概率与数理统计第三章

2)联合分布函数 F ( x, y) ;
解 1)
A 1 f ( x, y )dxdy dxdy 2 2 (1 x )(1 y )


1 1 A ( dy )dx 2 2 1 x (1 y ) Aarctan x arctan y


f (u , v)dudv
联合概率密度的基本性质:
1) 2)
f ( x, y ) 0;



f ( x, y )dxdy 1
概率密度还有如下性质:
1)设D为任意平面区域, 有
P{( X , Y ) D} f ( x, y)dxdy
D
2) 在 f ( x, y )的连续点 ( x, y )处,有
0.1
y2
a
0.4 2 已知 P( X x2 | Y y2 ) . 试求常数a,b的值。 . 3 解 由
b
0.1 a b 0.4 1
以及
P{ X x2 , Y y2 } 0.4 2 P{ X x2 | Y y2 } P{Y y2 } a 0.4 3
故关于X的边缘分布律为:
pi P{ X xi } pij
j 1

同理关于Y的边缘分布律为
p j P{Y y j } pij
i 1

联合分布律与边缘分布律的表格形式
X Y
y1
pi1
p1
x1 p11

xi
p j
pi yj p1 j p1 pi pij
FY ( y) P{Y y} P{X , Y y} F (, y)
分别称 FX ( x) 和 FY ( y ) 为 ( X , Y ) 关于 X 和 Y 的边 际分布函数，简称边际分布或边缘分布．
例 3.1.1 假设二维随机变量 X , Y 的联合分布函 数为 1 e x e y e x y xy x 0, y 0 F x, y 0 其它 称这分布为二维指数分布，其中参数 0 ． 利用上面所给公式，容易求得 X , Y 关于随机变量 X 和 Y 的边缘分布函数分别为
解得
a 0.2, b 0.3
§3.3 二维连续型随机变量
3.3.1 联合概率密度
定义3.3.1 设 F ( x, y)是二维随机变量 ( X , Y )的联合分布 函数,如果存在一个非负函数 f ( x, y) ,使得
x y
F ( x, y )
则称 ( X , Y ) 是二维连续型随机变量,称 f ( 的联合概率密度. 与
j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
1 1 P{ X i ,Y j } P{Y j X i }P{ X i } , i 4 i 1,2,3,4, j i .
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
Y
X
1
2
3
4
1 2
3
1 4
1 8 1 8
1 12
0 0 0
1 12
1 12
类似的,可求得其它的 pij ,最后可得 ( X 1 , X 2 ) 的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X1
X2
0
1 10 3 10 3 3
1
10 10
pi
2 5
0
1
p j
3
5
2
5
3
5
注:两种情形的边缘分布律是相同的!
例3.2.3 设二维随机变量( X , Y )的分布律为
Y X
x1 x2
y1
（1）右连续性 F x, y 关于变量 x 或 y 都是右连续的．
（2）有界性 对任意的 x 和 y，有 0 F x, y 1 ，且
x
lim F x, y 0
y
lim F x, y 0
x y
lim F x, y 1
（3）非负性 对于任意 x1 x2 , y1 y 2 有
分布函数的几何意义
Y
( x, y )
F ( x, y)可视为随机点
( X , Y )落在以 ( x, y) 为顶点的
O O
X
左下方的无穷矩形的概率.
Y
( x1 , y2 )
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
( x2 , y1 )
O
图2 设 x1 x2 , y1 y2 ,则有
X
整体大于部分之和!
§3.2 二维离散型随机变量
定义3.2.1 如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或 可列无穷多对值,则 称(X,Y)为二维离散型随机变量.
假设二维随机变量 X , Y 的所有可能取值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2, ，并且
P{ X xi , Y y j } pij



A
2

A
1

2
2)
F ( x, y )
x y

f (u, v)dudv
x y
A dudv 2 2 (1 u )(1 v )
Aarctan u
x
arctan v
y
1 2 arctan x arctan y 2 2
1 e x , FX ( x) F ( x, ) 0, y 1 e , FY ( y ) F (, y ) 0,
x0 x0
y0 y0
注意 边缘分布与参数 无关！这 说明研究多维随机变量,仅仅研究边
缘分布是不够,而必须将他们作为一
个整体来研究.

p j

例3.2.2 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从
中取两次,每次取一件,记 1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律.
解 (1)有放回的情形.此时
2 2 4 p00 P{ X 1 0, X 2 0} 5 5 25
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
二元函数能否成为某二维随机变量分布 函数的充分必要条件.
定理 3.1.1 二维联合分布函数 F ( x, y ) 具有如下的性质：


xi pi 1
pi 2
pij






例3.2.1 设随机变量 X 在 1, 2,3, 4 四个整数中等可能地
取值, 另一个随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X , Y ) 的分布列及P( X Y ).
解 { X i ,Y j } 的取值情况是 : i 1,2,3,4,
体的统计规律性,我们引入联合分布函数的概念.
定义 3.1.2 设 X , Y 是二维随机变量，对任意实 数 x, y ，称二元函数
F x, y PX x Y y P X x, Y y ˆ
为二维随机变量 X , Y 的分布函数或 X 与 Y 的联合分 布函数．
第三章 多维随机向量及其概率分布
在前一章中,所讨论的随机现象只涉及到一个随 机变量， 但是在很多随机现象中， 每一次试验的结果 仅用一个随机变量来描述是不够的， 而是要用多个随 机变量来描述.例如,射击的弹着点要用横坐标和纵坐 标两个变量来描述； 对于钢的成份， 需要同时研究它 的含碳量，含硫量，含磷量；等等．这样，对应每一 个基本结果（样本点） ，试验的结果需要用 n 个随机 变量 X 1 , X 2 , , X n 来表示．我们不但要知道每个随 机变量 X i (i 1, 2,, n) 的概率分布， 而且更重要的是 要掌握它们间的相互关系，即要掌握随机向量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 整体的概率性质和统计性质。 本章将介绍多维随机变量的概念， 重点放在二维 随机变量．
F ( x, y) f ( x, y ) xy
2
3)若平面区域D的面积为0,则
P{( X , Y ) D} 0
例3.3.1 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
2e (2 x y ) , x 0, y 0, f ( x, y ) 其它. 0, (1) 求分布函数 F ( x, y ); (2) 求概率 P{Y X }.
类似的,可求得其它的 pij ,最后可得 ( X 1 , X 2 ) 的联合分 布律与边缘分布律如下表:
X1
X2
0
4 6 25 25 6 9
1
25 25
pi
2
3
0
5
5
1
p j
2
5
3
5
(2)无放回的情形.此时
2 1 1 p00 P{ X 1 0, X 2 0} P{ X 1 0}P{ X 2 0 | X 1 0} 5 4 10
解
(1) F ( x, y)
x

x y 2e (2u v ) d v d u, x 0, y 0, 0 0 0, 其他. (1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0. 得 F ( x, y ) 0, 其他.
则称上式为(X,Y)的联合分布律.
i, j 1,2,
联合分布律的基本性质