5 第三节 常用函数(二)
常用函数公式及函数汇总
常用函数公式及函数汇总函数是数学中的重要概念，在数学的各个分支中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的函数及其公式，供参考。
1. 线性函数：线性函数是一种简单而常用的函数形式，表示为f(x) = ax + b。
其中，a和b是常数，称为线性函数的斜率和截距。
2. 平方函数：平方函数是一种次数为2的多项式函数，表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是常数，a不等于0。
3.开方函数：开方函数是指返回其平方等于输入值的数的函数。
例如，开方函数的一种形式是平方根函数f(x)=√x。
5. 对数函数：对数函数是指返回以一些指定的底数为底，得到输入值的幂的函数。
常见的对数函数有自然对数函数f(x) = ln(x)和常用对数函数f(x) = log(x)。
6. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，常见的三角函数有正弦函数f(x) = sin(x)、余弦函数f(x) = cos(x)和正切函数f(x) = tan(x)等。
7. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，用来解决三角函数的反问题。
常见的反三角函数有反正弦函数f(x) = arcsin(x)、反余弦函数f(x) = arccos(x)和反正切函数f(x) = arctan(x)等。
8.绝对值函数：绝对值函数表示为f(x)=，x，它的值恒为输入值的非负数。
9.取整函数：取整函数是指返回最接近输入值的整数，常见的取整函数有向上取整函数f(x)=⌈x⌉和向下取整函数f(x)=⌊x⌋等。
10.最大函数和最小函数：最大函数返回给定多个输入值中的最大值，最小函数返回给定多个输入值中的最小值。
11.断尾函数：断尾函数指的是将输入值的小数部分舍弃，保留整数部分的函数，常用的断尾函数有向上断尾函数f(x)=⌈x⌉和向下断尾函数f(x)=⌊x⌋。
12. 双曲函数：双曲函数是与三角函数相似的函数，但它们以指数为基，而不是以圆形为基。
常见的双曲函数有双曲正弦函数f(x) =sinh(x)、双曲余弦函数f(x) = cosh(x)和双曲正切函数f(x) = tanh(x)等。
有关函数重要知识点总结
有关函数重要知识点总结一、函数的定义在数学中，函数通常被定义为一个对应关系，即对于集合A和B，如果存在一个规则f，使得对于A中的每个元素x，都有一个唯一的y∈B与之对应，那么称f为A到B的一个函数，记作f: A→B，y = f(x)。
在计算机科学中，函数是一种具有输入和输出的过程或子程序，能够完成特定的任务。
函数通常由关键字def或function来定义，其基本格式为：def function_name(parameters):# function bodyreturn result其中，function_name是函数名，parameters是函数的参数，function body是函数体，result是函数的返回值。
二、函数的性质1. 一一对应性：函数中的每个输入值对应唯一的输出值，即不同的输入对应不同的输出。
2. 定义域和值域：函数的定义域是输入值的集合，值域是输出值的集合。
3. 奇偶性：函数的奇偶性指的是当输入值x的变化导致输出值y的变化时，y的奇偶性与x的奇偶性是否有关系。
如果y和-x的奇偶性相同，则称函数是偶函数；如果它们的奇偶性相反，就称之为奇函数。
4. 单调性：函数的单调性是指当输入值x增加时，输出值y是增加、减少还是保持不变。
5. 周期性：如果存在一个常数T，使得对于函数f的任意x，有f(x+T) = f(x)，那么称f具有周期性，T称为函数的周期。
三、函数的分类1. 基本初等函数：包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 复合函数：由两个或多个基本函数组合而成的函数。
3. 逆函数：如果函数f将集合A中的每个元素x映射到集合B中唯一的y，那么称f具有逆函数g。
g的定义域是B，值域是A，g将B中的每个元素y映射到A中唯一的x，且g(x) = y，即g(f(x)) = x。
4. 反比例函数：反比例函数是指当输入值x增加时，输出值y减少的函数。
其一般形式为y = k/x，k为常数。
第5章 数组(C++版) 第三节 字符数组和字符串类型02
【分析】 首先要将给定的原文保存在字符数组里。然后，在原文中，从头开始寻找字符A，找 到一个字符A，便将其替换成字符B；继续寻找下一个字符A，找到了就替换，……，直到 将原文都处理完。如下程序只能处理单个字符替换，无法处理单词替换，I U中间只能有 一个空格。getchar()输入的使用方法详见教材的第二章第四节，单词替换详见《信息学 奥赛一本通拓展教程》。 程序如下： #include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; int main() { char st[200]; char A,B; int i,n=0; while((st[n++]=getchar())!='\n') //将原文存放在字符数组st中 A=getchar();getchar();B=getchar(); //读取A和B，中间getchar()读空格 for (i=0;i<n;i++) if (st[i]==A) cout<<B; else cout<<st[i]; cout<<endl; return 0; }
#include<iostream> #include<iomanip> using namespace std; int main() { for (char letter='a'; letter<='z'; letter+=2) cout<<setw(3)<<letter; cout<<endl; for (char letter='z'; letter>='a'; letter-=2) cout<<setw(3)<<letter; return 0; }
会计常用函数知识点总结
一、常用函数的概念在Excel中，函数是一种预定义的公式，用于执行特定的计算或任务。
在会计领域，有许多常用的函数可以帮助会计师进行数据分析、财务报表的制作和预算管理等工作。
常用函数可以大大提高会计工作的效率和准确性。
二、常用函数的分类在会计领域，常用函数可以分为数学和统计函数、逻辑函数、日期和时间函数、文本函数以及查找与引用函数等几类。
1. 数学和统计函数：包括SUM、AVERAGE、MAX、MIN、STDEV等函数，用于进行数学和统计计算。
2. 逻辑函数：包括IF、AND、OR、NOT等函数，用于进行逻辑判断和条件计算。
3. 日期和时间函数：包括DATE、TODAY、NOW、YEAR、MONTH等函数，用于处理日期和时间数据。
4. 文本函数：包括LEFT、RIGHT、MID、LEN、CONCATENATE等函数，用于处理文本数据。
5. 查找与引用函数：包括VLOOKUP、HLOOKUP、INDEX、MATCH等函数，用于查找和引用数据。
三、常用函数的使用技巧1. 在会计工作中，会计师可以使用SUM函数来进行财务报表的汇总计算。
例如，可以使用=SUM(A1:A10)来计算A1至A10单元格的和。
2. 逻辑函数IF可以帮助会计师进行复杂的条件计算。
例如，可以使用=IF(A1>0,"正数","负数")来判断A1单元格中的数值是否为正数。
3. 日期和时间函数可以帮助会计师处理账期、账龄等相关数据。
例如，可以使用=YEAR(A1)来提取A1单元格中日期的年份。
4. 文本函数可以帮助会计师处理公司名称、产品名称等文本数据。
例如，可以使用=CONCATENATE(A1,"-",B1)来将A1和B1单元格中的文本数据连接起来。
5. 查找与引用函数可以帮助会计师在大量数据中快速查找到需要的数据。
例如，可以使用=VLOOKUP(A1,Sheet2!A1:B10,2,FALSE)来在Sheet2中查找A1单元格中的数值对应的第二列数据。
函数常用公式及知识点总结
函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。
线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。
二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。
3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。
指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。
4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。
对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。
5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。
三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。
二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。
如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。
3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。
平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。
4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。
复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。
2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第三节两角和与差二倍角的三角函数公式
(1)熟记公式结构特征以及符号规律.
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用.
对点训练1(1) 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
A.
5
3
2
B.3
1
C.
3
(2)若
D.
3
tan(α-β)=2,tan
5
1+tan
(2)由已知得 2tan θ=7,即 tan2θ-4tan θ+4=0,解得
1-tan
1
1
(3)对于 A,sin 15°cos 15°=2sin 30°=4,A 项错误;
tan θ=2.
对于B,sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,B项正确;
12
(2)若 3sin α-sin β=
π
8
π
1-ta n 2
8
D.
tan
π
10,α+β= ,则
2
sin α=
,cos 2β=
.
3 10
(2)
10
答案 (1)AD
4
5
17π
π
π
π
解析(1)A,sin =sin(2π+π- )=sin(π- )=sin
6
6
6
6
π
π
B,sin12 cos12
C,cos
)
)
1+cos40°
(3)由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±
函数知识点大全总结
函数知识点大全总结一、函数的定义和调用1. 函数的定义：函数是一段封装了特定功能的可重复使用的代码块，通常包括函数名、参数列表和函数体。
2. 函数的调用：使用函数名和参数列表来调用函数，传递参数并获取函数的返回值。
二、函数的参数1. 形参和实参：在函数定义中使用的参数叫做形参，到实际函数调用时传递的参数叫做实参。
2. 位置参数：按照参数的位置来传递参数值的方式。
3. 关键字参数：按照参数名来传递参数值的方式。
4. 默认参数：在函数定义时为参数指定默认值，调用时如果不传递该参数则会采用默认值。
5. 可变参数：允许函数接受任意数量的参数。
在 Python 中可以使用 *args 和 **kwargs 来实现可变参数。
三、函数的返回值1. 返回单个值：函数可以返回一个具体的数值、字符串、变量等。
2. 返回多个值：使用元组或列表等数据结构返回多个值。
四、函数的作用域1. 全局作用域：在函数外部定义的变量拥有全局作用域，可以在整个程序中进行访问。
2. 局部作用域：在函数内部定义的变量拥有局部作用域，只能在函数内部进行访问。
3. 嵌套作用域：当函数嵌套定义时，内部函数可以访问外部函数的变量。
五、函数的返回类型1. 无返回值函数：即返回值为 None 的函数。
2. 有返回值函数：返回具体的值或变量。
3. 返回类型注解：某些编程语言支持在函数定义时注明返回值的数据类型。
六、函数的递归1. 递归函数：函数内部调用自身的函数。
2. 递归终止条件：递归函数需要有终止条件，否则会进入无限循环。
七、匿名函数1. Lambda 表达式：一种简洁的定义小型匿名函数的方式。
2. 使用场景：适用于在不需要创建具体函数名的场合，通常用于函数式编程中。
八、高阶函数1. 函数作为参数：将函数作为参数传递给另一个函数。
2. 函数作为返回值：返回另一个函数，使得函数可以嵌套调用。
九、闭包1. 闭包定义：内部函数会引用外部函数的变量，并将其保留在内存中，形成闭包。
函数知识点与公式总结
函数知识点与公式总结一、函数的定义和性质函数的定义：函数是一个对应关系，它把一个集合的元素对应到另一个集合的元素。
一个简单的函数可以用如下的记号来表示：f：X→Y，表示一个函数f从集合X到集合Y的映射关系。
其中，X称为定义域，Y称为值域。
函数的性质：1. 定义域和值域：定义域是指函数的输入可以取的值的集合，值域是函数的输出可以取的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性是指在定义域内，函数的增减趋势。
可以分为递增和递减两种情况。
3. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。
如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=f（x），那么函数是偶函数；如果对于任意x∈定义域，都有f（-x）=-f（x），那么函数是奇函数。
4. 周期性：函数的周期性是指函数在一定范围内具有重复的性质。
5. 函数的图像：函数的图像是函数在直角坐标系中的点的集合，描述了函数的性质和特点。
二、常见的函数公式1. 线性函数线性函数是指函数的图像是一条直线的函数。
线性函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b 是常数，a称为斜率，b称为截距。
2. 二次函数二次函数是指函数的图像是一个抛物线的函数。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a≠0。
3. 指数函数指数函数是以常数e为底数的幂函数，一般形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
4. 对数函数对数函数是指以常数a为底数的对数函数，一般形式为y=log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们描述了角度和弧度之间的关系。
6. 反比例函数反比例函数是指函数的图像是一条反比例曲线的函数，一般形式为y=k/x，其中k是常数。
7. 绝对值函数绝对值函数的一般形式为y=|x|，它表示x的绝对值，即x的正数部分。
8. 分段函数分段函数是指在定义域的不同区间上有不同函数式的函数，一般形式为f(x)=```{g(x)，a≤x≤bh(x)，b＜x＜c}```9. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量（或生成元素）是另一个函数的值域，即f[g(x)]，表示函数f和g的复合。
五个常用函数的名称和功能
五个常用函数的名称和功能函数一：len()功能：返回对象的长度或元素个数。
使用方法：len(obj)参数说明：obj：要求长度的对象，可以是字符串、列表、元组、字典等。
返回值：返回对象的长度或元素个数。
函数二：print()功能：将指定内容输出到控制台或文件中。
使用方法：print(*objects, sep=' ', end='\n', file=sys.stdout, flush=False) 参数说明：*objects：要输出的内容，可以是一个或多个参数，用逗号隔开。
sep：分隔符，默认为一个空格。
end：结尾符，默认为换行符。
file：输出文件，默认为控制台。
flush：是否立即刷新缓冲区，默认为False。
返回值：无返回值，直接将内容输出到控制台或文件中。
函数三：range()功能：生成一个整数序列，常用于循环中的计数器变量。
使用方法：range(stop)range(start, stop[, step])参数说明：start（可选）：序列起始值，默认为0。
stop（必选）：序列结束值（不包含该值）。
step（可选）：步长，默认为1。
如果step小于0，则生成倒序序列。
如果step等于0，则会引发ValueError异常。
返回值：生成指定范围内的整数序列，以迭代器形式返回。
如range(5)生成[0, 1, 2, 3, 4]；range(1, 5)生成[1, 2, 3, 4]；range(1, 5, 2)生成[1, 3]。
函数四：sorted()功能：对可迭代对象进行排序。
使用方法：sorted(iterable, *, key=None, reverse=False)参数说明：iterable：要排序的可迭代对象，如列表、元组等。
key（可选）：用于指定排序时的比较函数，可以是一个函数或lambda表达式，用于提取每个元素的比较关键字。
默认为None，即直接比较元素本身。
函数公式、图像汇总 (2)
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1［-1,1］x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在［2kπ+2π,2kπ+32π］上都是减函数(k∈Z)在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)在(kπ-2π，kπ+2π)内都是增函数(k∈Z)在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)反三角函数的图形反三角函数的性质名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x∈〔-2π,2π〕的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tanx(x∈(-2π,2π)的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctanyy=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty理解arcsinx表示属于［-2π,2π］且正弦值等于x的角arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角arctanx表示属于(-2π,2π)，且正切值等于x的角arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角性质定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞)值域［-2π，2π］［0，π］(-2π，2π) (0，π)单调性在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减函数在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π-arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π-arccotx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-2π,2π］)cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］)arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x（x∈(-2π,2π)）cot(arccotx)=x(x∈R)arccot(cotx)=x(x∈(0,π))互余恒等式arcsinx+arccosx=2π(x∈［-1,1］) arctanx+arccotx=2π(X∈R)三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cos α cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h-------------------------------------------------------------------------------------------- 三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
常见函数知识点总结
常见函数知识点总结函数是数学中的一个重要概念，它在数学和科学中有着广泛的应用。
在学习函数的过程中，有一些常见的知识点是需要掌握的，包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的分类、函数的运算、函数的应用等。
本文将对这些常见的函数知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握函数的相关知识。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它规定了每个自变量对应一个唯一的因变量。
具体来说，如果对于每一个自变量x，都有唯一的因变量y与之对应，那么我们就说y是x的函数，记作y=f(x)。
其中，x称为自变量，y称为因变量，f称为函数。
例如，f(x)=x^2就是一个函数，它表示自变量x的平方值作为因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合，值域是所有因变量可能取值的集合。
2. 奇偶性：如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
3. 单调性：如果对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)是增函数；如果对于任意的x1<x2，有f(x1)>f(x2)，那么函数f(x)是减函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
5. 对称性：如果对于任意的x1和x2，有f(x1)=f(x2)，那么函数f(x)是对称函数。
三、函数的图像函数的图像是在坐标系中用曲线或点表示的。
常见的函数图像有直线、抛物线、三角函数曲线、指数函数曲线、对数函数曲线等。
在图像上，我们可以通过函数的性质来判断函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等。
例如，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，增函数的图像是逐渐上升的，周期函数的图像有明显的重复规律等。
四、函数的分类1. 初等函数：包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、指数对数函数等。
数学函数公式大全
数学函数公式大全一、代数函数1. 线性函数：y = ax + b，其中a和b是常数，x是自变量。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，x是自变量。
3. 三次函数：y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d是常数，x是自变量。
4. 指数函数：y = a^x，其中a是常数，x是自变量。
5. 对数函数：y = log_a(x)，其中a是常数，x是自变量。
二、三角函数1. 正弦函数：y = sin(x)，其中x是自变量。
2. 余弦函数：y = cos(x)，其中x是自变量。
3. 正切函数：y = tan(x)，其中x是自变量。
4. 余切函数：y = cot(x)，其中x是自变量。
5. 正割函数：y = sec(x)，其中x是自变量。
6. 余割函数：y = csc(x)，其中x是自变量。
三、反三角函数1. 反正弦函数：y = arcsin(x)，其中x是自变量。
2. 反余弦函数：y = arccos(x)，其中x是自变量。
3. 反正切函数：y = arctan(x)，其中x是自变量。
4. 反余切函数：y = arccot(x)，其中x是自变量。
5. 反正割函数：y = arcsec(x)，其中x是自变量。
6. 反余割函数：y = arccsc(x)，其中x是自变量。
四、双曲函数1. 双曲正弦函数：y = sinh(x)，其中x是自变量。
2. 双曲余弦函数：y = cosh(x)，其中x是自变量。
3. 双曲正切函数：y = tanh(x)，其中x是自变量。
4. 双曲余切函数：y = coth(x)，其中x是自变量。
5. 双曲正割函数：y = sech(x)，其中x是自变量。
6. 双曲余割函数：y = csch(x)，其中x是自变量。
数学函数公式大全五、积分函数1. 不定积分：∫f(x)dx，其中f(x)是函数，x是自变量。
2. 定积分：∫a^bf(x)dx，其中f(x)是函数，a和b是积分区间。
2常用函数
应用： 单缝透过率、门函数、时间脉冲波形.
光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过 率。它与其它函数相乘，可限制函数自变量的取值范围，起 到截取函数的作用，故又称为门函数。
如
rect( x )cos x a
表示一个只出现在区间 a , a 上的余弦函数
2 2
y
0
x0
r0
)
(
0
)
这里
r0
0
x02 arctan
y02
y0
x0
(r0 0)
(0 0 )
同时
(r r0 )dr 1
r0 0 ？
2
0
(
0 )dr
1
0 0 2
3 ) 坐标缩放： (ax) 1 (x)
N
x2 y2
Nrect( Nx)
N3
N2
1
2N1
N1
x
0 1 2N1
N exp( N 2 x2 )
N3
N2 N1
x
0
δ函数性质
筛选性质 可分离变量性质 坐标缩放性质 与普通函数乘积性质 卷积性质
1) 筛选特性：
对任一连续函数 (x), 有：
(x) (x)dx (0) and (x) (x x0)dx (x0)
0
a x0 2
x0
x0
a 2
x
矩形函数——二维定义式为：
1 rect(x, y) rect(x)rect( y) 1/ 2
0
常用函数公式及用法
常用函数公式及用法函数是数学中的重要概念，用来描述数值关系和映射关系。
常用函数公式及其用法包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和常数函数等。
1.线性函数线性函数是最简单的函数形式，表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一个直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的截距。
线性函数广泛地应用于各个领域，如经济学中的供求关系和企业收益分析等。
2.二次函数二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向和形状由a的正负号决定。
二次函数用于描述很多自然现象，如抛物线的运动轨迹和一些物理学的定律等。
3.指数函数指数函数的表达式为f(x)=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1、指数函数的图像是一个以a为底的指数曲线，呈现出逐渐增长或递减的趋势。
指数函数在经济学、生物学和物理学等领域中被广泛使用，如利息计算、人口增长模型和放射性衰变等。
4.对数函数对数函数是指数函数的逆运算，表达式为f(x) = loga(x)，其中a 为常数且大于0且不等于1、对数函数的图像是指数曲线的镜像，可以用来求解指数方程。
对数函数在数学和科学领域中有着重要的应用，如计算机科学中的算法分析和信号处理中的动态范围表示等。
5.三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，与三角比例关系相关。
三角函数可以描述周期性的现象和波动现象，广泛地应用于物理学、工程学和天文学等领域。
三角函数的图像是周期性的波动曲线，可以用来描述周期性的定量变化。
6.常数函数常数函数是一个恒定的函数，表达式为f(x)=c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平的直线，表示其输出值在定义域内始终不变。
常数函数在数学中用来描述恒定的量或稳定的状态。
常用函数基础知识
函数具有一些基本性质，如确定性、单值性、封闭性等。确定性是指对于每一个 输入值，函数都有唯一的输出值与之对应；单值性是指对于每一个输入值，函数 只有一个输出值与之对应；封闭性是指函数的运算结果仍然是一个函数。
函数的分类与表示
分类
根据不同的分类标准，函数可以分为不同的类型。例如，根据定义域的不同， 函数可以分为实数函数、复数函数等；根据值域的不同，函数可以分为有穷函 数和无穷函数等。
导数在函数分析中的应用
求函数的极值
通过求导可以找到函数的极值点，即导数 为0的点。在极值点处，函数取得局部最
大值或最小值。
判断函数的单调性
通过求导可以判断函数的单调性， 如果函数的导数大于0，则函数单调 递增；如果函数的导数小于0，则函
数单调递减。
A
B
C
D
判断函数的图像形状
通过求导可以判断函数的图像形状，如是 否为直线、曲线、凹函数、凸函数等。
性质
当 $n > 0$ 时，幂函数是增函数；当 $n < 0$ 时，幂函数是 减函数。幂函数的图像可以通过幂函数的性质和变换得到。
03
三角函数及其性质
正弦函数与余弦函数
正弦函数
y = sin(x)，周期为2π，在区间 [0, 2π]上重复。
余弦函数
y = cos(x)，周期为2π，在区间 [0, 2π]上重复。
最值问题
正弦和余弦函数在区间[0, 2π]上取 得最大值为1，最小值为-1；正切和 余切函数在区间[0, π/2)∪(π/2, π) 上无界。
04
指数函数和对数函数
指数函数的定义与性质
定义：$a^x = x^a$
底数大于1时，函数是递 增的；
常用函数知识点总结初中
常用函数知识点总结初中函数是数学中一种特殊关系的概念，是一种以输入变量为自变量，以输出变量为因变量的映射关系，通常用f(x)表示。
在数学中，函数是一种非常重要的概念，它在几何、代数、微积分等各个领域都有重要的应用。
在初中阶段，学习了很多种不同类型的函数，其中包括线性函数、二次函数、分段函数等。
下面将对常用的函数知识点进行总结。
一、线性函数线性函数是一种最简单的函数形式，它具有f(x) = kx + b的形式，在图像上表现为一条直线。
其中k表示斜率，b表示截距。
线性函数的图像始终是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。
线性函数的性质：1. 斜率代表了函数的变化速度，斜率越大，函数变化越快，反之亦然。
2. 直线的斜率为正，则函数是增函数；直线的斜率为负，则函数是减函数；直线的斜率为零，则函数是常数函数。
3. 直线的截距决定了直线与y轴的交点位置，截距为正则直线与y轴正向偏移，截距为负则直线与y轴负向偏移。
二、二次函数二次函数是一种常见的函数形式，它具有f(x) = ax^2 + bx + c的形式，在图像上表现为一条抛物线。
其中a决定了抛物线的开口方向以及形状，b决定了抛物线在x轴上的平移，c决定了抛物线在y轴上的平移。
二次函数的性质：1. 当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 与x轴的交点称为零点，如果存在实数根，则代表了函数的图像与x轴的交点。
4. 当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
三、分段函数分段函数是指由不同函数片段组成的函数形式，通常以数学表达式加上对应定义域的方式来表示。
在不同的定义域内，函数可以采用不同的函数形式，这种函数称为分段函数。
分段函数的性质：1. 在各个定义域内，分段函数采用不同的函数形式，可以是线性函数、二次函数、常数函数等。
函数常用知识点总结图解
函数常用知识点总结图解函数是程序设计中最基本的概念之一，它可以将一个复杂的问题分解为一个个简单的小问题，然后分别解决。
在程序设计中，函数常常被用来封装功能，提高代码的复用性和可维护性。
本文将总结函数的常用知识点，并通过图解的方式进行详细解释。
1. 函数的定义和调用函数的定义一般包括函数名、参数列表和函数体。
函数名用于标识函数，在调用函数时需要使用函数名来指定要调用的函数。
参数列表用于接收调用函数时传入的参数，函数体则是函数的具体实现内容。
函数的调用是使用函数名和参数列表来触发函数执行的过程。
在调用函数时需要提供符合参数列表要求的参数，然后函数会按照函数体中的实现逻辑来执行相应的操作。
2. 函数的返回值函数可以有返回值，也可以没有返回值。
当函数有返回值时，调用函数后可以获取函数的返回值进行后续的处理。
返回值一般使用return语句来指定，返回值的类型需要与函数声明时的返回类型一致。
3. 函数的参数函数的参数可以分为形式参数和实际参数。
形式参数是在函数定义时声明的参数，用于接收调用函数时传入的参数。
实际参数是调用函数时传入的参数，用于提供函数执行时需要的具体数值信息。
函数的参数可以分为普通参数、默认参数、可变参数和关键字参数。
普通参数是最常见的参数传递方式，通过位置顺序来传递参数值。
默认参数允许在函数定义时为参数设置默认值，当调用函数时没有为该参数传入值时，使用默认值。
可变参数允许接受任意数量的参数，在函数体内可以将这些参数作为一个元组进行处理。
关键字参数允许在调用函数时通过参数名指定参数值，这样可以不按照参数顺序传递参数值。
4. 函数的作用域函数可以访问不同的作用域中的变量，一般来说函数内部可以访问函数外部的变量，但是函数外部不能访问函数内部的变量。
Python中的作用域分为局部作用域、全局作用域和内建作用域。
局部作用域指的是函数内部的作用域，全局作用域指的是函数外部的作用域，内建作用域指的是内建函数和变量定义的作用域。
中职高三数学函数知识点
中职高三数学函数知识点数学函数是中职高三学习中的重要内容之一，它是数学中的基础概念之一，贯穿于各个章节和知识点。
本文将从函数的定义、性质及图像、函数的分类和常见函数等方面进行论述，以帮助同学们全面掌握数学函数知识。
一、函数的定义及性质函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
定义如下：定义1：设有两个非空集合A和B，如果根据某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个元素x，都在集合B中唯一地确定一个元素y与之对应，那么就称f为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B。
定义2：设函数f：A→B，如果对于x1∈A和x2∈A，当x1≠x2时，有f(x1)≠f(x2)，即函数的自变量不同，则函数值也不同。
则称函数f为单射函数。
定义3：设函数f：A→B，如果对于任意的b∈B，都能找到一个a∈A，使得f(a)=b，则称函数f为满射函数。
定义4：设函数f：A→B，如果函数f既是单射函数，又是满射函数，则称函数f为双射函数。
函数的性质有以下几点：1. 定义域和值域：函数的定义域是指自变量可以取的值的集合，值域是指函数对应的因变量的取值范围。
2. 奇偶性：如果对于任意的x∈定义域，有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数；如果对于任意的x∈定义域，有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数。
3. 单调性：如果对于定义域内的任意两个不同的实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数为增函数；当x1>x2时，有f(x1)>f(x2)，则函数为减函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内任意一个实数x，有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
二、函数的图像及性质函数的图像可以通过绘制函数的坐标图来表示，其中自变量x 在横轴上，因变量y在纵轴上。
通过绘制函数图像，可以进一步了解函数的性质。
1. 基本函数的图像：线性函数y=kx，其中k为常数，对应于平面直线；二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，对应于抛物线；三角函数sin x、cos x、tan x等，对应于正弦曲线、余弦曲线和正切曲线等。
基本函数公式大全
基本函数公式大全下面是一些基本的函数公式，这些公式适用于数学、物理、化学等领域：1.线性函数线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
2.二次函数二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
3.平方根函数平方根函数的一般形式为：f(x)=√x，其中x为正实数。
4.立方函数立方函数的一般形式为：f(x)=x^3，其中x为实数。
5.指数函数指数函数的一般形式为：f(x)=a^x，其中a为正实数且不等于16.对数函数对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且不等于17.正弦函数正弦函数的一般形式为：f(x) = sin(x)，其中x为弧度。
8.余弦函数余弦函数的一般形式为：f(x) = cos(x)，其中x为弧度。
9.正切函数正切函数的一般形式为：f(x) = tan(x)，其中x为弧度。
10.反正弦函数反正弦函数的一般形式为：f(x) = arcsin(x)，其中x为-1到1之间的实数。
11.反余弦函数反余弦函数的一般形式为：f(x) = arccos(x)，其中x为-1到1之间的实数。
12.反正切函数反正切函数的一般形式为：f(x) = arctan(x)，其中x为任意实数。
13.绝对值函数绝对值函数的一般形式为：f(x)=，x，其中x为实数。
14.阶乘函数阶乘函数的一般形式为：f(n)=n!，其中n为非负整数。
15.斯特林公式斯特林公式可以用来估计阶乘函数的值：n!≈√(2πn)(n/e)^n，其中n为正整数。
16.泰勒级数泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用来近似计算函数的值。
17.欧拉公式欧拉公式表明对于任意实数x，有e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e为自然对数的底，i为虚数单位。
18.离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散序列转换为频谱分析的方法，可以用来分析信号和图像。
函数必备【二级结论】和知识点
1函数知识必备1、函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （1）定义域： ①x 的取值范围；②基本初等函数的定义域：分式中分母不等于零即AB中0B ≠；偶次根式被开方式大于或等于00a ≥； 零指数幂0x 中{}|0x x ≠；对数中真数大于0即log a b 中0b >．正切函数tan y x =中ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．③抽象函数的定义域：定义域是x 的取值范围；括号里的范围是相同的． ④定义域取交集：若()f x ，()g x 的定义域分别为f D 、g D ，则()()()F x f x g x =±的定义域F f g D D D =I ．（2）值域：①y 的取值范围，分段函数中值域取并集； ②求值域的几种方法：1）直接法（利用基本初等函数的值域）；2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； 3）单调性法（判断函数的单调性）；4）分离常数（分式型函数，分子分母为一次函数形式）；（3）分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，分段函数是一个函数； ①注意分界点，画图时找到临界值； ②写分段函数时，定义域不重不漏； ③带解析式时，注意定义域满足的条件．2、函数的四性：单调性、奇偶性、对称性、周期性． （1）单调性：①定义：()()()1212,x x f x f x f x >>⇒单调递增； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−>⇒⎡⎤⎣⎦单调递增；()()()12120f x f x f x x x −>⇒−单调递增；（联想）()()0f x f x '>⇒单调递增．②定义：()()()1212,x x f x f x f x ><⇒单调递减； 等价变形：()()()()12120x x f x f x f x −−<⇒⎡⎤⎣⎦单调递减；()()()12120f x f x f x x x −<⇒−单调递减；（联想）()()0f x f x '<⇒单调递减．③在公共区间上：增+增为增；减+减为减；增-减为增；减-增为减． ④复合函数的增减性：“同增异减”．⑤特殊函数的增减性：()()()()f x f x ↑↓⇒−↓↑；()()())()0f x f x ↑↓⇒≥↑↓；()()()()()()()100f x f x f x f x ↑↓⇒↓↑><或．⑥“脱掉、脱掉（脱掉f ）”：（抽象函数的单调性）若()f x 为增函数，即函数值大的自变量也大，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向不变，也就是12x x >；若()f x 为减函数，即函数值大的自变量反而小，即()()12f x f x >时，脱掉f ，不等号方向改变，也就是12x x <；31a >单调递增区间为()0,+∞幂函数y x α=0α<在()0,+∞上递减0α= 没有单调性 0α>在[)0,+∞上递增7）对勾函数：()0,0by ax a b x=+>>的单调性与极值点b a ±有关．8）绝对值函数：y a x k =−（0a ≠）1a>10<a<1y=log a xyx O 0<α<1α<0α>1α=1α=011y=x αOyx5（2）奇偶性：①前提：定义域关于原点对称（若区间(),a b 上是奇函数或者偶函数，则0a b +=；若定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数）； ②定义：奇函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=−，则()f x 为奇函数（()()0f x f x −+=）；2）图象关于原点对称；3）在对称区间内，单调性相同；4）若定义域内含有0，则()00f =． 偶函数：（一看定义，二看图象）1）x D ∀∈，有()()f x f x −=，则()f x 为偶函数（()()0f x f x −−=）； 2）图象关于y 轴对称；3）在对称区间内，单调性相反． 注意：利用定义判断函数奇偶性的步骤：③基本初等函数的奇偶性： 函数参数取值奇偶性 一次函数()0y kx b k =+≠0b = 奇函数 0b ≠非奇非偶函数 二次函数()20y ax bx c a =++≠0b = 偶函数 0b ≠ 非奇非偶函数 反比例函数()0ky k x=≠ − 奇函数 指数函数xy a =（0a >且1a ≠） −非奇非偶函数对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）−非奇非偶函数幂函数y x α= α为奇数 奇函数 α为偶数偶函数④结论：1）函数()0f x =即是奇函数也是偶函数； 2）偶函数有()()()()f x f x f x f x =−==−； 3）奇偶性的运算规律：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数； （4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数；（6）奇±偶=非奇非偶（即奇函数中不含偶函数的项，偶函数中不含奇函数的项）； 4）x 的奇数次幂是奇函数，x 的偶数次幂是偶函数；5）若()()f x g x c =+（()g x 为奇函数），则()()2f a f a c +−=． 6）常见奇、偶函数：奇函数：xxy a a −=−；)ln y x =；x x x xa a y a a −−−=+．偶函数：+x xy a a −=；2y x a x =+．（3）对称性：①关于点对称：（横坐标和定，纵坐标和定）()f x 关于点()0,0对称，可得()()0f x f x −+=；()f x 关于点(),a b 对称，可得()()2f x a f x a b −+++=；或者()()22,f x f x a b −++=L ；若()f x 满足()()22f x f x a b +−+=，则()f x 关于点(),a b 对称．②关于轴对称：（横坐标和定，纵坐相等）()f x 关于0x =（y 轴）对称，可得()()f x f x −=；()f x 关于x a =对称，可得()()f x a f x a −+=+；或者()()2,f x f x a −=+L ；若()f x 满足()()2f x f x a =−+，则()f x 关于x a =对称．（4）周期性：（横坐标差定，纵坐相等）①定义：存在非零常数T ，对于()f x 定义域内的任意一个x ，()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT (), 0k k ∈≠Z 也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期．②周期性的重要结论：1）()()f a x f b x +=+，T b a =−；2）()()f a x f b x +=−+，2T b a =−，特别地，()()f a x f x +=−，2T a =，则()()()()2f x a f x a a f x a f x +=++=−+=⎡⎤⎣⎦．3）()()1f a x f x +=±，2T a =；则()()()()12f x a f x a a f x f x a +=++==⎡⎤⎣⎦+． 4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．75）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T −=⇒． 6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T −=⇒．7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T −=⇒．3、基本初等函数的图象：指、对、幂函数的特点． （1）指数函数： 指数运算：①正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅⋅L ；②负整数指数幂：1n n a a−=（0a ≠，*n ∈N ）；③零指数幂：01a =（0a ≠）；④正分数指数幂：mna =0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =)；⑤负分数指数幂：1m n m n a a −=(0a >，m ,*n ∈N ，(),1m n =）；⑥指数幂的运算性质：①r s r s a a a +=；②r r s sa a a−=；③()r r rab a b =；④()()s r r s a a =．指数函数图象与性质： ①定义域：R ； ②值域：()0,+∞；③过定点：()0,1，过点()1,a ；④单调性：01a <<时，指数函数为减函数；1a >时，指数函数为增函数；⑤渐近线：x 轴（图象上下平移时，渐近线也要一同平移；图象上下翻折时渐近线也要进行翻折）．指数函数知识拓展：①指数函数xy a =与1xx y a a −⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称；②判断底数大小：令1x =，与图象交点的纵坐标为底数；③比较大小：同底、同指、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解指数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．（2）对数函数： 对数运算：①对数定义：一般地，若ba N =，则log ab N =（0a >，且1a ≠），读作“以a 为底N 的对数”．②常见的对数符号：常用对数，把10log N 记为lg N ；自然对数，把e log N 记为ln N ，其中e 2.71828=L ． ③对数恒等式：1）log 10a =；2）log 1a a =；3）log a Na N =；4）log N a a N =；④对数的运算性质：1）()log log log a a a M N M N ⋅=+；2）log log log a a a M M N N =−；3）log log a a M M αα=；4）log log log a b a NN b=（换底公式）．⑤有用结论：1）1log log a b b a =；2）log log m n a a n b b m=．对数函数图象及性质： ①定义域：()0,+∞； ②值域：R ；③过定点：()1,0，过点(),1a ；④单调性：01a <<时，对数函数为减函数；1a >时，对数函数为增函数； ⑤渐近线：y 轴（图象左右平移时，渐近线也要一同平移）． 对数函数与指数函数的关系注：同底的对数函数与指数函数互为反函数，二者的图象关于y x =对称．对数函数知识拓展：①对数函数log a y x =与11log log log a aay x x x ==−=的图象关于x 轴对称； ②判断底数大小：令1y =，与图象交点的横坐标为底数；③比较大小：同底、同真、或者和0、1比较，或者和中间值比较；④解对数不等式：化同底，根据单调性去底（底数1a >，去底不等号的方向不改变；底数01a <<，去底不等号的方向改变）．⑤求复合函数的单调性时，满足两点： 1）真数部分要大于0；2）根据复合函数的“同增异减”来求函数的单调区间．9（3）幂函数：①概念：形如()y x αα=∈R 的函数称为幂函数．②常见幂函数的图象将函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图象画在同一坐标系中，如下图所示：③幂函数的性质1）所有幂函数在()0, +∞上都有定义；2）0α>时，幂函数过原点，且在[)0,+∞上单调递增；0α<时，幂函数在()0, +∞上单调递减；3）设mnα=，m ∈Z ，*n ∈Z ，(),1m n =，当n 是偶数，则幂函数既不是奇函数也不是偶函数；当n 是奇数，则当m 为奇数时幂函数是奇函数，m 为偶数时幂函数是偶函数．4）当01α<<时，函数是上凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭；当1α>时，函数是下凸函数，且12,x x ∀满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭． 5）幂函数的图象根据奇偶性进行补全即可．4、函数零点 （1）零点定义：①对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点；②零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标.即：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点； ③函数的零点与方程根的关系：函数()()()F x f x g x =−的零点就是方程()()f x g x =的根，即函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象交点的横坐标．④三个等价关系(三者相互转化)（2）零点存在性定理：①函数()f x 在区间[],a b 上是连续不断的； ②()()0f a f b <；③则函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即至少存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 就是方程()=0f x 的根（即是函数()f x 的零点）． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．③由函数()y f x =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出()f a ·()f b 0<，如图所示．所以()f a ·()f b 0<是()y f x =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．（3）零点唯一的条件：函数()f x 在区间(),a b 上连续不断，满足()()0f a f b <，且函数()f x 在区间(),a b 上单调，则函数()f x 有唯一零点．。
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第三节常用函数（二）
一、教学目标
1、数学函数
2、字符串函数（重点）
3、日期与时间函数
4、随机函数
二、教学过程
1、数学函数
Sqr(x) 求x的平方根，x必须大于或等于0
Dim a As Integer
a = 9
a = 25 '变量a重新被赋值
Print Sqr(a)
Abs(x) 求x的绝对值
Dim x As Integer
Dim y As Integer
x = 8
y = 10
Print Abs(x - y)
Print Abs(-9)
2、字符串函数（重点）
InStr(x,y) 在字符串x中查找字符串y的位置，返回数值
m = "Visual Basic"
n = "a"
Print InStr(m, n)
x = "全国计算机等级考试"
y = "等级" '以第一个字符为准
Print InStr(x, y)
Left(x,n) 左端截取字符串x中的n个字符
Dim x As String
x = "全国计算机等级考试"
Print Left(x, 5) '输出前五个字符
Right(x,n) 右端截取字符串x中的n个字符
Dim x As String
x = "全国计算机等级考试"
Print Right(x, 4) '输出右边四个字符
Print Right("Visual Basic", 7) '输出右边7 个字符包括空格Len(x) 求字符串x的长度（字符的个数）返回数值
Dim x As String
x = "全国计算机等级考试"
y = "Visual Basic"
Print Len(x)
Print Len(y) '空格也算字符
Mid(x,p,n) 从p位置，在字符串x中截取n个字符
x = "全国计算机等级考试"
y = "Visual Basic"
n = Len(y)
Print Mid(x, 6, 2)
Print Mid(x, 3, n)
Ltrim(x) 去掉字符串x左边的空格
Dim str As String
str = " 程序设计"
Print LTrim(str)
Print str
Rtrim(x) 去掉字符串x右边的空格
Dim a As String
Dim b As String
a = "计算机"
b = "程序设计"
Print a + b
Print RTrim(a) + b
Trim(x) 去掉字符串两边的空白
Dim a As String
Dim b As String
a = " 计算机"
b = "程序设计"
Print a + b
Print Trim(a) + b
String(n,x) 从x字符串中产生n个首字字符
Dim str As String
str = "*$#"
Print String(6, str)
Print String(6, Mid(str, 2, 1))
3、日期函数
Date() 返回计算机系统的当前日期
Now() 返回日期与时间
Time() 返回当前时间
Year() 年份year(date) Year("1998/4/18")
Month() 月份
Day() 天
Print "距情人节还有" & #2/14/2010# - Date & "天"
Print Date + Val(Text1) '输入天数，计算是什么日期
4、随机函数
Rnd() 产生[0,1]之间的单精度随机数
Int(4 * Rnd + 1) 产生一个1-4(含1和4)的随机整数
产生某区间的随机整数：
公式：Int((b - a + 1) * Rnd + a)
Rnd(n)
N<=0，产生相同的数
n>0，产生下一个随机数
省略n，产生下一个随机数
Rnd()的取值范围是：0-1，不包括1
Rnd(10)的取值范围是：0-1，不包括1
Rnd()*10的取值范围是：0-10，不包括10
①Int(Rnd(10)*10)的取值范围是：（）
例1：验证码
Private Sub Command1_Click()
Dim a%, b%, c%, d%
a = Int(Rnd * 10)
b = Int(Rnd * 10)
c = Int(Rn
d * 10)
d = Int(Rnd * 10)
Label1.Caption = a & b & c & d
'Label1.Caption = Int(Rnd * (9999 - 1000 + 1)) + 1000
End Sub
例2：颜色的随机变化
Private Sub Command1_Click()
Dim a%, b%, c%
a = Int(Rnd * 255)
b = Int(Rnd * 255)
c = Int(Rn
d * 255)
Label1.BackColor = RGB(b, a, c)
Me.BackColor = RGB(a, b, c) 'me就是form1
End Sub
例3：字母验证码
Private Sub Command1_Click()
Dim a$, b%, c$, d%
a = Chr(Int(Rnd * (122 - 97 + 1) + 97))
b = Int(Rnd * 10)
c = Chr(Int(Rn
d * (90 - 65 + 1) + 65))
d = Int(Rnd * 10)
Label1.Caption = a & b & c & d
End Sub
三、课后练习
1、执行以下程序段后，变量C$的值为（）
A$ = "Visual Basic Programing"
B$ = "Quick"
C$ = B$ & UCase(Mid$(A$, 7, 6)) & Right$(A$, 11)
Print C$
2、表达式Left("how are you", 3)的值是（）
3、表达式Abs(-5) + Len("ABCDE")的值是（）
4、有如下程序，运行后，输出结果是（）
a$ = "China"
b$ = Right$(a$, 3): c$ = String$(3, b$) Print c$。