吉林省东北师范大学附属中学2020年高三下第一次测试数学试题含解析《加15套高考模拟卷》

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2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析

D.VS
第 H 卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大．动力
蓄电池技术作为新能源、汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源、汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为 85字号，充放电循环次数达到2500次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000次充电，那么他的车能够充电 2500次的概率为
f(x
）＝
I ri
斗
一 lx-21,xξ［1,3)
／工 ← 1\
\2f（丁），巾，＋∞）
’ 则函数
f(x ）的图象与函数
rlnx,x二三1 g(x)=j＼ln(2,--x）以1的图象
在区间［-5,7］上所有交点的横坐标之和为
A. 5
B. 6
C. 7
11.己知数列｛a＂｝的通项公式为ι ＝ 2η十2，将这个数列中的项摆
AB_lBC,AB = 2,BC二 l,BB I 二3,D是CC1 的中点，
E是AB 的中点．
C I ）证明：DE／／平面C1 BA1 ;
t C II) F是线段CC1 上一点，且直线 AF与平面ABB1 A1 所成角的正弦值为，求二面角F BAi A的余 A
弦值．
D
C1
19.（本小题满分12分）为了研究 55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状， A 症状：人睡困难；B症状：醒得太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据l：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C症状人数为6. 5万，其中含 AB 症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1 万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和忠心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．

东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)

东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（） A. 2i −− B. 2i −+C. 2i +D. 2i −【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+，所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2. 已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//m n ，m α⊂，则//n α C. 若//m α，//m β，则αβ∥ D. 若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误；对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ，由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=，所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ，连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角），设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==，MI =HIHG GB==所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得；【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值，由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==，抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m n x ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)，故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=，解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=，解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=，所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°，正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==，故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG 的投影向量为OA ，OA 与AD方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠再由余弦定理即可求得MC ，对于，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确；对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误；对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===,112EP BD =,则cos EPO ∠，依题意，,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比，而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________．【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形，则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ，为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________．【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=，图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=，图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =，因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−，又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤，所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ，所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明；（2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==，且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家（2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家；【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =，设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =，所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=，所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论；（2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △，所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式；（2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ．猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。

【附加15套高考模拟试卷】吉林省实验中学2020届高三下第一次模拟考试数学(理)试题含答案

吉林省实验中学2020届高三下第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()()2ln 1f x x ax x =++-的图象不经过第四象限，则正实数a 的取值范围为( )A ．[)1,+∞ B ．1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且10AB =，则原点到l 的距离为（）A ．255B ．355C ．455D ．433．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）A ．1B ．C ．D ．4．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若264a a =，31a =，则29()42n nS a +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．125．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（） A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜ B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.54.5f f f -＜＜6．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥7．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于AQI 时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1008．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（）A ．()()214f f <B ．()3232f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭ C ．()5042ff⎛⎫< ⎪⎝⎭ D ．()()13f f <9．某几何体被一平面所截后剩下几何体的三视图如图所示，则该剩下几何体的体积为（）A ．10B ．15C ．20D ．2510．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A ．253πB ．263πC ．223πD ．233π11．在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=u u u r u u u r（）A ．725B ．14425C ．125 D ．122512．下列函数中，值域是(0,)+∞的是（） A ．221y x x =-+B ．2((0,))1x y x x +=∈+∞+ C ．21()21y x N x x =∈++D ．1|1|y x =+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知点的坐标为，将向量绕原点逆时针方向旋转到的位置，则点坐标为（）A．B．C．D．2. 已知复数，则（）A．B ．1C．D ．3. 已知、是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点．若，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．4. 若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k 的取值范围是（）A．B．C．D．5.设函数，则对任意实数a 、b,是的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件6. 设全集，若集合，，则（）A．B．C．D．7. 设集合，若，，则（）A．B．C．D．8. 已如函数，若，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．9. 已知函数的部分图象如图所示，则（）A．函数的最小正周期为πB ．点是曲线的对称中心C ．函数在区间内单调递增D ．函数在区间内有两个最值点10. （多选）2020年12月26日太原地铁2号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁2号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试数学试题三、填空题根据图中信息，下列结论正确的是（）A ．样本中男性比女性更关注地铁2号线开通B ．样本中多数女性是35岁及以上C ．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多D ．样本中35岁及以上的人对地铁2号线的开通关注度更高11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（）A ．动点轨迹的长度为B ．三棱锥体积的最小值为C ．与不可能垂直D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为12. 已知函数在区间上单调，且满足．有下列结论：①；②若，则函数的最小正周期为；③关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解；④若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为．其中所有正确结论的编号为________．13.对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为______．14. “灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同取法总数为___________.四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题八、解答题九、解答题15. 已知，则______.______.16. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．17. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.18. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.19. 如图，正方体中，直线平面，，.(1)设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；(2)设点A 与（1）中所作直线确定平面.①求平面与平面ABCD 的夹角的余弦值；②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.20.如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，，，．（1）求证：平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为．21. 某生鲜批发店每天从蔬菜生产基地以5元/千克购进某种绿色蔬菜，售价8元/千克，若每天下午4点以前所购进的绿色蔬菜没有售完，则对十、解答题未售出的绿色蔬菜降价处理，以3元/千克出售．根据经验，降价后能够把剩余蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该生鲜批发店整理了过往30天（每天下午4点以前）这种绿色蔬菜的日销售量（单位：千克）得到如下统计数据（视频率为概率）（注：x ，y ∈N *）每天下午4点前销售量350400450500550天数39xy2（1）求在未来3天中，至少有1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率．（2）若该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据，当购进450千克比购进500千克的利润期望值大时，求x 的取值范围．22. 近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额x （单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额y （单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额x 和收入附加额y 成线性相关．投资额（百亿元）234568911收入附加额（百亿元）3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求收入的附加额y 与研发投资额x 的线性回归方程（保留三位小数）；(2)现从这8家企业且投资额不少于5百亿元的企业中，任意抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的概率．参考数据：．附：在线性回归方程，．。

2020年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文月考试卷含解析

2020年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数的图像经过（9，3），则=A.3B.C.D.1参考答案：C设幂函数为，则，即，所以，即，所以，选C.2. 命题：若，则是的充分不必要条件；命题：函数的定义域是，则 ( )A．“或”为真 B．“且”为真 C．真假 D．假假参考答案：A3. 则的值为参考答案：C4. 若的图象必不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：B5. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种参考答案：D考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．6. 右图是一个几何体的三视图，则该几体的侧面积是（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：D略7. P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心参考答案：答案：D8. 若集合P=，，则集合Q不可能是（）＞参考答案：D9. 已知全集U={l，2，3，4，5，6}，集合A={l，2．4：6}，集合B={l，3，5}，则（）A．{l,2,3,4,5,6} B．{1，2,4,6} C．{2,4,6} D．{2,3,4,5,6}参考答案：10. 已知，则的值为 ( )A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 实数满足不等式组，则的取值范围是_______________.参考答案：略12. 已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是 .参考答案：令，则由，可得，故为偶函数，又当时，即，所以在上为增函数.不等式可化为，所以有，解得.13. 已知，，那么的值是_参考答案：14. 已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为参考答案：由，得，即．设，令，则．考察的函数的零点个数，即如下图所示为，的图象，易知：（1）方程的一个根为1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，．综上可知，．15. 若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为．参考答案：316. 在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论解答：解：在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点则f′（x）=x2+2mx﹣（n2﹣π）=0有两个不同的根，即判别式△=4m2+4（n2﹣π）＞0，即m2+n2＞π对应区域的面积为4π2﹣π2．如图∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键17. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.参考答案：画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试理科数学试题答案解析与点睛(22页)

东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试理科数学试题数学（理科）试题一、选择题1.若i 是虚数单位,在复平面内复数21ii-+表示的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】运用复数除法的运算法则,化简复数21ii-+,最后选出正确答案. 【详解】因为2(2)(1)131(1)(1)22i i i i i i i --⋅-==-++⋅-,所以复平面内复数21i i-+表示的点的坐标为13(,)22-,该点在第四象限. 故选D【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.2.若全集{}*2560U x N x x =∈--≤,集合{}2,3A =,{}0,1,5B =,则()U B A ⋂ð（）A. {}0,1,5B. {}1,5C. ∅D. {}0,1,4,5,6【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出()U B A ⋂ð. 【详解】{}{}{}*2*560161,2,3,4,5,6U x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=.因为{}2,3A =,所以{}1,4,5,6U A =ð,因此(){}1,5U B A ⋂=ð. 故选B【点睛】本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的函数是（） A. 32y x = B. xy e-=C. 21lg y x =-D. 6y x =+【答案】D 【解析】【分析】对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当()0,x ∈+∞时,化简函数的解析式,再判断单调性即可选出正确答案.【详解】选项A ：函数32y x =的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意；选项B ：函数()xy f x e-==的定义域为全体实数集. ()()xxf x eef x ----===,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, 1()()x x x f x e e e --===,因为101e<<,所以该函数此时是减函数,不符合题意；选项C ：函数2()1lg y f x x ==-的定义域为非零的全体实体集,22()1lg()1lg ()y f x x x f x =-=--=-=,所以该函数是偶函数,当()0,x ∈+∞时, 2()1lg 12lg f x x x =-=-,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,不符合题意；选项D ：函数()6y f x x ==+的定义域为全体实数集, ()66()f x x x f x -=-+=+=,所以该函数是偶函数, 当()0,x ∈+∞时, ()6y f x x ==+,符合题意. 故选D【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.4.设50.3a =,0.35b =,0.3log 5c =,则,,a b c 的大小关系是（） A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. b a c >>【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数0.3xy =是全体实数集上的减函数,所以有5000.30.31<<=；因为函数5x y =是全体实数集上的增函数,所以有0.30551>=；因为函数0.3log y x =是正实数集上的减函数,所以有0.30.3log 5log 10<=,因此有b a c >>. 故选D【点睛】本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法是解题的关键.5.素数也叫质数,部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是8258993321P =-,它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为3121P =-,第9个梅森素数为6121Q =-,则QP约等于（参考数据：lg 20.3≈）（） A. 710 B. 810C. 910D. 1010【答案】C 【解析】【分析】根据,P Q 两数远远大于1, Q P 的值约等于613122,设613122k =,运用指数运算法则,把指数式转化对数式,最后求出k 的值.【详解】因为,P Q 两数远远大于1,所以Q P 的值约等于613122,设6130303122lg 2lg 2k k k =⇒=⇒=,因此有930lg 2lg lg 910k k k =⇒=⇒=. 故选C【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题. 6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D7.“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先判断不等式210ax ax a-+≥的解集为R 成立的条件,然后根据充分性、必要性的定义选出正确答案. 【详解】因为关于x 的不等式210ax ax a -+≥的解集为R ,所以有：0a >且21()40a a a--⋅≤,所以有02a <≤,显然由22a -≤≤不一定能推出02a <≤,但由02a <≤一定能推出22a -≤≤,故“22a -≤≤”是“关于x 的不等式210ax ax a-+≥的解集为R ”的必要不充分条件. 故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.8.已知函数()3211,0log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩,若()1f a ≤,则实数a 的取值范围是（） A. [)3,3,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U B. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (]3,00,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. []4,2-【答案】B 【解析】【分析】根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数a 的取值范围. 【详解】当0a ≤时, ()311211122f a a a ≤⇒+-≤⇒-≤≤,而0a ≤,所以 302a -≤≤；当0a >时, ()31log 13f a a a ≤⇒≤⇒≤,而0a >,所以03a <≤,综上所述：实数a 的取值范围是3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选B【点睛】本题考查了分段函数不等式解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关键.9.二次函数2y ax bx c =++和2y cx bx a =++(0ac ≠,a c ≠)的值域分别为M 和N ,命题:p MN ,命题:q M N ≠∅I ,则下列命题中真命题的是（） A. p q ∧ B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∧【答案】D 【解析】【分析】根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题p 的真假,根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题q 的真假,最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.【详解】(1)当0a >,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时显然:p MN是假命题,而244ac b a -是负的, 244ac b c-是正的,故命题:p MN 是假命题, 命题:q M N ≠∅I 是真命题；(2)当0a >,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,的二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； (3)当0a <,0c <时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -、 244ac b c-是同号,故命题:q M N ≠∅I 是真命题； (4)当0a <,0c >时, 二次函数2y ax bx c =++的值域为：244ac b M y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭,二次函数2y cx bx a =++的值域为：244ac b N y y c ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,此时244ac b a -是正数、 244ac b c-是负数,故命题:q M N ≠∅I 是真命题；综上所述：p 是假命题,q 是真命题.选项A: 因为p 是假命题, q 是真命题,p q ∧是假命题；选项B: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以q ⌝是假命题,因此()p q ∨⌝是假命题；选项C: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,因此()()p q ⌝∧⌝是假命题；选项D: 因为p 是假命题, q 是真命题,所以p ⌝是真命题, ()p q ⌝∧是真命题.故选D【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了二次函数的值域,考查了集合之间的关系、运算问题,分类讨论是解题的关键.10.若函数(),0231,0x e x a x f x ax a x ⎧-+>=⎨+-≤⎩在(),-∞+∞上是单调函数，且()f x 存在负的零点，则a 的取值范围是（）A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用导数,判断出函数在0x >时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函数的单调性的性质和()f x 存在负的零点,这样可以选出正确答案. 【详解】当0x >时, ()()'10xx f x e x a fx e =-+-⇒>=,所以函数在0x >时单调递增,由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有：2001311a a a a>⎧⇒<≤⎨-≤+⎩,又因为()f x 存在负的零点,因此有13103a a ->⇒>,综上所述：a 的取值范围是1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选C【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力.11.已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,且()26f =,若对任意两个不相等的正数12,x x ,都有()()2112120x f x x f x x x -<-,则()30f x x->的解集为（）A. ()(),20,2-∞-UB. ()()2,02,-+∞UC. ()()2,00,2-UD. ()(),22,-∞-+∞U【答案】C 【解析】【分析】根据所求不等式形式构造新函数,根据()()2112120x f x x f x x x -<-,可以判断出函数()f x 的单调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出()30f x x->的解集. 【详解】由题意可知：120,0x x >>,因此有()()()()21121221121212121212()()000x f x x f x f x f x x f x x f x x x x x x x x x x x ---⋅<⇒<⇒<---,设()()f x g x x=,因此函数()g x 在0x >时是单调递减函数, 因为()26f =, 所以(2)3g =,而()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数,所以有()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--,因此函数()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数. 由偶函数的性质可知：当0x <时, 函数()g x 是单调递增的.所以当0x >时,()30()(2)02f x g x g x x->⇒>⇒<<；当0x <时,()30()(2)0220f x g x g x x x->⇒>-⇒>>-⇒-<<,综上所述： ()30f x x->的解集是()()2,00,2-U . 故选C【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式解集问题,对已知的不等式进行数学变形,利用函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.12.若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈,2.71828e =L L 为自然对数的底数,则3122312x x x xx x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A. eB. 2eC. ()42m m +D. ()41m m +【答案】B 【解析】【分析】根据所给方程的特征,令x xt e=进行换元,方程转化为2(1)0t m t m e ++++=,画出函数 ()xxg x e =的图象,利用函数的图象和所求的代数式特征,求出所求代数式的值.【详解】令x x t e =,所以由10x x xx e m e x e+++=+可得2(1)0t m t m e ++++=, 设()x x g x e =,1()xx g x e'-=,当1x >时, '()0g x <,所以函数()x x g x e =单调递减, 当1x <时, '()0g x >,所以函数()x xg x e =单调递增,而1(0)0,(1)g g e ==,显然当0x >时, ()0>g x ，当0x <时, ()0<g x ，因此函数()x xg x e=的图象如下图所示：要想关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<, 结合函数图象可知,只需关于t 的方程2(1)0t m t m e ++++=有两个不相等的实数根12,t t ,且12312123,x x x x x x t t e e e===, ()()3122231212x x x x x x m m m t m t m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴+++=++ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()22121212()(1)t m t m t t m t t m e m m m m e ++=+++=+-++=,31222312111x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选B.【点睛】本题考查了函数与方程思想,考查了数形结合思想,属于中档题.二、填空题13.已知函数()()1,0f x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩,那么74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________．【答案】12- 【解析】【分析】求74f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值, 要求34f ⎛⎫⎪⎝⎭的值,根据分段函数的解析式,就要求14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值,而14f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值直接代入即可求出.【详解】773311(1)()(1)()444442f f f f f ⎛⎫=-==-=-==- ⎪⎝⎭. 故答案为12-【点睛】本题考查了已知分段函数的解析式求函数值问题,考查了数学运算能力.14.函数()()212log 6f x x x =-+的单调递增区间为__________．【答案】()3,6 【解析】【分析】先求出函数()f x 的定义域,再根据复合函数的单调性的性质,可以求出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()f x 的定义域为：{}06x x <<,()()221122log 6log [(3)9]f x x x x =-+=--+,所以函数()f x 的单调递增区间为()3,6.故答案为()3,6【点睛】本题考查了复合函数的单调区间,本题易忘记求函数的定义域.15.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动,先以A 为中心顺时针旋转,当B 落在x 轴时,又以B 为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点C 滚动时的曲线为()y f x =,则()5f =__________；当23x <≤时,()f x =__________．【答案】 (1).(2).【解析】【分析】根据题意分别求出0,1,2,3,4,x =时对应的函数值,结合正方形运动的轨迹图象求出当23x <≤时,函数的解析式即可.【详解】边长为1的正方形ABCD ,当0x =时, C 点的坐标为：(0,1),即(0)1f =；当1x =时, C 点的坐标为：,即(1)f =当2x =时, C 点的坐标为：(2,1),即(2)1f =；当3x =时, C 点的坐标为：(3,0),即(3)0f =；当4x =时, C 点的坐标为：(4,1),即(4)1f =；当5x =时, C 点的坐标为：,即(5)f =当23x <≤时, 顶点C 的轨迹是以(2,0)为圆心,半径为1的14圆,其方程为：22(2)1x y y -+=⇒=,所以()f x =.【点睛】本题考查了函数值的计算,考查了函数的解析式和性质,考查了数学阅读能力.16.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立,则t 的取值范围是__________．【答案】[)5,-+∞ 【解析】【分析】根据函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,通过求导,可以求出a 的取值范围,求出()()1212f x f x x x +--的表达式,最后利用导数,通过构造函数,求出新构造函数的单调性,最后求出t 的取值范围.【详解】2221()(0)ax x f x x x'-+=>,因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ,所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根,于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩,解得102a <<. ()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---,设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭, 22()0a h a a '-=>,故()h a 在102a <<上单调递增,故1()52h a h ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭,所以5t ≥-.因此 t 的取值范围是[)5,-+∞故答案为[)5,-+∞【点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题,考查了不等式恒成立问题,构造新函数,利用导数是解题的关键.三、解答题17.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-． (1)求角B 的值；(2)若ABC V的面积为,b =,求a c +的值．【答案】(1)3π；(2)9 【解析】【分析】(1)利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,把等式中的余弦变形为正弦形式,由正弦定理,变形为边之间的关系,再由余弦定理可以求出角B 的值；(2)根据面积公式、余弦定理可以得到,a c 之间的关系式,最后求出a c +的值．【详解】(1)由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-, 得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-.由正弦定理,得222b c a ac -=-,即222a c b ac +-=,所以222cos 2a c b B ac+-==122ac ac =. 因为0B π<<，所以3B π=.(2)由(1)知3B π=,又b =,2222cos b a c ac B ∴=+-2221a c ac =+-=,①又1sin 2S ac B ==20ac ∴=,②由①②得，2241a c +=,所以()222a c a c +=++281ac =, 所以9a c +=.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系,考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考查了数学运算能力.18.已知函数()22ln f x x a x =-,()222ln 2g x x x =-+-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时,判断()()g x f x -的零点个数．【答案】(1)见解析；(2)2 【解析】【分析】(1)对函数()f x 进行求导,利用分类讨论法求出函数()f x 的单调性；(2)设()()()F x g x f x =-,求导,让导函数等于零,然后判断出函数单调性,最后确定函数零点个数.【详解】(1)()22a f x x x '=-()22x ax-=, 故当0a ≤时,()0f x '≥,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a >时,令()0f x '>,得x >所以函数()f x在)+∞上单调递增, 令()0f x '<,得x <所以函数()f x在(上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a >时,函数()f x在)+∞上单调递增,在(上单调递减.(2)设()()()F x g x f x =-=2ln 22ln 2x x -+-, 则()21F x x'=-,令()0F x '=, 解得2x =,当()0,2x ∈时,()0F x '>；当()2,x ∈+∞时,()0F x '<；故()F x 最大值为()20F=，所以()()g x f x -有且只有一个零点2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力. 19.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平面ABD ,F 是BD 的中点,且AE =的(1)求证：DE AC ⊥；(2)求二面角B EC F --的大小．【答案】(1)见解析；(2)45︒ 【解析】【分析】(1) 以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,求出点,,E B D 三点的坐标,通过F 是BD 的中点,可得CF BD ⊥,利用面面垂直的性质定理可得CF ⊥平面BDA ,进而可以求出点C 的坐标,最后利用向量法可以证明出DE AC ⊥；(2)分别求出平面BCE 、平面FCE 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角B EC F --的大小．【详解】(1)证明：以A 为坐标原点,,,AB AD AE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则(E ,()2,0,0B ,()0,2,0D取BD 的中点F 并连接,CF AF . 由题意得,CF BD ⊥ 又Q 平面BDA ⊥平面BDC ,CF ∴⊥平面BDA ,(C ∴,(0,DE ∴=-u u u r ,(AC =u u u r,(0,DE AC ⋅=-⋅u u u r u u ur(0=,DE AC ∴⊥.(2)解：设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =r,则(2,0,EB =u u u r,(BC =-u u u r,00DE n CB n ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩u u u v vu u u vv 11111200x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩令(1,n =-r.平面FCE 的法向量为()222,,m x y z =u r,()1,1,0F所以()1,1,0EC =u u u r，(FC =u u u r ,由2220000x y EC m z FC m +=⎧⎧⋅=⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩u u u v vu u u v v 得()1,1,0m =-ur .设二面角B EC F --为θ,则cos cos ,2n m θ==r u r所以二面角B EC F --的大小为45︒.【点睛】本题考查了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标是解题的关键.20.已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点,O 为坐标原点,,点()在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2),,D E F 为椭圆上三个动点,D 在第二象限,,E F 关于原点对称,且DE DF =,判断tan DE DF EDF ⋅∠u u u v u u u v是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点D 的坐标,若不存在,说明理由．【答案】(1)22162x y +=；(2)存在,最小值为6,D ⎛ ⎝⎭【解析】【分析】(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据,,a b c 三者之间的关系,可以求出,a b 的值,最后写出椭圆的标准方程；(2)利用平面向量数量积的定义,化简tan DE DF EDF ⋅∠u u u r u u u r的表达式,可以发现只需判断EDF V 面积是否有最小值,设出直线EF 的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根与系数的关系,求出EF 的表达式,同理求出OD 的表达式,最后确定EDF V 面积的表达式,利用基本不等式可以求出EDF V 面积的最小值,最后求出点D 的坐标.【详解】(1)点()在椭圆上,则22311a b+=,又c a =222a b c =+, 解得26a =,22b =,∴椭圆的方程为22162x y +=；（2）tan DE DF EDF DE ⋅∠=u u u r u u u rsin 2DEF DF EDF S ∠=△,只需判断EDF V 面积是否有最小值. 设直线EF 的方程为()0y kx k =>, 设()11,E x y ,()22,F x y ,联立22162y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22631x k =+,所以1EF x ==因为1ODk k=-，同理可知OD ==,1122EDFS EF OD ==⋅△261k+=()()()2226133132k k k +≥=++,此时22313k k +=+因为0k >即1k =时,tan DE DF EDF ⋅∠u u u r u u u r最小值为6,,易知直线OD 的方程为y x =-,联立22162y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即D ⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了求三角形面积最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力. 21.已知函数()()ln 1f x x =+,()()202xg x a x a=>+,设()()()F x f x g x =-． (1)如果曲线()y f x =与曲线()y g x =在1x =处的切线平行,求实数a 的值； (2)若对()0,x ∀∈+∞,都有()0F x >成立,求实数a 的取值范围；(3)已知()F x 存在极大值与极小值,请比较()F x 的极大值与极小值的大小,并说明理由．【答案】(1)12；(2)1a ≥；(3) 当112a <<时,()F x 极大值大于极小值；当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【解析】【分析】(1)分别求出两个函数的导数,把1x =代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求出实数a 的值； (2)对函数()F x 求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数a 的取值范围；(3)令()F x 的导函数等于零,求题意确定实数a 的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确定极大值与极小值之间的大小关系即可. 【详解】(1)因为()11f x x '=+,()()242a g x x a '=+, 所以()112f '=,()()24112ag a '=+,由()()11f g ''=,得12a =(2)()()()F x f x g x =-=()()2ln 102xx x x a+->+, 易知()00F =,()()21412a F x x x a '=-++()()()224112x a a x x a +-=++①当()4100a a a ⎧-≥⎨>⎩,即1a ≥时,有()0F x '>,所以()F x 在()0,∞+上是增函数, 所以()()00F x F >=,满足题意.②当()4100a a a ⎧-<⎨>⎩，即01a <<时,()0F x '=,得1x =-2x =因为()20,x x ∈,()0F x '<, 所以()F x 在()20,x 上是减函数,()()00F x F <=,不符合题意.综上,1a ≥. (3)()()()()2241012x a a F x x x a +-'==++,即()2410x a a +-=有两个不相等实数根1x =-,2x =因为()101a a ⎧->⎪⎨-≠-⎪⎩,所以01a <<且12a ≠,①当21a -<-时,即112a <<时,()F x 在()11,x -上是增函数,在()12,x x 上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x ，且()()12F x F x >. ②当120a -<-<时,即102a <<时, ()F x 在()11,x -上是增函数,在()1,2x a -上是减函数,在()22,a x -上是减函数,在()2,x +∞上是增函数,故()F x 极大值为()1F x ,极小值为()2F x .()()()121ln 1F x F x x -=+-()1221222ln 122x x x x a x a-++++ ()()()21121241ln 122a x x x x x a x a -⎛⎫+=+ ⎪+++⎝⎭,因为210x x ->,220x a +>,120x a +<, 所以()()12F x F x <. 综上，当112a <<时,()F x 极大值大于极小值；当102a <<时,()F x 极大值小于极小值. 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式恒成立问题,考查了函数的极大值与极小值之间的大小关系问题,考查了数学运算能力. 22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为32x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴建立极坐标系,点P的极坐标54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【答案】(1)10x y ++=,()()22112x y -++=；(2)2【解析】【分析】(1)利用加减消元法消参可以求出直线l 的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式可以求出曲线C 的直角坐标方程；(2)求出P 的直角坐标,利用曲线C 的参数方程设出点Q 的坐标,利用中点坐标公式,求出M 的坐标,利用点到直线距离公式求出M 到直线l 的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的单调性可以求出PQ 中点M 到直线l 的距离最小值．【详解】(1)直线l 的普通方程10x y ++=,由4πρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos sin 22θθ⋅-⋅⎭2cos 2sin θθ=-, 22cos 2sin ρρθρθ∴=-,即2222x y x y +=-,∴曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -++=；(2)易知P 的直角坐标()3,3--，设()1,1Q αα+-, 则PQ的中点24,22M αα⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭, 设M 到直线l 的距离为d ,则d==, 当sin 14πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,min 2d =. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力. 23.已知函数()12f x x x =+-．(1)求不等式()2f x ≥-的解集；(2)若关于x 的不等式()235f x a a -≥-在2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解,求实数a 的取值范围．【答案】(1){}13x x -≤≤；a ≤≤【解析】【分析】 (1)利用零点法分类讨论求出不等式()2f x ≥-的解集；(2)根据题意本问题题可以转化为()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立,求出()f x 的最大值,最后求出实数a 的取值范围．【详解】(1)不等式化为0122x x x ≥⎧⎨+-≥-⎩或10122x x x -≤<⎧⎨++≥-⎩或1122x x x <-⎧⎨--+≥-⎩, 解得03x ≤≤或10x -≤<或∅故不等式()2f x ≥-的解集为{}13x x -≤≤；(2)由题意知，只需()2max 35f x a a -≥-⎡⎤⎣⎦成立, 因为()1,03231,03x x f x x x -+≤≤⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩, 在2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在[]0,3上单调递减, 所以()()max 01f x f ==,所以2520a a -+≤,a ≤≤. 【点睛】本题考查了利用零点法分类讨论求解绝对值问题,考查了不等式在闭区间上有解问题,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.。

吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题(含答案解析)

吉林省东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}|lg P y y x ==，集合{|Q x y ==，则()R P Q = ðA ．[]2,0-B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(,2)-∞-2．i 为虚数单位，复数2i12iz +=-，复数z 的共轭复数为z ，则z 的虚部为（）A ．1-B ．2-C ．2i-D ．i-3．已知向量(),3a m = ，()1,b m = ，若a 与b方向相反，则a = （）A ．54B ．48C ．D ．4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列的和为（）A ．30014B ．30016C ．33297D ．332995．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（）A ．πB ．π2C ．π3D ．π46．已知cos1a =，sin11e b -=，34c =，则下列不等关系正确的是（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．c a b<<7．直线l 的方程为()()()2130x y λλλλ++--=∈R ，当原点O 到直线l 的距离最大时，λ的值为（）A ．1-B ．5-C ．1D ．58．函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则m 的取值范围是（）A．2⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．(-∞D ．(],1-∞二、多选题9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x -=-，当[]0,3x ∈时，()23f x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()()6f x f x +=B ．[]6,3x ∈--时，()236f x x x =--C ．()()()202120232022f f f +=D ．()202312k f k ==∑10．已知数列{}n a ，11a =，()21*12n n n a a n -+=∈N ，{}n a 的前n 项的和为nS，前n 项的积为n T ，则下列结论正确的是（）A ．32a =B ．114n n a a +-=C ．21n n S =-D ．()2122n n n T -=11．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 中点，点Q 在四边形11CDD C 内（包括边界）运动，下列结论正确的是（）A ．若1DQ DC DD λμ=+ ，且12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若AQ ∥平面1A BP ，则AQC ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2D．若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为3π12．已知函数()ln xf x a a =，()()ln 1g x a x =-，其中0a >且1a ≠．若函数()()()h x f x g x =-，则下列结论正确的是（）A ．当01a <<时，()h x 有且只有一个零点B ．当1e 1e a <<时，()h x 有两个零点C ．当1e e a >时，曲线()yf x =与曲线()yg x =有且只有两条公切线D ．若()h x 为单调函数，则e e 1a -≤<三、填空题13．若1cos 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14．如图，单位向量OA ，OB 的夹角为π2，点C 在以O 为圆心，1为半径的弧AB 上运动，则CA CB ⋅的最小值为______．15．已知函数()322x x f x x -=+-，若实数a 、b 满足()()22210f a f b +-=，则的最大值为______．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆M 的方程为()()()221211R x a y a a +++-+=∈，则圆心M 的轨迹方程为____________．若对于圆M 上的任意点P ，在圆O ：224x y +=上均存在点Q ，使得30OPQ ∠=︒，则满足条件的圆心M 的轨迹长度为______．四、解答题17．如图，四边形ABCD 中90BAC ∠= ，30ABC ∠= ，AD CD ⊥，设ACD θ∠=.（1）若ABC ∆面积是ACD ∆面积的4倍，求sin 2θ；（2）若6ADB π∠=，求tan θ.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，12n n a n S n+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记12nn na c =-，数列{}nc 的前n 项和为n T ，求12111n T T T ++⋅⋅⋅+的值．19．已知函数()()()2112ln 2f x x a x a x =+-+-，其中a ∈R ．(1)若1a =，求函数()f x 的极值；(2)讨论函数()f x 的单调性．20．如图，等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE V 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.(1)证明：AE PB ⊥；(2)若直线PB 与平面ABCE 所成的角为π4，求平面APE 与平面CPE 夹角的余弦值.21．已知圆22:(4)4M x y +-=，P 是直线:20l x y -=上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，切点为A .(1)当切线PA的长度为P 的坐标.(2)若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当点P 运动时，圆N 是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.22．已知函数()e cos axf x x =⋅，其中a ∈R ．(1)若2a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)已知()f x 在区间()0,π上存在唯一的极小值点．（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）记()f x 在区间()0,π上的极小值为()g a ，讨论函数()g a 的单调性．参考答案：1．D【详解】分析:先化简集合P 和Q,再求R Q ð和()R P Q ⋂ð.详解：由题得P R =,{|2}Q x x =≥-，所以R Q ð={x|x ＜-2}，所以()R P Q ⋂ð=(),2-∞-，故答案为D点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题是易错题，解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，本题{}|lg P y y x ==，表示的是函数的值域.集合{|Q x y ==表示的是函数的定义域.2．A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义以及复数的概念可得结果.【详解】因为()()()()2i 12i 2i5i i 12i 12i 12i 5z +++====--+，故i z =-，因此，z 的虚部为1-.故选：A.3．D【分析】首先根据题意得到m =，再求a即可.【详解】向量(),3a m = ，()1,b m = ，若a 与b方向相反，所以230m -=，解得m =.所以())()32a =--=- ，a = 故选：D 4．C【分析】得到6362n a n =-，从而得到{}n a 为等差数列，首项为1，公差为63，利用等差数列求和公式求出答案.【详解】由已知可得1n a -既能被7整除，又能被9整除，故1n a -能被63整除，所以()1631n a n -=-，即6362n a n =-，所以()()163162636263n n a a n n +-=+---=，故{}n a 为等差数列，首项为1，公差为63，由12023n a ≤≤可得：163622023n ≤-≤，因为N n *∈，所以133n ≤≤，N n *∈，故该数列的和为33323363332972⨯+⨯=.故选：C 5．C【分析】由侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆周长可构造方程求得圆锥底面半径，由此可确定圆锥轴截面为正三角形，求得正三角形内切圆半径即为所求内切球半径，代入球的表面积公式即可得到结果.【详解】设圆锥底面半径为r ，则12π2π1π2r =⨯⨯=，解得：12r =；∴圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，∴此正三角形内切圆的半径为13=R ∴圆锥内切球的表面积21π4π4π123S R ==⨯=.故选：C.6．A【分析】构造()e 1xf x x =--，x ∈R ，得到sin11sin1e ->，构造()31sin 6t x x x x =-+，0x >，多次求导得到5sin16>，从而得到sin1156e b ->=，再构造()2411cos 1224g x x x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，0x >，多次求导后得到13cos124<，从而比较出大小.【详解】设()e 1xf x x =--，x ∈R ，故()e 1xf x '=-，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>，故()e 1xf x x =--在(),0x ∈-∞上单调递减，在()0,x ∈+∞上单调递增，所以()()00f x f ≥=，故e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为sin110-≠，故sin111si 1n e in 1s 1b -+=-=>，设()31sin 6t x x x x =-+，0x >，则()21cos 12t x x x '=-+，0x >，设()()r x t x '=，则()sin r x x x '=-+，0x >，设()()e x r x '=，则()1cos 0e x x '=-≥在0x >上恒成立，故()r x '在()0,∞+上单调递增，则()()00r x r ''>=，故()t x '在()0,∞+上单调递增，则()()00t x t ''>=，故()31sin 6t x x x x =-+在()0,∞+上单调递增，则()()00t x t >=在()0,∞+上恒成立，所以()11sin1106t =-+>，则5sin16>，故sin1156eb ->=，设()2411cos 1224g x x x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，0x >，故()31sin 6g x x x x ⎛⎫'=---+ ⎪⎝⎭，0x >，设()()h x g x '=，则()21cos 12h x x x '=-+-，0x >，设()()j x h x '=，则()sin j x x x '=-，0x >，设()()k x j x '=，则()cos 10k x x '=-≤在()0,∞+上恒成立，故()sin j x x x '=-在()0,∞+上单调递减，故()()00j x j ''<=，故()h x '在()0,∞+上单调递减，故()()00h x h ''<=，故()g x '在()0,∞+上单调递减，故()()00g x g ''<=，故()g x 在()0,∞+上单调递减，故()()00g x g <=，所以()111cos110224g ⎛⎫=--+< ⎝⎭，即13cos124<，又sin11133c 4e os 56124-<<<<，即a c b <<.故选：A【点睛】方法点睛：麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：()21e 1!!2n xn x x x n o x +=++++ ，()()()352122s 1!5!in 32!1n n n x x x x x o x n ++=-+-+-++ ，()()()24622cos 1162!4!!!2nn n x x x xx o x n =-+-++-+ ，()()()2311ln 11312n n n x x xx x o x n +++=-+-+-++ ，()2111n n x x x o x x =+++++- ，()()()221112!nn n x nx x o x -+=+++.7．B【分析】求出直线()()()2130x y λλλλ++--=∈R 所过定点A 的坐标，分析可知当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数λ的值.【详解】直线方程()()()2130x y λλλλ++--=∈R 可化为()()320x y x y λ+-+-=，由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以，直线()()()2130x y λλλλ++--=∈R 过定点()1,2A ，当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，且2OA k =，又因为直线l 的斜率为2112k λλ+=-=--，解得5λ=-.故选：B.8．A【分析】利用三角函数的图象性质和三角恒等变换求解.【详解】因为BC x ∥轴，所以图象最低点的横坐标为π2π7π23212+=，所以17πππ41234T =-=，所以2π=πT ω=解得2ω=，又因为77sin 126ππ1f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以7π3π2π,Z 62k k ϕ+=+∈，即ππ,Z k k ϕ=+∈23，又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()sin 2f x m x ≥-可得n πs 22in 3si m x x ⎛⎫+ ⎪⎝≥-⎭，即1sin 22s 22s in x x m x ≥-也即3sin 222m x x +≥，令3()sin 2co )s 22π62n(2g x x x x =+=+，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()2g x ∈⎢⎣，因为()g x m ≥恒成立，所以2m ≤.故选:A.9．AC【分析】根据函数的满足()()3f x f x -=-，可确定函数的周期性，从而可判断A ；结合周期性由[]0,3x ∈时的解析式即可得[]6,3x ∈--时的解析式，从而可判断B ；根据函数周期性与对称性即可判断C ，D.【详解】因为函数()f x 的()()3f x f x -=-，所以()()3f x f x =-+，则()()33f x f x -=+，故函数()f x 的周期为6，所以()()6f x f x +=，故A 正确；又当[]0,3x ∈时，()23f x x x =-，则当[]6,3x ∈--时，[]60,3x +∈，()()()()226636918f x f x x x x x =+=+-+=++，故B 不正确；由周期可得()()()()()()20211,20231,20220f f f f f f =-==，又函数()f x 是R 上的奇函数()()f x f x =--，所以()()()00,11f f f ==--，即()()()110f f f +-=，所以()()()202120232022f f f +=，故C 正确；当[]0,3x ∈时，()23f x x x =-，所以()()()12,22,30f f f =-=-=，又因为()()f x f x =--，所以()()()()()()4422,5512f f f f f f =--=-==--=-=，()()600f f ==，则()()()()()()1234560f f f f f f +++++=，所以()()()20236113371337022k k f k f k f ===+=⨯-=-∑∑，故D 不正确.故选：AC.10．BCD【分析】令1n =可求得2a 的值，推导出114n n a a +-=，分析可知数列{}n a 中的奇数项和偶数项分别成以4为公比的等比数列，求出数列{}n a 的通项公式，逐项判断可得出合适的选项.【详解】数列{}n a 中，11a =，()21*12n n n a a n -+=∈N ，当1n =时，则有122a a =，可得22a =，当2n ≥时，由2112n n n a a -+=可得2312n n n a a --=，上述两个等式相除可得114n n a a +-=，B 对；所以，数列{}n a 中的奇数项和偶数项分别成以4为公比的等比数列，当n 为奇数时，设()21n k k *=-∈N ，则1221211422k k n n k a a a ----==⋅==，当n 为偶数时，设()2n k k *=∈N ，则121122422k k n n k a a a ---==⋅==，故对任意的n *∈N ，12n n a -=，所以，2324a ==，A 错；11222nn n n a a +-==，所以数列{}n a 为等比数列，且该数列的首项为1，公比为2，则122112n n n S -==--，C 对；()()()2120122121221232222n nn n n n n T a a a a -⋅++++--==== ，D 对.故选：BCD.11．AB【分析】对于A ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，，由条件确定Q 的轨迹，结合锥体体积公式判断A ；对于B ，由面面平行的判定定理可得平面1//A BP 平面AMN ，从而可得//AQ 平面1A BP ，进而可求得AQ 的最小值；对于C ，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D ，由条件确定点Q 的轨迹为圆弧23A A ，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.【详解】对于A ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,,MN DQ AM AN ，则12DD DM =，2DC DN =，1//MN D C ，因为1DQ DC DD λμ=+ ，12λμ+=，所以22DQ DN DM λμ=+ ，221λμ+=，所以,,Q M N 三点共线，所以点Q 在MN ，因为11//D C A B ，1//MN D C ，所以1//MN A B ,MN ⊄平面1A BP ，1A B ⊂平面1A BP ，所以MN ∥平面1A BP ，所以点Q 到平面1A BP 的距离为定值，因为1A BP 的面积为定值，所以四面体1A BPQ 的体积为定值，所以A 正确；对于B ，因为//AM BP ，因为AM ⊄平面1A BP ，BP ⊂平面1A BP ，所以AM ∥平面1A BP ，又AQ 平面1A BP ，AQ AM M = ，,AQ AM ⊂平面AMQ ，所以平面//AMQ 平面1A BP ，取11D C 的中点E ，连接PE ，则1//PE D C ，11//D C A B ，所以1//PE A B ，所以1,,,A B P E 四点共面，所以平面//AMQ 平面1A BPE ，即Q 在MN 上，当AQ MN ⊥时，AQ 取最小值，因为160,2BAD AB AD AA ∠====，所以AM MN ==AN =222AM MN AN +=，所以,Q M 重合，所以AQ B 正确；对于C ，若1A BQ △的外心为O ，过O 作1OH A B ⊥于H ，因为1A B == 所以()21111111142A B A O A B A H HO A B A H A B ⋅=⋅+=⋅== ，所以C 错误；对于D ，过1A 作111A K C D ⊥，垂足为K ，因为1DD ⊥平面1111D C B A ，1A K ⊂平面1111D C B A ，所以11DD A K ⊥，因为1111C D DD D = ，111,C D DD ⊂平面11DD C C ，所以1A K ⊥平面11DD C C ，因为KQ ⊂平面11DD C C ，所以1A K KQ ⊥，又在11A KD 中，111111ππ2,,23A D A KD A D K =∠==，所以111πcos13KD A D ==，111πsin 3A K A D ==，在1A KQ 中，1A K ，1AQ ，1π2A KQ ∠=，所以2KQ =，则Q 在以K 为圆心，2为半径的圆上运动，在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13121D A D A =，则322KA KA ==，所以点Q 的轨迹为圆弧23A A ，因为1131,D K D A ==323A KA π∠=，则圆弧23A A 等于23π，所以D 错误；故选：AB【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.12．BCD【分析】A.()ln ln(1),xh x a a a x =--通过举特例说明该选项错误；B.考虑()ln F x x x =，ln (),xQ x x=求出函数的单调性，分析图象得到()h x 有两个零点；C ．求出两曲线的切线方程，再建立方程组，转化为零点个数问题分析得解；D.分()h x 单调递增和单调递减讨论，从而求出e e 1a -≤<得解.【详解】对A ，()ln ln(1),x h x a a a x =--令()10,ln ln(1),log (1)x x a h x a a a x a x -=∴=-∴=-，令111,164a x =-=或111,162a x =-=1log (1)x a a x -=-都成立，()h x 有两个零点，故A 错误；对B ，1ln ln(1),x a a x -=-令1ln ,(1)ln ln ,ln(1),1x ta t x a t t x x -=∴-=∴⋅=--ln (1)ln(1)t t x x ∴=--，（1t >）.考虑ln (),()ln 10,y x x F x F x x '===+=11,()(1),e x x F a F x -∴=∴=-所以函数()F x 在1(0,)e单调递减，在1(,)e +∞单调递增，1()(1),x F a F x -∴=-1ln(1)1,ln 1x x a x a x --∴=-∴=-.考虑2ln 1ln ()()0,e,x xQ x Q x x x x-'=∴==∴=所以函数()Q x 在(0,e)单调递增，在(e,)+∞单调递减，1(e),eQ =当1ln1e (e 0,1e eQ ==-<x →+∞时，()0Q x >,所以当10ln e a <<时，有两个零点.此时1e 1e a <<，故B 正确；对C ，设21ln ,(),()e 1x a k a f x a k g x x ''=>=⋅=-，1t x =-.设切点1122111222(,()),(,()),()()(),()()(),x f x x g x y f x f x x x y g x g x x x ''∴-=--=-所以12111222()()()()()()f xg x f x x f x g x x g x ''''=⎧⎨-=-⎩.①111122222211,,11x x t a a k a k a k x x t -=∴==--②1111222222(1)ln (1),ln 1,xt t a aa k t a t t a k t t t t -+=-+∴-=-12122221ln 1,1(ln 1)t t kt kt t kt t ∴-=-∴-=-,1222222ln ln ,1ln 2ln ln 0t k k t t k kt t kt +=-∴++-+= ,设1ln 2ln ln (0)S t k kt t kt t =++-+>，所以211()ln (),()0kS t k t P t P t t t t''=-=∴=--<，所以函数()P t 在(0,)+∞单调递减，因为11(1e+0,(e)0e e P k P k =+>=-<，所以00001(,e),()0,(0,),()0,(,),()0,ex S t t t S t t t S t '''∃∈=∴∈>∈+∞<所以()0S t =有两解，所以当1e e a >时，曲线()yf x =与曲线()yg x =有且只有两条公切线，所以该选项正确；对D ，若()h x 单调递增，则2121()0,ln ,(1),1ln x x a h x a a x a x a-'≥∴≥∴-≥-.21.(10)ln m ma m x a∴≥=->.考虑min ,0,m y ma y =→不满足.若()h x 单调递减，则212211()0,ln ,(1),.(10)1ln ln x x m a h x a a x a ma m x x a a-'≤∴≤∴-≥≤=->-.所以max 21(),ln mma a ≤考虑1,(1ln )0,ln m ty ma y m a a t a'==+=∴=-不满足.当1a >时，,m ma →+∞不满足.当1a <时，11ln ln 21111,,,ln ln (ln )ln a am a a a a a a--=-∴-⋅≤∴-11ln ()ln()ln ln a a a ∴⋅-≤-，∴e 11ln(),0ln e,e 1ln a a a--≤-∴>≥-∴≤<.故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题主要有四个关键，其一，是逻辑思维，证明命题是错误的，只要举出反例即可；其二，要熟练掌握利用导数讨论函数的零点个数；其三，是理解掌握曲线公切线的研究方法；其四，要会根据函数的单调性求参数的范围.13．79-【分析】根据题中条件，由诱导公式以及二倍角公式，直接计算，即可得出结果.【详解】因为2223122πππαα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，则227sin 2cos22cos 1312129πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：79-.14．1【分析】建立平面直角坐标系，设出()cos ,sin C θθ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到π14CA CB θ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭ ，结合π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出最小值.【详解】以O 为坐标原点，分别以,OB OA 为,x y 轴，建立空间直角坐标系，则()()1,0,0,1B A ，设()cos ,sin C θθ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故()()22cos ,1sin 1cos ,sin cos cos sin sin CA CB θθθθθθθθ⋅=--⋅--=--+ π1cos sin 14θθθ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，因为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，故当ππ42θ+=，π4θ=时，CA CB ⋅ 取得最小值，最小值为1-故答案为：115．34##0.75【分析】分析出函数()f x 为R 上的增函数，且为奇函数，由()()22210f a f b +-=可得出2221a b +=，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()()332222x x x x f x x x f x ---=-+-=-+-=-，所以，函数()f x 为奇函数，因为函数3y x =、2x y =、2x y -=-均为R 上的增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，由()()22210f a f b +-=可得()()()222211f a f b f b =--=-，所以，2221a b =-，即2221a b +=，当取最大值时，则0a >，所以，22421344a b ++=≤=，当且仅当2222421210a b a b a ⎧=+⎪+=⎨⎪>⎩时，即当412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，等号成立，因此，的最大值为34.故答案为：34.16．230x y ++=5【分析】设出M 的坐标(),x y ，得到1x a =--和21y a =-，消去a 得到圆心的轨迹方程；数形结合分析出点P '离圆O 的距离最大，要使得对于圆M 上的任意点P ，在圆O ：224x y +=上均存在点Q ，使得30OPQ ∠=︒，只需要过点P '作圆的切线，切点为Q '，30OP Q ''∠≥︒即可，从而得到3OM ≤，由垂径定理得到答案.【详解】设圆心M 的坐标为(),x y ，故1x a =--①，21y a =-②，①×2＋②得：230x y ++=，故圆心M 的轨迹方程为230x y ++=；如图所示，取圆M 上一点P ，要使OPQ ∠最大，则过点P 作圆O 的切线，连接OM 并延长交圆M 于点P '，则点P '离圆O 的距离最大，故要使得对于圆M 上的任意点P ，在圆O ：224x y +=上均存在点Q ，使得30OPQ ∠=︒，则只需要过点P '作圆的切线，切点为Q '，若此时30OP Q ''∠≥︒即可，当30OP Q ''∠≥︒时，24OP OQ ''≤=，此时3OM ≤，圆心()0,0O 到直线230x y ++=的距离为d =由勾股定理得：圆心M的轨迹长度为52==.故答案为：230x y ++=17．（1）sin 2θ=（2）tan θ=【分析】（1）设AC ＝a ，可求AB =，AD ＝a sin θ，CD ＝a cos θ，由题意S △ABC ＝4S △ACD ，利用三角形的面积公式即可求解；（2）在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得2sin （3π+θ）＝3sin θ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】（1）设AC a =，则AB =，sin AD a θ=，cos CD a θ=，由题意4ABC ACD S S ∆∆=，则114cos sin 22a a a θθ=⋅⋅，所以sin 22θ=.（2）由正弦定理，ABD ∆中，sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，即()sin sin 6BD a ππθ=-①BCD ∆中，sin sin BD BCBCD CDB =∠∠，即2sin sin 33BD aππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭②①÷②得：2sin 3sin 3πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简得2sin θθ=，所以tan 2θ=.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，意在考查学生的计算能力和转化思想．18．(1)()12nn a n =+(2)21n n +【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式；（2）由（1）得12nn n a c n =-=，由等差数列求和公式得到11121n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】（1）由12n n a n S n +=得到21nn na S n =+，当2n ≥时，()1121n n n a S n---=，两式相减，有()12121n n n n a na a n n --=-+，得到()()12111n n n a n a n n ---=+，由于2n ≥，121n n a an n-=⋅+，因为122a =，由上述递推关系知01n a n ≠+，所以1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1221n n a n -=⨯+，所以()12n n a n =+．（2）由（1）知：12nn na c n =-=，则111n n c c n n +-=+-=，所以数列{}n c 为等差数列，所以数列{}n c 的前n 项和为()12n n n T +=，则()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n ，所以121111111122122311n n T T T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．(1)不存在极大值；存在极小值，且极小值为12；(2)见解析【分析】（1）由导数得出单调性，进而得出极值；（2）求导，讨论2a -和1的大小关系，得出函数()f x 的单调性．【详解】（1）若1a =，则()21ln 2f x x x =-，()0,x ∈+∞，()()()111x x f x x x x+-'=-=，令()0f x '=，得1x =．当()0f x '<时，()0,1x ∈；当()0f x ¢>时，()1,x ∈+∞．所以，()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增．()f x 不存在极大值；存在极小值，且极小值为()112f =．（2）()()()2121x a x a f x x a x x-+'--=+-+=，()0,x ∈+∞．①若20a -≤，即2a ≤，则令()0f x '=，得1x =．当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>．所以，()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增．②若021a <-<，即23a <<，则令()0f x '=，得1x =或2=-x a ．此时，()f x 的单调性如下表所示：x ()0,2a -2a -()2,1a -1()1,+∞()f x '+-+()f x 极大值极小值③若3a =，则当()0,x ∈+∞时，()()210x f x x-'=≥，当且仅当1x =时，等号成立．此时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增．④若21a ->，即3a >，则令()0f x '=，得1x =或2=-x a ．此时，()f x 的单调性如下表所示：x ()0,11()1,2a -2a -()2,a -+∞()f x '+0-0+()f x 极大值极小值综上：2a ≤时，()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增；23a <<时，()f x 在区间()0,2a -，()1,+∞上单调递增，在区间()2,1a -上单调递减；3a =时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增3a >时，()f x 在区间()0,1，()2,a -+∞上单调递增，在区间()1,2a -上单调递减；【点睛】关键点睛：在判断函数()f x 的单调性时，关键在于讨论2a -和1的大小关系，利用导函数的正负来判断单调性.20．(1)证明见解析(2)55-【分析】（1）取AE 的中点为O ，证明⊥AE 平面POB 即可；（2）结合直线PB 与平面ABCE 所成的角，先证明PO ⊥平面ABCE ，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角【详解】（1）连接BD ，设AE 的中点为O ，由AB //CE ，2CDAB CE ==，故四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===，故ADE V ，ABE 为等边三角形，故OD AE ⊥，OB AE ⊥，折叠后,OP AE OB AE ⊥⊥，又OP OB O = ，且,OP OB ⊂平面POB ，故⊥AE 平面POB ，又PB ⊂平面POB ，故AE PB⊥（2）由（1）已证得⊥AE 平面POB ，故在平面POB 内可作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上，直线PB 与平面ABCE 夹角为π4PBQ PBO ∠=∠=，又OP OB =，故OP OB ⊥，∴,O Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则32P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，32C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22PE ⎛=- ⎝⎭ ，1322EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则110n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即10221022x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令x =11,1)n =-，又OB ⊥平面PAE ，显然2(0,1,0)n =为平面PAE 的一个法向量，设二面角A EP C --的大小为α，则121212cos cos ,5n n n n n n α⋅===由图可知二面角A EP C --为钝角，所以cos α=21．(1)(0,0)或168 ,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)过定点，定点(0,4)和84,55⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】(1)由切线的性质可得222MP AM AP =+，列方程求P 的坐标；(2)由条件求出圆N 的方程，根据恒等式的性质确定圆N 所过定点.【详解】(1)由题可知圆M 的圆心为(0,4)M ，半径2r =.设(2,)P b b ，因为PA 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒.在Rt MAP △中，222MP AM AP =+，故4MP ==.又MP =，4=，解得0b =或85.所以点P 的坐标为(0,0)或168 ,55⎛⎫⎪⎝⎭.(2)因为90MAP ∠=︒，所以PAM △的外接圆圆N 是以MP 为直径的圆，且MP 的中点坐标为4,2b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以圆N 的方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即()22(24)40x y b x y y +--+-=.由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆N 过定点(0,4)和84,55⎛⎫⎪⎝⎭.22．(1)21y x =+(2)（i ）(),0∞-；（ii ）()g a 在区间(),0∞-上单调递减．【分析】（1）当2a =时，求出()0f 、()0f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）（i ）分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，利用导数分析函数()f x 在()0,π上的定义，结合极小值点的定义可求得实数a 的取值范围；（ii ）由（i ）以及极小值的定义可得出()()tan e cos e cos at t tg a f t t t ==⋅=⋅．令函数()tan e cos x x x x ϕ=⋅，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()g a t ϕ=，利用导数分析函数()x ϕ在()0,π上的单调性，再结合函数单调性的定义可证得()g a 在区间(),0∞-上单调递减．【详解】（1）解：若2a =，则()2e cos x f x x =⋅，()()2e 2cos sin xf x x x =-'，所以，()01f =，()02f '=．所以，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =+．（2）解：（i ）()()e cos sin axf x a x x =-'，令()cos sin p x a x x =-，①若0a =，则()cos f x x =，在区间()0,π上单调递减，()f x 不存在极值点；②若0a >，则当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos sin 0a x x -<，从而()0f x '<．因为正切函数tan y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且该函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域为()0,∞+，则1π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得1tan x a =，即11cos sin 0a x x -=．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 0p x a x x '=--<，即函数()p x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当()10,x x ∈时，11cos sin cos sin 0a x x a x x ->-=，从而()0f x ¢>；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11cos sin cos sin 0a x x a x x -<-=，从而()0f x '<．所以，()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,πx 上单调递减，()f x 在()0,π上不存在极小值点．③若a<0，则当π0,2x ⎛⎤∈ ⎝⎦时，cos sin 0a x x -<，从而()0f x '<．因为正切函数tan y x =在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且该函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为(),0∞-，所以，π,π2t ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得tan t a =，即cos sin 0a t t -=．当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 0p x a x x '=-->，所以，函数()p x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.当π,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin cos sin 0a x x a t t -<-=，从而()0f x '<；当(),πx t ∈时，cos sin cos sin 0a x x a t t ->-=，从而()0f x ¢>．所以，()f x 在()0,t 上单调递减，在(),πt 上单调递增．此时，x t =为()f x 在区间()0,π上的唯一的极小值点．综上所述，实数a 的取值范围为(),0∞-．（ii ）由（ⅰ）知a<0，()f x 在()0,π上的唯一的极小值点t 满足π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan t a =．由此，()()tan e cos e cos at t tg a f t t t ==⋅=⋅．令函数()tan e cos x xx x ϕ=⋅，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()g a t ϕ=，且()tan tan 2etan cos sin e 0cos cos x xx x x x x x x x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=+-=⋅< ⎪⎢⎥⎝⎭'⎣⎦．所以，()x ϕ在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．下面证明函数()g a 在区间(),0∞-上单调递减．对于任意的120a a <<，设当1a a =和2a a =时，()f x 在()0,π上的极小值点分别为1t 、2t ，则1t 、2π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且11tan t a =，22tan t a =．由12a a <及函数tan y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，有12t t <．又由()x ϕ在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，有()()()()1122g a t t g a ϕϕ=>=．综上，对于任意的120a a <<，均有()()12g a g a >，即()g a 在区间(),0∞-上单调递减．【点睛】方法点睛：函数单调性的判断方法：（1）利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；（2）性质法：①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；②函数()f x -与函数()f x 的单调性相反；③0k >时，函数()f x 与()k f x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()kf x 的单调性相同（()0f x ≠）.（3）复合函数法：同增异减法.即函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性，由内层函数()u g x =和外层函数()y f u =同时决定，若内层函数和外层函数单调性相同，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦单调递增；若内层函数和外层函数单调性相反，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦单调递减.（4）导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.（5）定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.。

【20套精选试卷合集】东北师范大学附属中学2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案

高考模拟数学试卷二模文数答案一、选择题：BABBD ADCCC BC二、填空题：13.2 14. 2 15. 3 16.316017.解：（1）∵{}n a 等比数列，∴324352=⋅=⋅a a a a ，又1243=+a a故43,a a 是方程032122=+-x x 的两根，且43a a <解得8,443==a a ，则公比1,223134====qa a a a q 1112--==n n n q a a ，所以12log log 122-===-n a b n n n （2）∵121-+=+-n b a n n n1222)11(1212)()(22121-+=-++--=+++++++=n n n b b b a a a S nn n n n ΛΛ 18.（1）喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050（2）828.103.825252030)5101520(50))()()(()(222<=⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 故没有9.99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关（3）设“1A 和1B 至少一个被选中”为事件A从喜欢踢足球、喜欢打乒乓球的男生中各选出1名同学的结果有：),(),,(),,(),,(),,(),,(231322122111B A B A B A B A B A B A ,共6种其中1A 和1B 至少一个被选中的结果有：),(),,(),,(),,(13122111B A B A B A B A 所以3264)(==A P 19.（1）证明：连结11,AC BC ，显然1AC 过点N∵N M ,分别是C A AB 1,的中点, ∴MN ∥1BC又⊄MN 平面11B BCC ,⊂1BC 平面11B BCC ∴MN ∥平面11BCC B （2）证明：∵三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，1BB BC = ∴四边形11B BCC 是正方形 ∴C B BC 11⊥, 由（1）知MN ∥1BC ∴MN ⊥C B 1连结CM M A ,1,由11,AA BB BC MB AM ===知BMC AMA ∆≅∆1 ∴CM M A =1，又易知N 是C A 1的中点, ∴C A MN 1⊥, ∴MN ⊥平面11A B C(3)因为AB ∥11B A ,所以三棱锥C B A M 11-与三棱锥C B A B 11-的体积相等, 故34111111===---B CB A C B A B C B A M V V V 20. （Ⅰ）解：由题意，得(1,0)M ，直线l 的方程为1y x =-.由⎩⎨⎧=-=xy x y 412, 得2610x x -+=, 设A, B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点P 的坐标为00(,)P x y , 则121122322,322,1222,1222x x y x y x =+=-=-=+=-=-, 故点(322,222),(322,222),A B ++-- 所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)P , 直径221212||()()8AB x x y y =-+-=,所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；（Ⅱ）解：设A, B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , (0)MB AM λλ=>u u u r u u u u r.则1122(,),(,)AM m x y MB x m y =--=-u u u u r u u u r, 所以 2121()x m m x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩ ①因为点A, B 在抛物线C 上,所以2211224,4y x y x ==, ②由○1○2，消去212,,x y y 得1x m λ=.若此直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，则2||||||OM MB AM =⋅，即2||||||OM AM AM λ=⋅，所以22211[()]m x m y λ=-+，因为2114y x =，1x m λ=，所以22111[()4]mm x m x x =-+，整理得2211(34)0x m x m --+=， ③ 因为存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，所以关于x 1的方程○3有正根，因为方程○3的两根之积为m 2>0, 所以只可能有两个正根，所以2223400(34)40m m m m ->⎧⎪>⎨⎪∆=--≥⎩，解得4m ≥.故当4m ≥时，存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列.21.（1）解：xa x x x a x a x a x a x x f ))(2(2)2()2(2)(2+-=--+=-+-=' ),0(+∞∈x （1）当02≤<-a 时，由0)(>'x f 得a x -<<0或2>x ，由0)(<'x f 得2<<-x a ；（2）当2-=a 时，0)(≥'x f 恒成立；（3）当2-<a 时，由0)(>'x f 得20<<x 或a x ->，由0)(<'x f 得a x -<<2；综上，当02≤<-a 时，)(x f 在),0(a -和),2(+∞上单调递增；在)2,(a -上单调递减；当2-=a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增；当2-<a 时，)(x f 在)2,0(和),(+∞-a 上单调递增；在),2(a -上单调递减。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学上学期第一次摸底考试试题理

��
≥ <
00，那么��(74)的值为______________________________．
14．函数��(��) = log1(−��2 + 6��)的单调递增区间为 ___________________________________________． 2
三、解答题 17．在��中，角��，��，所对的边分别为��，��，��，且cos2 − cos2�� = sin2�� − sin��sin．（Ⅰ）求角��的值；（Ⅱ）若��的面积为5√3，�� = √21，求�� + ��的值． 18．已知函数��(��) = ��2 − 2��ln��，��(��) = ��2 − �� + 2 − 2ln2．（Ⅰ）讨论函数��(��)的单调性；（Ⅱ）当�� = 1时，判断��(��) − ��(��)的零点个数． 19．将边长为2的正方形��沿对角线��折叠，使得平面��⊥平面，��⊥平面��，��是��的中点，且�� = √2．

吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学上学期第一次摸底考试试题文

东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试数学（文科）试题一、选择题1．已知集合AA={1，2，3，4，5，6}，BB={yy|yy=xx2，xx∈AA}，则AA⋂BB=（）A．�2，4�B．�1，4�C．�1，2，4�D．�2，4，16�2．已知i是虚数单位，则21−i=（）A．1−i B．2 i C．1+i D．−i3．若aa=1.50.2，bb=1.50.4，cc=0.95，则（）A．cc>bb>aa B．aa>bb>cc C．bb>cc>aa D．bb>aa>cc4．给出下列三个命题：①“若aa>bb>0，则aa2>bb2”的逆命题为假命题；②“aa2≥1”是“函数ff(xx)=xx2+2aaxx+1至少有一个零点”的充要条件；③命题“∃xx0∈R，3xx0≤0”的否定是“∀xx∈R，3xx>0”.其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．函数ff(xx)=xx+|xx|xx的图象是（）A．B．C．D．6．已知函数ff(xx)=|xx−1|+|xx+1|（xx∈R），则ff(xx)的图象（）A．关于原点对称，但不关于y轴对称B．关于y轴对称，但不关于原点对称C．关于原点对称，也关于y轴对称D．既不关于原点对称，也不关于y轴对称7．设mm=265+1，nn=245，则mm nn约等于（）（参考数据：lg2≈0.3）A．1020B．103C．106D．1098．若函数ff(xx)的零点与函数gg(xx)=4xx+2xx−2的零点之差的绝对值不超过0.25，则ff(xx)可以是（）A．ff(xx)=4xx−1B．ff(xx)=log3(2−xx)C．ff(xx)=3xx−1D．ff(xx)=2xx−39．若函数ff(xx)=�aa xx，xx>0，(3−aa)xx+aa2，xx≤0.在(−∞，+∞)上为增函数，则aa的取值范围是（）A．�1，2�B．�1，2�C．�1， 3�D．�2， 3�10．已知函数ff(xx)=√2xx−xx2−kkxx (0<xx≤2)的零点在区间(1，32)内，则实数kk的取值范围是（）A．(0，√33)B．(1，√3 )C．(√33，1)D．(12，1)11．已知定义在R上的函数ff(xx)满足(xx−4)ff′(xx)≤0，且yy=ff(xx+4)为偶函数，当|xx1−4|<|xx2−4|时，有（）A．ff(8−xx1)≤ff(8−xx2)B．ff(8−xx1)<ff(8−xx2)C．ff(8−xx1)>ff(8−xx2)D．ff(8−xx1)≥ff(8−xx2)12．将边长为1m正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记yy=(梯形的周长)2梯形的面积，则yy的最小值为（）A．16√33B．32√33C．100√39D．196√315二、填空题13．曲线ff(xx)=cos xx在xx=ππ6处的切线方程为___________________.14．已知函数ff(xx)=xx2−4xx，则ff(log21√2)=_______.15．已知函数ff(xx)的定义域为R，对于任意实数xx，都有ff(1+xx)=−ff(−xx)，且ff(xx)共有五个零点，则ff(xx)的所有零点之和为________.16．已知定义域为R的奇函数ff(xx)，满足ff(xx)=�22xx−3，xx>2，xx2−2xx+2， 0<xx≤2.下面四个关于函数ff(xx)的说法：①存在实数kk，使关于xx的方程ff(xx)=kkxx有7个不相等的实数根；②当−1<xx1<xx2<1时，恒有ff(xx1)>ff(xx2)；③若当xx∈�0，aa�时，ff(xx)的最小值为1，则aa∈[1，52]；④若关于xx的方程ff(xx)=32和ff(xx)=mm的所有实数根之和为零，则mm=−32．其中说法正确的有___________．（将所有正确说法的标号填在横线上）三、解答题17．在△ABC中，角AA，BB，CC的对边长分别为aa，bb，cc，BB=ππ3，cos AA=45．（Ⅰ）求sin CC的值；（Ⅱ）若aa=6，求cc的值.18．设函数ff(xx)=xx2−2xx+aa ln xx．（Ⅰ）当aa=−4时，求ff(xx)的极值；（Ⅱ）当aa>12时，判断ff(xx)的单调性.19．已知四棱锥PP−AABBCCAA，底面AABBCCAA是菱形，∠BBAAAA=60∘，ΔΔPPAAAA为正三角形，平面PPAAAA⊥底面AABBCCAA，AAAA=2．（Ⅰ）求证：AAAA⊥PPBB；（Ⅱ）求点CC到平面PPBBAA的距离．20．在直角坐标系xxxxyy中，动点PP(xx，yy)（其中xx≥2）到点FF(3，0)的距离的4倍与点PP到直线xx=2的距离的3倍之和记为dd，且dd=xx+18.（Ⅰ）求点PP的轨迹CC的方程；（Ⅱ）设过点FF的直线ll与轨迹CC交于MM，NN两点，求|MMNN|的取值范围.21．己知函数ff(xx)=aaxx2+bbxx−ln xx．（Ⅰ）当aa=−2时，函数ff(xx)在(0，+∞)上是减函数，求b的取值范围；（Ⅱ）若方程ff(xx)=0的两个根分别为xx1，xx2(xx1<xx2)，求证：ff′�xx1+xx22�>0.22．已知在直角坐标系xxxxyy内，直线ll的参数方程为�xx=32+tt cosθθ，yy=−12+tt sinθθ.（tt为参数，θθ为倾斜角）．以xx为极点，xx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线CC的极坐标方程为ρρ=2√2cos(θθ+ππ4)．（Ⅰ）写出曲线CC的直角坐标方程及直线ll经过的定点PP的坐标；（Ⅱ）设直线ll与曲线CC相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之和的最大值．23．已知函数ff(xx)=|xx−2|−|2xx−aa|，aa∈R．（Ⅰ）当aa=1时，解不等式ff(xx)>0；（Ⅱ）设不等式ff(xx)<0的解集为AA，集合BB={xx|xx<0}，BB⊆AA，求aa的取值范围.东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试（文科）(数学) 1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B7. C8. A9. A10. C11. D12. B13.14. 9415. 5216. ①③17. 解：(Ⅰ)∵AA，B，C为△AABBCC的内角，且BB=ππ3，，，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，在△AABBCC中，由正弦定理得．18. 解：(Ⅰ)由已知，ff(xx)的定义域为�0，+∞�，，当aa=−4时，令，得2xx2−2xx−4=0．又xx>0，所以xx=2，当0<xx<2时，；当xx>2时，0'/>．因此，当xx=2时，ff(xx)有极小值，极小值为ff(xx)无极大值;(Ⅱ)由已知，ff(xx)的定义域为�0，+∞�，，令gg(xx)=2xx2−2xx+aa(xx>0)，则gg(xx)在(0，12]上递减，在�12，+∞�上递增，因此，gg(xx)有最小值gg�12�=aa−12．当aa>12时，aa−12>0，则0'/>，此时，函数ff(xx)在�0，+∞�上单调递增．19. 解：证明：(Ⅰ)取AD的中点O，连结PO、BO，则PPxx⊥AAAA，因为底面ABCD是菱形，，所以△AABBAA是正三角形，所以BBxx⊥AAAA，又因为PPxx∩BBxx=xx，所以AAAA⊥平面POB，而PPBB⊂平面POB，所以AAAA⊥PPBB．(Ⅱ)因为平面PPAAAA⊥底面ABCD，且PPxx⊥AAAA，所以PPxx⊥平面ABCD，PPxx=BBxx=√3，SS△BBBBBB=SS△AABBBB=12×AAAA×BBxx=12×2×√3=√3，所以VV PP−BBBBBB=13×SS△AABBBB×PPxx=13×√3×√3=1，在△PPBBAA中，PPAA=BBAA=2，PPBB=2+BBxx2=√3+3=√6，取PB的中点E，连结DE，则AADD⊥PPBB，SS△PPBBBB=12×PPBB×AADD=12×PPBB×�BBAA2−�PPBB2�2=12×√6×√102=√152，因为VV PP−BBBBBB=VV BB−PPBBBB，设点C到平面PBD的距离为h，则VV BB−PPBBBB=13×SS△PPBBBB×ℎ=13×√152×ℎ=1，所以ℎ=25√15．20. 解：(Ⅰ)依题意，4�(xx−3)2+yy2+3(xx−2)=xx+18，∴�(xx−3)2+yy2=6−12xx化简得xx236+yy227=1，∴点P的轨迹C的方程为xx236+yy227=1(2≤xx≤6)．(Ⅱ)设点AA�2，2√6�，BB�2，−2√6�．由(Ⅰ)知，轨迹C是椭圆xx236+yy227=1在直线xx=2的右侧的部分(包括点A、BB)．可求出直线AF的斜率为−2√6，直线BF的斜率为2√6.(1)当直线l的斜率不存在时，设MM(3，92)，NN(3，−92)，此时，|MMNN|=9.(2)当直线l的斜率k存在时，直线l的方程为yy=kk(xx−3).由已知，直线l与轨迹C交于M，N两点，则kk≥2√6或kk≤−2√6.设MM�xx，yy，yy11，|NNFF|=6−12，所以|MMNN|=|MMFF|+|NNFF|=12−12(xx1+xx2).由�yy=kk(xx−3)xx236+yy227=1，得(3+4kk2)xx2−24kk2xx+36kk2−108=0.则xx1+xx2=24kk23+4kk2，所以|MMNN|=12−12(xx1+xx2)=12−12kk23+4kk2=12−123kk2+4.因为kk≥2√6或kk≤−2√6，所以kk2≥24，所以0<1kk2≤124，所以9<12−123kk2+4≤10011，即9<|MMNN|≤10011.综上可知，9<|MMNN|≤10011．21. 解：(Ⅰ)依题意，∵ff(xx)在(0，+∞)上递减，对xx∈(0，+∞)恒成立.即bb⩽4xx+1xx对xx∈(0，+∞)恒成立，所以只需bb≤(4xx+1xx)min.∵xx>0，∴4xx+1xx≥4，当且仅当xx=12时取(Ⅱ)由已知，得，两式相减，得由知，设tt=xx1xx2∈(0，1)，则0. \thereforeg \left( t \right)'/>在�0，1�上递增，∴gg(tt)<gg(1)=0.∵xx1−xx2<0，即0.'/>22. 解：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为(xx−1)2+(yy+1)2=2，直线l过定点PP(32，−12)．(Ⅱ)将直线l的参数方程代入(xx−1)2+(yy+1)2=2，得tt2+(cosθθ+sinθθ)tt−32=0．设点A、B对应的参数分别为tt1、tt2，则tt1+tt2=−(cosθθ+sinθθ)，tt1tt2=−32.因为tt1tt2<0，所以，|PPAA|+|PPBB|=|tt1|+|tt2|=|tt1−tt2|=�(tt1+tt2)2−4tt1tt2=�(cosθθ+sinθθ)2+6=√7+sin2θθ.因此，当θθ=ππ4时，|PPAA|+|PPBB|有最大值2√2．23. 解：(Ⅰ)当aa=1时，不等式为|xx−2|−|2xx−1|>0，化为|xx−2|>|2xx−1|，两边平方得xx2−4xx+4>4xx2−4xx+1，解得−1<xx<1，因此不等式ff(xx)>0的解集为{xx|−1<xx<1}；(Ⅱ)因为BB⊆AA，所以当xx<0时，恒有ff(xx)<0，即2−xx−|2xx−aa|<0，2−xx<|2xx−aa|，因此2xx−aa>2−xx或2xx−aa<xx−2，得xx>aa+23或xx<aa−2，又因为BB⊆AA，所以aa≥2；(另法)由ff(xx)<0，得|2−xx|−|2xx−aa|<0，即|2−xx|<|2xx−aa|，两边平方，得(2−xx)2<(2xx−aa)2，所以3xx2+(4−4aa)xx+aa2−4>0，得[3xx−(aa+2)][xx−(aa−2)]>0，(1)当aa−2≥aa+23时，即aa≥4时，AA=�xx|xx<aa+23或xx>aa−2�，又BB⊆AA，所以aa+23≥0，所以aa≥−2，此时aa≥4；(2)当aa−2<aa+23时，即aa<4时，AA=�xx|xx<aa−2或xx>aa+23�，又BB⊆AA，所以aa−2≥0，所以aa≥2，此时2≤aa<4，综上可知，aa≥2．。

吉林省吉林市2020届高三数学第一次调研考试试题文(含解析)

吉林省吉林市2020届高三数学第一次调研考试试题文（含解析）一、选择题1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =≤，则A B =（）A. {}1,2B. {}1,0-C. {}0,1,2D. {}1-【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的定义，即可求出答案.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =≤. 所以A B ={}1,0-故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补集运算及其性质. 2.函数3sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（） A. 2π B.2π C.3π D. π【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期2T ωπ=，即可求解。

【详解】4ω=，2T ωπ=242T ππ∴== 故选：B【点睛】本题考查求三角函数sin()y A x ωϕ=+的周期，属于基础题。

3.已知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD =（）A. 1-2BC BA + B. 12BC BA -C. 1-2BC BA -D. 12BC BA +【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算，用基底{},BC BA 表示向量CD .【详解】因为D 是△ABC 边AB 上的中点，所以1122CD CB BD CB BA BC BA =+=+=-+.故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢.4.已知奇函数()f x 当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()f x 的表达式是( ) A. (1)x x -+ B. (1)x x --C. (1)x x +D. (1)x x -【答案】C 【解析】设x <0，则−x >0，又当x >0时,f (x )=x (1−x )，故f (−x )=−x (1+x )，又函数为奇函数，故f (−x )=−f (x )=−x (x +1)，即f (x )=x (x +1)，本题选择C 选项.5.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为( ) A. 4 B. 2 C. 3D. 8【答案】A 【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．【详解】正项等比数列{}n a 公比设为(0)q q >，满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，可得211a q =，54312a a +=，即4311312a q a q +=，可得22320q q +-=，解得2q =-（舍去），12q =，则14a =，故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.若cos()2πα+=cos2=α（） A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】C 【解析】【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可.【详解】cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭,得到sin α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.7.已知向量a ，b 的夹角为60°，1a =，2b =，则2a b -=（）A. 2B.D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据()222a b a b -=-展开计算即可得出答案.【详解】()222a b a b-=-224+a a b b -⋅224cos60+a a b b ︒=-⋅=2=故选：A.【点睛】本题考查两向量差的模长的计算，属于基础题,解本类题型需熟练掌握两向量差的模长计算公式：()2222a b a ba ab b -=-=-⋅+.8.将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（） A. 24x π=-B. 4x π=C. 524x π=D. 12x π=【答案】A 【解析】分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可.详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24,32x k k Z πππ+=+∈，得1,424x k k Z ππ=-∈，当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选A.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2πω；由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.9.若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数知道01a <<.即log ay x =在()0+∞，上单调递减.根据函数的奇偶性即可选出答案.【详解】因为函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数.所以01a << .因为函数()log 1a y x =-，定义域为()()11,-∞-+∞，故排除A 、B.当1x >时，函数()()log 1log 1a a y x x =-=-在1,上单调递减.当1x <-时, 函数()()log 1log 1a a y x x =-=--在()1-∞-单调递增.【点睛】本题考查根据函数表达式选函数图像，属于基础题.解本题的关键在于根据函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，判断出01a <<，即log a y x =.在()0+∞，上单调递减.10.在ABC △中，4AB =，2AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 分别为AB 、BC 中点，则AE CD ⋅=（） A. 4 B. 3C. 2D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据题意知0AB AC ⋅=,将AE CD 、用AB AC 、表示出来，再运算即可得出答案. 【详解】因为D 、E 分别为AB 、BC 中点. 所以()1+2AE AC AB =,12CD CA AD AB AC =+=-, 所以()221111+=22242AE CD AC AB AB AC AB AC ⎛⎫⋅=⋅--= ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用.属于基础题.解本题的关键在于根据题意得到0AB AC ⋅=，利用平面向量基本定理将AE CD 、用AB AC 、表示出来.11.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈，1238a a a =,则8S =（）A. 510B. 255C. 127D. 6540【答案】B 【解析】由等比数列的性质可得22a =，由()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈可得公比2q，11a =，再由等比数列的求和公式即可求出8S【详解】由等比数列的性质可得312328a a a a ==，解得22a =，又()()2135213n n S a a a a n N -=++++∈，24613521213521()()3()n n n a a a a a a a a a a a a --∴++++++++++++=+，2421352162()n n a a a a a a a a -++++++∴+=+，21135135212()n n q q q q a a a a a a a a --++++++++∴=即2q，又21a a q =，所以11a = 由等比数列的求和公式8818(1)2125511a q S q --∴===-故选：B【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.12.设函数()f x 的定义城为D ，若满足条件：存在[],m n D ⊆，使()f x 在[],m n 上的值城为[],km kn （k ∈R 且0k >），则称()f x 为“k 倍函数”，给出下列结论：①()1f x x=是“1倍函数”；②()2f x x =是“2倍函数”：③()xf x e =是“3倍函数”．其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】 ①根据()1f x x=在,0，0,单调递减,可在区间,0上找，也可在区间0,上找使1()1()f m n m f n m n ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩成立的m n 、的值. ②因为()20f x x =≥,所以0n m >≥，又()2f x x =在[0,)+∞上单调递增，即在区间[0,)+∞上找使22()2()2f m m mf n n n⎧==⎨==⎩成立的m n 、的值. ③()xf x e =在R 上单调递增，即找使()3()3m nf m e mf n e n⎧==⎨==⎩成立的m n 、的值.等价于3x e x =有两根，可证明()3xg x e x =-有两个零点.【详解】①()1f x x=是“1倍函数”:即存在[]()(),,00,m n ⊆-∞+∞，使()f x 在[],m n 上的值城为[],m n .若[](),,0m n ⊆-∞，()1f x x=在,0上单调递减,即1()11()f m n mmn f n m n ⎧==⎪⎪⇒=⎨⎪==⎪⎩. 令12,2m n =-=-,()1f x x =在1[2]2--，上的值域为1[2]2--，. 即()1f x x=是“1倍函数”； ②()2f x x =是“2倍函数”: 即存在[],m n R ⊆，使()f x 在[],m n 上的值城为[]2,2m n .因为()20f x x =≥,所以0n m >≥.又因为()2f x x =在[0,)+∞上单调递增,即22()20,2()2f m m mm n f n n n ⎧==⇒==⎨==⎩. 即()2f x x =在[]0,2上的值域为[]0,4，即()2f x x =是“2倍函数”.③()xf x e =是“3倍函数”: 即存在[],m n R ⊆，使()f x 在[],m n 上的值城为[]3,3m n .因为()xf x e =在R 上单调递增,所以 ()3()3m nf m e mf n e n⎧==⎨==⎩等价于3x e x =有两根. 记()3xg x e x =-，现证()g x 有两个零点.()3x g x e '=-，令()30x g x e '=-=解得ln3x =.即函数()3xg x e x =-在(),ln3-∞单调递减，在()ln3,+∞上单调递增.()ln3ln 33ln 333ln 33ln 03eg e =-=-=<，即()0g x =有两个零点.即3x e x =有两根.即存在[],m n R ⊆，使()xf x e =在[],m n 上的值城为[]3,3m n .即()xf x e =是“3倍函数”.综上所述：①②③均正确. 故选:D.【点睛】本题考查函数的新定义.属于中档题.解本题的关键在于读懂“k 倍函数”的定义:只需在定义域内找到区间[],m n 使()f x 的值城为[],km kn .再根据函数的定义域与值域建立等式，说明存在性. 二、填空题13.已知函数1ln ,0()2,0x x x f x x +>⎧=⎨≤⎩，则1f f e ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________. 【答案】1 【解析】【分析】根据解析式，先求1f e⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求1f f e ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学上学期一摸试题理含解析

A. B. C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两数远远大于1, 的值约等于，设，运用指数运算法则，把指数式转化对数式,最后求出的值.
【详解】因为两数远远大于1，所以的值约等于 ,设 ,
因此有 .
故选:C
【点睛】本题考查了数学估算能力，考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.
6。函数y=2x2–e|x｜在［–2，2]的图像大致为( )
A. B。 C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在［–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为 ,当时，为减函数，当时, 为增函数．故选D
7.“ ”是“关于的不等式的解集为 "的（）
吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学上学期一摸试题理（含解析)
一、选择题
1.若是虚数单位，在复平面内复数表示的点在( ）
A。第一象限B. 第二象限C。第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
运用复数除法的运算法则，化简复数 ,最后选出正确答案.
【详解】因为 ,所以复平面内复数表示的点的坐标为，该点在第四象限。
故选:B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键。
8.已知函数 ,若 ,则实数的取值范围是( ）
A。 B.
C。 D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数的取值范围。
【详解】当时, ，个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题的真假，最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.