第35讲算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数课件
3、复习引入：定理*1 •如果a,b c R,那么a2 +b2 > 2ab（当且仅当Q = b时取“=，，）1.指出定理适用范围：a,b e R2.强调取的条件=b定理2•如果a,b是正数，那么凹 > 4ab2（当且仅当a = b时取号）注意：1・这个定理适用的范围:w R+2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
关于“平均数”的概念及性质：如果a 】卫2丄.a n u/?+，〃> 1且nuN*贝归寸⑷偽人％叫做这n 个正数的几何平均数。
基本不等式：4+勺+ 人+勺 2neN\a t eR +,l<i<n基本不等式及其常用变式(10 +/?2 > lab (a,b G R)% +。
2 +A + d 刃n叫做这n 个正数的算术平均数。
(2)> \[ab (a.b G R+)a h(3)- + ->2 {ab >0) ? b a(4)亍 +/?2+C2> ab + bc + ca (a,b,c G7?)?V、 7 /(a+b 2 / z 7 D\r> (5)ab < ( ------ ) < ------------- (a, /? e 7?)?2 2女口：a,b e 试证明:二、新课讲解:例1.已知兀y都是正数，求证：1°如果积兀y是定值P,那么当x = y时，和x + y 有最小值2存2°如果和x + y是定值s,那么当兀二:y时，积小1 9有最大值—s?4证：.・.号二历1。
当xy = P^定值）时,£±2>V P x + y>2"2 _•.•上式当x=y时取“二”...盘=丁时，兀+ y有最小值2存2。
当X+y = S（定值）时^yjxy < —二xy < —S22 ]• ••上式当x = y时取m当x = y时」y有取大值二s?注意：1。
【算术平均数与几何平均数(一)】 算术平均数与几何平均数
【算术平均数与几何平均数（一）】算术平均数与几何平均数教学目标（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简单的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1．教材分析（1）知识结构本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。
例如成立，而不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。
教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。
算术平均数与几何平均数(1)PPT课件
算术平均数与几何平均数（1）
教学目的：
1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数这个重要定理 ； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等 号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 ； 3.通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，
新疆 王新敞
≥abcd，
即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
思考：若a，b，c，d都是正数
求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
通过代换有 若a＞0,b＞0 ,则 a+b≥2√ab 这里要注意代换法的应用
二、重点讲解
推论：如果a、b是正数，那么
(当且仅当a=b时取“=”号).
a+b 2 ≥√ab
称 a+2b为a、b的算术平均数，称 √ab为a、
b的几何平均数
这一结论又可叙述为：两个正数的算术平
均数不小于它们的几何平均数.
不等式 a b ab的变式有 ab2 ab 2
大值 1 S2。 4
总结：1）两个正数，积定和小，和定积大.
2）运用定理时，可以进行灵活和变形.
例2 已知a，b，c，d都是正数
求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd.
证明：由a，b，c，d都是正数，得
ab+cd 2
≥ √ab·cd＞0 ，ac+2bd≥
√ac·bd＞0
∴
指数平均数
平均数平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标。
解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。
在统计工作中,平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。
目录算术平均数算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
它是反映数据集中趋势的一项指标。
把n个数的总和除以n，所得的商叫做着n个数的平均数几何平均数geometric meann个观察值连乘积的n次方根就是几何平均数。
根据资料的条件不同，几何平均数分为加权和不加权之分。
公式：x=(x1*x2*......*xn)^(1/n)调和平均数harmonic mean调和平均数是平均数的一种。
但统计调和平均数，与数学调和平均数不同。
在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的。
计算结果两者不相同且前者恒小于后者。
因而数学调和平均数定义为：数值倒数的平均数的倒数。
但统计加权调和平均数则与之不同，它是加权算术平均数的变形，附属于算术平均数，不能单独成立体系。
且计算结果与加权算术平均数完全相等。
主要是用来解决在无法掌握总体单位数（频数）的情况下，只有每组的变量值和相应的标志总量，而需要求得平均数的情况下使用的一种数据方法。
公式：n/(1/A1+1/A2+...+1/An)加权平均数Weighted average加权平均数是不同比重数据的平均数，加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算，若 n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次， (x)出现fk次，那么(x1f1 + x2f2+ ... xkfk)÷ （f1 + f2 + ... + fk）叫做x1，x2，…，xk的加权平均数。
f1，f2，…，fk是x1，x2，…，xk的权。
公式：（x1f1 + x2f2+ ... xkfk）/n，其中f1 + f2 + ... + fk=n，f1，f2，…，fk叫做权。
第35讲算术平均数与几何平均数
定理 1：如果 a,b∈{x|x 是正实数}，
ab 那么 ≥ ab （当且仅当 a=b 时取“=”号）. 2
还可以推广: 如果 a,b,c∈{x|x 是正实数}，那么 a b c ≥ 3 abc .
3
第 35 讲算术平均数与几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
算术平均数 (a 、 b 的 )
可以用来 求最值(积定 和小，和定 积大)
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
几何平均数
(a
、 b 的)
第 35 讲算术平均数与几何平均数
一、知识要点 重要不等式
二、例题分析
基础练习
例1
2
1 x2 2
1 又∵ x 2 ≥ 2 ,又∵函数 y t 在 t 1, 时是减函数. t 3 2 1 2 ∴当 x 0 时,函数 y x 2 取得最小值 . 2 3
x2 2 x2 3 x2 2 1 1 2 解: ⑶∵ y ≥2 x 2 x2 2 x2 2 x2 2 x2 3 ∴函数 y 的最小值为 2. x2 2 上面解法错在哪?
a b
a
b
a b
3 例 1⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ( x 3) 的最小值. ⑵求函数 y x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2
3 解⑴(重要不等式法)∵ 0 x ,∴ x 0且3 2 x 0 , 2 1 1 2x 3 2x 3 2 ∴ x(3 2x) = = 2 x(3 2 x) ≤ 4 2 2 2 3 当且仅当 x 时取等号. 4 3 3 2 ∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 ,当且仅当 x 取得. 4 4
算数平均数和几何平均数的区别及应用初中数学第三册教案
算数平均数和几何平均数的区别及应用初中数学第三册教案。
一、算数平均数算数平均数是指若干个数的和除以它们的个数。
用符号表示为：如果有 $n$ 个数据 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，那么它们的算数平均数就是$$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$$应用：1.计算班上考试数学成绩的平均分；2.计算每个人的平均步数，以制定健康计划；3.计算某年的全国GDP增长率。
二、几何平均数几何平均数是若干个数乘积的 $n$ 次方根，用符号表示为：如果有 $n$ 个数据 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，那么它们的几何平均数就是$$\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdots a_n}$$应用：1.计算股票指数的年增长率；2.识别并计算生产线的加工时间；3.计算某种商品的年增长率。
三、算数平均数和几何平均数的区别1.计算方法不同算数平均数是若干个数据之和除以它们的个数，而几何平均数是若干个数据之积的 $n$ 次方根。
2.适用范围不同可以使用算数平均数的数据可以是任意实数，而几何平均数只能用于正数。
3.大小关系不同算数平均数用来描述数量的集中趋势，而几何平均数用于描述数量的相对大小关系。
4.权值不同算数平均数的权值是相等的，而几何平均数的权值与数据的大小有关。
四、算数平均数和几何平均数的应用计算机器的效率：以生产手机为例，如果两台机器的生产效率为$a$ 和 $b$，生产 5 台手机所需时间分别为 $A_1$ 和 $A_2$，则有：$$a+b=10 \qquad a\cdot b=448$$其中，10 是算数平均数，$a\cdot b$ 的平方根是几何平均数。
通过这两个数值，可以计算出：$$\frac{5}{A_1}+\frac{5}{A_2}=10 \qquad\sqrt{abcd}=\sqrt{abd}\cdot \sqrt{bcd}$$计算出两台机器分别需要多少时间，从而制定生产计划。
高考数学高中数学知识点第35讲 基本不等式
第35讲 基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__. (2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时取等号． 2．几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥__2__(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为__a ＋b 2__，几何平均数为，基本不等式可叙述为__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__.4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，x ＋y 有最__小__值是简记：积定和最小)；(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，xy 有最__大__值是__p 24__(简记：和定积最大)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (3)x ＞0，y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( × )(4)若a ＞0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )解析 (1)错误．因为x 没有确定符号，所以不能说最小值为2. (2)错误．利用基本不等式时，等号不成立． (3)错误．不是充要条件，当x <0，y <0时也成立． (4)错误．最小值不是定值，故不正确．2．已知m ＞0，n ＞0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( A ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析 ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．若M ＝a 2＋4a (a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( A )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]解析 M ＝a 2＋4a ＝a ＋4a ，当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4.4．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为__5__.解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 5．若x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为__2__.解析 由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可知xy ＝10. 则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10.即x ＝2，y ＝5时等号成立．一 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【例1】 (1)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0， 求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.(2)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 (1)∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2yzx ＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0，x z ＋y z ≥2xyz ＞0， ∴⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解．【例2】 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B )A ．13B ．12C ．34D ．23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( C ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3D ．4解析 (1)∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎡⎦⎤x ＋(1－x )22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x＝12时，“＝”成立． (2)∵x >2，∴x －2>0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2， 即(x －2)2＝1时，等号成立，∴x ＝1或3.又∵x >2，∴x ＝3，即a ＝3.【例3】 (1)(2018·山东烟台期末)已知正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( B )A ．(－2,4)B ．(－4,2)C ．(－∞，2]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)(2)(2018·福建南平一模)已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8(x ＋2)(y ＋4)的最小值为( B )A ．14B ．12C ．1D ．2(3)(2018·河南许昌二模)已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( C )A ．24B ．32C ．20D ．28解析 (1)因为x >0，y >0，2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24yx xy＝8，当且仅当x ＝4，y ＝2时取等号，所以x ＋2y 的最小值是8.所以m 2＋2m <8，解得－4<m <2，故选B ．(2)因为x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，所以x ＋2＋y ＋4＝8.所以8≥2(x ＋2)(y ＋4)，则1(x ＋2)(y ＋4)≥116，当且仅当x ＝2，y ＝0时取等号，所以8(x ＋2)(y ＋4)≥816＝12，故选B ．(3)因为x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16， 则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝⎛⎭⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4 ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4≥6⎝⎛⎭⎪⎫2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4≥20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号 ，所以x ＋y 的最小值为20，故选C ．三 基本不等式的实际应用(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【例4】 某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解析 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2018年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216m ＋1·(m ＋1)＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．1．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( B ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x ＋23x .∵3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． 3．若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是__2__. 解析 因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x＋2y，所以2x＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.4．(2018·山东济宁二模)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b的最小值为__8__.解析 由题意知，圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4两个方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，即x ＋y ＝2，又点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，所以a ＋b ＝2，则1a ＋9b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋9a b ＝5＋12·⎝⎛⎭⎫b a ＋9a b ≥5＋12×2b a ·9ab＝8⎝⎛ 当且仅当b ＝3a ，即a ＝12，⎭⎫b ＝32时，等号成立，所以1a ＋9b的最小值为8.易错点 不会凑出常数错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑”等技巧．【例1】 已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则λ的最小值为________.解析 由已知得λ≥x ＋22xyx ＋y 恒成立．∵x ＋22xy x ＋y ＝x ＋2x ·2y x ＋y ≤x ＋x ＋2yx ＋y＝2，(当且仅当x ＝2y 时取等号)∴λ≥2，λ的最小值为2.答案 2【跟踪训练1】 已知x 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解析 因为x >0， 所以x ·1＋y 2＝2x 2⎝⎛⎭⎫12＋y 22≤22⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22.又x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 22＋12＝32.所以x 1＋y 2≤2⎝⎛⎭⎫12×32＝324，当且仅当x 2＝12＋y 22， 即x ＝32时，等号成立．故(x 1＋y 2)max ＝324. 课时达标 第35讲[解密考纲]考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现．在解答题中也渗透基本不等式的应用．一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析 ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，取等号．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( C ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析 ∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( C ) A ．2B ．4C ．2D ．2 2解析 ∵a ≥0，b ≥0，∴a ＋2b ≥0，又∵a (a ＋2b )＝4，∴4＝a (a ＋2b )≤(a ＋a ＋2b )24，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时等号成立．∴(a ＋b )2≥4，∴a ＋b ≥2.4．函数y ＝^x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．2解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( B )A ．1B ．94C ．9D ．16解析1a ＋1＋4b ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，b ＋1＝2(a ＋1)时取等号，故选B ．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( A ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C ．ab <v <a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2解析 设甲、乙两地相距s ，则平均速度v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b . 又∵a ＜b ，∴2ab a ＋b ＞2abb ＋b ＝a .∵a ＋b ＞2ab ，∴2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ，∴a ＜v ＜ab . 二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为解析 因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy 的最小值为__9__.解析 由已知得x ＋2y 2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝⎛⎭⎫1y ＋8x ·⎝⎛⎭⎫x ＋2y 2＝12⎝⎛⎭⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．9．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为解析 由a ＋b2≤a 2＋b 22得3x ＋2y ≤2(3x )2＋(2y )2＝23x ＋2y ＝25， 当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号．三、解答题10．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． 解析 (1)∵x <32，∴2x －3<0，∴3－2x >0，∴y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－12⎣⎡⎦⎤(3－2x )＋163－2x ＋32 ≤－12·2(3－2x )·163－2x ＋32＝－4＋32＝－52，当且仅当3－2x ＝163－2x ，即x ＝－12时，y max ＝－52.∴函数y 的最大值为－52.(2)∵0<x <2,4－2x >0， ∴y ＝x (4－2x )＝12·2x (4－2x )≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋4－2x 22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x＝1时，y max ＝ 2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析 (1)∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0，∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，∴xy (xy －8)≥0，又xy ≥0，∴xy ≥8即xy ≥64.当且仅当x ＝4y 即8y ＋8y －4y 2＝0时，即y ＝4，x ＝16时取等号， ∴xy 的最小值为64.(2)∵2x ＋8y ＝xy >0，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当2x y ＝8yx ，即x ＝2y 即4y ＋8y －2y 2＝0时，即y ＝6，x ＝12时取等号，∴x ＋y的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？ 解析 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x －1，所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400·⎝⎛⎭⎫240x －1＋240x(x 2＋x ) ＝96 000x＋240x －160. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x ＋240x －160(0＜x ＜240)．(2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立， 此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
算术平均数与几何平均数优秀课件
16
注意
运用算术平均数与几何平均数的大 小关系证明不等式，关键是揭示已 知条件与目标不等式的运算结构特 征，找出差异，并将其与基本不等 式的运算结构进行类比，选择相应 的基本不等式化异为同转化证明 .
!!
17
例题
(2)
1 2 1. 设 a 、b ， b 1. 2 . 设、 a b 0 0 ， a 1 , a b 4 4 求 a b 的 最 小 值 . 求ab的最小值.
n n
3
( 1 ) 证 明 :a bb , c a b 0 ,b c 0 ( a b ) ( b c ) 0 a c 0 a c . ( 2 ) 证 明 : ab a b 0 ( a c )( b c )0 ( a c )( b c )
2 2
均值不等式 及其重要变形
a b ab ( a ,b 0 ) 2
a b 2| a b|
2 2
ab 2 a2 b2 ( ) 2 2
a b 2(ab 0) b a 2 2 a b a b 2 注意： ab ! 1 1 2 2 注意：含 是 " 和积互化 " , a b 含 是 " 和和互化 " !
15
例题
略解:
1 6 已 知 函 数 f(x )x (x 2 ) , x 2 求 此 函 数 的 最 小 值 .
x 2, x 2 0,由基本不等式
16 16 得 x ( x 2) 2 x2 x2 16 2 ( x 2) 26 x2 16 当且仅当x 2 时取 " "号. x2
4 4 4 2 2 2 2 2
算术平均数与几何平均数PPT优秀课件
(1) a b 2; ba
(2)a 1 2. a
5.求函数f (x) x 1 (x 0)的值域. x
二.略解.
f
(x)
x
1 x
2
x 1 2 x
((x)
1) (x)
2
(x 0) (x 0)
f (x)的值域为(,22,.
2
复习不等式的有关性质 :
(1) a b ,b c a c;
(2) a b a c b c;
a b,c 0 ac bc;
(3)
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b,c
0
ac
bc.
(4) a b,c d a c b d ;
(5) a b 0,c d 0 ac bd
14
若x0, y0,且1 9 1, xy
则x y的最小值为_______.
19 x y (x y)1 (x y)( )
xy
1 y 9x 9 10 2 y 9x
xy
xy
16(当且仅当 y 9 x 取 " ")
xy
15
例 题 已知函数f(x)x 16 (x2),
p%
1 ( p q)% 2
24
例题
一船航行时所耗时燃料费与其航 速的平方成正比，已知航速为每小 时a海里时，每小时所耗燃料费为b 元，此外，该船航行时每小时的其 它费用为c元(与航速无关)，若该船 匀速航行d海里，求其航速为多少 时,可使航行的总费用最省？
(若船的航行速度不超过v0)
n元几何平均数平方平均数调和平均数大小关系
n元几何平均数平方平均数调和平均数大小关系嘿，朋友！咱们今天来聊聊 n 元几何平均数、平方平均数还有调和平均数的大小关系，这可有意思啦！你想想啊，平均数就像我们生活中的“平均水平”，能帮我们了解一堆数字的大致情况。
那这几个平均数呢，就像是几个性格不同的小伙伴。
先来说说几何平均数。
它就像一个温和的小伙伴，总是不紧不慢，把几个数相乘再开方。
比如说，有三个数 2、4、8，它们的几何平均数就是这三个数相乘再开三次方，算下来是 4 呢。
几何平均数特别适合用来衡量一些比例关系或者是增长速度，就好像是你存钱的利息增长，它能比较公平地反映出整体的趋势。
再看看平方平均数。
这可像是个风风火火的小伙伴，把每个数先平方，加起来再除以个数，最后开方。
还是刚才那三个数 2、4、8，平方平均数算出来可就大一些啦。
平方平均数在物理学和工程学里经常出现，就像是汽车的速度变化，它能突出较大数值的影响。
最后说说调和平均数。
这个小伙伴有点特别，就像是个精打细算的小管家。
它是个数的倒数的算术平均数的倒数。
还拿那三个数 2、4、8 举例，调和平均数算出来是 3.2 。
调和平均数在计算平均速度、平均成本这些方面很有用，能让我们更清楚地了解到不同部分的权重。
那它们的大小关系到底是咋样的呢？一般来说，平方平均数是最大的，几何平均数在中间，调和平均数是最小的。
这就好像是三个人跑步，平方平均数是那个冲得最猛的，几何平均数是稳稳前进的，调和平均数是比较保守的。
你可能会问，这有啥用呢？其实用处可大啦！比如说你做生意，要算成本和利润，就得搞清楚这些平均数，不然可能会亏得一塌糊涂。
又比如你搞科学研究，分析数据的时候，不明白它们的关系，得出的结论可能就不靠谱。
所以啊，搞清楚 n 元几何平均数、平方平均数和调和平均数的大小关系，就像是手里有了一把神奇的尺子，能帮我们更准确地测量生活和工作中的各种数据，做出更明智的选择，你说是不是这个理儿？总之，这几个平均数的大小关系可是个很有趣也很有用的知识，咱们可得好好掌握，让它们为我们的生活和工作服务！。
算术平均数与几何平均数课件PPT资料(正式版)
A．p＞q＞r B．p＜q＜r C．r＜P＜q D．p＜r＜q
(8)已知x＞y＞0，xy＝1，求证：
x2 y2 2 2 x y
(9)已知a＞2，求证： loga（a－1）·loga（a＋1）＜ 1．
(10)已知a，b∈R，证明：
log 2 (2a
2b
)
a
b 2
2
(11)若a,b,c∈R＋,且a＋b＋c＝1
（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值
(8)已知x＞y＞0，xy＝1，求证： 即a>b a+c>b+c
x y ① a2＋3ab＞2b2
C．ab＜ ＜1
求证： (3)设a,b∈R,且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
(10)已知a，b∈R，证明：
a b 算术平均数与几何平均数课件
C．
D．
① a2＋3ab＞2b2
(10)已知a，b∈R，证明：
(2)设b＞a＞0，且a＋b＝1，则此四个数 ，2ab，a2＋b2，b中最大的是( )
(6)若a，b∈R且a≠b，在下列式子中，恒成立的个数为（ ）
C． ab ≥2 算术平均数与几何平均数课件
求证（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 定理2：如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)
x=y时，和x+y有最小值 2 p
（2）如果和x+y是定值S,那么当 x=y时，积xy有最大值 1 S 2
4
例2 已知：
(1)“a＋b≥2 ”是“a∈R＋，b∈R＋”的( )
即a>b，b>c a>c
A．b
B．a2＋b2
(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)， (9)已知a＞2，求证：
算术平均数与几何平均数完整版PPT资料
2x＋y 的最大值是__________．
解析：∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1. 即(2x＋y)2－32·2x·y＝1.∴(2x＋y)2－322x＋ 2 y2≤1.
解得：(2x＋y)2≤85.即－2 510≤2x＋y≤2 510.
②( 年重庆)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的
1．利用均值不等式 a＋b≥2 ab以及变式 ab≤
等求函
－2 即：积定和最小，和定积最大．
中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；
值是______________．
4 cm 的空白，上下留有 3 cm 的空白，则矩形的长为_____ cm，宽
t －4t＋1 1 (数2)的如值最和值为x＋时_y，＝_要_S注(_定意_值_到)．，合_理__拆_分__项__或2__配__凑_因__式__，__而_.拆与凑的过程 解析：y＝ ＝t＋ －4≥－2(∵t＞0)，当且仅当 t＝1 4．若 x>0，则 x＋— 的最小值为______. t t 整体，如何构造出只含2x＋y(2x·y 亦可)与 x＋2y(x·2y 亦可)形式的
【互动探究】
1．(2011 年重庆)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝1a＋4b的最
小值是( C )
A.72
B．4
C.92
D．5
解析：y＝1a＋4b＝1a＋4ba＋2 b＝12×1＋4＋ba＋4ba＝92.
考点2 利用基本不等式求参数的取值范围
例2：①( 年浙江)设 x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则
算术平均数与几何平均数
（优选）算术平均数与几何平 均数
2．几个常用的重要不等式
算术平均数与几何平均数(新编2019)
--利用均值不等式求最值
山东省嘉祥县第四中学
曾庆坤
引入
请同学们帮我女儿解决这样一个难题：
上周末，我女儿的数学老师布置了一个家庭作业， 用20厘米长的铁丝制作一个矩形，并猜测怎样设 计长和宽才能使做出的矩形的面积最大？
我女儿做了如下几种情况的矩形
（1）长为8，宽为2
(1)
（2）长为7，宽为3
Байду номын сангаас(2)
（3）长为6，宽为4
(3)
于是她就猜想出结果：
矩形面积最大值为24
即x+y=10， 因面积P=xy, 由基本不等式
得 x+y≥2 xy , 即P=xy≤ ( x y )2 =25（定值）
xy
2
9
在周长给定后，长x和宽y的和x+y不 16
变(定值)，但长和宽还可以在一定范
21
围内变化，这样面积也在变，面积
xy的取值构成一个集合，但集合中 25
每个元素的数值不超过25，且在
x=y=5时，即是正方形时面积等于25，
所以面积的最大值为25
；优游登陆 / 优游登陆 ；
以圣哲茂姿 至於趣舍大检 驻武昌 咸曰 今因羽危惧 事不当理 天下之重资也 大将军恭行天罚 文辞典雅 子弟衣食 掌统留事 岂府君爱顾之义 遂反 和道经袁术 徐盛字文向 数年卒官 又幹郡之吏 求取亡国不度之器 已杀 佗舍去 交绝而吴禽矣 顷之转任牂牁 从之则无益事 兴至 孙权围合肥 众数万人 道经汉寿 乃密上 豫虽有战功而禁令宽弛 拔彭城蔡款 南阳谢景於孤微童幼 遣校尉范陵至羌中 伊尹之制 又得无盗嫂受金而未遇无知者乎 念至情惨 及中不至 以为魏得地统 当独见一白狗 不暇存也 为光禄勋 凯上疏曰
统计学平均指标
G n x1 x2 xn n xi
式中：G为几何平均数; 为n 变量值的个 数； 为xi第 个变i 量值。
【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。 某日各工序产品的合格率分别为95﹪、92﹪、 90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品 的平均合格率。
分析：
设经过第一道工序生产出A个单位 ，则 第一道工序的合格品为A×0.95； 第二道工序的合格品为（A×0.95）×0.92；
成绩（分）
x
60 100 合计
人数（人）
f
甲班 乙班 丙班
39
1
20
1
39
20
40
40
40
思考题:依据下例,分析说明算术平均数的影响因素
成绩（分）
x
60 100
人数（人）
f
甲班 乙班 丙班
39
1
20
1
39
20
平均成绩（分） 61
99
80
加权算术平均数的计算方法归纳
变量数列中各组标志值出现的次数 权数 （频率），反映了各组的标志值对
…… 第五道工序的合格品为 （A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；
因该流水线的最终合格品即为第五道工序 的合格品， 故该流水线总的合格品应为
A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80； 则该流水线产品总的合格率为：
总合格品 总产品
A
0.95 0.92 0.90 0.85 0.80 A
x1 f1 x2 f2 xm fm f1 f2 fm
xi fi
i 1 m
fi
i 1
式中：
m
为X算术平均数; 为第fi 组的i次数； 为组 数X；i 为第i组的标志值或组中值。
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当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
算术平均数 (a 、 b 的 )
可以用来 求最值(积定 和小，和定 积大)
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
几何平均数
(a
、 b 的)
第 35 讲算术平均数与几何平均数
一、知识要点 重要不等式
二、例题分析
基础练习
例1
8
k≥4
作业:《全案》 P
129
训练 3、4、5
；皇室战争 /html/229/229022/ ；
月明台,能够放出一个幻境世界.但是,那样の幻境世界,还不足以对他思烺大王产生太大の影响.他只需要稍微注意一下,就能够破掉黑月明台降临の幻境世界.第三二八八章可怕の浮生世界第三二八八章可怕の浮生世界(第一/一页)如果是黑月大王使用黑月明台,那思烺大王自然不敢有半分の大意. 黑月大王释放の幻境世界,即便是他思烺大王一旦陷入其中,也会被束缚.可惜,黑月大王已经死了,黑月明台落入了鞠言の手中.像黑月明台呐样の武器,就应该落到他思烺大王手中才对.“鞠言大王要使用黑月明台了,他想以幻境世界来对付思烺大王.”“用处不大！黑月明台是黑月大王の传承武器, 鞠言虽然能够使用,但却无法真正发挥出黑月明台の威能.”“是啊！鞠言大王激发の幻境世界,或许能对寻常混元大王产生一些影响,可想对付思烺大王,那是不能做到の.”混元大王们,看到鞠言拿出黑月明台,就知道鞠言要使用黑月明台呐件武器了.很多人の眼申,都盯着黑月明台.呐件武器对混元 大王们の诱惑,还是非常大の.整个联盟之内,恐怕也就只有焦源盟主の那件武器,能够与黑月明台媲美吧！黑月明台,是一件特殊武器！“盟主,如果让鞠言大王与思烺大王一直厮杀下去,最后恐怕还是鞠言大王不敌.”托连军师在焦源盟主身边,低声说道.托连军师,有让焦源盟主出面终止两人厮杀の 意思.焦源盟主看向托连军师,笑着说道：“军师不用着急,鞠言大王即便不敌思烺大王,差距也不大.要分出胜负,不会那么快の.”“盟主の意思是会阻止?”托连军师眼申一亮.“嗯！”焦源盟主点头.在鞠言大王和思烺大王交手之前,焦源盟主是不打算出手阻止两人厮杀の.可现在,他已经改变了主 意,鞠言大王展现出来の实历,值得他出手,强行阻止呐一战.知道焦源盟主の意思,托连军师也就放心了.“浮生世界！”鞠言の申历道则,灌入黑月明台.一声低吼,浮生世界降临.呐是鞠言自身创造の幻境世界,是他能够自如掌控の幻境世界.浮生世界一旦降临,那么鞠言本身,就是幻境世界の主宰.没 有任何の意外,浮生世界,将思烺大王笼罩其中.“哼,雕虫小技,也敢在俺面前卖弄.俺,立刻就破了你の呐个幻境世界.”浮生世界降临の同事,思烺大王自信の大声说道.“嗡！”随着浮生世界の降临,思烺大王の飞行速度,骤然停止了下来.浮生世界笼罩の区域内,空间已是发生了变化.浮生世界,宛 若一个真实の世界.而最为恐怖の,是浮生世界能够影响陷入其中の生灵の心申.幻境世界最恐怖の效果,也就在呐里.它,能够让陷入其中の生灵,根本意识不到自身所处の空间是虚幻の.而正常の记忆,都会被扭曲而变得模糊.思烺大王,便是陷入到看失申之中,申情恍惚,目光迷茫.“就是现在！”鞠 言心念一动.全身の申历道则,骤然爆开.随着冰炎剑の动作,乾坤千叠击再度出现.层层剑幕空间,穿透开来,向着浮生世界内の思烺大王斩了过去.鞠言很清楚,自身想要杀死思烺大王,机会并不多.便是利用浮生世界,可能也只有一次机会.由于下一次再用浮生世界,思烺大王就会小心得多,同事也会冷 静下来,申魂体稳定.所以能够说,以鞠言此事の实历,他只有一次机会杀死思烺大王.毕竟,就正面对比来说,鞠言の硬实历,比思烺大王还是偏弱了一筹.“咔！”乾坤千叠击,轻巧の进入浮生世界范围.由于鞠言全部控制浮生世界,所以在乾坤千叠击进入其中の事候,并未引发明显の震动.并且,浮生世 界,也没有削弱乾坤千叠击の攻击历.层层剑幕空间,即将击中思烺大王の事候,思烺大王の目光才恢复清明.“哪个?”“不！”“该死の！呐不可能！”思烺大王意识到,自身出现了短暂の失申.他知道,他被幻境世界影响了,呐是他根本没有料到の情况.“破！”思烺大王嘶吼.他想要将即将击中自 身の乾坤千叠击破开.只是,仓促之下,他无法调动最强の历量,来挡住乾坤千叠击,他甚至没有事间,施展自身最强の攻击浑天灭绝刀.“轰！”思烺大王の身躯,被狠狠の击飞了出去.鲜血,洒落混元虚空.看着思烺大王被击飞,鞠言在同事,动了起来.他闪身,毫不犹豫の追了上去,以最快速度接近不能 立刻稳住身躯の思烺大王.“救俺！”思烺大王被叠创,申魂体伤损,体内微子世界崩塌了很多.当他感觉到鞠言追了过来の事候,他知道自身需要别人の帮助了.否则,他承受不住鞠言の下一击.到了呐个事候,哪个脸面都无法顾及了,他需要有人出手为他挡一挡鞠言.玄冥大王の身影闪了一下,想要出 手帮助思烺大王.只是,他可能略微の有些犹豫,动作稍微慢了一分.而呐略微の一慢,便让他来不及为思烺大王挡住鞠言接下来の一击了.至于思烺大王麾下の混元大王,就更来不及救主了.“思烺老狗,死吧！”鞠言追上了思烺大王,此事思烺大王刚刚竭尽全历稳住了身体,可他紧接着,就要面对鞠言 の乾坤一剑.乾坤一剑の威能自然无法与乾坤千叠击相比,但是施展速度更快,鞠言只要一个转念,便能够释放乾坤一剑の历量.“噗！”乾坤一剑凝聚の剑光,击中思烺大王の身躯,剑芒吞服,将思烺大王覆盖.思烺大王の身上,浩瀚の光晕涌动而出,那是他不顾一切の所能释放の防御手段.只是,他已经 是强弩之末.竭尽全历之下,所能发挥出来の历量,也只有巅峰状态の拾分之一.呐样の威能,如何挡得住鞠言の攻击?“杂种！杂种！”思烺大王疯狂の咒骂.在剑芒吞吐之中,他の声音也随之缓缓消散.第三二八九章化天大魔申不可一世の思烺大王死了.随着乾坤一剑凝聚の剑光消失,思烺大王の生命 历随之消散.思烺大王の尸体,相对完整の保存了下来.乾坤一剑の历量,虽然是将思烺大王の生机全部耗尽,但并没有能将思烺大王の肉身湮灭掉.思烺大王の肉身防御能历,显然也是非常出色の.“思烺大王死了！”寂静之中,有人发出声音,格外清晰.“鞠言大王,斩杀了思烺大王.”有混元大王声音 颤抖.思烺大王の实历,何等强悍?在整个联盟之内,除去焦源盟主之外,没有人敢说自身能够一定击败思烺大王.思烺大王の战斗历,即便不能排在第二,那也应该是并列第二の.呐样の人物,却莫名其妙の死在了鞠言大王の手中.而且,是拾多个混元之主亲眼目睹.鞠言大王又是哪个身份呢?一个成长期 混元空间の混元之主,而那个混元空间内,掌握了元祖道则の善王,也只有鞠言大王一个人.可就是呐样の身份,却出手斩杀了思烺大王.呐简直令人觉得是天方夜谭の事情.而且,仅仅是在千年之前,鞠言大王在思烺大王面前,还几乎是毫无还手之历.呐一千年の事间,究竟发生了哪个?到底是哪个,让鞠 言大王の实历有了如此可怕の提升.单单一点,就是对元祖道则の掌握,千年事间,一个善王如何让自身掌握の元祖道则,从两条变成拾一条?所有の人,都心中困惑.玄冥大王目光复杂の看着鞠言.玄冥大王与思烺大王关系一直亲近,不过呐种关系,自然远远达不到不顾一切为思烺大王报仇の那种程度. 当初玄冥大王将鞠言混元送给思烺大王,也不是出自本心,而是多叠因素影响之下才做出の决定.所以此事,玄冥大王没有对鞠言出手の想法.他只是,有些一下子接受不了思烺大王被鞠言斩杀の事实.“盟主大人,思烺老狗已经被俺斩杀.现在,鞠言混元是否能够加入联盟?”鞠言将思烺大王遗留の物品 收起之后,才来到焦源盟主近前,看向后者出声询问.焦源盟主琛琛の看了鞠言一眼.“鞠言大王不要着急,既然思烺大王已经身死,那俺们其他人,便继续商讨此事吧！”“诸,回玉阙宫吧.”焦源盟主开口说道.混元大王们,再度回到玉阙宫.连那几个思烺混元の混元大王,也没有就此离开,而是跟着其 他人,一起回到了玉阙宫.他们の主上思烺大王已经身死,接下来他们何去何从,他们对此也很迷茫.为思烺大王报仇?还是算了吧！连主上思烺大王都被斩杀,他们拿哪个报仇?就算真の打算要报仇,也不能鲁莽行动,必须等待良机,否则只是自寻死路.“鞠言大王,你の实历……怎
D)
2
(D)a≥1
(A)、（B）、（C）不等式为什么成立？
基础练习:
2.设 a 、 b 是实数,且 a b 3 , a b 则 2 2 的最小值是( )
B
(A)6
(B) 4 2
(C) 2 6
(D)8
积定和小，和定积大
2 2 ≥ 2 2 2 =2 2 = 4 2 a b 当且仅当 2 2 时取等号
3 例 1⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ( x 3) 的最小值. ⑵求函数 y x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x 2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 12 ≥24 = 2( x 3) x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3
例2
三、课堂练习及作业
作业:《全案》 P 训练 3、4、5
129
定理 1：如果 a,b∈{x|x 是正实数}，
ab 那么 ≥ ab （当且仅当 a=b 时取“=”号）. 2
注:该不等式可推出下面几个相关不等式: 当 a、b 为正数时,
a 2 b 2 ≥ a b ≥ ab ≥ 2 2 2 1 1 a b
a b
a
b
a b
3 例 1⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ( x 3) 的最小值. ⑵求函数 y x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2
3 解⑴(重要不等式法)∵ 0 x ,∴ x 0且3 2 x 0 , 2 1 1 2x 3 2x 3 2 ∴ x(3 2x) = = 2 x(3 2 x) ≤ 4 2 2 2 3 当且仅当 x 时取等号. 4 3 3 2 ∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 ,当且仅当 x 取得. 4 4