浙江省第二届高等数学竞赛试题

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11

10

det d d =⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=， v u u v u u u y x y x x y

y x D D d d 1ln ln d d 1)

1ln()(⎰⎰⎰⎰--=

--++

⎰⎰⎰⎰----=---=10

2

1

00

0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (

u u

u u u u u u u u v v u

u

v u u u u u ⎰

-=1

2

d 1u u

u （*）令u t -=1，则21t u -=

dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

⎰+--=0

1

42d )21(2(*)t

t t

⎰

+-=10

42d )21(2t t t 1516513

2

21

053=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

解: 令⎰

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看

一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11

10

det d d =⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=， ⎰

-=1

2

d 1u u

u （*）令u t -=1，则21t u -=

dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，

2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰

--

=20

22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.

解: 令⎰

=

20

d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，

A A x A x A 24)2(28d )23(20

2-=+-=--=

⎰

,

解得34=

A 。因此3

103)(2-=x x f 。 3．曲面22

22

-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222

-+=y x z 在)

,(00y x 处

的

法

向

量

为

)

1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11

高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题

1．计算

{}

2222

,max 0

a

b

b x a y

dx e

dy ⎰

⎰，（a>0，b>0）

解：原积分=

22

220

00b

a

x a

b

a

b y b x a y b x a y a b

b x

a b dx e

dy dx e

dy xe dx dy e dx a

+=+⎰

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

=2222

22111(1)(1)(1)22a b a b a b e e e ab ab ab

-+-=-

2. 设幂级数

n

n n a x

∞

=∑的系数满足02a =，11n n na a n -=+-，n=1，2，3…，求此幂级数的

和函数()s x 。

解：0

(),n n

n s x a x +∞==

∑则1

1

111

1

'()(1)n n n n

n n n n s x na x

a x

n x +∞

+∞

----=====+-∑∑∑

12

()(1)()(1)n n x

s x n x s x x +∞

+==+

+=+

-∑

即2

'()()(1)

x

s x s x x =+

-，且(0)2o s a == 解方程1()1x

s x ce x =+

- 由(0)1s =⇒1()1x

s x e x

=+- 3. 已知()f x 二阶可导，且()0f x >，[]2

''()()'()0f x f x f x -≥，x R ∈ （1）证明 2

12

12()()(

)2

x x f x f x f +≥， 12,x x R ∀∈ （2）若(0)1f =，证明'(0)(),f x

f x e x R ≥∈

证明：（1）记()ln ()g x f x = 则'()

2020年浙江省高中数学竞赛试题及答案

2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线()(

)2

2

20x y a x y

++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（）

．（A ） 0a = （B ）1a = （C ）1a =- （D ）a R ∈

答案：（A ）解若0a =，则曲线()(

)2

2

20x y a x y

++-=表示曲线是三条交于原点的直线．

反之，由于直线y x =和直线y x =-交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线20x y a ++=过原点，即0.a =

2.函数()2

34sin sin 2sin cos 22x x f x x x ⎛

⎫=-+- ⎪⎝

⎭的最小正周期为（）．

（A ）2π （B ）2

π

（C ）23π （D ）π

答案：（C ）

解化简得，()sin32f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为

.3

π

2 3.设双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为

4

π的直线与双曲线的一个交点．若△12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）．

（A （B 1 （C （D 1 答案；(D)

解因为122AF AF a -=，要使△12F F A 为等腰直角三角形，则A 必在双曲线的左支上，且212AF F F =2c =，从而122AF a c =+，由勾股定理得()

()

()2

2

222.a c c +=解得

1.c

a

= 4.已知正三棱锥S -ABC ，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（）

2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题2与参考答案

2014年浙江省高中数学竞赛模拟试题(二)

一、选择题（每小题5分，共50分） 1．方程26130x x ++=的一个根是 A ．32i -+ B ．32i +

C ．23i -+

D ．23i +

2．若tan θ+1

tan θ =4,则sin2θ=

A ．15 B. 14 C. 13 D. 12

3．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为 A ．

8π3 B ．3π C ．10π3

D ．6π 4．等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则100

11

1

i i i a a =+=∑ A ．

100101 B ．99101

C ．99100

D ．101

100 5．已知{ a n }为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=

A ．7

B ．5

C ．-5

D ．-7

6．对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆22

2=+y x 的位置关系一定是

A ．相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 7．设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的 A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

A ．2

B ．4

C ．5

D ．10

9．函数2

()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

10．点集{

}

22

1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x

⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩

2023年浙江省大学生高等数学竞赛数学类

浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题

数学类

一、计算题（每题14分，共70分）

1.

2.

3.

.

4.

.

5.

二、（满分20分）

三、（满分20

分）

四、（满分20分）

五、（满分20分）上不一致持续.

2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案

2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案第一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1．若对任意[],2x a a ∈+均有2x a x +≥，则实数a 的取值范围是解：2

2

3

23204602

x a x x ax a a a +≥⇔--≤⇒+≤⇒≤-． 2

．已知(

)

220x y ≥>，则x y +的最小值为

解：(

221212x x x y y y

⎫≥⇒+≥⇒≥⎪⎪⎭（利用函数单调性） 1

2x y y y

+≥

+≥，等号当且仅当1x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为2． 3．用[]x 表示不超过x 的最大整数.

则21

1sin ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣等于

解：2

2110sin

20142014sin

<<⇒>，

2

22

111tan 12015112014sin tan >⇒=+<

，所以2120141sin ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎢⎣．

4．已知()()()()()21,,()21n n f

x f x f x f x f x f f x x ===+ 个则12n f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭ 解：1

2

222

1

1111111111121n n

n n n n n f

f f f f f x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

⇒+=+==+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，所以2132n n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．在正方体1111ABCD A BC D -中，已知棱长为1，点E 在11A D 上，点F 在CD 上，112,2A E ED DF FC ==.

则三棱锥1B FEC -的体积为

解：如图，作111FF C D ⊥,连接11B F 交1EC 于点

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令，则，，

（*）

令，则

，，，

2．设是连续函数，且满足, 则____________.

解: 令，则，

,

解得。因此。

3．曲面平行平面的切平面方程是__________.

解: 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知，

即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面

的切平面方程是。

4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.

解: 方程的两边对求导，得

因，故，即，因此

二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.

解 :因

故

因此

三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.

解 : 由和函数连续知，

因，故，

因此，当时，，故

当时，

，

这表明在处连续.

四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：

（1）；

（2）.

证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知

（1）

而关于和是对称的，即知

因此

（2）因

故

由

知

即

五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程

的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程

的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是

因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和

2019-5-26-2019年浙江省高等数学(工科、经管、数学、文专)竞赛试题

2019浙江省高等数学（微积分）竞赛试题

工科类

一、计算题：（每小题1４分，满分７0分）

1．求极限π1lim tan ()4n n n

→∞+. 2．求不定积分

22sin 2d (cos sin )x x x x x x +-⎰. 3．求定积分π20cos(sin )cos d x x x ⎰.

4．如图，将一根铁丝折成两部分，一部分围成一个矩形ABED 的三条边AD 、DE 、EB ，另一部分围成一个半圆ACB ，矩形和半圆的面积之和为1，求铁丝长度的最小值。

5．定义在[1,1]-上的函数11111, ()2220 , 10

n n n x f x x ++⎧<≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩，讨论()f x 间断点，并判断其

类型。

二、（满分20分）求积分322(521)d d D y x y x y x y ++-++⎰⎰，

22:1(1)4D x y ≤-+≤ 且 221x y +≤.

三、（满分20分）讨论级数2(1)(1)n p n n n +∞

=-+-∑的收敛性，其中0p >. 四、（满分20分）设由方程222() (*)x y z f x y z ++=++确定函数(,)z z x y =,

1)计算()()z z y z z x x y

∂∂-+-∂∂， 2)如果以(,,)n a b c =为法向量的平面与（*）交为圆，求此法向量。五、（满分20分）设()f x 在[0,1]上有连续的导函数，证明：121lim []2n n k k k f f n n →∞=-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1((1)(0))2f f =-.

浙江省高等数学(微积分)竞赛试题及参考答案7

1

浙江省高等数学（微积分）竞赛试题及参考答案

（文专类）

一、计算题（每小题12分，满分60分）

1.求极限2

1

lim sin

n

n i i i n

n

π→∞=∑ 2

．计算不定积分

3．设2

100

()(tan

1)[(tan

2)(tan

100)]4

4

x x x f x πππ=---，求(1)f '

4．设cot cos 2sin x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

，(0,)t π∈，求此曲线的拐点

5．已知极限2

1

2

lim()1x x x e ax bx →++=，求常数的值,a b

二、（满分20分）设(0)0,0()1f f x '=<<，证明：当0x >时，230

(())()x

x

f t dt f t dt >⎰

⎰

三、（满分20分）设2

1

()||t g x x t e dt -=-⎰

，求()g x 的最小值四、（满分20分）2220

sin (sin )x

x V e

xdx e x dx π

π

ππ

π--=+-⎰

⎰

2220

(cos 2sin )(cos 2sin )

5

x x e x x e x x π

π

--=-

++

+=

22(1)5

e ππ

-+

五、（满分15分）设()F t 20

ln(12cos )t x t dx π

=

-+⎰

，证明：

（1）()F t 为偶函数；（2）2

()2()F t F t =

六、（满分15分）设f 为连续函数，且0()1f x ≤≤，证明在[0,1][上方程0

2()1

x

x f t dt -=⎰

有唯一解

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算=--++⎰⎰y x y

x x y

y x D

d d 1)

1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.

解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11

浙江省高中数学竞赛试卷详解

一、试卷概述

本次浙江省高中数学竞赛旨在考查学生对数学基础知识的掌握程度，以及运用数学知识解决实际问题的能力。试卷总分为150分，考试时间为3小时。

二、试题特点

1、注重基础：试卷中大部分题目涉及的都是高中数学的基础知识，如代数、几何、概率等。

2、突出能力：部分题目难度较大，需要学生具备一定的数学思维能力、空间想象能力和问题解决能力。

3、实际：试卷中的部分题目与实际问题相结合，考查学生的数学应用能力。

三、详细解析

1、选择题部分

选择题共10题，每题3分，总计30分。其中，前8题为基础题，考

察学生对数学基础知识的掌握程度；第9、10题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。

例1：设a、b为实数，且满足a + b = 2，则a2 + ab + b2的最小值为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

解析：本题考查代数式的求值，需要学生运用基本不等式进行计算。根据题意，我们有

a+b=2，需要求

a2+ab+b2的最小值。利用基本不等式，可以得到

a2+ab+b2⩾(a+b)2−ab=4−ab。又因为

ab⩽(

2

a+b

2

1，所以

a2+ab+b2⩾4−1=3。因此，本题答案为B. 3。

2、填空题部分

填空题共5题，每题4分，总计20分。其中，前3题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第4、5题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。

例2：设函数f(x) = x2 + ax + b(a、b为实数)，且f(f(f(x))) = x3 + ax2 + bx + 2b。若f(1) = 1，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。