f x x =，22()f x x =，所以12x x =，则2m x =-， 故其最大值在20x =时取得，为0，其最小值在21x =时取得，为1-；②当1213x x <剟时，121()x f x e -=，222()x f x e -=，所以1222x x e e --=，即12x x =，则2m x =-， 的的故其最大值()11max m m <=-，其最小值()33min m m =-…； ③当12013x x <剟? 时，11()f x x =，222()x f x e -=，所以221x x e -=， 所以212x lnx -=，即212x lnx =+，故1122m lnx x =+-，设()22g x lnx x =+-，[0x ∈，1]，则1()2g x x '=-，令()0g x '=，得12x =， 当1(0,)2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(2x ∈，1)时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以当0x →时，()g x 的值无限趋于-∞； 所以当12x =时，()g x 取极大值也是最大值，即11()2112122max m g ln ln ==+-=->-，所以212x x -最大值为12ln -．故答案为：(-∞，12]ln -．【点睛】本题考查分段函数的应用，结合导数知识，关键理清不同区间上表达式的形式，求出对应的最值，属于中档题．14.已知函数()x f x ae lnx lna +＝﹣，其中e 为自然对数的底数，若对任意正实数x ，都有()0f x ≥，则实数a 的最小值为_____． 【答案】1e. 【解析】【分析】根据题意得x ae lnx lna --…恒成立令()x g x ae lnx =-，(0)x >，min ()g x lna ≥-，对()g x 求导通过单调性分析最小值，得000()()x min g x g x ae lnx ==-，所以00x ae lnx lna -≥-，()000000120x x u x e x lnx x e =--≥，求出0x 的取值范围，进而求出a 取值范围．【详解】解：若对任意正实数x 都有()0f x …， 则0x ae lnx lna -+…，则x ae lnx lna --…恒成立， 令()x g x ae lnx =-，(0)x >，min ()g x lna ≥-，11()(0)x xaxe g x ae x x x -'=-=>，当0a …时，()0g x '<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，()g x 无最小值，不符合题意， 当0a >时，令()1x h x axe =-，在(0,)+∞上是增函数，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0010ax e -=，01x a x e ∴=，00)lna lnx x =-- 当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以000()()x min g x g x ae lnx ==-，所以00x ae lnx lna -≥-， 即00000120x x e x lnx x e --≥， 即000120x lnx x --≥， 令1()2(0)u x x lnx x x=-->， 2221()0(0)x x u x x x ---'=<>， 所以()u x 在(0,)+∞上单调递减，又()10u =，所以001x <≤， 001x a x e =由基本初等函数的单调性可知x y xe =在(]0,1上单调递增，1y x =在(]0,1上单调递减，由复合函数的单调性得()1x f x xe =在(]0,1上单调递减， 所以()()11f x f e ≥=即1a e≥． 故a 的最小值为1e 故答案为：1e． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于中档题．二、解答题15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD．（1）求证：直线PB∥平面OEF；（2）求证：平面OEF⊥平面ABCD．【答案】详见解析【解析】【分析】（1）根据O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO，之后应用线面垂直的判定定理证得结果；（2）根据题意，得到PA∥OE，结合题中所给的条件因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，可得PA⊥平面ABCD，从而得到OE⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理证得结果.【详解】（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO而PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，∴PB∥平面OEF．（2）连结AC，因为ABCD为平行四边形，∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，∴PA∥OE，因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD又OE⊂平面OEF，∴平面OEF⊥平面ABCD【点睛】该题考查的是有关证明空间关系的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和面面垂直的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.16.在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.【答案】（1）sin B =（2）13c = 【解析】 【分析】（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a Ab B=得到 a =13c =．【详解】(1)因为角C 为钝角，3sin 5A = ，所以4cos 5A == ，又()1tan 3A B -= ，所以02A B π<-< ，且()()sinA B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦3455== .(2)因为sin sin a A b B ==，且5b = ，所以a =， 又()cos cos cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+= ，则2222cos 952525169c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，所以 13c = .17.已知圆C 经过点()()2,0,2,0A B -，且圆心C 在直线y x =上，又直线:1l y kx =+与圆C 交于P,Q 两点.（1）求圆C 的方程；（2）若2OP OQ ⋅=-，求实数k 的值；(3)过点()0,1作直线1l l ⊥，且1l 交圆C 于M,N 两点，求四边形PMQN 的面积的最大值.【答案】（1）x 2 +y 2=4（2）k=0（3）7【解析】试题分析：（1）设圆心为(,)C a a ，半径为r ．故AC AB r ==，建立方程，从而可求圆C 的方程；（2）利用向量的数量积公式，求得120POQ ︒∠=，计算圆心到直线l 的距离d ，即可求解实数k 的值；（3）方法1、设圆O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ，求得2211d d +=，根据垂径定理和勾股定理，可得22PQ MN ==在利用基本不等式，可求四边形PMQN 面积的最大值；方法2、利用弦长公式12PQ x =-=，MN ==积，在利用基本不等式，可求四边形PMQN 面积的最大值．试题解析：（1）设圆心为(,)C a a ，半径为r ．故AC AB r ==，易得0,2a r ==， 因此圆的方程为224x y +=．（2）因为22cos ,2OP OQ OP OQ ⋅=⨯⨯=-，且OP 与OQ 夹角为POQ ∠，故1cos 2POQ ∠=-，120POQ ︒∠=，所以C 到直线l 的距离1d=，又d =，所以0k =．又解：设P 11(,)x y ，22(,)Q x y ，则2OP OP ⋅=-，即12122x x y y +=-，由221{4y kx x y =++=得22(1)230k x kx ++-=，∴12212221{31kx x k x x k -+=+-=+，代入12122x x y y +=-得20k =，∴0k =；（3）设圆心O 到直线1,l l 的距离分别为1,d d ，四边形PMQN 的面积为S ．因为直线1,l l 都经过点(0,1)，且1l l ⊥，根据勾股定理，有2211d d +=，又22PQ MN ==故1222S =⨯==7≤==当且仅当1d d =时，等号成立，所以max 7S =．（3）又解：由已知12S PQ MN =，由（2）的又解可得12PQ x =-=，同理可得MN ==∴S ==7==≤=， 当且仅当21k =时等号成立，所以max 7S =．考点：直线与圆的方程的应用；点到直线的距离公式的应用；圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了直线的方程与圆的方程的应用、点到直线的距离公式的应用，同时着重考查了向量的数量积的运算和圆的性质、四边形面积的计算和基本的运用，属于中档试题解答的关键是准确表达,PQ MN 的长度，正确表示四边形PMQN 的面积合理运用基本不等式求解四边形PMQN 面积的最值，同时注意基本不等式等号成立的条件．18.已知圆()222:0O x y r r +=>与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于点M （0，1），N （0，-1），且椭圆的离心率为2.（1）求r 的值和椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点. ①若23MB MA =，求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，问:21k k 是否为定值? 如果是，求出定值；如果不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）①1y x =+；②2112k k =【解析】 【分析】（1）由交点M （0，1）可求b ，由离心率可求a ，从而得到椭圆方程；（2）①设出直线l 的方程，分别联立椭圆方程和圆的方程，解出A ，B 两点的坐标，由23MB MA =得到关于k 的方程，求解即可得到结果；②结合①中A ，B 两点的坐标，利用斜率公式直接用k 表示1k 和2k ，由此可求得结果.【详解】（1）因为圆()222:0O x y r r +=>与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于点M （0，1）所以b =r =1.又离心率为2c e a ==，所以a =22:12x C y +=.（2）①因为过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，所以设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠，由22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222140k x kx ++=，则222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，同理2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩，解得22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 因为23MB MA =，则224223211k k k k --=++， 因为0k ≠，所以2k =±，即直线l的方程为12y x =±+.②根据①，22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 2212111121A N NAA N k y y k k k k x x k k -++-+====---+，22222111214221B N NB B N k y y k k k k x x k k -++-+====---+， 所以2112k k =为定值. 【点睛】本题考查圆的方程和椭圆的方程，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，计算量较大，尤其是化简过程比较多，注意仔细审题，认真计算，属难题.19.巳知函数2()22ln f x x ax a x =--，22()ln 2g x x a =+，其中0,x a R >∈. (1)若1x =是函数()f x 的极值点，求a 的值；(2)若()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围； (3)记()()()F x f x g x =+，求证：1()2F x ≥. 【答案】（1）12；（2）4(,]3-∞；（3）参考解析 【解析】试题分析：（1）由函数2()22ln f x x ax a x =--，所以可得2'()22(0)af x x a x x=-->，又1x =是函数()f x 的极值点，即12220,2a a a --=∴=. （2）因为()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，所以对函数()f x 求导，然后把变量a 分离，求函数2()1xM x x =+的最值即可.（3）由()()()F x f x g x =+即可得到，222()22ln ln 2F x x ax a x x a =--++，按a 的降幂写成二次三项的形式，然后再配方，即可得到2222ln ln ln 2()2[()()]222x x x x x xP a a +++=--+.再用放缩法即可得到结论.试题解析：(1)由2()22ln f x x ax a x =--，得22222()22(0)a x ax af x x a x x x----'==>，∵1x =是函数()f x 的极值点， ∴(1)2220f a a =--='，解得12a =，经检验1x =为函数()f x 的极值点，所以12a =． (2)∵()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，∴2222()0x ax af x x--'=≥在区间(2,)+∞上恒成立，∴21x a x ≤+对区间(2,)+∞恒成立， 令2()1x M x x =+，则22222(1)2()(1)(1)x x x x x M x x x =+'+-+=+ 当(2,)x ∈+∞时，()0M x '>，有24()(2)13x M x M x =>=+，∴a 的取值范围为4(,]3-∞．(3) 解法1：222()22ln ln 2F x x ax a x x a =--++222ln 2[(ln )]2x x a x x a +=-++，令222ln ()(ln )2x x P a a x x a +=-++， 则2222ln ln ln ()()()222x x x x x x P a a +++=--+222ln (ln )(ln )()244x x x x x x a +--=-+≥令()ln Q x x x =-，则11()1x Q x x x-=-='， 显然()Q x 在(0,1]上单调递减，在[1,)+∞上单调递增， 则min ()(1)1Q x Q ==，则1()4P a ≥，故11()242F x ≥⨯=． 解法2：222()()()22ln ln 2F x f x g x x ax a x x a =+=--++22()(ln )x a x a =-+- 则()F x 表示ln y x =上一点(,ln )x x 与直线y x =上一点(,)a a 距离的平方．由ln y x =得1y x'=，让011y x '==，解得01x =， ∴直线1y x =-与ln y x =的图象相切于点(1,0)， （另解：令()1ln N x x x =--，则1()1N x x=-'， 可得()y N x =在(0,1]上单调递减，在[1,)+∞上单调递增， 故min ()(1)0N x N ==，则1ln x x x >-≥， 直线1y x =-与ln y x =的图象相切于点(1,0)）， 点（1，0）到直线y x =，则2221()()(ln )(22F x x a x a =-+-≥=． 考点：1.函数的极值.2函数的单调性.3.构造新函数求解.4.放缩法的思想.20.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且对任意()*112,n n n n n N a a b b ++∈--＝恒成立．（1）若21,2n A n b ==，求n B ；（2）若对任意*n ∈N ，都有n n a B =及31241223341···3n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<成立，求正实数1b 的取值范围． 【答案】（1）232n n nB +=；（2）[3)+∞，. 【解析】 【分析】（1）根据1112n nn A n a A A n -=⎧=⎨-≥⎩可得n a ．再由112()n n n n a a b b ++-=-，利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．（2）对任意*n N ∈，都有n n a B =，可得111n n n n n a a B B b +++-=-=．11111()22n n n n n b b a a b +++-=⨯-=．化为12n n b b +=，10b >．可得数列{}n b 是等比数列，公比为2．可得1121(21)21n n n B b b -==--．另一方面：1111111n n n n n n n n n b B B a a B B B B +++++-==-．利用3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a +++++⋯+<成立，及其数列的单调性即可得出． 【详解】解：（1）2n A n =，2n ∴…时，221(1)21n n n a A A n n n -=-=--=-． 1n =时，11a =．1n =时适合上式． 21n a n ∴=-．112()n n n n a a b b ++-=-，11212n n b b +∴-=⨯=，又12b =．∴数列{}n b 是等差数列，首项为2，公差为1．2(1)32122n n n n nB n -+∴=+⨯=．（2）对任意*n N ∈，都有n n a B =， 111n n n n n a a B B b +++∴-=-=．11111()22n n n n n b b a a b +++∴-=⨯-=．12n n b b +∴=，10b >．∴数列{}n b 是等比数列，公比为2．1121(21)21n n n B b b -∴==--．另一方面：1111111n n n n n n n n n b B B a a B B B B +++++-==-．3124122334113n n n b b b b a a a a a a a a +++++⋯+<成立， ∴1223111111111111111(1)213n n n n B B B B B B B B b ++-+-+⋯⋯+-=-=-<-， 113(1)21n b ∴>--对任意*n N ∈，都成立，13b ∴…． ∴正实数1b 的取值范围是[3)+∞，．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。