大学高等数学ppt课件第二章4导数的应用
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高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
《高数》导数的应用PPT教学课件
x x
解： lim
x
e e e lim lim 2 x x 2 x x 2
x
10
其他型未定式的极限
其他尚有“ 0 ”，“ ”，“ 1”，“00”， 0 0 “ ”等型的未定式，可化 为“ ”型和“ ”型来解决。 0
例题1 求 lim x n ln x(n 0)
3
y
y x3
单调增加。
19
x
证明：当 x 0 时， x ln(1 x) 证：设 f ( x) x ln(1 x)
1 x f ( x) 1 ，当 x 0 时， 1 x 1 x f ( x) 0 ， 函数 f ( x)单调增加，而 f (0) 0， f ( x) 0 ( x 0) 即 x ln(1 x) 0 x ln(1 x)
1
中值定理 罗尔（Rolle)定理
y
A
B
若函数 f ( x)满足下列条件： 1 ） 在闭区间 [a，b]上 连续； 2） 在开区间(a，b)内 可导； 3） 在区间端点的函 数值相等，即 f (a ) f (b)，
a
1
2 b
x 则在开区间（a，b）内至
少存在一点，使得 f ( ) 0.
x 2
15
函数的单调性
y
y f ( x)
B
导数的 正负号 判断 函数的
y
A
A
y f ( x)
单调性
B
a
b
x
a
b
x
定理
设函数 y f ( x)在[a，b]上连续，在
(a，b)内可导，
16
1 ） 如果 f ( x) 0，则 f ( x)在区间(a，b)单调增加；
解： lim
x
e e e lim lim 2 x x 2 x x 2
x
10
其他型未定式的极限
其他尚有“ 0 ”，“ ”，“ 1”，“00”， 0 0 “ ”等型的未定式，可化 为“ ”型和“ ”型来解决。 0
例题1 求 lim x n ln x(n 0)
3
y
y x3
单调增加。
19
x
证明：当 x 0 时， x ln(1 x) 证：设 f ( x) x ln(1 x)
1 x f ( x) 1 ，当 x 0 时， 1 x 1 x f ( x) 0 ， 函数 f ( x)单调增加，而 f (0) 0， f ( x) 0 ( x 0) 即 x ln(1 x) 0 x ln(1 x)
1
中值定理 罗尔（Rolle)定理
y
A
B
若函数 f ( x)满足下列条件： 1 ） 在闭区间 [a，b]上 连续； 2） 在开区间(a，b)内 可导； 3） 在区间端点的函 数值相等，即 f (a ) f (b)，
a
1
2 b
x 则在开区间（a，b）内至
少存在一点，使得 f ( ) 0.
x 2
15
函数的单调性
y
y f ( x)
B
导数的 正负号 判断 函数的
y
A
A
y f ( x)
单调性
B
a
b
x
a
b
x
定理
设函数 y f ( x)在[a，b]上连续，在
(a，b)内可导，
16
1 ） 如果 f ( x) 0，则 f ( x)在区间(a，b)单调增加；
高等数学讲义第二章：导数与微分2-第四节初等函数的求导问题双曲函数与反双曲函数的导数
(3)(u)vu vu v,
(4)
( u ) v
uvuv
(v0).
v2
设 yf(u )而 , u(x)则复y合 f[(函 x)的 ] 数
导数为
ddxydduyddux或 y (x ) f( u )(x ).
利用上述公式及法那么，初等函数求导问题可完 全 解注决意.:初等函数的导数仍为初等函数.
二、双曲函数与反双曲函数的导数
(sh)xchx (ch)xshx
(th)x( shx ) ch2xsh2x, 即 (thx) 1
chx
ch2x
ch2x
ar s ln x h ( 1 x x 2 )
(ars)h(xx1x2) x1x2
1 (1 x ) 1 .
x1x2
1x2 1 x2
同理
(arc)hx 1 ; x21
(arth)x 1 . 1x2
(loagx)
1 x ln a
(lnx)
1 x
(arcsxi)n 1 1 x2
(actraxn ) 1 1 x2
(arccxo)s 1 1 x2
(accrox)t 1 1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法那么
设u u( x), v v( x)可导，那么 (1)(uv)uv, (2)(cu)cu (其c中 是常 ). 数
结论 任何初等函数的导数都可以按常数和根本 初等函数的求导公式和上述求导法那么求出.
等都是初等函数。
2 yxarcxsi4 n2 x
(C ) 0 (sinx) co xs
( x ) x1
(coxs) six n
(taxn)se2cx
(coxt) cs2x c
(sexc) se x tc a xn (csxc) cx s cc x ot
导数应用ppt课件
工具
第二章 函数、导数及其应用
x
(－3，－2) －2
－2，23
2 3
23，1
f′(x)
＋0－0 Nhomakorabea＋
f(x)
极大值
极小值
工具
第二章 函数、导数及其应用
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝ 23 处取得极小值 f32＝9257，又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9257.
令1－2sin x＝0，且x∈0，π2时，x＝π6，
当x∈0，π6时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝fπ6.故选B.
答案： B
工具
第二章 函数、导数及其应用
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________． 解析： f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)＝0⇒a＝3. 答案： 3
由原点到切线 l 的距离为 1100，则 3|m2＋| 1＝ 1100，
工具
第二章 函数、导数及其应用
解得m＝±1. ∵切线l不过第四象限，∴m＝1. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4， ∴c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ . 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－
第二章 导数微分及其应用PPT课件
(x0-δ，x0+δ)，当x∈(x0-δ，x0+δ)但x≠x0时，有不 等式：
f (x)A
A f(x)A
点（x, f(x)）落在上面所做的一 横条区域内。
31.07.2020
26
例 2.3
证明
lim
x x0
x
x
0
，其中
x0
是任一实数。
证明 任意给定ε>0，
取δ=ε，
当 0<|x-x0|<δ=ε时,
定理
如果
lim
n
an
和
lim
n
bn
存在，则
(1)
lnim[an
bn
]
lim
n
an
lim
n
bn
;
(2)
lnim[an
bn
]
lim
n
an
lim
n
bn
;
(3)
lnim[an
bn
]
lim
n
an
lim
n
bn
;
(4) lim an
lim
n
an
b n n
lim
证明
通项 an=
1 n
，a=0，
由于
1
1
an a
0 n
. n
为了使1n 小于事先任意给定的正数 ε，只要不等式
1 ，即 n 1 成立。取正整数 N 1 ，当 n N 时，总
n
有
an
a
1 n
，
即
lim 1 0 。 n n
31.07.2020
19
(5)定理 若数列{an}收敛，那么{an}是有界数列。
f (x)A
A f(x)A
点（x, f(x)）落在上面所做的一 横条区域内。
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例 2.3
证明
lim
x x0
x
x
0
，其中
x0
是任一实数。
证明 任意给定ε>0，
取δ=ε，
当 0<|x-x0|<δ=ε时,
定理
如果
lim
n
an
和
lim
n
bn
存在，则
(1)
lnim[an
bn
]
lim
n
an
lim
n
bn
;
(2)
lnim[an
bn
]
lim
n
an
lim
n
bn
;
(3)
lnim[an
bn
]
lim
n
an
lim
n
bn
;
(4) lim an
lim
n
an
b n n
lim
证明
通项 an=
1 n
，a=0，
由于
1
1
an a
0 n
. n
为了使1n 小于事先任意给定的正数 ε，只要不等式
1 ，即 n 1 成立。取正整数 N 1 ，当 n N 时，总
n
有
an
a
1 n
，
即
lim 1 0 。 n n
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19
(5)定理 若数列{an}收敛，那么{an}是有界数列。
《高等数学》上册(课件全集)第2章导数及微分
导数的几何意义
总结词
详细描述
总结词
详细描述
导数的几何意义是切线斜率 。
对于可导函数，其在某一点 的导数即为该点处的切线斜 率。在几何上，导数表示曲 线在该点的切线的斜率。这 个斜率决定了切线的倾斜程 度，进而决定了函数在该点 的变化趋势。
导数决定切线的斜率和倾斜 程度。
对于可导函数，其在某一点 的导数决定了该点处切线的 斜率和倾斜程度。如果导数 大于0，切线斜率为正，表 示函数值随自变量增大而增 大；如果导数小于0，切线 斜率为负，表示函数值随自 变量增大而减小。因此，导 数是研究函数图像和性质的 重要工具。
导数的定义
总结词
导数定义是函数在某一点的切线斜率。
详细描述
导数可以理解为函数在某一点的切线斜率。对于可导函数，其在某一点的导数 即为该点处切线的斜率。这个斜率决定了函数在该点的变化趋势，是研究函数 行为的重要工具。
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点附近的变化率。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于可导函数，其在某一点的 导数值越大，表示函数在该点附近的斜率越大，即函数值变化越快；导数值越小，表示函数值变化越 慢。
微分中值定理的应用非常广泛，是高等数学中重要的知识点之一。
05
导数与微分的应用
导数在几何中的Biblioteka 用切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点 的变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的单调性，进而研究函数的增减性。
极值问题
导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值 。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度。
《导数的应用》ppt课件
设 x 1 cos , y 1 sin ,由x,y为正实数得: 0 .
xy
1
(1
2
cos
)si n
.
2
设 f ( ) 1 (1 cos )sin .
2
f
(
)
1
[
s i n2
(1
cos
) co s
]
(cos
1)(cos
1 ).
2
2
令 f ( ) 0,得 cos 1,cos 1 ;又0 , .
从而当x>0时,f(x)≥1恒成立,即:
2
1
2 3
(1
x)3
成立.
令 Y
x6
3
0
1 2x
,得
4.
x
1.
当x<-1时, Y 0,则Y单调减小;当-1<x<0时, Y 0,则
Y单调增加;当0<x<1时,Y 0,则Y单调减小;当x>1
时,Y 0 ,则Y单调增加. 故当x 1时,Y有最小值5/6,此时点 (1, 1 )为所求.
3
例4: 如图,在二次函数f(x)=
2 ( x 1)3( x 3
0).
则
f
( x)
1 x
1 x2
( x 1)
2( x 1)2
(x
1)3
2x 1 x2 ,
令f (x) 0 ,结合x>0得x=1.
而0<x<1时, f (x) 0;x>1时,f (x) 0 ,所以x=1是f(x)的 极小值点.
所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.
令
S(
x)
0
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x1 x2
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
◆极值存在的必要条件（费马定理）
如果函数 y f (x) 在点 x 0 处可导，且在点 x 0 处有极值， 则 f (x0) 0.
导数为零的点称为函数的驻点。
f (x) 在点 x
0
的某个邻域内可导（点 x
y
0
可除外）
（ 1 ） xx0,x0 f (x) 0
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极大值；
（ 2 ） xx0,x0 f (x) 0
x0 x 0 x0 x y
证（1）f(x ) x ln (1 x ),f'(x ) 1 1=x 0
1 x1 x
ln(1x)x
（2）
g (x ) ln ( 1 x ) 1 x x ,g '(x ) 1 1 x ( 1 1 x ) 2 ( 1 x x ) 2 0
x ln(1 x) 1 x
函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。
y
E
A ,B ,D 是 极 值 点 ， 导 数 为 零
A
C
B
D
x E 是 极 值 点 ， 但 导 数 不 存 在
C 点 导 数 为 零 ， 但 不 是 极 值 点
函数的极值点是驻点或导数不存在的点。
费马定理的逆定理不成立。
◆极值存在的第一充分条件
设函数 y
◆函数的极值
由于函数在不同的区间的单调性不同，
因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数
3
值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称 -1
之为函数的极大、极小值。
例如 y2x36x218x7
极值的概念：如果函数 f ( x ) 在点 x 0 的某邻域内有定义，对于 该邻域内任意异于 x 0 点的 x ，都有 f (x) f (x0)，则称 f ( x 0 )
为函数的一个极小值；如果有 f (x) f (x0)，则称 f ( x 0 ) 为函数
的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取
得极值的点称为函数的极值点。
◆函数的极值说明
函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性 （1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；
如函数Y=x 在区间 [1，2] 内既无极大值，也无极小值。 （2）可以缺少其一；
解
函 数 定 义 域 为 ( , )
f(x)1
1
3
x1
3x 3x
令f(x)0 得驻点x=1；x 0 时，f(x)不存在
x (-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
f (x)
+
不存在
_
0
+
f (x)
↗
极大值0
↘
极小值 -1/2
↗
单调增区间为(-∞,0)和(1,+∞)
y
单调减区间为(0,1)
o
f (0)=0为极大值；f (1)=-1/2 为极小值
1
1 2
0
得驻点 x1
2 3
a
；当 x2
a 2
,
x3 a时， y
不存在
列表：
x
,
a 2
y
>0
a 2
,
2a 3
>0
2a 3
,a
<0
a,
>0
y
续例1：
所以，函数在
,
2a 3
及
a,
内单调递增，在
即 ex 1x
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 - , 0 内 单 调 递 减 所 以 ， x ， 0 ,有 f( x ) f( 0 ) 0
即 ex 1x 所以，当 x 0 时，不等式 ex 1 x 成立。
证明： x ln(1x)x(其 中 x0) 1。
小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在 的点可将单调区间分开。
求函数的单调区间的一般方法： （1）求函数的一阶导数； （2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点； （3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号； （4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。
[ a , b ] 上是单调递增的。 （2） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
[ a , b ] 上是单调递减的。
例1 求函数 y32xaax2 a0的单调区间
解 因为 y2
2a3x
3 32xa2ax
令
y
介于 x1与 x2之间
y
y f (x)
o
a y
•
bx
y f (x) •
oa
bx
于是有函数单调性的判别定理
◆函数单调性的判别定理
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，则 （1） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
例5 证明不等式 ex 1x (x0) 证明 令 f(x)ex 1x
则
f (x) ex 1
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 0 , + 内 单 调 增 加
所 以 ， x 0 , ,有 f( x ) f( 0 ) 0
第四节 导数的应用
学习重点
函数的单调性的判别 函数极值及最值的确定方法 曲线凹凸向的判别及拐点的确定
◆函数的单调性
函数单调递增，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
函数单调递减，则
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
由Lagrange中值定理：
f ( ) f ( x1 ) f ( x2 )
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极小值；
（ 3 ） xx0,x0 xx0,x0
f (x)同号
则 y f (x) 在点 x 0 处无极值；
x0 x 0 x0 x y
x0 x 0 x0 x
练习 求 y f(x ) x 3 3x 2的 单 调 区 间 和 极 值 2
如 y=x2 在区间 [-1，2] 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部取得。
◆极值存在的必要条件（费马定理）
如果函数 y f (x) 在点 x 0 处可导，且在点 x 0 处有极值， 则 f (x0) 0.
导数为零的点称为函数的驻点。
f (x) 在点 x
0
的某个邻域内可导（点 x
y
0
可除外）
（ 1 ） xx0,x0 f (x) 0
xx0,x0 f (x) 0
则 y f (x) 在点 x 0 处取得极大值；
（ 2 ） xx0,x0 f (x) 0
x0 x 0 x0 x y
证（1）f(x ) x ln (1 x ),f'(x ) 1 1=x 0
1 x1 x
ln(1x)x
（2）
g (x ) ln ( 1 x ) 1 x x ,g '(x ) 1 1 x ( 1 1 x ) 2 ( 1 x x ) 2 0
x ln(1 x) 1 x
函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。
y
E
A ,B ,D 是 极 值 点 ， 导 数 为 零
A
C
B
D
x E 是 极 值 点 ， 但 导 数 不 存 在
C 点 导 数 为 零 ， 但 不 是 极 值 点
函数的极值点是驻点或导数不存在的点。
费马定理的逆定理不成立。
◆极值存在的第一充分条件
设函数 y
◆函数的极值
由于函数在不同的区间的单调性不同，
因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数
3
值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称 -1
之为函数的极大、极小值。
例如 y2x36x218x7
极值的概念：如果函数 f ( x ) 在点 x 0 的某邻域内有定义，对于 该邻域内任意异于 x 0 点的 x ，都有 f (x) f (x0)，则称 f ( x 0 )
为函数的一个极小值；如果有 f (x) f (x0)，则称 f ( x 0 ) 为函数
的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取
得极值的点称为函数的极值点。
◆函数的极值说明
函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性 （1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；
如函数Y=x 在区间 [1，2] 内既无极大值，也无极小值。 （2）可以缺少其一；
解
函 数 定 义 域 为 ( , )
f(x)1
1
3
x1
3x 3x
令f(x)0 得驻点x=1；x 0 时，f(x)不存在
x (-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
f (x)
+
不存在
_
0
+
f (x)
↗
极大值0
↘
极小值 -1/2
↗
单调增区间为(-∞,0)和(1,+∞)
y
单调减区间为(0,1)
o
f (0)=0为极大值；f (1)=-1/2 为极小值
1
1 2
0
得驻点 x1
2 3
a
；当 x2
a 2
,
x3 a时， y
不存在
列表：
x
,
a 2
y
>0
a 2
,
2a 3
>0
2a 3
,a
<0
a,
>0
y
续例1：
所以，函数在
,
2a 3
及
a,
内单调递增，在
即 ex 1x
当 x 0 时 ， f ( x ) 0 , 故 函 数 在 - , 0 内 单 调 递 减 所 以 ， x ， 0 ,有 f( x ) f( 0 ) 0
即 ex 1x 所以，当 x 0 时，不等式 ex 1 x 成立。
证明： x ln(1x)x(其 中 x0) 1。
小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在 的点可将单调区间分开。
求函数的单调区间的一般方法： （1）求函数的一阶导数； （2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点； （3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号； （4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。
[ a , b ] 上是单调递增的。 （2） 如果函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有 f (x) 0，则函数在
[ a , b ] 上是单调递减的。
例1 求函数 y32xaax2 a0的单调区间
解 因为 y2
2a3x
3 32xa2ax
令
y