八下专题四中点四边形问题

合集下载

专题1：中点四边形4--对角线相等且垂直的四边形

18.18专题1：中点四边形4--对角线相等且垂直的四边形一．【知识要点】1.对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。

二．【经典例题】1．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝BD，点E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点．求证：四边形EFGH是正方形．1.四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，求证：四边形EFGH是菱形。

（2）如图2，若AC=BD，则四边形EFGH的形状是（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形EFGH是矩形。

（4）如图4，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是3.在四边形ABCD 中，AB=CD,∠ABC+∠DCB=90°，点E,F,M,N分别为AD,BD,BC,AC的中点，试判断四边形EFMN的形状并加以证明。

三．【题库】【A】【B】1.四边形ABCD 中，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点。

（1）如图1，当时，四边形EFGH为正方形。

（2）如图2，E,F,G,H分别为AD,BD,BC,AC的中点，①当时，四边形EFGH为矩形。

②当时，四边形EFGH为菱形。

【C】1．如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，连接DE、可以得到：DE∥BC，且DE═BC（不需要证明）．【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．【应用】在【探究】的条件下：（1）四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：（只添加一个条件）（2）如图③，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC、BD相交于点O．若HE⊥EF，HE＝5，EF＝8，则四边形ABCD的面积为．【D】1．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F 分别为边BC，CD的中点时，有：①AF＝DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE＝DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．。

八年级数学下册中点四边形模型(解析版)

专题01中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1:点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【解答】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理：FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝HG＝EH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．故选：C．【典例3】（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形一定是（）A．矩形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：D．1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，2．（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【答案】C【解答】解：如图，连接AC、BD．在△ABD中，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH＝BD，同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．3．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、D A的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定【答案】B【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．4．（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等【答案】D【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．5．（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABCD四边中点所得的四边形的周长为（）A．12B．18C．9D．无法确定【答案】A【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC＝BD＝10cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH＝GF＝BD＝×6＝3，EF＝GH＝AC＝×6＝3，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH＝12．故选：A．6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD【答案】C【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选：C．7．（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝5，AD＝8，则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（）A．40B．26C．20D．13【答案】C【解答】解：连接EG、FH，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°，∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴EG＝AD＝8，HF＝AB＝5，EG⊥HF，＝×5×8＝20，∴S四边形EFGH故选：C．8．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（）A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形【答案】D【解答】解：连接AC、BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．故选：D．9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（）A．任意四边形B．平行四边形C．菱形D．矩形【答案】B【解答】解：如图根据中位线定理可得：GF＝BD且GF∥BD，EH＝BD且EH∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．故选：B．10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EF GH的面积为（）A．48B．24C．32D．12【答案】D【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．11．（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；…故第n个正方形周长是原来的，以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，故选：C．12．（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．40【答案】A【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，∴OE2+OH2＝EH2＝，∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，故选：A．13．（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为ab．【答案】ab．【解答】解：连接AC、BD，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理可得：GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵菱形EFGH为对角线分别为a、b，∴等腰梯形ABCD的中位线和高分别为a、b，＝ab，∴S等腰梯形故答案为：ab．14．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为36cm．【答案】36．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC＝×18＝9cm，同理FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH的周长为9×4＝36（cm）．故答案为：36．15．（2022春•临海市期末）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA 的中点，若AC＝6，BD＝4．则四边形EFGH的周长为10．【答案】10．【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，AC＝6，BD＝4，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△AD C的中位线，∴EF＝AC＝×6＝3，GH＝AC＝×6＝3，EH＝BD＝×4＝2，FG＝BD＝×4＝2，∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝3+2+3+2＝10，故答案为：10．16．（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝A C．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是AC＝BD且AC⊥BD．【答案】AC＝BD且AC⊥BD．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．17．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，D A的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；理由如下：连接AC，如图1所示：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：连接AC与BD，如图2所示：∵△AMD和△MCB为等边三角形，∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，∴∠AMC＝∠DMB，在△AMC和△DMB中，，∴△AMC≌△DMB（SAS），∴AC＝DB，∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，HE＝DB，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；∵AC＝DB，∴EF＝HE，∴四边形EFGH为菱形．18．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、C D、AD的中点，连接AC、BD．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．【答案】（1）证明见解答过程；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）知：四边形EFGH是平行四边形．∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝BD．又∵EF＝AC，∴当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形．19．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、C D、DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．（2）当四边形ABCD的对角线添加条件AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．【答案】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由见解析；（2）AC⊥BD；（3）证明见解答过程．【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，理由如下：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD；（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH∥BD，∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形．20．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、B C、CD、DA的中点，（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析过程；（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析过程．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：如图2，连接AC、BD，∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC＝BD，∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．21．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△A BC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，证明见解析．【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC，∵F、G是OB、OC的中点，∴GF∥BC且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DFGE是平行四边形；（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，如图，连接OA，∵D、G分别是AB、OB的中点，∴DG∥OA，∵OA⊥DE，∴DG⊥DE，∴∠GDE＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝B C，由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，∴DG＝AO，GF＝BC，∵AO＝BC，∴DG＝GF，∴矩形DGFE是正方形．故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．22．（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）14．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理：GH∥AC，GH＝AC，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝EH．∴四边形EFGH是菱形；（2）解：如图2，连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC．∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，∵四边形EFGH是菱形，∴FG∥EH，FG＝EH，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG，在△AEH和△MFG中，∴△AEH≌△MFG（AAS），∴GM＝AE＝4．∵CG＝2，根据勾股定理，得CM＝2，设BF＝x，则CF＝x+1，在Rt△GFM中，FG2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，同理EF2＝x2+64，∴（x+3）2+16＝x2+64．∴x＝，∴BC＝2x+1＝14，∴AD＝BC＝14．23．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH．∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG＝AB，同理HF＝CD，FG＝CD，EH＝CD，又∵AB＝CD∴EG＝GF＝FH＝EH∴四边形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．。

四边形解题技巧专题中点问题作业ppt

特殊四边形面积的求解
总结词
掌握特殊四边形的面积计算方法
具体步骤
对于平行四边形，面积等于底乘以高；对于正方形，面积等于边长的平方；对于矩形，面积等于长乘以宽
适用情况
适合解决面积问题、周长问题等
04
中点问题解题技巧
利用中点进行倍长线段
倍长中线
利用中点的性质，可以倍长四边形中的线段，构造出新的三角形或四边形，从而利用已知条件解决问题。
解析。
针对经典例题的多种解法进行比较分析，帮助学生了解不同解法的优劣，开拓解题思路。
学生易错题解析
总结词：难点突破，扫清误区
分析学生在解决四边形专题中点问题时容易出现的典型错误和易混淆知识点
通过正误对比、辨析，帮助学生认识自身解题中的常见错误，防止在考试中出现类似错误。
同类型题目实战演练
总结词：强化训练，举一反三
构造平行四边形
通过倍长中线，可以构造出平行四边形，从而可以利用平行四边形的性质解决问题。
中点与直角三角形的性质
利用中点构造直角三角形
在四边形中，如果有一个内角是直角，那么可以利用中点的性质，构造出两个直角三角形，从而可以利用直角三角形的性质解决问题。
斜边上的中线
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可以利用这个性质，构造出等腰三角形或平行四边形，从而解决问题。
性质2
四边形中点与四个顶点连线的交点为四个外接圆的圆心
四边形内切圆的性质
1 2
性质1
四边形内切圆的圆心到四边形各边的距离相等
性质2
四边形内切圆的直径等于四边形两相邻边长之和
3
应用
利用内切圆性质可以判断四边形是否为正方形或长方形，以及计算面积等

新人教版数学八下小专题( 四 ) 中点四边形问题

顺次连接四边形各边中点所得的四边形称之为中点四边形.根据三角形的中位线定理可知,中点四边形一定是平行四边形,且中点四边形的面积是原来四边形面积的一半.如果原来的四边形是平行四边形或特殊的平行四边形,其中点四边形又会呈现更多的性质.类型1判断中点四边形的形状先根据已知四边形的条件得出中点四边形的边、角、对角线等具有的特征,再根据这些特征判断它的形状.1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得图形一定是( C)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形2.( 改编)如图,在△ABC和△DCE中,BC=AC,DC=CE,∠ACB=∠DCE=90°,且AB,BE,DE,AD 的中点分别是点M,N,P,Q.问:四边形MNPQ是何种特殊的平行四边形?解:四边形MNPQ是菱形.理由如下:连接AE,BD,∵AB,BE,DE,AD的中点分别是点M,N,P,Q,∴MN∥AE,PQ∥AE,MQ∥BD,NP∥BD,MN=AE,MQ=BD,∴MN∥PQ,MQ∥NP,∴四边形MNPQ是平行四边形.在△BCD和△ACE中,∴△BCD≌△ACE( SAS ),∴BD=AE,∴MN=MQ,∴平行四边形MNPQ是菱形.类型2探求中点四边形的性质先判断中点四边形是何种特殊的平行四边形,再根据这种特殊的平行四边形具有的性质解决问题.3.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=3,BD=2,则四边形EFGH的周长为( B)A.4B.5C.6D.74.如图,O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.( 1 )求证:四边形DEFG是平行四边形;( 2 )若M为EF的中点,OM=5,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.解:( 1 )∵边AB,OB,OC,AC的中点分别为D,E,F,G,∴DG∥BC,EF∥BC,DG=BC,EF=BC,∴DG∥EF,DG=EF,∴四边形DEFG是平行四边形.( 2 )∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°.∵M为EF的中点,∴OM=EF.∴DG=EF=2OM=10.类型3计算中点四边形的面积综合原四边形与中点四边形的性质,根据图形的面积公式解决问题.5.两个直角三角板ABD和BDC按照如图的方式拼成一个四边形ABCD,∠A=45°,∠DBC=30°,AB=6,E,F,G,H分别是各边的中点,则四边形EFGH的面积等于9+3.6.如图,四边形ABCD中,E,F,G,H依次是各边的中点,O是四边形ABCD内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为4,5,7,求四边形DHOG的面积.解:连接OC,OB,OA,OD.∵E,F,G,H依次是各边的中点,∴△OAE和△OBE等底等高,∴S△OAE=S△OBE.同理可证,S△OBF=S△OCF,S△ODG=S△OCG,S△ODH=S△OAH,∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE.∵S四边形AEOH=4,S四边形BFOE=5,S四边形CGOF=7,∴4+7=5+S四边形DHOG,∴S四边形DHOG=6.。

【初中数学】人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(练习题)

人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(146) 1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2+FH2的值．2.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形)，再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形……则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于．3.如图所示，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是形，并说明理由;(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由．4.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AD,BD,AC的中点．(1)求证：EF与GH互相平分；(2)当四边形ABCD的边满足条件时,EF⊥GH．5.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是（）A.矩形B.平行四边形C.菱形D.任意四边形6.顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7.若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形8.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当中点四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD是矩形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确的是(填序号)．9.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．10.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形11.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是（）A.矩形B.正方形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形12.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足的条件是．13.如图所示，E,F,G,H为四边形ABCD各边的中点，若对角线AC，BD的长都为20，则四边形EFGH的周长是（）A.80B.40C.20D.1014.如图,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60∘,则四边形EFGH的面积为cm2.15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．16.如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则EG2+FH2=．参考答案1.【答案】:如图，连接EF ，FG ，GH ，EH ，∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH =12BD =3. 同理可得EF ，FG ，GH 分别是△ABC ，△BCD ，△ACD 的中位线， ∴EF =GH =12AC =3，FG =12BD =3，∴EH =EF =GH =FG =3，∴四边形EFGH 为菱形，∴EG ⊥HF ，且垂足为O ，∴EG =2OE ，FH =2OH ．在Rt △OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=9，等式两边同时乘4得4OE 2+4OH 2=9×4=36，∴(2OE)2+(2OH)2=36，即EG 2+FH 2=36．【解析】:连接EH,HG,GF,FE ，根据题目条件提供的四个中点，结合中位线的性质，证明四边形EFGH 为菱形，再根据菱形的性质及勾股定理求出结果.2.【答案】:116【解析】:根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为12，第二个菱形边长为14，第三个菱形边长为18，第四个菱形边长为116，即为第八个菱形的边长3(1)【答案】当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ．∵E ，F ，H 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∴EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH．同理可得EF=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形【解析】:利用矩形及中位线的性质，结合菱形的判定方法进行推导证明.(2)【答案】当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理，EH∥BD，EH=12BD，GF=12BD，GH=12AC．∵AC=BD，∴EF=EH=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴菱形EFGH是正方形【解析】:根据三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半，先判断出AC=BD，又正方形的四个角都是直角，可以得到正方形的邻边互相垂直，然后证出AC与BD垂直，得到四边形ABCD满足的条件.4(1)【答案】证明：连接GE,GF,HF,EH．∵E,G分别是BC,BD的中点,∴EG=12CD．同理FH=12CD,FG=12AB,EH=12AB,∴EG=FH,GF=EH，∴四边形EHFG是平行四边形．∴EF与GH互相平分【解析】:根据题中提供的四个中点，得到几组中位线，利用中位线的性质，及平行四边形的判定方法，推导出四边形EHFG是平行四边形，进而推导出结论(2)【答案】当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH．【解析】:理由如下:当EF⊥GH时,四边形EGFH是菱形,此时GF=EG．∵EG=12CD,FG=12AB,∴AB=CD．∴当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH5.【答案】:C【解析】:顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是菱形．如图，∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG=12BD，∴四边形EFGH为平行四边形．又∵EF为△ABC的中位线，∴EF=12AC．又∵EH=12BD，且AC=BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH为菱形．故选C．6.【答案】:B【解析】:利用菱形的性质、矩形的判定方法及中位线的性质推导出结果.7.【答案】:B【解析】:如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD．又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EH，EH⊥EF，EF⊥FG，FG⊥HG．故可判定该四边形是矩形．故选B．8.【答案】:①④【解析】:如图四边形ABCD，连接AC，BD．∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确．若四边形ABCD是矩形，则AC=BD．∵EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故②错误．若四边形EFGH是菱形，则AC=BD，但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误．若四边形ABCD是正方形，则AC=BD，AC⊥BD，∴四边形EFGH是正方形，故④正确．∴正确的叙述是①④．9.【答案】:连接AC，BD，交于点O，如图．∵E，F，G，H分别是AD，AB，CB，CD的中点，∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF=GH=12BD，EH=FG=12AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AD=CD，AB=CB，∴点D，B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC，∴DB⊥AC，OA=OC．∵EF∥DB，∴EF⊥AC．∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形【解析】:利用三角形的中位线解题.10.【答案】:D【解析】:若得到的四边形是矩形，那么邻边互相垂直，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.11.【答案】:C【解析】:若得到的四边形是菱形，那么四条边都相等，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必相等，由此得解.12.【答案】:AB=CD【解析】:若四边形EFGH是菱形，则GH=EH，又根据题中条件所给的四个中点，利用中位线的性质推导出AB=2GH，CD=2EH，所以AB=CD.13.【答案】:B【解析】:∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，∴HG=EF=12AC，GF=HE=12BD，∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE=12(AC+AC+BD+BD)=12×(20+20+20+20)=40 14.【答案】:9√3【解析】:连接AC,BD,相交于点O,如图所示, ∵点E,F,G,H分别是菱形四边的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG, EF=12AC=HG,∴四边形EHGF是平行四边形．∵菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴平行四边形EFGH是矩形．∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60∘,∴∠ABO=30∘.∵AC⊥BD,∴∠AOB=90∘,∴AO=12AB=3cm,∴AC=6cm．在Rt△AOB中,由勾股定理，得OB=√AB2−OA2=3√3cm, ∴BD=6√3cm．∵EH=12BD,EF=12AC,∴EH=3√3cm,EF=3cm,∴矩形EFGH的面积=EF·EH=9√3cm2. 故答案为9√315.【答案】:12【解析】:∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，∴HE=12AC=4,HE∥AC,GF∥AC,∴HE∥GF．同理，HG∥EF,HG=12BD=3,∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD，∴∠EHG=90∘,∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积为3×4=1216.【答案】:50【解析】:连接HG，EH，EF，FG，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HG=EF=12AC=4，EH=FG=12BD=3，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴HE∥BD，HE=12BD，同理FG∥BD，FG=12BD，∴四边形HEFG是平行四边形．∵AC⊥BD，∴HG⊥EH，∴四边形HEFG为矩形，∴EG2+FH2=EF2+FG2+EF2+EH2=52+52=50。

期末复习专题---四边形中最值问题2021-2022学年人教版数学八年级下册-

期末复习专题四边形中最值问题一、选择题如图，在平行四边形ABCD中，∠A=45∘，AD=4，点M，N分别是边AB，BC上的动点，连接DN，MN，点E，F分别为DN，MN的中点，连接EF，则EF的最小值为( )A．1B．√2C．√22D．2√2如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是( )A．4B．6C．8D．10如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )A．54B．52C．53D．65如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是( )A．3B．4C．5D．6如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点Dʹ处，则CDʹ的最小值是( )A．4B．4√5C．4√5−4D．4√5+4如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=60∘，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60∘得到EG，连接BG，CG，则BG+CG的最小值为( )A．3√3B．2√7C．4√3D．2+2√3如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF最大值为( )A．8B．9C．10D．2√41如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120∘，AD=4，AB=2，点E是折线BC−CD−DA上的一个动点（不与A，B重合）．则△ABE的面积的最大值是( )B．1C．3√2D．2√3A．√32二、填空题如图，长方形ABCD中AB=2，BC=4，正方形AEFG的边长为1．正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为．如图，已知平行四边形ABCO的顶点A，C分别在直线x=2和x=7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为．如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=8，顶点A，D分别在x轴，y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原点O距离的最大值是．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，C点坐标为(1,2)，点P是对角线OB上一动点，E点坐标为(0,−1)，则EP+AP最小值为．如图，平行四边形ABCO的边OC在直角坐标系的x轴上，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60∘，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M，点E与Eʹ关于x轴对称．则BP+PM+MEʹ的长度的最小值．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD 上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60∘，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD=1，P是BC上一动点，则PM−PO的最大值为．三、解答题如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120∘，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合．当点EF在BC，CD上滑动时，求△CEF面积的最大值．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，求PB的最小值．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60∘，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△AʹBʹDʹ，分别连接AʹC，AʹD，BʹC，求AʹC+BʹC的最小值．。

初中数学八年级下册《数学活动---探究中点四边形》优秀教学设计

相等
菱形
互相垂直
矩形
互相垂直且相等
正方形
教师提出问题1，学生思考后作答（鼓励学生利用不同方法进行证明），教师板书简要过程。
学生尝试总结中点四边形的结论。
教师进一步提出问题2，分配小组任务，学生开展小组合作探究活动，教师分组指导。
有学生代表上讲台汇报展示成果，教师评价。
鼓励学生对上述汇报结果进行总结，教师板书。
教学过程设计
教学
程序
教学内容
教师、学生活动
设计意图
问题引入
小组合作
深入探究
问题1.顺次连接任意四边形各边中点所得的图形是什么形？你能证明吗？
定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.
问题2.平行四边形的中点四边形是什么形？矩形呢？菱形呢？正方形呢？
学生读题并直接作答。
请一名学生黑板板演第（1）问的推理过程，其他同学在学案上完成。
教师巡视指导，对证明有困难的同学给予适当的引导和肯定。
结合问题（1）中的思路，学生口述指出全等的三角形，教师在黑板上用两种不同颜色粉笔标出。
巩固基础，练习1对特殊平行四边形的中点四边形形状判断练习
练习2、3是对对角线的关系对中点四边形形状影响的练习
2.通过小组合作探究，增强分析问题、解决问题的能力
3.了解研究几何图形的基本方法
情感、
态度与价值观
1.感受几何图形的对称美和几何变换的巧妙
2.提高合作学习的意识，增强数学学习兴趣
电教手段
ppt、交互平板
重点
熟练运用特殊平行四边形的性质及判定定理
难点
探究影响中点四边形形状的因素
教材

人教版初二数学下册专题：中点四边形

三、教学问题诊断分析在第一部分，学生要自己讨论分析不同四边形的中点四边形的形状时候，会有对特殊平行四边形性质和判定不熟悉的情况，导致推断不出图形形状。

针对这个问题，我在一开始设计了判断任意四边形的中点四边形是平行四边形的证明过程，这个过程让老师和学生一起做，但要求用不同的方法证明，这样就开阔了学生的视野，对知识应用起到一定的提示作用。

另外，在利用逆向思维探究中点四边形与原来四边形的什么元素有关时候，学生估计有一定的困难，这时候教师要因势利导，弓I 导学生认真观察图形，找出关键点所在，并进一步总结，形成新的认知结构。

四、重点和难点五、教法和学法启发式，探究式相结合自主探究，合作交流六、教学辅助手段根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体 PPT 课件、手工纸等教具、学具等进行辅助教学，激发学生学习兴趣，加深学生对知识理解和掌握•七、教学过程三角形中位线是学生刚学的知识，它是本课时探究学习的理论基础，同时又加深两条线段之间的数量和位置关系，为后边原四边形的对角线关系做铺垫。

教学内容教师活动预设学生行为设计意图重占八、、难占八中点四边形形状判定和证明。

对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括。

学生看幻灯片,思考【回顾交流】展示幻灯片，提出问题•【情境引入】出示问题：一块白铁皮零料形状如图，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？多媒体展示如图，提出问题，任意四边形的中点四边形是什么形状？可以从图形上先进行猜想。

学生独立思考通过图形的展示，给学生以直观感，让学生经历观察- 猜想-论证的过程，符合对事物的认知规律，让学生掌握科学有效的探索步骤。

【新课探究】顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做探究一：任意四边形ABCD勺中点四边形EFGH是什么图形？请说明理由。

已知：如图，点E F、GH分别是四边形ABCD 各边中点。

人教版八年级数学下册教案设计：第十八章平行四边形复习课——“中点四边形”的思考

《平行四边形复习课——“中点四边形”的思考》的教学设计教育目标：（一）知识1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短；3、通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法，4、体会类比思想、特殊到一般到特殊转化思想。

（二）能力1、探索能力：培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；2、研究能力：通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律渗透辩证唯物主义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。

（三）情感通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。

教学设想:1．重点：中点四边形形状判定和证明。

2．难点：探索出中点四边形为特殊平行四边形的决定因素。

3．课型：探究课。

教学方法:引导探究法、讨论法媒体平台:多媒体课件教学过程：问题与情境师生行为设计意图（一）复习回顾观察图形回顾三角形中位线的定义、性质、中点三角形的周长及面积与原三角形的关系，导入本节课题--中点四边形。

学生回答“你想到了什么”，回顾三角形中位线的定义、性质、中点三角形的周长及面积与原三角形的关系，导入本节课题--中点四边形。

观察复习中点三角形的研究体系，为研究中点四边形提供类比原形，让学生明确从哪几个方面探究中点四边形（二）新知讲授1、定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形2、探究一：依次连接普通四边形各边中点所成的四边形是什么形? 请同学们画一画、猜一猜、做一做并证一证。

已知:点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，求证：四边形EFGH为平行四边形。

3.通过探究一你得到了什么经验和教训？教师展示课件同时启发学生思考两个问题学生独自思考，如遇到困难进行小组交流后学生指图讲解证明方法师生共同总结经验和教训是为后面的练习做好准备通过学生对问题的观察猜想最后进行证明,让学生有一个严谨的学习态度,也为此节课中研究各种四边形的中点四边形问题提供一个理论依据，作好准备反思和总结是提升学生能力最好的方法探究活动二：特殊四边形的中点四边形的形状把“任意四边形”改为“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？有没有更特殊？再把它改为“菱形”、“正方形”呢？总结归纳：任意四边形的中点四边形是；平行四边形的中点四边形是__________；矩形的中点四边形是________________；菱形的中点四边形是________________；正方形的中点四边形是______________；学生先独立思考，后教师出示图形，并由学生分别进行简单的证明，投影出示，学生口答由浅人深的问题引起学生深入的思考与探究，培养学生“从一般到特殊再到一般”的研究问题的方法和概括能力培养学生即时总结归纳的好习惯（三）教学拓展结合刚才的证明过程，小组思考并讨论：（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有着密切的关系？（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？（3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？（4）请你设计一个中点四边形为正方形，但原四边形不是正方形的四边形。

人教版初二数学下册专题：中点四边形

教学内容教师活动预设学生行为设计意图重占八、、难占八中点四边形形状判定和证明。

对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括。

学生独立思考通过图形的展示，给学生以直观感，让学生经历观察- 猜想-论证的过程，符合对事物的认知规律，让学生掌握科学有效的探索步骤。

【新课探究】顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做探究一：任意四边形ABCD勺中点四边形EFGH是什么图形？请说明理由。

已知：如图，点E F、GH分别是四边形ABCD 各边中点。

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.中点四边形的定义：将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。

2.中点四边形的判定：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。

②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。

（菱形的中点四边形是矩形）③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。

（矩形的中点四边形是菱形）④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。

（正方形的中点四边形是正方形）练习题1、（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等D．互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，∴AC⊥BD，AC＝BD，故选：D．2、（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．【解答】解：A．如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故B选项错误；C．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；D．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故D选项错误．故选：C．。

八年级数学下册20微专题教材P154数学活动—中点四边形习题冀教版(2021年整理)

2017-2018学年八年级数学下册20 微专题教材P154数学活动—中点四边形习题（新版）冀教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年八年级数学下册20 微专题教材P154数学活动—中点四边形习题（新版）冀教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年八年级数学下册20 微专题教材P154数学活动—中点四边形习题（新版）冀教版的全部内容。

微专题：教材P154数学活动——中点四边形1．（2017·秦皇岛青龙县期末)阅读下面材料：数学课上，老师让同学们解答课本中的习题：如图①，在四边形ABCD中,E,F,G，H分别是各边的中点，猜想四边形EFGH的形状并证明自己的猜想．小丽在思考问题时，有如下思路:连接AC。

结合小丽的思路作答：（1)若只改变图①中的四边形ABCD的形状（如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由;参考小丽思考问题方法，解决以下问题：(2）如图②，在（1）的条件下,若连接AC,BD。

①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明．②当AC与BD满足什么关系时,四边形EFGH是正方形？直接写出结论．2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图①，四边形ABCD中,点E,F,G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，易知中点四边形EFGH是平行四边形;当四边形ABCD的对角线__________时，四边形EFGH是矩形;（2)如图②，点P是四边形ABCD内一点,且满足PA＝PB，PC＝PD,∠APB＝∠CPD，点E,F,G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3）若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明）．参考答案与解析1．解：(1)四边形EFGH 还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC .∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝错误!AC ,同理：GH ∥AC ，GH ＝错误!AC ，∴EF ∥GH ,EF ＝GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．①结论:当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，由(1)得四边形EFGH 是平行四边形．∵E ，F 是AB ,BC 的中点,∴EF ＝错误!AC ,同理：EH ＝错误!BD ，∵AC ＝BD ，∴EF＝EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形．②结论：当AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 是正方形．2。

数学人教版八年级下册探索四边形的中点四边形形状

时间16年4月15日星期学习内容大课题平行四边形（公开课教案）学时共2学时本节内容探索中点四边形形状第1学时学习目标（知识、技能、过程、方法、情感、态度与价值观）1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短；3、通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法。

1、培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；2、通过对图形既相互变化，又相互联系的内在规律渗透辩证唯物主义观点，使学生领悟事物是运动、变化、相互联系和相互转化的。

通过学生亲自参与、发现和证明，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣，体验数学学习的过程与探索成功后的喜悦。

学习重点中点四边形形状判定和证明。

学习难点对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括。

学生学习活动概要探究课。

学习过程学生学习活动教师帮辅活动一、复习思考，独立探究：1、四边形的分类、关系及特殊四边形的定义：2、三角形中位线性质：用几何语言表示。

提出问题：依次连接任意四边形各边中点所成的四边形是什么图形? 请同学们画一画,推一推,量一量,猜一猜并证一证命题的证明:老师提问，学生作答，为本节内容作理论基础准备。

学生思考讨论，探究，老已知:如图,点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边中点。

求证：四边形EFGH 为平行四边形。

引导与提示：通过作辅助线一对角线，应用三角形中位线定理来证明。

师指导，学生1在黑板上写下证明过程。

培养学生的发散思维能力，提高学生研究数学的学习过程学生学习活动教师帮辅活动AB C DEFG H活动流程：观察--发现--猜想--证明结论：“中点四边形”的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做“中点四边形”。

（板书课题）二、课堂交流，合作探究：1、如果把上题中的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？把“任意四边形”改为“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？有没有更特殊？再把它改为“菱形”、“正方形”呢？改成“一般梯形、直角梯形、等腰梯形”呢？交流：各小选代表交流研究成果。

人教版八年级下册18.2.4平行四边形之中点四边形教案设计

平行四边形----中点四边形一、教课内容和内容分析：1．内容《义务教育教科书 2013 年版》八年级下册数学第十八章第 2 节第 4 课时中点四边形2．内容分析本节课是在学生学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判断，以及三角形中位线的性质后安排的一节研究活动课。

一方面，中点四边形问题自己是四边形中一个风趣的研究问题。

另一方面经过本节课的研究，既可复习四边形，以及三角形中位线，又可作为研究中点四边形性质的新讲课。

学生经过察看、研究中点四边形的形状与原四边形的关系，进一步延长到三角形中位线及特别四边形的有关知识在实质中的应用。

同时，研究和证明中点四边形的特别性质又能够让学生领会证明的必需性，并进一步丰富对图形的认识和感知。

二、目标和目标分析：1.目标(1)认识中点四边形的观点。

(2)利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形。

(3)理解中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系。

2.目标分析达成目标（ 1）的标记：学生知道各边中点的找法，如何去确立中点。

达成目标（ 2）的标记：学生如何利用三角形的中位线去证明一般的四边形中点。

连线组成的图形是平行四边形，经过特别到一般的情况，表现了化归思想。

达成目标（ 3）的标记：中点四边形的形状只跟原四边形的对角线有关，而跟原四边形的形状没有任何关系，经过对角线的相等以及垂直状况总结出一般规律，培育学生察看、发现、猜想、证明知识及创建性思想和归纳总结能力；经过学生亲身参加、发现和证明，培育学生的参加意识及合作精神，激发学生研究数学的兴趣。

三、教课识题诊疗剖析：本节课的教课中，让学生主动察看、猜想、证明从而归纳、归纳出自己的发现，使教授知识变为学生的自主发现行为；经过教师的启迪、指引，让学生着手操作、合作沟通，展现成就，来体验数学活动中的乐趣。

本节课教课时着重学生的研究过程，让学生着手操作、察看、猜想、考证，从而获取悉识，培育主动研究的能力，感觉从一般到特别再回到一般的数学思想。

八下 专题四中点四边形问题

专题1：中点四边形4--对角线相等且垂直的四边形

八年级数学下册 中点四边形模型(解析版)

四边形解题技巧专题中点问题作业ppt

新人教版数学八下小专题( 四 ) 中点四边形问题

【初中数学】人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(练习题)

期末复习专题---四边形中最值问题2021-2022学年人教版数学八年级下册-

初中数学八年级下册《数学活动---探究中点四边形》优秀教学设计

人教版初二数学下册专题：中点四边形

人教版八年级数学下册教案设计：第十八章平行四边形复习课——“中点四边形”的思考

人教版初二数学下册专题：中点四边形

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

八年级数学下册20微专题教材P154数学活动—中点四边形习题冀教版(2021年整理)

数学人教版八年级下册探索四边形的中点四边形形状

人教版八年级下册18.2.4平行四边形之中点四边形教案设计

八下专题四中点四边形问题

八年级数学下册中点四边形模型(解析版)