沪科版九年级数学中考：4.6特殊的平行四边形专题习题(含答案)
中考复习讲义 特殊平行四边形(含答案)
特殊平行四边形 知识精讲+习题集一、矩形的性质及判定1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．性质（矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质） （1）边：对边平行且相等． （2）角：四个角都是直角．（3）对角线：对角线互相平分且相等．（4）对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． （5）周长：=2()C a b +（a 、b 为一组邻边）． （6）面积：Sab =（a 、b 为一组邻边）．【注意】1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2、直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．这两条直角三角形的性质是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线相等的平行四边形是矩形． （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 二、菱形1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．性质（菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质） （1）边的性质：对边平行且四边相等． （2）角的性质：邻角互补，对角相等．（3）对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． （4）对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． （5）周长：=4C a （a 为边长）（6）菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．S ah =（a 为一边长，h 为这条边上的高）；12S bc =（b 、c为两条对角线的长）． 【注意】其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形． （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （3）四边相等的四边形是菱形． 三、正方形1．定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．2．性质（正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质）（1）边：对边平行，四条边都相等． （2）角：四个角都是直角．（3）对角线：两条对角线互相垂直，平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． （5）周长：=4C a （a 为边长）． （6）面积：2Sa =（a 为边长）；212S b =（b为对角线长）．【注意】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 正方形菱形矩形平行四边形3． 正方形的判定（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）有一组邻边相等的矩形是正方形． （3）有一个角是直角的菱形是正方形．1、中点四边形（1）任意四边形的中点四边形为平行四边形．（2）对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形．（3）对角线相等的四边形的中点四边形为菱形．（4）对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．2、对角线互相垂直的四边形（1）该中点四边形EFGH为矩形；如图1图1OHACB DEF G（2）该四边形面积等于对角线乘积的一半；即12ABCDS AC BD=⋅（3）该四边形对边的平方和相等．即2222AB CD AD BC+=+3、筝形：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O．（1）ABC ADC△≌△（2）一组对角相等，即ABC ADC∠=∠解题方法技巧（3）对角线平分一组对角，即AC 平分,BAD BCD ∠∠． （4）对角线互相垂直，即ACBD ⊥．（5）一条对角线平分另一条对角线，即AC 平分BD （OB OD =）． （6）12ABCDSAC BD =⋅筝形（7）筝形是轴对称图形，即AC 所在直线为其对称轴． 【注意】这些性质需先证明后运用4、平行四边形和特殊平行四边形之间的判定关系+四条边都相等+三个角是直角5、正方形共顶点旋转6、正方形角含半角旋转FED CBAG FED CBAA BCD EF F ED CBA GABCDEFG7、正方形与弦图DCBAGFEH8、正方形等面积结论 （1）=ABC CDE S S △△ （2）G 为AB 中点，则12CGDEEDGABC1、判定特殊平行四边形时，要注意是否在平行四边形的基础上．2、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有平行四边形的所有性质．正方形还是特殊的菱形和矩形，具有菱形和矩形的全部性质．正方形一般结合等腰直角三角形一起考察．【例1】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数(0)kyk x=≠使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为__________．【答案】4y x=，答案不唯一 【解析】依题可知，(2,2)B ，(0)k y k x=≠使它的图象与正方形OABC 有公共点，04k <≤即可．真题链接易错点辨析故答案为：4y x=，答案不唯一． 【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF 、PD ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若4AB =，6AD =，60ABC∠=︒，求tan ADP ∠的值．【答案】（1）证明：∵ABCD 是平行四边形∴AB CD ∥，AD CB ∥，∴DAEBEA ∠=∠，EBF AFB ∠=∠．∵AE 平分BAD ∠，BF 平分ABC ∠； ∴BAE DAE ∠=∠，ABF CBF ∠=∠； ∴ABF AFB ∠=∠，BAE AEB ∠=∠， ∴AB BE AF ==， ∵AF BE ∥，∴四边形ABEF 为菱形． （2）解：作PH AD ⊥，∵60ABC ∠=︒，AB BE =； ∴ABE △为等边三角形；∴4AE AB ==，60DAE ∠=︒； ∵四边形ABEF 为菱形； ∴P 点为AE 中点； ∴2AP =；可知：1AH =，3PH =． ∵6AD =；∴5DH =；3PH =∴3tan 5PH ADPDH ∠==． 【例3】 在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB ，EF ，FD 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图形如图所示：（2）连接AE ， 依题可知，20PAB PAE ∠=∠=︒，AB AE AD ==，130DAE DAB BAE ∠=∠+∠=︒． ∴25ADE AED ∠=∠=︒． （3）连接AE 、BF 、AD ．由对称性可知：AE AB AD ==，EF BF =， ABE △、AED △、EFB △都是等腰三角形． ∴AEB ABE ∠=∠，AED ADE ∠=∠． ∵90BAD ∠=︒，∴290BAD ABE BED ADE BED ∠=∠+∠+∠=∠=︒，∴45BED ∠=︒．∴EFB △都是等腰直角三角形，∴BFEF =，90BFE ∠=︒．在Rt BFD △中，222BF DF BD +=2BD AB =．∴2222EF DF AB +=．【例4】 如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若5AB =，12AD =，则四边形ABOM 的周长为__________．【答案】20【例5】 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为(2)a a >的正方形ABCD 各边上分别截取1AE BF CG DH ====，当45AFQ BGM CHN DEP ∠=∠=∠=∠=︒时，求正方形MNPQ 的面积．小明发现：分别延长QE MF NG PH ，，，，交FA GB HC ED ，，，的延长线于点R S T W ，，，，可得RQF SMG TNH WPE △，△，△，△是四个全等的等腰直角三角形（如图2） 请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________； （2）求正方形MNPQ 的面积． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在等边ABC △各边上分别截取ADBE CF ==，再分别过点D E F ，，作BC AC AB ，，的垂线，得到等边RPQ △，若33RPQ S =△，则AD 的长为__________．【答案】（1）a ；（2）由（1）知，由RQF SMG TNH WPE △，△，△，△拼成的新正方形的面积与正方形ABCD 的面积相等．∴RAE SBF TCG WDH △，△，△，△这四个全等的等腰直角三角形的面积之和与正方形MNPQ 的面积相等． ∵1AEBF CG DH ====，∴正方形MNPQ 的面积141122S =⨯⨯⨯= （3）23．一、矩形的定义和性质【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【答案】A【例2】 矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件__________时，四边形PEHF 是矩形【答案】2BC AB =【例3】 已知如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，E F 、分别是AC BD 、的中点，如果2612ACBF ==，，则EF =_________． 课堂练习FEDCBA【答案】5【例4】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE∠=_________FED CBA【答案】15︒ 【例5】 矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为_______．【答案】【例6】 如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =.求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=o，.在ABE ∆和CDF ∆中，又∵BEDF =，∴ABE ∆≌CDF ∆.【例7】 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．23 D ．43ODC BA【答案】B【解析】∵60AOB ∠=︒，AO BO =，∴AOB ∆为等边三角形，∴4AC=【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______．【答案】136⋅【解析】设3CEx DE x ==-，，根据Rt DCE △，利用勾股定理列方程 【例9】 如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，AE BO ⊥于E ，OF AD ⊥于F ，已知3cm OF =，且:1:3BE ED =，求BD 的长．O FEDCBA【答案】12 【解析】因为:1:3BE ED =，且矩形中OB OD OA==，所以1122OE BO AO ==，因为AE BO ⊥，所以60AOB ∠=︒，ABO ∆是等边三角形，即BO AB =，由条件易得OF 是ABD ∆的中位线，26cm AB OF ==，所以2212cm BD BO AB ===【例10】 在下面所给的图形中，若连接BC ，则四边形ABCD 是矩形，四边形CBEF 是平行四边形．⑴请你在图①中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；⑵请你在图②中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．②①ABCDEFFEDCBAABCD EFFED CBA①②【答案】⑴如图,画法不唯一；⑵如图②过两个平行四边形的对称中心 二、矩形的判定【例11】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．CDBA【答案】∵90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB ∥CD在Rt ABC ∆和Rt DCB ∆中BC CBAC BD=⎧⎨=⎩∴Rt ABC ∆≌Rt DCB ∆ (HL ) ∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形 ∵ACBD =，∴四边形ABCD 是矩形【例12】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HGOFEDCBA【答案】∵E 、F 、G 、H 分别是四边的中点∴EF 、GH 为中位线∴EF GH BD ∥∥且12EF GH BD ==∴四边形EFGH 为平行四边形∵AC DB ⊥，∴EF FG ⊥∴四边形EFGH 是矩形．【例13】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线 ∴180BAD ABC ∠+∠=︒∴90QPN∠=︒同理90PQMQMN MNP ∠=∠=∠=︒∴四边形PQMN 是矩形．【例14】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ．⑴ 求证：BD CD =． ⑵ 如果ABAC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CB A【答案】⑴ ∵AF BC ∥，AFE DCE ∠=∠E 是AD 的中点，∴AE DE =∵AFE DCE AE DE AEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF DEC ∆∆≌ ∴AFDC =，∵AF BD =∴BD CD =（2）四边形AFBD 是矩形 ∵AB AC =，D 是BC 的中点（利用全等） ∴ADBC ⊥∴90ADB ∠=︒ ∵AFBD =，AF BC ∥∴四边形AFBD 是平行四边形 又90ADB ∠=︒ ∴四边形AFBD 是矩形．【例15】 已知，如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB 交AF 于E ，试说明四边形ADCE是矩形．321FE D CA【答案】∵AB AC =，∴2B ∠=∠又∵132B ∠+∠=∠+∠，13∠=∠，∴12∠=∠，∴AF ∥BC又∵DE ∥AB ，∴ABDE 是平行四边形，∴AE BD =∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC = ∴AEDC =，∴四边形ADCE 是平行四边形又∵90ADC∠=︒，∴平行四边形ADCE 为矩形本题也可先说明ACED =，再说明四边形ADCE 是平行四边形【例16】 已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在矩形ABCD 内时，试求证：PBC PAC PCD S S S =+△△△P ABC DPABCEFD【答案】过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．∵111()222PBCPADS S BC PF AD PE BC PF PE +=⋅+⋅=+△△ 1122ABCD BC EF S =⋅=矩形又∵12PAC PCD PADABCD S S S S ++=△△△矩形 ∴PBC PAD PAC PAD S S S S S +=++△△△△PCD △ ∴PBCPAC PCD S S S =+△△△【例17】 如图所示，在矩形ABCD 和矩形BFDE 中，若AB BF =，求证：MN CF ⊥．NMFEDC BAN MFEDCBA【答案】∵AB BF =，BF DE =，∴AB DE =∵90oA E ∠=∠=，AMB ∠=EMD ∠ ∴AMB ∆≌EMD ∆，BM=MD∵DM NB ∥，BM ND ∥，∴BMDN 是平行四边形 又∵BM=MD ，∴BMDN 是菱形连接BD ，则BD MN ⊥，NB ND =，∴NBD NDB ∠=∠从而证得BNF ∆≌DNC ∆，∴NF NC =，NFC NCF ∠=∠∴NFCNDB ∠=∠，∴BD ∥FC ，MN BD ⊥，∴MN FC ⊥三、菱形的定义和性质【例18】 如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于___________．HO DBA【答案】3 【例19】 如图，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒FP E DCBA【答案】D【解析】提示：Rt PEG ∆斜边上中线EFGF FP ==GFP E DCB A【例20】 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【答案】2或6【例21】如图，菱形ABCD中，=60DAB∠︒，DF AB⊥于点E，且DF=DC，连接FC，则ACF∠的度数为_________度．【答案】15四、正方形的定义和性质【例22】如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上的一点，CE CF=，30FDC∠=︒，求BEF∠的度数.BDCAEF【答案】∵CE CF=，BC CD=，BC CD⊥，CF CD⊥∴BCE∆≌DCF∆∴BEC DFC∠=∠∵30FDC∠=︒∴60BEC DFC∠=∠=︒∵CF CD⊥，CE CF=∴45CEF∠=︒∴105BEF∠=︒【例23】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，求证：AM AD=．MFEDCBA【答案】延长CE ，DA 交于点G可证AEG BEC △≌△及BCE CDF △≌△ 可得DM CE ⊥∴GA BC = ∵BCAD =∴GA AD =∴12AM GD =又∵12AD GD =∴AD AM =【例24】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE ∆ 的面积为_____________GFEDCB AGMFEDCBA【解析】过E 作EH CD ⊥交CD 延长线于H ，CDE ADG DEH DAG EH AG S S ∆∆∆∆==≌，，五、菱形和正方形的判定【例25】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形． ⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【答案】⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．又∵ACE ∆是等边三角形，∴EO AC ⊥，即DB AC ⊥．∴平行四边形ABCD 是菱形． ⑵ ∵ACE ∆是等边三角形，∴60AEC∠=︒．∵EO AC ⊥，∴1302AEO AEC ∠=∠=︒．∵2AED EAD∠=∠，∴15EAD ∠=︒．∴45ADO EAD AED ∠=∠+∠=︒．Q 四边形ABCD 是菱形，∴290ADC ADO ∠=∠=︒∴四边形ABCD 是正方形．【例26】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E 在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴求证：四边形AFCD 是菱形；⑵连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【答案】⑴Rt DEC ∆是由Rt ABC ∆绕C 点旋转60︒得到∴ACDC =，60ACB ACD ∠=∠=︒∴ACD ∆是等边三角形 ∴AD DC AC ==又∵Rt ABF ∆是由Rt ABC ∆沿AB 所在 直线翻转180︒得到 ∴ACAF =，90ABF ABC ∠=∠=︒∴180FBC∠=︒∴点F 、B 、C 三点共线∴AFC ∆是等边三角形 ∴AFFC AC == ∴AD DC FC AF ===∴四边形AFCD 是菱形． ⑵ 四边形ABCG 是矩形．由⑴可知：ACD ∆是等边三角形，DE AC ⊥于E∴AEEC =，又∵AG BC ∥∴EAGECB ∠=∠，AGE EBC ∠=∠∴AEG CEB ∆∆≌，∴AGBC =∴四边形ABCG 是平行四边形，而90ABC ∠=︒∴四边形ABCG 是矩形．【例27】 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2. （1）若CE =1，求BC 的长； （2）求证AM=DF+ME.21MFEDCB A【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BCCD =，1DAC DCA ACB ∠=∠=∠=∠.∵12∠=∠，∴2DCA ∠=∠， ∴DM CM =. 又∵ME CD ⊥，1CE =，∴22CD CE ==， ∴2BC CD ==.（2）证明：延长AB 和DF 相交于点G . ∵F 为BC 的中点，∴22BC CF BF ==. ∵2CD CE =，BC CD =，∴CE CF =又∵ECM FCM ∠=，CM CM =， ∴CEM △≌CFM △， ∴ME MF =. ∵四边形ABCD 是菱形，∵AB CD ∥，∴2G ∠=∠.又∵DFC GFB ∠=∠，CF BF =， ∴DCF △≌GBF △， ∴DF GF =.∵2G ∠=∠，12∠=∠， ∴1G ∠=∠， ∴AM GM =. ∵MG GF MF =+，DF GF =，ME MF =， ∴AM DF ME =+.【例28】 已知：如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线BE 平行于对角线AC ，AE=AC （E ，C 均在AB 的同侧）.求证：∠CAE =2∠BAE .EDBCA【答案】过A 作AG ⊥BE 于G ，连结BD 交AC 于点O ，∴AGBO 是正方形. ∴AG=AO=12AC =12AE ∴∠AEG=30°. 12 MAB GC DF E GOACBDE∵BE∥AC，∴∠CAE =∠AEG =30º.∴∠BAE=45º–30º =15º.∴∠CAE = 2∠BAE.【例29】如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．（1）求证：∠CED=∠DAG；（2）若BE=1，AG=4，求sin AEB∠的值．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC.∴∠CED =∠ADE.又∵点G是DF的中点，∴AG=DG.∴∠DAG =∠ADE.∴∠CED =∠DAG.（2）∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，∴∠AED=∠AGE.∴AE=AG.∵AG=4，∴AE=4.在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB15.∴15sin4ABAEBAE∠==.【例30】如图，在ABC△中，AB AC=，AD平分BAC∠，CE AD∥且CE AD=．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若ABC△是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF CO =，连接OF ，求线段FC 的长及四边形AOFE 的面积．【答案】解：（1）∵//CE AD 且CEAD =，∴四边形ADCE 的平行四边形，∵ABAC =，AD 平分BAC ∠，∴AD BC ⊥， ∴90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形。
中考数学复习《特殊的平行四边形》专题练习(含答案)
三、解答题
31. (2018·湘西州)如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 .
(1)求证: ;
(2)若 ，求 的周长.
32. (2018连云港)如图，在矩形 中， 是 的中点，延长 交于点 ，连接 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
A. B. C. D.
二、填空题
13. (2018·株洲)如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， 分别为 的中点，则 的长度为.
14.(2018·成都)如图，在矩形 中，按以下步骤作图:①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ;②作直线 交 于点 .若 ，则矩形的对角线 的长为.
38. (2018·乌鲁木齐)如图，在四边形 中， ， 是 的中点， ， ， 于点 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ，求 的长.
39. (2018·广安)如图，四边形 是正方形， 为 上一点，连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，求证: .
40. (2018·盐城)如图，在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 满足 ，连接 .
(2)在(1)的条件下，连接 ，求 的度数.
36.(2018·娄底)如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且
，过点 作 ，分别交 于点 .
(1)求证: ;
(2)判断四边形 的形状，并说明理由.
37. (2018·南京)如图，在四边形 中， ， . 是四边形 内一点，且 .求证:
(1) ;
(2)四边形 是菱形.
9. (2018·宿迁)如图，菱形 的对角线 相交于点 ， 为边 的中点.若菱
2022-2023学年九年级数学特殊的平行四边形综合练习题(含答案,教师版)
特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．C．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A ′B ′D ′，分别连接A ′C ，A ′D ，B ′C ，则A ′C＋B ′C5.菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB＝4，BC＝1，在运动过程中，点D到点O8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处．在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，则△CGA′周长的最小值为79.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE ⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.(1)求证：四边形BDFG为菱形；(2)若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为20．证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD＝12 AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF. ∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC.(1)求证：AE ＝DC ；(2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°.∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°.∴∠AEF ＋∠CED ＝90°.∴∠EFA ＝∠CED.在△AEF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F.(1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠ABE ＝∠CDF.∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF.(2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD . 12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC ⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD. ∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC. ∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE.∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．∵点F 是AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝2. ∴当PA ＋PF 最小时，△PAF 的周长最小，即点P 为CF 与BE 的交点时，△PAF 的周长最小．此时△PAF 的周长为PA ＋PF ＋AF ＝CF ＋AF.∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠D ＝30°，∠ACE ＝90°－30°＝60°.∴△ACE 是等边三角形．∴AC ＝AE ＝CE ＝4.∵AF ＝EF ，∴CF ⊥AE.∴CF ＝AC 2－AF 2＝2 3.△PAF 周长的最小值为CF ＋AF ＝23＋2. 13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为F ，交直线MN 于点E ，连接CD ，BE.(1)求证：CE ＝AD ；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC ≌△EPC.∴BE ＝PE.∴∠EBP ＝∠EPB.∵E 为AB 的中点，∴BE ＝AE.∴AE ＝PE.∴∠EPA ＝∠EAP .∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°.∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF.∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠ANM ＝∠CMN.∴∠CMN ＝∠CNM.∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC.∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH 12ND ·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x.∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x.∴MN DN ＝23x x ＝2 3.16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°.∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF.∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°.∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°.∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°， ∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC.在△DAG 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP .(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°.∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°.∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ.∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ.∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°.∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。
沪科版九年级数学中考复习 四边形相关证明与计算强化训练(含答案)
沪科版九年级数学中考复习四边形相关证明与计算强化训练（含答案）1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.(1) 求证：△AOM≌△CON；(2) 若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为________．2.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：(1) △BDE≌△FAE；(2) 四边形ADCF为矩形．4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD，AB的中点．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 若BE＝√3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF ⊥AB，OG∥EF.(1) 求证：四边形OEFG是矩形；(2) 若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．6.如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.(1) 求证：△PBE≌△QDE；(2) 顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．7.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E，F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，，求EF的长；F，连接AF，CE. (1) 若OE＝32(2) 判断四边形AECF的形状，并说明理由．9.如图，四边形ABCD是菱形，H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F.(1) 若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；(2) 若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．点M，N.(1) 求证：四边形BNDM是菱形；(2) 若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．11.如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.(1) 试判定四边形AECF的形状，并说明理由；(2) 求证：AE⊥DE.12.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC 交于M，N两点，连接CM，AN.(1) 求证：四边形ANCM为平行四边形；(2) 若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE.(1) 判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；(2) 连接DF，若BC＝√3，求DF的长．14.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.(1) 求证：△ADE≌△CBF.(2) 连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.(1) 求证：△BAE≌△CDE；(2) 求∠AEB的度数．17.如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是菱形．18.如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与点B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.(1) 求证：AF－BF＝EF.(2) 四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE 的面积为S.，求S的值；(1) 若DE＝√33(2) 设DE＝x，求S关于x的函数解析式．20.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为对角线AC上一动点(不与点A，C重合)，连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M，N，作射线DF交射线CA于点G.(1) 求证：EF＝DE；(2) 当AF＝2时，求GE的长．答案1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为O.(1) 求证：△AOM≌△CON；(2) 若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为________．证明：(1) ∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠M＝∠N.在△AOM和△CON中，{∠M=∠N，∠AOM=∠CON，AO=CO，∴△AOM≌△CON(AAS)2.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.∵E 为BC的中点，∴EB＝EC.∴△ABE≌△FCE(AAS)．∴AB＝FC.∵AB∥CF，∴四边形ABFC 是平行四边形．∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF.∴四边形ABFC是矩形3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.求证：(1) △BDE≌△FAE；(2) 四边形ADCF为矩形．证明：(1) ∵AF∥BC，∴∠DBE＝∠AFE.∵E是线段AD的中点，∴DE＝AE.∵∠DEB＝∠AEF，∴△BDE≌△FAE(AAS)(2) ∵△BDE≌△FAE，∴DB＝AF.∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴四边形ADCF为矩形4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD，AB的中点．(1) 求证：△ABE≌△ADF；(2) 若BE＝√3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积证明：(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE.在△ABE和△ADF中，{AB=AD，∠A=∠A，AE=AF，∴△ABE≌△ADF(SAS)(2) 连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°.∴△ABD是等边三角形.∵E是边AD的中点，∴BE⊥AD.∴∠ABE＝30°.∴AB＝2AE.∵在Rt△AEB中，AE2＋BE2＝AB2，BE＝√3，∴AE2＋(√3)2＝(2AE)2.∴AE＝1(负值舍去)．∴AB ＝2AE＝2.∴AD＝AB＝2.∴S菱形ABCD＝AD·BE＝2×√3＝2√35.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF ⊥AB，OG∥EF.(1) 求证：四边形OEFG是矩形；(2) 若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．证明：(1) ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，OB＝OD.∵E是AD的中点，∴AE＝OE＝DE＝12AD.∴∠EAO＝∠AOE.∴∠BAO＝∠AOE.∴OE∥FG.∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°.∴四边形OEFG是矩形(2) ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10.∴∠AOD＝90°.∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝12AD＝5.由(1)，知四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5.∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝√AE2−EF2＝3.∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝26.如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，BC，CD，DA于点P，M，Q，N.(1) 求证：△PBE≌△QDE；(2) 顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴EB＝ED，AB∥CD.∴∠EBP＝∠EDQ.在△PBE和△QDE中，{∠EBP=∠EDQ，EB=ED，∠BEP=∠DEQ，∴△PBE≌△QDE(ASA)(2) ∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ.同理，可证△BME≌△DNE(ASA)，∴EM＝EN.∴四边形PMQN是平行四边形．∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形7.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E，F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，CD＝CB＝DA＝BA，∠DCA＝∠BCA.∴∠DCF ＝∠BCF.∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF(SAS)．∴DF＝BF.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∴∠DAE＝∠BCF.∵AE＝CF，DA＝BC，∴△DAE≌△BCF(SAS)．∴DE＝BF.同理，可证△DCF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE.∴四边形BEDF是平行四边形．∵DF＝BF，∴▱BEDF是菱形8.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB，DC于点E，F ，连接AF ，CE. (1) 若OE ＝32，求EF 的长；(2) 判断四边形AECF 的形状，并说明理由．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AO ＝CO.∴ ∠EAO ＝∠FCO.又∵ ∠AOE ＝∠COF ，∴ △AOE ≌△COF(ASA)．∴ OE ＝OF ＝32.∴ EF ＝2OE ＝3(2) 四边形AECF 是菱形理由：∵ △AOE ≌△COF ，∴ AE ＝CF.又∵ 在▱ABCD 中，AE ∥CF ，∴ 四边形AECF 是平行四边形．又∵ EF ⊥AC ，∴ ▱AECF 是菱形．9.如图，四边形ABCD 是菱形，H 为对角线AC 的中点，点E 在AB 的延长线上，CE ⊥AB ，垂足为E ，点F 在AD 的延长线上，CF ⊥AD ，垂足为F. (1) 若∠BAD ＝60°，求证：四边形CEHF 是菱形；(2) 若CE ＝4，△ACE 的面积为16，求菱形ABCD 的面积．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴ ∠EAC ＝∠FAC ＝30°.又∵ CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴ CE ＝CF ＝12AC.∵ H 为对角线AC 的中点，∴ EH ＝FH ＝12AC.∴ CE ＝CF ＝EH ＝FH.∴ 四边形CEHF 是菱形(2) ∵ CE ⊥AB ，CE ＝4，△ACE 的面积为16，∴ 12AE ×4＝16.∴ AE ＝8.设AB ＝x ，则BE ＝8－x.∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ＝BC ＝x.在Rt △BEC 中，由勾股定理，得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，即AB ＝5.∴ S 菱形ABCD ＝AB ·CE ＝5×4＝2010.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD ，BC 分别相交于点M ，N.(1) 求证：四边形BNDM 是菱形；(2) 若BD ＝24，MN ＝10，求菱形BNDM 的周长．证明：(1) ∵ AD ∥BC ，∴ ∠DMO ＝∠BNO.∵ MN 是对角线BD 的垂直平分线，∴ OB ＝OD ，MN ⊥BD.在△MOD 和△NOB 中，{∠DMO =∠BNO ，∠MOD =∠NOB ，OD =OB ，∴ △MOD ≌△NOB(AAS)．∴ OM ＝ON.∵ OB ＝OD ，∴ 四边形BNDM 是平行四边形．∵ MN ⊥BD ，∴ 四边形BNDM 是菱形 (2) ∵ 四边形BNDM 是菱形，BD ＝24，MN ＝10，∴ BM ＝BN ＝DM ＝DN ，OB ＝12BD ＝12，OM ＝12MN ＝5.在Rt △BOM 中，由勾股定理，得BM ＝√OM 2+OB 2＝√52+122＝13，∴ 菱形BNDM 的周长为4BM ＝4×13＝5211.如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ，AB ⊥AC ，分别在边BC ，AD 上的点E 与点F 关于AC 对称，连接EF ，AE ，CF ，DE.(1) 试判定四边形AECF 的形状，并说明理由； (2) 求证：AE ⊥DE.证明：(1) 四边形AECF 是菱形理由：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC.∴ ∠OAF ＝∠OCE.∵ 点E 与点F 关于AC 对称，∴ AE ＝AF ，CE ＝CF ，OE ＝OF.在△AOF 和△COE 中，{∠OAF =∠OCE ，∠AOF =∠COE ，OF =OE ，∴ △AOF≌△COE(AAS).∴ AF ＝CE.∴ AE ＝AF ＝CE ＝CF.∴ 四边形AECF 是菱形．(2) ∵ BC ＝2AB ，AB ⊥AC ，∴ ∠ACB ＝30°.∴ ∠B ＝60°.∵ AE ＝CE ，∴ ∠EAC ＝∠ACB ＝30°.∴ ∠BAE ＝90°－30°＝60°＝∠B.∴ △ABE 是等边三角形．∴ AE ＝AB ＝BE ，∠AEB ＝60°.∴ ∠AEC ＝120°.∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥CD ，AB ＝CD.∴ ∠DCE ＝180°－∠B ＝120°.又∵ CE ＝AE ，∴ CE ＝BE ＝12BC ＝AB ＝CD.∴ ∠CED ＝∠CDE ＝30°.∴ ∠AED ＝120°－30°＝90°.∴ AE ⊥DE12.如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC交于M ，N 两点，连接CM ，AN.(1) 求证：四边形ANCM 为平行四边形；(2) 若AD ＝4，AB ＝2，且MN ⊥AC ，求DM 的长．证明：(1) ∵ 在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，∴ AD ∥BC ，AO ＝CO.∴ ∠OAM ＝∠OCN ，∠OMA ＝∠ONC.在△AOM和△CON 中，{∠OAM =∠OCN ，∠OMA =∠ONC ，AO =CO ，∴ △AOM ≌△CON(AAS)．∴ AM ＝CN.∵ AM ∥CN ，∴ 四边形ANCM 为平行四边形(2) ∵ 在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，由(1)，知AM ＝CN ，∴ DM ＝BN. ∵ 四边形ANCM 为平行四边形，MN ⊥AC ，∴ ▱ANCM 为菱形．∴ AM ＝AN ＝NC ＝AD －DM.∴ 在Rt △ABN 中，根据勾股定理，得AN 2＝AB 2 ＋BN 2.∴ (4－DM)2＝22＋DM 2.∴ DM ＝3213.如图，四边形ABCD 为矩形，G 是对角线BD 的中点，连接GC 并延长至点F ，使CF ＝GC ，以DC ，CF 为邻边作菱形DCFE ，连接CE.(1) 判断四边形CEDG 的形状，并证明你的结论； (2) 连接DF ，若BC ＝√3，求DF 的长．证明：(1) 四边形CEDG 是菱形∵ 四边形ABCD 为矩形，∴ ∠BCD ＝90°.∵ 在Rt △BCD 中，G 是BD 的中点，∴ GC ＝12BD＝GD ＝BG.∵ 四边形DCFE 是菱形，∴ CF ＝DE ，DE ∥CF ，即DE ∥GC.∵ CF ＝GC ，∴ DE ＝GC.∴ 四边形CEDG 是平行四边形．又∵ GC ＝GD ，∴ ▱CEDG 是菱形(2) 设DF 交CE 于点N.∵ 四边形DCFE 是菱形，∴ DF ⊥CE ，DF ＝2DN ，DC ＝CF ＝DE.∵ CF ＝GC ，∴ DC ＝BG ＝GD.∵ 在Rt △BCD 中，DC 2＋(√3)2＝(2DC)2.∴ DC ＝1.∵ 四边形CEDG 是菱形，∴ DE ＝CE.∴ DE ＝CE ＝DC.∴ △DCE 是等边三角形．∴ ∠DCE ＝60°.∴ 在Rt △DNC 中，∠CDN ＝30°.∴ CN ＝12DC ＝12.∴ DN ＝√DC 2−CN 2＝√32.∴ DF ＝2×√32＝√314.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.(1) 求证：△ADE≌△CBF.(2) 连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ADE＝∠CBF.在△ADE和△CBF中，{AD=CB，∠ADE=∠CBF，DE=BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)(2) 当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.∴▱ABCD是菱形．∴AC⊥BD，即AC⊥EF.∵DE＝BF，∴OD＋DE＝OB＋BF，即OE＝OF.又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．15.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°.求证：CE＝DF.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OC＝OD，∠OCE＝∠ODF＝45°，∠COD＝90°.∴∠DOF＋∠COF＝90°.∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°，∴∠COE＝∠DOF.∴△COE ≌△DOF(ASA)．∴CE＝DF16.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1) 求证：△BAE≌△CDE；(2) 求∠AEB的度数．证明：(1) ∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°.∵四边形ABCD 为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°.∴∠EAB＝∠EDC＝150°.在△BAE和△CDE中，{AB=DC，∠EAB=∠EDC，AE=DE，∴△BAE≌△CDE(SAS)(2) ∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE.∴∠ABE＝∠AEB.∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝12×(180°－150°)＝15°17.如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∠DAE＝∠BAE＝∠BCF＝∠DCF＝45°.在△ABE和△ADE中，{AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴BE＝DE.同理，可证△BFC≌△DFC，∴BF＝DF.在△ABF和△CBE中，{AB=CB，∠BAF=∠BCE，AF=CE，∴△ABF≌△CBE(SAS)．∴BF＝BE.∴BE＝BF＝DE＝DF.∴四边形BEDF是菱形18.如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与点B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.(1) 求证：AF－BF＝EF.(2) 四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ＝DA ，∠BAF ＋∠DAE ＝90°.∵ DE ⊥AG ，∴ ∠AED ＝∠GED ＝90°.∴ ∠DAE ＋∠ADE ＝90°.∴ ∠BAF ＝∠ADE.∵ BF ∥DE ，∴ ∠BFA ＝∠GED ＝∠AED.∴ △ABF ≌△DAE(AAS).∴ BF ＝AE.∴ AF －BF ＝AF －AE ＝EF (2) 四边形BFDE 不可能是平行四边形 理由：如图，连接AC ，BE ，DF.∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD.∴ ∠DAC ＝45°.假设四边形BFDE 是平行四边形，∴ BF ＝DE.由(1)，得∠AED ＝90°，AE ＝BF ，∴ AE ＝DE.∴ ∠EAD ＝∠EDA ＝45°.此时点G 与点C 重合，这与“G 是BC 边上任意一点(不与点B ，C 重合)”矛盾，∴ 假设不成立，即四边形BFDE 不可能是平行四边形．19.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E 为边CD 上的一点(不与点C ，D 重合)，四边形 ABCE 关于直线AE 的对称图形为四边形ANME ，延长ME 交AB 于点P ，记四边形PADE 的面积为S.(1) 若DE ＝√33，求S 的值；(2) 设DE ＝x ，求S 关于x 的函数解析式．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠D ＝90°，AB ∥CD.∵ 在Rt △ADE 中，AD ＝1，DE ＝√33，∴ AE ＝√AD 2+DE 2＝2√33.∴ AE ＝2DE.∴ ∠EAD ＝30°.∴ ∠AED ＝90°－∠EAD ＝60°.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAE ＝∠AED ＝60°.∵ 四边形ABCE 关于直线AE 的对称图形为四边形ANME ，∴ ∠AEC ＝∠AEM.∵ ∠PEC ＝∠DEM ，∴ ∠AEP ＝∠AED ＝60°.∴ ∠AEP ＝∠BAE.∴ PE ＝PA.∴ △APE 为等边三角形．∴ PA ＝AE ＝2√33.∴ S ＝12 (DE ＋PA)×AD ＝12×(√33+2√33)×1＝√32(2) 过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F.由(1)，可知∠AEP ＝∠AED ＝∠PAE ，∴ AP ＝PE.设AP ＝PE ＝a ，AF ＝DE ＝x ，则PF ＝|a －x|，EF ＝AD ＝1. ∴ 在Rt △PEF 中，|a －x|2＋1＝a 2，解得a ＝x 2+12x.∴ S ＝S △ADE ＋S △APE ＝12x ×1＋12×x 2+12x×1＝3x 2+14x20.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为对角线AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，连接DE ，作EF ⊥DE 交射线BA 于点F ，过点E 作MN ∥BC 分别交CD ，AB 于点M ，N ，作射线DF 交射线CA 于点G. (1) 求证：EF ＝DE ；(2) 当AF ＝2时，求GE 的长．证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴ AB ∥CD ，AB ＝DC ＝BC ，∠DCB ＝∠B ＝90°，∠ECM ＝12∠DCB ＝45°.∵ MN ∥BC ，∠BCM ＝90°，∴ ∠NMC ＋∠BCM ＝180°，∠MNB ＋∠B ＝180°.∴ ∠NMC ＝90°，∠MNB ＝90°.∴ ∠MEC ＝∠MCE ＝45°，∠DME ＝∠ENF ＝90°.∴ MC ＝ME.∵ AB ∥CD ，MN ∥BC ，∴ 四边形MNBC 为平行四边形．∴ MN ＝BC.∴ DC ＝MN.∴ DC －MC ＝MN －ME ，即DM ＝EN.∵ DE ⊥EF ，∴ ∠DEF ＝90°.∴ ∠DEM ＋∠FEN ＝90°.∵ ∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴ ∠EDM ＝∠FEN.在△DME 和△ENF 中，{∠EDM =∠FEN ，DM =EN ，∠DME =∠ENF ，∴ △DME ≌△ENF(ASA).∴ EF＝DE(2) 当点F 在线段AN 上时，由(1)，知△DME ≌△ENF ，∴ ME ＝NF.∵ 四边形MNBC 是平行四边形，∴ MC ＝BN.又∵ ME ＝MC ，AB ＝4，AF ＝2，∴ BN ＝MC ＝NF ＝1.∵ ∠EMC ＝90°，∴ CE ＝√2.∵ AF ∥CD ，∴ △DGC ∽△FGA.∴ CDAF ＝CGAG .∴ 42＝CGAG .∵ AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，∴ AC ＝4√2.∵ AC ＝AG ＋GC ，∴ AG ＝4√23，CG ＝8√23.∴ GE ＝CG －CE ＝8√23−√2＝5√23；当点F 在线段NA 的延长线上时，如图，同理，可得FN ＝BN.∵ AF ＝2，AB ＝4，∴ AN ＝1.∵ AB ＝BC ＝4，∠B ＝90°，∴ AC ＝4√2.∵ AF ∥CD ，∴ △GAF ∽△GCD.∴ AFCD ＝GAGC .∴ 24＝AG+4√2.∴ AG ＝4√2.∵ AN ＝NE ＝1，∠ENA ＝90°，∴ AE ＝√2.∴ GE ＝AG ＋AE ＝4√2+√2＝5√2.综上所述，GE 的长为5√23或5√2。
九年级数学上《特殊平行四边形》单元测试含答案
第一章特殊平行四边形一、选择题(本大题共6小题，共24分)1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形123．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的度数为( )A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125B.65C.245D．不确定345．如图4，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )A ．2.5 B. 5 C.322 D ．26．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，P 为边AB 上一点，∠CPB ＝60°，沿CP 折叠正方形OABC ，折叠后，点B 落在平面内的点B ′处，则点B ′的坐标为( )图5A ．(2，2 3)B ．(32，2－3)C ．(2，4－2 3)D ．(32，4－2 3)二、填空题(本大题共6小题，共30分)7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________． 8．如图6所示，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2 cm ，点E 在BC 上，且AE ＝EC .若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B ′重合，则AC ＝________ cm.679．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．8911．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．图1012．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．三、解答题(共46分)13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．图1114．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？图1215．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.图1316．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．图141．C 2.D 3.B 4.A5．B ． 6．C 7．6 . 8．49．(2＋2，2) 10．45° . 11．12 12.75813．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC . ∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ， 即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ， ∴四边形BEDF 为菱形． (2)∵正方形ABCD 的边长为4， ∴BD ＝AC ＝4 2.∵AE ＝CF ＝2，∴EF ＝AC －2 2＝2 2， ∴S 菱形BEDF ＝12BD ·EF ＝12×4 2×2 2＝8.14．解：(1)证明：连接DE ，EB ，BF ，FD .∵两动点E ，F 同时以2 cm/s 的速度分别从点A ，C 出发在线段AC 上相对运动，∴AE ＝CF .∵平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC (平行四边形的对角线互相平分)， ∴OA －AE ＝OC －CF 或AE －OA ＝CF －OC ，即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)， 即以点B ，E ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形．(2)当点E 在OA 上，点F 在OC 上，EF ＝BD ＝12 cm 时，四边形BEDF 为矩形． ∵运动时间为t ， ∴AE ＝CF ＝2t ， ∴EF ＝20－4t ＝12， ∴t ＝2；当点E 在OC 上，点F 在OA 上时，EF ＝BD ＝12 cm ，EF ＝4t －20＝12，∴t ＝8.因此，当点E ，F 的运动时间t 为2 s 或8 s 时，四边形BEDF 为矩形． 15．解：(1)证明：∵AD ⊥BC ，E ，F 分别是AB ，AC 的中点， ∴在Rt △ABD 中，DE ＝12AB ＝AE ，在Rt △ACD 中，DF ＝12AC ＝AF .又∵AB ＝AC ， ∴AE ＝AF ＝DE ＝DF ， ∴四边形AEDF 是菱形．(2)如图，∵菱形AEDF 的周长为12， ∴AE ＝3.设EF ＝x ，AD ＝y ，则x ＋y ＝7， ∴x 2＋2xy ＋y 2＝49.①由四边形AEDF 是菱形得AD ⊥EF ， ∴在Rt △AOE 中，AO 2＋EO 2＝AE 2， ∴(12y )2＋(12x )2＝32， 即x 2＋y 2＝36.②把②代入①，可得2xy ＝13， ∴xy ＝132，∴菱形AEDF 的面积S ＝12xy ＝134.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°. ∵将△ADE 沿AE 对折得到△AFE ， ∴AF ＝AD ＝AB ，∠AFE ＝∠D ＝90°. 在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AF ，AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG (HL)． (2)如图所示：(3)∵△AFE ≌△ADE ，△ABG ≌△AFG ，∴∠EAF ＝∠EAD ，∠GAF ＝∠GAB . ∵在正方形ABCD 中，∠BAD ＝90°， ∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠GAF ＝12×90°＝45°.第一章特殊平行四边形评价检测(45分钟100分)一、选择题(每小题4分,共28分)1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直【解析】选C.∵矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,∴平行四边形具有的性质就是矩形,菱形,正方形都具有的性质,∴矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分.【知识归纳】矩形、菱形、正方形对角线性质的区别(1)矩形的对角线相等但不垂直.(2)菱形的对角线垂直但不相等.(3)正方形的对角线相等而且垂直.2.如图,矩形ABCD中,E在AD上,且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则AE的长是( )A.3B.4C.5D.7【解题指南】解答本题的三个关键(1)由矩形的性质和EF⊥EC,EF=EC,得出△AEF≌△DCE.(2)由全等得AE=CD,再结合矩形的周长,求出AD.(3)用AD减DE得出AE的长.【解析】选A.∵矩形ABCD中,EF⊥EC,∴∠DEC+∠DCE=90°,∠DEC+∠AEF=90°,∴∠AEF=∠DCE,又∵EF=EC,∴△AEF≌△DCE,∴AE=CD,∵矩形的周长为16,即2CD+2AD=16,∴CD+AD=8,∴AD-2+AD=8,AD=5,∴AE=AD-DE=5-2=3.3.下列说法正确的是( )A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形【解析】选D.∵对角线相互平分且互相垂直的四边形是菱形,∴A,B选项错误;∵对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,∴C选项错误;D选项正确,故选D.4.如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是( )A.2B.C.D.【解析】选C.如图,过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,∠BAE=30°,∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°.∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∵∠ADE=∠BAE=30°,∴AE=AD=1,∴DE==,∴S△ECD=ED·CF=ED·AE=.【变式训练】如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,∠BAE=30°,AE=2,则矩形ABCD的面积为.【解析】在Rt△ABE中,AE=2,∠BAE=30°,∴BE=AE=1,∴AB===.∵E是BC的中点,∴BC=2BE=2,∴矩形ABCD的面积=AB×BC=2.答案:25.如图,已知菱形ABCD与△ABE,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,则DE的长度为( )A.8B.9C.11D.12 【解析】选D.连接AC,设AC交BD于O点,∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,且BO=DO==8,在△AOD中,∵∠AOD=90°,∴AO===15,在△AOE中, ∵∠AOE=90°,∴OE===20,又OD=8,∴DE=OE-OD=20-8=12.6.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,则阴影部分图形的周长为( )A.15B.20C.25D.30【解析】选 D.根据折叠的性质,A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF;所以阴影部分的周长=矩形的周长=2(10+5)=30.7.如图,正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①点G是BC的中点;②FG=FC;③S△FGC=.其中正确的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③【解析】选B.①正确.理由:∵正方形ABCD中,AB=3,CD=3DE,∴ED=CD=1.∴EC=2.由对折得△AFE≌△ADE.进而得,AF=AD,EF=ED =1,∠AFE=∠D=90°.∴可证△ABG≌△AFG.设BG=x,则FG=x,GC=3-x.在Rt△EGC中,由勾股定理得GC2+ EC2=EG2,即(3-x)2+22=(1+x)2.解得x=,即BG=BC.②不正确.理由:∵GF=,EF=1,∴点F不是GE的中点.假设FG=FC,则∠FGC=∠FCG.由等角的余角相等,得∠FEC=∠FCE.∴EF=FC.∴FG=EF.这与前面的结论:点F不是GE的中点相矛盾.所以假设不成立.③正确.理由:△GFC中,设GC边上的高为h,则h=·EC=.S△GFC=GC·h=××=.二、填空题(每小题5分,共25分)8.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是.【解析】等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形;平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形;矩形、正方形是轴对称图形,也是中心对称图形.答案:矩形和正方形【易错提醒】平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,本题易误认为平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.【知识归纳】特殊平行四边形的对称性(1)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.(2)矩形与菱形有两条对称轴,正方形有四条对称轴.(3)对角线的交点是它们的对称中心,过对称中心的任一条直线均把原图形分成面积相等的两部分.9.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件: ,使得平行四边形ABCD是菱形.【解析】添加AC⊥BD,则对角线互相垂直的平行四边形是菱形;添加AD=DC,则一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案:AC⊥BD(或AD=DC,答案不唯一)10.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长= .【解析】在Rt△ABC中,AC==10(cm),∵点E,F分别是AO,AD的中点,∴EF是△AOD的中位线,EF=OD=BD=AC=2.5(cm),AF=AD=BC=4(cm),AE=AO=AC=2.5(cm),∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm.答案:9cm【变式训练】如图,顺次连接菱形ABCD的各边中点E,F,G,H.若AC=a,BD=b,则四边形EFGH的面积是.【解析】∵点E,F分别是菱形边AB,BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF=AC,且EF∥AC.同理,HG=AC,且HG∥AC,∴EF=HG,且EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形,且EH∥FG,EH=FG=BD.又∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH的面积=EF·EH=a·b=ab.答案:ab11.如图,在矩形ABCD中,AE=AF,过点E作EH⊥EF交DC于点H,过F作FG⊥EF交BC于G,连【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∵AE=AF,∴∠AFE=∠AEF=45°.又∵EH⊥EF,FG⊥EF∴∠GFB=∠HED=45°,∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形.如果四边形EFGH是矩形,则EH=FG,∴ED=FB,又∵AE=AF,∴AD=AB.答案:AD=AB12.如图,四边形ABCD与AEFG都是菱形,其中点C在AF上,点E,G分别在BC,CD上,若∠BAD=135°,∠EAG=75°,则= .【解析】作EH⊥AB于H,由对称性知,两菱形分别关于AF对称,∴∠BAE=∠DAG=(∠BAD-∠EAG)=30°,∠B=180°-∠BAD=45°.在Rt△BHE中,∠B=∠BEH=45°,设BH=x,则EH=BH=x,在Rt△EHA中,∠BAE=30°,AE=2HE=2x,AH===x.∴AB=BH+AH=x+x,故==.答案:三、解答题(共47分)13.(10分)如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.(1)求证:四边形BECF是菱形.(2)若四边形BECF为正方形,求∠A的度数.【解析】(1)∵BC的垂直平分线EF交BC于点D,∴BF=FC,BE=EC.又∵∠ACB=90°,∴EF∥AC.∴=.∵D为BC中点,∴==,∴E为AB中点,即BE=AE,∵CF=AE,∴CF=BE,∴CF=FB=BE=CE,∴四边形BECF是菱形.(2)∵四边形BECF为正方形,∴∠BEC=90°.又AE=CE,∴∠A=45°.【互动探究】四边形BECF的面积与△ABC的面积有什么关系?为什么?提示:四边形BECF的面积与△ABC的面积相等,理由如下:∵四边形BECF是菱形,∴CF∥AB.∵CF=AE,∴S△CFB=S△AEC,∴S△CFB+S△CEB=S△AEC+S△CEB,即:四边形BECF的面积=△ABC的面积.14.(12分)如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分别是BC,AD的中点,连接AE,CF.(1)证明:四边形AECF是矩形.(2)若AB=8,求菱形的面积.【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,又∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∵E是BC的中点,∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∵E,F分别是BC,AD的中点,∴AF=AD,EC=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC且AD=BC,∴AF∥EC且AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵∠AEC=90°,∴四边形AECF是矩形.(2)在Rt△ABE中,AE==4,所以,S菱形=8×4=32.15.(12分)(2014·新民市一模)已知:如图,在四边形ABCD中,点G在边BC的延长线上,CE 平分∠BCD,CF平分∠GCD,EF∥BC交CD于点O.(1)求证:OE=OF.(2)若点O为CD的中点,求证:四边形DECF是矩形.【解析】(1)∵CE平分∠BCD,CF平分∠GCD,∴∠BCE=∠DCE,∠DCF=∠GCF,∵EF∥BC,∴∠BCE=∠FEC,∠EFC=∠GCF,∴∠DCE=∠FEC,∠EFC=∠DCF,∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.(2)∵点O为CD的中点,∴OD=OC,又OE=OF,∴四边形DECF是平行四边形,∵CE平分∠BCD,CF平分∠GCD,∴∠DCE=∠BCD,∠DCF=∠DCG,∴∠DCE+∠DCF==90°,即∠ECF=90°,∴四边形DECF是矩形.16.(13分)(2013·青岛中考)已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点(1)求证:△ABM≌△DCM.(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.【解析】(1)在矩形ABCD中,∵AB=CD,∠A=∠D=90°,又∵M是AD的中点,∴AM=DM,∴△ABM≌△DCM(SAS).(2)四边形MENF是菱形.证明:∵E,F,N分别是BM,CM,CB的中点,∴NF∥ME,NF=ME,∴四边形MENF是平行四边形,由(1)得BM=CM,∴ME=MF, ∴□MENF是菱形.(3)2∶1.特殊的平行四边形练习题一、填空题1、如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC 于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm2、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积( )A．2B．4 C．4D．83、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )A．2 B.C．6D．84、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )A．2 B．3 C.D．25、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )A．5 B．4 C．3.5 D．36、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣27、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 58、如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4C.D.9、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题10、如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．11、如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．12、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，，= .13、如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是______ ．14、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB=OB=6，则矩形的面积为______ ．三、简答题15、平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．16、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.(1)证明：AF＝CE；(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．17、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是AB和AD上的点。
2025年中考数学总复习专题16 特殊的平行四边形(附答案解析)
2025年中考数学总复习专题16
特殊的平行四边形
一、矩形的性质与判定
1．矩形的性质：
1）四个角都是直角；2）对角线相等且互相平分；3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB
．（如图）
2．矩形的判定：
1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；2）有三个角是直角；3）对角线相等的平行四边形．
二、菱形的性质与判定
1．菱形的性质：
1）四边相等；2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：
1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；2）对角线互相垂直的平行四边形；3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定
1．正方形的性质：
1）四条边都相等，四个角都是直角；2）对角线相等且互相垂直平分；3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：
1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；2）一组邻边相等的矩形；
3）一个角是直角的菱形；4）对角线相等且互相垂直、平分．
四、联系
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九年级上特殊平行四边形课时练习题及答案
九（上）第一章特殊平行四边形重点题目菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、菱形的周长为100cm；一条对角线长为14cm；它的面积是（）A. 168cm2B. 336cm2C. 672cm2D. 84cm23、下列语句中；错误的是（）A. 菱形是轴对称图形；它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm；8 cm；则菱形的边长为_____；面积为______．5、四边形ABCD是菱形；点O是两条对角线的交点；已知AB＝5；AO＝4；求对角线BD和菱形ABCD的面积.6、如图；在菱形ABCD中；∠ADC=120°；则BD：AC等于（）．（A）3：2 （B）3：3（C）1：2 （D）3：17、菱形ABCD的周长为20cm；两条对角线的比为3∶4；求菱形的面积。
8、如左下图；菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O；且AC＝16cm；BD＝12cm；求菱形ABCD的高DH。
9、如右上图；在菱形ABCD中；∠BAD＝80°；AB的垂直平分线交对角线AC于点F；E为垂足；连接DF；则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中；∠A与∠B的度数比为1：2；周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示；在平面直角坐标系中；菱形MNPO的顶点P的坐标是（3；4）；则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5；0）；N（8；4）B．M（4；0）；N（8；4）C．M（5；0）；N（7；4）D．M（4；0）；N（7；4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm；高为1cm；则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图；菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O；且AC=8；BD=6；过点O作OH丄AB；垂足为H；则点0到边AB的距离OH=_________．EOB第7题CF DA 15、【提高题】 如图；在菱形ABCD 中；顶点A 到边BC 、CD 的距离AE 、AF 都为5； EF ＝6；那么；菱形ABCD 的边长是_____菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ； AB=5； AO=2； OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、 如左下图；AD 是△ABC 的角平分线。
沪科版九年级数学中考：4.6 特殊的平行四边形专题 习题(含答案)
4.6 特殊的平行四边形一、历年安徽中考：1.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB =31S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A.29B.34C.52D.412.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A.25B.35C.5D.63.矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC。
若△APD是等腰三角形，则PE的长为。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C 恰好落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABC =23S△FGH；④AG+DF=FG。
其中正确的是。
（把所有正确结论的序号都选上）二、历年全国中考：1.如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A.1B.3C.2D.232.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB。
添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE3.如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为。
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC=23，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B’处，则AB= 。
5.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形。
(典型题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试题(包含答案解析)
15．如图，在菱形 中， ，将菱形 绕点 逆时针方向旋转，对应得到菱形 点 在 上． 与 交于点 则 的长是____．
16．如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是_______．
（3）取 的中点D，连接A1D，则A1D的长为．
26．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．
(1)求证：△ABD≌△ACF；
（1）如图，在 上取一点M，使得 沿 翻折后，点B落在x轴上，记作 点，求 点的坐标．
（2）求折痕 所在直线的解析式．
（3）在x轴上是否能找到一点P，使 的面积为13？若存在，直接写出点P的坐标？若不存在，请说明理由．
25．如图， 在坐标系的网格中，且三点均在格点上．
（1）C点的坐标为；
（2）作 关于y轴的对称三角形 ；
故选C．
【点睛】
此题主要考查菱形的性质：四边相等．
2．B
解析：B
【分析】
先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长．
九年级数学特殊平行四边形单元复习(二)(含答案)
特殊平行四边形单元复习（二）一、单选题(共12道，每道8分)1.下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②顺次连接菱形的四条边的中点组成的四边形是矩形；③四个角都相等的四边形是矩形；④对于任意矩形ABCD，若M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），则存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；正确的说法的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形也满足题意，故错误；②如图，四边形EMFN为菱形，由中位线定理易得，AB∥EF∥CD，AD∥MN，，则四边形ABCD为平行四边形；由EF⊥MN，可得AB⊥AD，则可得四边形ABCD为矩形，故正确；③四边形的内角和为360°，四个角都相等，说明四个角均为直角，则该四边形为矩形，故正确；④如图，四边形ABCD为矩形，其中心为O，线段MN经过点O且满足题意，易证△AMO≌△CNO，则OM=ON，同理OP=OQ，故四边形MPNQ为平行四边形．只要满足MN，PQ相交于点O即可得到平行四边形，故存在无数个，正确综上，②③④正确试题难度：三颗星知识点：略2.将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：如图，我们将折叠后的图形沿原来的折痕展开即可试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为( )A.(2，)B.(，2)C.(，3)D.(3，)答案：D解题思路：如图，过点B作BH⊥x轴于点H．由题意得，AB=OA=4，∠BAH=60°∴AH=2，BH=∴OH=OA+AH=6∴B(6，)由菱形性质，E为OB中点∴E(3，)试题难度：三颗星知识点：略4.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于( )A.1B.C. D.答案：B解题思路：如图，由正方形的对称性可知，S四EFHG=S四EFJI∴S阴=S△AIE+S四EFHG+S四FCDJ=S△AIE+S四EFJI+S四FCDJ=S△ACD=试题难度：三颗星知识点：略5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，E为OC上一点，OE=1，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G，则BG的长是( )A. B.2C. D.答案：B解题思路：∵四边形ABCD为正方形，AB=，AF⊥BE∴AO=BO，∠AOB=∠BOE=90°，OB=3∴∠GAO+∠AGO=90°，∠FBG+∠FGB=90°∴∠GAO=∠FBG∴△AGO≌△BEO（ASA）∴OG=OE=1∴BG=OB-OG=3-1=2试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(-6，0)，C(0，)，将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为( )A.(，4)B.(-4，)C.(，6)D.(-6，)答案：C解题思路：如图，记B1C1与y轴交于点M，过点B1作B1H⊥y轴于点H．由题意得，OC1=OC=AB=，B1C1=BC=OA=6∴Rt△OBC中，BC=OC，∠BOC=60°∴∠B1MH=∠BOC=60°，∠MOC1=30°则Rt△OC1M中，OC1=，∠MOC1=30°∴C1M=2，OM=4∴B1M=B1C1-C1M=6-2=4∴Rt△B1MH中，B1M=4，∠B1MH=60°∴HM=2，HB1=∴OH=HM+OM=6∴B1(，6)试题难度：三颗星知识点：略7.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M=1，则CN的长为( )A.7B.6C.5D.4答案：D解题思路：如图，连接AC，BD相交于点O．由菱形性质，AO=3，OB=4，∠AOB=90°由勾股定理可得AB=5由菱形对称性（或证明△BMO≌△DNO）以及折叠性质可得DN=BM=B′M=1∴CN=CD-ND=4试题难度：三颗星知识点：略8.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：分析：定点D，E，动点P在直线AC上运动，符合轴对称最值模型作出点D关于直线AC对称点即点B，则PD+PE最小即PB+PE最小则最小值即为BE有正方形面积为12得边长AB=∴BE=AB=，即PD+PE最小值为试题难度：三颗星知识点：略9.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，若DE=6，，则另一直角边AE的长为( )A.8B.10C. D.16答案：B解题思路：如图，补全弦图．则△AED≌△BGA由题意EF=2OE=，则EG=16∴AE=EG-AG=EG-ED=10试题难度：三颗星知识点：略10.已知菱形ABCD，E，F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：①△ABC与△ADC均为等边三角形；②△BEC≌△AFC；③△ECF为等边三角形；④若AF=1，则EF=．其中正确的有几个( )A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：①由菱形性质可得，AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=60°故△ABC与△ADC均为等边三角形，正确；②由①可得，CA=BC，∠B=∠CAD=60°，且BE=AF∴△BEC≌△AFC（SAS），故正确；③由②，∠BCE=∠AFC，EC=FC∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°∴△ECF为等边三角形，正确；④如图，过点F作FH⊥EA，交EA延长线于点H△AEF中，∠EAF=120°，AF=1，AE=AB-BE=3则Rt△FAH中可得，，∴Rt△FEH中，由勾股定理可得，故正确．综上，正确的为①②③④．试题难度：三颗星知识点：略11.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．下列说法：①△ABE≌△CDF；②当OA=OE时，四边形AECF 是矩形；③当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形．其中正确的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：D解题思路：①∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=OD，AB=CD，AB∥CD∴∠ABE=∠CDF∵点E，F分别为OB，OD的中点∴∴△ABE≌△CDF（SAS），正确②由①得△ABE≌△CDF∴AE=CF，∠AEB=∠CFD∴∠GEF=∠AEB=∠CFD∴AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形∴OE=OF，OA=OC∵OA=OE∴OA=OE=OC=OF即EF=AC∴□AECF为矩形，正确③∵EG=AE由②得GE∥CF且GE=CF∴四边形EGCF是平行四边形∵AC=2AB∴AO=AB则△ABO中可得AE⊥OB，故∠OEG=90°∴□EGCF为矩形，正确．综上，正确的为①②③．试题难度：三颗星知识点：略12.如图，正方形ABCD的边长为2，E为射线CD上一动点，以CE为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BE，DG，两直线BE，DG相交于点P，连接AP，下列说法：①△BCE≌△DCG；②BP⊥GD；③当点E为CD的中点时，BP的长为．其中正确的序号是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③答案：D解题思路：①∵四边形ABCD与四边形ECGF为正方形∴BC=CD，∠BCE=∠DCG=90°，EC=CG∴△BCE≌△DCG（SAS），正确；②由①得△BCE≌△DCG∴∠CBE=∠CDG∴∠CBE+∠CGD=∠CDG+∠CGD=90°即∠BPG=90°∴BP⊥GD，正确；③连接BD由②，BP⊥GD∴则由题易得，当点E为CD的中点时BG=3，CD=2，DG=，∴，正确．综上，正确的为①②③．试题难度：三颗星知识点：略第 11 页共 11 页。
特殊平行四边形(考题猜想,易错必刷36题6种题型)(解析版)24-25学年九年级数学上学期期中考点
特殊平行四边形（易错必刷36题8种题型专项训练）➢直角三角形斜边上的中线有理数➢菱形的性质➢矩形的性质➢矩形的判定➢矩形的判定与性质➢正方形的性质➢正方形的判定➢轴对称-最短路线问题一．直角三角形斜边上的中线（共1小题）1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠BAD ＝90°，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点．（1）请判断线段EF 与AC 的位置关系，并说明理由；（2）若∠ADC ＝45°，请判断EF 与AC 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）EF ⊥AC ，理由见解答；（2）EF ＝AC ，理由见解答．【解答】解：（1）EF ⊥AC ，理由：连接AE ，EC，∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝BD，∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴AE＝BD，∴AE＝CE，∵点F是AC的中点，∴EF⊥AC；（2）EF＝AC，理由：∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝DE＝BD，∴∠ECD＝∠CDE，∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，∴AE＝DE＝BD，∴∠EAD＝∠ADE，∵∠ADC＝45°，∴∠AEC＝∠AEB+∠BEC＝∠EAD+∠ADE+∠ECD+∠EDC＝2∠ADE+2∠CDE＝2（∠ADE+∠CDE）＝2∠ADC＝90°，∵点F是AC的中点，∴EF＝AC．二．菱形的性质（共3小题）2．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝10，S＝100，则OH的长为（ ）菱形ABCDA．B．10C．5D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO＝20，＝×AC×BD＝20×BD＝100，又∵S菱形ABCD∴BD＝10，∵DH⊥AB，∴在Rt△BHD中，点O是BD的中点，∴OH＝BD＝10＝5．故选：C．3．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°，…，按此规律所作的第2023A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，OB＝BD，OA＝AC，DA＝AB＝1，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝1，∴OB＝BD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2AO＝，同理可得：AC1＝3，∴第1个菱形的边长＝1＝（）0，第2个菱形的边长＝＝（1，第3个菱形的边长＝3＝（）2，…∴第2023个菱形的边长＝（）2022，故选：B．4．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为 ．【答案】4．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝8，且∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，∴BE⊥AD，且∠A＝60°，∴AE＝4，BE＝AE＝4，∴PE＝BE＝4．故答案为：4．三．矩形的性质（共10小题）5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD ＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故选：C．6．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP 为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）A．（3，1）或（3，3）B．（3，）或（3，3）C．（3，）或（3，1）D．（3，）或（3，1）或（3，3）【答案】D【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a＝．∴P（3，）．综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故选：D．7．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC ＝2，则点D到点O的最大距离是（ ）A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．【答案】B【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．故选：B．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作AB的垂线交AB于E点，过P点作AD的垂线交AD于F点，则EF的长度最小为多少（ ）A．B．C．5D．7【答案】B【解答】解：如图，连接AP、EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四边形AEPF为矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵点P从B点沿着BD往D点移动，∴当AP⊥BD时，AP取最小值．下面求此时AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝＝10．∵S＝＝，△ABD∴AP＝＝＝．∴EF的长度最小为：．故本题选B．9．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE 对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 9或18 ．【答案】9或18．【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD'E为直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E+∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝＝30，∴CD′＝30﹣18＝12，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，即x2+144＝（24﹣x）2，解得x＝9，即DE＝9；综上所述：DE的长为9或18；故答案为：9或18．10．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF 的度数等于 °．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∴∠CFP＝∠GFP，HE∥GF∴∠CFG＝2∠GFP＝124°，∴∠HFG＝180°﹣∠CFG＝56°，∴∠EHF＝∠HFG＝56°．故答案为56．11．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B点的纵坐标是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，则AF⊥CF，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴OB＝AC，AC∥OB，∴∠CAF＝∠CHO＝∠BOE，∵∠AFC＝∠OEB＝90°，∴△AFC≌△OEB（AAS），∴CF＝BE＝4﹣1＝3，故答案为：3．12．如图，在长方形ABCD中，，AD＝4，E，F分别为AD，BC上的两个动点，且∠EFC＝60°，连接AF、CE，那么AF+CE的最小值为 ．【答案】．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，则四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝．∵∠EHF＝90°，∠EFH＝60°，∴∠FEH＝30°．∴EF＝2FH．∴FH＝1，EF＝2．设BF＝x，则CH＝4﹣x﹣1＝3﹣x，∴AF+EC＝+．欲求AF+EC的最小值，相当于在x轴上寻找一点P（x，0），使得P到M（0，），N（3，）的距离和最小（如图1中），作点M关于x轴的对称点F，连接FN，∵F（0，﹣），N（3，），∴直线FN的解析式为y＝x﹣．令y＝0，可得x＝，∴x＝时，PM+PN的值最小，此时NF＝AF+EC＝．故答案为：．13．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．（1）求四边形PBCQ的面积；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设运动时间为t，则AP＝t，CQ＝t，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2，∠B＝∠C＝90°，∴BP＝4﹣t，∴四边形PBCQ的面积＝（PB+CQ）•BC＝4×2＝4（cm）2；（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t，①当PQ＝DQ＝4﹣t时，如图1，过P作PH⊥DQ于H，则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∵PH2+HQ2＝PQ2，∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，解得：t＝2，t＝，②当PQ＝PD时，如图2，过P作PH⊥DQ于H，则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t，∵CQ＝t，∴HQ＝4﹣2t，∴4﹣2t＝t，∴t＝，③当DQ＝PD时，∴DQ＝4﹣t，∴PD＝DQ＝4﹣t，∵AP2+AD2＝PD2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，综上所述，当t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．14．如图，在矩形ABCD中，O是AB的中点，点P在线段AM上（不与点A重合），OP＝AB，连接CP 并延长，交AD于点N．（1）判断△ABP的形状，并说明理由．（2）若M为DC的中点，求证：PN＝AN．【答案】（1）△ABP是直角三角形；（2）证明见解析．【解答】（1）解：△ABP是直角三角形．理由如下：∵点O是AB的中点，∴AO＝OB＝AB．∵OP＝AB，∴OP＝OA＝OB．∴∠OBP＝∠OPB，∠OAP＝∠APO．∵∠OAP+∠APO+∠OBP+∠BPO＝180°，∴∠APO+∠BPO＝90°．∴∠APB＝90°．∴△ABP是直角三角形．（2）证明：如图，延长AM，BC交于点Q，∵M是CD的中点，∵∠D＝∠MCQ＝90°，∠AMD＝∠QMC，∴△ADM≌△QCM（ASA）．∴AD＝CQ＝BC．∵∠BPQ＝90°．∴PC＝BQ＝BC．∴∠CPB＝∠CBP．∵∠OPB＝∠OBP，∴∠OBC＝∠OPC＝90°．∴∠OPN＝∠OPA+∠APN＝90°．∵∠OAP+∠PAN＝90°，∠OAP＝∠OPA，∴∠APN＝∠PAN．∴PN＝AN．四．矩形的判定（共1小题）15．如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当线段AF与BC ADFE为矩形？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，∴AD＝AB，∵点E是AC的中点，点F是BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AF与DE互相平分；（2）解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形，理由：∵线段DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵AF＝BC，∴AF＝DE，由（1）得：四边形ADFE是平行四边形，∴四边形ADFE为矩形．五．矩形的判定与性质（共1小题）16．下列命题错误的是（ ）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等【答案】C【解答】解：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选：C．六．正方形的性质（共18小题）17．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（ ）A．75°B．60°C．54°D．67.5°【答案】B【解答】解：如图，连接BD，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°∵∠BCM＝∠BCD＝45°，∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，∴∠AMD＝∠AMB＝60°故选：B．18．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）A．cm2B．cm2C．cm2D．（）n cm2【答案】B【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝．故选：B．19．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（ ）A．2B．4C．D．2【答案】D【解答】解：如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF＝OE＝λ，∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2，∴2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2．故选：D．20．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（ ）A．4B．2C．4D．2【答案】B【解答】解：连接AC、CF，如图：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，∵BC＝8，CE＝4，∴AC＝8，CF＝4，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中点，∠ACF＝90°，∴CH＝AF＝2，故选：B．21．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（ ）A．B．C．﹣1D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝，∵以A为圆心，AC为半径画圆交x轴负半轴于点P，∴AP＝AC＝，又∵点A（1，0），∴OP＝﹣1，∴点P（1﹣，0），故选：D．22．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为（ ）A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，又∵AB＝AE，∴∠ABE＝（180°﹣150°）＝15°．故选：B．23．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：设大正方形的边为a，小正方形的边长为b，矩形的边长为a、b，如图所示：∵大正方形，有6张，小正方形有5张，矩形有4张，∴构成边长最大是为9正方形，其中有两边为9，则需要5个边长为3的正方形，另外两边的边长都为3+2+2+2＝9也可以满足3a＝3b+a，即2a＝3b．故选：D．24．在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个的面积分别是a、b、c，正放置的4个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）A．a+b+c B．a+c C．a+2b+c D．a﹣b+c【答案】B【解答】解：∵∠ACB+∠DCE＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠BAC，∵AC＝CE，∠ABC＝∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE，在直角△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即，AB2+DE2＝AC2，∵S3＝AB2，S4＝DE2∴S3+S4＝c同理S1+S2＝a故可得S1+S2+S3+S4＝a+c，故选：B．25．如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD 于E、F、K，连接AK、MK．下列结论：①EF＝AM；②AE＝DF+BM；③BK＝；④∠AKM＝90°．其中正确的结论有 个．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作FG⊥AB于G，则AD＝GF＝AB，∵AM⊥EF，∴∠BAM＝∠GFE，∵∠BAM＝∠GFE，∠ABM＝∠EGF，GF＝AB，∴△ABM≌△FGE，∴EF＝AM，故①正确；由题可得：AG＝DF，GE＝BM，∴AE＝AG+GE＝DF+BM；故②正确；如图，过K作KQ⊥AB于Q，KT⊥BC于T，∵∠KBQ＝45°，∴△BQK是等腰直角三角形，∴BK＝KQ＜AK，故③错误；∵DB平分∠ABC，∴KQ＝KT，又∵AM的垂直平分线交BD于K，∴KA＝KM，∴Rt△AQK≌Rt△MTK，∴∠AKQ＝∠MKT，又∵∠QKT＝∠MKT+∠MKQ＝90°，∴∠AKQ+∠MKQ＝90°，即∠AKM＝90°，故④正确；故答案为：3．26．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于 ．【答案】4或2．【解答】解：在正方形ABCD AD＝6，∠DAE＝30°，设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理x2+62＝（2x）2，解得：x＝2（负值舍去），∴AE＝4，∵点F为AE的中点，∴AF＝EF＝2，分两种情况：①过M作MG⊥BC，G为垂足，则MG＝DC＝AD，在Rt△MGN和Rt△ADE中，，∴Rt△MGN≌Rt△ADE（HL），∴∠NMG＝∠EAD，∴∠NMG+∠AMF＝90°，∴∠EAD+∠AMF＝90°，∴∠AFM＝90°，在Rt△AFM中，∠DAE＝30°，AF＝2，设MF＝m，则AM＝2m，由勾股定理，得4m2﹣m2＝12，解得m＝2（负值舍去），则AM＝4；②方法一：根据对称性由①可知：AM＝6﹣4＝2，方法二：如图，过N作NG⊥AD于G，过M作MH⊥AE于H，则NG＝CD＝AD，在Rt△ADE和Rt△NGM中，，∴Rt△ADE≌Rt△NGM（HL），∴∠GNM＝∠DAE＝30°，∴∠GMN＝60°，△AMF中，∠GMN＝∠MAF+∠AFM，∴∠AFM＝∠DAE＝30°，∴AM＝MF，∵MH⊥AF，∴AH＝FH，设MH＝x，则AM＝2x，AH＝FH＝x，∵F是AE的中点，∴AE＝2AF＝4AH＝4x，Rt△ADE中，∠DAE＝30°，∴DE＝AE＝2x，AD＝DE＝6x，∵AD＝6，即6x＝6，x＝1，即AM＝2x＝2；故答案为：4或2．27．如图，若正方体的棱长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：找到CD的中点N，连接BN．正方形ABCD中，AC为BD的垂直平分线，∴OB＝OD，∵在△OAD和△OAB中，AB＝AD，OA＝OA∴△OAD≌△OAB，又∵，所以阴影部分面积为△OAD和△OAB的面积和．根据中位线定理M、N分别为AB、CD的中点，∴CE＝EO＝OA，∴O到AD的距离为CD长度的．∴S△ADO +S△ABO＝2S△ADO＝2××a×＝．故答案为．28．如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 ．【答案】20．【解答】解：如图，连接BE，CG，∵正方形ABDE和正方形ACFG，∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAG＝∠CAE，∴△BAG≌△EAC（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AHB＝∠OHE，∴∠EOH＝∠BAH＝90°，∴∠EOG＝∠BOC＝90°，∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2，∵AB＝3，AC＝1，∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2，∴BE2+CG2＝18+2＝20，∴BC2+EG2＝20．故答案为：20．29．如图，正方形MNKT由8个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，记图中正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，则边AB的长度为 ．【答案】．【解答】解：将四边形EFGH的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形MNKT，正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2+S3＝10，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1﹣S2+S3＝8y+x﹣（4y+x）+x＝10，故x+4y＝10，所以S2＝x+4y＝10，∴AB＝．故答案为：．30．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是 ．【答案】①②③．【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；∴矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③．故答案为：①②③．31．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE，AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的结论有： （请填上序号）．【答案】①②③④．【解答】解：∵点E是AD边的中点，∴AE＝DE，而AB＝DC，∠BAE＝∠CDE，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴∠ABE＝∠DCE，故①正确；∵DH＝DH，AD＝CD，∠ADH＝∠CDH，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠EAG＝∠DCE，而∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠EAG+∠AEB＝90°，∴AG⊥BE，故②正确；∵△CDE和△BDE同底等高，∴S△CDE ＝S△BDE，而S△CDE ﹣S△EHD＝S△BDE﹣S△EHD，∴S△BHE ＝S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴AH＝CH，而AB＝CB，∠EAG＝∠DCE，∴∠HAB＝∠HCB，∴△ABH≌△CBH（SAS），∴∠AHB＝∠CHB，而∠EHD＝∠CHB，∴∠AHB＝∠EHD，故④正确，故答案为：①②③④．32．如图1，在正方形ABCD AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：AE＝EF成立，理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．在△AME与△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（3）存在，理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴DM＝AE，由（2）AE＝EF，∴DM＝EF，∴四边形DMEF为平行四边形．33．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F．（1）求证：△ADF≌△DCE；（2）若△DEF的面积为，求AF的长；（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．【答案】（1）证明见解答部分；（2）AF＝5或．（3）MN的长度为或．【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°，∴∠AED＝∠AFB，在△ABF与△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS）．（2）解：∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF＝x，∴BE＝CF＝4﹣x，∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF＝4×4﹣×4•x﹣（4﹣x）•x﹣×4•（4﹣x）＝8﹣2x+x2，∴y＝x2﹣2x+8＝，解得，x1＝3，x2＝1，∴AE＝3或AE＝1，∴AF＝DE＝5或．（3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF，∵点M是DE的中点，∴DM＝ME，∵AB∥CD，∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM，∴△DPM≌△EAM（AAS），∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1，当AE＝3时，BF＝DP＝3，∴CF＝CP＝1，∴PF＝，∴MN＝PF＝；当AE＝1时，BF＝EP＝1，∴CF＝CP＝3，∴PF＝3，∴MN＝PF＝；综上，MN的长度为或．34．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点，对角线BD与AC交于点O，以线段AG为边作一个正方形AEFG，连接EB、GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若AB＝5，AG＝2，求EB的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，∴∠GAD＝∠EAB，在△GAD和△EAB中，，∴△GAD≌△EAB，∴EB＝GD；（2）∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴BD⊥AC，AC＝BD＝5，∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝，∵AG＝2，∴OG＝OA+AG＝，由勾股定理得，GD＝＝，∴EB＝．七．正方形的判定（共1小题）35．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）线段OE与OF的数量关系 ．（填空）；（2）若CE＝8，CF＝6，则OC＝ ．（填空）；（3）当点O运动到 ，且∠BCA等于 时，四边形AECF是正方形．（填空）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1＝∠2．∵MN∥BC，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴OE＝OC．同理可证OC＝OF．∴OE＝OF．故答案为：OE＝OF．（2）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，∴∠2＝∠ACB，∠5＝∠ACD，∴∠ECF＝∠2+∠5＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△ECF是直角三角形，又∵CE＝8，CF＝6，∴由勾股定理得EF＝10，∵OE＝OF，∴Rt△CEF中，CO＝EF＝5，故答案为：5；（3）当点O运动到AC ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵O为AC中点，∴OA＝OC，∵由（1）可得OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；由（2）可得∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形，∠5＝∠6＝45°，∠2＝∠3＝45°，∴∠3＝∠6，∴CE＝CF，∴平行四边形AECF是正方形．故答案为：AC的中点处，90°．八．轴对称-最短路线问题（共1小题）36．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）A．10B．11C．12D．13【答案】D【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故选：D．。
2023年数学中考专题 特殊平行四边形练习题(一)含参考答案(通用)
中考专题特殊平行四边形练习题（一）含参考答案第一部分选择题部分（一）1.(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为( )2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°3.如图,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿边BC翻折,得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( )A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.四边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形4.如图,在四边形ABCD中,E是AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,P,Q,M,N分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形MNPQ是 ( )A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定5.(2019·赤峰)如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是( )A.2.5B.3C.4D.56.如图,E是正方形ABCD的对角线AC上的一点,AF ⊥BE于点F,交BD于点G,则下列结论中,不成立的是( )A.AG=BEB.△ABG≌△BCEC.AE=DGD.∠AGD=∠DAG7.(2018·临沂)如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH 为矩形;②若AC ⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.48.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,并且∠DAC=60°,∠ADB=15°,E是边AD上一动点,延长EO交BC于点F.当点E从点D向点A移动的过程中(点E与点D,A不重合),四边形AFCE的变化是( )A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形9.如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12cm，EF=16cm,则边AD的长是 ( )A.12cmB.16cmC.20cmD.28cm10. (2019·绵阳)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,已知点O(0,0),A(4,0),∠AOC=60°,则对角线的交点E的坐标为 ( )二、填空题11.如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(4,0),(-1,0),点D在y轴上,则点C 的坐标是 .12.如图,在菱形ABCD中,AC交BD于点O,DE ⊥BC于点E,连接OE.若∠ABC=140°,则∠OED的度数为 .13.如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC的平分线与∠BAD的平分线相交于点G，∠EAD的平分线与∠ADF的平分线相交于点I，∠ABC的平分线与∠ADF的平分线相交于点H，则四边形AGHI的形状是 .14.如图是某城市部分街道示意图,四边形ABCD为正方形,点G在对角线BD上,GE⊥CD,GF⊥ BC,AD=1500m.小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m.15.如图，有一张边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折后展开，设折痕为EF，再沿过点D的折痕将∠A翻折,使得点A落在EF上的点H处,折痕DG交AE于点G,则△HGD的面积为 .三、解答题16.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.求证:BD=EC.17.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,EC交AD于点F.(1)求证:△AEF≌△CDF;(2)若AB=4,BC=8,求图中涂色部分的面积.18.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG.(1)求证:△ABG≌△AFG;(2)求BG的长.19.如图,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A停止,同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C停止,点P,Q的速度都是1cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形?(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形?(3)求(2)中菱形AQCP的周长和面积.20.(2019·通辽)如图①,P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C按顺时针方向旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.(1)求证:△BCP≌△DCQ.(2)延长BP交直线DQ于点E.①如图②,求证:BE⊥DQ;②如图③，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由.中考专题 特殊平行四边形练习题（一）含参考答案（第一部分）一、1.C2.B3.B4.B5.A6.D7.A8.B9.C 10.D二、11.(-5,3) 12.20° 13.矩形三、16.∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=CD,AB ∥CD.又∵BE=AB,∴BE=CD,BE ∥CD.∴四边形BECD 是平行四边形.∴BD=EC17(1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB=CD,∠B=∠D=90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,点B 落在点E 处, ∴∠E=∠B,AE=AB.∴AE=CD,∠E=∠D.在△AEF 和△CDF 中,∴△AEF ≌△CDF（2）∵四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC=8,AB=CD=4.由折叠的特征,得CE=BC=8,AE=AB=CD=4. ∵△AEF ≌△CDF,∴AF=CF,EF=DF.在Rt △CDF 中,由 DF ²+CD ²=CF ²,得 DF 2+42=(8-DF)2. ∴DF=3.∴AF=AD-DF=5 S 涂色部分=21AF*CD=10 18（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠B=∠D=90°,AD=AB.由折叠的性质,可知DE=EF,AD=AF,∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFG=90°=∠B,AB=AF.又∵AG=AG,∴△ABG ≌△AFG(2)∵△ABG ≌△AFG, ∴BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6-x. ∵ E 为CD 的中点 ∴CE=DE=EF=3. ∴EG=x+3.在Rt △EGC 中,CE 2+CG 2=EG 2,∴32+(6-x)2=(x+3)2, 解得x=2.∴BG=219. 19（1）∵在矩形ABCD 中,AB=8cm,BC=16cm,∴BC=AD=16cm,AB=CD=8cm.由已知,得BQ=DP=t cm,AP=CQ=(16-t) cm.在矩形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC.当BQ=AP时,四边形ABQP为矩形,∴t=16-t,解得t=8.∴当t为8时,四边形ABQP是矩形（2）∵AP=CQ,AP∥CQ,∴四边形AQCP为平行四边形∴当AQ=CQ时,四边形AQCP为菱形，即 82+t2=(16-t)2, 解得t=6.∴当t为6时,四边形AQCP是菱形当t=6时,AQ=CQ=CP=AP=16-6=10(cm),∴菱形AQCP的周长为4×10=40(cm),面积为10×8=80(cm²)20(1) ∵线段CP绕点C按顺时针方向旋转90°至CQ,∴∠PCQ=90°,CP=CQ.∵四边形ABCD为正方形,∴BC=DC,∠BCD=90°.∴∠BCP=∠DCQ.∴△BCP≌△DCQ（2）①由(1),知△BCP≌△DCQ,∴∠CBP=∠CDQ.如图,设BE交CD于点M.∵∠BMC=∠EMD,∴易得∠DEM=∠BCM=90°.∴BE⊥DQ②△DEP为等腰直角三角形理由:∵△BCP≌△DCQ,△BCP为等边三角形,∴CP=CD,∠BPC=∠QDC=∠BCP=60°.∴∠PCD=∠BCD-∠BCP=90°-60°=30°∴∠CPD=∠CDP=75°.∴∠EPD=∠EDP=180° -60° -75° =45°.∴EP=ED,∠PED=90°.∴△DEP为等腰直角三角形.特殊平行四边形第二部分一、选择题1.(2019·无锡)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2.(2019·攀枝花)下列结论中，错误的是( )A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形3.(2019·贵阳)如图,菱形ABCD的周长是4cm,∠ABC=60°,那么这个菱形的对角线AC的长为( )A.1 cmB.2cmC.3cmD.4 cm4.(2018·宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥ AB,EI⊥ AD,FH⊥AB,FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中涂色部分的面积为( )A.15.(2018·大连)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=5,AC=6,则BD的长为( )A.8B.7C.4D.36.(2019·鄂尔多斯)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED的度数为( )A.15°B.35°C.45°D.55°7.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长为( )A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm8.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,AF ⊥BC,垂足为F,∠ADE=30°,DF=4,则BF的长为( )A.4B.89.如图,在菱形ABCD中,∠ADC=72°,AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP,则∠CPB的度数为( )A.18°B.36°C.72°D.54°10.如图，在锐角三角形ABC中，延长BC到点D，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB,∠ACD 的平分线于E,F两点,连接AE,AF.下列结论:①OE=OF;②CE=CF;③若CE=12,CF=5,则OC的长为6;④当AO=CO时,四边形AECF是矩形.其中、正确的有 ( )A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(每小题3分，共15分)11.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.若∠E=50°,则∠BAO的度数为°.12.如图,E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为cm².13.如图,把菱形ABCD沿AH折叠,使点B落在BC上的点E处.若∠B=70°,则∠EDC的度数为 .14.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF 的长为 .15.(2018·扬州)如图,四边形OABC是矩形,点A的坐标为(8,0),点C的坐标为(0,4),把矩形OABC沿OB折叠,点C落在点D处,则点D的坐标为 .三、解答题(共55分)16.(10分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥ BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.17.(10分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.18.(10分)(2019·宁波)如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD 上.(1)求证:BG=DE;(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.19.(12分)如图,在▱ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.(1)求证:△AEH≌△CGF;(2)若∠EFG=90°,求证:四边形EFGH是正方形.20.(13分)如图,将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C刚好落在线段AD上,且折痕分别与边BC,AD相交,设折叠后点C，D的对应点分别为G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB=3,BC=9,求线段CE长度的取值范围.第二部分参考答案一、1.C2.B3.A4.B5.A6.C7.A8.D9.C 10.C二、11.40 13.15°三、16.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.又∵AM⊥BE,∴∠BEO+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE.∴∠BEO=∠AFO.∴△BOE≌△AOF.∴OE=OF17 (1) ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF(2)∵四边形ABCD是矩形,,∴△AOB是等边三角形.∴OA=AB=6.∴AC=2OA=12.在Rt△ABC中,∴矩形ABCD的面积为18.(1)如图,连接EG.∵四边形EFGH是矩形,∴EG=FH,EH=FG,EH∥FG.∴∠GFH=∠EHF∴∠BFG=∠DHE.∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC.∴∠GBF=∠EDH.∴△BGF≌△DEH.∴BG=DE（2）∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC.∵E为AD的中点,∴AE=ED.∵BG=DE,∴AE=BG.又AE∥BG,∴四边形ABGE是平行四边形.∴AB=EG=FH=2.∴菱形ABCD的周长为2×4=819.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.又∵AE=CG,AH=CF,∴△AEH≌△CGF（2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.∵AE=CG,AH=CF,∴BE=DG,DH=BF.∴△BEF≌△DGH.∴EF=GH.又∵△AEH≌△CGF,∴EH=GF.∴四边形EFGH为平行四边形.∴EH∥FG.∴∠HEG=∠FGE.∵EG平分∠HEF,∴∠HEG=∠FEG.∴∠FGE=∠FEG.∴GF=EF.∴四边形EFGH是菱形.又∵∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形20.(1)四边形CEGF是菱形由折叠,知EF是CG的垂直平分线,∠CEF=∠GEF,∴FC=FG,EC=EG.又∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠GFE=∠CEF.∴∠GFE=∠GEF.∴GF=EG.∴EG=FG=FC=EC.∴四边形CEGF是菱形（2）如图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形,此时CE的长度最小,且CE=CD=AB=3. 如图②,当点G与点A重合时,CE的长度最大.设CE=x,则AE=CE=x,BE=9-x.在Rt△ABE中,∵AB2+BE2=AE2,∴32+(9-x)2=x2,解得x=5.∴CE=5.∴线段CE长度的取值范围是3≤CE≤5。
中考数学 真题精选 专题试卷 特殊的平行四边形(含答案解析) (含答案解析)
特殊的平行四边形一．选择题（共19小题）1．（•河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解答：解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选B．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键．2．（•山西）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC 的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理．分析：首先根据点D、E分别是边AB，BC的中点，可得DE是三角形BC的中位线，然后根据三角形中位线定理，可得DE=AC，最后根据三角形周长的含义，判断出△ABC的周长和△DBE的周长的关系，再结合△DBE的周长是6，即可求出△ABC的周长是多少．解答：解：∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是：6×2=12．故选：C．点评：（1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）此题还考查了三角形的周长和含义的求法，要熟练掌握．3．（•铁岭）如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形中位线定理逐项分析即可．解答：解：A、∵点D、E、F分别为△ABC各边中点，∴DE=AC，DF=AB，∵AC≠AB，∴DE≠DF，故该选项错误；B、由A选项的思路可知，B选项错误、C、∵S△ABD=BD•h，S△ACD=CD•h，BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，故该选项正确；D、∵BD=CD，AB≠AC，∴AD不平分∠BAC，故选C．点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，解题的根据是熟记其定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•安顺）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：几何图形问题．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．5．（•衢州）如图，在▱ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=12cm，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=8cm，∴CE=BC﹣BE=4cm；故答案为：C．点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．6．（•玉林）如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是在14，则DM等于（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4考点：平行四边形的性质．分析：根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．解答：解：∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵▱ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD﹣MC=3，故选：C．点评：本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．7．（•绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．8．（•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B． 6 C．8 D．10考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；作图—基本作图．专题：计算题．分析：由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．解答：解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．9．（•本溪）如图，▱ABCD的周长为20cm，AE平分∠BAD，若CE=2cm，则AB的长度是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，设AB=CD=xcm，则AD=BC=（x+2）cm，∵▱ABCD的周长为20cm，∴x+x+2=10，解得：x=4，即AB=4cm，故选D．点评：本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出AB=BE，题目比较好，难度适中．10．（•福建）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC=BD D．OA=OC考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质推出即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC，但是AC和BD不一定相等，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分．11．（•陕西）在▱ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（）A．7 B．4或10 C．5或9 D．6或8考点：平行四边形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：分类讨论．分析：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．解答：解：如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102，解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D．点评：考查了平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得到关于AE的方程．12．（•营口）▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（）A．61° B．63° C．65° D．67°考点：平行四边形的性质．分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA=42°，∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题．13．（•巴彦淖尔）如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（）A．24 B．12 C．6 D．3考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ 面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．解答：解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：B．点评：此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．14．（•常州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（）A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB考点：平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．解答：解：对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．故选：C．点评：本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．15．（•淄博）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，且点B，A，E在一条直线上，CE交AD于点F，则图中等边三角形共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：平行四边形的性质；等边三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠的性质可得∠E=∠B=60°，进而可证明△BEC是等边三角形，再根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，所以可得∠EAF=60°，进而可证明△EFA是等边三角形，由等边三角形的性质可得∠EFA=∠DFC=60°，又因为∠D=∠B=60°，进而可证明△DFC是等边三角形，问题得解．解答：解：∵将△ABC沿对角线AC折叠，点B的对应点落在点E处，∴∠E=∠B=60°，∴△BEC是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D=∠B=60°，∴∠B=∠EAF=60°，∴△EFA是等边三角形，∵∠EFA=∠DFC=60°，∠D=∠B=60°，∴△DFC是等边三角形，∴图中等边三角形共有3个，故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟记等边三角形的各种判定方法特别是经常用到的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形．16．（•连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．分析：由平行四边形的判定方法得出A不正确、B正确；由矩形和正方形的判定方法得出C、D不正确．解答：解：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选：B．点评：本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决问题的关键．17．（•台湾）坐标平面上，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图形的顶点为A，且此函数图形与y轴交于B 点．若在此函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点坐标为何？（）A．（6，0）B．（9，0）C．（﹣6，0）D．（﹣9，0）考点：平行四边形的判定；二次函数的性质．分析：首先将二次函数配方求得顶点A的坐标，然后求得抛物线与y轴的交点坐标，根据电C和点B的纵坐标相同求得点C的坐标，从而求得线段BC的长，根据平行四边形的性质求得AD的长即可求得点D的坐标．解答：解：∵y=﹣x2+6x﹣9=﹣（x﹣3）2，∴顶点A的坐标为（3，0），令x=0得到y=﹣9，∴点B的坐标为（0，﹣9），令y=﹣x2+6x﹣9=﹣9，解得：x=0或x=6，∴点C的坐标为（6，﹣9），∴BC=AD=6，∴OD=OA+AD=3+6=9，∴点D的坐标为（9，0），故选B．点评：本题考查了平行四边形的判定、二次函数的性质等知识，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，综合题，但难度不大．18．（•绵阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．19．（•泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD 可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．解答：解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．二．填空题（共11小题）20．（•泰安）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM 的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为20．考点：三角形中位线定理；勾股定理；矩形的性质．分析：根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长．解答：解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，故答案为20．点评：本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是年中考常见的题型，难度不大，比较容易理解．21．（•巴中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结DH，则线段DH的长为1．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACF是等腰三角形，则AF=AC=3，HF=CH，则DH是△BCF的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．解答：解：∵AE为△ABC的角平分线，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF=AC，∵AC=3，∴AF=AC=3，HF=CH，∵AD为△ABC的中线，∴DH是△BCF的中位线，∴DH=BF，∵AB=5，∴BF=AB﹣AF=5﹣3=2．∴DH=1，故答案为：1．点评：本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明HF=CH是关键．22．（•盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为5．考点：三角形中位线定理．分析：由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．解答：解：如上图所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．点评：本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．23．（•无锡）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：计算题．分析：延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF中，利用勾股定理求出AG的长，利用SAS 证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得AG∥BF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得出AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可求得AC．解答：解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FG∥BE与AC延长线交于点G，过点C作CH∥BE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6，根据勾股定理得：AG==6，在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（SAS），∴∠ACD=∠BFD，∴AG∥BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∴FG=BE=6，在△BOD和△CHD中，，∴△BOD≌△CHD（AAS），∴OD=DH=3，∵CH∥FG，∴△AHC∽△AFG，∴=，即=，解得：AC=，故答案为：点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键．24．（•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为5．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．解答：解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴EF=×10=5cm．故答案为：5．点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．25．（•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．26．（•云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n 为正整数）．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：根据中位线的定理得出规律解答即可．解答：解：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：P1M1=，P2M2=，故P n M n=，故答案为：点评：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．27．（•珠海）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．考点：三角形中位线定理．专题：规律型．分析：由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．解答：解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．28．（•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 1.2米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．解答：解：∵EF⊥AC，BC⊥AC，∴EF∥BC，∵E是AB的中点，∴F为AC的中点，∴BC=2EF，∵EF=0.6米，∴BC=1.2米，故答案为：1.2．点评：本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BC=2EF，注意：垂直于同一直线的两直线平行．29．（•昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE=4．考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线等于第三边的一半即可得出DE=AB=4．解答：解：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=×8=4．故答案为4．点评：本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．30．（•陕西）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是3．考点：三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．解答：解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=6，∴MN=AD=3故答案为：3．点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．1．（•苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F 作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为27．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质．分析：先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG∥CD可知FG是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．解答：解：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．2．（•铜仁市）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为8．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长，根据CE=CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位线．∵BF=10，∴DE=BF=5．∵CE=CD，∴CD=5，解得CD=4．∵△ABC是直角三角形，∴AB=2CD=8．故答案为：8．点评：本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．3．（•淮安）如图，A，B两地被一座小山阻隔，为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D、E，测得DE的长度为360米，则A、B两地之间的距离是720米．考点：三角形中位线定理．专题：应用题．分析：首先根据D、E分别是CA，CB的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且DE=，再根据DE的长度为360米，求出A、B两地之间的距离是多少米即可．解答：解：∵D、E分别是CA，CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且DE=，∵DE=360（米），∴AB=360×2=720（米）．即A、B两地之间的距离是720米．故答案为：720．点评：此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于20．考点：平行四边形的性质．分析：根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．点评：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．5．（•大连）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=cm．考点：平行四边形的性质；勾股定理．分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8cm，OA=OC=AC，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴AC===6，。
沪科版九年级数学中考：4.5 多边形与平行四边形专题 习题(含答案) (1)
4.5 多边形与平行四边形一、历年安徽中考题：1.平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A.BE=DFB.AE=CFC.AF∥CED.∠BAE=∠DCF2.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE。
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE。
二、历年全国中考题：1.已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）A.九边形B.八边形C.七边形D.六边形2.若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A.360°B.540°C.720°D.900°3.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A.6B.12C.16D.184.内角和为540°的多边形是（）5.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A.1B.3C.2D.236.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美。
图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度。
7.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC ，若AC=6，则四边形ABCD 的面积为 。
8.已知n 边形的内角和θ=（n-2）×180°（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°。
甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，说明理由；（2）若n 边形变为（n+x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.9.顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四个点得到一个四边形，从①AB ∥CD ；②BC=AD ；③∠A=∠C ；④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有 （ ）A.5种B.4种C.3种D.1种10.如图，已知平行四边形AOBC 的顶点O （0,0），A （-1,2），点B 在x 轴正半轴上，按一下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于21DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G 。
沪科版九年级数学中考复习特殊的平行四边形
沪科版九年级数学中考复习特殊的平行四边形一、选择题1. (·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC的长为( )A. 5B. 4C. 3.5D. 3第1题第2题2. (·山西)如图，将矩形纸片ABCD 沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB 相交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°3. (·绵阳)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长为( )A. 1B. 2C. 2D. 3第3题第4题4. (·宜宾)如图，在矩形ABCD 中，BC＝8，CD＝6.将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上点F处，则DE的长是( )A. 3B.245C. 5D. 89165. (导学号11744095)(·常州)如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，连接AC.若EF ＝2，FG＝GC＝5，则AC的长是( )A. 12B. 13C. 6 5D.8 3第5题第7题6. (·益阳)下列性质菱形不一定具有的是( )A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形7. (·海南)如图，在菱形ABCD 中，AC＝8，BD＝6，则△ABC的周长是( )A. 14B. 16C. 18D.208. (·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO；②∴ AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴ AB＝AD.证明步骤正确的顺序是( )A. ③→②→①→④B. ③→④→①→②C. ①→②→④→③D. ①→④→③→②第8题第11题9. (·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( )A. 2B. 5C. 3D. 410. (·上海)已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是( )A. ∠BAC＝∠DCAB. ∠BAC ＝∠DACC. ∠BAC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠ADB11. (·河南)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有( )A. AC⊥BDB. AB＝BCC. AC＝BDD. ∠1＝∠212. (·临沂)如图，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A. 若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B. 若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C. 若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D. 若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形第12题第13题13. (·黔南州)如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PD的最小值是( )A. 310B. 10 3C. 9D. 9 214. (·黔东南州)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为( )A. 60°B. 67.5°C. 75°D. 54°第14题第15题15. (·广东)如图，在正方形ABCD 中，E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF.下列结论：① S△ABF ＝S△ADF；② S△CDF＝4S△CEF；③ S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF.其中正确的是( )A. ①③B. ②③C. ①④ D. ②④16.(·南通)如图，在矩形ABCD 中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )A. 5 5B. 10 5C. 10 3D. 15 3第16题第17题17.(·宁波)如图，四边形ABCD 是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为( )A. 3B. 23C. 13D. 4二、填空题18. (·辽阳)如图，在矩形ABCD 中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE.若BC＝7，AE＝4，则CE＝________．第18题第19题19. (·绍兴)在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE ＝∠FEA. 若∠ACB＝21°，则∠ECD的度数是________．20. (·衢州)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长为________．第20题第22题21. (·营口)在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点．将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为__________．22. (·哈尔滨)如图，在矩形ABCD 中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为________．23. (·宜宾)如图，在菱形ABCD 中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是________．第23题第25题24. (·菏泽)在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为 24 cm，则菱形的面积为________cm2.25. (·十堰)如图，在菱形ABCD 中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE.若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为________．26. (·孝感)如图，四边形ABCD 是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．第26题第27题27. (·东营)如图，菱形ABCD的周长为16，面积为 83，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP ＋AP的最小值为________．28. (·哈尔滨)已知四边形ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝3，则CE的长为__．29. (·兰州)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：① AB⊥AD，且AB＝AD；② AB＝BD，且AB⊥BD；③ OB＝OC，且OB⊥OC；④ AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的是________(填序号)．30. (·黄冈)如图，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．第30题第31题31. (·六盘水)如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E，F 分别在边BC和CD上，则∠AEB＝________°.32. (·绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A →G→E，小聪行走的路线为B→A→D →E→F.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为________m.第32题第33题33. (·安顺)如图，正方形ABCD 的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．34.(·陕西)如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．第34题三、解答题35. (·百色)如图，在矩形ABCD 中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．求证：(1) 四边形AFCE是平行四边形；(2) EG＝FH.第35题36. (·鄂州)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F.(1) 求证：△AEF≌△CDF；(2) 若AB＝4，BC＝8，求图中涂色部分的面积．第36题37. (·徐州)如图，在▱ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1) 求证：四边形BECD是平行四边形；(2) 若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形，请说明理由．第37题38. (·沈阳)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF.求证：(1) △ADE≌△CDF；(2) ∠BEF＝∠BFE.第38题39. (·广东)如图，四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD 为锐角．(1) 求证：AD⊥BF；(2) 若BF＝BC，求∠ADC的度数．第39题40. (·酒泉)如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD的中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1) 求证：四边形DEBF是平行四边形；(2) 当四边形DEBF是菱形时，求EF的长．第40题41. (·张家界)如图，在▱ABCD 中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.(1) 求证：△AGE≌△BGF；(2) 试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．第41题42. (·云南)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1) 求证：四边形AEDF是菱形；(2) 如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF 的面积S.第42题43. (·吉林)如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD的中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′，如图②.(1) 求证：四边形AB′C′D是菱形；(2) 四边形ABC′D′的周长为________；(3) 将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形的周长．第43题44. (·陕西)如图，在正方形ABCD 中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE交于点G.求证：AG＝CG.第44题45. (·泰州)如图，在正方形ABCD 中，G为BC边上一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，连接DE.(1) 求证：△ABE≌△DAF；(2) 若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．第45题46. (·上海)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD 上一点，且EA＝EC.(1) 求证：四边形ABCD是菱形；(2) 如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．第46题47. (·玉林)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC ＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1) 求证：四边形EDFG是正方形．(2) 当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG 面积的最小值．第47题答案一、 1. B 2. A 3. A 4. C5. B6. C7. C8. B9. D10. C11. C12. D13. A14. A 15. C 16. B 17. C二、18. 519. 23°20.5 321. 3或 6 22.25523. 24 24.18 3 25. 20°26.501327. 2 328. 43或2 3 29.①③④30. 45°31. 7532. 4 60033. 6 34. 18 点拨：过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥CD交CD的延长线于点N.证△ABM≌△ADN，得AM＝AN和S△ABM＝S△ADN，从而S四边形ABCD＝S正方形AMCN＝12AC2＝18.三、35. (1) ∵四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC，AD∥BC，即AE∥CF.∵ E，F分别是AD，BC的中点，∴ AE＝12AD，CF＝12BC.∴ AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形(2) ∵四边形AFCE是平行四边形，∴ CE∥AF.∴∠DGE＝∠AHD.∵∠AHD＝∠BHF，∴∠DGE＝∠BHF.∵四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC.∴∠EDG＝∠FBH.在△DEG和△BFH中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGE＝∠BHF，∠EDG＝∠FBH，DE＝BF，∴△DEG≌△BFH.∴ EG＝FH36. (1) ∵四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E＝∠B，AB＝AE.∴ AE＝CD，∠E＝∠D.在△AEF与△CDF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠E＝∠D，∠AFE＝∠CFD，AE＝CD，∴△AEF≌△CDF(2) ∵四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC＝8，AB＝CD＝4.由折叠的特征，得CE＝BC＝8，AE＝CD＝AB＝4.∵△AEF≌△CDF，∴ AF＝CF，EF＝DF.在 Rt△CDF中，由DF2＋CD2＝CF2，得DF2＋42＝(8－DF)2，∴ DF ＝3.∴ AF ＝AD －DF ＝5.∴ S 涂色部分＝12AF ×CD ＝12×5×4＝1037. (1) ∵ 四边形ABCD 为平行四边形，∴ AB ＝CD ，AB ∥DC ，即AE ∥DC.∴ ∠OEB ＝∠ODC.又∵ O 为BC 的中点，∴ BO ＝CO.在△BOE 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴ △BOE ≌△COD.∴ OE ＝OD.∴ 四边形BECD 是平行四边形 (2) 100 理由：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ ∠BCD ＝∠A ＝50°.∵ ∠BOD ＝∠BCD ＋∠ODC ，∴ ∠ODC ＝100°－50°＝50°＝∠BCD.∴ OC ＝OD.∵ 四边形BECD 是平行四边形，∴ BC ＝2OC ，DE ＝2OD.∴ DE ＝BC.∴ ▱BECD 是矩形38. (1) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ＝CD ，∠A ＝∠C.∵ DE ⊥BA ，DF ⊥CB ，∴ ∠AED ＝∠CFD ＝90°.在△ADE 和△CDF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CFD ，∠A ＝∠C ，AD ＝CD ，∴△ADE ≌△CDF (2) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ＝CB.∵ △ADE ≌△CDF ，∴ AE ＝CF.∴ BE ＝BF.∴ ∠BEF ＝∠BFE39. (1) ∵ 四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，∴ AB ＝AD ，AF ＝AD.∴ AB ＝AF ，即△ABF 是等腰三角形．∵ ∠BAD ＝∠FAD ，∴ AD ⊥BF(三线合一) (2) ∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB ∥CD ，AB ＝BC.∵ BF ＝BC ，∴ AB ＝BF.由(1)得AB ＝AF ，∴ AB ＝BF ＝AF.∴△ABF 是等边三角形．∴ ∠BAF ＝60°.∴ ∠BAD ＝12∠BAF ＝30°.∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∴ ∠ADC ＝180°－∠BAD ＝150°40. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CD.∴ ∠FDO ＝∠EBO.∵ O 是BD 的中点，∴ OB ＝OD.在△DOF 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠DOF ＝∠BOE ，∴ △DOF ≌△BOE.∴ OF ＝OE.∴ 四边形DEBF 是平行四边形 (2) 设AE ＝x ，则BE ＝6－x.∵ 四边形DEBF 是菱形，∴ DE ＝BE ＝6－x ，BD ⊥EF ，OB ＝12BD ，EF ＝2OE.∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4.在Rt △DAB 中，BD ＝AD 2＋AB 2＝42＋62＝213.∴ OB ＝13.在 Rt △DAE 中，由勾股定理，得AD 2＋AE 2＝DE 2，即42＋x 2＝(6－x)2，解得x ＝53.∴ BE ＝6－x ＝133.∴ 在Rt △EOB 中，OE ＝BE 2－OB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1332－（13）2＝2313.∴ EF ＝2OE ＝4313 41. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，即AD ∥CF.∴ ∠AEG ＝∠BFG.∵ EF 垂直平分AB ，∴ AG ＝BG.在△AGE 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEG ＝∠BFG ，∠AGE ＝∠BGF ，AG ＝BG ，∴ △AGE ≌△BGF (2) 四边形AFBE 是菱形 理由：∵ △AGE ≌△BGF ，∴ AE ＝BF.∵ AD ∥BC ，即AE ∥BF ，∴ 四边形AFBE 是平行四边形．又∵ EF ⊥AB ，∴ ▱AFBE 是菱形42. (1) ∵ AD 是△ABC 的边BC 上的高，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴ 在Rt △ABD 中，DE ＝12AB ＝AE ，在 Rt△ACD 中，DF ＝12AC ＝AF.又∵ AB ＝AC ，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴ AE ＝AF.∴ AE ＝AF ＝DE ＝DF.∴ 四边形AEDF 是菱形 (2) 连接EF 交AD 于点O.∵ 菱形AEDF 的周长为12，∴ AE ＝14×12＝3，AD ⊥EF ，AO ＝12AD ，EO ＝12EF.设EF ＝x ，AD ＝y ，则x ＋y ＝7，∴ x 2＋2xy ＋y 2＝49 ①.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得AO 2＋EO 2＝AE 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12y2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝32，即 x 2＋y 2＝36 ②.把②代入①，得2xy ＝13，∴ xy ＝132.∴ 菱形AEDF 的面积S ＝12xy ＝13443. (1) ∵ BD 是矩形ABCD 的对角线，∠ABD ＝30°，∴ ∠ADB ＝60°.由平移可得，B ′C ′＝BC ＝AD ，∠D ′B ′C ′＝∠DBC ＝∠ADB ＝60°，∴ AD∥B ′C ′.∴ 四边形AB ′C ′D 是平行四边形．∵ B ′为BD 的中点，∴ 在Rt △ABD 中，AB ′＝12BD ＝DB ′.又∵∠ADB ＝60°，∴ △ADB ′是等边三角形．∴ AD ＝AB ′.∴ 四边形AB ′C ′D 是菱形 (2) 4 3点拨：四边形ABC ′D ′是菱形． (3) 6＋3或23＋344. ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ADF ＝∠CDE ＝90°，AD ＝CD.∵ AE ＝CF ，∴ DE ＝DF.在△ADF 和△CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADF ＝∠CDE ，DF ＝DE ，∴ △ADF ≌△CDE.∴ ∠DAF ＝∠DCE.在△AGE 和△CGF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，AE ＝CF ，∴ △AGE≌△CGF.∴ AG ＝CG45. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∴ ∠BAE ＋∠DAF ＝90°.∵ DF ⊥AG ，BE ⊥AG ，∴ ∠BAE ＋∠ABE ＝90°，∠AEB ＝∠DFA ＝90°.∴ ∠ABE ＝∠DAF.在△ABE 和△DAF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠DFA ，∠ABE ＝∠DAF ，AB ＝DA ，∴ △ABE ≌△DAF (2) ∵ △ABE ≌△DAF ，∴ AE ＝DF ，BE ＝AF ＝1.设EF＝x ，则AE ＝DF ＝x ＋1.∵ 四边形ABED的面积为6，∴ S △AEB ＋S △DAE ＝6.∴ 12(x＋1)×1＋12(x ＋1)2＝6，即x 2＋3x －10＝0，解得x 1＝2，x 2＝－5(不合题意，舍去)．∴ EF ＝246. (1) 在△ADE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴ △ADE ≌△CDE.∴ ∠ADE ＝∠CDE.∵ AD ∥BC ，∴ ∠ADE ＝∠CBD.∴ ∠CDE ＝∠CBD.∴ BC ＝CD.∵ AD ＝CD ，∴ BC ＝AD.∴ 四边形ABCD 为平行四边形．又∵ AD ＝CD ，∴ 平行四边形ABCD 是菱形 (2) ∵ BE ＝BC ，∴ ∠BCE ＝∠BEC.∵ ∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，∴ 在△BCE 中，∠CBE ＝180°×22＋3＋3＝45°.由(1)得∠CDE ＝∠CBD ，∴ ∠CDE ＝45°.∴ 在△BCD 中，∠BCD ＝180°－2×45°＝90°.∴ 菱形ABCD 是正方形47. (1) 如图①，连接CD.∵ O 是EF 的中点，GO ＝OD ，∴ 四边形EDFG是平行四边形．∵ △ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴ ∠A ＝∠DCF ＝45°，AD ＝CD.在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，∠A ＝∠DCF ，AD ＝CD ，∴ △ADE ≌△CDF.∴ DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF.∴ ▱EDFG 是菱形．∵ ∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴ ∠EDC ＋∠CDF ＝∠EDF ＝90°.∴ 菱形EDFG 是正方形 (2) 如图②，过点D 作DE ′⊥AC 于点E ′.∵ △ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴ DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，E ′为AC 的中点．∴ 2≤DE<22(点E 与点E ′重合时取等号)．∵ S四边形EDFG＝DE 2，∴ 4≤S四边形EDFG<8.∴ 当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，最小为4第47题。
2022-2023学年九年级上册 单元练习题：《特殊的平行四边形》(含答案)
《特殊的平行四边形》一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．菱形的对角线平分一组对角C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．矩形的对角线互相平分2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形3．如图，菱形ABCD对角线AO＝4cm，BO＝3cm，则菱形高DE 长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm4．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km 5．已知平行四边形ABCD，下列条件中，能判定这个平行四边形为菱形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AC⊥BD 6．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD 上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（）A．BE＝EO B．EO＝AC C．AC⊥BE D．AE＝AF 7．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．50 B．48 C．24 D．128．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD ＝60°，则AB的长为（）A．3 B．2C．3D．69．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（）A．100°B．120°C．135°D．150°10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（）A．20.5°B．30.5°C．21.5°D．22.5°11．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F 为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．2二．填空题13．如果菱形的边长为17，一条对角线长为30，那么另一条对角线长为．14．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD上，DE＝2，∠BAE 的平分线交BC于点F，则CF的长为．15．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P 为AD边上的一点，过点P分别作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD 于点F．若PE+PF＝5，则正方形ABCD的面积为．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E，则BE的长为．17．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．三．解答题18．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC 交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．20．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB ＞CE，连接BG，DE．（1）求证：BG＝DE；（2）连接BD，若CG∥BD，BG＝BD，求∠BDE的度数．21．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH．在EF上取一点G，使∠ECG＝∠DAH．（1）若点F在边CD上，如图1，①求证：CH⊥CG．②求证：△GFC是等腰三角形．（2）取DF中点M，连接MG．若MG＝3，正方形边长为4，则BE＝．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D为AB边的中点，连接DC过D作DE⊥DC交AC于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）如图2，F为BC边上一点，连接DF，过D作DG⊥DF交AC于点G，请判断线段CF与EG的数量关系，并说明理由．23．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C →D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：A．平行四边形的对边相等，正确，不符合题意；B．菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C．对角线互相垂直的四边形是菱形，错误，符合题意；D．矩形的对角线互相平分，正确，不符合题意．故选：C．2．解：A、错误，有一个角为90°的平行四边形是矩形B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；故选：C．3．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝2×4cm＝8cm，BD＝2BO＝2×3cm＝6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5（cm），菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DE，即×8×6＝5DE，解得：DE＝4.8（cm），故选：C．4．解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝×2.6＝1.3（km），故选：C．5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD1矩形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；B、EO＝AC时，EF＝AC，∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；故选：B．7．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为10，∴（3x）2+（4x）2＝102，解得：x＝2，∴矩形的两邻边长分别为：6，8；∴矩形的面积为：6×8＝48．故选：B．8．解：∵四边形AABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6，∴AB＝＝3．故选：C．9．解：连接AC，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵CE⊥AB，点E是AB中点，∴BC＝AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；即菱形ABCD的较大内角度数为120°；故选：B．10．解：设AC与BD交于点O，在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．∵BE＝BC，∴∠3＝∠ECB＝67.5°．∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：D．11．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB ＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．12．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故选：C．二．填空题（共5小题）13．解：在菱形ABCD中，AB＝17，BD＝30，∵对角线互相垂直平分，∴∠AOB＝90°，BO＝15，在Rt△AOB中，AO＝＝＝8，∴AC＝2AO＝16．即另一条对角线长为16，故答案为：16．14．解：延长CD到N，使DN＝BF，连接AN，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABF＝∠ADN＝90°，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴∠BAF＝∠DAN，∴∠NAF＝90°，∴∠EAN＝90°﹣∠FAE，∠N＝90°﹣∠DAN＝90°﹣∠BAF，∵∠BAF＝∠FAE，∴∠EAN＝∠N，∴AE＝EN，∵，∴，∴，∴，故答案为：7﹣．15．解：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，AO＝CO＝BO＝DO，∠EAP＝45°，∵PE⊥AC，∴△AEP是等腰直角三角形，∴PE＝AE，∵PF⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴PF＝OE，∴PE+PF＝AE+OE＝OA＝5，∴S△AOD＝，∴S正方形ABCD＝4×＝50．故答案为：50．16．解：如图，过点E作EH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，BD＝AC＝2，OD＝OB＝，∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，∴EH＝EO，设EH＝EO＝a，则BE＝a，∴a+a＝，解得a＝2﹣，∴BE＝a＝2﹣2．故答案为：2﹣2．17．解：如图，连接DH，HM．由题可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝2HM，故②正确；当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正确；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四边形CEMD是平行四边形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四边形CEMD不可能是菱形，故③错误，∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正确；由上可得正确结论的序号为①②④．故答案为①②④．三．解答题（共6小题）18．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：连接BD，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×＝2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，即AF∥EC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE＝3，AD＝5 ∴OA＝OC，AB＝BC＝AD＝5 DF＝EB＝3，∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，CE＝BC+BE＝8，∴AC＝＝＝4，∵OA＝OC，∠AEC＝90°，∴OE＝OC＝AC＝×4＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE；（2）连接BE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE．∵CG＝CE，BC＝BC，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE．∵由（1）可知BG＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°．21．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，DA＝DC，在△DAH和△DCH中，，∴△DAH≌△DCH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH．∵∠ECG＝∠DAH，∴∠ECG＝∠DCH．∵∠ECG+∠FCG＝∠FCE＝90°，∴∠DCH+∠FCG＝90°，∴CH⊥CG；②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，由①得∠DCH+∠FCG＝90°，∠DAH＝∠DCH；∴∠DFA＝∠FCG，又∵∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∴△GFC是等腰三角形；（2））①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝4+2．②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝6，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣3＝1．综上所述，BE的长为4+或4﹣．22．（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵D为AB边的中点，∴CD＝BD＝AD，∴△BCD是等边三角形，∠ACD＝∠A＝30°，∵∠CDE＝90°，∴∠CED＝60°，∴∠EDA＝30°；（2）解：如图2，在Rt△CDE中，∠ACD＝30°，∴tan30°＝，∴＝，∵∠FDG＝∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠GDE，∴∠FCD＝∠GED＝60°，∴△FCD∽GED，∴＝，∴FC＝GE．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在DE上，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。
中考特殊平行四边形证明大题及答案
初中数学中考特殊四边形证明及计算一．解答题1．（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．2．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC 于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．考点：平行四边形的性质．专题：探究型．分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，∴PE=EM，∴PE+PF=AE+EM=AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．3．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．4．如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可．（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．解答：解：（1）设：BN=a，CN=10﹣a（0≤a≤10）因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）所以，AM=1×t=t（0≤t≤10），MD=10﹣t（0≤t≤10）．所以，梯形AMNB的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×菱形高÷2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时，即t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）所以，当t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0≤t≤5，因为AB=10，∠BAD=60°，所以菱形高=5，AM=1×t=t，BN=2×t=2t．所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5×=t（0≤t≤5）．所以当t=5时，梯形ABNM的面积最大，其数值为．（3）当△MPN≌△ABC时，则△ABC的面积=△MPN的面积，则△MPN的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有MN∥AC，∴N在C点外，所以不重合处面积为×（at﹣10）2×∴重合处为S=25﹣，当S=0时，即PM在CD上，∴a=2．点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件．5．如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：命题（Ⅰ）：图①中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．请解决下列问题：（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）．（3）试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理．分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．解答：解：（1）都是真命题；若选（Ⅰ）证明如下：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∵AH=BG，∴四边形ABGH是平行四边形，∴AB=HG，∴AB=HG=AH=BG，∴四边形ABGH是菱形；若选（Ⅱ），证明如下：∵矩形ABCD，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵E、F、G、H是中点，∴AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形；若选（Ⅲ），证明如下∵EF垂直平分AC，∴FA=FC，EA=EC，又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，，∴△ADF≌△COE（SAS）∴AF=CE，∴AF=FC=CE=EA，∴四边形AECF是菱形；（2）如图4所示：AH=CF，EG垂直平分对角线FH，四边形HEFG是菱形；（3）S ABGH=a2 ，S EFGH=ab，S菱形AECF=，∵﹣a2==＞0（b＞a）∴S菱形AECF＞S ABGH．∵﹣ab===＞0，∴S菱形AECF＞S EFGH．∵a2 ﹣ab=a（a﹣b）∴当a＞b，即0＜b＜2a时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH；当a=b，即b=2a时，S菱形ABGH=S菱形EFGH；当a＜b，即b＞a时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH．综上所述：当O＜b＜2a时，S EFGH＜S ABGH＜S菱形AECF．当b=2a时，S EFGH=S ABGH＜S菱形AECF．当b＞2a时S ABGH＜S EFGH＜S菱形AECF．点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论，以防错解．6．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质．分析：（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；（2）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到∠BDM的度数；（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC 及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．解答：解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形．（2）如图，连接BM，MC，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF=90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF=∠DAF，∴BE=AB=DC，∵M为EF中点，∴∠CEM=∠ECM=45°，∴∠BEM=∠DCM=135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB=MD，∠DMC=∠BME．∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，∴△BMD是等腰直角三角形，∴∠BDM=45°；（3）∠BDG=60°，延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD（SAS），∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．7．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系为：∠AFC=∠ACB﹣∠DAC，理由为：由四边形ADEF为正方形，得到AD=AF，且∠FAD为直角，得到∠BAC=∠FAD，等式左右两边都加上∠CAD得到∠BAD=∠CAF，再由AB=AC，AD=AF，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACF全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，又∠ACB为三角形ACD的外角，利用外角的性质得到∠ACB=∠ADB+∠DAC，变形后等量代换即可得证；（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°，可以根据∠DAF=∠BAC=90°，等号两边都减去∠BAF，可得出∠DAB=∠FAC，再由AD=AF，AB=AC，利用SAS证明三角形ABD 与三角形AFC全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFC=∠ADB，根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证．解答：解：（1）关系：∠AFC=∠ACB﹣∠DAC，…（2分）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AD=AF，∠FAD=90°，∵∠BAC=90°，∠FAD=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，…（3分）在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），…（4分）∴∠AFC=∠ADB，∵∠ACB是△ACD的一个外角，∴∠ACB=∠ADB+∠DAC，…（5分）∴∠ADB=∠ACB﹣∠DAC，∵∠ADB=∠AFC，∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC；…（6分）（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC满足的关系式为：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，…（8分）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，又∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF，即∠DAB=∠FAC，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ADB=∠AFC，在△ADC中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°，则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键．8．已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB=∠CBN=90°，求出∠CPD=∠DCN=∠CNB，证△DCP≌△CBN，求出CP=BN，证△OBN≌△OCP，推出ON=OP，∠BON=∠COP，求出∠PON=∠COB即可；（2）同法可证图2时，OP=ON，OP⊥ON，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，代入求出即可；图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN，代入求出即可．解答：（1）证明：如图1，∵正方形ABCD，∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，∵DP⊥CN，∴∠CMD=∠DOC=90°，∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，∴∠CPD=∠CNB，∵DC∥AB，∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，∵在△DCP和△CBN中，∴△DCP≌△CBN，∴CP=BN，∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP，∴ON=OP，∠BON=∠COP，∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，即∠NOP=∠BOC=90°，∴ON⊥OP，即ON=OP，ON⊥OP．（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，∴O到BC边的距离是2，图1中，S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP，=×（4﹣x）×2+×x×2，=4（0＜x＜4），图2中，S四边形OBNP=S△POB+S△PBN=×x×2+×（x﹣4）×x=x2﹣x（x＞4），即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似．9．如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图．分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形；（4）由已知表示出的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°．又∵CE=AG，∴△DCE≌△DAG，∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°∴DE⊥DG．（2）解：如图．（3）解：四边形CEFK为平行四边形．证明：设CK、DE相交于M点∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，∵BK=AG，∴KG=AB=CD，∴四边形CKGD是平行四边形，∴CK=DG=EF，CK∥DG，∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，∴∠KME+∠DEF=180°，∴CK∥EF，∴四边形CEFK为平行四边形．（4）解：∵，∴设CE=x，CB=nx，∴CD=nx，∴DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，∵BC2=n2x2，∴==．点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．10．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据点P在线段AO上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时，分别分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P点在BE的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，PB为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．解答：解：（1）当点P在线段AO上时，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP，∴BP=DP，∵PB=PE，∴PE=PD，过点P做PM⊥CD，于点M，作PN⊥BC，于点N，∵PB=PE，PN⊥BE，∴BN=NE，∵BN=DM，∴DM=NE，在Rt△PNE与Rt△PMD中，∵PD=PE，NE=DM，∴Rt△PNE≌Rt△PMD，∴∠DPM=∠EPN，∵∠MPN=90°，∴∠DPE=90°，故PE⊥PD，PE与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD，PE⊥PD；（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，∵PA=PA，∴△BAP≌△DAP（SAS），∴PB=PD，又∵PB=PE，∴PE=PD．（i）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．（ii）当点E在BC的延长线上时，如图．∵△ADP≌△ABP，∴∠ABP=∠ADP，∴∠CDP=∠CBP，∵BP=PE，∴∠CBP=∠PEC，∴∠PEC=∠PDC，∵∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD．综合（i）（ii），PE⊥PD；（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE．点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．巩固训练：1．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质．专题：证明题；几何综合题；探究型．分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．解答：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴AE∥CF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．∴四边形AECF为平行四边形．（2）解：△ACG是等腰三角形．理由如下：∵AE∥FG，∴∠G=∠GAE．∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．又OA=AC=BD=OD，∴∠ODA=∠DAO．∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余，∴∠BAE=∠ADE．∴∠BAE=∠DAO，∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G，∴△CAG是等腰三角形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB．连接DE，DF．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的长．考点：平行四边形的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．解答：（1）证明：连接EF，AE．∵点E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF=AB．又∵AD=AB，∴EF=AD．又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∴AF与DE互相平分．（2）解：在Rt△ABC中，∵E为BC的中点，BC=4，∴AE=BC=2．又∵四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE=2．点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定．专题：证明题；探究型．分析：1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°解答：证明：（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴DB=AB，BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA，∴∠DBE=∠ABC．∴△DBE≌△CBA．∴DE=AC．又∵AC=AF，∴AF=DE．同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）假设四边形ABCD是矩形，∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF=90°．又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴∠DAB=∠FAC=60°．∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°．当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定．4．已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）设AG交MN于O，由题意易得AO=GO，AG⊥MN，要证四边形ANGM是菱形，还需证明OM=ON，又可证明AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO；（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=，求得PA=．解答：（1）证明：设AG交MN于O，则∵A、G关于BM对称，∴AO=GO，AG⊥MN．∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，∴AE=BE，AE∥DF且AE=DF，AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1．∴MO=NO．∴AG与MN互相平分且互相垂直．∴四边形ANGM是菱形．（2）解：连接AF，∵AD∥EF∥BC，∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC．又∵EF⊥AB，AE=BE，∴AF=BF，∴∠AFE=∠EFB．∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC．∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC．∴∠PFA=∠FBC=∠PAF．∴PA=PF．∴在Rt△PFD中，根据勾股定理得：PA=PF=，解得：PA=．点评：本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．5．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积．考点：菱形的判定与性质．专题：动点型；数形结合．分析：（1）利用平移的知识可得四边形ABCE是平行四边形，进而根据AB=BC可得该四边形为菱形；（2）利用证明三角形全等可得四边形PQED的面积为三角形BED的面积，所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可．解答：解：（1）四边形ABCE是菱形，证明如下：∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC=AB，∴四边形ABCE是平行四边形，（2分）又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形．（4分）（2）由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO=S△QEO（7分）∵△ECD是由△ABC平移得到的，∴ED∥AC，ED=AC=6，又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，（8分）∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24．（10分）点评：考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键．6．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定．分析：（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP=CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．解答：解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）当AP=5时，∵PA=PB=5，AD=BC，∠A=∠B=90°，∴△PAD≌△PBC，∴PD=PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴NE=PM PD，ME=PN=PC，∴PM=ME=EN=PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）假设△DPC为直角三角形．设PA=x，PB=10﹣x，DP=，CP=．DP2+CP2=DC216+x2+16+（10﹣x）2=102x2﹣10x+16=0x=2或x=8．故当AP=2或AP=8时，能够构成直角三角形．点评：本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．7．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．考点：矩形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；（2）根据三角形的面积公式求出CF，求出EF，根据勾股定理求出PF，根据面积公式求出即可．解答：（1）△BEC是直角三角形，理由是：∵矩形ABCD，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．（2）解：四边形EFPH为矩形，证明：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFPH是矩形．（3）解：在RT△PCD中∠FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF==，∴EF=CE﹣CF=﹣=，∵PF==，∴S矩形EFPH=EF•PF=，答：四边形EFPH的面积是．点评：本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中．8．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．（1）求证：AF﹣BF=EF；（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA，进而得出AE=BF，即可证明结论；（2）首先得出四边形EFGH是矩形，再利用△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，进而得出EF=EH，即可得出答案；（3）首先求出AP的长，再利用三角形面积关系得出BF，AF的长，进而求出EF的长即可得出答案．解答：（1）证明：∵DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，又∵∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，在△AED和△BFA中，，∴△AED≌△BFA，∴AE=BF，∴AF﹣AE=EF，即AF﹣BF=EF；（2）证明：∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，∴四边形EFGH是矩形，∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，∴△AED≌△BFA≌△DHC，∴DH=AE=BF，AF=DE=CH，∴DE﹣DH=AF﹣AE，∴EF=EH，∴矩形EFGH是正方形；（3）解：∵AB=2，BP=1，∴AP=，∵S△ABP=×BF×AP=×BF×=1×2×，∴BF=，∵∠BAF=∠PAB，∠AFB=∠ABP=90°，∴△ABF∽△APB，∴==，∴AF=，2。
初三数学复习 特殊平行四边形 专题练习含答案
特殊平行四边形1. 下列命题中，正确的是( )A. 对角线相等的四边形是菱形B. 对角线相互垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是菱形D. 对角线相互垂直的的平行四边形是菱形2. 下列性质中，句型具有而菱形不一定具有的是( )A. 对角线相等B. 对角线相互平行C. 对角线相互垂直D. 邻边互相垂直3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝8，则CD的长是( )A．6 B．5 C．4 D．35．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )A．30° B．60° C．90° D．120°6．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( ) ①AC＝5 ②∠A＋∠C＝180°③AC⊥BD④AC＝BDA．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是( )A. 3 B．2 C．2 3 D．48．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )A．2 B．3 C．2 3 D. 39. 下列说法不正确的是( )A. 对角线相互垂直的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 有一个角是直角的平行四边形的是正方形D. 一组邻边相等的矩形是正方形10. 若矩形ABCD的两邻边长分别是1,2，则其对角线BD的长是( )A. 3B. 3C. 5D. 2 511. 如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( )A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD12. 如图，四边形ABCD和DEFG是两个边长相等的正方形，连接CE.若∠ADG ＝150°，则∠DCE＝ .13. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件：或，使得平行四边形ABCD为菱形．14．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为．15. 平行四边形ABCD的对角线相较于点O,若AB=5,AC=6,BD=8,则平行四边形ABCD是．16. 若一个菱形的一条边长为4cm,则这个菱形的周长是 cm.17. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,则AC BD,OA OB.(等于；不等于)18. 如图，△ABC中，∠ACB=90°,∠B=55°,D是斜边AB的中点，那么∠ACB=19．如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，在四边形ABCD中，若AB＝8，∠ABC ＝60°，则AC＝．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°，其中正确的序号有 .21．菱形AOBC如图放置，A(3，4)，先将菱形向左平移9个单位长度，再向下平移1个单位，然后沿x轴翻折，最后绕坐标轴原点O旋转90°得到点C的对应点为点P，则点P的坐标为．22. 若某正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是．23. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.24. 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为点F.(1)求证：DF＝AB；(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD.25. 如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F点左侧)，BE∥DF.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．26. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED.求证：EF⊥BD.27. 如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为92，求正方形的边长．28. 如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ 于点P.(1)求证：AP＝BQ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．29．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．30. 如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．答案：1---11 DACCB BAACC C 12. 75°13. AD ＝DC AC⊥BD 14. 5 15. 菱形 16. 1617. 等于 等于 18. 35° 19. 820. ① ② ③ ④ 21. (－3，1)或(3，－1) 22. 823. 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD＝DC ，又∵E，F 为CD ，AD 的中点，∴DF＝12AD ，DE ＝12DC ，∴DF＝DE.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF(SAS)．24. (1)证明：在矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB.又∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B.又∵AD＝EA ，∴△ADF≌△EAB(AAS)，∴DF＝AB. (2)解：∵∠DAF＋∠ADF＝90°，∠FDC＋∠ADF＝90°， ∴∠DAF＝∠FDC＝30°，∴AD＝2DF.又∵DF＝AB ＝4， ∴AD＝2AB ＝2×4＝8.25. (1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB＝OD.由BE∥DF 得∠BEO＝∠DFO. 又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF ，又∵BE∥DF，∴四边形BEDF 是平行四边形； (2)解：∵AB⊥A C ，AB ＝4，BC ＝213， ∴AC＝6，∴AO＝3，∴在Rt△BAO 中，BO ＝5. ∵四边形BEDF 是矩形，∴OE＝OB ＝5. ∴点E 在OA 的延长线上，∴AE＝2. 26. 证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴△ABC 和△ADC 都是直角三角形． 又∵E 是AC 的中点，∴BE＝DE ＝12AC.又∵EF 平分∠BED，∴EF⊥BD. 27. 解：设正方形的边长为x.∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴AC＝2x ，∴AE＝2x ，CB ＝x ， ∴S 菱形AEFC ＝AE·CB＝2x·x＝2x 2＝92，解得x ＝±3，依题意舍去x ＝－3，即正方形的边长为3. 28. (1)证明：∵正方形ABCD ，∴AD＝BA ，∠BAD＝90 °， 即∠BAQ＋∠DAP＝90 °.∵DP⊥AQ，∴∠ADP＋∠DAP＝90 °，∴∠BAQ＝∠ADP.∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P，∴∠AQB＝∠DPA＝90 °，∴△AQB≌△DPA(AAS)，∴AP＝BQ；(2)解：①AQ－AP＝PQ；②AQ－BQ＝PQ；③DP－AP＝PQ；④DP－BQ＝PQ.29. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.∵点E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)；(2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．理由如下：由(1)得AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形．30. (1)证明：如图①，在▱ABCD中，∵∠D＝60 °，∠DAB＝∠1＋∠2＝120 °.由题意知△ADE≌△AD′E，∴∠1＝∠2＝∠D＝60 °，∴△DEA和△AD′E是等边三角形，∴DE＝AD′＝AD＝ED′＝1.∵AB＝2，∴D′B＝1.同理EC＝1，∴EC＝D′B＝ED′＝1.∵四边形ABCD是平行四边形，∴EC∥D′B，∴四边形D′BCE是平行四边形．又∵D′B＝ED′，∴▱BCED′是菱形；①②(2) 解：如图②，BD 的长即为所求，作DG⊥BA 的延长线于点G. ∵∠DAB＝120 °，∴∠DAG＝60 °，∵∠G＝90 °，∴∠ADG＝30 °. 在Rt△ADG 中，∵AD＝1，∴AG＝12，DG ＝32.∵AB＝2，∴BG＝52.在Rt△BDG 中，BD 2＝BG 2＋DG 2＝7，∴BD＝7，即PD′＋PB ＝7.。
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4.6 特殊的平行四边形一、历年安徽中考：1.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABC D ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（）A.29B.34C.52D.412.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A.25B.35C.5D.63.矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC 。
若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为。
4.如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰好落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABC =23S △FGH ；④AG+DF=FG 。
其中正确的是。
（把所有正确结论的序号都选上）二、历年全国中考：1.如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG=60°，GE=2BG ，则折痕EF 的长为（）A.1B.3C.2D.232.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB。
添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE3.如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为。
4.如图，矩形ABCD中，对角线AC=23，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD 沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B’处，则AB= 。
5.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形。
（1）若△PCD 是等腰三角形，求AP 的长；（2）若AP=2，求CF 的长。
6.在矩形ABCD 中，已知AD>AB ，在边AD 上取点E ，使AE=AB ，连接CE ，过点E 作EF ⊥CE ，与边AB 或其延长线交于点F 。
猜想：如图①，当点F 在边AB 上时，线段AF 与DE 的大小关系为。
探究：如图②，当点F 在边AB 的延长线上时，EF 与边BC 交于点G ，判断线段AF 与DE 的大小关系，并加以证明。
应用：如图②，若AB=2，AD=5，利用探究得到的结论，求线段BG 的长。
7.如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →D →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B 。
图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x(s)变化的关系图象，则a 的值为（）A.5B.2C.25D.258.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF 。
若EF=2，BD=2，则菱形ABCD 的面积为（）A.22B.42C.62D.829.如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是（）A.43B.33C.23 D.310.如图，在菱形ABCD 中，tanA=34，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，CN BN的值为。
11.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，点B 的对称点是点G ，且点G 在边AD 上，若EG ⊥AC ，AB=62，则FG 的长为。
12.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB=AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE 。
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AB=5，BD=2，求OE 的长。
13.如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE 。
（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长。
14.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F。
（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积。
15.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等腰AP+EP最小值的是（）A.ABB.DEC.BDD.AF16.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M’、N’，则图中的全等三角形共有（）A.2对B.3对C.4对D.5对17.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为。
18.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点，若△CEF的周长为18，则OF的长为。
19.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 度。
20.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC。
（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2:3,求证：四边形ABCD是正方形。
21.如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE。
（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC并给予证明；（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断。
三、模拟题：1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，以BC为斜边的在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（）A.273B.4C.5D.292.如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=3，过点A ，C 作距离为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则线段DE 的长是（）A.5B.613C.1D.653.在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，点E 是边CD 上一点，DE=2，点P 、Q 分别是AD 、AC 上的动点。
（1）当EP ∥AC ，PE ⊥PQ 时，求PQ 的长；（2）求PE+PQ 的最小值。
4.如图，矩形ABCD 中，AD=5，AB=10，分别以AD 、BC 为斜边向矩形外作Rt △ADF ≌Rt △CBE ，延长FA 、EB 交于点G 。
（1）求证：△ADF ∽△BAG ；（2）连接EF ，若DF=4，求EF 的长。
5.如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴正半轴上，sin ∠AOB=54，反比例函数y=x 12在第一象限的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于（）A.10 B.9 C.8 D.66.如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，则四边形ABCD 需满足的条件是（）A.AB=ADB.AC=BDC.AD=BCD.AB=CD7.如图，在△ABC 中，AB=102，∠BAC=60°，∠B=45°，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，以AD 为直径作⊙O 交边AB 、AC 于点E 、F ，连接OE 、OF 、DE 、DF 、EF 。
（1）求OE EF的值；（2）当点D 运动到什么位置时，四边形OEDF 正好是菱形？请说明理由；（3）点D 运动过程中，线段EF 的最小值为（直接写出结果）8.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE ，连接BF ，CE 。
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由。
9.阅读材料：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是AB边上的一点，过点M分别作ME∥BD，MF∥AC交直线AC、BD于点E、F，显然四边形OEMF是平行四边形。
探究发现：（1）当对角线AC，BD满足时，四边形OEMF是矩形；（2）如图②，若四边形ABCD是矩形，且M是AB的中点，判断四边形OEMF是什么特殊的平行四边形，并写出证明过程；拓展延伸：（3）如图③，在四边形ABCD为矩形的条件下，若点M是边AB延长线上的一点，此时OA，ME，MF三条线段时间存在怎样的数量关系？并说明理由。
10.如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当∠BED=126°时，∠EDA的度数为（）A.54°B.27°C.36°D.18°11.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF 的中点，则CH的长是（）A.2.5B.5C.223D.212.如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ，如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ，若AD=2，则MN= 。
13.如图1，将一边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的矩形CEFD 拼在一起，构成一个大的矩形ABEF ，现将小矩形CEFD 绕点C 顺时针旋转，得到矩形CE ’F ’D ’，旋转角为α。
（1）当点D ’恰好落在边EF 上时，求旋转角α的值；（2）如图2，G 为BC 的中点，且0<α<90°，求证：GD ’=E ’D ；（3）小矩形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD ’与△CBD ’能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由。