微积分11期末(A)卷

《微积分Ⅱ》期末考试题（A ）
一、填空题（每小题3分，共15分） 1
．函数(,)f x y =
，则定义域为 。

2、设2
22ln y x e z x +=，则=)1,1(dz 。

3、交换二次积分次序
=+⎰
⎰⎰
⎰-y
y
dx y x f dy dx y x f dy 20
21
10
),(),(_________________
4．设有级数
1(
)2n
n n x a ∞
=+∑，若1
1lim 3n n n a a →∞+=则该级数的收敛半径为
5、微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解是 。

二、选择题（每小题3分，共15分）
1．以下级数发散的是（ ）
1
11
()();23n n n A ∞
=+∑ 11();(32)(31)n B n n ∞
=-+∑
1
()n C ∞
= 1
()cos
;21n D n π
∞
=+∑ 2．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处
x z ∂∂，y
z
∂∂都存在，则下列结论正确的是（ ）。

（A ）),(y x f z =在P 点可微； （B ）),(y x f z =在P 点连续；
（C ）若x z ∂∂，y z ∂∂在P 点连续，则=
∂∂∂y x z 2x
y z
∂∂∂2；（D ）以上结论都不正确 3．二次积分⎰⎰
⎰⎰
--+2 1
2 0
1
0 2 0
),(),(2
x
x x dy y x f dx dy y x f dx 可交换积分次序的为（ ）
（A ）⎰
⎰-2
2 0
),(x dx y x f dy ； （B ）⎰⎰
--+1
2 11 2
),(y
y dx y x f dy ；
（C ）
⎰
⎰
--1
y
-2 11 2
),(y dx y x f dy ； （D ）⎰⎰
-2 0
2 0
2
),(x x dx y x f dy
4. 设()x y 1是方程()()x q y x p y =+'的一个特解，则该方程的通解为（ ）
(A ）()()⎰+=-dx x p e x y y 1 (B)()()⎰+=-dx x p Ce x y y 1 (C)()()C e x y y dx x p +⎰+=-1 (D)()()⎰+=dx
x p Ce x y y 1
5、设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→x
b x a f b x a f x )
,(),(lim
（ ）
(A) 0 (B) ),2(b a f x ' (C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x '
三、解答题（每小题5分，共40分）
1．函数 z = z(x,y ) 由方程0=--xz e yz xy 所确定，求
y
z x z ∂∂∂∂、 2、),(y x z z =由02=+--z xy
e z e 确定，求dz 。

（5分）
3、计算
dxdy xe D
xy
⎰⎰ ，其中 }01,10),{(≤≤-≤≤=y x y x D 4、判别级数∑∞
=-1
2)
1(n n
n
n 的敛散性
5、求级数∑∞
=⋅13
n n
n
n x 的收敛域 6、将函数
()2
3x f x x =-展为
的幂级数 7、求方程05'2"=+-y y y 的通解
四、应用题（每小题7分，共21分） 1、求函数()xy y x y x f 3,3
3
-+=的极值。

2、求由坐标面、平面x=4、y=4及抛物面222++=y x z 所围成的几何体的体积。

3、某厂家生产的一种产品在两个市场销售，售价分别为21,p p ，销售量分别为21,q q ，它们与价格的关系为112.024p q -=，2205.010p q -=，总成本函数为
)(403521q q C ++=，试问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使获得的总利润最大？
最大利润为多少？
五、证明题(7分)
若
∑∞=1
2
n n a 收敛，证明：∑
∞
=1
n n
n
a 收敛。