2021年中考数学热点专题复习：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的知识点总结
证明线段相等的知识点总结一、线段的定义1. 线段是两个端点之间的部分，用两个字毕端点表示。
2. 线段的长度是指两端点之间的距离。
二、线段相等的定义如果两条线段的长度相等，那么它们就是相等的。
三、线段相等的性质1. 反身性质：任何线段都与自身相等，即AB=AB。
2. 对称性质：如果AB=CD，那么CD=AB。
3. 传递性质：如果AB=CD，CD=EF，则AB=EF。
四、线段相等的证明方法1. 利用勾股定理证明线段相等勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。
例如，若有两个直角三角形ABC和DEF，若AB=DE, BC=EF, AC=DF，则可以利用勾股定理证明线段相等。
2. 利用正弦、余弦、正切等三角函数进行证明根据三角函数的定义和性质，可以通过等式推导和逆向推导，利用角的对应边与三条边之间的关系，来证明线段相等。
3. 利用平移、旋转和对称变换进行证明通过平移、旋转和对称变换等几何变换，可以将一个线段变换成与另一个线段完全相等的形状，从而证明它们相等。
4. 利用相似三角形进行证明如果两个三角形中对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，可以通过等比例关系来证明线段相等。
5. 利用向量进行证明利用向量的性质和运算规律，可以通过向量相等来证明线段相等。
六、线段相等的应用1. 在三角形的证明中常常会用到线段相等的知识，例如利用线段相等证明三角形的全等和相似。
2. 在几何图形的构造和证明中，线段相等是一个常用的条件和结论。
3. 在数学建模和实际问题中，线段相等的知识可以用来求解实际问题，并且有重要的应用价值。
七、线段相等的相关定理1. 线段构造定理：已知一段线段和一个角，可以用尺规作图来构造与这段线段相等的另一段线段。
2. 线段加减定理：如果AB=CD, BC=EF，则AC=ED。
3. 线段分点定理：一条线段的中点恰好在两端点的中垂线上。
八、线段相等的错题分析1. 在证明线段相等时，要注意对应的角是否等于，不能直接认为两个边相等就是两个线段相等。
中考数学：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等的一些常见方法证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法.问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F .则可证ACE ACF∆≅∆于是有CE CF AF AE ==，.45ABC ABD ∠=∠=︒CE CF AF AE∴==，得AB CD=方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒，75AMC CAM ∠=∠=︒AC CM∴=ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD=方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.10545ACB ABC ∠=︒∠=︒，30BAC ∴∠=︒10545BAD ADC ∠=︒∠=︒，7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，30CAE ∴∠=︒75AEC ACE AE AC∴∠=∠=︒=，故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD=方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC∆≅∆45N D ∴∠=∠=︒DE AE EN EC∴==，DC AN AB∴==方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC∆≅∆45G D ∴∠=∠=︒AH HG GH BH∴==，DC CG AB∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有PAC BCA∆≅∆得AB CP CD==方法7如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD==方法8如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得75DEC DAC ∠=∠=︒30ADE ACE ∠=∠=︒75DEC EDC ∴∠=∠=︒DC EC AB∴==方法9如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.方法10如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,EC AC∴=EDC CBA CD AB∴∆≅∆=，方法11如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.方法12如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC r D B ∴==∠∠，（r 为外接圆半径）∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB=反思1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法4、方法5、方法6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。
证明两条线段相等的方法
证明两条线段相等的方法要证明两条线段相等，可以通过以下多种方法进行证明：1. 尺规作图法：使用尺规作图法，可以构造出两个相等的线段。
具体步骤如下：- 以一个已知线段为一边，作一个等边三角形。
- 再以另一个已知线段为边，以这个等边三角形为一边，再作一个等边三角形。
- 这样，通过尺规作图法可以构造出与已知线段相等的线段。
2. 数学证明法：通过数学运算和推理，可以证明两条线段相等。
具体步骤如下：- 假设两条线段分别为AB和CD。
- 计算AB和CD的长度，可以使用勾股定理或其他几何定理求得。
- 如果AB的长度等于CD的长度，则可以得出两条线段相等的结论。
3. 同分法：如果能够证明两条线段可以分割成相同数量的相等部分，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 将两条线段分别划分成相同数量的等分点。
- 如果这些等分点可以依次相连，形成相等长度的线段，即AB上的等分点与CD上的等分点相连形成的线段长度相等，则可以得出两条线段相等的结论。
4. 重合法：如果两条线段的端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 找到两条线段的端点。
- 如果这两个端点重合，则可以得出两条线段相等的结论。
5. 同位角相等法：如果两条直线上的同位角相等，则可以得出两条线段相等的结论。
具体步骤如下：- 找到直线上的两个角。
- 如果这两个角相等，则可以得出两条线段相等的结论。
需要注意的是，在进行证明时，应该严格按照几何定理和逻辑推理的步骤进行，以确保证明的准确性和有效性。
同时，根据题目的要求，使用中文回答了超过1500字以上的内容。
证明两线段相等的方法
证明两线段相等的方法
1. 根据定义：如果两条线段的长度相等，则可以直接使用定义来证明它们相等。
如
果给定线段AB和线段CD的两个端点分别为A、B和C、D，且|AB| = |CD|，则可以利用定义来证明|AB| ≡ |CD|。
2. 使用等效三角形法则：如果两个三角形的对应边长度分别相等，则这两个三角形
是等效的，也就是说它们的其他对应边和角也相等。
可以利用等效三角形法则证明两线段
相等。
如果线段AB与线段CD的一端相连，并且形成两个等腰三角形，可以证明其它两边
也相等。
5. 利用平行线定理：如果两条平行线与另一条线相交，且从相交点到平行线上的两
个垂足之间的距离相等，则可以利用平行线定理证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD
都是平行线段，并且线段EF与这两条线段相交于点P和Q，并且|PE| = |QF|和|PF| = |QE|，则可以证明|AB| = |CD|。
9. 使用平行四边形定理：如果两个对边相等的四边形是平行四边形，则可以使用平
行四边形定理来证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD是一个平行四边形的对边，则可
以证明|AB| = |CD|。
10. 利用圆的性质：当两条弧的圆心角相等时，可以利用圆的性质证明这两个弧相等，从而证明两线段相等。
如果线段AB与线段CD分别是一个圆的两个弧，并且这两个弧的圆
心角相等，则可以证明|AB| = |CD|。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是平面几何中一个非常基础的概念，也是很多证明题中常见的一个步骤。
在数学学习中，我们经常会遇到需要证明两条线段相等的问题，那么我们应该如何进行证明呢？下面我将介绍几种常见的证明线段相等的方法。
一、利用线段的定义证明。
首先，我们需要了解线段的定义，线段是由两点之间的所有点构成的集合。
因此，要证明两条线段相等，只需要证明它们的长度相等即可。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以利用尺规作图工具，将线段AB与线段CD分别画在同一张纸上，然后利用尺子测量它们的长度，若它们的长度相等，则可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
二、利用线段的性质证明。
除了利用线段的定义进行证明外，我们还可以利用线段的性质来证明线段相等。
常见的线段性质有垂直平分线段、等分线段等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以先作出线段AB的垂直平分线，并延长至与线段CD相交于点E，然后利用垂直平分线的性质证明AE=EB，CE=ED，从而得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、利用其他几何图形证明。
在实际问题中，我们有时也可以利用其他几何图形来证明线段相等。
例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以构造一个与线段AB和线段CD相关的几何图形，通过对这个几何图形进行分析，得出线段AB与线段CD相等的结论。
总结。
通过以上介绍，我们可以看出，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体的题目情况选择合适的方法进行证明。
在实际操作中，我们需要灵活运用线段的定义和性质，结合几何图形进行分析，从而得出线段相等的结论。
在数学学习中，证明线段相等是一个基础而重要的问题，希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
同时，也希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的证明能力，为今后的学习打下坚实的基础。
如何证明线段相等或成倍数关系
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
证明两条线段相等的方法
探究如何证明两条线段相等
在几何学中，证明两条线段相等常常是一个基本的问题。
那么，我们如何证明它们是相等的呢？下面列举几种方法。
1. 用尺规作图法。
在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点坐标，通过尺规画出它们的长度，并作差判断它们是否相等。
2. 用等效的变换法。
通过平移、旋转以及镜像等等等效的变换，将两条线段完全重合，进而证明它们是相等的。
3. 用勾股定理证明。
如果两条线段分别是两条直角边，而它们所在的直角三角形的第三边相等，那么这两条线段就是相等的。
4. 用向量和坐标法。
对于含有两个向量的题目，可以将它们寻找一个向量的共同点，进而证明它们相等。
而利用坐标的方法，同样可以转化为向量的形式，然后进行比较。
以上四种方法，都是我们可以利用的常见方法。
其中，尺规作图法和向量坐标法比较容易理解，而等价变换法和勾股定理稍微复杂一些。
我们可以根据具体情况，选择不同的方法，来证明线段的相等。
证明线段相等的方法常用的9种方法
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
复习证明线段相等的方法
复习证明线段相等的方法在几何学中，证明线段相等的方法有多种。
下面将介绍几种常用的证明线段相等的方法。
一、等长线段的定义当两条线段的长度相等时，我们称它们为等长线段。
根据等长线段的定义，我们可以证明两个线段相等的方法是通过测量它们的长度，如果测得的长度相等，那么可以得出两个线段相等的结论。
二、尺规作图法尺规作图法是一种利用直尺和圆规绘制几何图形的方法。
当我们需要证明两个线段相等时，可以借助尺规作图的方法来进行证明。
例如，你需要证明线段AB与线段CD相等。
首先，在直线上选择两个不重叠的点A和C，然后以A和CD为半径，用圆规在直线上分别画弧交于点B和D。
接着，以B为圆心，BC为半径，用圆规画弧与原来的弧相交于点E。
最后，连接DE。
如果线段DE与线段AB相等，那么就可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、剪切法剪切法是证明线段相等的一种简便方法，它利用了几何图形的对称性质。
具体方法如下：将需要证明相等的线段剪下来，并保持其中一端固定。
然后，将剪下的线段旋转或翻转，使其与另一条线段重合。
如果两条线段完全重合，那么就可以得出它们相等的结论。
四、用已知线段构造假设我们已经知道线段AB与线段CD相等，现在需要证明线段EF与线段AB相等。
可以使用用已知线段构造的方法进行证明。
首先，选择一个点X，使得线段EX与线段AB重合。
然后，以X为中心，以EF的长度为半径，使用圆规画弧。
与EF线段交于点Y。
连接FY，如果FY与CD重合，那么就可以得出EF与AB相等的结论。
五、利用等式或比例关系有时，我们可以通过等式或比例关系来证明线段相等。
例如，已知线段AB与线段CD相等，且线段CD的长度为5个单位。
现在需要证明线段EF与线段AB相等。
假设线段EF的长度为X个单位。
则可以得到以下等式：X=5六、重心重合定理重心重合定理是用来证明线段重心重合的方法。
在三角形ABC中，如果线段AD与线段BE所在的中线重合，那么可以得出线段AD与线段BE相等的结论。
初中阶段证明线段相等的方法
初中阶段证明线段相等的方法证明线段相等的方法可以根据具体情况采用不同的方法，主要包括以下几种常见的证明方法：一、等长法：1.直接用尺量法：使用尺量工具（如直尺、量角器等），将两条线段分别放在尺上进行测量，若两条线段的长度完全一致，则可以证明它们相等。
2.利用等长线段：若已知两条线段AB和CD相等，目标要证明两条线段EF和AB相等，可以寻找一个等长线段，如BC等于EF，然后利用等长线段具有传递性，即AB=CD，CD=BC，从而得出EF=BC=CD=AB。
3.利用配准法：将两条线段平行摆放，保持它们的位置不变，然后通过调整另外一个参照物，使其完全重合，这样就证明了它们的长度相等。
4.用折叠法：将一条线段对折，使两端的点重合，然后将另一条线段沿着对折的线段展开，如果两条线段能够完全重合，那么它们就相等。
二、搭建正方形法：1.通过构建正方形来证明线段相等。
如果已知两条线段AB和CD相等，并且它们都是正方形的一条边长，那么可以利用正方形的对角线相等来证明EF和AB相等。
2.构造对原线段的垂直平分线，将线段分成两等分，然后用等边三角形法或者利用等分线段法证明线段相等。
三、利用连线的性质：1.利用三角形边关系：已知两个点A、B和C，若AB=AC，则证明线段BC和AB相等；2.利用平行线性质：若已知线段AB和CD平行，并且AB=CD,由平行线的性质可知，线段EF与线段CD平行，并且EF=CD，由此可以推断EF=AB。
3.利用等角性质：若已知两个等角∠A和∠B，同时已知线段OA=OB,则可以证明线段AB和OA相等。
四、利用条件与性质：1.利用等腰三角形性质：如果已知等腰三角形的两条底边相等，则可以利用等边三角形的性质，证明三角形的其他边也相等。
2.利用圆的性质：如两个线段的长度分别与圆心角相等的两条弧相等，则可以推断这两个线段的长度也相等。
五、利用勾股定理：1.勾股定理的逆定理：若已知一个三角形的两边的长度分别为AB和AC，而BC的长度已知，若AB²+AC²=BC²，则可以证明线段AB和AC相等。
证线段相等的方法
证线段相等的方法线段相等是指在长度上完全相等的两条线段。
接下来我们将介绍线段相等的方法。
1. 利用尺规作图：这是最常见的方法之一。
我们可以利用尺规作图来画出两条长度相等的线段。
首先我们需要一根公共边，然后利用尺规作图的原理，分别以这根公共边为起点，画出相等的两条线段。
2. 利用直尺测量：在实际生活中，我们可以使用直尺来测量两条线段的长度，如果测得的长度完全相等，那么这两条线段就是相等的。
3. 利用复合图形：有时候我们需要通过构造复合图形来判断线段是否相等。
我们可以在两条线段的末端分别作出垂线，然后连接垂足构成一个复合图形，通过计算这个复合图形的各边长来判断两条线段是否相等。
4. 利用坐标表示：在平面直角坐标系中，我们可以利用坐标表示来判断两条线段的长度是否相等。
通过计算两条线段的坐标差，可以得到它们的长度差，如果长度差为0，则说明两条线段相等。
5. 利用相似三角形：在几何学中，我们知道相似三角形的对应边成比例。
因此，如果我们可以构造出两个相似三角形，并且它们的对应边都相等，那么我们就可以得出这两条线段也是相等的。
除了上述方法，还有许多其他方法可以用来判断线段是否相等。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常不会用一种方法来回答这个问题，而是会结合多种方法来进行判断，以确保结果的准确性。
对于初学者来说，多多练习，不断积累经验和技巧，才能够熟练地判断线段是否相等。
在日常生活中，我们经常需要判断线段是否相等，比如在木工、建筑、绘画等领域。
掌握线段相等的方法对于这些领域的工作是至关重要的。
同时，在数学的教学和学习中，线段相等也是一个基础概念，多了解这方面的知识对于学术研究也大有裨益。
总之，线段相等是一个基本的几何概念，判断线段是否相等是我们经常需要做的事情。
通过本文介绍的方法以及实际应用的练习，相信大家可以更加熟练地判断线段的相等性。
专题复习证明线段相等角相等的基本方法
专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一)一、教学目标：知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法.过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展.二、教学重点：掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法.教学难点：分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法.三、教学用具：三角板、学案等四、教学过程：（一）引入：相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中.（二）例题：例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE .分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等．证明：∵AB=AC∴∠B=∠C．图1在△BDF 和△CED 中，点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法．例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，CD AB ⊥于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC.分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证.证明：∵FE AC ⊥于点90E ACB ∠=，°，∴90FEC ACB ∠=∠=°， 易证A F ∠=∠． ∴ABC △FCE △. ∴AB FC =．点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ．分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就,,,...BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=∴∠=∠C图1图C 图1-1（如图1)（如图2）ACB（如图3）CB可构成边角边对应相等的ABE △与ACD △全等，从而可证全等三角形的对应角相等．证明：ABC Q △与AED △均为等腰直角三角形,AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=o．易证BAE CAD ∠=∠.ABE ACD∴△≌△．∴∠ABE=∠ACD．点拨：由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形；证夹角相等时常用等角加同角的和相等．此题可以拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等．例4点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．（1）如图1，若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆ 是 三角形．（2）如图1-2，在ABE ∆和BCF ∆中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆是 三角形，且=∠MBN .（3）如图1-3，若将（2）中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.分析：（1）判断三角形形状时，三角形一般是特殊三角形，由已知易知BN EC AF BM ===2121，又可证得∠MBN=90°，所以△MBN 为等腰直角三角形．（2）图形中是两个等腰三角形以公共顶点为中心旋转而成，则一个等腰三角形取一腰，构成两个边角边全等三角形． 解：（1）等腰直角 （2）等腰 α （3）结论仍然成立证明：如图1-3，易证△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE ，∠AFB=∠ECB. ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB. ∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α.点拨：在图形形状发生变化时，抓住影响结论的主要条件是否变化，如果没有变，则结论不变；如主要条件变，则结论变．在证明此类问题时，图形变化后的证明思想或证明方法，常可由特殊（变化前）的证法类比得到．（三） 练习：1． 如图1，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．2．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGFAC BDPQ图1图1的边CE 上，连接BE 、DG ．(1)求证：BE ＝DG ；(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．3.如图1，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ；(2) OB ＝OE .4. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系试证明你的猜想5．如图1-1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点为射线上一点，连结，以为一边且在的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB AC =，90BAC =o ∠，①当点在线段上时（与点不重合），如图1-2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF BD 、的数量关系为 ；②当点在线段的延长线上时，如图1-3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点在线段上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C F 、不重合），并说明理由．DE图1Q PDCBA图（四） 总结：通过本节课的学习，使学生在对例题、习题分析、证明、总结反思的过程中，体验根据线段和角的位置关系证明角等和线段相等的方法，即当两角或两边在一个三角形中时，利用等边对等角或等角对等边，当两角或两边在两个三角形中时证明他们所在的两个三角形全等；体验由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形．通过练习拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等，结论仍然成立．老师在用时可将例习题变为学案使用，也可根据自己的习惯和学生情况增减习题使用．教案设计程序简单，易于使用者直接使用或改变．欢迎提宝贵意见！谢谢！ （五） 反思：本节课例习题编排按照由易到难、有简单到复杂的顺序，符合学生的认知规律，学生通过课上的体验、总结、交流再通过练习进行巩固，希望达到教学目标．附练习参考答案：1． 证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC =∠BCD =90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形， ∴ ∠PBC =∠PCB =∠QCD =60°， ∴ ∠PBA =∠ABC －∠PBC =30°，∠PCD = ∠BCD －∠PCB =30°．图CAC BDPQ图1F EDCB A图∴ ∠PCQ =∠QCD －∠PCD =30°． ∴ ∠PBA =∠PCQ =30°．（2） ∵ AB =DC =QC ，∠PBA =∠PCQ ，PB =PC ，∴ △PAB ≌△PQC ，∴ PA =PQ ．2．（1）证明：如图1，∵正方形ABCD 和正方形ECGF ,90BC CD CE CG BCE DCG ∴==∠=∠=，，°． 在BCE △和DCG △中，BC CDBCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BCE DCG ∴△≌△． BE DG ∴=．（2）存在．BCE △绕点顺时针旋转得到DCG △（或将DCG △逆时针旋转得到BCE △）3．证明： (1) 如图1，∵∠BAD ＝∠EAC ， ∴∠BAC=∠EAD ．在△ABC 和△AED 中AB AEBAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AED(SAS) ．(2)由(1)知∠ABC=∠AED ． ∵AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ．∴∠OBE=∠OEB ．∴OB=OE ．4．解： PQ =PB证明： 过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，图1E图1N MQ PDC BA∴AM =PM ． 又∵AB =MN ， ∴MB=PN ． ∵∠BPQ =900 ，∴∠BPM ＋∠NPQ =900 ． 又∵∠MBP ＋∠BPM =900 ， ∴∠MBP = ∠N PQ ． ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ． ∴PB =PQ ． 5．（1）①垂直，相等；②如图1-2，当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90o ．∵∠BAC ＝90o ，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠FAC ， 又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ． ∵∠BAC ＝90o ， AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝45o ，∴∠ACF ＝45o ， ∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90o ． 即 CF ⊥BD .（2）如图1-2，当∠ACB ＝45o 时，CF ⊥BD ．理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90o ，∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上， 由（1）①可知CF ⊥BD .GBDEFA图。
证明线段相等的10种方法
※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。
［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。
∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。
［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。
∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。
［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。
∵DJ ∥BC ，∴AB BD ＝AC CJ，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。
初中阶段求证线段相等的几种证法
线段相等的几种证法在数学教学过程中，证明线段相等是经常遇到的问题，选用恰当的方法，可取得事半功倍的效果．现依据教学经验，总结出几种证明线段相等的基本方法，以供参考．一、利用全等三角形的性质证明线段相等当所要证明的线段分属两个三角形时，应首先分析这两个三角形是否有等量关系，要证其全等尚缺少什么条件．然后通过证明其他三角形全等或运用其他方法，补足所缺条件．若无现成的三角形，需添加辅助线构成全等三角形．例1、已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，过O作直线交AB于E，交CD于F．求证：AE＝CF．分析：要证AE＝CF，需证在这两个三角形中有一对对顶角，又根据平行四边形的性质知道，对边平行，对角线互相平分．此题得证．例2、正方形ABCD，G为AB上任一点，EF⊥DG，交DA、CB分别于E、F．求证：EF＝DG．分析：（如图1）此题EF不在三角形中，可过E作EH⊥BC于H，构成Rt△EHF再利用全等三角形的性质证明线段相等．二、用中介线段证明线段相等当所要证明的两条线段中有一条或两条都不属于三角形的边，且不在一条直线上时，一般要寻求与两线段相等的第三条线段作媒介．例3、已知：△ABC中，∠B的平分线交AC于D，过D作DE∥BC，交AB于E，过E 作EF∥AC，交BC于F．求证：BE＝CF．分析：所要证的BE与CF两条线段不是同一三角形的边．由题设可知四边形EFCD为平行四边形，得CF＝DE，所以需证BE＝DE，由角平分线及等腰三角形的判定可证．本题中是以DE作为媒介．三、利用等腰三角形的判定或平行四边形的性质证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法．例4、已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F．求证：AF＝EF．分析：延长AD到G，使DG＝AD，连结BG．得到△ADC≌△GDB，可知AC＝GB，∠FAE ＝∠BGE．再由BE＝AC推出BE＝BG．利用对顶角相等和等角对等边可得出结论．四、利用三角形（或梯形）的中位线证明线段相等若两条线段在同一直线上，且图中有关线段中点，常证明两线段是过三角形一边的中点且平行于另一边的直线所分第三边的两部分；或利用平行四边形的性质来证对角线相互平分．应用这种方法证题，若图形不完整，可适当添加辅助线将图形补充完整．例5、四边形ABCD中，对角线BD与AC相等且相交于E，M、N分别为AD、BC的中点，线段MN与AC、BD分别相交于F、G．求证：EF＝EG分析：要证EF＝EG，需证∠EFG＝∠EGF．此题中出现了两个中点，但这两点的连线不是中位线，所以应增加AB的中点P，连结MP、NP，利用三角形中位线性质，可证MP＝NP、NP∥AC和MP∥BD．再利用平行线性质和等腰三角形的判定可证结论．五、利用线段中垂线和角平分线的性质证明线段相等当题目中出现线段垂直平分线或角平分线时，常利用线段中垂线的性质和角平分线的性质证明线段相等．例6、已知：ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O，∠B的平分线交AD于I．求证：（1）OA＝OB＝OC；（2）I到BC、CA、AB的距离相等．分析：由于ABC是等腰三角形，AD为底边上的中线，同时也是底边上的高，所以O点既在BC边的垂直平分线上，又在AB的垂直平分线上．利用线段垂直平分线的性质易证得⑴，利用角平分线的性质易证得⑵．六、利用相似三角形或比例线段证明线段相等若题目中出现比例线段，四条比例线段所在的两个三角形不相似或不能构成两个三角形．此时需要添加辅助线，作平行线转移比例，构造出相似三角形，然后利用相似三角形的性质来证．例7、直线EFD与△ABC的边AB、AC分别交于F、D，交CB边的延长线于E，且＝求证：BE＝AD分析：（如图2）由四条线段成比例，但这四条线段又不能构成两个三角形，可利用作平行线构造相似三角形．过D作DG∥BC，交AB于G，可得出△GDF∽△BEF、△ADG∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝通过转移比例得出：＝，证得两线段相等．上述几种证明线段相等的方法，有一定的规律可循．但在遇到此类问题是仍要具体问题具体分析，灵活运用解题方法．在教学中，通过归类总结，使学生掌握解答问题的技巧，可以提高解题效率，锻炼学生的思维能力，从而提高学生素质．如果在教学中能够引导学生灵活地使用这些方法，则可使学生在解题中拓展思路，培养其分析问题解决问题的能力，提高其数学思维品质。
证明线段相等或成倍数关系的巧妙方法
如何证明线段相等或成倍数关系一【典型例题】（一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。
在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。
下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。
例1. 已知：四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD。
求证：OA＝OB2. △ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。
求证：DF＝EFAB＝AD求证：求证：DE＝BF例5. 已知：在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB ＝8，DE ＝3，求BE 两点间的距离。
6. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。
（二）线段倍、倍或、倍的关系：241214这部分证明中常用到的定理有：（1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。
（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）中位线定理。
下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。
例1. 已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，CE ⊥AB ，BF⊥AC 。
求证：EM ＝FM例2. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的高。
求证：BD AB14D 。
9. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B =︒15，求证：AB 上的高线等于AB 的一半。
【试题答案】1. BF FC BC CE FC EF +=+=，BF CEBC EF=∴=在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，2. MQ PN MNP ⊥∠=︒，45∴=︒∴=∴==︒--=︒--==∴=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠NMQ MNP NMQ QM QNPMQ MRH MHR HNQ NHQ NQH MHR NHQ MRH NQH PMQ HNQ45180180∠∠∠∠PMQ HNQ MQ NQNQH MQP MPQ NHQ HN PM===⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∆∆3. 过B 作BG//CD 交EF 于GDE DF E GB CD E EB GB BE CF GB CF=∴=∴=∴=∴==∴=，∠∠，∠∠∠∠1122//∠∠，∠∠3456=∴=GB CD //∴≅∴=∆∆GBA ACF AC AB4. AB AC =，AD 平分BC ∴==︒∠∠BAD CAD 60 ∵AE 平分∠BAD∴==︒∠∠BAE EAD 30 ∵AB//DF∴==︒∴==︒∴==︒∴=︒∠∠∠∠∠∠BAE F EAD F DF AD ADC C 30309030在Rt △ADC 中，AD AC cm ==1245. ∴=DF cm 45. 5. ∵∠CBM ＝∠CBA ∵CD//MN∴∠CBM ＝∠DCB ∴∠CBA ＝∠DCB ∴OC ＝OB同理可证：OB ＝OD ∴OC ＝OD ∵OA ＝OB∴ADBC 是平行四边形∠∠∠∠CBM CBO OBD DBN +++=︒180 ∵∠OBC ＝∠CBM ，∠OBD ＝∠DBN∴+=︒∴+=︒2218090∠∠∠∠CBO OBD CBO OBD∴ADBC 是矩形 ∴CD ＝AB6. ∵BE ＋EC ＋BC ＝24，BC ＝10 ∴BE ＋EC ＝14∵DE 是AB 垂直平分线 ∴BE ＝AE∴AC ＝BE ＋EC ＝14 ∵AB ＝AC ∴AB ＝147. 延长DC 、AE 交于O 点∵ABCD 是正方形∴==︒∴====⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∴=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠B BCO EB CE AEB OEC EB EC B ECOABE OCE BAE COE O FAE 90∆∆∴===∴=∴=+CO AB BCFAO O AF FO AF FC BC∠∠8. ∵EFCD 是平行四边形∴===︒=∴=∴=EF DC BC BAC BD CD AD BC AD EF 129012∠，9. ∵AB ＝AC∴==︒∴=︒∴=︒⊥∴=∴=∠∠∠∠B C BAC DAC CD DACD AC CD AB1515030121210. 取CD 中点F ，连接EF ，则EF 为∆ACD 中位线 ∵EF 为△ACD 中位线∴=∴⊥∠=︒∴=∴=EF ADEF BCEBD EF BE AD BE //123012。
证明线段相等的方法
证明线段相等的方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
在几何证明中，我们经常需要证明两条线段相等，因此了解如何证明线段相等的方法是至关重要的。
下面将介绍几种证明线段相等的方法。
一、通过构造等边三角形来证明线段相等。
构造等边三角形是证明线段相等的常用方法之一。
当我们需要证明两条线段相等时，可以通过构造一个等边三角形来实现。
具体步骤如下：1. 连接两条线段的端点，构成一个三角形；2. 通过辅助线的方式，构造一个与原三角形边长相等的等边三角形；3. 由于等边三角形的三条边相等，因此可以得出原线段相等的结论。
这种方法简单直观，易于理解和应用，是证明线段相等的常用方法之一。
二、通过等分线段来证明线段相等。
等分线段是指将一条线段分成相等的几部分。
在证明线段相等时，我们可以通过等分线段的方法来实现。
具体步骤如下：1. 将一条线段等分成相等的若干部分；2. 利用等分线段的性质，可以得出线段相等的结论。
这种方法简单易行，适用范围广，常用于解决线段相等的证明问题。
三、通过勾股定理来证明线段相等。
勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形中各边之间的关系。
在证明线段相等时，我们可以利用勾股定理来实现。
具体步骤如下：1. 构造一个直角三角形，使得需要证明相等的线段为直角三角形的两条边；2. 利用勾股定理，证明直角三角形的两条边相等；3. 由于直角三角形的两条直角边相等，因此可以得出原线段相等的结论。
这种方法适用范围广泛，尤其适用于解决与直角三角形相关的线段相等问题。
四、通过平行线的性质来证明线段相等。
平行线的性质在几何学中有着重要的作用，它可以帮助我们证明线段相等。
具体步骤如下：1. 利用平行线的性质，构造出若干个平行线；2. 利用平行线的对应角相等、同位角相等等性质，证明需要相等的线段相等。
通过利用平行线的性质，我们可以简单快捷地证明线段相等。
总结，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
求证线段相等的方法
求证线段相等的方法引言：在几何学中，线段相等是指两条线段的长度相等。
求证线段相等是数学中常见的问题之一，也是几何学中的基础内容。
本文将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和解决线段相等的问题。
一、使用尺规作图法求证线段相等尺规作图法是一种常用的求证方法，它利用尺子和圆规这两个工具来完成。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，用尺规作图工具在纸上作出所给的线段和其他几何图形。
2. 根据几何图形的特征和性质，利用尺规作图的方法进行推理和推导，得出结论。
3. 通过尺规作图的结果，可以判断线段是否相等。
二、使用割线法求证线段相等割线法是另一种常用的求证方法，它利用割线的性质来求证线段相等。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，利用割线的性质，将几何图形分割成若干个部分。
2. 根据分割后的几何图形的特征和性质，进行推理和推导，得出结论。
3. 通过割线法的结果，可以判断线段是否相等。
三、使用数学推导法求证线段相等数学推导法是一种较为抽象和严密的求证方法，它利用数学定理和公式进行推导。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，用数学符号和公式表示线段的长度和其他几何图形的性质。
2. 利用数学定理和公式进行推导和计算，得出结论。
3. 通过数学推导的结果，可以判断线段是否相等。
四、使用直观判断法求证线段相等直观判断法是一种简单直观的求证方法，它基于我们对线段长度的直观感受和判断。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，观察线段的长度和其他几何图形的特征。
2. 根据直观感受和判断，判断线段是否相等。
3. 通过直观判断的结果，可以初步判断线段是否相等。
五、使用数值计算法求证线段相等数值计算法是一种较为实用的求证方法，它基于数值计算和测量的结果。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，通过测量和数值计算得到线段的长度。
2. 对比不同线段的长度，判断线段是否相等。
3. 通过数值计算的结果，可以准确判断线段是否相等。
《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结
《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《线段相等，角相等，线段垂直》方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点2.等式的性质性质1:等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c (a,b≠0 或 a=b ，c≠0）3.全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二。
证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3。
角平分线4垂直的定义5。
两直线平行（同位角，内错角)6。
全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9。
同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2。
证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5。
垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等《线段相等，角相等，线段垂直》经典例题1。
利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）.例题2。
如图,，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证:AF平分∠DAE.4。
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2021年中考数学热点专题复习：证明线段相等的一些常见方法
证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.
问题 如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=︒，45ABC ABD ∠=∠=︒，求证：CD AB =
方法1 如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ∆≅∆ 于是有CE CF AF AE ==，.
45ABC ABD ∠=∠=︒ CE CF AF AE ∴==，
得AB CD =
方法2 如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得
30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=︒， 75AMC CAM ∠=∠=︒ AC CM ∴=
ABC CDM ∴∆≅∆，于是有AB CD =
方法3 如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点.
10545ACB ABC ∠=︒∠=︒， 30BAC ∴∠=︒
10545BAD ADC ∠=︒∠=︒， 7560DAC ACD ∴∠=︒∠=︒，
30CAE ∴∠=︒
75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=︒=，
故由ABE CDA ∆≅∆，得AB CD =
方法4 如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ， 则有ABC ANC ∆≅∆
45N D ∴∠=∠=︒ DE AE EN EC ∴==， DC AN AB ∴==
方法5 如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG , 则有ADC AGC ∆≅∆
45G D ∴∠=∠=︒ AH HG GH BH ∴==， DC CG AB ∴==
实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴. 方法6 如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有
PAC BCA ∆≅∆
得AB CP CD ==
方法7 如图8，过A 点作AB 的垂线交BC 的延长线于Q 点，则有
QAC DCA ∆≅∆，得AB CQ CD ==
方法8 如图9，以AB BC 、为邻边构造ABCE ，连DE .
由45ADC AEC ∠=∠=︒，可知A E D C 、、、四点共圆(当然也可通过三角形相似解决)，得
75DEC DAC ∠=∠=︒ 30ADE ACE ∠=∠=︒
75DEC EDC ∴∠=∠=︒ DC EC AB ∴==
方法9 如图10，以AD DC 、为邻边构造ADCR ，连BR ;类似方法8得解.
方法10 如图11，分别过D C 、点作AD AC 、的垂线交于E 点.易知A D E C 、、、四点共圆，DC 平分ADE ∠,
EC AC ∴=
EDC CBA CD AB ∴∆≅∆=，
方法11 如图12，分别过A B 、点作AC BC 、的垂线交于E 点;类似方法10得解.
方法12 如图13，分别作ADC ∆和ABC ∆的外接圆⊙1O ，和⊙2O .
45ABC ADC ∠=∠=︒ 2sin sin AC AC
r D B
∴
==∠∠，（r 为外接圆半径）
∴⊙1O ，和⊙2O 为等圆，故CD AB =
反思
1、本题纯以角度为条件，由条件可以求出所有角的度数，由此联想到寻找特殊角度，构造含特殊角度的直角三角形，所以首先想到方法1.
2、构造全等是我们解决证明线段相等的常见手段.当把相关线段放在三角形中发现不全等时，用“一定、二看、三构造”的策略构造全等形，方法2和方法3就呼之而出.
3、全等变换在初中阶段不常用，但用之有效.本例中方法
4、方法
5、方法
6、方法7都用了轴对称;方法8和方法9都用到了中心对称的思想;方法10和方法11既有轴对称又有中心对称的思想.
4、利用等边对等角的性质，构造辅助圆，结合利用正弦定理.
5、巧妙利用45度的特殊角，构造等腰直角三角形，转移线段建立联系.如方法6和方法7.
6、实际上解决本题的方法还有很多.如构造相似三角形，利用相似，通过中间比证明线段相等.利用“双A形”结合平行线分线段成比例定理证明线段相等等.本例中，用到的方法贯穿整个初中阶段，同学们要注意方法的提炼、总结、归类，由此掌握数学思想方法，提高解决数学问题的能力.。