3.1.1平均变化率及其求法
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提示：
16 12 8 6
v 12 0 (1)a 4(m / s 2 ) t 3 0 v 16 12 (2)a 1(m / s 2 ) t 73
v 8 16 8 (3)a = 1.14(m / s 2 ) t 14 7 7
v 68 1 (4)a = 0.33(m / s 2 ) t 20 14 3
f(x2 ) f(x2 )-f(x1 ) （ x2 ， f(x2 ) ）
这是平均变化率的几何意义
f(x1 )
x2-x1 （ x1 ， f(x1 ) ） x1 x2
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
例题1
已知f(x)=2x2+1，求： (1)从x=1到x=2的平均变化率；
3.1.1
平均变化率及其求法
一
微积分简史
微积分的创立者-----牛顿、莱布尼茨
牛顿（1643--1727）
莱布尼茨 （1646----1716）
微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关：
瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积
第一类问题
求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体 任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度 作为时间的函数，求速度和路程。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
>
快
慢
问题2
为什么该人的运动s-t图不是直线段？
如何从该s-t图分析他路程随时间的变化快慢？
B（24,100） S(t2) A（21,70） S(t1)
O（0,0）
t1
t2
“陡峭（变化快）”？ 24-21=3(s)
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）”
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程随时间变化关系S= S（t ）
21-0=21(s) 70-0=70(m) 70/21=3.3 (m/s)
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt)
速度变化快慢
<
100-70=30(m) 30/3= 10 (m/s)
慢
快
问题1
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差 成交额变化快慢 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
10.53(亿元/小时) 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19
t(s)
0
3
7
14
20
平 均 变 化 率 是 曲 线 陡 峭 程 度 的 数 量 化
探究.拓展：
平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？
y 减小 割线斜率 k 减小 曲线变“平缓” x
y 增大 割线斜率 k 增大 曲线变“陡峭” x
曲 线 陡 峭 程 度 是 平 均 变 化 率 的 视 觉 化
时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量T2-T1 成交额差/时间差 成交额变化快慢
100/2 = 50(亿元/小时) >200/19
10.53(亿元/小时)
慢
快
问题2
路程随时间变化关系S= S（t ）
时间的改变量 Δt=t2- t1 路程的改变量Δs=S2-S1
9-0=9(s) 60-0=60(m) 60/9 6.7(m/s) 慢
2013年11月11日淘宝天猫成交额随时间变 化趋势图如下： 问0—2时与2—21时， 哪段时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
B(2,100)
A(0,0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
t
问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快 (图象陡峭)、慢(图象平缓)？
(2)从x1到x2的平均变化率。
2 变式训练:求函数 f ( x) 2x 1 在下列区间的平均变化率
(1) [1,1.0003] 4.0006
(2) [1,1.0002] 4.0004
(3) [1,1.0001] 4.0002
某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
例题2
V(m/s)
(1)求0s-3s的速度平均变化率？ （2）求3s-7s的速度平均变化率？ （3）求7s-14s的速度平均变化率？ （4）求14s-20s的速度平均变化率？
一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）
y 困难在于：欧多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟 练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但 它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解 决第四类问题。 b x o a
二
变化率问题
问题1
成交额Q(t) (亿元) 400 350 300 250 200 150 100 50
20
0 1
2
3
4
5 天数
四
本课小结
从“形”刻画
课后作业：
1、与同学交流你探Leabharlann Baidu“气球膨胀率问题”及“跳水问题”的 心得。
课外作业： 1、搜寻有关微积分历史的资料，跟你的同学交流。 2、四人一小组，写一篇有关生活中变化率问题的小文章。
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问
题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体
在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
探究· 拓展
德国著名心理学家
艾宾浩斯的遗忘曲线
记忆保持量（百分数）
100
80
60 40 艾宾浩斯遗忘曲线
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 ……
记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% ……
例1变式训练：求函数 f ( x) 2x 1
2
在下列区间的平均变化率：
（1）[1,1.0003] （2）[1,1.0002] （3）[1,1.0001]
4.0006 4.0004 4.0002
Δx=0.0003 Δx=0.0002 Δx=0.0001
Δy 发现Δx越接近于0， Δx 越接近4
如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上 随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
三 平均变化率的定义
平均变化率等于函数的增量与自变量的增量之比值。 亦即：y / x.
y f ( x2 ) f ( x1 ) 思考：平均变化率： 表示的几何意义？ x x2 x1
y2 y1 f ( x2 ) f ( x1 ) 割线斜率 k x2 x1 x2 x1
第三类问题
求已知函数的最大最小值。
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
11-9=2(s)
路程差/时间差(Δs/Δt)
路程变化快慢
<
100-60=40(m) 40/2=20(m/s) 快
两个变化率（快慢）问题
Q(t2 ) Q(t1 ) (1)成交额［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题： t2 t1 S (t2 ) S (t1 ) (2)路程在［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题： t2 t1
16 12 8 6
v 12 0 (1)a 4(m / s 2 ) t 3 0 v 16 12 (2)a 1(m / s 2 ) t 73
v 8 16 8 (3)a = 1.14(m / s 2 ) t 14 7 7
v 68 1 (4)a = 0.33(m / s 2 ) t 20 14 3
f(x2 ) f(x2 )-f(x1 ) （ x2 ， f(x2 ) ）
这是平均变化率的几何意义
f(x1 )
x2-x1 （ x1 ， f(x1 ) ） x1 x2
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
例题1
已知f(x)=2x2+1，求： (1)从x=1到x=2的平均变化率；
3.1.1
平均变化率及其求法
一
微积分简史
微积分的创立者-----牛顿、莱布尼茨
牛顿（1643--1727）
莱布尼茨 （1646----1716）
微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关：
瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积
第一类问题
求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体 任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度 作为时间的函数，求速度和路程。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
>
快
慢
问题2
为什么该人的运动s-t图不是直线段？
如何从该s-t图分析他路程随时间的变化快慢？
B（24,100） S(t2) A（21,70） S(t1)
O（0,0）
t1
t2
“陡峭（变化快）”？ 24-21=3(s)
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）”
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程随时间变化关系S= S（t ）
21-0=21(s) 70-0=70(m) 70/21=3.3 (m/s)
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt)
速度变化快慢
<
100-70=30(m) 30/3= 10 (m/s)
慢
快
问题1
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差 成交额变化快慢 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
10.53(亿元/小时) 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19
t(s)
0
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平 均 变 化 率 是 曲 线 陡 峭 程 度 的 数 量 化
探究.拓展：
平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？
y 减小 割线斜率 k 减小 曲线变“平缓” x
y 增大 割线斜率 k 增大 曲线变“陡峭” x
曲 线 陡 峭 程 度 是 平 均 变 化 率 的 视 觉 化
时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量T2-T1 成交额差/时间差 成交额变化快慢
100/2 = 50(亿元/小时) >200/19
10.53(亿元/小时)
慢
快
问题2
路程随时间变化关系S= S（t ）
时间的改变量 Δt=t2- t1 路程的改变量Δs=S2-S1
9-0=9(s) 60-0=60(m) 60/9 6.7(m/s) 慢
2013年11月11日淘宝天猫成交额随时间变 化趋势图如下： 问0—2时与2—21时， 哪段时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
B(2,100)
A(0,0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
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问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快 (图象陡峭)、慢(图象平缓)？
(2)从x1到x2的平均变化率。
2 变式训练:求函数 f ( x) 2x 1 在下列区间的平均变化率
(1) [1,1.0003] 4.0006
(2) [1,1.0002] 4.0004
(3) [1,1.0001] 4.0002
某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
例题2
V(m/s)
(1)求0s-3s的速度平均变化率？ （2）求3s-7s的速度平均变化率？ （3）求7s-14s的速度平均变化率？ （4）求14s-20s的速度平均变化率？
一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）
y 困难在于：欧多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟 练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但 它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解 决第四类问题。 b x o a
二
变化率问题
问题1
成交额Q(t) (亿元) 400 350 300 250 200 150 100 50
20
0 1
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3
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5 天数
四
本课小结
从“形”刻画
课后作业：
1、与同学交流你探Leabharlann Baidu“气球膨胀率问题”及“跳水问题”的 心得。
课外作业： 1、搜寻有关微积分历史的资料，跟你的同学交流。 2、四人一小组，写一篇有关生活中变化率问题的小文章。
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问
题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体
在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
探究· 拓展
德国著名心理学家
艾宾浩斯的遗忘曲线
记忆保持量（百分数）
100
80
60 40 艾宾浩斯遗忘曲线
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 ……
记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% ……
例1变式训练：求函数 f ( x) 2x 1
2
在下列区间的平均变化率：
（1）[1,1.0003] （2）[1,1.0002] （3）[1,1.0001]
4.0006 4.0004 4.0002
Δx=0.0003 Δx=0.0002 Δx=0.0001
Δy 发现Δx越接近于0， Δx 越接近4
如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上 随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
三 平均变化率的定义
平均变化率等于函数的增量与自变量的增量之比值。 亦即：y / x.
y f ( x2 ) f ( x1 ) 思考：平均变化率： 表示的几何意义？ x x2 x1
y2 y1 f ( x2 ) f ( x1 ) 割线斜率 k x2 x1 x2 x1
第三类问题
求已知函数的最大最小值。
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
11-9=2(s)
路程差/时间差(Δs/Δt)
路程变化快慢
<
100-60=40(m) 40/2=20(m/s) 快
两个变化率（快慢）问题
Q(t2 ) Q(t1 ) (1)成交额［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题： t2 t1 S (t2 ) S (t1 ) (2)路程在［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题： t2 t1