高考数学专题复习讲练测——专题五 数列、数学归纳法 专题复习讲练 1 数列

§ 1 数列

一、复习要点

在首轮系统复习的基础上，本轮复习应主要解决好如下三个问题：

1．基础知识的深化．

（1）在不涉及新名词的情况下，可通过例题和习题适当介绍数列的一些简单性质，例如数列的单调性、有界性和周期性等．

（2）等差、等比数列的性质在课本中没有专门讲授，有必要进行归纳总结．例如：

①等差、等比数列通项公式的推广：ａｎ＝ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ，ａｎ＝ａｍｑｎ－ｍ；

②｛ａｎ｝是等差数列的充要条件是ａｎ＝ａｎ＋ｂ或Ｓｎ＝ａｎ２＋ｂｎ（ａ、ｂ为常数）；

③若｛ａｎ｝是等差（比）数列，且ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｒ（ｍ，ｎ，ｐ，ｒ∈Ｎ），则ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａ

ｒ（或ａｍ·ａｎ＝ａｐ·ａｒ）；

④等差（比）数列的等长连续片断的和组成等差（比）数列（对等比数列，这种和为零的情况除外）；

⑤对于等差数列｛ａｎ｝，若项数为2ｎ（ｎ∈Ｎ），则Ｓ偶－Ｓ奇＝ｎｄ，（Ｓ奇／Ｓ偶）＝（ａｎ／ａ

ｎ＋１）；若项数为2ｎ－1（ｎ∈Ｎ），则Ｓ奇－Ｓ偶＝ａｎ，（Ｓ奇／Ｓ偶）＝ｎ／（ｎ－1）．

2．基本技能的活用．

（1）注意变形公式的运用.例如：

①等差数列的前n项和公式：

Ｓｎ＝ｎ（ａ１＋ａｎ）／2＝ｎ（ａ２＋ａｎ－１）／2＝…＝ｎ（ａｍ＋ａｎ－ｍ＋１）／2；

Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ（ｎ－1）／2ｄ＝（ｄ／2）ｎ２＋（ａ１－（ｄ／2））ｎ＝ａｎ２＋ｂｎ．

②等比数列的前ｎ项和公式：

Ｓｎ＝（ａ１－ａｎｑ）／（1－ｑ）＝（ａ１－ａｎ－１ｑ２）／（1－ｑ）＝…＝（ａ１－ａｍｑｎ－ｍ＋１）／（1－ｑ）（ｑ≠1）．

（2）掌握设元的一些技巧．如三个数成等差（比）数列，可设为ａ－ｄ，ａ，ａ+ｄ（或（ａ／ｑ），ａ，ａｑ）；四个数成等差（比）数列，可设为ａ－3ｄ，ａ－ｄ，ａ＋ｄ，ａ＋3ｄ（或（ａ／ｑ３），（ａ／ｑ），ａｑ，ａｑ２）（对等比数列，公比为负数时设法除外）．

（3）记住一些小结论．如在等差数列｛ａｎ｝中，若ａｍ＝ｎ，ａｎ＝ｍ，则ａｍ＋ｎ＝0；若Ｓｍ＝ｎ，Ｓｎ＝ｍ，则Ｓｍ＋ｎ＝－（ｍ＋ｎ）．

3．常用方法的总结．

（1）数列｛ａｎ｝成等差（比）数列ａｎ＋１－ａｎ＝ｄ（（ａｎ＋１／ａｎ）＝ｑ）ａｎ－１＋ａｎ＋１＝2ａｎ（ａｎ－１·ａｎ＋１＝ａｎ

２，ａｎ≠0）．

（2）等差数列｛ａｎ｝的前n项和Ｓｎ的最大值为

Ｓｋａｋ≥0，ａｋ＋１＜0．

（3）设Ｓｎ是数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，则有

ａｎ＝Ｓ１（ｎ＝1），

Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥2）．

（4）数列｛ａｎ}，当n≤k时，单调递增；当n≥k时，单调递减 数列｛ａｎ｝的最大项为ａｋ． 4．重要知识点的再现．

如果说首轮复习的重点是夯实基础，那么本轮复习的重点将是培养能力．特别是综合、创新能力，使学生的数学能力有一个较大的提高．数列单元的重点除了两类特殊数列（等差、等比数列）外，就是利用

ａｎ与Ｓｎ的关系

ａｎ＝Ｓ１（ｎ＝1），

Ｓｎ－Ｓｎ－１ （ｎ≥2）

研究一般数列的性质．

二、例题讲解

例1 完成下列各选择题：

（1）数列a１，a２，a３成等差数列，a２a３，a４成等比数列，a３，a４，a５的倒数成等差数列，则a１，a

３，a５（）.

A．成等差数列

B．成等比数列

C．倒数成等差数列

D．以上都不对

（2）一个等比数列｛ａｎ｝的前n项和Ｓｎ＝ａ－（1／2）ｎ，则该数列的各项和为（）．

Ａ．（1／2）

Ｂ．1

Ｃ．－（1／2）

Ｄ．任意实数

（3）设｛ａｎ｝是首项为50，公差为2的等差数列；｛ｂｎ｝是首项为10，公差为4的等差数列．以

ａｋ和ｂｋ为两边的矩形内的最大圆的面积记为Ｓｋ，如果ｋ≤21，那么Ｓｋ等于（）．

Ａ．π（ｋ＋24）２

Ｂ．π（ｋ＋12）２

Ｃ．π（2ｋ＋3）２

Ｄ．π（2ｋ＋1）２

（4）当ｎ∈Ｎ且ｎ≥2时，1＋2＋2２＋2３＋…＋2４ｎ－１＝5ｐ＋ｑ，其中ｐ、ｑ为非负整数，且0≤ｑ

＜5，则ｑ的值为（）．

Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．与ｎ有关

（5）等差数列｛ａｎ｝中，Sｎ是它的前ｎ项和，且Ｓ６＜Ｓ７，S７＞Ｓ８，则给出下列四个命题：

①此数列的公差ｄ＜0；

②Ｓ９一定小于Ｓ６；

③ａ７是各项中最大的一项；

④Ｓ７一定是Ｓｎ中的最大值．

其中，正确命题的序号是___________．（把你认为正确的命题的序号都填上）

讲解：（1）思路1．从基本量的角度思考：因为a１，a２，a３成等差数列，设公差为d.又a２，a３,a４

成等比数列，则有（a１+2d）２=（a１+d）a４，且（2／a４）=1／（a１+2d）+（1／a５），由此将a５用a１，d

表示出来，从而可发现a１，a３，a５之间的关系：

a５=（a１+2d）２／a１，a３=a１+2d，因a１a５=a１·（a１+2d）２／a１=（a１+2d）２=a３２，又由条件知a３，a

５≠0，故应选B．

思路2．从整体上考虑，将条件一一列出：

2a２=a１+a３，

a３２=a２a４，

2／a４=1／a３+1／a５.

因为目标是研究a１，a３，a５之间的关系，故应将a２，a４消去，从而可得a１，a３，a５之间的关系，进而发现结论．

（2）关键是根据等比数列的条件确定其公比的范围，为此可先由前ｎ项和公式求通项ａｎ的表达式．当ｎ＝1时，ａ１＝Ｓ１＝ａ－（1／2）；

当ｎ≥2时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝…＝（1／2）·（1／2）ｎ－1．

故a-（1／2）=（1／2）,a=1,由Sｎ=1-（1／2）n取极限知选B，或根据｛ａｎ｝是首项和公比均为（1／2）的等比数列，其各项和为Ｓ＝（1／2）／[1－（1／2）]＝1，选Ｂ．

（3）画出示意图（图略），不难看出，要使矩形内的圆面积最大，圆应与矩形较长的一对边相切，这时圆的直径等于矩形较短的边长．所以，应从比较ａｋ与ｂｋ的大小入手．

易知，ａｋ＝50＋2（ｋ－1）＝2ｋ＋48， ｂｋ＝10＋4（ｋ－1）＝4ｋ＋6．

∵ｋ≤21，∴ａｋ－ｂｋ＝…＝42－2ｋ＝2（21－ｋ）≥0，

∴ａｋ≥ｂｋ，即ｂｋ为圆的直径．

这时Ｓｋ＝π（ｂｋ／2）２＝π（2ｋ＋3）２，选Ｃ．

（4）从已知等式左、右两边同时考虑，左边是首项为1、公比为2的等比数列前4ｎ项（注意不是4ｎ－１项）的和，其和为2４ｎ－1＝16ｎ－1，右边为5ｐ＋ｑ；由ｐ、ｑ的范围知ｑ为被5除所得的余数，因对所有ｎ≥2且ｎ∈Ｎ，16ｎ的个位总是6，所以16ｎ－1的个位是5，即16ｎ－1是5的倍数，∴ｑ＝0，选Ａ．

本题也可由二项式定理判断16ｎ－1被5整除．

（5）这是一道多选填空新题型．须对其中四个命题一一进行判断．

对于①，由Ｓ６＜Ｓ７，得Ｓ７－Ｓ６＝ａ７＞0，又由Ｓ７＞Ｓ８，得Ｓ８－Ｓ７＝ａ８＜0，即ａ７＋ｄ＜0，ｄ＜－ａ７＜0，∴①正确；

对于②，∵Ｓ９＝Ｓ６＋ａ７＋ａ８＋ａ９＝Ｓ６＋3ａ８，∵ａ８＜0，∴Ｓ９＝Ｓ６＋3ａ８＜Ｓ６，∴②正确；

对于③，∵ｄ＜0，∴ａ６＞ａ７，∴③显然不正确；

对于④，由ｄ＜0，ａ７＞0，ａ８＜0知Ｓ７是Ｓｎ中的最大值，∴④正确．

故应填①②④．

例2 已知数列｛ａｎ｝中，ａ1＝1，前ｎ项和为Ｓｎ，对任意ｎ≥2，总有3Ｓｎ－4，ａｎ，2－（3／2）Ｓｎ－１成等差数列．

（1）求数列｛ａｎ｝的通项；

（2）求．

讲解：（1）据已知，当ｎ≥2时，有2ａｎ＝3Ｓｎ－4＋2－（3／2）Ｓｎ－１，由Ｓｎ－１＝Ｓｎ－ａｎ代入化简整理，得

ａｎ＝3Ｓｎ－4（ｎ≥2）．

思路1．归纳、猜想、证明．（请同学自己完成）

思路2．利用Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝ａｎ＋１（ｎ≥2）消去Ｓｎ．

当ｎ≥2时，有ａｎ＋１＝3Ｓｎ＋１－4，①

ａｎ＝3Ｓｎ－4．②

①－②，得ａｎ＋１－ａｎ＝3ａｎ＋１，

2ａｎ＋１＝－ａｎ，