人教新课标八年级数学下册勾股定理的逆定理ppt课件
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人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
《勾股定理的逆定理》PPT课件(第1课时)
的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A. 1,2,3
B. 2,3,4
C. 4,5,6
D. 1, 2, 3 C
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1
C.三边之比为 3 : 2 : 5
B. 三边之比为1：2： 5 D. 三个内角比为1：2：3
探究新知 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
b
根据勾股定理，则有 A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2. B
B
∵a2+b2=c2, ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1.
A1
在△ABC和△A1B1C 1中，
aC
BC=B1C1,
b
CA=C1A1, AB=A1B1.
B1 a C1
∴∆ABC ≌ ∆A1B1C1. ∠C=∠ C1 =90°.
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A. 1,2,3
B. 2,3,4
C. 4,5,6
D. 1, 2, 3 C
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1
C.三边之比为 3 : 2 : 5
B. 三边之比为1：2： 5 D. 三个内角比为1：2：3
探究新知 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
b
根据勾股定理，则有 A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2. B
B
∵a2+b2=c2, ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1.
A1
在△ABC和△A1B1C 1中，
aC
BC=B1C1,
b
CA=C1A1, AB=A1B1.
B1 a C1
∴∆ABC ≌ ∆A1B1C1. ∠C=∠ C1 =90°.
人教版八年级数学下册 课件： 17.2 勾股定理的逆定理(共30张PPT)
X
1. 直角三角形有哪些性质? （1）有一个角是直角； （2）两个锐角互余； （3）两直角边的平方和等于斜边的平方； （4）在含30°角的直角三角形中，30° 的角所对的直角边是斜边的一半 2. 一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
有一个内角是90°,那么这个三角形就为直角三角形。
如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这 个三角形也是直角三角形。
例 2.在△ABC中，a=15, b=17, c=8,求 C 此三角形的面积。
解152 82 172 a c b
2 2 2
∴△ＡＢＣ为直角三角形,且∠B=90° 1 1 ∴ △ABC的面积为 a c 15 8 60. 2 2
15
17
B
8
A
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。 解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形
5
3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
3 + 4 = 5
2
2
2
动手画一画 下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 2.5，6，6.5； 6，8，10。
2 2 2 吗？
（1）这三组数都满足a b c
（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？
由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的 形式说出你的观点!
1. 直角三角形有哪些性质? （1）有一个角是直角； （2）两个锐角互余； （3）两直角边的平方和等于斜边的平方； （4）在含30°角的直角三角形中，30° 的角所对的直角边是斜边的一半 2. 一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
有一个内角是90°,那么这个三角形就为直角三角形。
如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这 个三角形也是直角三角形。
例 2.在△ABC中，a=15, b=17, c=8,求 C 此三角形的面积。
解152 82 172 a c b
2 2 2
∴△ＡＢＣ为直角三角形,且∠B=90° 1 1 ∴ △ABC的面积为 a c 15 8 60. 2 2
15
17
B
8
A
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直 角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
例题解析
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17 (2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是 不是直角三角形，只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。 解：∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172 ∴这个三角形是直角三角形
5
3
4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?
3 + 4 = 5
2
2
2
动手画一画 下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 2.5，6，6.5； 6，8，10。
2 2 2 吗？
（1）这三组数都满足a b c
（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？
由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的 形式说出你的观点!
《勾股定理的逆定理》课件PPT1
3．(2017·常德)命题：“如果m是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题 为：_____如___果__m__是__有__理___数__，__那__么___它__是__整__数_．
4．说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假． (1)同旁内角互补，两条直线平行； (2)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 解：(1)逆命题为：两条直线平行，同旁内角互补．是真命题． (2)逆命题为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．是真 命题． (3)逆命题为：直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对 的角是30°.是真命题．
仔细观察命题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？
2
2
2
对应角相等的两个三角形全等.
－b|＝0，则△ABC 的形状是____________________________． 等腰直角三角形 （1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
解：∵AC2＝AD2＋CD2＝20，BC2＝CD2＋BD2＝80，AB2＝(AD＋BD)2＝100，∴AC2＋BC2＝AB2.
A．两条直线平行，内错角相等
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
8．测得一块三角形花坛的三边长分别为1.5 （1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
（2）判断一个命题是假命题，只需要能够举出一个反例即可.
m，2
m，2.5
m，则这个花坛的
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝90°＋45°＝135°.
16．如图，在△ABC中，CD为AB边上的高，AD＝2，BD＝8，CD＝4，试说 明△ABC是直角三角形． 解：∵AC2＝AD2＋CD2＝20，BC2＝CD2＋BD2＝80，AB2＝(AD＋BD)2＝100 ，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC为直角三角形．
《勾股定理的逆定理》勾股定理PPT课件4-人教版八年级数学下册PPT课件
……
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= 84 ，
c= 85
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数, 称为勾股数
４、古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果m表 示大于１的整数, a=2m, b=m2-1，c=m2+1， 那么a、b、c为勾股数, 你认为对吗?
5、以小组为单位, 每位同学自己找一组勾 股数, 那一组找的最快最多就算获胜。
6、如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足 a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c, 判定△ABC的形状．
这个三角形是直角三角形.
收获 心得
谈谈这节课你的收获吧！
∴∆ABC ≌ △ A1B1C1(SSS)
∠C=∠ C1=90°
B a
B1 a
A
b C
A1
b
C1
例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形: (1)a=15， b=8， c=17 (2)a=13， b=14，c=15
解：(１) 152 82 225 64 289 172 289 152 82 172
三角形的三边长a、b、c满足:a2 + b2 = c2, 那么这个 三角形是直角三角形。
已知: △ABC中, AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证: △ ABC是直角三角形
A
c
b
B
BC=a, CA=b, 并且
a b c 2 2 2 （如图）求证:∠C=90°
这个三角形是直角三角形。 2 132 142 169 196 365
152 225 132 142 152 三角形不是直角三角形
分析:根据题意我们可画出示意图如图所示, 则可以看到
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= 84 ，
c= 85
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数, 称为勾股数
４、古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果m表 示大于１的整数, a=2m, b=m2-1，c=m2+1， 那么a、b、c为勾股数, 你认为对吗?
5、以小组为单位, 每位同学自己找一组勾 股数, 那一组找的最快最多就算获胜。
6、如果△ABC的三边分别为a、b、c且满足 a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c, 判定△ABC的形状．
这个三角形是直角三角形.
收获 心得
谈谈这节课你的收获吧！
∴∆ABC ≌ △ A1B1C1(SSS)
∠C=∠ C1=90°
B a
B1 a
A
b C
A1
b
C1
例1 判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形: (1)a=15， b=8， c=17 (2)a=13， b=14，c=15
解：(１) 152 82 225 64 289 172 289 152 82 172
三角形的三边长a、b、c满足:a2 + b2 = c2, 那么这个 三角形是直角三角形。
已知: △ABC中, AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证: △ ABC是直角三角形
A
c
b
B
BC=a, CA=b, 并且
a b c 2 2 2 （如图）求证:∠C=90°
这个三角形是直角三角形。 2 132 142 169 196 365
152 225 132 142 152 三角形不是直角三角形
分析:根据题意我们可画出示意图如图所示, 则可以看到
《勾股定理逆定理的证明》人教版数学八年级下册PPT课件
第十七章04节 勾股定理
系，即可求出∠RPQ
45°
4、远航号行驶方向为东北方向，即
∠RPQ - 45°
∠1=_______,
因此∠2=_____________
N
R
2
Q
1
PEBiblioteka 01情景引入（方位角问题）
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，
各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.
几何描述： ∵三角形三边之间的关系为：a²+b²=c²
∴△ABC是直角三角形
B
c
A
b
a
C
01
情景引入（方位角问题）
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港
口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行
12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远
所以需费用36×200＝7200（元）．
02
练一练
5．若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，且周长为60 cm，则它的面积
为________ cm2.
【答案】120
【详解】
设三边长分别为5x,12x,13x
由题意得5x+12x+13x=60，解得 = 2，
则三边长分别为10cm、24cm、26cm，
∴∠2=∠RPQ - 45°=45°
N
R
2
Q
1
P
E
01
情景引入（作辅助线）
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,
相关主题
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时间：7分钟 根据内容动手操作，并且写出已知求证证明 了解原命题逆命题互逆命题的概念
古埃及人把一根绳子打上等距离的13个结，然后把第1个结和第13 个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢 （拉直绳子）。 这时构成了一个三角形，其中有一个角是直角 。
三角形的三边有什么关系呢？
勾股定理的逆定理
（第1课时）
活动1：复习与巩固
(1)勾股定理的内容是什么? (2)求以线段a,b为直角边的直角三角形的斜边c的 长: ① a=3,b=4; ②a=8,b=6 ③a=5,b=12.
学习目标
体验勾股定理的逆定理的探索过程
会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形
自学指导
阅读课本P73_P74内容
C B A
S四边形ABCD=36
D
思维训练
1、 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b 2 = c2
互逆定理
互逆命题
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b 2 = c2
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它 也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
活动4：应用
例1 判断由线段a、 b 、 c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15, b=8, c=17 （2） a=13, b=14,c=15
1.课本75页练习第1题 2.判断由线段a、 b 、 c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=7,b=24,c=25 (2) a=5,b=13,c=12 (3) a=4,b=5,c=6
请指出下列命题的逆命题， （1）两直线平行，同位角相等。 （2）对顶角相等。 （3）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等。 （4）全等三角形的对应边相等。
命题 2 ：
如果三角形的三边长a 、 b 、 c满足
a b c
2 2
2
那么这个三角形是直角三角形。
分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。 ⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角 形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。 ⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解 决。 ⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通 过三边对应相等的两个三角形全等可证。
活动3：验证
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且 2 2 2 a b c （如图）求证：∠C=90°
证明：作∆ 则有
C1=90°, A 1B 1C1 使∠
2
B1C1 a, C1 A 1 b
c
A
b
C
2 2 A B a b , BC B 1 1 1C 1 , CA C 1A 1 a 2 b2 c2
作业：
课本84页习题第1、2、4题
观察下列表格： 列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25 13、b、c 猜想 32=4+5 52=12+13 72=24+25 …… 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值. 即b= ，c= ________。
例题解析
例2 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和 ∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示， 这个 零件符合要求吗？
能够成为直角三角形三条边长的三个正整 数，称为勾股数.
以小组为单位，每位同学自己找一组 勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。 3， 4， 5； 5，12，13；6， 8，10； 7，24，25； 8，15，17；9，40，41 9，12，15；10，24，26；……
活动6：小结
1.通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上 满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？ 2.请你总结一下，判断一个三角形是否是直角三角形，都 有哪些方法？
（1）（13） （12） （11） （ 2） （10）
32 + 4 2 = 52
（ 9）
直角三角形
（ 3）
（ 4） （ 5）
你能猜想出其中的数学道理吗？
（ 8）
（ 6） （ 7）
活动2 ：探究
小实验：画一个△ABC, 使它的三边长分别为： （1）、6cm、8cm、10cm （单行的同学做） （2）、5cm、12cm、13cm （双行的同学做）
解：（1）
152 8 2 225 64 289 172 289 152 82 172 这个三角形是直角三角 形。
132 142 169 196 365 152 225 132 142 152 这个三角形不是直角三 角形。
（ 2）
活动5：练习
1. 问题：这两个三角形有哪些部分相同，哪些部分不同？并猜想它的最大角是什么角？ 2.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数 3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状. 4.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之 间的关系。 5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是 直角三角形呢？你的猜想是_____________。
C D 13 C
D
4 5 3 B 12 B
A
A
练一练
1. 三角形三边长a、b、c满足条件
(a b) c 2ab, 则此三角形是(
2 2
B
)
A、锐角三角形 形
B、直角三角形C、钝角三角ຫໍສະໝຸດ D、等边三角形中考链接
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ B ＝ 900 ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四边形ABCD的面积?
A1 B1 c AB A 1B 1
在△ABC和△
A 1B 1C 1 中，
B
a
A 1
b
B C B1C1 CA C1 A 1 AB A 1 B 1 ∴∆ABC ≌ △ A 1B 1C1 ( SSS)
∠C=∠
C1 =90°
B1
a
C1
勾股定理的逆命题 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足