§1.1.1变化率问题

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1.1.1 变化率问题

A．两机关节能效果一样好 B．A 机关比 B 机关节能效果好 C．A 机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比 B 机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A 机关与 B 机关自节能以来用电量总是一样大
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
【解析】由题图可知，A 机关所对应的图像比较陡峭，B 机关所对应的图像比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于 0，故一定有 A 机关比 B 机关节能效果好．故选 B 项．
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
第一章导数及其应用
第1页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
第2页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
要点 1 平均变化率
函数
y＝f(x)从
x1
到
x2
的平均变化率为Δy＝f（x2）－f（x1）．
Δx
x2－x1
第3页
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
探究 2 物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内的平均变化率即为物体在这段时间内的平均速度．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
思考题 2 一质点作直线运动其位移 s 与时间 t 的关系 s(t) ＝t2＋1，该质点在[2，2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于 5，求 Δt 的取值范围．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
思考题 1 求函数 f(x)＝x3 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变
化率．【解析】函数 f(x)＝x3 在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
f（x0＋Δx）－f（x0）（x0＋Δx）3－x03

1.1.1变化率问题与导数概念

2004年雅典奥运会
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度究怎样表示？？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度，由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观察？
当△t趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。
从物理的角度看：时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2

1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1

x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，

1[1].1.1变化率问题

2
65 探究计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速度描述运动员运动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像，结合图形可知， h( ) h(0) ， 49 所以， h
65 探究 : 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度 49 并思考下面的问题 :
,
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问
题吗 ?
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合 65 图形可知： h( ) h(0)
题型三：平均变化率的应用例3：试比较正弦函数y=sinx在x=0和 x 附近的平均变化率哪一个大？

2
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( A.3 )D
B 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx
第一章导数及其应用
1.1.1 变化率问题
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
r 1 r 0 0.62cm ,

第一章1.1-1.1.1变化率问题

第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题A级基础巩固一、选择题1．已知函数y＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为() A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44解析：Δy＝(2＋0.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.答案：B2．在求函数的平均变化率时，自变量的增量Δx应满足条件()A．Δx>0 B．Δx<0C．Δx＝0 D．Δx≠0解析：Δx是指函数的自变量在某一点处的变化量，可以是增大量，也可以是减小量，但不能为0，故选D.答案：D3．一运动物体的运动路程s(t)与时间x的函数关系为s(t)＝－t2＋2t，则s(t)从2到2＋Δt的平均速度为()A．2－Δt B．－2－ΔtC．2＋Δt D．(Δt)2－2Δt解析：因为s(2)＝－22＋2×2＝0，所以s(2＋Δt)＝－(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＝－2Δt－(Δt)2，所以s （2＋Δt ）－s （2）2＋Δt －2＝－2－Δt . 答案：B4．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a ＝( )A ．－3B ．2C ．3D ．－2解析：根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝（2a ＋b ）－（a ＋b ）2－1＝a ＝3. 答案：C5．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx＝( ) A ．4B ．4＋2(Δx )2C ．4＋2ΔxD ．4x解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2×(Δx )2＋4×Δx ，所以Δy Δx＝2Δx ＋4. 答案：C二、填空题6．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．解析：Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx＝－29. 答案：－297．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：因为Δx ＝1，所以2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.所以k AB ＝Δy Δx＝－16. 答案：－168．函数y ＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为________．解析：因为Δy ＝1（x 0＋Δx ）2－1x 20，所以y ＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率0为 Δy Δx ＝1（x 0＋Δx ）2－1x 20Δx ＝－2x 0＋Δx （x 0＋Δx ）2x 20. 答案：－2x 0＋Δx （x 0＋Δx ）2x 20三、解答题9．求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝（1＋Δx ）2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝（2＋Δx ）2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f （3＋Δx ）－f （3）Δx ＝（3＋Δx ）2－32Δx＝6＋Δx . 当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133， k 3＝6＋13＝193. 由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．10．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2，2＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2，2＋Δx ]上的平均变化率为：Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝－（2＋Δx ）2＋（2＋Δx ）－（－4＋2）Δx＝－4Δx ＋Δx －（Δx ）2Δx＝－3－Δx ，所以由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，所以Δx 的取值范围是(0，＋∞)．B 级能力提升1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y＝x 3、④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．①解析：Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.所以k 3＞k 2＞k 1＞k 4.答案：B2．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析：ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0)＝3(q 0＋10)2＋10－(3q 20＋10)＝3(q 20＋20q 0＋100)－3q 20＝60q 0＋300.答案：60q 0＋3003．已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解：自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f （2）－f （1）2－1＝2＋12－（1＋1）1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f （5）－f （3）5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415. 因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．。

教学设计5：1.1.1变化率问题

说教学设计《平均变化率》大家好，我说课的题目是《平均变化率》，我将从教材、目标、教法、教学过程和评价反馈分析五个方面进行陈述。

一、教材分析《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。

新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式。

而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法，分别从代数上的减小区间长度,使区间长度逼近于一个点和几何上的减小割线两点间的距离,使割线逐渐逼近于切线,这两个数形结合的角度定义导数.这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，最重要的是能够突出了导数概念的本质。

而我今天说课的内容《平均变化率》又是《导数及其应用》的第一课时，对下一步瞬时变化率和导数概念的形成起到重要的奠基作用。

二、目标分析在讲课的过程中，我们要让学生有一个经历、体会、运用、感受的过程。

于是，我将本堂课的教学目标定为：（1）知识与技能目标要求学生能通过大量实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

（2）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；（3）情感、态度、价值观感受数学模型在刻画客观世界中的作用，进一步领会变量数学的思想方法，提高能力。

根据课标要求，结合实际情况，我确定平均变化率的概念及其形成过程为教学重点，通过实例理解平均变化率的实际意义和数学意义是本节课的难点。

三、教法分析启发式教学与探究式学习相结合。

通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。

课件8：1.1.1 变化率问题

变式练习 2．自由落体运动的方程是 s＝12gt2(g＝9.8 m/s2)，
求物体在 t＝3 s 时刻的速度．
解：ΔΔst ＝12g(3＋ΔtΔ) t2－12g×32 ＝12g(6＋Δt)，当 Δt→0 时，ΔΔst→3g，∴v＝3g＝29.4(m/s)．
课堂总结变化率问题来源于现实生活中的实际问题．平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称．
2．已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直
线AB的斜率kAB＝___yx_22_－－__yx11_(_x_1≠__x_2)_____． 3 ．圆的方程是 x2 ＋ y2 ＝ 1 ，则过 (0,1) 点的切线方程是 __y_＝__1___. 4．某物体位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝ 2t2，那么2秒内的平均速度是__4_m__/s__.
解：由题图知，在相同的时间 Δt 内，两人走过的路程在 t0 处 s1(t0)＝s2(t0)，
但s1(t0)－Δs1t(t0－Δt)≤s2(t0)－Δs2t(t0－Δt)，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度快．因此，在图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度快．
方法点评：欲比较两人的速度，其实就是比较两人路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．
【答案】C
2．已知函数 f(x)＝2x2－1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋
Δx，f(1＋Δx))，则ΔΔyx等于( )
A．4
B．4＋2Δx
C．4＋2Δx2
D．4Δx
【答案】B

1.1.1变化率问题、1.1.2导数的概念

趋近于常数,我们把这个常数
称为t0时刻的瞬时速度
第1讲描述运动第的一基章本概念导数及其应用
3 |平均变化率的几何意义
设A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))是曲线y= f(x)上任意不同的两点,平均变化率ΔΔyx = f (x2 )-f (x1) 为割线AB的⑦ 斜率 .
x2 -x1
Δx 0
2Δx
=2f'(x0)=8,
故选D.
第1讲描述运动第的一基章本概念导数及其应用
2 | 求函数在某一点处的导数的方法与技巧求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤,简称:一差、二比、三极限.
第1讲描述运动第的一基章本概念导数及其应用
(★★☆)已知f(x)=x- a ,若 f'(1)=2,求a的值.
x
解析 ∴ Δy
=
∵Δy=(1+Δx)-
1 Δx aΔx
1 Δx =1+
a Δx
a
- 1,
a 1
=Δx+a-
1
a Δx
=Δx+a-
a(1 1
Δx)-aΔx Δx
=Δx+
aΔx 1 Δx
∴
f'(1)=
lim
Δx 0
Δy Δx
=
lim
Δx 0
1
1
a Δx
=1+a=2,
∴a=1.
Δy Δx
存在.
第1讲描述运动第的一基章本概念导数及其应用
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕”. 1.Δx趋近于0表示Δx=0. ( ✕ )
提示:Δx趋近于0,即Δx无限小,但不等于零,否则 ΔΔyx无意义.

课件10：1.1.1 变化率问题

f(x1)
A
x2-x1=△x x
O
x1
x2
小试牛刀
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点
B(-1+Δx,-2+Δy),则
y x
=(
D
)
A．3
B．3Δx-(Δx)2
C．3-(Δx)2
D．3-Δx
2.求y=x2在x=x0附近的平均速度.
2x0+Δx
练习：物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 V (r) 4 r3
3
如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r(V ) 3 3V 4
我们来分析一下： r(V ) 3 3V
4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的
h
平均速度粗略地描述其运动状态?
o
t
平均变化率定义:Байду номын сангаас
上述问题中的变化率可用式子 f x2 f x1 表示
x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)，则平均变化率为
y x
f
x2 f x1

课件5：1.1.1 变化率问题

2．设函数 y＝f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时，
函数值的改变量 Δy＝ ( D )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【解析】函数值的改变量Δy是表示函数y＝f(x)在x ＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝ f(x0＋Δx)－f(x0)．
3．函数平均变化率的定义已知函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变化到fxx22时－，fx函1 数值从 f(x1)变化到 f(x2)，则当 x1≠x2 时，比值____x2_－__x1_____为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率．习惯上用 Δx 表示 x2－x1，用___x_1_＋__Δ_x____代替 x2；类似地，Δ__y＝__f_(_x_2)_－__f_(x_1_)，于是平均变化率可以表示为ΔΔyx.
3．已知函数 f(x)＝2x2－4 的图象上两点 A，B，且 xA＝1，
xB＝1.1，则函数 f(x)从 A 点到 B 点的平均变化率为 ( C )
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
【解析】
f(1.1)－f(1) 1.1－1
＝(2×1.12－40).－1 (2×12－4)＝00..412＝4.2，
又∵Δx<0，∴k1－k2＞0，即 k1＞k2.
规律总结比较函数平均变化率的大小，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较．
跟踪练习 2 已知函数 f(x)＝3x2＋2，求 f(x)在 x0＝1,2,3 附近 Δx＝12时的平均变化率 k1，k2，k3，并比较其大小．
这就是函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的平均变化率，所以函数的平均变化率表示连接函数 y＝f(x)图象上两点割线的斜率．

课件8：1.1.1 变化率问题~1.1.2 导数的概念

刻画函数在某一点处变化的快慢
点睛 “Δx无限趋近于0”的含义 Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
3．导数的概念
定义式
li m
Δx→0
ΔΔyx＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
记法实质
f′(x0) 或 y′|x＝x0 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x) 在 x＝x0 处的瞬时变化率
均速度为( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
【答案】A
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1， xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为
()
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
【答案】C
4．在 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为 ( )
题型二求瞬时速度典例一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
解：(1)当 t＝0 时的速度为初速度．在 0 时刻取一时间段 [0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02) ＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－Δt(Δt)2＝3－Δt，Δlxi→m0 ΔΔst＝Δlxi→m0 (3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
点睛 Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

1.1.1变化率问题、1.1.2导数的概念

第一章导数及其应用1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念基础过关练题组一平均变化率1.(2019北师大附中高二期中)函数y=2x 在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为( )A.x 0+ΔxB.1+ΔxC.2+ΔxD.22.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考)若函数f(x)=x 2+x,则函数f(x)从x=-1到x=2的平均变化率为( ) A.0 B.2 C.3 D.63.(2019陕西黄陵中学高二期末)如图,函数y=f(x)在A,B 两点间的平均变化率等于( )A.-1B.1C.-2D.2题组二瞬时变化率与导数 4.若函数f(x)在x 0处可导,则lim ℎ→0f (x 0+h )-f (x 0)ℎ的结果( )A.与x 0,h 均无关B.仅与x 0有关,而与h 无关C.仅与h 有关,而与x 0无关D.与x 0,h 均有关5.(2019贵州铜仁一中高二期中)设函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=3,则limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =( )A.-1B.-3C.3D.1 6.已知f'(x)=√2x -12(1-12lnx )2x,则limΔx →0f (12)-f (12+Δx )Δx=( )A.-2-ln 2B.-2+ln 2C.2-ln 2D.2+ln 27.(2019吉林延边二中高二期末)设函数f(x)在x=1处存在导数,则lim Δx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=( )A.13f'(1) B.f'(1) C.3f'(1) D.f'(3)题组三平均速度与瞬时速度8.若质点运动满足s(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3内,质点运动的平均速度为( )A.6.3B.36.3C.3.3D.9.39.若质点运动满足s=12gt2,则时间(单位:s)在区间(3,3+Δt)内的平均速度等于m/s.(g=10 m/s2)10.一物体的运动方程为s=7t2+8,则该物体在t= 时的瞬时速度为1.11.一辆汽车运动的速度为v(t)=t2-2,则该汽车在t=3时的加速度为.12.一个做直线运动的物体,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=3t-t2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度;(3)求t=0 s到t=2 s时的平均速度.题组四用定义求函数在某点处的导数13.若函数f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数是8,则x0= .14.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .15.函数y=2+1在x=0处的导数为.能力提升练一、选择题1.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)设f(x)是可导函数,且limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=2,则f'(x0)=( )A.2B.-1C.1D.-22.(2019重庆高二月考,★★☆)已知函数y=f(x)是可导函数,且f'(1)=2,则lim Δx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=( )A.12B.2C.1D.-13.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x0处的导数为k,则limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)ℎ=( )A.kB.-kC.3kD.-3k二、填空题4.(2019陕西宝鸡高二期末,★★☆)设函数f(x)可导,若limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=1,则f'(1)= .5.(2019广东广州高二期末,★★☆)若f'(1)=a,则limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx= .6.(★★☆)如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为;(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为.三、解答题7.(★★☆)某一运动物体,在x s时离开出发点的距离(单位:m)是f(x)=23x3+x2+2x.(1)求在第1 s内的平均速度;(2)求在1 s末的瞬时速度;(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s?8.(★★☆)求函数y=sin x在区间[0,π6]和[π3,π2]上的平均变化率,并比较它们的大小.9.(★★☆)在某赛车比赛中,赛车位移与比赛时间t存在函数关系s(t)=10t+5t2(s 的单位为m,t的单位为s).求:(1)t=20 s,Δt=0.1 s时的Δs与ΔsΔt;(2)t=20 s时的瞬时速度.10.(★★☆)若一物体运动方程如下: s={3t 2+2(t ≥3),29+3(t -3)2(0≤t <3),其中位移s 的单位:m,时间t 的单位:s.求: (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度;(3)物体在t=1时的瞬时速度.答案全解全析基础过关练1.D 由题意,可得平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2(x 0+Δx )-2x 0Δx=2,故选D.2.B 函数f(x)=x 2+x 从x=-1到x=2的增量为Δy=f(2)-f(-1)=6,故平均变化率为Δy Δx =62-(-1)=2,故选B.3.A 易知f(1)=3, f(3)=1,因此平均变化率为f (3)-f (1)3-1=-1,故选A.4.B limℎ→0f (x 0+h )-f (x 0)ℎ=f'(x 0),故结果仅与x 0有关,而与h 无关. 5.C lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =f'(1)=3,故选C.6.A lim Δx →0f(12)-f(12+Δx)Δx=-f'(12)=-2+ln22×12=-2-ln 2,故选A.7.A limΔx →0f (1+Δx )-f (1)3Δx=13·limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=13f'(1).8.A s(3)=12,s(3.3)=13.89,∴平均速度v =s (3.3)-s (3)3.3-3=1.890.3=6.3,故选A.9.答案 (30+5Δt)解析 Δs=12g ×(3+Δt)2-12g ×32=12×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,则v =ΔsΔt=30+5Δt.10.答案114解析设该物体在t 0时的瞬时速度为1,由题意可得Δs Δt=7(t 0+Δt )2+8-(7t 02+8)Δt =7Δt+14t 0,故limΔt →0ΔsΔt =lim Δt →0(7Δt+14t 0)=14t 0,令14t 0=1,可得t 0=114,即在t=114时的瞬时速度为1. 11.答案 6 解析Δv Δt=(3+Δt )2-2-(32-2)Δt=6+Δt,故limΔt →0ΔvΔt =lim Δt →0(6+Δt)=6,即该汽车在t=3时的加速度为6.12.解析 (1)s (Δt )-s (0)Δt =3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt.当Δt →0时,s (Δt )-s (0)Δt→3,所以此物体的初速度为3 m/s. (2)s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt=-Δt-1. 当Δt →0时,s (2+Δt )-s (2)Δt→-1,所以t=2 s 时的瞬时速度为-1 m/s. (3)v =s (2)-s (0)2=6-4-02=1(m/s).13.答案 1解析根据导数的定义知, f'(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx →02(x 0+Δx )2+4(x 0+Δx )-(2x 02+4x 0)Δx=limΔx →04x 0·Δx+2(Δx )2+4ΔxΔx=lim Δx →0(4x 0+2Δx+4) =4x 0+4=8, 解得x 0=1. 14.答案 2解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=a Δx,ΔyΔx =a,∴limΔx →0ΔyΔx=a,∴f'(1)=a=2.15.答案 0解析 Δy=√(0+Δx )2+1-√0+1=(Δx)2√(Δx)2+1+1 =(Δx)2√(Δx)+1+1,∴ΔyΔx =√(Δx)2+1+1,∴y'x=0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0√(Δx)2+1+1=0.能力提升练一、选择题1.A limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=lim Δx→0f[x0+(-Δx)]-f(x0)-Δx=f'(x0)=2.2.C 由题意可得limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=1 2limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=12f'(1),因为f'(1)=2,所以limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=12×2=1.3.D 由题意,可得limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)ℎ=lim ℎ→0[(-3)×f(x0-3h)-f(x0)-3ℎ]=-3×limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)-3ℎ=-3f'(x0)=-3k,故选D.二、填空题4.答案 3解析因为limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=1,所以13limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=1,即13f'(1)=1,故f'(1)=3.5.答案 2a 解析 lim Δx →0f (1+2Δx )-f (1)Δx=2limΔx →0f (1+2Δx )-f (1)2Δx =2f'(1)=2a.6.答案 (1)12(2)34解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 f (1)-f (-1)1-(-1)=2-12=12.(2)由题中函数f(x)的图象知, f(x)={x+32,-1≤x ≤1,x +1,1<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)-f (0)2-0=3-322=34.三、解答题7.解析 (1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 f (1)-f (0)1-0=113m/s.(2)Δy Δx=f (1+Δx )-f (1)Δx=23(1+Δx )3+(1+Δx )2+2(1+Δx )-113Δx=6+3Δx+23(Δx)2. 当Δx →0时,ΔyΔx →6,所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s. (3)设物体在x 0 s 时的速度为14 m/s, 则Δy Δx=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=23(x 0+Δx )3+(x 0+Δx )2+2(x 0+Δx )-(23x 03+x 02+2x 0)Δx=2x 02+2x 0+2+23(Δx)2+2x 0·Δx+Δx.当Δx →0时,ΔyΔx→2x 02+2x 0+2,令2x 02+2x 0+2=14,解得x 0=2(负值舍去),即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s. 8.解析 y=sin x 在[0,π6]上的平均变化率为sin π6-sin0π6-0=3π,在[π3,π2]上的平均变化率为sin π2-sinπ3π2-π3=3(2-√3)π.因为2-√3<1,所以3π>3(2-√3)π,故函数y=sin x 在[0,π6]上的平均变化率较大. 9.解析 (1)Δs=s(20+Δt)-s(20)=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05(m),Δs Δt=21.050.1=210.5(m/s).(2)Δs Δt=10(20+Δt )+5(20+Δt )2-(10×20+5×202)Δt=5(Δt )2+210ΔtΔt=5Δt+210,当Δt →0时,Δs Δt→210,即在t=20 s 时的瞬时速度为210 m/s.10.解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt=482=24(m/s).(2)求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵物体在t=0附近的平均变化率为Δs Δt=s (0+Δt )-s (0)Δt=29+3[(0+Δt )-3]2-29-3×(0-3)2Δt=3Δt-18,∴物体在t=0时的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0(3Δt-18)=-18,即物体的初速度为-18m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率. ∵物体在t=1附近的平均变化率为Δs Δt =s(1+Δt)-s(1)Δt=29+3[(1+Δt)-3]2-29-3×(1-3)2Δt=3Δt-12,∴物体在t=1时的瞬时变化率为lim Δt→0ΔsΔt=limΔt→0(3Δt-12)=-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.。

1.1.1变化率问题

主页
§1.1.1 变化率问题
y k2
k1
O A BC x
0 k1 k2 | k1 || k2 |
（越大）
陡峭程度
（越小）
y
k3 k4
OD E F x
k4 k3 0 | k4 || k3 |
（越大）
平均变化率的绝对值
（越小）
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人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系
h(t) 4.9t2 6.5t 10.
主页
§1.1.1 变化率问题
问题2 高台跳水
我们用运动员某段时间内的平均速度v描述其运动状态, 那么
当0 ≤ t ≤ 0.5 时,
v
h(0.5) 0.5
路程
路程
乙
100m
甲
甲
乙
O 图1 t O 图2 t0 t
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§1.1.1 变化率问题
【变式2】国家环保总局对长期超标准排放污物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
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§1.1.1 变化率问题
【1】设函数 y = f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到
x0 x 时,函数的增量 y 等于（ D ）
A． f (x0 x) B． f (x0 ) x
C． f (x0 )x)
D． f (x0 x) f (x0 )
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§1.1.1 变化率问题
求函数y = f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的步骤：

1.1.1变化率问题.ppt1

o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o
t
h(0.5) h(0) 在0 t 0.5这段时间里， v 4.05(m / s) 0.5 0 h(2) h(1) 在1 t 2这段时间里， v 8.2(m / s) 2 1
f ( x ) f(x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x2 x1 x

小结：
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略
1.1变化率与导数
冷水江一中孙祝梧
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
理解： 1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但的 △x值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x

2 1
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小

第一章1.1-1.1.1变化率问题.doc

第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1 变化率问题--------------- 高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1. 已知函数y= x2+1,则在x=2, △ x= 0.1时，△ y的值为()A. 0.40B. 0.41C. 0.43D. 0.44解析：△ y= (2+ 0.1)2+ 1-(22+ 1) = 0.41.答案：B2. 在求函数的平均变化率时，自变量的增量△ x应满足条件( )A. △ x>0B. △ x<0C. △ x= 0D. △ X M 0解析：△x是指函数的自变量在某一点处的变化量，可以是增大量，也可以是减小量，但不能为0,故选D.答案：D3. 一运动物体的运动路程s(t)与时间x的函数关系为s(t) = -12+ 2t,则s(t)从2到2+A t的平均速度为()A . 2 —△tB . —2 —△ tC . 2+ △ tD . (△t)2—2A t解析：因为s(2)= —22+ 2X 2 = 0,所以s(2 +△t) = —(2+A t)2+ 2(2 +△t)=—2A t—( △t)2,7.已知曲线y = X - 1上两点A 2,- j,x ,-殳+厶y ）答案：Bx , "+△ x))，则啓=()B . 4+ 2(△ x)2 D . 4x△ y = f(1 + △ x)- f(1) = 2(1 + △ x)2 — 1-2+ 1 = 2X (△x)2答案: 二、填空题1 16.在x = 2附近，△ x = 4时，函数y =；的平均变化率为2答案：-2所以S （…—S （2）2+A t - 2=-2-4 t.4.如果函数 y = ax + b 在区间［1, 2］上的平均变化率为3,则aB . 2解析：根据平均变化率的定义, 可知;y =(2a + b)-(a + b)△ x=a = 3.答案：C5.已知函数f(x)= 2x 2-1的图象上一点（1, 1）及邻近一点（“+△解析: + 4X △ x ,所以△ 24x + 4.=1 2 -XX△△ x△ x当厶x = 1时，割线AB 的斜率为 ________ ,1 答案：—18 .函数y _乌在x o 到冷+ △ x 之间的平均变化率为 _________ . 1 1 解析：因为△ y _( x o +△ x ) 2- x ，所以y _1在 X o 到/+△ x 之间的平均变化率0为1 1△ y (X o +A x ) x o 2x 0 +△ x△x _△ x _ (X o +A x ) 2x o .答案.——2x o + △ x 答案： (x °+△ x ) 2x 2 三、解答题9.求函数y _f(x)_x 2在x _ 1, 2, 3附近的平均变化率，取△ x 1都为亍，哪一点附近的平均变化率最大？解：在x _ 1附近的平均变化率为f (“ + △ x )— f (1)(“ + △ x ) 2— 1~_ 2+A x ;在x _ 2附近的平均变化率为 k 2 _f (2+A x )一- f ( 2)_ (2+I )2— 22_ 4+A x ;在x _3附近的平均变化率为解析: 因为△ x =1所以 2+A * 3, △=卜 1) 16.所以k AB = △ y __1△ x _ —k 3」(X )-f (3)」3+" 2 3-32 = 6+A x.1 1 7 ■ , 1 13当^ x = 3时，k 1 = 2+ 3= 3, k 2= 4 + 3= 3 ,由于k 1<k 2<k 3，所以在x = 3附近的平均变化率最大.10.若函数f(x)=- x 2+ x 在［2, 2+A x ］( △ x >0)上的平均变化率不大于一1,求4 x 的范围.解：因为函数f(x)在［2, 2+A x ］上的平均变化率为：△ y =f (2+A x )— f (2)△ x △ x—(2+A x ) 2+(2+A x ) — (— 4+ 2)△ x =—"x "「(△ x )2=— 37 x ,所以由一3—A x < — 1,得4 x > — 2. 又因为△ x >0,所以△ x 的取值范围是(0,+乂).B 级能力提升1.在x = 1附近，取△ x =0.3,在四个函数①y = x 、②y = x 2、③y 1=x 3、④y = 中，平均变化率最大的是()A .④B .③C .②D .①解析：△ x = 0.3时，①y = x 在x = 1附近的平均变化率 k 1 = 1; ②y = x 2在x = 1附近的平均变化率 k 2 = 2+A x = 2.3;③y = x 3在x = 1 1附近的平均变化率 k 3= 3+3AX (△ x)2 = 3.99;④y =-在x = 1附近的2 10平均变化率k4 =— 1 +△ x =— 13.所以k 3 > k 2> k 1 > k 4・k3= 6+ A19 3"答案：B2. 设C是成本，q是产量，且C(q)= 3孑+10,若q= q。

1.1.1变化率问题1

气球的平均膨胀率为
r(1) 1
r(0) 0
0.62
(dm
/
L).
类似地，当空气容量V从1L增加到2L时，气球半
径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？
气球半径增加了气球的平均膨胀率为
r(2) r(1) 0.16 (cm);
r(2) 2
r(1) 1
0.16
(dm
/
L).
问题1 气球膨胀率
可以看出,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
我们知道，气球的体积 V（单位：L）与半径 r（单位：dm）之间的函数关系是
V (r )
4 3
r
3
,
如果将半径 r 变为体积 V 的函数，那么r(V )来自33V4
.
问题1 气球膨胀率
当空气容量V从0增加到1L时，气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？
气球半径增加了
r(1) r(0) 0.62 (cm);
h(t2 ) h(t1) t2 t1
如果上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示,
那么问题中的变化率可用式子 f (x2 ) f (x1) 表示, x2 x1
平均变化率的定义
对于函数y f (x),式子 f ( x2 ) f ( x1) 称为函数 f ( x)从 x1到 x2的平均变化率. x2 x1
(2)求自变量的改变量 x x2 x1,
(３)求平均变化率
y x
f (x2) x2
f (x1) x1
y
思
f (x2 )
y f (x)
B
考
y f (x2) f (x1)
？
f (x1) A
x2 x1