研究简报带有预算费用约束的报童模型

研究简报

带有预算费用约束的报童模型

苏　欣１

，林正华

２

，杨　丽

２

（１．长春工程学院基础部，长春１３００１２；２．吉林大学数学学院，长春１３００１２）

摘要：讨论带有预算费用约束的报童问题．建立了带有一般费用约束、缺货预算费用约束、商品处理预算费用约束的３种模型，分别求出了最优解，并进行了模型的灵敏度分析．关键词：报童模型；预算费用约束；灵敏度分析

中图分类号：O ２２１．５ 文献标识码：A 文章编号：１６７１唱５４８９（２００４）０３唱０３７１唱０４

A newsboy model with budget cost constraints

SU Xin １

，LIN Zeng 唱hua ２

，Y A N G Li

２

（１．Department o f Foundation ，Changchun Institute o f Technology ，Changchun １３００１２，China ；

２．College o f Mathematics ，Jilin University ，Changchun １３００１２，China ）

Abstract ：T he present paper covers the newsboy model with budget cost constraint ．T he mathematical model with common cost constraint ，the mathematical model with budget cost constraint for being in

short supply and the mathematical model with budget cost constraint for commodity treat ment have been built up ，the corresponding optimum solutions have been w orkded out and the sensitivities of the three mathematical models have been analyzed ．

Keywords ：newsboy model ；budget cost constraint ；sensitivity analyze

收稿日期：２００３唱１２唱２３．

作者简介：苏　欣（１９６０～），女，硕士，副教授，从事应用数学的研究，E 唱mail ：su xin ０００１＠１６３．co m ．

经典报童问题实质上是一个订购变量最大的无约束优化

［１］

问题，并没有考虑在经营中订购费用的

限制．也可以理解为有足够多的资金尽最大可能地满足顾客需求，同时追求获得最好的收益．而实际上，任何经销商都会有资金投入的考虑，特别是在资金有限（或短缺）时绝不可能盲目地一味满足顾客的需求．因此，在一定预算费用约束下研究报童问题，具有普遍的实际意义．也是近年来人们开始关注的研究课题

［２～５］

．本文建立了带有预算费用的３种模型，求出最优订购量，使收益达到最大，并对模

型灵敏度进行了分析．1　问题假设及条件

某种商品为一个时期订购及销售，设单位购进价（成本价）为c ，单位售出价s ，处理价（存货保存价）为v ．该商品根据需求量确定订购量，而需求量是随机变化的，所以这是一个风险决策．如果没有满足需求，损失商家信誉，就要进行惩罚，每单位罚价为p ．如果超过需求，以处理价v 售出．

条件1　通常罚价不低于售价，售价不低于成本价，成本价不低于处理价（p ≥s ≥c ≥v ）．

设x 表示需求变量，是随机的；μ和σ分别表示需求变量x 的数学期望和均方差；q 为订购量；w 表示预算费用的最大限量；π（x ，q ）和g i （q ）表示收入函数和费用约束函数（i ＝１，２，３）；f （x ）和F （x ）分别表示需求变量x 的密度函数和分布函数．

　第４２卷　第３期 吉林大学学报（理学版）

Vol ．４２　No ．３

　２００４年７月

JOURNAL OF JILIN UNIVERSITY （SCIENCE EDITION ）　

July ２００４

2　模　型

下面建立带有预算费用约束的报童模型．设需求变量为x ，收入函数为

π（q ，x ）＝

（s ＋p －c ）q －px ，x ≥q ；

（s －v ）x －（c －v ）q ，x ≤

q ．

（１）

于是，有下列结论：

定理1　如果收入函数为式（１）的π（q ，x ），则平均收入函数G （q ）为

G （q ）＝（s －v ）μ－（c －v ）q －（s ＋p －v ）

∫

＋∞q

（x －q ）f （x ）d x ，（２）

或

G （q ）＝（s ＋p －c ）q －p μ－（s ＋p －v ）∫

q

０

（q －x ）f （x ）d x ，

（３）

且为q 的凹函数．

证明：利用

∫q ０

f （x ）d x ＝１－∫＋∞

q

f （x ）d x ，∫q ０

x f （x ）d x ＝μ－∫

＋∞q

x f （x ）d x

得

G （q ）＝

∫

＋∞

０π（q ，x ）f （x ）d x ＝

∫q

０［（s －

v ）x －（c －v ）q ］f （x ）d x ＋

∫

＋∞q

［（s ＋p －c ）q －px ］f （x ）d x ＝

（s －v ）μ－（c －v ）q ＋∫＋∞q

［（x ＋p －v ）q －（p ＋s －v ）x ］f （x ）d x ＝（s ＋p －v ）q －

p μ＋∫q ０

［（v －s －p ）q ＋（p ＋s －v ）x ］f （x ）d x ．

由上述方程的后两行知，式（２）及式（３）成立．

２．１　带有一般预算费用约束的报童问题　经销商订购某种商品时，最先想到是成本花费．下面给出订购总花费不超过w 的一般约束情况下的报童模型（P １）：

max q

G （q ）＝（s －v ）μ－（c －v ）q －（s ＋p －v ）∫

＋∞q

（x －q ）f （x ），

s ．t ．g １（q ）＝cq －w ≤

０．

模型（P １）为凸规划问题，其最优解存在充要条件是模型（P １）满足K 唱T 条件：

（c －v ）－（p ＋s －v ）［１－F （q ）］＋λc ＝０；λ（cq －w ）＝０，λ≥０，cq －w ≤

０．

（４）

若记经典报童问题的解满足

F （q ＃

）扯

s ＋p －c

s ＋p －v

，

则有：

定理2　若条件１成立，则模型（P １）的最优解q 倡

为

q 倡

＝q ＃

，cq

＃

＜w ；q

倡

＝

w c

，cq

＃

≥

w ．

证明：当cq

＃

＜w 时，取λ＝０，那么由式（４）的第一个方程得q

倡

＝q ＃

．而当cq

＃

≥w 时，取

q 倡

＝w ／c ≤q ＃

．由式（４）的第一个方程得

－（p ＋s －c ）＋（p ＋s －v ）F （q 倡

）＋λc ＝０，

两边同除以（p ＋s －v ），得

４７３ 吉林大学学报（理学版） 第４２卷