3.1.1平均变化率及其求法
3.1.1平均变化率及其求法(教学设计)
问：0—2时与2—21时，哪段时间的成交额变化快,为什么?
问：怎么量化0—2时与2—21时成交额变化快(图象陡峭)、慢(图象平缓)？
结论：成交额Q(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
Q t Q t -
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？
结论：成交额S(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
S t S t -
这是平均变化率的几何意义
(1)求0s-3s的速度平均变化率？（2）求3s-7s的速度平均变化率？（3）求7s-14s的速度平均变化率？
结论：
y
x
∆∆减小⇔割线斜率|k|减小⇔曲线变“平缓”.
y
∆增大⇔割线斜率|k|增大⇔曲线
分析：对高度进行等分，看在均等的Δx 内，注水量大小，最后从变化率大小结合图象及瓶子选出B
3.1.1变化率问题(实用)
y
y = f (x)
f (x2) f (x1)
f (x2) – f (x1)
x2 – x1
x
O x1
x2
到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由 于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成 了自然科学的中心议题，人们提出了四类亟待解决 的数学问题：
第一类问题：研究物体运动的瞬时速度问题； 第二类问题：求曲线的切线问题； 第三类问题：求函数的最大值和最小值问题； 第四类问题：求长度、面积、体积和重心等问题.
若用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动 状态,那么求:
①在0秒到0.5秒时间段内运动员的平均速度?
h 0.5 h 0
v
4.05 (m/s)
0.5 0
②在1秒到2秒时间段内呢?
③在t1到t2秒内呢？
v h(2) h(1) 8.2 (m/s) 2 1
小实验：用打气筒打气球，若每次都打入相同体积的气
气球:第一次打1升 第二次打1升 第三次打1升
比较各次打气后的气球,你观察到了什么现象? 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢
思考：能否构建一个函数模型,描述这种现象？ (假定气球是理想的球,且不会被吹爆)
体会一下:
①当空气容量V从0增加到1L时，
气球的平均膨胀率为
r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
高中数学 3.1.1函数的平均变化率学案 新人教B版选修2-2 学案
3．1．1函数的平均变化率
【知识要点】
一平均变化率定义
二函数f(x) 从x 0到x 0+△x 之间的平均变化率
是
函数f(x) 从x 1到x 2之间的平均变化率
是
【典例剖析】
例1：求y=x 2在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率
例2：求y=x 2-2x+3在2到
4
9之间的平均变化率
【实战练习】
1：求y=x
1在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率(x 0)0
2：求y= x 2在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率,并计算当x 0=1，2，3，△x=3
1时平均变化率的值，哪个平均变化率最大、最小？
3求函数y=x 在区间[x 0，x 0+△x ] 上的平均变化率
4求函数y=lnx 在区间[1，e ] 上的平均变化率
5试比较正弦函数y=sinx 在0到
6π之间和3π到2π之间的平均变化率，那一个较大？
6对于以下四个函数：
（1）y= x （2）y= x 2 （3）y= x 3 （4）y=
x
1 在区间[1,2]上函数的平均变化率最大的是？
7 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连
续检测结果如右图所示. 试问哪个企业治污效果好. （其中W表示治污量）
【思维导图】
课件4：3.1.1 函数的平均变化率
http://www.91taoke.com
思路点拨：转化为平均变化率的大小关系．
解：由题图知，在相同的时间 Δt 内，两人走过的路程在 t0 处 s1(t0)＝s2(t0)，但s1(t0)－Δs1t(t0－Δt)≤s2(t0)－Δs2t(t0－Δt)，
所以在单位时间内乙的速度比甲的速度快．因此，在图所示的 整个运动状态中乙的速度比甲的速度快．
Δy
平均变化率可以表示为__Δ_x_____．
3．函数 y＝f(x)的平均变化率ΔΔxy＝f(xx22)－－xf(1x1)的几何意义是： 表示连接函数 y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的 _斜__率___．
自主探究 平均变化率为 0，能否说明函数没有发生变化？
(2)函数 y＝f(x)的平均变化率的几何意义是：割线 AB 的斜 率．事实上，kAB＝yxAA－ －yxBB＝f(xx2)2－ －xf(1x1)＝ΔΔyx.根据平均变化率的几何 意义，可求解有关曲线割线的斜率．
特别提示： (1)函数的变化率可以表现出函数的变化趋势，当增量 Δx 取得 越小，越能准确地体现函数的变化情况． (2)式子ΔΔyx＝f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)中的 Δx，Δy 可正，可负，但 Δx 不能为零，Δy 可以为零．当 f(x)是常数函数时，Δy＝0.
典例剖析 题型一 求函数的平均变化率 例 1：若自变量 x 的增量为 Δx，求下列函数的增量 Δy. (1)y＝ax＋b；(2)y＝ln x. 思路点拨：直接利用概念求解． 解：(1)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝[a(x＋Δx)＋b]－(ax＋b)＝a·Δx； (2)Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝ln(x＋Δx)－lnx＝ln1＋Δxx.
《3.1.1函数的平均变化率》教学案2
《3.1.1函数的平均变化率》教学案
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率；
4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.
教学重点：
1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；
2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法. 教学难点：
平均变化率的概念．
教学过程：
一、创设情景
(1) 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？
(2) 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．
让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．
二．新课讲授
(一)问题提出
问题1气球膨胀率问题：
老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(π
函数的平均变化率
提示：借助变化率．
返回
函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0， Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝ f(x0＋Δx)－f(x0) ，则当Δx≠0 时，
fx0＋Δx－fx0 Δy 比值 叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之 ＝ Δx Δx
间的平均变化率．
返回
Δy fx0＋Δx－fx0 1. ＝ 为平均变化率，其中 Δx 可正 Δx Δx 可负，不能为零． Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 2．在公式 ＝ ＝ 中，当 Δx Δx x2－x1 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不 同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均 变化率也是不同的．特别地，当函数 f(x)为常数函数时， Δy Δy＝0，则 ＝0. Δx
2 Δs Δt ＋4Δt ＝ ＝4＋Δt. Δt Δt
返回
[一点通]
已知物体的运动方程，即知道物体运
动过程中位移与时间的函数关系，求物体在t0到t0＋Δt 之间的平均速度，就是求这个函数在t0到t0＋Δt之间的
平均变化率．
返回
3．一质点运动的方程为 s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt] 内相应的平均速度为 A．－3Δt－6 C．3Δt－6 B．－3Δt＋6 D．3Δt＋6 ( )
6x0·Δx＋3Δx2 ＝ ＝6x0＋3Δx. Δx 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在 2 到 2.1 之间的的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
第三章 3.1.1函数的平均变化率
§3.1 导 数
3．1.1 函数的平均变化率
学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．
知识点 函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．
自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．
思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值y 的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路AB 来说，用
Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1
可近似地刻画其陡峭程度． 思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
表示什么？
答案 观察图象可看出，Δy
Δx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．
梳理 (1)函数的平均变化率的定义
已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，
令Δx ＝x －x 0；Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．
则当Δx ≠0，比值f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝Δy
Δx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．
高三数学平均变化率
/Biblioteka Baidu
月)
9
12 T(月)
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器
乙，t s后容器甲中水的体积 V (t) 5 e0.1t
（单位：cm 3 ），计算第一个10s内V的平
均变化率。
解 : 在时时[0,10]内的平均
变化率为: 5 e0.110 5 e0.10 10 0
1.839 5 0.3161(cm3 / s) 10
T (℃) 30
20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
联想 直线
C (34, 33.4)
K=7.4
B (32, 18.6)
K=0.5
20
30
34 t(d)
1、平均变化率
一般的，函数 f (x在) 区间上 [x1, x2 ]的平均变化率为
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程 度是平均变化率“视觉化”．
3.1.1平均变化率
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治 了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道 上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但 经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度 达到8.52m/s。
平均速度的数学意义是什么 ?
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载
教学设计1：3.1.1 函数的平均变化率
3.1.1 函数的平均变化率
【教材分析】 （一）三维目标 （1）知识与技能
1）理解平均变化率的概念； 2）了解平均变化率的几何意义； 3）会求函数在某点处附近的平均变化率。 （2）过程与方法
培养分析问题、解决问题的能力。 （3）情感、态度与价值观
通过本节课知识的学习，进一步体现了数学源于生活，又应用于生活的意识。 （二）教学重点
函数在某一小区间的平均变化率。 （三）教学难点
平均变化率的概念。 （四）教学建议
本节课在理解定义的基础上，可由学生独立完成例1，教师指导分析；例2可由教师引导学生完成。另外可以适当补充练习，如：求函数x x f =)(在)0(00>=x x x 附近的
平均变化率。 【教学过程】 一、
引入：
1、 情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片
2、 问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的
陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？
3、 引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。 二、
例举分析：
（一）登山问题
例：如图，是一座山的剖面示意图:A 是登山者的出发点,H 是山顶,登山路线用y=f(x)表示问题：当自变量x 表示登山者的水平位置，函数值y 表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？
分析：1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y x B y x A
自变量x 的改变量：01x x x -=∆ 函数值y 的改变量：01y y y -=∆ 直线AB 的斜率： x
y
x x y y k ∆∆=--=
课件3：3.1.1 函数的平均变化率
【变式 2】 动点 P 沿 x 轴运动，运动方程为 x＝10t＋5t2，式中 t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在 20≤t≤20＋ Δt 时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01.
解 动点在 20≤t≤20＋Δt 时间段内的平均速度为 v＝10（20＋Δt）＋5（20＋ΔΔt t）2－10×20－5×202 ＝210Δt＋Δ5（t Δt）2＝5Δt＋210， (1)当Δt＝1 时，v＝5×1＋210＝215(m/s) (2)当Δt＝0.1 时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s) (3)当Δt＝0.01 时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．
【变式 1】 在例 1 中，分别求函数在 x0＝1，2，3 附近Δx 取12时的 平均变化率 k1，k2，k3，并比较其大小．
解 由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0＋3Δx. 当 x0＝1，Δx＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为 k1＝6×1＋ 3×0.5＝7.5； 当 x0＝2，Δx＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为 k2＝6×2＋ 3×0.5＝13.5； 当 x0＝3，Δx＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为 k3＝6×3＋ 3×0.5＝19.5，所以 k1<k2<k3.
【变式 3】 一正方形铁板在 0 ℃时，边长为 10 cm，加热后会 膨胀，当温度为 t ℃时，边长变为 10(1＋at)cm，a 为常数．试 求铁板面积对温度的膨胀率． 解 设温度的增量为Δt，则铁板面积 S 的增量 Δ S ＝ 102[1 ＋ a(t ＋ Δ t)]2 － 102(1 ＋ at)2 ＝ 200(a ＋ a2t) Δ t ＋ 100a2(Δt)2，∴ΔΔSt ＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
3.1.1函数的平均变化率
1.1.1函数的平均变化率
【学习目标】
1．了解平均变化率的定义。
2．理解公式并会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
【自主学习】
1.已知函数上两
两点间的自变量的改变量 函数值的改变量
= ；直线的斜率= 2.函数的平均变化率
已知函数在点0x x =及其附近有定义，
令0x x x -=∆，()()()()0000x f x x f x f x f y y y -∆+=-=-=∆。
则当0≠∆x 时，
比值()()叫做函数x y x x f x x f ∆∆=∆-∆+00在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率。
【自我检测】
1.已知
是函数从点到点的自变量的改变量，则（ ）
以上都不对
2.某旅游者在爬山过程中，从点A 爬到点B ，假定这段山坡是平直的，如果竖直位移与水平位移之比越大，说明山坡
3.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
4．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,
则=∆∆x
y ． 【合作探究】：
1. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.
（3）求函数f(x)在区间
的平均变化率
2.求函数
在区间的平均变化率
3.正弦函数
在和附近的平均变化率较大的是 【课堂小结】 理解平均变化率应注意以下几点：
(1)函数}{x f 在21,x x 处有定义；
3.1.1、3.1.2平均变化率、导数的概念学案.
3.1.1、3.1.2平均变化率、导数的概念的学案
学习目标
1.理解平均变化率的定义，会求函数在某一区间上的平均变化率；
2.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；会求函数在某一时间处的瞬时速度；
3.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
4.会求函数在某点处的导数。
重点、难点：
重点是通过两个问题理解平均变化率会求函数在某一区间上的平均变化率；在了解瞬时速
度、瞬时变化率的概念的基础上，理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会
求函数在某点处的导数。
难点是正确理解函数的平均变化率，导数的概念。
自主学习：
一．初步感知
阅读课本72～76页内容，完成下列问题：
（一）变化率问题：
[问题1] 在吹气球问题中，当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V 从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率为__________________
当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率为_______________
[问题2]在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )
与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?
在5.00≤≤t 这段时间里，v =_________________
在21≤≤t 这段时间里，v =_________________
在21t t t ≤≤这段时间里，v =_________________ [问题3]对于公式，应注意：（1）平均变化率公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，
《3.1.1函数的平均变化率》教学案3
《3.1.1函数的平均变化率》教学案
教学目标：
1.知识与技能
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
2.过程与方法
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；
3.情感、态度与价值观
感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点：
平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解
教学难点：
平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释
教学关键：
将学生头脑中的感性认知，通过多个事例，在不同的情境下，进行相同的计算程序.由此学生抽象建构出函数平均变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法，特别是数形结合的数学能力和“以直代曲”的转化能力.
教学过程：
的方法，可以用比值
引导学生先分析平直山路OA段的斜率表示
山路的陡峭程度；再进一步研究曲线的如何表
①从图象上看，
图象，那一段更“陡峭”？
②如何量化曲线在
结论：平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上
问题1：那个企业的治污效果好一些？
结论：曲线越“陡峭”
化率的绝对值越大
例3：如图所示，已知函数在区间[-1，1]上的平均变化率
问题：结合图象分析用
曲线段的陡峭程度是否准确？
3.1.1函数的平均变化率
某旅游者从A点爬到B点，假设这段山 路是平直的。设点A的坐标为(x0，y0)，点B 的坐标为(x1，y1)，自变量x的改变量为x1 －x0，记作△x，函数值的改变量为y1－y0， 记作△y，即△x=x1－x0，△y=y1－y0，
于是此人从点A爬到点B的位移可以用 向量 AB (x, y) 来表示， 假设向量 AB 对x轴的倾斜角为θ ，直 线AB的斜率为k，容易看出
进一步理解： 1.式子中△x 、△y的值可正、可负，但 △x的值不能为0， △y 的值可以为0； 2.若函数f (x)为常函数时， △y=0； 3. 变式:
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x] (或 [x0+△x，x0])的平均变化率。 解：函数y=x2在区间[x0， x0+△x] (或[x0+△x，x0]) 的平均变化率为
3.1 导数 3.1.1 函数的平均变化率
例子 : 假设下图是一座山的剖面示意图，并 在上面建立平面直角坐标系。A是出发点， H是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。
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自变量x表示某旅游者的水平位置， 函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。 想想看，如何用数量表示此旅游者登山路 线的平缓及陡峭程度呢？
3.1.1 平均变化率
20
30
34
18.6 3.5 15.1 0.5(m / s) 32 1 31 33.4 18.6 14.8 7.4(m / s) 34 32 2
位移在区间[32，34]上的平均变化率为：
建构数学
f x2 f x1 x2 x1
注意：不能脱 离区间而言
高中数学 选修1-1
问题情境
如图是我国长跑名将王军霞在一次1500m比赛的记录图。
请问：她在哪一段时间的速度比较快？
km
路程 速度 时间
分钟
某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：
S/m 30 20 B (32, 18.6) C(34, 33.4)
10
A (1, 3.5) 10
20
09:30至11:00 11:00至11:30 14:00至14:07 14:07至15:00
解：09:30至11:00价格的平均变化率为
16.77 16.00 0.513(元 / 小时) 1.5
14:00至14:07价格的平均变化率为
16.45 16.77 0.64(元 / 小时) 0.5
并称该比值为位移在区间[32，34]上的平均变化率．
S/m 30 虽然点A， B之间的位移差 20 与点B，C之间 的位移差几乎相 10 同，但它们的平 A (1, 3.5) 均变化率却相差 2 很大． O 2 10 位移在区间[1，32]上的平均变化率为：
原创1：3.1.1 函数的平均变化率
【错解】 ∵V＝43πR3，而从 R＝1 到 R＝m 体积膨胀率为238π，
∴4343ππ×m133＝238π，∴m＝ 3
28 3 π.
【答案】
3 28 3π
【错因分析】 以上解法没有理解“膨胀率”的概念，从 R＝ 1 到 R＝m 时球的体积膨胀率即为 R∈[1，m]时的平均变化率．
【防范措施】 物理学上的平均速度、膨胀率等就是函数的平 均变化率．
题目类型一、平均变化率的计算
已知函数 f(x)＝3x＋1 和 g(x)＝2x2＋1，分别计算 f(x) 与 g(x)在－3 到－1 之间和在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率．
【思路探究】 先求 Δx＝x2－x1，再求 Δy，化简ΔΔxy即可．
【自主解答】 (1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝f(－1)－f(－3) ＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6， ∴ΔΔyx＝62＝3， 即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为 3.
2．求函数 f(x)的平均变化率的步骤： (1)求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)计算平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1.
1．下列说法错误的是( ) A．函数的平均变化率可以大于零 B．函数的平均变化率可以小于零 C．函数的平均变化率可以等于零 D．函数的平均变化率不能等于零 【解析】 根据比值：fx0＋ΔΔxx0－fx0，当 Δx0≠0 时，f(x0＋Δx) －f(x0)可以为零，所以函数的平均变化率可以等于零． 【答案】 D
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16 12 8 6
v 12 0 (1)a 4(m / s 2 ) t 3 0 v 16 12 (2)a 1(m / s 2 ) t 73
v 8 16 8 (3)a = 1.14(m / s 2 ) t 14 7 7
v 68 1 (4)a = 0.33(m / s 2 ) t 20 14 3
f(x2 ) f(x2 )-f(x1 ) （ x2 ， f(x2 ) ）
这是平均变化率的几何意义
f(x1 )
x2-x1 （ x1 ， f(x1 ) ） x1 x2
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
例题1
已知f(x)=2x2+1，求： (1)从x=1到x=2的平均变化率；
3.1.1
平均变化率及其求法
一
微积分简史
微积分的创立者-----牛顿、莱布尼茨
牛顿（1643--1727）
莱布尼茨 （1646----1716）
微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关：
瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积
第一类问题
求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体 任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度 作为时间的函数，求速度和路程。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
>
快
慢
问题2
为什么该人的运动s-t图不是直线段？
如何从该s-t图分析他路程随时间的变化快慢？
B（24,100） S(t2) A（21,70） S(t1)
O（0,0）
t1
t2
“陡峭（变化快）”？ 24-21=3(s)
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）”
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程随时间变化关系S= S（t ）
21-0=21(s) 70-0=70(m) 70/21=3.3 (m/s)
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt)
速度变化快慢
<
100-70=30(m) 30/3= 10 (m/s)
慢
快
问题1
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差 成交额变化快慢 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
10.53(亿元/小时) 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19
t(s)
0
3
7
14
20
平 均 变 化 率 是 曲 线 陡 峭 程 度 的 数 量 化
探究.拓展：
平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？
y 减小 割线斜率 k 减小 曲线变“平缓” x
y 增大 割线斜率 k 增大 曲线变“陡峭” x
曲 线 陡 峭 程 度 是 平 均 变 化 率 的 视 觉 化
时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量T2-T1 成交额差/时间差 成交额变化快慢
100/2 = 50(亿元/小时) >200/19
10.53(亿元/小时)
慢
快
问题2
路程随时间变化关系S= S（t ）
时间的改变量 Δt=t2- t1 路程的改变量Δs=S2-S1
9-0=9(s) 60-0=60(m) 60/9 6.7(m/s) 慢
2013年11月11日淘宝天猫成交额随时间变 化趋势图如下： 问0—2时与2—21时， 哪段时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
B(2,100)
A(0,0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
t
问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快 (图象陡峭)、慢(图象平缓)？
(2)从x1到x2的平均变化率。
2 变式训练:求函数 f ( x) 2x 1 在下列区间的平均变化率
(1) [1,1.0003] 4.0006
(2) [1,1.0002] 4.0004
(3) [1,1.0001] 4.0002
某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
例题2
V(m/s)
(1)求0s-3s的速度平均变化率？ （2）求3s-7s的速度平均变化率？ （3）求7s-14s的速度平均变化率？ （4）求14s-20s的速度平均变化率？
一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）
y 困难在于：欧多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟 练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但 它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解 决第四类问题。 b x o a
二
变化率问题
问题1
成交额Q(t) (亿元) 400 350 300 250 200 150 100 50
20
0 1
2
3
4
5 天数
四
本课小结
从“形”刻画
课后作业：
1、与同学交流你探Leabharlann Baidu“气球膨胀率问题”及“跳水问题”的 心得。
课外作业： 1、搜寻有关微积分历史的资料，跟你的同学交流。 2、四人一小组，写一篇有关生活中变化率问题的小文章。
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问
题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体
在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
探究· 拓展
德国著名心理学家
艾宾浩斯的遗忘曲线
记忆保持量（百分数）
100
80
60 40 艾宾浩斯遗忘曲线
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 ……
记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% ……
例1变式训练：求函数 f ( x) 2x 1
2
在下列区间的平均变化率：
（1）[1,1.0003] （2）[1,1.0002] （3）[1,1.0001]
4.0006 4.0004 4.0002
Δx=0.0003 Δx=0.0002 Δx=0.0001
Δy 发现Δx越接近于0， Δx 越接近4
如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上 随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
三 平均变化率的定义
平均变化率等于函数的增量与自变量的增量之比值。 亦即：y / x.
y f ( x2 ) f ( x1 ) 思考：平均变化率： 表示的几何意义？ x x2 x1
y2 y1 f ( x2 ) f ( x1 ) 割线斜率 k x2 x1 x2 x1
第三类问题
求已知函数的最大最小值。
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
11-9=2(s)
路程差/时间差(Δs/Δt)
路程变化快慢
<
100-60=40(m) 40/2=20(m/s) 快
两个变化率（快慢）问题
Q(t2 ) Q(t1 ) (1)成交额［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题： t2 t1 S (t2 ) S (t1 ) (2)路程在［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题： t2 t1