上海市静安区市西中学2020届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案

上海市静安区市西中学2020届上学期期中考试

高三数学试题

一. 填空题

1. 已知集合{|1}A x x =≤，集合{|}B t t a =≥，且A B =R U ，则a 的取值范围为

2. 函数22()4cos sin f x x x =-的最小正周期为

3. 不等式

1

||

x x >的解集为 4. 在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）

5. 设常数a ∈R ，若函数2()log ()f x x a =+的反函数图像经过点(3,1)，则a =

6. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意地抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是

7. 函数()2f x =的值域是

8. 已知函数2210()101

x x f x x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩，则15

()4f -=

9. 已知1()y f x -=是函数()arcsin(1)f x x =-的反函数，则1()f x -= 10. 设a ∈R ，若292

()x x +与9

2()a x x

+

的二项展开式中的常数项相等，则a =

11. △ABC 中，60A ∠=︒，1b =，△ABC sin sin sin a b c

A B C

++=++

12. 设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的 图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是

二. 选择题

13. 若0a >，0b >，则x y a b xy ab +>+⎧⎨

>⎩是x a

y b >⎧⎨>⎩

成立的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件 14. 将cos2y x =图像向左平移6

π

个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π

=+

B. cos(2)6

y x π

=+

C. cos(2)3y x π

=-

D. cos(2)6

y x π

=- 15. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则函数()y f x =-与1()y f x -=-的图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称

16. 已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{0,1,2,3,4,5}M ⊆， 则满足条件M 的个数是（ ）

A. 11

B. 12

C. 15

D. 16

三. 解答题

17. 已知()cos f x x =. （1）若1()3f α=

，且[0,]απ∈，求()3

f π

α-的值； （2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值.

18. 设常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+. （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；

（2）若()14

f π

=，求方程()1f x =在区间[,]ππ-上的解；

19. 某租车公司给出的财务报表如下：

有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为100%t ak

T ak

-=⋅. （1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；

（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程， 核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11 个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）.

20. 设0a >，函数1

()12

x

f x a =

+⋅. （1）若1a =，求()f x 的反函数1()f x -；

（2）求函数()()y f x f x =⋅-的最大值（用a 表示）；

（3）设()()(1)g x f x f x =--，若对任意(,0]x ∈-∞，()(0)g x g ≥恒成立，求a 的范围.

21. 对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是 位差值为m 的“位差奇函数”.

（1）判断函数()21f x x =+和()2x g x =是否为位差奇函数？说明理由； （2）若()sin()f x x ϕ=+是位差值为

4

π

的位差奇函数，求ϕ的值； （3）若32()f x x bx cx =++对任意属于区间1[,)2

-+∞中的m 都不是位差奇函数， 求实数b 、c 满足的条件.

上海市静安区市西中学2020届上学期期中考试

高三数学试题参考答案

一. 填空题

1. 1a ≤

2. π

3. (,0)(0,1)-∞U

4. 21

5. 7

6.

25 7. [2,2]- 8. 12

9. 1sin x -，[,]22

x ππ

∈- 12. 1119(,]66

ππ

二. 选择题

13. B 14. A 15. D 16. A

三. 解答题

17.（1）()3

f π

α-

=

；（2）min 3

2

y =-. 18.（1）0a =；（2）1124x π=-

，524x π=-，1324x π=，19

24

x π=. 19.（1）41.14%和38.00%；（2）12.98元，15.71公里.

20.（1）12

1()log x

f x x

--=，01x <<；（2）2

1(1)a +；（3）. 21.（1）()21f x x =+是位差奇函数，()2x g x =不是位差奇函数； （2）4

k π

ϕπ=-，k ∈Z ；（3）3

2

b >

，c ∈R .