分数拆分

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拆分法妙算分数的四种方法

拆分法是一种用于计算分数的方法，可以将一个分数拆分成更简单的形式，方便计算。以下是拆分法的四种常见方法：

一、公因式法：

公因式法是指将分子和分母中的公因式提取出来，然后进行约分。例如，对于分数3/6，可以发现3和6的最大公因数是3，因此可以将分数拆分成1/2

二、分子和分母相乘法：

这种方法是将分子和分母进行分解，并且将各个因子相乘。例如，对于分数4/9，可以将分子4拆分成2*2，分母9拆分成3*3，然后将拆分后的因子相乘得到2*2/3*3，进一步化简为4/9

三、化简法：

这种方法适用于分子和分母中含有相同因子的情况。例如，对于分数36/48，可以发现分子36和分母48都可以被4整除，因此可以将分数化简为9/12，再进一步化简为3/4

四、最大公约数法：

最大公约数法是指找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母分别除以最大公约数得到新的分数。例如，对于分数15/25，可以发现15和25的最大公约数是5，因此可以将分数化简为3/5

这四种拆分法可以根据实际情况灵活应用，能够帮助我们更方便地计算分数。在计算过程中，我们可以根据分子和分母的因式结构来选择最合适的方法，以达到简化分数的目的。

分数的拆分

第十三讲分数的拆分〈精讲〉

一、知识要点：

1、把一个分数写成两个或两个以上分数单位的和，通常称之为分数拆分。

2、一般地，设A 为大于1的自然数，在

A 1＝）（ 1＋）（ 1的括号里填入不同的自然数，使等式成立的解法是：

⑴任选A 的两个不同的约数a 和b ；

⑵将A 1的分子、分母同时乘以(a ＋b )，得：A

1＝)(b a A b a +⨯+）（； ⑶将上面式子拆成两个分数之和

A 1＝)(b a A a +⨯＋)(b a A b +⨯； ⑷再将这两个分数化简，便可以得到结果。

3、形如下面的分数可以直接拆分：)1(1+⨯n n ＝n 1－11+n ；)(d n n d +⨯＝n 1－d

n +1。 4、看起来很复杂的分数计算题，如果用一般的常规方法做，就很复杂。结合题目的特点，掌握一些分数拆分的方法，可以使计算巧妙、简便。

二、典型例题解析：

例1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立：

151＝）（ 1＋）（ 1

例2、已知

181＝A 1＋B 1＋C 1，A ，B ，C 是不同的自然数，求A ，B ，C 的值。

例3、计算

21＋61＋121＋201＋301＋421＋56

1。

例4、计算：

411⨯＋741⨯＋1071⨯＋13101⨯＋16

131⨯。

分数的拆分〈精练〉

1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立。 ⑴

201＝）（ 1＋）

（ 1；⑵51＝）（ 1＋）（ 1。

2、在下面的括号里填入三个不同的自然数，使等式成立。

241＝）（ 1＋）（ 1＋）

（ 1。

3、计算：

211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋50491⨯。

【数学知识点】分数拆分的六个公式

一般地，有如下方法将一个分数1/a拆成两个分数单位之和：（1）任选a的两个因

数x和y；（2）将1/a的分子，分母同乘（x+y），得到x/a*(x+y)和y/a*(x+y)；（3）

再将两个分数进行约分，得到两个分数单位之和。

分数原是指整体的一部分，或更一般地，任何数量相等的部分。表现形式为一个整数

a和一个整数b的比（a为b倍数的假分数是否属于分数存在争议）。

分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。分子在上，分母在下。

当分母为100的特殊情况时，可以写成百分数的形式，如1%。

最早的分数是整数倒数：代表二分之一的古代符号，三分之一，四分之一，等等。埃

及人使用埃及分数c。1000bc。大约4000年前，埃及人用分数略有不同的方法分开。他们使用最小公倍数与单位分数。他们的方法给出了与现代方法相同的答案。埃及人对于Akhmim木片和二代数学纸莎草的问题也有不同的表示法。

希腊人使用单位分数和（后）持续分数。希腊哲学家毕达哥拉斯（c。530bc）的追随

者发现，两个平方根不能表示为整数的一部分。（通常这可能是错误的归因于Metapontum 的Hippasus，据说他已被处决以揭示这一事实）。在印度的150名印度人中，耆那教数学家写了“Sthananga Sutra”，其中包含数字理论，算术学操作和操作。

现代的称为bhinnarasi的分数似乎起源于印度在Aryabhatta（c。ad 500），Brahmagupta（c。628）和Bhaskara（c。1150）的工作。他们的作品通过将分子（Sanskrit：amsa）放在分母（cheda）上，但没有它们之间的条纹，形成分数。在梵文

分数拆分(巧算)

分数拆分（巧算）

一、分数拆分的初步

例1 填空：

解：

可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。如：选用1和2，3和6，9和18；或选用2和3；6和9时，解就相同。

以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。

……答案不只一种。

能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。

例5把下面各分数写成两个分数差的形式。

四、拆分方法在分数加法运算中的应用

例6 计算：

解：由公式（3）

例9计算：

解：由等差数列求和公式

由此，本题中的各个分数可以拆分为：

因此，本题解法如下：

例11 计算

解：根据公式（4）

解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。

例13 计算

解：可以利用例12所得出的结论以及等差数列求和公式进行计算。

原式=1+2+3+……+1991

=（1+1991）×1991÷2=1983036

习题

1.在下列各式的括号内填上适当的整数（1—3题）。

4.把下面各分数写成两个分数差的形式。

5.先观察，找出规律。

然后在（）内填上适当的整数

（要求分母都不同，且尽可能小）

分数拆分的几个基本公式

分数拆分是数学中一个很重要的概念，它指的是将一个分数拆成多个小分数的和的形式。分数拆分在数学中有很多重要的应用，而分数拆分的公式也是非常重要的。

首先，我们来看一下分数拆分的基础公式：

1. 分数拆分为两个基本分式的形式：

若分式 f(x) 的分母可以拆分为两个一次式 ax + b 和 cx + d 的乘积，则 f(x) 可以拆分为两个基本分式，即

f(x) = A/(ax+b) + B/(cx+d)

其中 A 和 B 是待定系数，可通过高斯消元法求出。

2. 分数拆分为多个基本分式的形式：

若分式 f(x) 的分母可以拆分为多个一次式的乘积，即

f(x) = P(x)/[a1(x-b1)(x-c1)...(x-n1)+a2(x-b2)(x-c2) (x)

n2)...+...+ak(x-bk)(x- ck)...(x-nk)]

则 f(x) 可以拆分为多个基本分式的和，即

f(x) = A1/(x-b1) + A2/(x-c1) + ... + An1/(x-n1) + B1/(x-b2) + B2/(x-c2) + ... + Bn2/(x-n2) + ... + K1/(x-bk) + K2/(x-ck) + ... + Knk/(x-nk)

其中 A1、A2、...、An1、B1、B2、...、Bn2、...、K1、K2、...、Knk 是待定系数。

3. 分数拆分为一些特殊的基本分式的形式：

一些特殊的基本分式包括线性分式 x/(ax+b)、二次分式

x/(ax²+bx+c)、指数分式 x/(a^x-b^x) 等。

分数拆分的六个公式

1.分数拆分的基本概念

分数拆分是指将一个分数写成两个或多个分数之和或差的形式，通常是利用分数的通分来实现。这种分数拆分实际上是对分数进行分解，便于计算或应用。

2.分数拆分的第一种形式

给定两个分数a/b和c/d，它们的分母相等，可以使用扩分法将其加减，得到：

a/b±c/d=(ad±bc)/bd

其中，分子即为所得到的新分数的分子，分母为原分数的公共分母。这种方法在解决加减同分母分数的运算问题时非常常见。

3.分数拆分的第二种形式

当所给的两个分数a/b和c/d的分母不同时，需要先找到它们的最小公倍数L，然后将它们通分，得到：

a/b=(aL)/(bL)；c/d=(cL)/(dL)

然后再将它们加减，即可得到：

a/b±c/d=(ad±bc)/(bdL)

此时，bdL即为通分后得到的新分数的分母。

4.分数拆分的第三种形式

在分数的乘法中，如果要将两个分数相乘，可以将分子和分母分别相乘，然后约分得到最简分数。但是，在有些情况下，还需要进行分数拆分，得到一个较为简单的式子。例如，当求解无理数的乘积时，就需要使用下面的公式：

√a×√b=√ab

这里的√a和√b分别表示a和b的平方根。将它们相乘后，就可以将根号拆分为ab的平方根。同样地，有时也需要用到分数的开方，可以借助分数拆分的方法将式子简化。

5.分数拆分的第四种形式

除法是分数运算中最为繁琐的一部分，因为需要用到通分、约分等复杂的操作。但是，使用分数拆分后，就可以将较为复杂的除法运算简化为简单的乘法。具体方法是：

a/b÷c/d=a/b×d/c

拆分法分数简便计算的公式

拆分法是一种用于简便计算分数的方法，旨在将分数拆分为更简单的形式进行计算。在拆分法中，我们将分数拆分成为整数与真分数的和，并且利用整数与真分数之间的运算规则进行计算。

拆分法的公式如下：

假设我们需要计算一个分数a/b（其中a为分子，b为分母），那么我们可以将分数拆分成为整数和真分数的和：

a/b = c + d/e

其中c为整数部分，d为真分数的分子，e为真分数的分母。

此时，我们可以通过拆分后的整数部分和真分数部分进行独立的计算，即：

a/b = c + d/e = c + f/g

其中f为真分数部分的分子，g为真分数部分的分母。

在拆分之后，我们可以将分数转化为更简单的形式进行计算。比如，我们可以将整数部分与真分数部分进行相加，即：

a/b = c + f/g = (c*g + f)/g

此时，分子为c*g + f，分母为g。

通过将分数拆分成为整数与真分数的和，我们可以依次对整数和真分数进行计算，进而得到最终结果。这种方法不仅能够简化计算过程，还能够更好地掌握分数的运算规则。

拆分法的参考内容主要包括：

1. 整数与真分数的运算规则：介绍整数与真分数之间的加减乘除法规则，以及拆分法在计算中的应用。

2. 分数化简法则：介绍分数化简的方法和步骤，以及如何将分数化简为最简形式。

3. 分数的四则运算规则：包括分数的加法、减法、乘法、除法规则，以及如何将分数进行通分等。

4. 例题解析：通过具体的例题，解析拆分法在分数计算中的应用，帮助读者更好地理解和掌握这种计算方法。

5. 练习题：提供一定数量的练习题，让读者进行实际操作和拆分法计算的练习，以巩固所学知识。

分数拆分(奥数)

点击目标

把单位“1”平均分成若干份，表示期中一份的数叫分数单位。分数单位又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。

例：

1133121122366663

⨯===+=+⨯ 11441311334121212124

⨯===+=+⨯ 11551411445202020205⨯===+=+⨯ 方法一：

111(1)1n n n n =+⨯++ 或 111(1)1n n n n =-⨯++ 课堂练习：15

= 17

例：在

()()

11114=+ 的括号里填上适当的自然数，使等式成立

方法二：把一个分数单位拆分成两个分数单位之和的方法是

⑴ 找分母的约数；

⑵ 扩分把分数单位1A

的分子、分母分别乘A 的任意两个约数之和； ⑶ 拆分把所得分数拆分成两个分数之和，使两个约数恰好是两个分数的分子； ⑷ 约分把所得两个分数约成最简分数。

练习：

112

= 121

= 11997= 例：

()()

1116=+的括号里填入适当的自然数，使等数成立。（填出全部结果）

将1

拆成3个单位分数之和。

把1拆分成5个单位分数之和。

将1

拆成

A B

-的形式。

将1

拆成4个单位分数之和。

将

化为

111

a b c

++的形式，其中,,

a b c为自然数，且它们的最大公约数为1.

总结：把一个分数1

拆成几个分数单位之差的方法如下：找分母的约数，扩分，

拆分，约分。

练习：

将下列各分数写成两个单位分数之差 16 19 17 11995

课后练习

分数拆项公式

分数拆项公式是数学中常见且十分重要的技巧之一。它能够将一个分数表示为多个较小分数的和或差，帮助我们在运算中简化问题。本文将以生动的语言介绍分数拆项公式的概念、原理、应用以及解题指导，帮助读者更好地掌握这一技巧。

首先，我们来了解什么是分数拆项公式。分数拆项公式指的是将一个分数表示为多个较小分数的和或差的表达式。这个公式可以极大地简化运算，帮助我们更好地理解和解决分数运算问题。

拆项公式有两种形式：将一个分数拆分为两个较小分数的和，或将一个分数拆分为两个较小分数的差。无论是哪种形式，其原理都是将分子拆开作为较小分数的分子，分母保持不变。

举个例子来说明，设有一个分数2/5，我们可以将它拆分为1/5和1/5的和形式，也可以拆分为3/5和1/5的差形式。拆项公式的应用将使得分数运算变得更加简单，方便我们进行加减乘除等各种运算。

那么，我们为什么要使用这个公式呢？拆项公式的应用不仅能够简化计算，还有许多实际意义。首先，它可以帮助我们更好地理解数学概念，提高数学思维能力。其次，它在解决实际问题时具有广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学以及统计学等领域中，都会遇到分数运算问题。掌握拆项公式可以帮助我们更好地解决这些实际问题。

那么，如何灵活运用分数拆项公式呢？以下是一些解题指导：

1. 确定分子和分母：首先，我们需要确定分数的分子和分母，确保分数的真实含义与题目要求相符。

2. 选择合适的拆项形式：在拆项公式中，常见的形式有和形式和差形式。根据题目的要求，选择适合的拆项形式。

3. 拆分为较小分数：按照拆项公式的原理，将分数的分子拆分为较小分数的分子，分母保持不变。

分数的拆分

分数的拆分之阳早格格创做

1.观念

单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数喊单位分数.

分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的战，喊干分数的分拆

2．解题要领与本领.

（1）把单位分数拆分成单位分数相加的战

要领一：先扩分：共剩以分母的约数的战

再拆分：拆分成约数做分子的分数.

后约分：约分成最简分数

要领二：分子、分母共剩以大于分母，小于分母二倍的自然树（2）把实分数分拆成单位分数相加的战.

把一个实分数拆成二个单位分数相加的战，先给要分拆的分数分子战分母共剩以分母除以分子的整数商加1的战，再给分子加

上分母，要使分数大小没有变，共时应减去那个数，而后再分拆并约分.

（3）把假分数分拆成单位分数相加的战

要领：先把那个假分数分拆成实分数，再按实分数的分拆要领去分.

例题一

正在的括号里挖进适合的自然数，使等式创造.

领会一：从式子的左边往左边瞅，是分数的分拆；才有便往左边

瞅，则是分数的加法，可睹分数的领会与分数的加法历程刚刚佳好异.分数加法主要步调是通分、合并、约分，果此分数的

分拆可按先扩分，再拆分，末尾约分的步调去干.

领会二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的战的要领二：分子、分母共剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分

别供解.

剖析一：8的约数有1、2、4、8.

①

②

③

④

⑤

⑥

以上六种领会要领，其中①、④、⑥相共，②战⑤相共.

如果二个约数相共时，不妨得到，公有四组解.

解法二：(像解法二那样的拆分要领没有止一种．共教们，您们承诺钻研吗？)

训练一

将下列各分数写成二个单位分数：

1. 2.

3. 4.

5. 6.

(完整版)分数的拆分

什么叫分数的拆分？

把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分.

例如：

1541181+=; 30

1451181+=； 22

1991181+=; 3

12161-=； 4

131121-=；等等。

下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。当一个分数为)1(1n ＋n ⨯的形式时，可以拆分为1

11n ＋－n 的形式(n 为自然数，且n 不为0) 即：1

11)1(1n ＋－n ＝n ＋n ⨯ 例如:

5141541201-=⨯=；7161761421-=⨯=

分数拆分的具体应用例·计算：42

13012011216121+++++ 7

671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++ 当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差.

例如：

171972632-=⨯=；

131835245-=⨯=；

141743283-=⨯=

用公式表示就是:当n 、n+d (n 不为0)都是自然数时，

n n d n n d +-=+⨯11)( 具体应用：计算：20182181621614214122⨯+⨯+⨯+⨯

12120120118118116116114114112120

182181621614214122=+-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯

n n d n n d +-=+⨯11)( 这个公式同学们已经熟悉了.对这个公式可以进行变形：

例如：

131(5124551241-⨯=⨯= 因为8—3=5 所以提取一个51，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6141(2124221241-⨯=⨯=，这得看计算时的需要了。

分数拆分的六个公式

一般地，有如下方法将一个分数1/a拆成两个分数单位之和：（1）任选a的两（2）将1/a的分子，分母同乘（x+y），得到x/a*(x+y)和y/a*(x+y)；个因数x和y；

（3）再将两个分数进行约分，得到两个分数单位之和。

分数

分数原是指整体的一部分，或更一般地，任何数量相等的部分。表现形式为一个整数a和一个整数b的比（a为b倍数的假分数是否属于分数存在争议）。

当分母为100的特殊情况时，可以写成百分数的形式，如1%。

分数的历史

最早的分数是整数倒数：代表二分之一的古代符号，三分之一，四分之一，等等。埃及人使用埃及分数c。1000bc。大约4000年前，埃及人用分数略有不同的方法分开。他们使用最小公倍数与单位分数。他们的方法给出了与现代方法相同的答案。埃及人对于Akhmim木片和二代数学纸莎草的问题也有不同的表示法。希腊人使用单位分数和（后）持续分数。希腊哲学家毕达哥拉斯（c。530bc）的追随者发现，两个平方根不能表示为整数的一部分。（通常这可能是错误的归因于Metapontum的Hippasus，据说他已被处决以揭示这一事实）。在印度的150名印度人中，耆那教数学家写了“Sthananga Sutra”，其中包含数字理论，算术学操作和操作。

现代的称为bhinnarasi的分数似乎起源于印度在Aryabhatta（c。ad 500），Brahmagupta（c。628）和Bhaskara（c。1150）的工作。他们的作品通过将分子（Sanskrit：amsa）放在分母（cheda）上，但没有它们之间的条纹，形成分数。在梵文文献中，分数总是表示为一个整数的加和减。整数被写在一行上，其分数在两行的下一行写成。如果分数用小圆⟨0was或交叉⟨+was标记，则从整数中减去;如果没有这样的标志出现，就被理解为被添加。

拆分法妙算分数的四种方法

拆分法妙算分数的四种

方法

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拆分法妙算分数的四种方法江苏省泗阳县李口中学沈正中

在分数计算中，有时利用拆分法把一个分数写成几个分数的和或差的形式，可以起到化繁为简的效果。常见有以下几种类型：1．“”型：

【题1】计算：

【解答】

。

2．“”型：

【题2】计算：

【解答】

3．“

或”型：

【题3】计算：

【解答】

【题4】计算：

【解答】

4．“

或”型：【题5】计算：

【解答】

【题6】计算：

【解答】

分数拆分妙法

分数的拆分方法

方法一：分数相加（减）拆分：

①把分母分解质因数后得出几个约数，再取不同的任意几个约数相加（减），作为分母和分子的公倍数扩分。

②再拆成两个分数的和（差）。

③把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。

方法二：分数相加（减）拆分：

①把分母分解质因数后得出几个约数，再取不同的任意几个约数分母相乘，分子相加（减），再乘以相加（减）后和（差）的倒数。

②再拆成两个分数的和（差），再乘以相加（减）后和（差）的倒数。 ③把拆开后的分数约分，化成最简分数。

1a(a+1) = 1a - 1a+1 ＝＞ 1a = 1a(a+1) + 1a+1 112 = 13*4 = 13 - 14

a+(a+1)a(a+1) = 1a + 1a+1 ＝＞ 1a = a+(a+1)a(a+1) - 1a+1 712 = 3+43*4 = 13 + 14

1a*(a+m) = ( 1a - 1a+m )* 1m

112 = 12*6 =（12 - 16 ）* 14

m a*(a+m) = 1a - 1a+m

412 = 42*6 = 12 - 16

小学数学简便计算——分数拆分

同学们，你们知道吗？两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后来人们常把分子是1的分数称埃及分数，我们也称之为单位分数。有些单位分数组合在一起构成了一些有趣的计算题。本专题中列举了许多例题，主要是为同学们提供“分数拆分”的方法，希望同学们认真学习，理解并记住拆分的几个公式，在解题中灵活的应用。

一、将一个分数拆分成两个分数单位相加。

把一个分数拆成两个或两个以上分数的和的形式，叫做分数的拆分。

怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们以

通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤：

叫做扩分。

注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。

③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即：

④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。

二、把一个分数拆成几个分数的和

以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。

……答案不只一种。

三、把一个分数拆成两个分数的差

能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。

以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d，都是自然

当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。

例5把下面各分数写成两个分数差的形式。

观察下面等式，左右两边有什么关系。

通过上面算式，可以得出这样的结论：

分数拆分妙法

分数拆分妙法 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

分数的拆分方法

方法一：分数相加（减）拆分：

①把分母分解质因数后得出几个约数，再取不同的任意几个约数相加（减），作为分母和分子的公倍数扩分。

②再拆成两个分数的和（差）。

③把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。

方法二：分数相加（减）拆分：

①把分母分解质因数后得出几个约数，再取不同的任意几个约数分母相乘，分子相加（减），再乘以相加（减）后和（差）的倒数。

②再拆成两个分数的和（差），再乘以相加（减）后和（差）的倒数。

③把拆开后的分数约分，化成最简分数。

=-＝＞=+

==-

=+＝＞=-

==+

=(-)*

==（-）*

==-