2018-2019学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章章末复习课
2018-2019北师大版数学选修4-1教学案：第一章2.5切割线定理相交弦定理
2．4&2.5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1]如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用。
2018-2019学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式章末复习学案 北师大版选修4-5
第一章不等关系与基本不等式章末复习学习目标 1.梳理本章的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对平均值不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值不等式的应用.4.熟练掌握不等式的证明方法．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．2．不等式的4个基本性质及5个推论．3．绝对值不等式(1)绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法有：①根据绝对值的定义；②分区间讨论(零点分段法)；③图像法．(2)绝对值三角不等式①|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离；②|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)；③|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)；④||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)；⑤||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0)．4．平均值不等式(1)定理1：若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．(2)定理2：若a，b∈R＋，则a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．(3)定理3：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．(4)定理4：若a ，b ，c ∈R ＋，则a ＋b ＋c3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取“＝”．5．不等式的证明方法(1)比较法．(2)分析法．(3)综合法．(4)反证法．(5)几何法．(6)放缩法．类型一 绝对值不等式的解法 例1 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}． 方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅； 当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3， 即x ＞1， ∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式解集为{x |x ＞1}． (2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ，解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型二 不等式的证明 例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0，∴⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式证明的基本方法是比较法，分析法，综合法，在证明时注意对所证不等式恰当分组，选择适当的方法进行证明．跟踪训练2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥3(a ＋b ＋c )． 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋， 因此只需证(a ＋b ＋c )2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ， 由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号可知， 原不等式成立． (2)abc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc， 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， ∴要证原不等式成立， 只需证1abc≥a ＋b ＋c ，∵ab ＋bc ＋ca ＝1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca . ∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．类型三 利用平均值不等式求最值例3 已知x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为______．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型 (1)当和为定值时，积有最大值．(2)当积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为________．答案 4解析 f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x，∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0.故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin x cos x ＝4，当且仅当tan x ＝12时取“＝”． 类型四 恒成立问题例4 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立；当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用变更主次元、数形结合等方法．跟踪训练4 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若|f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2|≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， ∴当a ≤0时，不合题意． 又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞)．1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb. 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的是( ) ①ab ＞2ab a ＋b ；②a ＞|a －b |－b ；③a 2＋b 2＞4ab －3b 2；④ab ＋2ab＞2. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”；②恒成立，因为a ，b 均为正数； ③不恒成立，当a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2＝5,4ab －3b 2＝5，a 2＋b 2＝4ab －3b 2. ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96，∵9＞8，∴b ＞a .b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315，∵35＞53，∴b ＞c .a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510，∵32＞25，∴a ＞c .∴b ＞a ＞c ，故选C.4．求不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1的解集．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1⇔－1＜1＋x ＋x 22＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋4＞0⇒x ∈R ，x 2＋2x ＜0⇒－2＜x ＜0.∴原不等式的解集为(－2,0)．5．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 设y ＝|x －a |＋|x －2|，则y min ＝|a －2|. 因为不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意x ∈R 恒成立． 所以|a －2|≥1，解得a ≥3或a ≤1.1．本章的重点是平均值不等式、绝对值不等式和不等式的证明方法．要特别注意含绝对值不等式的解法．2．重点题型有利用不等式的基本性质、平均值不等式、绝对值不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式的性质、平均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．4．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab 得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的( ) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立． 4．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[0，＋∞)答案 C解析 作出y ＝|x ＋1|与l 1：y ＝kx 的图象如图所示，当k <0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立； 当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1. 综上可知k ∈[0,1]．5．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( ) A ．a ＞b B ．a <b C ．a ≤b D ．a ≥b答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n )2≥0，∴a ≥b . 6．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜ad B ．bc ＞ad C.a c ＞b d D.a c ＜b d答案 B解析 将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad . 二、填空题7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2， ∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2. 8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________．答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1， ∴(x －1)(x 2＋1)＞0. ∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1.9．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________． 答案2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x22xy.又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy＝2，当且仅当x ＝2y时等号成立． 10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞解析 ∵f (x )＝2x是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32，①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________． 答案 2解析 由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，设a ，b ∈R ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |. 证明 方法一 |f (a )－f (b )|<|a －b |⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b | ⇔|1＋a 2－1＋b 2|2<|a －b |2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2－2ab ＋b 2⇔1＋ab <(1＋a 2)(1＋b 2).① 当1＋ab ≤0时，①式显然成立．当1＋ab >0时，①⇔(1＋ab )2<[(1＋a 2)(1＋b 2)]2⇔1＋2ab ＋a 2b 2<1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ⇔2ab <a 2＋b 2， ∵a ≠b ，∴2ab <a 2＋b 2成立．∴①式成立．综上知，原不等式成立．方法二 当a ＝－b 时，原不等式显然成立．当a ≠－b 时， ∵|1＋a 2－1＋b 2|＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a |＋|b |≤|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＝|a －b |， ∴原不等式成立．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，又a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，所以(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．15．(2018·全国Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时，|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜2a ， 所以2a≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．。
2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理
2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23][例1]如图所示，⊙O与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4[例2]OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝32.答案：3 2[例3]∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析](1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP ＝272. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452. 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝1523.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E 是⊙O 内两弦AB 和CD 的交点，直线EF ∥CB ，交AD 的延长线于点F ，FC 与圆交于点G .求证：(1)△DFE ∽△EFA ； (2)△EFG ∽△CFE . 证明：(1)∵EF ∥CB ， ∴∠DEF ＝∠DCB .∵∠DCB 和∠DAB 都是DB 上的圆周角， ∴∠DAB ＝∠DCB ＝∠DEF . ∵∠DFE ＝∠EFA ，∴△DFE ∽△EFA . (2)由(1)知：△DFE ∽△EFA ，∴EF AF ＝FDFE . 即EF 2＝FA ·FD .由割线定理得FA ·FD ＝FG ·FC . ∴EF 2＝FG ·FC ， 即EF GF ＝FC FE .又∵∠EFG ＝∠CFE ，∴△EFG ∽△CFE .本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意]本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试](1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：选B设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x ＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为()A．10B．2 2C．5D． 6解析：选B设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2 2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC ， 所以AB >BC >AC ，因为CA ，CD 分别切圆O 1于A ，D 两点， CB ，CE 分别切圆O 2于B ，E 两点， 所以AC ＝CD ，BC ＝CE ， 所以AB >CE >CD . 故选A. 二、填空题5．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3，则BD 的长为 ．解析：由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB (DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.答案：46．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为 ．解析：记圆O 的半径为R .依题意得PA 2＝PB ·PC ，PB ＝PA 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，所以R ＝(12BC )2＋(3)2＝2. 答案：27．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝ ；CE ＝ .解析：由切割线定理得AB ·AC ＝AD ·AE ，即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5；易知AD AB ＝AC AE ＝34，又∠A ＝∠A ，故△ABD ∽△AEC ，故∠BCE ＝∠BDA ＝90°，BDEC ＝AD AC .在直角三角形ABD 中，BD ＝42－32＝7，∴CE ＝BD ·ACAD ＝7× 63＝27.答案：5 278.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，AE ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案：72三、解答题9．如图，P 为圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，OP 与AB 相交于点M ，且点C 是AB 上一点．求证：∠OPC ＝∠OCM .证明：连接OB ，由切线长定理，得PA ＝PB ，PM ⊥AB ， PO 平分∠APB .又PB ⊥OB ，在Rt △OPB 中，OB 2＝OP ·OM ， ∵OB ＝OC ，∴OC 2＝OP ·OM ， 即OC OP ＝OMOC，∴△OCP ∽△OMC ，∴∠OPC ＝∠OCM . 10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F .AD ，BE 相交于点G ，连接BD .(1)求BD 的长．(2)求∠ABE ＋2∠D 的度数． (3)求BGAG 的值．解：(1)连接OC ，因为AB 是小圆的切线，C 是切点，所以OC ⊥AB ， 所以C 是AB 的中点． 因为AD 是大圆的直径， 所以O 是AD 的中点． 所以OC 是△ABD 的中位线． 所以BD ＝2OC ＝10. (2)连接AE .由(1)知C 是AB 的中点． 同理F 是BE 的中点． 即AB ＝2BC ，BE ＝2BF ， 由切线长定理得BC ＝BF . 所以BA ＝BE .所以∠BAE ＝∠E . 因为∠E ＝∠D ，所以∠ABE ＋2∠D ＝∠ABE ＋∠E ＋∠BAE ＝180°. (3)连接BO ，在Rt △OCB 中， 因为OB ＝13，OC ＝5， 所以BC ＝12，AB ＝24. 由(2)知∠OBG ＝∠OBC ＝∠OAC . 因为∠BGO ＝∠AGB ， 所以△BGO ∽△ AGB . 所以BG AG ＝BO AB ＝1324.11.如图，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝90°，BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，AC ⊥CB 交BE 于点A ，△ABC 的外接圆的半径为r .(1)若∠E ＝30°，求证：BC ·BD ＝r ·ED .(2)若BD ＝3，DE ＝4，求AE 的长．解：(1)证明：取AB 的中点为O ，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，O 是外接圆的圆心，连接CO ，所以BO ＝CO ，∠BCO ＝∠OBC ，因为BC 是∠DBE 的平分线，所以∠DBC ＝∠CBA ，所以∠OCB ＝∠DBC ，所以OC ∥DB (内错角相等，两直线平行)，所以OC BD ＝CE DE， 把比例式化为乘积式得BD ·CE ＝DE ·OC ，因为OC ＝r ，所以BD ·CE ＝DE ·r .因为∠D ＝90°，∠E ＝30°，所以∠DBE ＝60°，所以∠CBE ＝12∠DBE ＝30°， 所以∠CBE ＝∠E ，所以CE ＝BC ，所以BC ·BD ＝r ·ED .(2)过点C 作CH ⊥OE ，垂足为H .BD ＝3，DE ＝4，根据勾股定理，BE ＝5，OC ＝OA ＝r ，因为OC ∥DB ，所以△OCE ∽△BDE ，所以OC BD ＝OE BE ＝CE DE ，即r 3＝OE 5＝CE 4， 解得OE ＝53r ，CE ＝43r . CH ＝OC ·CE OE ＝45r ， 因为BC 平分∠DBE 交DE 于点C ， 则△BDC ≌△BHC ，所以BH ＝BD ＝3，则HE ＝2.在Rt △CHE 中，根据勾股定理得：CH 2＋EH 2＝CE 2， 即⎝⎛⎭⎫45r 2＋22＝⎝⎛⎭⎫43r 2，解得：r ＝158， 则AE ＝BE －2r ＝5－154＝54.。
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案
§3圆与四边形[对应学生用书P26][自主学习]1．圆内接四边形的性质定理2．四点共圆的判定定理[合作探究]由圆内接四边形的性质定理知，圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？ 提示：矩形、正方形、等腰梯形[对应学生用书P27][例1] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使得AP ＝BQ .求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．[思路点拨] 本题主要考查四点共圆的判断．解题时，先连接OA ，OC ，OP ，OQ ，PQ .要证O ，A ，P ，Q 四点共圆，只需证∠CAO ＝∠OQP 即可，为此只要证△CPO ≌△AQO 即可．[精解详析] 如图，连接OA ，OC ，OP ，OQ ，PQ .在△OCP 和△OAQ 中，OC ＝OA ， ∴∠OCP ＝∠OAC .由已知CA ＝AB ，AP ＝BQ ， ∴CP ＝AQ .又O 是等腰△ABC 的外心且AB ＝AC ， ∴∠OAC ＝∠OAQ ， ∴∠OCP ＝∠OAQ .∴△OCP ≌△OAQ .∴∠APO ＝∠AQO ，OP ＝OQ . ∴∠OPQ ＝∠OQP . ∴∠CAO ＝12∠BAC＝12(∠APQ ＋∠PQA ) ＝12(∠OPQ ＋∠APO ＋∠OQP －∠AQO ) ＝12×2∠OQP ＝∠OQP . ∴O ，A ，P ，Q 四点共圆．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与斜边中点距离相等)1．在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 是垂足． 求证：E ，B ，C ，F 四点共圆．证明：如图，连接EF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴A，E，D，F四点共圆．∴∠1＝∠2.∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°.∴∠BEF＋∠C＝180°.∴B，E，F，C四点共圆.[例2]EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[精解详析]连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.利用圆内接四边形的判定或性质定理，证明线段相等或角相等时，可构造全等或相似三角形，以达到证题的目的．2．(新课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E;(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.[例3]E为圆周上一点，CE 交AB延长线于点D，求证：(1)AC＝BC；(2)BC2＝CD·CE.[思路点拨]本题主要考查利用圆内接四边形性质定理及相似三角形知识证明比例式问题．解题时，先利用弦切角定理推证(1)，再由A，B，E，C四点共圆得出∠BED＝∠BAC，后证△BCE∽△DCB.可得结论．[精解详析](1)∵AB∥CF，∴∠FCA＝∠BAC.∵CF是⊙O的切线，∴∠FCA＝∠ABC.∴∠BAC ＝∠ABC .∴AC ＝BC . (2)∠BEC ＝180°－∠BED ，∵A ，B ，E ，C 四点共圆，∴∠BED ＝∠BAC . ∴∠BEC ＝180°－∠BAC . 由(1)得∠BAC ＝∠ABC ，∵∠DBC ＝180°－∠ABC ，∴∠BEC ＝∠DBC . 又∵∠BCE ＝∠DCB ，∴△BCE ∽△DCB . ∴BC DC ＝CECB，即BC 2＝CD ·CE .证明比例式问题常用三角形相似．而寻找角的等量关系，圆内接四边形的性质定理往往起到关键性的作用．注意结合图形进行判断，同时注意等量代换的使用．3．在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D .(1)求证：PC AC ＝PD BD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵∠CPD ＝∠ABC ，∠D ＝∠D ， ∴△DPC ∽△DBA ，∴PC BA ＝PD BD .又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PDBD.(2)∵∠ACD ＝∠APC ，∠CAP ＝∠CAP ， ∴△APC ∽△ACD ，∴AP AC ＝ACAD ，∴AC 2＝AP ·AD ＝9.本课时常考查圆内接四边形的判定定理及性质定理的应用．该定理在角相等、线段相等及比例式的证明中有广泛的应用．属中低档题．[考题印证]如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． [命题立意]本题主要考查圆内接四边形的判定定理的应用以及分析问题、解决问题的能力． [自主尝试] (1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB. 又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.[对应学生用书P29]一、选择题1．四边形ABCD 的一个内角∠C ＝36°，E 是BA 延长线上一点，若∠DAE ＝36°，则四边形ABCD ( )A ．一定有一个外接圆B ．四个顶点不在同一个圆上C ．一定有内切圆D ．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A 因为∠C ＝36°，∠DAE ＝36°，所以∠C 与∠BAD 的一个外角相等，由圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A.2．圆内接四边形ABCD 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶5，则∠D 等于( ) A ．60° B ．120° C ．140°D ．150°解析：选B 因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D ＝1∶2∶5∶4，所以∠D ＝180°×46＝120°.3．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，E 为AB 的延长线上一点，∠CBE ＝40°，则∠AOC ＝( )A ．20°B ．40°C ．80°D ．100°解析：选C ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠CBE ＝40°，由圆内接四边形的性质知∠D ＝∠CBE ＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC ＝2∠D ＝80°.4.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD ＝( )A ．120°B ．136°C ．144°D ．150°解析：选C 由圆内接四边形性质知∠A ＝∠DCE ，而∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，且∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∠ECD ＝72°.又由圆周角定理知∠BOD ＝2∠A ＝144°. 二、填空题5．(陕西高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝ .解析：∵B ，C ，F ，E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝EF BC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36.如图，已知P A ，PB 是圆O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为圆O 上不与A ，B 重合的另一点．若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝ .解析：连接OA ，OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°. 又P ，A ，O ，B 四点共圆，故∠APB ＝60°.答案：60°7．如图，AB ＝10，BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝ ，BD ＝ .解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB .即∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD ， ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 28．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝1，∠ACD ＝60°，则四边形ABCD 的面积为 ．解析：过A 作AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F .因为∠ADF ＋∠ABC ＝180°(圆的内接四边形对角之和为180°)，∠ABE ＋∠ABC ＝180°，所以∠ABE ＝∠ADF ，又AB ＝AD ，∠AEB ＝∠AFD ＝90°， 所以△AEB ≌△AFD ，所以S 四边形ABCD ＝S 四边形AECF ，AE ＝AF . 又因为∠E ＝∠AFC ＝90°，AC ＝AC ， 所以Rt △AEC ≌Rt △AFC . 因为∠ACD ＝60°，∠AFC ＝90°，所以∠CAF ＝30°，因为AC ＝1，所以CF ＝12，AF ＝32，所以S 四边形ABCD ＝2S △ACF ＝2×12CF ×AF ＝34. 答案：34三、解答题9．如图，圆内接四边形ABCD ，过C 点作对角线BD 的平行线交AD 的延长线于E 点． 求证：DE ·AB ＝BC ·CD .证明：连接AC ，则∠BAC ＝∠BDC ，因为CE ∥BD ，所以∠DCE ＝∠BDC ， 所以∠DCE ＝∠BAC ， 因为ABCD 是圆内接四边形， 所以∠CDE ＝∠ABC ，所以△CDE ∽△ABC ，所以DE BC ＝CD AB ，即DE ·AB ＝BC ·CD .10.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 与∠ABC 的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连接BD ，DC .(1)求证：BD ＝DC ＝DI .(2)若圆O 的半径为10 cm ，∠BAC ＝120°，求△BCD 的面积． 解：(1)证明：因为AI 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠DAC ， 所以BD ＝DC ， 所以BD ＝DC .因为BI 平分∠ABC ，所以∠ABI ＝∠CBI . 因为∠BAD ＝∠DAC ，∠DBC ＝∠DAC ， 所以∠BAD ＝∠DBC .又因为∠DBI ＝∠DBC ＋∠CBI ， ∠DIB ＝∠ABI ＋∠BAD ，所以∠DBI ＝∠DIB ，所以△BDI 为等腰三角形， 所以BD ＝ID ，所以BD ＝DC ＝DI .(2)当∠BAC ＝120°时，△ABC 为钝角三角形，所以圆心O 在△ABC 外． 连接OB ，OD ，OC ，则∠DOC ＝∠BOD ＝2∠BAD ＝120°，所以∠DBC ＝∠DCB ＝60°， 所以△BDC 为正三角形． 所以OB 是∠DBC 的平分线， 延长CO 交BD 于点E ，则OE ⊥BD ， 所以BE ＝12BD .又因为OB ＝10，所以BC ＝BD ＝2OB cos 30°＝2×10×32＝103， 所以CE ＝BC ·sin 60°＝103×32＝15， 所以S △BCD ＝12BD ·CE ＝12×103×15＝75 3.所以△BCD 的面积为75 3.11．(新课标全国卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 解：(1)证明：连接DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得， ∠ABE ＝∠BCE . 而∠ABE ＝∠CBE ， 故∠CBE ＝∠BCE ， BE ＝CE .又DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32.。
2018-2019学年高中数学人教B版选修4-1课件：第一章 章末小结
半圆的半径为r， 1 ∴S△ABC＝ ab. 2 又S△ABC＝S△AOB＋S△AOC 1 1 1 ＝ ar＋ br＝ r(a＋b)． 2 2 2 1 1 1 ∴ab＝r(a＋b)．则 r ＝a＋b.
4．利用射影定理 [例6] 如图，AB是⊙O直径，过A作
切线，过B作割线交⊙O于E，交切线于 F，过B再作割线交⊙O于C，交切线于D. 求证：BE· BF＝BC· BD.
∴∠B＝∠EAC. 又∵DC 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACD＝∠DCB. ∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD，
又因为BE为圆O的直径， ∴∠DAE＝90° ， 1 ∴∠ADF＝ (180° －∠DAE)＝45° . 2 (2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB， ∴△ACE∽△BCA， AC AE ∴BC＝AB. 又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30° . AC AE ∴在Rt△ABE中，BC＝AB＝tan∠B＝tan 30° ＝ 3 3 .
证明线段等积式常用的方法
证明命题的一般步骤： (1)弄清题意，辨明题设和结论； (2)用分析法探明证题思路和方法； (3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的已 知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程的合理性．
1．利用相似三角形 [例3] 如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的
[证明] 连接AE、AC. ∵AD是切线， ∴BA⊥AD. ∵AB是直径， ∴AE⊥BF，AC⊥BD. ∴AB2＝BE· BF，AB2＝BC· BD. ∴BE· BF＝BC· BD.
5．利用相交弦定理及切割线定理 [例7] 如图所示，两圆内切于点T，大圆
的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相 交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP 于点P. 求证：(1) C E ＝ C F ； (2)AC· PF＝BC· PT.
北师大版高中数学选修4-1 1.1全等与相似_教案设计
全等与相似【教学目标】1．亲历图形变化的探索过程，体验分析归纳得出图形经过平移、旋转、反射后的位置、大小关系，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握相似与位似的概念。
3．熟练运用平行线分段成比例定理和直角三角形的射影定理。
【教学重难点】重点：掌握相似与位似的概念。
难点：熟练运用平行线分段成比例定理和直角三角形的射影定理。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习全等与相似，这节课的主要内容有图形变化的不变性，平移、旋转、反射，相似与位似，平行线分段成比例定理，三角形内角平分线定理，直角三角形的射影定理并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解图形变化的不变性的内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习平移、旋转、反射，它的具体内容是图形的平移过程称为平移变换；图形的旋转过程称为旋转变换；一个图形F绕一条直线l翻转180︒得到另外一个图形F',则F与F'关于l对称，这种图形的变化过程称为反射变换，直线l称为反射轴。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
练习：下图是由_____得到的。
答案：平移。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：下图是经过旋转_____（填度数）得到的。
答案：90︒（3）接着，我们再来看下相似与位似的内容，它的具体内容是把一个图形按一定比例放大或缩小，这种图形的变化过程称为相似变换；把一个图形变为它的位似图形，这种图形的变化过程称为位似变换。
它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。
例：观察下图，分析图中的右图是由左图经过怎样的变换得到的。
左图为右图按照一定比例缩小后的图形。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习：观察下图，分析图中的右图是由左图经过怎样的变换得到的。
左图可由右图绕反射轴翻转180︒得到的图形。
（4）接着，我们再来看下平行线分线段成比例定理和三角形内角平分线定理的内容，它的具体内容是：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例；②三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。
2018-2019学年高中数学北师大版选修4-1同步配套课件：第二章 章末复习课
3．圆锥面的母线与轴线成 α 角，不过顶点的平面和轴线成 β 角， 且与圆锥面的交线是椭圆，则 β 和 α 的大小关系为 A．β>α C．β＝α
解析：由概念可知 β>α.
(
)
B．β<α D．无法确定
答案：A
4．一个平面和圆柱面的轴成 α 角(0° <α<90° )，则同时与圆柱面 和该平面都相切的球的个数为 A．0 个 C．2 个 B． 1 个 D．由 α 的不同而定 ( )
答案：C
1 2．已知圆柱的底面半径为 2，平面 γ 与圆柱斜截口的离心率为 ， 2 则椭圆的长半轴是 A．2 16 C． 3 B． 4 4 3 D． 3 ( )
解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c. a2－b2 1 c 由题意知 b＝2，a＝ a ＝ ， 2 a2－4 1 4 3 ∴ a ＝ ，解得 a＝ . 2 3
且与 OA 成 45° 角的平面截球 O 的表面得到圆 C.若圆 C 的面 7π 积等于 ，则球 O 的表面积等于 4 ．
[解析] 设球 O 的半径 OA＝R，圆 C 的圆心为 C，半径为 r，则 OC 垂直于截面，∠OMC 就是直线 OA 与截面所成的角， 7π 7 2 ∴∠OMC＝45° ，∵πr ＝ ，∴r ＝ .在 Rt△OCM 中，易得 OC 4 4
2
2 ＝ R，取圆 C 上一点 D，连接 CD，OD，则在 Rt△OCD 中， 4 R ＝r
2 2
＋
2 R2，得 R2＝2，故球 O 的表面积等于 4πR2＝8π. 4
[答案]
8π
(2)一个圆锥轴截面的顶角为 120° ，母线长为 1，过顶点作圆锥的 截面中，最大截面面积为 1 A． 2 3 C． 5 1 B． 3 3 D． 4 ( )
高中数学选修4 1教案
高中数学选修4 1教案在高中数学的教学过程中，编写一份优质的教案对于指导学生理解和掌握知识点至关重要。
今天，我们就来探讨如何编写一份高中数学选修4-1的教案范本。
## 教学目标在编写教案之前，首先要明确教学目标。
这些目标应当包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度。
例如，对于选修4-1的内容，教学目标可以是：- 理解并掌握相关数学概念和定理。
- 能够运用所学知识解决实际问题。
- 培养学生的逻辑推理能力和数学思维。
- 激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
## 教学内容接下来，要根据教学大纲和教材内容，确定本节课的教学内容。
例如，如果本节是关于“函数的概念与性质”，那么教学内容应包括：- 函数的定义- 函数的表示方法- 函数的性质（如单调性、周期性等）## 教学方法选择合适的教学方法对于提高教学效果至关重要。
可以采用以下几种方法：- 讲授法：用于讲解基本概念和定理。
- 探究法：引导学生通过问题解决学习新知识。
- 合作学习：鼓励学生小组讨论，共同解决问题。
## 教学过程教学过程是教案的核心部分，需要详细规划。
一般包括以下几个环节：1. 导入新课：可以通过提出问题、回顾旧知识或展示实际应用案例来引入新课内容。
2. 新课讲解：根据教学内容，系统地讲解新知识点。
3. 学生练习：设计适当的练习题，让学生巩固和应用所学知识。
4. 小结反馈：总结课堂重点，解答学生疑问，并进行形成性评价。
## 教学评价教学评价是检验教学效果的重要环节。
可以通过以下方式进行：- 随堂测验：通过小测试了解学生对知识点的掌握情况。
- 作业布置：布置适量作业，既能够巩固课堂所学，又能够检验学生的学习效果。
- 自我反思：教师应对自己的教学过程进行反思，以便不断改进教学方法和策略。
## 教学资源最后，不要忘记准备必要的教学资源，如多媒体课件、实物模型、数学工具软件等，这些都能有效辅助教学，提高学生的学习兴趣。
总之，一份好的教案应该是结构清晰、内容丰富、符合学生实际水平的。
高中数学第1章坐标系章末复习课学案北师大版选修44
高中数学第1章坐标系章末复习课学案北师大版选修44[自我校对]①极坐标②柱坐标③空间直角坐标系④球坐标平面直角坐标系与曲线方程1.的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．【例1】设△ABC的周长为18，|AB|＝8，求顶点C的轨迹方程．[精彩点拨]建立适当的平面直角坐标系，利用如周长为18，即AC＋BC＝10这个条件．[尝试解答]以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(－4,0)，B(4,0)，设点坐标为(x，y)，由此得：|CA|＋|CB|＝10，又10＞|AB|，所以C 点轨迹是中心在原点，以A ，B 为焦点的椭圆，但应扣除其与x 轴的交点，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由此得：a ＝5，c ＝4，∴b ＝a 2－c 2＝52－42＝3，故所求轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．1．如图，圆O 1和圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．[解] 如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设P (x ，y )，则|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2＝(x ＋2)2＋y 2－1. 同理，|PN |2＝(x －2)2＋y 2－1. ∵|PM |＝2|PN |，即|PM |2＝2|PN |2， 即(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即x 2－12x ＋y 2＋3＝0，即动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.简单的极坐标方程C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程φ(ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式f (ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程．【例2】 已知Rt△ABO 的直角顶点A 在直线ρcos θ＝9上移动(O 为原点)，又∠AOB ＝30°，求顶点B 的轨迹的极坐标方程．[精彩点拨] 设B (ρ，θ)，利用直角三角形中的三角函数建立ρ与θ的关系，化简即可求解．[尝试解答] 如图①，设B (ρ，θ)，A (ρ1，θ1)． 则ρcos 30°＝ρ1，即ρ1＝32ρ. 又∵ρ1cos θ1＝9，而θ1＝θ－30°，∴ρcos 30°cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝9，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝6 3.若点B 的位置如图②所示，同理得点B 的轨迹方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝6 3.综上所述，点B 的轨迹方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ±π6＝6 3.2．求圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程．[解] 法一：设圆心C 的直角坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝3cos π6＝332，y 0＝3sin π6＝32.所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋y 2－33x －3y ＝0，所以ρ2＝33ρcos θ＋3ρsin θ， 即ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.法二：如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6.在Rt△POA 中， |OP |＝|OA |cos∠POA ， 则ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6， 即圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.极坐标与直角坐标的互化程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．【例3】 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ＝2a cos θ(a >0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[精彩点拨] 利用转化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. [尝试解答] (1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ， 得ρ2＝2aρcos θ， 即x 2＋y 2＝2ax .整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2， 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， 即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －922＝812，是以⎝ ⎛⎭⎪⎫92，92为圆心，以922为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16， 是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线．3．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0≤θ＜π2，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，∴4cos 2θ＝3，∴cos θ＝±32. ∵0≤θ<π2，∴cos θ＝32，∴θ＝π6. 将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ＝23，∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. 化为直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23cos π6，23sin π6，即(3，3)．[答案] (3，3)数形结合思想直观的几何图形用数量运算得以完美实现．【例4】 某海滨城市附近海面出现台风．据监测，当前台风中心位于城市O (如图)的东偏南θ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＝210方向300km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大．问：几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到侵袭持续多长时间？[精彩点拨] 建立平面直角坐标系，利用坐标法解决． [尝试解答] 法一(坐标法)：以O 为原点，正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示．在时刻t (h)台风中心P ′(x ，y )的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝300×210－20×22t ，y ＝－300×7210＋20×22t ，此时台风侵袭的区域是(x －x )2＋(y －y )2≤[r (t )]2，其中r (t )＝10t ＋60. 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 (0－x )2＋(0－y )2≤(10t ＋60)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫300×210－20×22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－300×7210＋20×22t 2≤(10t ＋60)2. 化简整理得t 2－36t ＋288≤0，解得12≤t ≤24.所以12小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为12小时． 法二(解三角形法)：假设经过t 小时后，台风中心位置从P 处转移到P ′处， 由于∠OPB ＝θ，且cos θ＝210＜cos 45°＝22， 所以θ＞45°，连结OP ′， 在△OPP ′中，OP ＝300，PP ′＝20t ， cos∠OPP ′＝cos(θ－45°) ＝cos θcos 45°＋sin θsin 45° ＝210×22＋7210×22＝45. 由余弦定理，得OP ′2＝3002＋(20t )2－2×300×20t ×45.若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有OP ′2≤(60＋10t )2，即3002＋(20t )2－2×300×20t ×45≤(60＋10t )2.化简，得t 2－36t ＋288≤0，即(t －12)(t －24)≤0，解得12≤t ≤24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭，持续时间为12小时．4．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．[解] 以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．∴所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正三角形ABC 的中心. 转化与化归思想标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，空间直角坐标与柱坐标、球坐标的互化等都是这种思想的体现．【例5】 求经过极点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程．[精彩点拨] 首先把三点的极坐标转化为直角坐标，写出圆的直角坐标方程后，再转化为极坐标方程．[尝试解答] 将点O ，A ，B 的极坐标化为直角坐标，分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，所以过这三点的圆的圆心为(3,3)，半径为32，所以圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，。
2018-2019年北师大版数学选修4-4备课参考：1.1.1平面直角坐标系与曲线方程
第一章坐标系§1平面直角坐标系1.1平面直角坐标系与曲线方程教学建议1.借助例题展示,让学生明确在直角坐标系建立时,应考虑使研究对象的坐标尽可能简单,比如把图形的某些对称轴或边放在坐标轴上,或把图形的关键点放在坐标原点;在没有具体给出题中线段长度时,选择坐标系的单位长度,使图形中的有关数据简化等.2.通过易错辨析和练习,让学生掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的同时还要注意:(1)选择恰当的坐标系,坐标系如果选择恰当,可使解题过程简化,减少计算量;(2)要注意给出曲线图形的范围,要在限定范围的基础上求曲线方程,如果只求出曲线的方程,而没有根据题目要求确定出x,y的取值范围,最后的结论是不完备的;(3)建立不同的坐标系,同一曲线的方程也不相同.备选习题1.如下图,在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是在线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F,某同学已正确求得直线OE的方程为x+y=0,请你完成直线OF的方程:()x+y=0.解析:由截距可得直线AB:=1,直线CP:=1,两式相减得:x+y=0,显然直线AB与CP的交点F满足此方程,故为所求的方程.答案:2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.(2)试问:当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解:(1)由题意,设曲线方程为y=ax2+,将点D(8,0)的坐标代入,得0=a·64+.∴a=-.∴所求曲线方程为y=-x2+.(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-(舍去),于是x=6,∴C点的坐标为(6,4).应用两点间距离公式计算,得|AC|=2,|BC|=4.故当观测点A,B测得离航天器的距离分别为2,4时,应向航天器发出变轨指令.。
高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案第一章 §1 第一课时 平移、旋转、反射和相似与位似
§全等与相似
第一课时平移、旋转、反射和相似与位似
[对应学生用书]
．平移、旋转、反射
．相似与位似
．平移、旋转变换过程中有何异同点？
提示：相同点：两者不改变图形的形状和大小．
不同点：平移不会改变图形的方向，而旋转改变图形方向．
．反射变换其实质是轴对称变换对吗？
提示：对．反射变换其实质就是轴对称变换．反射是由一条反射线确定，反射线也叫对
称轴，是连接图形中任一点与该点映象之间的所有线段的垂直平分线．
．位似变换是特殊的相似变换吗？
提示：相似变换是把一个图形按一定比例放大或缩小，而位似变换是图形的位置发生了改变，其形状、对应角的大小都不变．位似变换是一种特殊的相似变换．
[对应学生用书]
[例]△放大，位似变换后，求，，的对应点的坐标．
[思路点拨]本题主要考查相似和位似变换，解答此题需要先利用相似变换后再利用位
似中心确定图形．
[精解详析]如图，，的对应点的坐标分别为
′()，′()，′()和″(－，－)，
″(－，－)，″(－，－)．
相似变换的关键是确定相似比，而位似变换是由位似比决定的．若设和′是和′上任意一对对应点，则，，′共线且＝·，(定值)为与′的位似比，是位似中心．当和′居位似中心同侧时，>，当和′分别位居位似中心两侧时，<.故可知与′的相似比为.特别地当＝－时，位似变换就是中心对称变换．
．如图，用放大镜将图形放大，应该属于( )
．相似变换．平移变换
．反射变换．旋转变换
解析：选用放大镜放大是按一定比例放大的．属相似变换．．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(，
)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为( )。
2018学年高中数学北师大版选修4-1课件：第1章 章末分
直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位 置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性 质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意.
如图 13 所示，⊙O 是以 AB 为直径的△ABC 的外接圆，点 D 是劣 ︵ 弧BC的中点，连接 AD 并延长，与过 C 点的切线交于 P，OD 与 BC 相交于点 E.
巩 固 层
拓 展 层
章末分层突破
提 升 层 章 末 综 合 测 评
[自我校对] ①平行线分线段成比例定理 ②圆周角定理 ③弦切角定理 ④切割线定理 ⑤相交弦定理
射影定理的应用
射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边 之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特 别注意弄清射影与直角边的对应，分清比例中项，否则在做题中极易出错.
图 12 (2)AD2＝BC· CF· BE.
【证明】 (1)在 Rt△ABC 中， AD⊥BC， 1 1 ∴S△ABC＝2AB· AC＝2BC· AD. ∴AB· AC＝BC· AD.
(2)Rt△ADB 中，DE⊥AB，由射影定理可得 BD2＝BE· AB， 同理 CD2＝CF· AC， ∴BD2· CD2＝BE· AB· CF· AC. 又在 Rt△BAC 中，AD⊥BC， ∴AD2＝BD· DC， ∴AD4＝BE· AB· CF· AC， 又 AB· AC＝BC· AD. 即 AD3＝BC· CF· BE.
(2)连接 OP，交 AB 于点 D.如图， ∵PA＝PB，∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. ∵OA＝OB，∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线上. ∴OP 垂直平分线段 AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90° . 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. AP PO ∴DP＝ PA .∴AP2＝PO· DP.
全等与相似-北师大版选修4-1几何证明选讲教案
全等与相似-北师大版选修4-1 几何证明选讲教案前言几何证明是数学教育中的重要内容之一，通过学习几何证明，可以提升学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
全等与相似是几何证明中的重要内容，本教案选取北师大版选修4-1中的部分内容进行教学。
教学目标•了解全等与相似的定义；•掌握证明全等和相似的基本方法；•能够在实际问题中应用全等和相似的知识。
教学重点•全等和相似的概念及其特点；•全等和相似的证明方法和技巧。
教学难点•全等和相似的证明技巧和方法；•如何从实际问题中抽象出几何图形进行证明。
教学过程第一节全等和相似的概念1.1 全等的定义在平面几何中，若两个图形的所有对应部分都完全相同，则称这两个图形全等。
1.2 全等的判定方法•SSS准则（边-边-边）：若两三角形分别的三边相等，则这两个三角形全等。
•SAS准则（边-角-边）：若两个三角形的其中两边和它们夹角的大小相等，则这两个三角形全等。
•ASA准则（角-边-角）：若两个三角形的其中两角和它们夹边的长度相等，则这两个三角形全等。
•RHS准则（直角边-斜边-直角边）：若两个直角三角形的其中一条直角边和斜边分别相等，则这两个三角形全等。
1.3 相似的定义在平面几何中，若两个图形的形状相同，但大小不同，则称这两个图形相似。
1.4 相似的判定方法•AA准则（角-角）：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
•SSS准则（边-边-边）：若两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
第二节全等和相似的证明方法2.1 如何证明三角形全等2.1.1 SSS准则对于两个三角形，若它们的对应边分别相等，那么这两个三角形全等。
证明思路如下：•分别标出两个三角形的三个顶点，并连接它们的三条边；•假设两个三角形不全等，即存在至少一对边不相等；•通过边的对应关系，得出假设条件下另外的两条边也不相等；•根据这些条件，得出两个三角形中必然存在一个角大小不相等，从而推出两个三角形不全等；•根据反证法可知，上述假设不成立，两个三角形全等。
18学年高中数学第一章直线、多边形、圆章末复习课学案北师大版选修4_1
第一章 直线、多边形、圆章末复习课对应学生用书P30][对应学生用书P30]平移反射旋转相似判断两个图形是经过平移、反射、旋转、相似哪种变换而得到的．关键是抓住每一种变换的特点：即图形的位置、形状、大小会发生如何变化，从而解决与之相关的问题．[例1] 如图，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A (8，8)，B (4,0)，C (12，－4)，D (16,4)，画出它以原点O 为位似中心、相似比为12的位似图形，并确定其对应点的坐标．[解] A 、B 、C 、D 的对应点的坐标分别为A ′(4,4)，B ′(2,0)，C ′(6，－2)，D ′(8,2)和A ″(－4，－4)，B ″(－2,0)，C ″(－6,2)，D ″(－8，－2)．与圆有关的角的计算与证明圆中的角有四类：圆心角、圆周角、弦切角和弧所对的角，与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理，圆心角定理，弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．[例2] (1)已知⊙O 是∠ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BOC ＝ ，∠BIC ＝ .(2)如图，过点P 作⊙O 的割线PAB 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线分别与AE ，BE 相交于点C ，D .若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝ .[解析] (1)如图，∵∠A ＝80°，由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠BOC ＝2∠A ＝160°.又∵在△ABC 中，∠A ＝80°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－80°＝100°. 又∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12×100°＝50°.∴在△IBC 中，∠BIC ＝180°－50°＝130°. (2)由圆的切割线定理可得PE 2＝PB ·PA ⇒PE PB ＝PAPE， ∴△PEB ∽△PAE ， 设∠PAE ＝α，则∠PEB ＝α，∠PBE ＝α＋30°，∠APE ＝150°－2α， ∴△PCE 中，∠EPC ＝75°－α，∠PEC ＝30°＋α，∴∠PCE＝75°.[答案] (1)160°130°(2)75°切割线定理和弦切角定理，从而获得成比例线段，再结合相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明，或列出方程解得线段的长．[例3] 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.[证明] (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.[例4] 如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点F，连接CF并延长CF交AB于E.(1)求证：E是AB的中点；(2)求线段BF的长．[解] (1)证明：连接OD，OF，DF.∵四边形ABCD 是边长为a 的正方形， ∴BC ＝CD ，∠EBC ＝∠OCD ＝90°， ∵OF ＝OC ，DF ＝DC ，OD ＝OD ， ∴△OFD ≌△OCD ， ∴∠ODC ＝∠ODF ， ∠ECB ＝12∠FDC ＝∠ODC ，∴△EBC ≌△OCD ，∴EB ＝OC ＝12AB ，即E 是AB 的中点．(2)由BC 为⊙O 的直径易得BF ⊥CE ， ∴S △BEC ＝12BF ·CE ＝12CB ·BE ，∴BF BE ＝CB CE ，∴BF ＝55a .对应学生用书P31]一、选择题1．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，现得到下列式子：①AE EC ＝BF FC ；②AD BF ＝ABBC ；③EF AB ＝DE BC；④CE CF ＝EABF.其中，正确式子的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个解析：选B 由DE ∥BC ，EF ∥AB 知①②④正确，③错误．2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( )A ．457B ．335C ．395D ．152解析：选C过A 作AG ∥DC ，交EF 于H ，交BC 于G ，设AE ＝x ，DF ＝y ，由AB ＝BG ＝6，可得AE ＝EH ＝x . 由题意知x ∶6＝y ∶4. 所以2x ＝3y .①又梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等， 所以3＋x ＋3＋x ＋y ＝6－x ＋9＋4－y ＋3＋x . 所以x ＋y ＝8.②由①②解得x ＝245，所以EF ＝245＋3＝395.3. 如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM ＝MC ，AM ＝1.5，BM ＝4，则OC ＝( )A ．2 6B ． 6C ．2 3D ．2 2解析：选D 延长CO 交⊙O 于D ，则DM ＝3CM ，CM ·MD ＝MA ·MB ，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.4.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC .①若∠A ＝90°，AB ＋CD ＝BC ，则以AD 为直径的圆与BC 相切； ②若∠A ＝90°，当以AD 为直径的圆与BC 相切时，则以BC 为直径的圆也与AD 相切；③若以AD 为直径的圆与BC 相切，则AB ＋CD ＝BC ；④若以AD 为直径的圆与BC 相切，则以BC 为直径的圆与AD 相切． 以上判断正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C (1)过AD 的中点E ，作EG ⊥BC 于点G ，过E 作AB 的平行线EF ，则EF 是梯形ABCD 的中位线．所以EF ＝12(AB ＋CD )＝12BC ＝CF .所以∠CEF ＝∠ECF ， 因为EF ∥CD ，所以∠DCE ＝∠CEF ， 所以∠DCE ＝∠ECF . 因为在△DCE 和△GCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DCE ＝∠ECG ，∠D ＝∠CGE ，EC ＝EC ，所以△DCE ≌△GCE (AAS)，所以EG ＝DE ＝12AD ，则以AD 为直径的圆与BC 相切．故命题①正确；(2)若∠A ＝90°，当以AD 为直径的圆与BC 相切时，设以AD 为直径的圆的圆心是E ，则E 是AD 的中点，设圆与BC 相切于点G ，则连接EG ，则EG ⊥BC ，且EG ＝ED .因为在Rt△DCE 和Rt△GCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧EG ＝ED ，EC ＝EC ，所以Rt△DCE ≌Rt△GCE (HL)， 所以CD ＝CG ，同理，BG ＝AB ， 所以AB ＋CD ＝BC ，故③正确；取BC 的中点F ，连接EF ，则EF 是梯形ABCD 的中位线，EF ＝12(AB ＋CD )＝12BC ，又因为若∠A ＝90°，则EF ⊥AD ，所以以BC 为直径的圆也与AD 相切．故②正确；(3)若以AD 为直径的圆与BC 相切，则以BC 为直径的圆与AD 相切，根据(2)可以得到当中位线EF 是F 到AD 的垂线段时，以BC 为直径的圆与AD 相切，否则就不相切．故④错误．故正确的是①②③.故选C. 二、填空题5.如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，已知AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则CD ＝ .解析：因为⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，所以AP ·PB ＝CP ·PD ， 因为AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3， 所以PD ＝AP ·PBCP＝8，所以CD ＝CP ＋PD ＝3＋8＝11. 即CD 的长是11. 答案：116.(天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为 ．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝166＝83.答案：837.(广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝ .解析：因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥BC .又BC ＝CD ，所以△ABD 是等腰三角形，所以AD ＝AB ＝6，∠DAC ＝∠BAC .因为CE 切圆O于点C ，所以∠ECA ＝∠ABC .又因为∠BAC ＋∠ABC ＝90°，所以∠DAC ＋∠ECA ＝90°，故CE ⊥AD .故CD 2＝DE ·DA ＝2×6＝12，所以BC ＝CD ＝2 3.答案：2 38.如图，PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B C ，过C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于D ，E 两点．(1)若PA ＝5，则△PDE 的周长为 ； (2)若∠APB ＝50°，则∠DOE ＝ . 解析：(1)由切线长定理得DC ＝DA ，EC ＝EB ，PA ＝PB ，∴△PDE 的周长为PD ＋PE ＋DE ＝PD ＋DC ＋PE ＋CE ＝PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝PA ＋PB ＝2PA ＝10.(2)连接OP .∵PA 、DC 均为切线， ∴∠PAO ＝90°.由切线长定理得∠APO ＝12∠APB ＝25°，∴∠AOP ＝65°.又C 在PO 上，且∠DOC ＝∠AOD ， ∴∠COD ＝65°2，∴∠DOE ＝2∠COD ＝65°.答案：10 65° 三、解答题9.如图，已知BC 是⊙O 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A点，BF 交AD 于点E ，且BE ·EF ＝32，AD ＝6.(1)求证：AE ＝BE . (2)求DE 的长． (3)求BD 的长．解：(1)证明：连接AF ，AB ，AC .因为A 所以∠ABE ＝∠AFB . 又∠AFB ＝∠ACB ， 所以∠ABE ＝∠ACB . 因为BC 为直径，所以∠BAC ＝90°.因为AH ⊥BC . 所以∠BAE ＝∠ACB . 所以∠ABE ＝∠BAE . 所以AE ＝BE .(2)设DE ＝x (x >0)，由AD ＝6，BE ·EF ＝32，AE ·EH ＝BE ·EF ，则(6－x )(6＋x )＝32， 解得x ＝2， 即DE 的长为2.(3)由(1)，(2)知：BE ＝AE ＝6－2＝4， 在Rt△BDE 中，BD ＝42－22＝2 3.10．(辽宁高考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB . 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ， 从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 类似可证，Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ， 所以EF 2＝AD ·BC .。
【测控设计】2018-2019学年高中数学 1.3.1圆与四边形课件 北师大版选修4-1
高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案第一章 §3 圆与四边形
§圆与四边形
[对应学生用书]
．圆内接四边形的性质定理
．四点共圆的判定定理
由圆内接四边形的性质定理知，圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？
提示：矩形、正方形、等腰梯形
[对应学生用书]
[例] 如图所示，在△中，＝，延长到，再延长到，使得＝.求证：△
的外心与，，四点共圆．
[思路点拨]本题主要考查四点共圆的判断．解题时，先连接，，，，.要证，，，四点共圆，只需证∠＝∠即可，为此只要证△≌△即可．
[精解详析]如图，连接，，，，.
在△和△中，＝，
∴∠＝∠.
由已知＝，＝，
∴＝.
又是等腰△的外心且＝，
∴∠＝∠，
∴∠＝∠.
∴△≌△.∴∠＝∠，＝.
∴∠＝∠.
∴∠＝∠
＝(∠＋∠)
＝(∠＋∠＋∠－∠)
＝×∠＝∠.
∴，，，四点共圆．
判定四点共圆的方法：
()如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．
()如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
()如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆
．
()如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆．(因为四个顶点与斜边中点距离相等)
．在锐角三角形中，是边上的高，⊥，⊥，，是垂足．
求证：，，，四点共圆．
证明：如图，连接.
∵⊥，⊥，
∴，，，四点共圆．
∴∠＝∠.
∴∠＋∠＝∠＋∠＝°.。
北师大版高中数学选修第一章章节复习教案
第十三课时 本章小结复习一、教学目标1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点。
3、了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点。
4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：数学归纳法 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)知识结构本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程，它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程推理与证明AFBCME 也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程，要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生活中的作用。
（二）、例题探析例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。
例2、分别用分析法和综合法证明：在△ABC 中，如果AB =AC ，BE ，CF 分别是三角形的高线，BE 与CF 相交于点M ，那么，MB =MC 。
证明：（分析法）要证明MB =MC ，只需证明△BFM ≌△CEM 。
因为△BFM ，△CEM 均为直角三角形，且∠BMF =∠CME ， 只需证明BF =CE 即可。
在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形， ∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，有△BFC ≌△CEB ，BF =CE 以上各布可逆，故MB =MC 。
（综合法）在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形， 有∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，可知△BFC ≌△CEB ，所以BF =CE 在Rt △BFM 与Rt △CEM 中，∠BMF=∠CME ，∠FBM =∠ECM ， 所以△BFM ≌△CEM ，MB =MC ，得证。
2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式章末复习课教学案北师大版选修4
2019-2020年高中数学第一章不等关系与基本不等式章末复习课教学案北师大版选修4绝对值不等式的解法[解] 法一：利用分类讨论的思想方法． 当x ≤－1时，－x －1－x <2， 解得－32<x ≤－1；当－1<x <0时，x ＋1－x <2， 解得－1<x <0； 当x ≥0时，x ＋1＋x <2， 解得0≤x <12.因此，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.法二：利用方程和函数的思想方法． 令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥0，－1－1≤x <0，－2x －3x <－1. 作函数f (x )的图像(如图)，知当f (x )<0时，－32<x <12.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.法三：利用数形结合的思想方法．由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32＜x <12.法四：利用等价转化的思想方法． 原不等式⇔0≤|x ＋1|<2－|x |， ∴(x ＋1)2<(2－|x |)2，且|x |<2，即0≤4|x|<3－2x，且|x|<2.∴16x 2<(3－2x )2，且－2<x <2. 解得－32<x <12.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32＜x <12.[例2] 不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，求a 的取值范围． [解] 设f (x )＝x ＋|x －2a |， 则函数f (x )在R 上恒大于1，又∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2ax ≥2a ，2a x <2a ，∴x ≥2a 时，f (x )≥f (2a )＝2a . ∴函数f (x )在R 上的最小值为2a . ∴要使f (x )在R 上恒大于1，只要2a >1， ∴a >12.平均值不等式的应用常与函数数列、解析几何、立体几何交汇命题，多以中档题形式出现．在利用平均值不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x ，y 为正数；②“和”或“积”为定值；③等号一定能取到．这三个条件缺一不可．[例3] 当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3[解析] 利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转化变形，再用均值不等式求解．f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x2sin x cos x ＝cot x ＋4tan x .∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cot x >0，tan x >0.故f (x )＝cot x ＋4tan x ≥2cot x ·4tan x ＝4. [答案] C[例4] 为了提高产品的年产量，某企业拟在xx 年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知xx年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将xx 年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业xx 年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k .∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1. 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (元)，∴xx 年的利润y ＝x ·⎣⎡⎦⎤1.5×8＋16x x －(8＋16x )－m ＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0， ∴16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤29－8＝21. 当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3，y max ＝21. ∴该企业xx 年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．不等式的证明常与函数、数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有：1．比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．[例5] 若x ，y ，z ∈R ，a >0，b >0，c >0，求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．[证明] ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2－2(xy ＋yz ＋zx )＝⎝⎛⎭⎫b a x 2＋a b y 2－2xy ＋⎝⎛⎭⎫c b y 2＋bc z 2－2yz ＋ ⎝⎛⎭⎫a c z 2＋c a x 2－2zx ＝⎝⎛⎭⎫b a x －a b y 2＋ ⎝⎛⎭⎫c by －b c z 2＋⎝⎛ a cz⎭⎫－c a x 2≥0， ∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立． 2．综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误．如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．[例6] 设a >0，b >0，a ＋b ＝1. 求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. [证明] (1)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，∴1ab ≥4.∴1a ＋1b ＋1ab＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab＋4 ＝8.∴1a ＋1b ＋1ab ≥8. (2)∵a ＋b 2≤a 2＋b 22， 则a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋b ＋1b 22 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝⎛⎭⎫1＋21ab 22≥252.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. 3．分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．[例7] 已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1， 求证：a ＋12＋b ＋12≤2. [证明] 要证 a ＋12＋ b ＋12≤2， 只要证⎝⎛⎭⎫a ＋12＋b ＋122≤4， 即证a ＋b ＋1＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. 只要证：⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1. 也就是要证：ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14.∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14成立．故a ＋12＋b ＋12≤2.4．反证法和放缩法证明不等式(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．[例8] 已知0<a <1,0<b <1,0<c <1.求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 至少有一个小于等于14.[证明] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，∵0<a <1,0<b <1,0<c <1. ∴b 与1－a 都是正数． 根据平均值不等式，有1－a ＋b2≥1－a b >14＝12. 同理，1－b ＋c 2>12，1－c ＋a 2>12. ∴1－a ＋b 2＋1－b ＋c2＋1－c ＋a 2>12＋12＋12＝32. ∴32>32，此为矛盾． 所以假设不成立，∴(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 至少有一个小于等于14.[例9] 设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1(n ＝1，2,3，…)．证明：n n ＋12<a n <n ＋122.[证明] 对于一切正整数k 都有k <k k ＋1<k ＋k ＋12＝2k ＋12. 令k ＝1,2，…n ，有1<1×2<32，2<2×3<52，…，n <nn ＋1<2n ＋12.以上各式相加得1＋2＋…＋n <1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<32＋52＋…＋2n ＋12，整理即得n n ＋12<a n <n ＋122.故原不等式对于n ∈N ＋都成立．[对应学生用书P31]一、选择题1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1解析：∵x ≥52，∴x －2≥12.∴f (x )＝x －22＋12x －2＝12(x －2)＋12x －2≥2x －22·12x －2＝1， 当且仅当x －22＝12x －2， 即x ＝3时，等号成立． ∴f (x )min ＝1. 答案：D2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >ab 2B.a b 2>a b >aC.a b >ab2>a D.a b >a >a b2 解析：本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较1b ，1b 2，1的大小，再比较a b ，a b 2，a 的大小．又因为a <0，所以又可认为是在比较－1b ，－1b 2，－1的大小．因为b <－1，所以1>1b 2>1b .也可以令a ＝－1，b ＝－2，分别代入A ，B ，C ，D 中，知A ，B ，D 均错．答案：C3．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 与9的大小关系是( )A.1a ＋1b ＋1c ≥9 B.1a ＋1b ＋1c ＜9 C.1a ＋1b ＋1c＝9 D ．不确定解析：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号.答案：A4．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋y x ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(当且仅当yx ＝a 时，取等号)． ∵(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立， ∴只需(a ＋1)2≥9.∴a ≥4. 答案：B 二、填空题 5．A ＝1＋12＋13＋…＋1n 与n (n ∈N ＋)的大小关系是______． 解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n . 答案：A ≥n6．(陕西高考)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是________．解析：∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |＞2， ∴|x －a |＋|x －b |＞2恒成立，则解集为R . 答案：(－∞，＋∞)7．不等式|x －1|＋|x ＋3|≥6的解集是________． 解析：∵|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ≤－3，4， －3<x <1，2x ＋2， x ≥1.当x ≤－3时，－2x －2≥6⇒x ≤－4； 当x ≥1时，2x ＋2≥6⇒x ≥2； 当－3<x <1时，4≤6，舍去． 故不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}． 答案：{x |x ≥2或x ≤－4}8．(天津高考)设a ＋b ＝2，b >0, 则12|a |＋|a |b 的最小值为________．解析：因为12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 的最小值是34.答案：34三、解答题9．某数列由下列条件确定：x 1＝a >0，x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n ， n ∈N ＋.(1)证明：对n ≥2总有x n ≥a ； (2)证明：对n ≥2总有x n ≥x n ＋1.证明：(1)由x 1＝a >0，及x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n 可以归纳证明x n >0，从而有x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n ≥x n ·ax n ＝a (n ∈N ＋)，所以当n ≥2时，x n ≥a 成立． (2)当n ≥2时，因为x n ≥a >0，x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n ， 所以x n ＋1－x n ＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n －x n ＝12·a －x 2nx n ≤0.故当n ≥2时，x n ≥x n ＋1成立． 10．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解； 当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．[对应学生用书P51] (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b ”或“b ＞1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当0＜ab ＜1时，若b ＞0，则a ＜1b ，若b ＜0，则b ＞1a .反之，a ＜1b ⇒a －1b ＜0⇒b (ab－1)＜0.当b ＞0时，ab ＜1；当b ＜0时，ab ＞1.同理，当b ＞1a 时；若a ＞0时，则ab ＞1，若a ＜0，则ab ＜1，所以“0＜ab ＜1”是“a ＜1b ”或“b ＞1a”的充分而不必要条件．答案：A2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <RD ．P <R <Q解析：a >b >1⇒lg a >0，lg b >0，Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ，R >lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ⇒R >Q >P .答案：B3．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，3－x 3＋x ＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－x 2＋x 的解集是( )A ．(0,2)B ．(0,2.5)C ．(0，6)D ．(0,3)解析：用筛选法，容易验证x ＝2是不等式的解，否定A ；x ＝52不是不等式的解，否定D ；x ＝6使3－x 3＋x 与⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－x 2＋x 取“＝”，∵6＜52，故否定B. 答案：C4．(江西高考)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥|x －1－x |＋|y －1－(y ＋1)|＝1＋2＝3. 答案：C5．若a >0，b >0，则p ＝(ab )a ＋b2，q ＝a b b a 的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q解析：a >0，b >0， 即p q＝aba ＋b 2a b b a ＝a a －b 2b b －a 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2.当a ≥b 时，0<ab ≤1，a －b 2≥0.∴p ≥q .同理a <b 时，p >q ，综上可知p ≥q . 答案：A6．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，32 B.⎝⎛⎭⎫－215 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫－12，23 解析：如果在[－1,1]内没有满足f (c )＞0的数c ，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f1≤0，解得⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴此时p 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫p | p ≤－3或p ≥32，取补集即得所求实数p 的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫p | －3＜p ＜32.答案：A7．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a ＝( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：由|ax ＋2|＜6⇒－8＜ax ＜4. 当a ＞0时，－8a ＜x ＜4a .∵解集是(－1,2)，∴⎩⎨⎧－8a＝－1，4a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，a ＝2，两值矛盾．当a ＜0时，4a ＜x ＜－8a.由⎩⎨⎧4a ＝－1，－8a ＝2⇒a ＝－4.答案：C8．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由题意，知a ＋b ＝1，则α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab ≥1＋1⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝5.当且仅当a＝b ＝12时，取等号．答案：C9．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．|a －b |≤|a －c |＋|b －c | B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b |＋1a －b≥2 D.a ＋3－a ＋1≤a ＋2－a解析：因为|a －b |＝|(a －c )－(b －c )|≤|a －c |＋|b －c |，所以选项A 恒成立；在选项B 两侧同时乘以a 2，得a 4＋1≥a 3＋a ⇒(a 4－a 3)＋(1－a )≥0⇒a 3(a －1)－(a －1)≥0⇒(a －1)2(a 2＋a ＋1)≥0，所以选项B 恒成立；在选项C 中，当a ＞b 时，恒成立，a ＜b 时，不成立；在选项D 中，分子有理化得2a ＋3＋a ＋1≤2a ＋2＋a 恒成立．答案：C10．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝2，a ＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：依题意得4＝a ＋ b ≥2a ·b ，则a b ≤4，a 2b ≤16，当且仅当b ＝a 2＝4时，等号可以取到．因为x ＝log a 2，y ＝log b 2，所以2x ＋1y ＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2a 2b ≤log 216＝4，即2x ＋1y 的最大值为4.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是________．解析：用分析法比较，a ＞b ⇔3＋5＞2＋6 ⇔8＋215＞8＋212，同理可比较得b ＞c . 答案：a ＞b ＞c12．(上海高考)设常数a ＞0.若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．解析：由题意可知，当x ＞0时，f (x )＝9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a ≥a ＋1⇒a ≥15，当且仅当9x ＝a 2x ，即x ＝a3时等号成立． 答案：⎣⎡⎭⎫15，∞13．不等式|2|x |－3|＜|x |＋1的解集为________． 解析：原不等式等价于(2|x |－3)2＜(|x |＋1)2， 所以4x 2－12|x |＋9＜x 2＋2|x |＋1， 所以3x 2－14|x |＋8＜0. 所以3|x |2－14|x |＋8＜0. 所以(3|x |－2)(|x |－4)＜0. 所以23＜|x |＜4.所以－4＜x ＜－23，或23＜x ＜4.所以原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －4＜x ＜－23，或23＜x ＜4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －4<x <－23，或23<x <414．a >0，b >0，给出下列四个不等式： ①a ＋b ＋1ab≥22； ②(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4； ③a 2＋b 2ab ≥a ＋b ；④a ＋1a ＋4≥－2.其中正确的不等式有________．(只填序号) 解析：∵a >0，b >0，∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥2·2ab ·1ab＝22；②(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4ab 1ab＝4； ③∵a 2＋b 22≥a ＋b2， ∴a 2＋b 2≥a ＋b 22＝(a ＋b )a ＋b2≥(a ＋b )ab .∴a 2＋b 2ab ≥a ＋b .④a ＋1a ＋4＝(a ＋4)＋1a ＋4－4≥2a ＋4·1a ＋4－4＝2－4＝－2，当且仅当a ＋4＝1a ＋4，即(a ＋4)2＝1时等号成立，而a >0，∴(a ＋4)2≠1.∴等号不能取得． 答案：①②③三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围． 解：(1)证明：由a >0， 有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a | ≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a－x －a ＝1a＋a ≥2.当且仅当“1a ＝a ，即a ＝1时”取等号．所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 16．(本小题满分12分)设x >－1，求函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值． 解：∵x >－1，∴x ＋1>0，y ＝x ＋5x ＋2x ＋1＝[x ＋1＋4][x ＋1＋1]x ＋1＝(x ＋1)＋5＋4x ＋1≥2· x ＋1·4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴y 的最小值是9.17．(本小题满分12分)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2. (2)法一：记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k 的取值范围是k ≥1.法二：⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝⎛⎭⎫x 2＝|||2x ＋1|－2|x ＋1| ＝2⎪⎪⎪⎪|x ＋12|－|x ＋1|≤1， 由|f (x )－2f (x 2)|≤k 恒成立， 可知k ≥1，所以k 的取值范围是k ≥1.18．(本小题满分14分)(北京高考)给定数列a 1，a 2，…，a n .对i ＝1,2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6.(2)证明：因为a 1>0，公比q >1，所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1.于是对i ＝1,2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i＝q (i ＝1,2，…，n －2)， 即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i .又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列．因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －1)．又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1.因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n .所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列． .。
本章小结建议-北师大版选修4-1几何证明选讲教案
本章小结建议-北师大版选修4-1 几何证明选讲教案本文主要是针对北师大版选修4-1 几何证明选讲教案的学习总结和建议。
通过对本章内容的学习，我认为对于几何证明的方法和技巧有了更深的认识和理解。
在这里，我将从以下几个方面总结本章的重点内容，并提出我个人的建议。
一、本章的重点内容1.1 三角形的证明本章的第一部分主要是讲解三角形的证明。
对于初学者而言，这是一个比较简单的内容。
但是，我们需要注意证明过程中的一些细节，以及如何找到三角形的特征点以便进行证明。
1.2 直线，角度和线段的证明本章的第二部分主要是讲解直线、角度和线段的证明。
这是比较难的一部分，需要学生掌握证明过程中的一些基本技巧和方法，例如作垂线、异侧角、角平分线等。
1.3 圆的证明本章的第三部分主要讲解圆的证明。
圆的证明相对来说比较容易，但是同样需要学生掌握证明过程中的一些基本技巧和方法，例如圆的切线定理等。
二、我的建议2.1 细心认真地阅读教材在学习本章内容时，我们首先需要细心认真地阅读教材，并理解证明过程中的每一步，逐步培养学生的证明思维和步骤感。
另外，我们需要与老师进行交流和讨论，在老师的指导下提高自己的证明能力。
2.2 多动手实践其次，我们需要多动手实践，经过自己的实践来理解证明过程和方法的本质，从而更好地掌握证明技巧。
例如，可以自己设计一些证明题目，或者模仿教师或教材的证明过程进行练习。
2.3 培养自己的逻辑思维实践中发现，几何证明需要具备一定的逻辑思维能力。
因此，在平时的学习中，学生需要培养自己的逻辑思维，例如看到一个问题时，需要有所思考，独立的解决问题，而不是一味的依赖答案和别人的帮助。
2.4 多积累例题学习几何证明需要进行大量的例题练习。
通过多做例题，我们可以更好地掌握证明方法，并能够熟练地运用到生活实践中。
三、总结以上就是我对北师大版选修4-1 几何证明选讲教案的总结和建议。
通过阅读本章，我们学习了三角形、直线、角度和线段以及圆的证明。
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章末复习课
[对应学生用书P30]
[对应学生用书P30]
变换的特点：即图形的位置、形状、大小会发生如何变化，从而解决与之相关的问题．
[例1] 如图，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A (8，8)，B (4,0)，C (12，－4)，D (16,4)，
画出它以原点O 为位似中心、相似比为12
的位似图形，并确定其对应点的坐标．
[解] A 、B 、C 、D 的对应点的坐标分别为A ′(4,4)，B ′(2,0)，C ′(6，－2)，D ′(8,2)和A ″(－4，－4)，B ″(－2,0)，C ″(－6,2)，D ″(－8，－2)．
明通常涉及这四类角，因此圆周角定理，圆心角定理，弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．
[例2] (1)已知⊙O 是∠ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BOC ＝ ，∠BIC ＝ .
(2)如图，过点P 作⊙O 的割线PAB 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，
BE ，∠APE 的平分线分别与AE ，BE 相交于点C ，D .若∠AEB ＝30°，
则∠PCE ＝ .
[解析] (1)如图，∵∠A ＝80°，
由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠BOC ＝2∠A
＝160°.
又∵在△ABC 中，∠A ＝80°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－80°＝100°.
又∵∠IBC ＝12
∠ABC ， ∠ICB ＝12
∠ACB ， ∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12
×100°＝50°. ∴在△IBC 中，∠BIC ＝180°－50°＝130°.
(2)由圆的切割线定理可得PE 2＝PB ·PA ⇒PE PB ＝PA PE ，
∴△PEB ∽△PAE ，
设∠PAE ＝α，
则∠PEB ＝α，∠PBE ＝α＋30°，∠APE ＝150°－2α，
∴△PCE 中，∠EPC ＝75°－α，∠PEC ＝30°＋α，
∴∠PCE＝75°.
[答案](1)160°130°(2)75°
定理和弦切角定理，从而获得成比例线段，再结合相似三角形进行等比代换或等线代换加以证明，或列出方程解得线段的长．
[例3]如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线
DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
[证明](1)因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以DE∥BC.
又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，
所以CF＝BD＝AD.
而CF∥AD，连接AF，
所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，
所以BC＝AF，
故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，
故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，
所以GB＝BD.
而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.
[例4]如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，
DA为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O交于点F，连接CF并延长CF交
AB于E.
(1)求证：E是AB的中点；。