(用)二次函数与一元二次方程、不等式的关系课件
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2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(2)x2-4x+4≤0;
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数与一元二次方程、不等式的关系课件
二次函数与一元二次方程、不 等式的关系课件
二次函数的定义和图像
二次函数是一个以二次项为最高项的函数，其图像通常呈现开口朝上或开口朝下的抛物线形状。 通过改变二次函数的系数，我们可以调整抛物线的形状、位置和方向。
一元二次方程的定义和解法
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数。 我们可以使用求根公式或配方法等方法来解一元二次方程。 解方程的解即为满足方程的x值，可以通过代入验证解是否正确。
将一元二次方程转化为二次函数图像
将一元二次方程转化为二次函数图像可以帮助我们更直观地理解方程的解和图像的关系。 通过绘制二次函数的图像，我们可以找到方程的解、顶点和轴。
一元二次不等式的定义和解法
一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式。 我们可以使用二次函数的图像来解一元二次不等式。 解不等式的解集是满足不等式的所有x值的集合。
将一元二次不等式转化为二次 函数图像
将一元二次不等式转化为二次函数图像可以帮助我们更直观地理解不等式的 解和图像的关系。
通过绘制二次函数的图像，我们可以找到不等式的解集、顶点和轴。
比较二次函数、一元二次方程 和一元二次不等式的关系
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间存在密切的关系，它们互相 影响并可以转换为彼此。
二次函数图像可以帮助我们更好地理解一元二次方程和一元二次不等式的解 和性质。
应用举例和练习题
通过实际应用举例和练习题，我们可以加深对二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的理解。 掌握解法和应用技巧，能够更有效地解决与二次函数和方程相关的数学问题。
二次函数的定义和图像
二次函数是一个以二次项为最高项的函数，其图像通常呈现开口朝上或开口朝下的抛物线形状。 通过改变二次函数的系数，我们可以调整抛物线的形状、位置和方向。
一元二次方程的定义和解法
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数。 我们可以使用求根公式或配方法等方法来解一元二次方程。 解方程的解即为满足方程的x值，可以通过代入验证解是否正确。
将一元二次方程转化为二次函数图像
将一元二次方程转化为二次函数图像可以帮助我们更直观地理解方程的解和图像的关系。 通过绘制二次函数的图像，我们可以找到方程的解、顶点和轴。
一元二次不等式的定义和解法
一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式。 我们可以使用二次函数的图像来解一元二次不等式。 解不等式的解集是满足不等式的所有x值的集合。
将一元二次不等式转化为二次 函数图像
将一元二次不等式转化为二次函数图像可以帮助我们更直观地理解不等式的 解和图像的关系。
通过绘制二次函数的图像，我们可以找到不等式的解集、顶点和轴。
比较二次函数、一元二次方程 和一元二次不等式的关系
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间存在密切的关系，它们互相 影响并可以转换为彼此。
二次函数图像可以帮助我们更好地理解一元二次方程和一元二次不等式的解 和性质。
应用举例和练习题
通过实际应用举例和练习题，我们可以加深对二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的理解。 掌握解法和应用技巧，能够更有效地解决与二次函数和方程相关的数学问题。
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT优质教学课件
因为
方程=0的解为
则二次函数草图为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
方法指导
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
解一元二次不等式的一般方法化标准：不等式右侧化为0，二次项系数化为正整数.判别式：确定对应一元二次方程有无实根.求实根：若有根，求根. 作草图：作出对应二次函数的草图.写解集：结合图像写一元二次不等式的解集.
实数
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
A
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系
设 ，方程 的判别式
判别式
解不等式 或 的步骤
求方程 的根
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
课堂小结
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
图像法解一元二次不等式
利用“三个二次的关系”求参数
一元二次不等式
三个基本知识
二次函数的零点
“三个二次”之间的关系
两个题型
教材认知
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
1.一元二次不等式一般地，我们把只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是__________________或 ，其中 、 、 均为常数， .
一个
C
2.二次函数的零点一般地，对于二次函数 ，我们把使 成立的_________的值叫作二次函数 的零点.
二次函数与一元二次方程、不等式一元二次函数、方程和不等式课件PPT
二次函数与一元二次方程、不等式
0，图象在
x
轴的上方；一元二次
3 二次函数与一元二次方程、不等式
3 3
不等式 ax ＋bx＋c>0 二 二次次函函数数与与一一元元二二次次方方2 程程、、不不等等式式 的解集即二次函数图象在 x 轴上方部分的
3 二次函数与一元二次方程、不等式
3 二次函数与一元二次方程、不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
有两个不相等 有两个相等的实
的实数根 x1， x2(x1<x2)
数根 x1＝x2＝－2ba 没有实数根
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
4．求解一元二次不等式的过程
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( × ) (2)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( √ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( × )
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为( )
A．x－1<x<13 C．∅
B．x13<x<1 D．R
0，图象在
x
轴的上方；一元二次
3 二次函数与一元二次方程、不等式
3 3
不等式 ax ＋bx＋c>0 二 二次次函函数数与与一一元元二二次次方方2 程程、、不不等等式式 的解集即二次函数图象在 x 轴上方部分的
3 二次函数与一元二次方程、不等式
3 二次函数与一元二次方程、不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
有两个不相等 有两个相等的实
的实数根 x1， x2(x1<x2)
数根 x1＝x2＝－2ba 没有实数根
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
4．求解一元二次不等式的过程
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( × ) (2)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( √ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( × )
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为( )
A．x－1<x<13 C．∅
B．x13<x<1 D．R
二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习
（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．
二次函数与一元二次方程、不等式课件年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(2)计算判别式△的值如果△≥0，求方程ax²+bx+c=0的根；如果△≤0，说明方程
ax²+bx+c=0 无实数根。
(3)画出二次函数y=ax²+bx+c 的图象等式x²-5x+6＞0的解集
分析：
因为方程x²-5x+6=0的根是函数y=x²-5x+6的零点，
位于x轴上方，此时 y>0，即 x²-12x + 20>0；当2<x＜10 时
，函数图象位于轴下方，此时 y<0，即x²-12x + 20<0。所以
，一元二次不等式x²-12x + 20<0的解集是
{x|2<x<10}
因为{x|2<x<10}含于{x|0<x<12}，因此当围成的矩形的一
条边长x满足2＜x＜10 时，围成的形区域的面积大于20m².
花卉。若栅栏的长度是 24 m，围成的形区域的面积
在初中，我们从一次函数的角度
要大于20 m²，则这个矩形的边长为多少米?
看一元一次方程、一元一次不等式，
发现了三者之间的内在联系，利用这
种联系可以更好地解决相关问题，对
设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为
(12一x)m，由题意，得
于二次函数、一元二次方程和一元二
所以先求出x²-5x+6=0 的根，再根据函数图象得到x²5x+6>0的解集。
解：
对于方程x²-5x+6=0，因为 △>0，所以它有两个
实数根。解得x1=2，x2=3。
画出二次函数 y=x²-5x+6 的图象(如图)，结合图
(用)二次函数与一元二次方程、不等式的关系课件-新版.ppt
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数 形结合的思想。
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
§21.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
6
o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y＜0？
y
• 当 x 取何值时，y＞0？
• 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
§21.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
温故知新
？
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0）；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为__X__=_2___
y
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
6
o2 x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与
-4
-5
九、如何求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y
x1
x2 x
0
y
O
x1
x2 x
当x=x1或x=x2时,y=0 当x<x1或x>x2时,y<0 当x1<x<x2时,y>0
x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。
y 解：∵A、B在轴上，
∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0
x1 OA
x2 B
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
二次函数与一元二次方程不等式一元二次函数方程和不等式课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
{x|10≤x≤30} [设矩形高为y，
锐角三角形空地中，欲 建一个面积不小于
由三角形相似得：4x0＝404－0 y，且
300m2 的内接矩形花园(阴影部分)， x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
则其边长 x(单位：m)的取值范围是 整理得y＋x＝40，将y＝40－x代入
________．
第栏37页目导航
37
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为 一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因 为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然， 这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：
第栏34页目导航
34
法三：由 x2＋2x＋a2－3>0，得 a2>－x2－2x＋3， 即 a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于－ (x＋1)2＋4 的最大值，即 a2>4，故 a>2 或 a<－2.
第栏35页目导航
35
1．不等式 ax2＋bx＋c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a ＝0 时，b＝0，c>0；
第栏8页目导航
8
思考 2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模 型，选择其中起关键作用的未知量为 x，用 x 来表示其他未知量，根据题 意，列出不等关系再求解．
第栏9页目导航
9
1．若集合 A＝{x|－1≤2x＋
B [∵A＝{ x|－1≤x≤1} ，B＝ { x|0< x≤2} ，∴A∩B＝{ x|0< x≤
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y
有两个交点
b2-4ac > 0
y
. o
.
x
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
2 方程没有实数根 b -4ac < 0
o y
x
没有交点
o
x
简单运用
观察下列图象，分别说出一元二次方程x 2 6 x 9 0, x 2 x 3 0的根的情况。
y=x 6 x 9
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 y 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？ x1 x2 O A B
。
3.25 0.03 3.26 0.09
3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个 解的范围是 （ C ） Ａ、3＜x＜3.23 Ｂ、3.23＜x＜3.24 Ｃ、3.24＜x＜3.25 Ｄ、3.25＜x＜3.26
三、课后习题
已知二次函数y=x2-kx+k-2.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx+k-2与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx+k-2与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ） 2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数 形结合的思想。
2
y=x 2 x 3
答案: 方程x 2 6 x 9 0的解是x1 x2 3. 方程x 2 x 3 0无实数根.
二、基础训练 1、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上， ±8。 则b= 2、若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图
象过原点，则m= -8
y
⊿＝0
y
⊿＜ y 0
X1 0
X2
x
O X1= X2 x
O
x
x
ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
ax2+bx+c>0 （a>0）解集 ax2+bx+c<0 （a>0）解集
x1 ＝ x2
x1 =x2 ＝－b/2a
没有实数根
所有实数
x<x1或x>x2 x≠ x1的一切
实数
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式 : y
二、基础训练
4、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a ；若抛物线与x轴有两个交点，则 a ；若抛物线与坐标轴有两个公共点， 则a ； 5、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴至少有一个 交点，则a的范围是 。 6、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
<1>①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. <2>①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. <3>①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.
y 0
-1
0
2
X
y= -x2+x+2 y
O
2
x
X
拓广：
• 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 1）方程ax2+bx+c=2的根是 X1=-2; X2=4 __________; 2）不等式ax2+bx+c>2的解集是 y X<-2;X>4 _________; 3）不等式ax2+bx+c<2的解集是 2 (-2,2) -2<X<4 _________;
§27.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
温故知新
？
y 6
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0） ；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 X=2 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
o
2
x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与 x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
三、拓展应用
练习1. 已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 （D ） A 、 k＜ 4 C、k＜4且k≠3 B、k≤4 D、k≤4且k≠3
练习2.关于x的二次函数 y=(k-1)x2-3x-1 的图像全部位于x轴的下方，则k的取值范围 是 k＜-5/4 ； 知识小结： (1)抛物线 y=ax2+bx+c 全部在x轴上方的 条件：a__0,b ＜ ； ＞ 2-4ac__0 (2)全部在x轴下方的条件： a__0,b ＜ ＜ 2-4ac__0
-1 O 3
(4,2)
x
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？ 例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝ x＋2有交点吗？有几个？ 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
当x=x1或x=x2时,y=0 当x1<x<x2时,y<0 当x<x1或x>x2时,y>0
1、如图求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y O
-2
1
x
2、、若x为任意实数，则二次函数
y=x2+2x+3的函数值y的取值范围 是 y≥2 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=b2-4ac y=ax2+bx+c （a>0）图像
⊿>0
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x 2 x 3 图象回答下列问题．
2
• 当 x 取何值时，y＜0？ • 当 x 取何值时，y＞0？ • 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
y
x y＝x2－2x－3
例题精讲 3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图； (1)方程-x2+3x+4=0的解 是__ ___ x=-1,x=4 (2)不等式-x2+3x+4>0的解集
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 点坐标分别是A（ x1，0）， B（ x2，0） y
x1 O A
能力提升
.已知二次函数 y kx 6 x 7 的图像与X轴有 两个不同的交点. （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等 于50. 解： 解：△= 36 28k x x ( x x ) 2 x x 50,
2
∵ 36 28k ＞0 ∴k的取值为 9 k 7
x2 B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？ Y
b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 方程ax2+bx+c=0的 根 方程有两个不相等 的实数根 b2-4ac 函数的图象
2 1
2
2
2
1
2
1
2
6 7 ( )2 2 ( ) 50, k k
解之得：k1 1
k k的取值为
∴
k2
9 7
18 25
k1 1
18 k2 25
要点小结
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值， 也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。 可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。 在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
4 3 2 1 -2 -1 o -1 -2 -3 -4
-5 y
-1<x<4 是__ __
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
1
2
3
4
5
x
是_ X<-1或x>4 __
有两个交点
b2-4ac > 0
y
. o
.
x
只有一个交点 方程有两个相等 b2-4ac = 0
的实数根
2 方程没有实数根 b -4ac < 0
o y
x
没有交点
o
x
简单运用
观察下列图象，分别说出一元二次方程x 2 6 x 9 0, x 2 x 3 0的根的情况。
y=x 6 x 9
kx＋b＝0的根
探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 y 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？ x1 x2 O A B
。
3.25 0.03 3.26 0.09
3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个 解的范围是 （ C ） Ａ、3＜x＜3.23 Ｂ、3.23＜x＜3.24 Ｃ、3.24＜x＜3.25 Ｄ、3.25＜x＜3.26
三、课后习题
已知二次函数y=x2-kx+k-2.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx+k-2与x轴有两个不同的交点。 (2)如果二次函数y=x2-kx+k-2与轴两个交点为 A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6 时,求S△ABC .
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、 x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐 标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ） 2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数 y=ax2+bx+c之间的互相转化的关系。体现了数 形结合的思想。
2
y=x 2 x 3
答案: 方程x 2 6 x 9 0的解是x1 x2 3. 方程x 2 x 3 0无实数根.
二、基础训练 1、已知抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上， ±8。 则b= 2、若二次函数y=（m-8）x2+2x+m2-64的图
象过原点，则m= -8
y
⊿＝0
y
⊿＜ y 0
X1 0
X2
x
O X1= X2 x
O
x
x
ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
ax2+bx+c>0 （a>0）解集 ax2+bx+c<0 （a>0）解集
x1 ＝ x2
x1 =x2 ＝－b/2a
没有实数根
所有实数
x<x1或x>x2 x≠ x1的一切
实数
x1<x<x2
无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式 : y
二、基础训练
4、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a ；若抛物线与x轴有两个交点，则 a ；若抛物线与坐标轴有两个公共点， 则a ； 5、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴至少有一个 交点，则a的范围是 。 6、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
<1>①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. <2>①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. <3>①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0.
y 0
-1
0
2
X
y= -x2+x+2 y
O
2
x
X
拓广：
• 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 1）方程ax2+bx+c=2的根是 X1=-2; X2=4 __________; 2）不等式ax2+bx+c>2的解集是 y X<-2;X>4 _________; 3）不等式ax2+bx+c<2的解集是 2 (-2,2) -2<X<4 _________;
§27.3 二次函数与一元 二次方程、不等式的关系
温故知新
？
y 6
（1）、一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交 点为（2，0） ；与 y 轴的交点为 （0，6） 。 X=2 （2）、一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
你能说说 （1）与 （2）之间 的联系吗？
o
2
x
方法与规律： 一次函数y＝kx＋b的图象与 x轴的交点的横坐标就是一元一次方程
三、拓展应用
练习1. 已知二次函数y=（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 （D ） A 、 k＜ 4 C、k＜4且k≠3 B、k≤4 D、k≤4且k≠3
练习2.关于x的二次函数 y=(k-1)x2-3x-1 的图像全部位于x轴的下方，则k的取值范围 是 k＜-5/4 ； 知识小结： (1)抛物线 y=ax2+bx+c 全部在x轴上方的 条件：a__0,b ＜ ； ＞ 2-4ac__0 (2)全部在x轴下方的条件： a__0,b ＜ ＜ 2-4ac__0
-1 O 3
(4,2)
x
联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判 别式解决，那么二次函数与一次函数的交 点个数又该怎么解决呢？ 例如，二次函数y＝x2－2x－3和一次函数y＝ x＋2有交点吗？有几个？ 分析：两个函数的交点是这两个函数的公共 解，先列出方程组，消去y后，再利用判别 式判断即可.
当x=x1或x=x2时,y=0 当x1<x<x2时,y<0 当x<x1或x>x2时,y>0
1、如图求当x为何值时，y>0,y=0,y<0
y O
-2
1
x
2、、若x为任意实数，则二次函数
y=x2+2x+3的函数值y的取值范围 是 y≥2 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=b2-4ac y=ax2+bx+c （a>0）图像
⊿>0
探究三：你的图象与x轴的交点坐标是什么？
根据 y x 2 x 3 图象回答下列问题．
2
• 当 x 取何值时，y＜0？ • 当 x 取何值时，y＞0？ • 能否用含有x的不等式来 描述两个问题？
y
x y＝x2－2x－3
例题精讲 3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图； (1)方程-x2+3x+4=0的解 是__ ___ x=-1,x=4 (2)不等式-x2+3x+4>0的解集
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 点坐标分别是A（ x1，0）， B（ x2，0） y
x1 O A
能力提升
.已知二次函数 y kx 6 x 7 的图像与X轴有 两个不同的交点. （1） 求k的取值范围 （2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等 于50. 解： 解：△= 36 28k x x ( x x ) 2 x x 50,
2
∵ 36 28k ＞0 ∴k的取值为 9 k 7
x2 B
x
探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元 二次方程的知识来说明呢？ Y
b2-4ac＜0
b2-4ac=0
b2-4ac>0
O
X
结论2：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
y=ax2+bx+c的图 象和x轴交点 方程ax2+bx+c=0的 根 方程有两个不相等 的实数根 b2-4ac 函数的图象
2 1
2
2
2
1
2
1
2
6 7 ( )2 2 ( ) 50, k k
解之得：k1 1
k k的取值为
∴
k2
9 7
18 25
k1 1
18 k2 25
要点小结
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值， 也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。 可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。 在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
4 3 2 1 -2 -1 o -1 -2 -3 -4
-5 y
-1<x<4 是__ __
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
1
2
3
4
5
x
是_ X<-1或x>4 __