关于洒水车路线设计-基于中国地质大学

关于洒水车路线设计-基于中国地质大学
摘要：本文提出中国地质大学洒水车的路线问题，结合中国地质大学路面的实际情况将其进行抽象,建立了图论模型。

并引进了“中国邮路问题”的理论与算法对问题进行求解。

关键词：中国邮路问题佛罗莱算法奇偶点作业法图论模型
一、问题提出
中国地质大学的洒水车要给主要路面洒水，该如何确定行车路线？
二、问题分析
我们首先根据中国地质大学的实际情况确定需要洒水的路段。

由校园的平面图，并进行的细化，绘制出在尺度上大致准确的示意图。

洒水车要给主要路面洒水，也就意味着行车路线必需经过图示所有的路面至少一次。

这类似于图论中一个典型的问题：中国邮路问题。

中国邮路问题说的是：一个邮递员从邮局出发，到所辖街道投递邮件，最后返回邮局，如果他必须走遍所辖的每条街道至少一次，那么该如何选择投递路线，使所走的路程最短。

图1
三、假设与符号约定
假设：
洒水车行驶过一次即能满足路面的洒水要求；
洒水车一次加水，即有足够水量给图示所有路面洒水,或者用完水后能在可以忽略路程内加水；
符号约定：
i v ：图的第i 个节点；
,j k
e ：图中连接第j 个顶点与第k 个节点的边； ,()j k e ω：边
,j k
e 上的权；
(,)G V E ：以1{,......,}m V v v =为节点集，以1{,......,}n E e e =为边集的图；
12231,,,{,,......,}
l l i i i i i i R e e e -=:以为
1
i v 起点
l
i v 为终点的路；
i D ：图的第i 个节点的度数；
'E ：图的一个附加边子集；
()W E ：边集E 的总权；
,()
j k X e ：经过边
,j k
e 的次数；
M ：最短路矩阵
四、一些基本概念、算法和定理
下面是本文将要用到的一些基本概念、算法和定理：
欧拉回路：设G(V,E)为一个图,若存在一条回路,使它经过图中的每条边且只经过一次又回到起始节点,就称这种回路为欧拉回路,并称图G 为欧拉图。

节点的度数：连接节点i v 的边数为此节点的度数i D 。

当i D 为奇数时，称i
v 为奇节点；否则，称i v 为偶节点。

附加边子集：将图(,)G V E 的奇节点配对，每对节点之间在图中有相应的最短路，连接这些最短路即构成一个附加边子集'E 。

佛罗莱算法（Fleury Algorithm ）：
Step 1：任取起始节点1v ，取连接这起始节点的任一边21,i e 为初始路，即11,{}i R e =；
Step 2：设路223
1,,,{,,......,}l l i i
i i i R e e e -=已经选出，则从
12
2
3
,,,\{,,......,
}l l i i i i i i E e e e -中选出边1,l l i i e +，使1,l l i i e +与l i v 相连，除非没有其他选择。

1,l l i i e +不应为22311,,,(,)\{,,......,}l l i i i i i G V E e e e -的断边，即22311,,,(,)\{,,......,}l l i i i i i G V E e e e -仍为连通图；
Step 3：重复Step 2直到不能进行下去为止。

确定邮路问题最优路线的定理（证明从略）:
设(,)G V E 为一个连通的赋权图，则使附加边子集'E 的权数(')W E 为最小的充要条件是（1）(,')G V E E +中任意边至多重复一次；（2）(,')G V E E +中的任意回路中重复边的权数之和不大于该回路总和的一半。

上面定理的证明给我们提供了一般情况下寻求最优投递路线的方法,即奇偶点作业法:
Step 1：任给初始方案，使图的各节点的度数为偶数，图成为边权的欧拉图；
Step 2：检查每一回路中重复边的长度和是否超过回路长度的一半，如是，则现行方案即为最优解，否则进行下一步；
Step 3：调整重复边，即将回路中重复的边改为不重复，不重复的边改为重复，返回Step 2。

五、模型的建立与求解
根据前面的假设与示意图,我们建立如下的图论模型: Min ,,,()()j k
i k j k e W X e e ω=∑
S.T. ,,,()1()j k j k j k X e X e N e E
⎧≥⎪
∈⎨⎪
∈⎩
图注:为使图看起来简洁，节点和边的编号未在图上标出，只是标出边上的权（单位为m ），即边上的长度。

进行求解即在图中寻找最优的“邮递员路线”:
图2
Step 1:找具有奇度数的节点并进行标号，依次为：A1，B1，A2，B2，A3，B3。

不妨按A1与A2，B1与B2，A3与B3进行配对，如图 3。

求其最短路，添加重复边，如图 3上的曲线。

图3
Step 2:在图 3中可以找到一个包含A1，B1，A2回路使得其不满足邮路问题的最优解的充要条件即A1到A2的最短路长(130+90)=220 m 加上A2到B1的路长130为350 m 大于包含A1，B1，A2的最小回路的路长130+130+90+90=440 m 的一半220 m 。

于是按奇偶点作业法调整重复边如图 4
350
250
90 130
350
250
图4
Step 3:对图 5进行检查,发现已经满足定理的充要条件。

按佛罗莱算法在图 5寻找得到一条欧拉回路为如图 5示。

这条路线的总长度为：2900 m ，其中重复走的路长为280 m 。

由前面的定理即可验证这是一条最优路线。

参考文献：
[1] 《运筹学》教材编写组，运筹学，清华大学出版社，2005 [2] 肖位枢,图论及其算法,航空工业出版社,1993 [3] /maps?hl=zh-cn&tab=wl
350
250
(1)。