陆贵斌 计量经济学 练习8 多重共线性

第八章 多重共线性1．考虑下面的一组数据：如果我们用模型：12233i i iY X X βββ=++来对以上数据进行拟合回归。

(1) 我们能得到这3个估计量吗？两个解释变量是否线性相关？并说明理由。

(2) 如果不能，那么我们能否估计得到这些参数的线性组合？可以的话，写出必要的计算过程。

解：（1）不能。

通过对2X 和3X 的观察，我们可以知道它们存在以下的关系：3221i i X X =-，所以可知变量2X 和3X 是完全线性相关的。

（2）把方程写成1223213232122(21)()(2)i ii ii ii iY XXX X βββμββββμααμ=++-+=-+++=++ 其中113223,2αββαββ=-=+。

因此，我们可以唯一的估计出1α和2α，但无法估计出原始的β，因为两个方程无法解出三个未知数。

2．考虑以下模型： 231234i i i i iY X X X ββββμ=++++由于2X和3X是X 的函数，它们之间存在多重共线性吗？为什么？答：这种说法不正确。

因为2x 和3x 都是x 的非线性函数，把它们包括在回归模型中并不违反经典性线性回归模型的基本假设。

多重共线性的相关是指的变量之间的线性相关。

3．设想在模型 12233i ii iY XX βββμ=+++中，2X 和3X 之间的相关系数23r 为零。

如果我们做如下的回归： 1221i i iY X ααμ=++1332i i iY X γγμ=++（1）会不会存在22ˆˆαβ=且33ˆˆγβ=？为什么？（2）1ˆβ会等于1ˆα或1ˆγ或两者的某个线性组合吗？（3）会不会有22ˆˆvar()var()βα=且33ˆˆvar()var()γβ=？解：（1）是的。

这是因为2X 和3X 之间的相关系数为0，所以β系数的表达式22332322222323()()()()ˆ()()()i i i i i i i i i i i y x x y x x x x x x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑23222332222323()()()()ˆ()()()i i i i i i i i i i i y x x y x x x x x x x β-=-∑∑∑∑∑∑∑中的交叉乘积项消失，从而变成与α和γ系数同样的表示式。

（2）是它们的一个线性组合。

证明如下：122331222223333ˆˆˆˆˆˆˆˆˆY X XY X Y X Y XY X βββααβαγβ=--=-=-=-=- 因此有 111ˆˆˆY βαγ=+-。

（3）不是。

原因如下：2222232222232ˆˆˆvar(),(0)(1)iir xr xσσβ===-∑∑ ，2222ˆˆv a r ()ixσα=∑。

4．考虑消费函数123i t tt C Y W βββμ=+++ 1,2,,t n =其中，C 、Y 、W 依次表示消费、收入与财富。

下面是假想数据。

(1) 作C 对Y 和W 的普通最小二乘回归。

(2) 这一回归方程是否存在着多重共线性？你的判断依据是什么？ (3) 分别作C 对Y 和W 的回归，这些回归结果表明了什么？ (4) 作W 对Y 的回归。

这一回归结果表明了什么？(5) 如果存在严重的共线性，你是否会删除一个解释变量？为什么？ 解：（1）使用EViews 软件进行回归Dependent Variable: SER01 Method: Least Squares Date: 07/02/06 Time: 19:32 Sample: 1 10Included observations: 10Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 24.33698 6.2800513.8752840.0061 W -0.034952 0.030120 -1.160433 0.2839 Y0.8716400.3143792.7725760.0276 R-squared0.968182 Mean dependentvar111.0000Adjusted R-squared 0.959092 S.D. dependent var 31.42893 S.E. of regression 6.356758 Akaike info criterion 6.780239 Sum squared resid 282.8586 Schwarz criterion 6.871015 Log likelihood -30.90120 F-statistic 106.5019 Durbin-Watson stat2.941201 Prob(F-statistic)0.000006回归得到的方程为：ˆˆˆ24.340.030.87iY W Y =-+。

（2）有。

R-squared 的值为0.968182，但是系数W 通过不过显著性检验。

（3）Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C24.454556.4138173.8127910.0051Y 0.509091 0.035743 14.24317 0.0000111.0000R-squared 0.962062 Mean dependentvarAdjusted R-squared 0.957319 S.D. dependent var 31.42893S.E. of regression 6.493003 Akaike info criterion 6.756184Sum squared resid 337.2727 Schwarz criterion 6.816701Log likelihood -31.78092 F-statistic 202.8679Durbin-Watson stat 2.680127 Prob(F-statistic) 0.000001Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 26.45198 8.446165 3.131833 0.0140W 0.048039 0.004543 10.57519 0.0000111.0000R-squared 0.933241 Mean dependentvarAdjusted R-squared 0.924896 S.D. dependent var 31.42893S.E. of regression 8.613107 Akaike info criterion 7.321304Sum squared resid 593.4849 Schwarz criterion 7.381821Log likelihood -34.60652 F-statistic 111.8346Durbin-Watson stat 2.389869 Prob(F-statistic) 0.000006在这两个回归中，系数是显著的，而在同时对两个变量进行回归时，却存在部分系数的不显著，说明变量之间存在多重共线性。

（4）Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -3.363636 73.70690 -0.045635 0.9647Y 10.37273 0.410753 25.25299 0.00001760.000R-squared 0.987611 Mean dependentvarAdjusted R-squared 0.986062 S.D. dependent var 632.0272S.E. of regression 74.61690 Akaike info criterion 11.63947Sum squared resid 44541.45 Schwarz criterion 11.69998Log likelihood -56.19734 F-statistic 637.7133Durbin-Watson stat 2.366673 Prob(F-statistic) 0.000000Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.Y 10.35497 0.123991 83.51400 0.0000R-squared 0.987607 Mean dependent1760.000varAdjusted R-squared 0.987607 S.D. dependent var 632.0272S.E. of regression 70.35864 Akaike info criterion 11.43973Sum squared resid 44553.05 Schwarz criterion 11.46999Log likelihood -56.19864 Durbin-Watson stat 2.366224不管是否带上常数项，R-squared的值都非常大（>0.98），而且Y的系数都通过显著性检验，说明W和Y存在高度的共线性。

（5）在满足模型的经济含义的前提下（以免造成模型设置失误），我们还是可以通过舍去W或者Y来消除共线性的5、下表给出了美国1971-1986年期间新客车出售的数据。

Y——新车出售量，未经季节调整数量；X——新车，消费者价格指数，1967年=100，未经季节调整；2X——消费者价格指数，1967年=100，未经季节调整；3X——个人可支配收入，10亿美元，未经季节调整；4X——利率，百分数，金融公司票据直接使用；5X——民间就业劳动人数（个人），未经季节调整。

6（1）如果你决定使用表中全部回归元作为解释变量，可能会遇到多重共线性吗？为什么？（2）如果你这样认为的话，你准备怎样解决这个问题？明确你的假设并说明全部计算。

（3）制定适当的线性或者对数线性的模型，以估计美国对汽车的需求函数。

解：（1）首先我们发现各个变量在数量级上存在较大差别，所以我们一般考虑对数线性回归模型，得到如下的结果：Dependent Variable: LOG(Y)Method: Least SquaresDate: 07/02/06 Time: 20:31Sample: 1971 1986Included observations: 16Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 3.254859 19.11656 0.170264 0.8682LOG(X2) 1.790153 0.873240 2.050012 0.0675LOG(X3) -4.108518 1.599678 -2.568341 0.0280LOG(X4) 2.127199 1.257839 1.691154 0.1217LOG(X5) -0.030448 0.121848 -0.249884 0.8077R-squared 0.854803 Mean dependentvar9.204273Adjusted R-squared 0.782205 S.D. dependent var 0.119580S.E. of regression 0.055806 Akaike info criterion -2.653874Sum squared resid 0.031143 Schwarz criterion -2.364153Log likelihood 27.23099 F-statistic 11.77442Durbin-Watson stat 1.793020 Prob(F-statistic) 0.000624我们发现R-squared=0.854803>0.80，LOG(X4) 、LOG(X5) 、LOG(X6)都不能通过0.10的显著性检验。