高中数学北师大版必修二 圆的一般方程 课件(34张)
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高中数学北师大版必修二《圆的标准方程》课件
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小.圆 心为C 的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C 与A, B 两点 的距离相等，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线上.又圆心C
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线l '的交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
变式：己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 解法1:设圆C的方程为
（3）点P在圆外 x0 a2 y0 b2 r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
必做：课本81页练习：1，2 选做：课本82页练习：2
谢谢大家
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
例2ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)， C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2
(1) 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程
是：（x 2）2 (y 3)2 25
把 M1(5,7) 的坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点 M1 的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边不
相等，点
M
的坐标不适合圆的方程，所以点 M
2
2不在
这个圆上．
怎样判断点 M0(x0, y0) 在圆 (x a)2 (y b)2 r2
在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线l '的交点，半径长等于
|CA|或|CB|．
变式：己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在 直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程. 解法1:设圆C的方程为
（3）点P在圆外 x0 a2 y0 b2 r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
必做：课本81页练习：1，2 选做：课本82页练习：2
谢谢大家
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
例2ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)， C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 (y b)2 r2
(1) 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程
是：（x 2）2 (y 3)2 25
把 M1(5,7) 的坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点 M1 的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入此方程，左右两边不
相等，点
M
的坐标不适合圆的方程，所以点 M
2
2不在
这个圆上．
怎样判断点 M0(x0, y0) 在圆 (x a)2 (y b)2 r2
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
2017-2018学年北师大版必修二 2.2.2圆的一般方程 课件(33张)
【思路点拨】 解答本题可直接利用 D2＋E2－4F>0 是否成立 来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．
【解析】 (1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即 4m2＋4－4m2－20m>0， 1 解得 m<5， 1 故 m 的取值范围为－∞，5. (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋ m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径 r＝ 1－5m.
方法归纳 形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程， 判定其是否表示 圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令 D2＋E2－4F>0，成立则表示圆， 否则不表示圆； ②将方程配方后， 根据圆的标准方程的特征求解． 应 用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
跟踪训练 1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心 和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)． (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解析：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程(1)不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a,0)． (3)两边同除以 2，得 x2＋y2＋ax－ay＝0， D＝a，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2>0， a a ∴该方程表示圆，它的圆心为－2，2， 1 2 2 2 半径 r＝2 D ＋E －4F＝ 2 |a|.
条件 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝ 0 D2＋E2－4F>0 图形 不表示任何图形 D E 表示一个点－ 2 ，－ 2 D E 1 2 2 － ， － 表示以 2 D ＋ E －4F为半径的圆 为圆心，以 2 2
高中数学 2.2.2 圆的一般方程课件 北师大版必修2
第二十三页，共36页。
• 求圆心在直线3x＋2y＝0上，并且(bìngqiě)与 x轴交于A(－2,0)和B(6,0)两点的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心
为(－D2 ，－E2)．由题意可得
3×－D2 ＋2×－E2＝0， 4－2D＋F＝0， 36＋6D＋F＝0，
[规律总结] 1.求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几 何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明 显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组．不论设圆的 标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三 个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
2．用待定系数法求圆的一般方程分三步： (1)设出一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据题意，列出关于 D，E，F 的方程组； (3)解出 D，E，F 的值代入即得圆的一般方程．
• (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足， 若满足，则表示圆；若不满足，则不表示 圆．
• (3)配方法能化为标准形式的，也是常用方法， 它可以直接看出圆心坐标(zuòbiāo)和半径．
第十八页，共36页。
• 若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k 的取值范围是( )
• A．k>1 B．k<1
下列方程能否表示圆？若能表示，求出圆心和半 径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0； (5)x2＋y2＋20x＋62＝0.
第十六页，共36页。
• [思路分析] 解答本题的关键是验证二元二次 方程是否满足圆的一般方程的特征．
• C．(－2,3)，5 D．(－2,3)，25
• 求圆心在直线3x＋2y＝0上，并且(bìngqiě)与 x轴交于A(－2,0)和B(6,0)两点的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心
为(－D2 ，－E2)．由题意可得
3×－D2 ＋2×－E2＝0， 4－2D＋F＝0， 36＋6D＋F＝0，
[规律总结] 1.求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几 何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明 显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组．不论设圆的 标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三 个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
2．用待定系数法求圆的一般方程分三步： (1)设出一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据题意，列出关于 D，E，F 的方程组； (3)解出 D，E，F 的值代入即得圆的一般方程．
• (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足， 若满足，则表示圆；若不满足，则不表示 圆．
• (3)配方法能化为标准形式的，也是常用方法， 它可以直接看出圆心坐标(zuòbiāo)和半径．
第十八页，共36页。
• 若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k 的取值范围是( )
• A．k>1 B．k<1
下列方程能否表示圆？若能表示，求出圆心和半 径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0； (5)x2＋y2＋20x＋62＝0.
第十六页，共36页。
• [思路分析] 解答本题的关键是验证二元二次 方程是否满足圆的一般方程的特征．
• C．(－2,3)，5 D．(－2,3)，25
高中数学北师大版必修2《第2章22.2圆的一般方程》课件
20
【例 3】 已知△ABC 的边 AB 长为 2a，若 BC 的中线为定长 m， 求顶点 C 的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[思路探究] 设出动点坐标(x，y)，根据已知找出动点(x，y)满足 的条件，从而求出轨迹方程．
21
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中 垂线为 y 轴建立坐标系，则 A(－a,0)，B(a,0)，
5
1．圆 x2＋y2－4x－1＝0 的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5
B．(2,0)， 5
C．(0,2)， 5
D．(2,2)，5
6
B [x2＋y2－4x－1＝0 可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径 r＝ 5.]
7
2．如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的取值范围 是________．
→ 得到圆的方程
16
[ 解 ] 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 则 圆 心 是 －D2 ，－E2，由题意知，
－D2 ＝－E2， 2－D＋E＋F＝0， 10＋3D－E＋F＝0， 解得 D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
()
A．m≤2
B．m<12 C．m<2
D
D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即
1 m<2.]
34
4．已知圆 x2＋y2＝4 上一点为 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求 PQ 中点的轨迹方程．
－∞，45 [若方程 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 表示圆，则(－2)2＋12 －4k>0.
【例 3】 已知△ABC 的边 AB 长为 2a，若 BC 的中线为定长 m， 求顶点 C 的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[思路探究] 设出动点坐标(x，y)，根据已知找出动点(x，y)满足 的条件，从而求出轨迹方程．
21
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中 垂线为 y 轴建立坐标系，则 A(－a,0)，B(a,0)，
5
1．圆 x2＋y2－4x－1＝0 的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5
B．(2,0)， 5
C．(0,2)， 5
D．(2,2)，5
6
B [x2＋y2－4x－1＝0 可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径 r＝ 5.]
7
2．如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的取值范围 是________．
→ 得到圆的方程
16
[ 解 ] 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 则 圆 心 是 －D2 ，－E2，由题意知，
－D2 ＝－E2， 2－D＋E＋F＝0， 10＋3D－E＋F＝0， 解得 D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
()
A．m≤2
B．m<12 C．m<2
D
D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即
1 m<2.]
34
4．已知圆 x2＋y2＝4 上一点为 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求 PQ 中点的轨迹方程．
－∞，45 [若方程 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 表示圆，则(－2)2＋12 －4k>0.
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
北师大版高中数学必修22.2.2圆的一般方程ppt课件
3．一辆卡车宽 3 m，要经过一个半径为 5m 的半圆形隧道(双车道，不得违章)， 则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的距离不得超过 4 m，试用数学知识进行验 证．
解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，则圆的方程为 x2＋y2＝25(y＞0)， 当 x＝3 时，y＝4，即高度不得超过 4 m.
◎已知圆的方程是 x2＋y2－2x＝0，点 P(x，y)在圆上运动，求 2x2＋y2 的最值．
x2＋y2＋Dx＝0
[自主练习]
1．圆 x2＋y2＋4x－6y－3＝0 的圆心和半径分别为( )
A．(4，－6)，r＝16
B．(2，－3)，r＝4
C．(－2,3)，r＝4
D．(2，－3)，r＝16
解析： 方程化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2,3)，半径为4. 答案： C
2．若方程 x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0 表示圆，则 k 的取值范围是( )
圆心在原点
x2＋y2＝r2(r≠0)
x2＋y2－r2＝0(r≠0)
圆过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在 y 轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
圆心在 x 轴上 且过原点
(x－a)2＋y2＝a2
[思路探究] 先设其外接圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，然后把三个点 的坐标代入方程，得关于 D，E，F 的方程组，解方程组得 D，E，F 的值代入原 方程即可；也可用几何法求出 AB 和 BC 的垂直平分线，进而求出圆心坐标和半 径，再利用圆的标准方程直接写出．
解析： 法一：设其外接圆的方程是
圆的标准方程课件北师大版高中数学必修2
圆锥曲线简介
包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学的重要内容之一。
学习建议和方法指导
01
02
03
04
深入理解圆的标准方程及其性 质，掌握直线与圆的位置关系
判断方法。
通过练习不同类型的题目，提 高解题能力和思维水平。
注重数形结合思想的应用，将 几何图形与代数表达式相结合
，更好地理解问题本质。
多与同学交流讨论，分享学习 心得和解题方法，共同进步。
拓展延伸内容介绍
圆的参数方程
$left{ begin{array}{l} x = a + rcostheta y = b + rsintheta end{array} right.$，其 中$theta$为参数，表示圆上点相对于$x$轴的角度。
圆的极坐标方程
$rho = 2rcos(theta - alpha)$，其中$rho$为极径，$theta$为极角，$alpha$为圆心 相对于极点的角度。
典型例题解析与思路拓展
• 例题1：已知圆C的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，点P为圆C上一点，且点P到 直线l的距离为d。求证：直线l与圆C相切当且仅当d等于r。
• 解析与思路拓展：要证明直线l与圆C相切当且仅当d等于r，我们可以利用切线 的性质及点到直线的距离公式进行推导。首先，根据切线的性质，我们知道切 线到圆心的距离等于半径。然后，利用点到直线的距离公式计算出点P到直线l 的距离d，并将其与半径r进行比较。最终得出结论：当且仅当d等于r时，直 线l与圆C相切。
THANKS
感谢观看
设圆上任意一点为 $P(x, y)$， 圆心为 $O(a, b)$，则 $PO$ 的距离 $|PO| = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
包括椭圆、双曲线和抛物线，是高中数学的重要内容之一。
学习建议和方法指导
01
02
03
04
深入理解圆的标准方程及其性 质，掌握直线与圆的位置关系
判断方法。
通过练习不同类型的题目，提 高解题能力和思维水平。
注重数形结合思想的应用，将 几何图形与代数表达式相结合
，更好地理解问题本质。
多与同学交流讨论，分享学习 心得和解题方法，共同进步。
拓展延伸内容介绍
圆的参数方程
$left{ begin{array}{l} x = a + rcostheta y = b + rsintheta end{array} right.$，其 中$theta$为参数，表示圆上点相对于$x$轴的角度。
圆的极坐标方程
$rho = 2rcos(theta - alpha)$，其中$rho$为极径，$theta$为极角，$alpha$为圆心 相对于极点的角度。
典型例题解析与思路拓展
• 例题1：已知圆C的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，点P为圆C上一点，且点P到 直线l的距离为d。求证：直线l与圆C相切当且仅当d等于r。
• 解析与思路拓展：要证明直线l与圆C相切当且仅当d等于r，我们可以利用切线 的性质及点到直线的距离公式进行推导。首先，根据切线的性质，我们知道切 线到圆心的距离等于半径。然后，利用点到直线的距离公式计算出点P到直线l 的距离d，并将其与半径r进行比较。最终得出结论：当且仅当d等于r时，直 线l与圆C相切。
THANKS
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设圆上任意一点为 $P(x, y)$， 圆心为 $O(a, b)$，则 $PO$ 的距离 $|PO| = sqrt{(x a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
高中数学北师大版必修二2.2.2【教学课件】《圆的一般方程》
北京师范大学出版社 | 必修二
例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，
求它的外接圆的方程，并求其外心坐标。
解析：法一：设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。
把A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入上述方程，
整理得 ������������ + ������ + ������������ = ������ 解之得 ������ = ������
北京师范大学出版社 | 必修二
（2）圆的一般方程
当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
为圆的一般方程。
注意：圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0具有以下特征： ①x2项和y2项的系数相等，且不为零。 ②是二元二次方程且没有xy这样的二次项。 ③参数D、E、F满足D2＋E2－4F>0。
∴AB ∵BC
的边中的点垂为直(平－分1，线－的3方)，程斜为率������ −为������������=������������������=(������−−−���������������+−���)
即x－7y＋10＝0。
������ ������ ������ = ������
∴BC 边的垂直平分线方程为y＋3＝－2(x＋1)，即2x＋y＋7＝0。
������ − ������������ + ������ + ������ = ������
������ = −������
������������ + ������������ − ������ − ������������ = ������
北师大版高中数学必修2 圆的标准方程ppt下载
和圆C：
,如何判断点
M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
北师大版高中数学必修2 圆的标准方程ppt下载【PPT教研课件】
北师大版高中数学必修2 圆的标准方程ppt下载【PPT教研课件】
在平面几何中，初中学过：点与 圆有哪几种位置关系？
在初中平面几何中，如何确定点
与圆的位置关系？
A A A
O
O
O
北师大版高中数学必修2 圆的标准方程ppt下载【PPT教研课件】
OA<r
OA=r
OA>r
北师大版高中数学必修2 圆的标准方程ppt下载【PPT教研课件】
在直角坐标系中,已知点M(x0，y0)
①待定系数法；②几何法.
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圆的方程。
5
根据圆的方程写出圆心和半径
⑴（x 2)2 ( y 3)2 5
⑵（x 2)2 y Biblioteka (2）22021/3/11
5
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探究二：点与圆的位置关系 北师大版高中数学必修2 圆的标准方程ppt下载【PPT教研课件】
所求圆的方程为
a2 b 3
r 5
待定系数法
2021/3/11
9
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课时小结
北师大版高中数学必修二圆的一般方程课件
方法2：
解：设所求圆的标准方程为：
(xa)2(yb)2r2(r0)
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
待定系数法
(a)2 (b)2 r2
a 4
(1
a)2
(1
b)2
r2
解
得
b
3
(4 a)2 (2 b)2 r 2
r 5
所求圆的方程为：(x4)2(y3)225
即 圆 的 半 径 r 5 ,圆 心 坐 标 为 (4 ， 3 )
圆的一般方程： x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
( 1 ) 圆心 ( D , 坐 E )半 , 标 1 径 D 2 为 E 为 2 4 F ； 22 2
(2)特点：
①x2与y2系数相同，并且不等于0；
②没有xy这样的二次项．
(3)圆的一般方程与标准方程的关系：
把圆的标准方程
22 2
范围是________________．
D E 2 2 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
(1)当D ＋E －4F>0时，此方程表(示,以) 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的 本节课主要学习了圆的一般方程,其表达式为
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F 0
D 8
待定系数法D E F 2 0
解
得
E
6
4D 2E F 20 0 F 0
x所2求圆y2的方8x程为6:y0，即 (x4)2(y3)225
即 圆 的 半 径 r 5 ,圆 心 坐 标 为 (4 ， 3 )
2018-2019数学北师大版必修2课件：第二章2.2圆的一般方程 (35张)
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A．(2，3)
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：化成标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
所以圆心为(2，－3)．
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲 线关于y＝x对称，那么必有( A ) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 解析：由题得该方程表示圆，且圆心在y＝x上，再结合一般 方程的意义，可得D＝E.
集合 P＝M|MA|＝12|MB|.
由两点距离公式，点 M 适合的条件可表示为 （x－2）2＋y2
＝12 （x－8）2＋y2，平方后再整理，得 x2＋y2＝16.可以验证， 这就是动点 M 的轨迹方程．
②设动点 N 的坐标为(x，y)，M 的坐标是(x1，y1)．由于 A(2， 0)，且 N 为线段 AM 的中点，所以 x＝2＋2x1，y＝0＋2 y1，所以 有 x1＝2x－2，y1＝2y，(Ⅰ) 由①知，M 是圆 x2＋y2＝16 上的点，所以点 M 坐标(x1，y1) 满足：x21＋y21＝16，(Ⅱ) 将(Ⅰ)代入(Ⅱ)整理，得(x－1)2＋y2＝4.
第二章 解析几何初步
2．2 圆的一般方程
1．问题导航 (1)当 m 为何值时，方程 x2＋y2＋mxy－2x＝0 表示圆？ (2)任何圆的方程都可以写成二元二次方程的形成吗？ (3)如何选择圆的方程形式？
2．例题导读 P80例4.通过本例学习，学会利用待定系数法求圆的一般方程 的方法,解答本例时要注意，利用待定系数法求圆的方程时， 如何选择圆的方程形式要视题目中所给条件而定．
＝x上”，其他条件不变，求圆的一般方程．
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答案:(1)× (2) (3) (4)
) ) ) )
( ( (
(3)x2+y2+Dx+Ey+F=0 一定表示圆的方程的条件为 D 2+E2(4)若圆过原点,则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常
首页 探究一 探究二 探究三 探究四
X 新知导学 D答疑解惑
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ANGTANGJIANCE
易错辨析
探究一对圆的一般方程的理解
【例1】 已知方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0. (1)若该方程表示圆,求m的取值范围; (2)若该方程表示一个半径等于4的圆,求其圆心坐标. 分析:根据二元二次方程表示 探究四
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解:(1)若该方程表示圆,则 D2+E2-4F=(2m) 2+(-2)2-4(m 2+5m)>0, 即 4m2+4-4m 2-20m>0,解得 m< ,
5 1
故 m 的取值范围是 -∞,
1 5
此时 - =- =3,- =- =1,故圆心坐标为(3,1).
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变式训练1 下列方程中表示圆的是( A.x2+y2-2x+2y+2=0 B.x2+y2-2xy+y+1=0 C.x2+2y2-2x+4y+3=0 D.x2+y2+4x-6y+6=0
)
解析:二元二次方程若表示圆,须满足x2,y2系数相同,没有xy项,且 D2+E2-4F>0,即可排除A,B,C,故选D.
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2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程
条件 D2+E2-4F<0 D +E -4F=0
2 2
图形 不表示任何图形 表示点 - ,2 D E 2 E 2
x2+y2+Dx+Ey +F=0 D +E -4F>0
∴△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0.
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分析:所求圆经过A,B,C三点,因此三点的坐标应适合圆的方程,可 设出一般方程代入点坐标解方程组即可确定圆的方程.
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解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得 -������ + 5������ + ������ + 26 = 0, -2������-2������ + ������ + 8 = 0, 5������ + 5������ + ������ + 50 = 0, ������ = -4, 解得 ������ = -2, ������ = -20.
.
1 2
(2)若该方程表示一个半径等于 4 的圆 ,则有
1 2
������ 2 + ������2 -4������ =
(2������)2 + (-2 )2 -4(������2 + 5������) =4, 即
1 2
4-20 ������ =4,解得 m=-3,
������ 2 -6 2 ������ 2 -2 2
2 2
表示以 - ,2
D
为
圆心,以
1 2
D2 + E 2 -4F 为半
径的圆
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做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是 ( ) A.k<2 B.k>2 C.k≥2 D.k≤2 解析:依题意有(-4)2+42-4×(10-k)>0,解得k>2. 答案:B
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的 打“×”. (1)二元二次方程 x 2+y2+Dx+Ey+F=0 一定是某个圆的方程. ( (2)圆的方程中不能含有 xy 这样的项. 4F> 0. 数项肯定为 0.
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做一做1 圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别为( A.(0,2),2 B.(2,0),4 C.(-2,0),2 D.(2,0),2
)
解析:圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,可知圆心坐标为(2,0),半径为2. 故选D. 答案:D
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答案:D
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易错辨析
探究二待定系数法求圆的一般方程 【例2】△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 求△ABC的外接圆的方程.
2.2
圆的一般方程
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学 习 目 标 1.掌握圆的一般方程的形式,明确方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件,会由圆 的一般方程确定圆心和半径. 2.会用待定系数法求圆的方程. 3.掌握与圆有关的简单的轨迹(方程)问题 的求法.
思 维 脉 络
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1.圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,这 时这个方程叫作圆的一般方程.
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) ) ) )
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(3)x2+y2+Dx+Ey+F=0 一定表示圆的方程的条件为 D 2+E2(4)若圆过原点,则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常
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探究一对圆的一般方程的理解
【例1】 已知方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0. (1)若该方程表示圆,求m的取值范围; (2)若该方程表示一个半径等于4的圆,求其圆心坐标. 分析:根据二元二次方程表示 探究四
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解:(1)若该方程表示圆,则 D2+E2-4F=(2m) 2+(-2)2-4(m 2+5m)>0, 即 4m2+4-4m 2-20m>0,解得 m< ,
5 1
故 m 的取值范围是 -∞,
1 5
此时 - =- =3,- =- =1,故圆心坐标为(3,1).
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变式训练1 下列方程中表示圆的是( A.x2+y2-2x+2y+2=0 B.x2+y2-2xy+y+1=0 C.x2+2y2-2x+4y+3=0 D.x2+y2+4x-6y+6=0
)
解析:二元二次方程若表示圆,须满足x2,y2系数相同,没有xy项,且 D2+E2-4F>0,即可排除A,B,C,故选D.
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2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
方程
条件 D2+E2-4F<0 D +E -4F=0
2 2
图形 不表示任何图形 表示点 - ,2 D E 2 E 2
x2+y2+Dx+Ey +F=0 D +E -4F>0
∴△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0.
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解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得 -������ + 5������ + ������ + 26 = 0, -2������-2������ + ������ + 8 = 0, 5������ + 5������ + ������ + 50 = 0, ������ = -4, 解得 ������ = -2, ������ = -20.
.
1 2
(2)若该方程表示一个半径等于 4 的圆 ,则有
1 2
������ 2 + ������2 -4������ =
(2������)2 + (-2 )2 -4(������2 + 5������) =4, 即
1 2
4-20 ������ =4,解得 m=-3,
������ 2 -6 2 ������ 2 -2 2
2 2
表示以 - ,2
D
为
圆心,以
1 2
D2 + E 2 -4F 为半
径的圆
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做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是 ( ) A.k<2 B.k>2 C.k≥2 D.k≤2 解析:依题意有(-4)2+42-4×(10-k)>0,解得k>2. 答案:B
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做一做1 圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别为( A.(0,2),2 B.(2,0),4 C.(-2,0),2 D.(2,0),2
)
解析:圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,可知圆心坐标为(2,0),半径为2. 故选D. 答案:D
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探究二待定系数法求圆的一般方程 【例2】△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 求△ABC的外接圆的方程.
2.2
圆的一般方程
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学 习 目 标 1.掌握圆的一般方程的形式,明确方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件,会由圆 的一般方程确定圆心和半径. 2.会用待定系数法求圆的方程. 3.掌握与圆有关的简单的轨迹(方程)问题 的求法.
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