1 映射与函数

x0 x0
y x2 1
y 2x 1
3. 函数的几种特性 1). 函数的有界性 定义2. 设函数 y f ( x ), x X ，若
M 0 , x X ，都有： | f ( x ） M | 则称 f ( x ) 是 X 上的有界函数。
y
M y=f(x) o -M M

第一册：函数，极限，连续，导数，微分，不 定积分，定积分及其应用，常微分方程； 第二册：向量代数和空间解析几何，多元函 数微分学，重积分，线面积分和级数。

返回
教师姓名：姚 翠 珍 Tel. 68912131(o) Rm 847(中教)
Email address:czyao@
参考书：吉米多维奇数学分析习题集 分析中的反例
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
-x o
f ( x )
奇函数
x
x
偶函数
Sept. 21 Wed.
Review
区间，邻域的概念； 映射：满射，单射，一一映射，逆映射，复合映射； 函数概念； 函数特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

例. 设 f ( x ) 是定义在 ( l , l )( l 0 ) 内的任意函数，且
F ( x ) f ( x ) f ( x ) G ( x ) f ( x ) f ( x ) 证明： F ( x ) 是偶函数， G ( x ) 是奇函数，且 f ( x )可以 唯一表示成 F ( x ) 与 G ( x ) 的和之半。
§8 函数的连续性 §9 闭区间上连续函数的性质
本章讨论：
映射，函数，极限和函数的连续性等基本概念， 其内容是研究微积分的最必需的基础知识。
§1 映射与函数

集合 映射 函数
一 集合(set)
概念，集合运算，区间与邻域。
区间：(interval)
( a , b ) { x | a x b} [ a , b ] { x | a x b}
y f (u) , 及函数 u ( x ), x X 函数 u ( x ) 的值域记为 ( X )，若 ( X ) U , 则在 X 上可以确定一个函数 y f ( ( x )) 称为 f 与 的复合函数，记作 f uU
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
例 1. 符号函数：
1, x 0 , y sgn x 0 , x 0 , 1, x 0 .
2. Dirichlet 函数：
3. y [x ] ，表示不超过
1, y 0,
x为有理数， x为无理数 .
x 的最大整数。
4.
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
函数是从实数集到实数集的映射。
或函数是量与量之间的依赖关系。
定义1. 假定在某个变化过程中有 x 和 y 两个变量， x 的变化域为 X 。假如对 X 中的每一个 x 值， 根据某种对应规则 f ，变量 y 有唯一确定的值与 之对应，则称 y 是 x 的函数(function)， 记作：y=f(x)
( f g )( x ) f [ g ( x )] 1 sin 2 x | cos x |
三 函数(function)
初等数学：研究对象为常量，是常量的数学； 高等数学：研究对象是事物的运动规律和现象的 变化规律，是变量的数学。
实例
1 . 在重力作用下，物体从 离地面 h 米处自由落 下，不计空气阻力，下 落路 程 s 与时间 t 满 足关系 1 2 s gt ，其中 0 t 2 2h 。 g
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 )
f ( x2 )
o
X
o
x
x
X
3). 函数的奇偶性 定义4. 设函数 y f ( x )在 X 内有定义，若对 x X , 都有
f ( x ) f ( x ) 或 f ( x ) f ( x ) 则称 y f ( x ) 在 X 内是奇函数或偶函数。
Sept. 19 Mon.
数学分析
教 室： Mon. Wed. Fri. 中教407 第1节 7:50-9:25pm 第3节 1:30-3:05am 第1节 7:50-9:25am


课程简介 教师姓名 参考书 交作业时间 最后成绩 答疑时间
教材：高等数学（同济大学编）
本课程主要内容有极限论，微分学，积分学 和级数论等，它包括： 1.数学分析：一元函数微积分学 多元函数微积分学 级数； 2. 向量代数，空间解析几何； 3. 常微分方程。
U ( a ) { x a x a }.


x
a a a 0 点 a的去心的 邻域 , 记作 U ( a ).
U ( a ) { x 0 x a }.
二 映射(mapping)
1 概念
定义1 设 X ,Y 为非空集合，若存在一个法则 f ，使对
x X ，按法则 f
，在Y 中有唯一确定的元素
f
与之对应，则称 (mapping)， 记作： f : X Y
为从
X
到Y 的映射
其中 y 称为元素 x在映射 f下的像，记 作：
f ( x ), 即 y f ( x )
元素 x 称为 y 的一个原像，X 称为映射 f 的定 义域(domain)，记作： D f X中所有元素的像组成的集合称为 f 的值域 (range)，记作： R f 或 f ( X )
3 f : [ , ] [ 1,1], 对 x [ , ], f ( x ) sin x , 2 2 2 2 D f [ , ], R f [ 1,1]. 2 2
定义2 若 R f Y ， 则称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射；
返回
交作业时间与地点： 每周一下午：2:30——5:30 中心教学楼 Rm 812
作业要求全交。
最后成绩： 作业 10 % +期中 20 % +期末 70 % 答疑时间：Mon. & Wed. 3：30pm－5：00pm 地点：中教－405 Preview+review+exercise
几个常用符号
o
x
X
例 求下列函数的定义域
x )； 1. y arcsin(log 10
2 2 x 2. 设 f ( x ) ln ，求 f ( x ) f ( ) 的定义域； x 2 x x sin x 3. y sin x 和 y 。 x
2. 函数的表示法 1). 公式法，表格法，图形法； 2). 分段函数： 对于其定义域内自变量不同的值，不能用一个统一 的数学表达式表示。
约定：定义域是自变量所能取的使算式有意 义的一切实数值。
两个要素：定义域； 对应关系（即函数关系）。
函数图形：全体这样的点
M ( x, y ) ( x, f ( x ))
y
构成的集合
{M ( x , f ( x )) | y f ( x ), x X }
y
( x, y)
x
称为函数 y f (x ) 的图形。
若对每个 y R f ，规定 g ( y ) x ，满足 f ( x ) y，
定义4 设有两个映射
g : X Y1 , f : Y2 Z 其中 Y1 Y2 , 则由 g 与 f 可以确定一个从 X 到 Y 的法则，它将每个 x X 映成 f [ g ( x )] Z , 称这个映射为由映射 g 与 f 构成的复合映射， 记作： f g ，即 f g:X Z
y
x
X
x0
o -M X
x
2). 函数的单调性 定义3. 设函数 y f ( x ) 在 X 上有定义，且 x1 x 2
时，有 f ( x1 ) f ( x 2 ) 或 f ( x1 ) f ( x 2 )，则称在 X 上单调递增或单调递减 ， X 称为 f ( x ) 的单调 区间。等式不成立时， 称为严格单调性。 y y f (x ) y f (x ) y
f
Df
XYRf来自意：1 . 三个要素：定义域 D f X ；值域范围 R f Y ；对应法则： f；
2 . 对 x X ， x 的像 y 是唯一的；对 y R f , y 的原像不一定唯一。
例
1 f ( x ) x 2 , D f R , R f { y | y 0} 除 y 0 的原像 x 0 外，所有原像不唯一；
g
Y2
f
f (X )
X
Z
注意：
R g f ( X ) Y2 D f
例
g : R [ 1,1], x R , g ( x ) sin x f : [ 1,1] [0,1], u [ 1,1], f ( u ) 1 u 2
f g : R [ 0,1], 对 x R ，有
2 X {( x , y ) | x 2 y 2 1}, Y {( x ,0 ) || x | 1}, f : X Y , ( x , y ) X , 有唯一确定的 ( x ,0 ) Y 与之对应，将平面上圆 心在原点的单位圆周上 的点投影到 x 轴的区间上 [ 1,1]；

3l 2

l 2
l 2
3l 2
4. 复合函数与反函数 函数运算：
设 f ( x ), g ( x ) 在 X 上有定义，则 f ( x ) g( x ) , 也是 X 上的函数 f ( x ) g( x ) , f ( x) ( g ( x ) 0) g( x )